GEMISCHTES PRODUKT AUS DREI VEKTOREN UND SEINE EIGENSCHAFTEN

Gemischte Arbeit drei Vektoren nennt man eine Zahl gleich . Festgelegt . Hier werden die ersten beiden Vektoren vektoriell multipliziert und anschließend wird der resultierende Vektor skalar mit dem dritten Vektor multipliziert. Offensichtlich handelt es sich bei einem solchen Produkt um eine bestimmte Anzahl.

Betrachten wir die Eigenschaften eines gemischten Produkts.

1. Geometrische Bedeutung gemischte Arbeit. Das gemischte Produkt von 3 Vektoren ist bis auf ein Vorzeichen gleich dem Volumen des auf diesen Vektoren aufgebauten Parallelepipeds, wie auf Kanten, d.h. .

   So und .

   

   Nachweisen. Lassen Sie uns die Vektoren vom gemeinsamen Ursprung beiseite legen und darauf ein Parallelepiped konstruieren. Lassen Sie uns das bezeichnen und notieren. Per Definition des Skalarprodukts

   Nehmen wir das an und bezeichnen es mit H Finden Sie die Höhe des Parallelepipeds.

   Also wann

   Wenn, dann ja. Somit, .

   Wenn wir diese beiden Fälle kombinieren, erhalten wir oder .

   Insbesondere aus dem Beweis dieser Eigenschaft folgt, dass, wenn das Vektortripel rechtshändig ist, das gemischte Produkt ist, und wenn es linkshändig ist, dann.

2. Für alle Vektoren gilt die Gleichheit

   Der Beweis dieser Eigenschaft folgt aus Eigenschaft 1. Tatsächlich ist es leicht zu zeigen, dass und . Außerdem werden die Zeichen „+“ und „–“ gleichzeitig genommen, weil Die Winkel zwischen den Vektoren und und und sind sowohl spitz als auch stumpf.

3. Wenn zwei beliebige Faktoren neu angeordnet werden, ändert das gemischte Produkt das Vorzeichen.

   Wenn wir tatsächlich ein gemischtes Produkt betrachten, dann zum Beispiel oder

4. Ein gemischtes Produkt genau dann, wenn einer der Faktoren gleich Null ist oder die Vektoren koplanar sind.

   Nachweisen.

   Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Koplanarität von 3 Vektoren ist also, dass ihr gemischtes Produkt gleich Null ist. Darüber hinaus folgt, dass drei Vektoren eine Basis im Raum bilden, wenn .

   Wenn die Vektoren in Koordinatenform angegeben werden, kann gezeigt werden, dass ihr gemischtes Produkt durch die Formel ermittelt wird:

   .

   Somit ist das gemischte Produkt gleich der Determinante dritter Ordnung, die die Koordinaten des ersten Vektors in der ersten Zeile, die Koordinaten des zweiten Vektors in der zweiten Zeile und die Koordinaten des dritten Vektors in der dritten Zeile hat.

   Beispiele.

ANALYTISCHE GEOMETRIE IM RAUM

Die gleichung F(x, y, z)= 0 definiert im Raum Oxyz etwas Oberfläche, d.h. Ort der Punkte, deren Koordinaten x, y, z diese Gleichung erfüllen. Diese Gleichung wird Oberflächengleichung genannt und x, y, z– aktuelle Koordinaten.

Allerdings wird die Oberfläche oft nicht durch eine Gleichung angegeben, sondern als eine Menge von Punkten im Raum, die die eine oder andere Eigenschaft haben. In diesem Fall ist es notwendig, die Gleichung der Oberfläche anhand ihrer geometrischen Eigenschaften zu finden.

FLUGZEUG.

NORMALER FLUGZEUGVEKTOR.

GLEICHUNG EINES FLUGZEUGS, DAS DURCH EINEN BESTIMMTEN PUNKT FLIEGT

Betrachten wir eine beliebige Ebene σ im Raum. Seine Position wird durch die Angabe eines Vektors senkrecht zu dieser Ebene und eines festen Punktes bestimmt M0(x 0, y 0, z 0), in der σ-Ebene liegend.

