Beim Lösen von Aufgabe C2 mit der Koordinatenmethode stehen viele Schüler vor dem gleichen Problem. Sie können nicht rechnen Punktkoordinaten in der Skalarproduktformel enthalten. Die größten Schwierigkeiten sind Pyramiden. Und wenn die Basispunkte mehr oder weniger normal sind, dann sind die Spitzen eine echte Hölle.

Heute beschäftigen wir uns mit einer regelmäßigen viereckigen Pyramide. Es gibt auch eine dreieckige Pyramide (auch bekannt als - Tetraeder). Dies ist ein komplexeres Design, daher wird ihm eine separate Lektion gewidmet.

Beginnen wir mit der Definition:

Eine regelmäßige Pyramide ist eine, in der:

1. Die Basis ist ein regelmäßiges Polygon: Dreieck, Quadrat usw.;
2. Die zur Basis gezogene Höhe geht durch ihren Mittelpunkt.

Insbesondere eignet sich die Grundfläche einer viereckigen Pyramide Quadrat. Genau wie Cheops, nur etwas kleiner.

Nachfolgend finden Sie die Berechnungen für eine Pyramide, bei der alle Kanten gleich 1 sind. Wenn dies bei Ihrem Problem nicht der Fall ist, ändern sich die Berechnungen nicht - nur die Zahlen werden anders sein.

Eckpunkte einer viereckigen Pyramide

Gegeben sei also eine regelmäßige viereckige Pyramide SABCD, wobei S die Spitze ist, die Basis von ABCD ein Quadrat ist. Alle Kanten sind gleich 1. Es ist erforderlich, ein Koordinatensystem einzugeben und die Koordinaten aller Punkte zu finden. Wir haben:

Wir führen ein Koordinatensystem mit dem Ursprung im Punkt A ein:

1. Die Achse OX ist parallel zur Kante AB gerichtet;
2. Achse OY – parallel zu AD. Da ABCD ein Quadrat ist, gilt AB ⊥ AD ;
3. Schließlich ist die OZ-Achse senkrecht zur Ebene ABCD nach oben gerichtet.

Jetzt betrachten wir die Koordinaten. Zusätzliche Konstruktion: SH - Höhe bis zum Sockel gezogen. Der Einfachheit halber nehmen wir die Basis der Pyramide in einer separaten Abbildung heraus. Da die Punkte A , B , C und D in der OXY-Ebene liegen, ist ihre Koordinate z = 0. Wir haben:

1. A = (0; 0; 0) - stimmt mit dem Ursprung überein;
2. B = (1; 0; 0) - Schritt um 1 entlang der OX-Achse vom Ursprung;
3. C = (1; 1; 0) - Schritt um 1 entlang der OX-Achse und um 1 entlang der OY-Achse;
4. D = (0; 1; 0) - Schritt nur entlang der OY-Achse.
5. H \u003d (0,5; 0,5; 0) - die Mitte des Quadrats, die Mitte des Segments AC.

Es bleibt, die Koordinaten des Punktes S zu finden. Beachten Sie, dass die x- und y-Koordinaten der Punkte S und H gleich sind, da sie auf einer geraden Linie parallel zur OZ-Achse liegen. Es bleibt die z-Koordinate für den Punkt S zu finden.

Betrachten Sie die Dreiecke ASH und ABH :

1. AS = AB = 1 durch Bedingung;
2. Winkel AHS = AHB = 90°, da SH die Höhe und AH ⊥ HB die Diagonalen eines Quadrats sind;
3. Seite AH - gemeinsam.

Also rechtwinklige Dreiecke ASH und ABH gleich ein Bein und eine Hypotenuse. Also SH = BH = 0,5 BD . Aber BD ist die Diagonale eines Quadrats mit Seite 1. Also haben wir:

Gesamtkoordinaten von Punkt S:

Abschließend schreiben wir die Koordinaten aller Ecken einer regelmäßigen rechteckigen Pyramide auf:

Was tun, wenn die Rippen unterschiedlich sind?

Was aber, wenn die Seitenkanten der Pyramide nicht gleich den Kanten der Basis sind? Betrachten Sie in diesem Fall das Dreieck AHS:

Dreieck AHS- rechteckig, und die Hypotenuse AS ist auch eine Seitenkante der ursprünglichen Pyramide SABCD . Das Bein AH lässt sich leicht berücksichtigen: AH = 0,5 AC. Finden Sie das verbleibende Bein SH nach dem Satz des Pythagoras. Dies ist die z-Koordinate für Punkt S.

Eine Aufgabe. Gegeben sei eine regelmäßige viereckige Pyramide SABCD , an deren Grundfläche ein Quadrat mit der Seite 1 liegt. Seitenkante BS = 3. Bestimme die Koordinaten des Punktes S .

Wir kennen bereits die x- und y-Koordinaten dieses Punktes: x = y = 0,5. Dies folgt aus zwei Tatsachen:

1. Die Projektion des Punktes S auf die OXY-Ebene ist der Punkt H;
2. Gleichzeitig ist der Punkt H der Mittelpunkt des Quadrats ABCD, dessen Seiten alle gleich 1 sind.

Es bleibt die Koordinate des Punktes S zu finden. Betrachten Sie das Dreieck AHS. Sie ist rechteckig, mit der Hypotenuse AS = BS = 3, der Schenkel AH ist die halbe Diagonale. Für weitere Berechnungen benötigen wir seine Länge:

Satz des Pythagoras für das Dreieck AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2 . Wir haben:

Also, die Koordinaten des Punktes S:

Definition. Seitenansicht; Seitenfläche- Dies ist ein Dreieck, bei dem ein Winkel an der Spitze der Pyramide liegt und die gegenüberliegende Seite mit der Seite der Basis (Polygon) zusammenfällt.

Definition. Seitenrippen sind die gemeinsamen Seiten der Seitenflächen. Eine Pyramide hat so viele Kanten wie ein Polygon Ecken hat.

Definition. Pyramidenhöhe ist eine Senkrechte, die von der Spitze zur Basis der Pyramide fällt.

Definition. Apothema- Dies ist die Senkrechte der Seitenfläche der Pyramide, die von der Spitze der Pyramide zur Seite der Basis abgesenkt ist.

Definition. Diagonalschnitt- Dies ist ein Abschnitt der Pyramide durch eine Ebene, die durch die Spitze der Pyramide und die Diagonale der Basis verläuft.

Definition. Korrekte Pyramide- Dies ist eine Pyramide, bei der die Basis ein regelmäßiges Polygon ist und die Höhe bis zur Mitte der Basis abfällt.

Volumen und Oberfläche der Pyramide

Formel. Pyramidenvolumen durch Grundfläche und Höhe:

Pyramideneigenschaften

Wenn alle Seitenkanten gleich sind, kann um die Basis der Pyramide ein Kreis umschrieben werden, und der Mittelpunkt der Basis fällt mit dem Mittelpunkt des Kreises zusammen. Außerdem geht die von oben fallende Senkrechte durch die Mitte der Basis (Kreis).

Wenn alle Seitenrippen gleich sind, dann sind sie in gleichen Winkeln zur Basisebene geneigt.

Die Seitenrippen sind gleich, wenn sie mit der Basisebene gleiche Winkel bilden oder wenn sich um die Basis der Pyramide ein Kreis beschreiben lässt.

Wenn die Seitenflächen in einem Winkel zur Ebene der Basis geneigt sind, kann ein Kreis in die Basis der Pyramide einbeschrieben werden, und die Spitze der Pyramide wird in ihre Mitte projiziert.

Sind die Seitenflächen um einen Winkel zur Grundebene geneigt, so sind die Apotheme der Seitenflächen gleich.

Eigenschaften einer regelmäßigen Pyramide

1. Die Spitze der Pyramide ist von allen Ecken der Basis gleich weit entfernt.

2. Alle Seitenkanten sind gleich.

3. Alle Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Basis geneigt.

4. Apotheme aller Seitenflächen sind gleich.

5. Die Flächen aller Seitenflächen sind gleich.

6. Alle Flächen haben die gleichen Flächenwinkel.

7. Um die Pyramide herum kann eine Kugel beschrieben werden. Der Mittelpunkt der beschriebenen Kugel ist der Schnittpunkt der Senkrechten, die durch die Mitte der Kanten verlaufen.

8. Eine Kugel kann in eine Pyramide eingeschrieben werden. Der Mittelpunkt der einbeschriebenen Kugel ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, die vom Winkel zwischen der Kante und der Basis ausgehen.

9. Wenn der Mittelpunkt der eingeschriebenen Kugel mit dem Mittelpunkt der umschriebenen Kugel zusammenfällt, ist die Summe der flachen Winkel an der Spitze gleich π oder umgekehrt, ein Winkel ist gleich π / n, wobei n die Zahl ist von Winkeln an der Basis der Pyramide.

Die Verbindung der Pyramide mit der Kugel

Eine Kugel kann um die Pyramide herum beschrieben werden, wenn an der Basis der Pyramide ein Polyeder liegt, um das ein Kreis beschrieben werden kann (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Der Mittelpunkt der Kugel ist der Schnittpunkt von Ebenen, die senkrecht durch die Mittelpunkte der Seitenkanten der Pyramide verlaufen.

Eine Kugel kann immer um jede dreieckige oder regelmäßige Pyramide herum beschrieben werden.

Eine Kugel kann in eine Pyramide eingeschrieben werden, wenn sich die Winkelhalbierenden der inneren Diederwinkel der Pyramide in einem Punkt schneiden (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Dieser Punkt wird der Mittelpunkt der Kugel sein.

Die Verbindung der Pyramide mit dem Kegel

Ein Kegel wird als in eine Pyramide eingeschrieben bezeichnet, wenn ihre Spitzen zusammenfallen und die Basis des Kegels in die Basis der Pyramide eingeschrieben ist.

Ein Kegel kann in eine Pyramide eingeschrieben werden, wenn die Apotheme der Pyramide gleich sind.

Ein Kegel wird um eine Pyramide herum umschrieben, wenn ihre Spitzen zusammenfallen und die Basis des Kegels um die Basis der Pyramide herum umschrieben ist.