Der Vektor senkrecht zur Ebene σ heißt normal Vektor dieser Ebene. Der Vektor soll Koordinaten haben.

Lassen Sie uns die Gleichung der Ebene σ herleiten, die durch diesen Punkt verläuft M0 und einen Normalenvektor haben. Nehmen Sie dazu einen beliebigen Punkt auf der Ebene σ M(x, y, z) und betrachte den Vektor.

Für jeden Punkt MО σ ist ein Vektor, daher ist ihr Skalarprodukt gleich Null. Diese Gleichheit ist die Bedingung, dass der Punkt MО σ. Sie gilt für alle Punkte dieser Ebene und wird verletzt, sobald der Punkt erreicht ist M wird außerhalb der σ-Ebene liegen.

Wenn wir die Punkte durch den Radiusvektor bezeichnen M, – Radiusvektor des Punktes M0, dann kann die Gleichung in der Form geschrieben werden

Diese Gleichung heißt Vektor Ebenengleichung. Schreiben wir es in Koordinatenform. Seit damals

Wir haben also die Gleichung der Ebene erhalten, die durch diesen Punkt verläuft. Um also eine Gleichung einer Ebene zu erstellen, müssen Sie die Koordinaten des Normalenvektors und die Koordinaten eines auf der Ebene liegenden Punktes kennen.

Beachten Sie, dass die Ebenengleichung eine Gleichung 1. Grades in Bezug auf die aktuellen Koordinaten ist x, y Und z.

Beispiele.

ALLGEMEINE GLEICHUNG DES FLUGZEUGS

Es kann gezeigt werden, dass jede Gleichung ersten Grades in Bezug auf kartesische Koordinaten gilt x, y, z stellt die Gleichung einer bestimmten Ebene dar. Diese Gleichung wird geschrieben als:

Ax+By+Cz+D=0

und heißt allgemeine Gleichung Ebene und die Koordinaten A, B, C Hier sind die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene.

Betrachten wir Sonderfälle der allgemeinen Gleichung. Lassen Sie uns herausfinden, wie sich die Ebene relativ zum Koordinatensystem befindet, wenn einer oder mehrere Koeffizienten der Gleichung Null werden.

A ist die Länge des Segments, das von der Ebene auf der Achse abgeschnitten wird Ochse. Ebenso lässt sich das zeigen B Und C– Längen der Segmente, die von der betrachteten Ebene auf den Achsen abgeschnitten werden Oy Und Oz.

Es ist praktisch, die Gleichung einer Ebene in Segmenten zu verwenden, um Ebenen zu konstruieren.

Dieser Online-Rechner berechnet das gemischte Produkt von Vektoren. Eine detaillierte Lösung wird gegeben. Um ein gemischtes Vektorprodukt zu berechnen, wählen Sie die Methode zur Darstellung von Vektoren (durch Koordinaten oder durch zwei Punkte), geben Sie Daten in die Zellen ein und klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“.

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Anweisungen zur Dateneingabe. Zahlen werden als ganze Zahlen (Beispiele: 487, 5, -7623 usw.), Dezimalzahlen (z. B. 67, 102,54 usw.) oder Brüche eingegeben. Der Bruch muss in der Form a/b eingegeben werden, wobei a und b (b>0) ganze Zahlen oder Dezimalzahlen sind. Beispiele 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 usw.

Gemischtes Produkt von Vektoren (Theorie)

Gemischtes Stück drei Vektoren ist die Zahl, die durch Skalarprodukt des Ergebnisses des Vektorprodukts der ersten beiden Vektoren und des dritten Vektors erhalten wird. Mit anderen Worten, wenn drei Vektoren gegeben sind a, b Und C, um dann das gemischte Produkt dieser Vektoren zu erhalten, zuerst die ersten beiden Vektoren und den resultierenden Vektor [ ab] wird mit dem Vektor skalar multipliziert C.