Ein Kegel kann um eine Pyramide herum beschrieben werden, wenn alle Seitenkanten der Pyramide einander gleich sind.

Verbindung einer Pyramide mit einem Zylinder

Eine Pyramide wird als in einen Zylinder eingeschrieben bezeichnet, wenn die Spitze der Pyramide auf einer Basis des Zylinders liegt und die Basis der Pyramide in eine andere Basis des Zylinders eingeschrieben ist.

Ein Zylinder kann um eine Pyramide herumbeschrieben werden, wenn ein Kreis um die Basis der Pyramide herumbeschrieben werden kann.

Definition. Pyramidenstumpf (Pyramidenprisma)- Dies ist ein Polyeder, der sich zwischen der Basis der Pyramide und einer Schnittebene parallel zur Basis befindet. Somit hat die Pyramide eine große Basis und eine kleinere Basis, die der größeren ähnlich ist. Die Seitenflächen sind Trapeze.

Definition. Dreieckspyramide (Tetraeder)- Dies ist eine Pyramide, bei der drei Flächen und die Basis beliebige Dreiecke sind.

Ein Tetraeder hat vier Flächen und vier Ecken und sechs Kanten, wobei zwei beliebige Kanten keine gemeinsamen Ecken haben, sich aber nicht berühren.

Jeder Scheitelpunkt besteht aus drei Flächen und Kanten, die sich bilden dreieckiger Winkel.

Das Segment, das die Spitze des Tetraeders mit der Mitte der gegenüberliegenden Fläche verbindet, wird genannt Median des Tetraeders(GM).

Bimedian heißt ein Segment, das die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten verbindet, die sich nicht berühren (KL).

Alle Bimediane und Mediane eines Tetraeders schneiden sich in einem Punkt (S). In diesem Fall werden die Bimediane halbiert und die Mediane im Verhältnis 3: 1 von oben beginnend.

Definition. geneigte Pyramide ist eine Pyramide, bei der eine der Kanten mit der Basis einen stumpfen Winkel (β) bildet.

Definition. Rechteckige Pyramide ist eine Pyramide, bei der eine der Seitenflächen senkrecht zur Grundfläche steht.

Definition. Spitze abgewinkelte Pyramide ist eine Pyramide, bei der das Apothem mehr als die Hälfte der Seitenlänge der Basis beträgt.

Definition. stumpfe Pyramide ist eine Pyramide, bei der das Apothem weniger als die Hälfte der Seitenlänge der Basis beträgt.

Definition. regelmäßiger Tetraeder Ein Tetraeder, dessen vier Flächen gleichseitige Dreiecke sind. Es ist eines von fünf regelmäßigen Polygonen. In einem regelmäßigen Tetraeder sind alle Diederwinkel (zwischen Flächen) und Triederwinkel (an einem Scheitelpunkt) gleich.

Definition. Rechteckiger Tetraeder wird ein Tetraeder genannt, der an der Spitze zwischen drei Kanten einen rechten Winkel hat (die Kanten stehen senkrecht zueinander). Es bilden sich drei Gesichter rechteckiger dreiflächiger Winkel und die Flächen sind rechtwinklige Dreiecke, und die Basis ist ein beliebiges Dreieck. Der Apothem jedes Gesichts ist gleich der halben Seite der Basis, auf die der Apothem fällt.

Definition. Isoedrisches Tetraeder Es wird ein Tetraeder genannt, bei dem die Seitenflächen gleich sind und die Basis ein regelmäßiges Dreieck ist. Die Flächen eines solchen Tetraeders sind gleichschenklige Dreiecke.

Definition. Orthozentrischer Tetraeder wird ein Tetraeder genannt, bei dem sich alle Höhen (Senkrechte), die von oben zur gegenüberliegenden Fläche abgesenkt werden, in einem Punkt schneiden.

Definition. Sternpyramide Ein Polyeder, dessen Basis ein Stern ist, heißt.

Definition. Bipyramide- ein Polyeder, das aus zwei verschiedenen Pyramiden besteht (Pyramiden können auch abgeschnitten werden), die eine gemeinsame Basis haben und deren Eckpunkte auf gegenüberliegenden Seiten der Basisebene liegen.

Pyramide. Pyramidenstumpf

Pyramide wird ein Polyeder genannt, dessen eine Fläche ein Polygon ist ( Base ), und alle anderen Flächen sind Dreiecke mit einem gemeinsamen Eckpunkt ( Seitenflächen ) (Abb. 15). Die Pyramide heißt Korrekt , wenn ihre Grundfläche ein regelmäßiges Polygon ist und die Spitze der Pyramide in die Mitte der Grundfläche projiziert wird (Abb. 16). Eine dreieckige Pyramide, bei der alle Kanten gleich sind, heißt Tetraeder .