Gemischtes Produkt aus drei Vektoren a, b Und C wie folgt bezeichnet: ABC oder so ( ABC). Dann können wir schreiben:

ABC=([ab],C)

Bevor Sie einen Satz formulieren, der die geometrische Bedeutung eines gemischten Produkts darstellt, machen Sie sich mit den Konzepten rechtes Tripel, linkes Tripel, rechtes Koordinatensystem, linkes Koordinatensystem (Definitionen 2, 2" und 3 auf der Seite Vektorprodukt von Vektoren online) vertraut.

Der Bestimmtheit halber betrachten wir im Folgenden nur rechtshändige Koordinatensysteme.

Satz 1. Gemischtes Produkt von Vektoren ([ab],C) ist gleich dem Volumen eines Parallelipeds, das aus auf einen gemeinsamen Ursprung reduzierten Vektoren konstruiert ist a, b, c, mit einem Pluszeichen versehen, wenn drei a, b, c rechts, und mit einem Minuszeichen, wenn drei a, b, c links Wenn die Vektoren a, b, c sind koplanar, dann ([ ab],C) ist gleich Null.

Folgerung 1. Es gilt folgende Gleichheit:

Deshalb reicht es uns, das zu beweisen

([ab],C)=([v. Chr],A)

(3)

Aus Ausdruck (3) geht hervor, dass der linke und der rechte Teil gleich dem Volumen des Parallelipeds sind. Aber die Vorzeichen der rechten und linken Seite stimmen überein, da es sich um Vektortripel handelt ABC Und bca haben die gleiche Ausrichtung.

Die bewiesene Gleichheit (1) ermöglicht es uns, das gemischte Produkt dreier Vektoren zu schreiben a, b, c nur in der Form ABC, ohne anzugeben, welche zwei Vektoren vektoriell mit den ersten beiden oder den letzten beiden multipliziert werden.

Folgerung 2. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Koplanarität dreier Vektoren ist, dass ihr gemischtes Produkt gleich Null ist.

Der Beweis folgt aus Satz 1. Wenn die Vektoren tatsächlich koplanar sind, ist das gemischte Produkt dieser Vektoren gleich Null. Wenn umgekehrt das gemischte Produkt gleich Null ist, folgt die Koplanarität dieser Vektoren aus Satz 1 (da das Volumen eines Parallelipeds, das aus auf einen gemeinsamen Ursprung reduzierten Vektoren aufgebaut ist, gleich Null ist).

Folgerung 3. Das gemischte Produkt von drei Vektoren, von denen zwei zusammenfallen, ist gleich Null.

Wirklich. Wenn zwei der drei Vektoren zusammenfallen, sind sie koplanar. Daher ist das gemischte Produkt dieser Vektoren gleich Null.

Gemischtes Produkt von Vektoren in kartesischen Koordinaten

Satz 2. Seien drei Vektoren a, b Und C definiert durch ihre kartesischen rechtwinkligen Koordinaten

Nachweisen. Gemischtes Stück ABC gleich dem Skalarprodukt von Vektoren [ ab] Und C. Kreuzprodukt von Vektoren [ ab] in kartesischen Koordinaten wird nach der Formel () berechnet:

Der letzte Ausdruck kann mit Determinanten zweiter Ordnung geschrieben werden:

Es ist notwendig und ausreichend, dass die Determinante gleich Null ist, deren Zeilen mit den Koordinaten dieser Vektoren gefüllt sind, d. h.:

.

(7)

Um die Folgerung zu beweisen, genügt es, Formel (4) und Folgerung 2 zu betrachten.

Gemischtes Vektorprodukt mit Beispielen

Beispiel 1. Finden Sie ein gemischtes Produkt von Vektoren abс, Wo

Gemischtes Produkt von Vektoren a, b, c gleich der Determinante der Matrix L. Berechnen wir die Determinante der Matrix L, Erweitern der Determinante entlang Linie 1:

Vektorendpunkt A.

Gemischtes (oder vektorskalares) Produkt drei Vektoren a, b, c (in der angegebenen Reihenfolge genommen) nennt man das Skalarprodukt des Vektors a und das Vektorprodukt b x c, also die Zahl a(b x c) oder, was dasselbe ist, (b x c)a.
Bezeichnung: abc.