Seitenrippe Pyramide heißt die Seite der Seitenfläche, die nicht zur Basis gehört Höhe Pyramide ist der Abstand von ihrer Spitze zur Ebene der Basis. Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich, alle Seitenflächen sind gleiche gleichschenklige Dreiecke. Die Höhe der Seitenfläche einer vom Scheitelpunkt gezogenen regelmäßigen Pyramide wird als bezeichnet Apothema . Diagonalschnitt Ein Abschnitt einer Pyramide wird als Ebene bezeichnet, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zur selben Fläche gehören.

Seitenfläche Pyramide heißt die Summe der Flächeninhalte aller Seitenflächen. Vollflächig ist die Summe der Flächen aller Seitenflächen und der Basis.

Sätze

1. Wenn bei einer Pyramide alle Seitenkanten gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des umschriebenen Kreises nahe der Basis projiziert.

2. Wenn in einer Pyramide alle Seitenkanten gleich lang sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des umschriebenen Kreises nahe der Basis projiziert.

3. Wenn in der Pyramide alle Flächen gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des in die Basis einbeschriebenen Kreises projiziert.

Um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen, ist die Formel richtig:

wo v- Lautstärke;

S Haupt- Grundfläche;

H ist die Höhe der Pyramide.

Für eine reguläre Pyramide gelten die folgenden Formeln:

wo p- Umfang der Basis;

ha- Apothem;

H- Höhe;

S voll

S-Seite

S Haupt- Grundfläche;

v ist das Volumen einer regelmäßigen Pyramide.

Pyramidenstumpf wird der Teil der Pyramide genannt, der zwischen der Basis und der Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist (Abb. 17). Richtiger Pyramidenstumpf wird der Teil einer regelmäßigen Pyramide genannt, der zwischen der Basis und einer Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist.

Stiftungen Pyramidenstumpf - ähnliche Polygone. Seitenflächen - Trapez. Höhe Pyramidenstumpf nennt man den Abstand zwischen seinen Basen. Diagonale Ein Pyramidenstumpf ist ein Segment, das seine Scheitel verbindet, die nicht auf derselben Fläche liegen. Diagonalschnitt Ein Abschnitt eines Pyramidenstumpfes wird als Ebene bezeichnet, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zu derselben Fläche gehören.

Für einen Pyramidenstumpf gelten die Formeln:

(4)

wo S 1 , S 2 - Bereiche der oberen und unteren Basis;

S voll ist die Gesamtoberfläche;

S-Seite ist die seitliche Oberfläche;

H- Höhe;

v ist das Volumen des Pyramidenstumpfes.

Für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf gilt die folgende Formel:

wo p 1 , p 2 - Basisumfänge;

ha- das Apothem eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Beispiel 1 In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt der Diederwinkel an der Basis 60º. Finden Sie die Tangente des Neigungswinkels der Seitenkante zur Ebene der Basis.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 18).

Die Pyramide ist regelmäßig, was bedeutet, dass die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist und alle Seitenflächen gleichschenklige Dreiecke sind. Der Flächenwinkel an der Basis ist der Neigungswinkel der Seitenfläche der Pyramide zur Ebene der Basis. Der lineare Winkel ist der Winkel a zwischen zwei Loten: d.h. Die Spitze der Pyramide wird auf die Mitte des Dreiecks projiziert (die Mitte des umschriebenen Kreises und des einbeschriebenen Kreises im Dreieck). ABC). Der Neigungswinkel der Seitenrippe (z SB) ist der Winkel zwischen der Kante selbst und ihrer Projektion auf die Grundebene. Für Rippe SB dieser Winkel wird der Winkel sein SBD. Um die Tangente zu finden, müssen Sie die Schenkel kennen ALSO und OB. Lassen Sie die Länge des Segments BD ist 3 a. Punkt Ö Liniensegment BD ist in Teile geteilt: und Von finden wir ALSO: Von finden wir:

Antworten:

Beispiel 2 Berechne das Volumen eines regelmäßigen viereckigen Pyramidenstumpfes, wenn die Diagonalen seiner Grundflächen cm und cm und die Höhe 4 cm beträgt.

Lösung. Um das Volumen eines Pyramidenstumpfes zu finden, verwenden wir Formel (4). Um die Flächen der Basen zu finden, müssen Sie die Seiten der Basisquadrate finden und ihre Diagonalen kennen. Die Seiten der Basen sind 2 cm bzw. 8 cm, das heißt die Flächen der Basen und Wenn wir alle Daten in die Formel einsetzen, berechnen wir das Volumen des Pyramidenstumpfes:

Antworten: 112 cm3.

Beispiel 3 Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen dreieckigen Pyramidenstumpfes, dessen Seiten der Basis 10 cm und 4 cm betragen und die Höhe der Pyramide 2 cm beträgt.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 19).

Die Seitenfläche dieser Pyramide ist ein gleichschenkliges Trapez. Um die Fläche eines Trapezes zu berechnen, müssen Sie die Basen und die Höhe kennen. Die Basen sind per Zustand gegeben, nur die Höhe bleibt unbekannt. Finden Sie es von wo ABER 1 E senkrecht von einem Punkt ABER 1 auf der Ebene der unteren Basis, EIN 1 D- senkrecht von ABER 1 an AC. ABER 1 E\u003d 2 cm, da dies die Höhe der Pyramide ist. Zur Findung DE Wir werden eine zusätzliche Zeichnung erstellen, in der wir eine Draufsicht darstellen (Abb. 20). Punkt Ö- Projektion der Zentren der oberen und unteren Basen. da (siehe Abb. 20) und andererseits OK ist der Radius des Inkreises und Om ist der Radius des Inkreises:

MK=DE.

Nach dem Satz des Pythagoras aus

Seitenfläche:

Antworten:

Beispiel 4 An der Basis der Pyramide liegt ein gleichschenkliges Trapez, dessen Basen a und b (a> b). Jede Seitenfläche bildet einen Winkel gleich der Ebene der Basis der Pyramide j. Finden Sie die Gesamtfläche der Pyramide.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 21). Gesamtfläche der Pyramide SABCD ist gleich der Summe der Flächen und der Fläche des Trapezes A B C D.

Lassen Sie uns die Aussage verwenden, dass, wenn alle Flächen der Pyramide gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, die Spitze in die Mitte des in die Basis einbeschriebenen Kreises projiziert wird. Punkt Ö- Scheitelpunktprojektion S am Fuß der Pyramide. Dreieck SOD ist die orthogonale Projektion des Dreiecks CSD zur Basisebene. Nach dem Satz über die Fläche der orthogonalen Projektion einer flachen Figur erhalten wir:

Ähnlich heißt es Somit wurde das Problem darauf reduziert, die Fläche des Trapezes zu finden A B C D. Zeichne ein Trapez A B C D getrennt (Abb. 22). Punkt Ö ist der Mittelpunkt eines Kreises, der in ein Trapez eingeschrieben ist.

Da einem Trapez ein Kreis einbeschrieben werden kann, haben wir nach dem Satz des Pythagoras oder From

Definition

Pyramide ist ein Polyeder, das aus einem Polygon \(A_1A_2...A_n\) und \(n\) Dreiecken mit einem gemeinsamen Eckpunkt \(P\) (der nicht in der Ebene des Polygons liegt) und gegenüberliegenden Seiten, die mit den Seiten von zusammenfallen, zusammengesetzt ist das Vieleck.
Bezeichnung: \(PA_1A_2...A_n\) .
Beispiel: fünfeckige Pyramide \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Dreiecke \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) usw. genannt Seitenflächen Pyramiden, Segmente \(PA_1, PA_2\) usw. - Seitenrippen, Vieleck \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – Basis, Punkt \(P\) – Gipfel.

Höhe Pyramiden sind eine Senkrechte, die von der Spitze der Pyramide zur Ebene der Basis fällt.

Eine Pyramide mit einem Dreieck an der Basis wird genannt Tetraeder.

Die Pyramide heißt Korrekt, wenn seine Basis ein regelmäßiges Polygon ist und eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

\((a)\) Seitenkanten der Pyramide sind gleich;

\((b)\) die Höhe der Pyramide geht durch den Mittelpunkt des umschriebenen Kreises in der Nähe der Basis;

\((c)\) Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Basisebene geneigt.

\((d)\) Seitenflächen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt.

regelmäßiger Tetraeder ist eine dreieckige Pyramide, deren Flächen alle gleichseitige Dreiecke sind.

Satz

Die Bedingungen \((a), (b), (c), (d)\) sind äquivalent.

Nachweisen

Zeichne die Höhe der Pyramide \(PH\) . Sei \(\alpha\) die Ebene der Basis der Pyramide.

1) Beweisen wir, dass \((a)\) impliziert \((b)\) . Sei \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Da \(PH\perp \alpha\) , dann steht \(PH\) senkrecht auf jeder Linie, die in dieser Ebene liegt, also sind die Dreiecke rechtwinklig. Diese Dreiecke sind also gleich im gemeinsamen Schenkel \(PH\) und Hypotenuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Also \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Das bedeutet, dass die Punkte \(A_1, A_2, ..., A_n\) vom Punkt \(H\) gleich weit entfernt sind, also auf demselben Kreis mit Radius \(A_1H\) liegen. Dieser Kreis wird per Definition um das Polygon \(A_1A_2...A_n\) umschrieben.

2) Beweisen wir, dass \((b)\) \((c)\) impliziert.

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rechteckig und gleich in zwei Beinen. Daher sind auch ihre Winkel gleich, also \(\Winkel PA_1H=\Winkel PA_2H=...=\Winkel PA_nH\).

3) Beweisen wir, dass \((c)\) impliziert \((a)\) .

Ähnlich wie beim ersten Punkt, Dreiecke \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rechteckig und entlang des Beins und spitzen Winkel. Das bedeutet, dass auch ihre Hypotenusen gleich sind, also \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Beweisen wir, dass \((b)\) \((d)\) impliziert.