Zweck. Der Online-Rechner dient zur Berechnung des Mischprodukts von Vektoren. Die resultierende Lösung wird in einer Word-Datei gespeichert. Zusätzlich wird eine Lösungsvorlage in Excel erstellt.

Anzeichen der Koplanarität von Vektoren

Drei Vektoren (oder eine größere Anzahl) heißen koplanar, wenn sie, auf einen gemeinsamen Ursprung reduziert, in derselben Ebene liegen.
Wenn mindestens einer der drei Vektoren Null ist, gelten die drei Vektoren auch als koplanar.

Zeichen der Koplanarität. Wenn das System a, b, c rechtshändig ist, dann abc>0 ; wenn übrig, dann abc Geometrische Bedeutung des Mischprodukts. Das gemischte Produkt abc dreier nicht koplanarer Vektoren a, b, c ist gleich dem Volumen des aus den Vektoren a, b, c aufgebauten Parallelepipeds, mit einem Pluszeichen versehen, wenn das System a, b, c rechtshändig ist , und mit einem Minuszeichen, wenn dieses System linkshändig ist.

Eigenschaften eines Mischprodukts

1. Wenn die Faktoren zirkulär neu angeordnet werden, ändert sich das gemischte Produkt nicht; wenn zwei Faktoren neu angeordnet werden, wird das Vorzeichen umgekehrt: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Es ergibt sich aus der geometrischen Bedeutung.
2. (a+b)cd=acd+bcd (Verteilungseigenschaft). Erweitert sich auf beliebig viele Begriffe.
   Folgt aus der Definition eines gemischten Produkts.
3. (ma)bc=m(abc) (kombinative Eigenschaft in Bezug auf einen Skalarfaktor).
   Folgt aus der Definition eines gemischten Produkts. Diese Eigenschaften ermöglichen die Anwendung von Transformationen auf gemischte Produkte, die sich von gewöhnlichen algebraischen nur dadurch unterscheiden, dass die Reihenfolge der Faktoren nur unter Berücksichtigung des Vorzeichens des Produkts geändert werden kann.
4. Ein gemischtes Produkt, das mindestens zwei gleiche Faktoren hat, ist gleich Null: aab=0.

Beispiel Nr. 1. Finden Sie ein gemischtes Produkt. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Beispiel Nr. 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca. Alle Terme außer den beiden extremen sind gleich Null. Auch bca=abc . Daher ist (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Beispiel Nr. 3. Berechnen Sie das gemischte Produkt der drei Vektoren a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Lösung. Um das gemischte Produkt von Vektoren zu berechnen, muss die Determinante eines Systems aus Vektorkoordinaten ermittelt werden. Schreiben wir das System in das Formular.

Definition. Die Zahl [, ] heißt das gemischte Produkt eines geordneten Vektortripels, .

Wir bezeichnen: (,) = = [, ].

Da die Vektor- und Skalarprodukte an der Definition eines gemischten Produkts beteiligt sind, sind ihre gemeinsamen Eigenschaften die Eigenschaften eines gemischten Produkts.

Beispiel: () = ().

Satz 1. Das gemischte Produkt dreier koplanarer Vektoren ist Null.

Nachweisen. Wenn ein gegebenes Vektortripel koplanar ist, dann ist eine der folgenden Bedingungen für die Vektoren erfüllt.

• 1. In einem gegebenen Vektortripel gibt es mindestens einen Nullvektor. In diesem Fall ist der Beweis des Satzes offensichtlich.
• 2. In einem gegebenen Vektortripel gibt es mindestens ein Paar kollinearer Vektoren. Wenn ||, dann ist [, ] = 0, da [, ]= . Wenn

|| , dann [, ] und [, ] = 0. Ebenso, wenn || .

3. Dieses Vektortripel sei koplanar, aber die Fälle 1 und 2 gelten nicht. Dann steht der Vektor [, ] senkrecht auf der Ebene, zu der alle drei Vektoren parallel sind.

Daher sind [, ] und (,) = 0.