Da fallen bei einem regelmäßigen Vieleck die Mittelpunkte des umschriebenen und des einbeschriebenen Kreises zusammen (allgemein nennt man diesen Punkt den Mittelpunkt eines regelmäßigen Vielecks), dann ist \(H\) der Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises. Zeichnen wir Senkrechte vom Punkt \(H\) zu den Seiten der Basis: \(HK_1, HK_2\) usw. Dies sind die Radien des Inkreises (per Definition). Dann ist gemäß der TTP (\(PH\) ist eine Senkrechte zur Ebene, \(HK_1, HK_2\) usw. sind Projektionen senkrecht zu den Seiten) schräg \(PK_1, PK_2\) usw. senkrecht zu den Seiten \(A_1A_2, A_2A_3\), usw. beziehungsweise. Also per Definition \(\Winkel PK_1H, \Winkel PK_2H\) gleich den Winkeln zwischen den Seitenflächen und der Basis. Da Dreiecke \(PK_1H, PK_2H, ...\) gleich sind (wie rechtwinklig auf zwei Beinen), dann die Winkel \(\Winkel PK_1H, \Winkel PK_2H, ...\) sind gleich.

5) Beweisen wir, dass \((d)\) \((b)\) impliziert.

Ähnlich wie beim vierten Punkt sind die Dreiecke \(PK_1H, PK_2H, ...\) gleich (als rechtwinkliges Bein und spitzer Winkel), was bedeutet, dass die Segmente \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sind gleich. Daher ist \(H\) per Definition der Mittelpunkt eines Kreises, der in die Basis eingeschrieben ist. Aber seit bei regelmäßigen Polygonen fallen die Mittelpunkte des eingeschriebenen und des umschriebenen Kreises zusammen, dann ist \(H\) der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Chtd.

Folge

Die Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind gleichschenklige Dreiecke.

Definition

Die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, gezeichnet von ihrer Spitze, wird genannt Apothema.
Die Apotheme aller Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich und sind auch Seitenhalbierende und Winkelhalbierende.

Wichtige Notizen

1. Die Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide fällt auf den Schnittpunkt der Höhen (oder Halbierenden oder Mittellinien) der Basis (die Basis ist ein regelmäßiges Dreieck).

2. Die Höhe einer regelmäßigen viereckigen Pyramide fällt auf den Schnittpunkt der Diagonalen der Basis (die Basis ist ein Quadrat).

3. Die Höhe einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide fällt auf den Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche (die Grundfläche ist ein regelmäßiges Sechseck).

4. Die Höhe der Pyramide steht senkrecht auf jeder geraden Linie, die an der Basis liegt.

Definition

Die Pyramide heißt rechteckig wenn eine seiner Seitenkanten senkrecht zur Ebene der Basis steht.

Wichtige Notizen

1. Bei einer rechteckigen Pyramide ist die Kante senkrecht zur Basis die Höhe der Pyramide. Das heißt, \(SR\) ist die Höhe.

2. Weil \(SR\) senkrecht zu jeder Linie von der Basis, dann \(\triangle SRM, \triangle SRP\) sind rechtwinklige Dreiecke.

3. Dreiecke \(\triangle SRN, \triangle SRK\) sind ebenfalls rechteckig.
Das heißt, jedes Dreieck, das durch diese Kante und die Diagonale gebildet wird, die aus dem Scheitelpunkt dieser Kante kommt, der an der Basis liegt, ist rechtwinklig.

\[(\Large(\text(Volumen und Oberfläche der Pyramide)))\]

Satz

Das Volumen einer Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Grundfläche und der Höhe der Pyramide: \

Konsequenzen

Sei \(a\) die Seite der Basis, \(h\) die Höhe der Pyramide.

1. Das Volumen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide ist \(V_(\text(rechtwinkliges Dreieck pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide ist \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Das Volumen eines regelmäßigen Tetraeders ist \(V_(\text(rechter Tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Satz

Die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Basis und dem Apothem.

\[(\Large(\text(Pyramidenstumpf)))\]

Definition

Betrachten Sie eine beliebige Pyramide \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Lassen Sie uns eine Ebene parallel zur Basis der Pyramide durch einen bestimmten Punkt ziehen, der auf der Seitenkante der Pyramide liegt. Diese Ebene teilt die Pyramide in zwei Polyeder, von denen eines eine Pyramide (\(PB_1B_2...B_n\) ) ist und das andere heißt Pyramidenstumpf(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Die abgeschnittene Pyramide hat zwei Basen - Polygone \(A_1A_2...A_n\) und \(B_1B_2...B_n\) , die einander ähnlich sind.

Die Höhe eines Pyramidenstumpfes ist eine Senkrechte, die von einem Punkt der oberen Basis zur Ebene der unteren Basis gezogen wird.

Wichtige Notizen

1. Alle Seitenflächen eines Pyramidenstumpfes sind Trapeze.

2. Das Segment, das die Mittelpunkte der Basen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes (d. h. einer Pyramide, die durch einen Abschnitt einer regelmäßigen Pyramide erhalten wird) verbindet, ist eine Höhe.

Einführung

Als wir anfingen, stereometrische Figuren zu studieren, berührten wir das Thema "Pyramide". Uns gefiel dieses Thema, weil die Pyramide sehr oft in der Architektur verwendet wird. Und da unser zukünftiger Beruf als Architektin von dieser Figur inspiriert ist, glauben wir, dass sie uns zu großartigen Projekten anspornen kann.