Satz 2. Lassen Sie die Vektoren (), (), () in der Basis () angeben. Dann

Nachweisen. Gemäß der Definition eines Mischprodukts

(,) = [, ] = с 1 - с 2 + с 3 = .

Aufgrund der Eigenschaften der Determinante gilt:

Der Satz ist bewiesen.

Satz 3. (,) = [, ].

Nachweisen. Als

und aufgrund der Eigenschaften der Determinante gilt:

(,) = = = [, ] = [, ].

Der Satz ist bewiesen.

Satz 4. Der Modul des gemischten Produkts eines nicht koplanaren Vektortripels ist numerisch gleich dem Volumen eines Parallelepipeds, das aus Vertretern dieser Vektoren mit einem gemeinsamen Ursprung aufgebaut ist.

Nachweisen. Wählen wir einen beliebigen Punkt O und stellen wir ihm die Vertreter dieser Vektoren beiseite: : , . In der Ebene OAB konstruieren wir ein Parallelogramm-OADB und durch Hinzufügen des Kanten-OS konstruieren wir ein Parallelepiped-OADBCADB. Das Volumen V dieses Parallelepipeds ist gleich dem Produkt aus der Fläche der Basis OADB und der Länge der Höhe des Parallelepipeds OO.

Die Fläche des Parallelogramms OADB beträgt |[, ]|. Andererseits

|OO| = || |cos |, wobei der Winkel zwischen den Vektoren und [, ] ist.

Betrachten Sie das gemischte Produktmodul:

|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = V.

Der Satz ist bewiesen.

Anmerkung 1. Wenn das gemischte Produkt eines Vektortripels gleich Null ist, dann ist dieses Vektortripel linear abhängig.

Anmerkung 2. Wenn das gemischte Produkt eines gegebenen Vektortripels positiv ist, dann ist das Vektortripel rechts, und wenn es negativ ist, dann ist das Vektortripel links. Tatsächlich stimmt das Vorzeichen des gemischten Produkts mit dem Vorzeichen von cos überein, und die Größe des Winkels bestimmt die Ausrichtung des Tripels. Wenn der Winkel spitz ist, dann ist die Drei rechts, und wenn es ein stumpfer Winkel ist, dann ist die Drei links.

Beispiel 1. Gegeben sei das Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 und die Koordinaten der folgenden Vektoren in der Orthonormalbasis: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).

Finden Sie: 1) Volumen des Parallelepipeds;

• 2) Flächenbereiche ABCD und CDD 1 C;
• 3) Kosinus des Diederwinkels zwischen den Ebenen ABC und CDD 1.

Lösung.

Dieses Parallelepiped ist auf Vektoren aufgebaut

Somit ist sein Volumen gleich dem Modul des gemischten Produkts dieser Vektoren, d.h.

Also, V Dampf = 12 Kubikeinheiten.

Denken Sie daran, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich der Länge des Vektorprodukts der Vektoren ist, auf denen es aufgebaut ist.

Lassen Sie uns die Notation einführen: , dann

Daher (6; - 8; - 2), woher

Das. Quadrateinheiten

Ebenfalls,

Dann lass es sein

woher (15; - 20; 1) und

Das bedeutet Quadratmetereinheiten.

Führen wir die folgende Notation ein: pl. (ABC)=, pl. (DCC 1)=.

Nach der Definition eines Vektorprodukts gilt:

Dies bedeutet, dass die folgende Gleichheit wahr ist:

Aus dem zweiten Punkt der Lösung ergibt sich:

Beweisen Sie, dass, wenn und zueinander senkrechte Einheitsvektoren sind, für alle Vektoren die folgende Gleichheit gilt:

Lösung.

Die Koordinaten der Vektoren seien orthonormal angegeben: ; . Denn aufgrund der Eigenschaft eines gemischten Produkts gilt:

Somit kann Gleichheit (1) in der folgenden Form geschrieben werden: , und dies ist eine der nachgewiesenen Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren und. Damit ist die Gültigkeit von Gleichheit (1) bewiesen.