Die Stärke architektonischer Strukturen, ihre wichtigste Qualität. Assoziiert man Stärke erstens mit den Materialien, aus denen sie hergestellt werden, und zweitens mit den Merkmalen von Designlösungen, stellt sich heraus, dass die Stärke einer Struktur in direktem Zusammenhang mit der geometrischen Form steht, die ihr zugrunde liegt.

Mit anderen Worten, wir sprechen von der geometrischen Figur, die als Modell der entsprechenden architektonischen Form betrachtet werden kann. Es stellt sich heraus, dass die geometrische Form auch die Stärke der architektonischen Struktur bestimmt.

Die ägyptischen Pyramiden gelten seit langem als das langlebigste architektonische Bauwerk. Wie Sie wissen, haben sie die Form regelmäßiger viereckiger Pyramiden.

Gerade diese geometrische Form bietet durch die große Grundfläche die größte Stabilität. Andererseits sorgt die Form der Pyramide dafür, dass die Masse mit zunehmender Höhe über dem Boden abnimmt. Es sind diese beiden Eigenschaften, die die Pyramide stabil und daher stark unter den Bedingungen der Schwerkraft machen.

Ziel des Projekts: Neues über die Pyramiden erfahren, Wissen vertiefen und praktische Anwendungen finden.

Um dieses Ziel zu erreichen, mussten folgende Aufgaben gelöst werden:

Erfahren Sie historische Informationen über die Pyramide

Betrachten Sie die Pyramide als eine geometrische Figur

Finden Sie Anwendung im Leben und in der Architektur

Finden Sie Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen Pyramiden, die sich in verschiedenen Teilen der Welt befinden

Theoretischer Teil

Historische Informationen

Der Beginn der Geometrie der Pyramide wurde im alten Ägypten und in Babylon gelegt, aber im alten Griechenland aktiv entwickelt. Der erste, der feststellte, wie groß das Volumen der Pyramide ist, war Demokrit, und Eudoxus von Knidus bewies es. Der antike griechische Mathematiker Euklid systematisierte das Wissen über die Pyramide im XII. Band seiner "Anfänge" und brachte auch die erste Definition der Pyramide heraus: eine Körperfigur, die von Ebenen begrenzt wird, die an einem Punkt von einer Ebene zusammenlaufen.

Die Gräber der ägyptischen Pharaonen. Die größten von ihnen - die Pyramiden von Cheops, Khafre und Mikerin in El Gizeh galten in der Antike als eines der sieben Weltwunder. Die Errichtung der Pyramide, in der bereits Griechen und Römer ein Denkmal für den beispiellosen Königsstolz und die Grausamkeit sahen, die das gesamte Volk Ägyptens zu sinnlosem Bauen verurteilte, war der wichtigste Kultakt und sollte offenbar Ausdruck die mystische Identität des Landes und seines Herrschers. Die Bevölkerung des Landes arbeitete in der von landwirtschaftlicher Arbeit freien Zeit des Jahres am Bau des Grabes. Eine Reihe von Texten zeugen von der Aufmerksamkeit und Sorgfalt, die die Könige selbst (wenn auch aus späterer Zeit) dem Bau ihres Grabes und seiner Erbauer widmeten. Bekannt ist auch die besondere Kult-Ehrung, die sich als Pyramide selbst herausstellte.

Grundlegendes Konzept

Pyramide Es wird ein Polyeder genannt, dessen Basis ein Polygon ist und dessen verbleibende Flächen Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt sind.

Apothema- die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, gezeichnet von ihrer Spitze;

Seitenflächen- oben zusammenlaufende Dreiecke;

Seitenrippen- gemeinsame Seiten der Seitenflächen;

Spitze der Pyramide- ein Punkt, der die Seitenkanten verbindet und nicht in der Ebene der Basis liegt;

Höhe- ein Segment einer Senkrechten, das durch die Spitze der Pyramide zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden dieses Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);

Diagonalschnitt einer Pyramide- Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;

Base- ein Polygon, das nicht zur Spitze der Pyramide gehört.

Die Haupteigenschaften der richtigen Pyramide

Seitenkanten, Seitenflächen und Apotheme sind jeweils gleich.

Die Diederwinkel an der Basis sind gleich.

Die Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Basiseckpunkten gleich weit entfernt.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt.

Grundlegende Pyramidenformeln

Der Bereich der seitlichen und vollen Oberfläche der Pyramide.

Die Fläche der Seitenfläche der Pyramide (voll und abgeschnitten) ist die Summe der Flächen aller ihrer Seitenflächen, die Gesamtfläche ist die Summe der Flächen aller ihrer Flächen.

Satz: Die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich dem halben Produkt aus dem Umfang der Basis und dem Apothem der Pyramide.

p- Umfang der Basis;

h- Apothem.

Die Fläche der Seiten- und Vollflächen eines Pyramidenstumpfes.

p1, p 2 - Basisperimeter;

h- Apothem.

R- Gesamtfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S-Seite- Bereich der Seitenfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S1 + S2- Grundfläche

Pyramidenvolumen

Bilden Die Volumenskala wird für Pyramiden jeglicher Art verwendet.

H ist die Höhe der Pyramide.

Winkel der Pyramide

Die Winkel, die von der Seitenfläche und der Basis der Pyramide gebildet werden, heißen Diederwinkel an der Basis der Pyramide.

Ein Diederwinkel wird durch zwei Senkrechte gebildet.

Um diesen Winkel zu bestimmen, müssen Sie häufig den Satz der drei Senkrechten verwenden.

Die Winkel, die durch eine Seitenkante und ihre Projektion auf die Ebene der Basis gebildet werden, werden als bezeichnet Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis.

Der Winkel, der von zwei Seitenflächen gebildet wird, wird genannt Diederwinkel am seitlichen Rand der Pyramide.

Der Winkel, der durch zwei Seitenkanten einer Fläche der Pyramide gebildet wird, wird genannt Ecke an der Spitze der Pyramide.

Abschnitte der Pyramide

Die Oberfläche einer Pyramide ist die Oberfläche eines Polyeders. Jede ihrer Flächen ist eine Ebene, daher ist der durch die Sekantenebene gegebene Abschnitt der Pyramide eine unterbrochene Linie, die aus separaten geraden Linien besteht.

Diagonalschnitt

Der Schnitt einer Pyramide durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht auf derselben Fläche liegen, wird als Pyramide bezeichnet Diagonalschnitt Pyramiden.

Parallele Abschnitte

Satz:

Wenn die Pyramide von einer zur Basis parallelen Ebene gekreuzt wird, werden die Seitenkanten und Höhen der Pyramide durch diese Ebene in proportionale Teile geteilt;

Der Schnitt dieser Ebene ist ein Polygon ähnlich der Basis;

Die Flächen des Abschnitts und der Basis verhalten sich zueinander wie die Quadrate ihrer Abstände von der Spitze.

Arten von Pyramiden

Korrekte Pyramide- eine Pyramide, deren Basis ein regelmäßiges Polygon ist und deren Spitze in die Mitte der Basis projiziert wird.

An der richtigen Pyramide:

1. Seitenrippen sind gleich

2. Seitenflächen sind gleich

3. Apotheme sind gleich

4. Diederwinkel an der Basis sind gleich

5. Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich

6. jeder Höhenpunkt ist von allen Basiseckpunkten gleich weit entfernt

7. jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt

Pyramidenstumpf- der Teil der Pyramide, der zwischen ihrer Basis und einer zur Basis parallelen Schnittebene eingeschlossen ist.

Die Basis und der entsprechende Abschnitt eines Pyramidenstumpfes werden genannt Basen eines Pyramidenstumpfes.

Eine Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zur Ebene einer anderen gezogen wird, heißt die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Aufgaben

Nr. 1. In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist Punkt O die Mitte der Basis, SO = 8 cm, BD = 30 cm. Finden Sie die Seitenkante SA.

Probleme lösen

Nr. 1. In einer regelmäßigen Pyramide sind alle Flächen und Kanten gleich.

Betrachten wir OSB: OSB-rechteckiges Rechteck, weil.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pyramide in der Architektur

Pyramide - eine monumentale Struktur in Form einer gewöhnlichen regelmäßigen geometrischen Pyramide, bei der die Seiten an einem Punkt zusammenlaufen. Je nach funktionalem Zweck waren die Pyramiden in der Antike ein Ort der Bestattung oder Anbetung. Die Basis einer Pyramide kann dreieckig, viereckig oder polygonal mit einer beliebigen Anzahl von Ecken sein, aber die häufigste Version ist die viereckige Basis.

Es ist eine beträchtliche Anzahl von Pyramiden bekannt, die von verschiedenen Kulturen der Antike gebaut wurden, hauptsächlich als Tempel oder Denkmäler. Die größten Pyramiden sind die ägyptischen Pyramiden.

Überall auf der Erde sieht man architektonische Strukturen in Form von Pyramiden. Pyramidenbauten erinnern an die Antike und sehen sehr schön aus.

Die ägyptischen Pyramiden sind die größten Baudenkmäler des alten Ägypten, unter denen eines der „Sieben Weltwunder“ die Cheops-Pyramide ist. Vom Fuß bis zur Spitze erreicht er 137,3 m, und bevor er die Spitze verlor, betrug seine Höhe 146,7 m.

Das Gebäude des Radiosenders in der Hauptstadt der Slowakei, das einer umgekehrten Pyramide ähnelt, wurde 1983 erbaut. Neben Büros und Serviceräumen befindet sich im Inneren des Volumens ein ziemlich geräumiger Konzertsaal, der eine der größten Orgeln in der Slowakei hat .

Der Louvre, der „so still und majestätisch wie eine Pyramide ist“, hat im Laufe der Jahrhunderte viele Veränderungen erfahren, bevor er zum größten Museum der Welt wurde. Es wurde als Festung geboren, die 1190 von Philipp Augustus errichtet wurde und sich bald in eine königliche Residenz verwandelte. 1793 wurde der Palast ein Museum. Sammlungen werden durch Nachlässe oder Ankäufe bereichert.