Lösen der Nullversion der Testarbeit

Aufgabe Nr. 1

Der Vektor bildet Winkel und mit den Basisvektoren bzw. Bestimmen Sie den Winkel, den der Vektor mit dem Vektor bildet.

Lösung.

Konstruieren wir ein Parallelepiped aus Vektoren und auf einer Diagonale, sodass die Vektoren und gleich sind.

Dann ist in einem rechtwinkligen Dreieck mit einem rechten Winkel die Größe des Winkels gleich wo.

Ebenso ist in einem rechtwinkligen Dreieck mit einem rechten Winkel die Größe gleich, woher.

In einem rechtwinkligen Dreieck finden wir mit dem Satz des Pythagoras:

In einem rechtwinkligen Dreieck bilden Schenkel und Hypotenuse rechte Winkel. Der Winkel ist also gleich. Aber der Winkel ist gleich dem Winkel zwischen den Vektoren und. Somit ist das Problem gelöst.

Aufgabe Nr. 2.

In der Basis sind drei Vektoren angegeben. Beweisen Sie, dass das Viereck flach ist. Finden Sie seinen Bereich.

Lösung.

1. Wenn die Vektoren und koplanar sind, handelt es sich um ein flaches Viereck. Berechnen wir die Determinante, die aus den Koordinaten dieser Vektoren besteht.

Da die Determinante gleich Null ist, sind die Vektoren und koplanar, was bedeutet, dass das Viereck flach ist.

2. Beachten Sie, dass das Viereck daher und somit ein Trapez mit den Basen AB und CD ist.

Aufgrund der Vektorprodukteigenschaft gilt:

Finden des Vektorprodukts

Aufgabe Nr. 3. Finden Sie einen Vektor, der kollinear zum Vektor (2; 1; -2) ist und dessen Länge 5 beträgt.

Lösung.

Bezeichnen wir die Koordinaten des Vektors (x, y, z). Wie Sie wissen, haben kollineare Vektoren proportionale Koordinaten, und daher gilt:

x = 2t, y = t, z = ? 2t.

Entsprechend den Bedingungen des Problems || = 5 und in Koordinatenform:

Wenn wir Variablen durch den Parameter t ausdrücken, erhalten wir:

4t 2 +t 2 +4t 2 =25,

Auf diese Weise,

x = , y = , z = .

Wir haben zwei Lösungen erhalten.

In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Vektorprodukt von Vektoren Und gemischtes Produkt von Vektoren (sofortiger Link für diejenigen, die ihn brauchen). Es ist in Ordnung, manchmal kommt es vor, dass das vollkommene Glück zusätzlich dazu führt Skalarprodukt von Vektoren, es werden immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Es mag den Anschein haben, dass wir uns in den Dschungel der analytischen Geometrie begeben. Das ist nicht so. In diesem Abschnitt der höheren Mathematik gibt es im Allgemeinen wenig Holz, außer vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr gewöhnlich und einfach – kaum komplizierter als dasselbe Skalarprodukt, es wird sogar weniger typische Aufgaben geben. Das Wichtigste in der analytischen Geometrie ist, wie viele überzeugt sein werden oder bereits überzeugt sind, KEINE FEHLER BEI BERECHNUNGEN ZU MACHEN. Wiederholen Sie es wie einen Zauberspruch und Sie werden glücklich sein =)

Wenn Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, ist das egal, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies Grundkenntnisse über Vektoren wiederherzustellen oder wiederzuerlangen. Besser vorbereitete Leser können sich selektiv mit den Informationen vertraut machen; ich habe versucht, eine möglichst vollständige Sammlung von Beispielen zusammenzustellen, die häufig in der praktischen Arbeit zu finden sind

Was macht dich sofort glücklich? Als ich klein war, konnte ich zwei und sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt müssen Sie überhaupt nicht mehr jonglieren, da wir darüber nachdenken nur räumliche Vektoren, und flache Vektoren mit zwei Koordinaten werden weggelassen. Warum? So entstanden diese Aktionen – der Vektor und das gemischte Produkt von Vektoren werden definiert und funktionieren im dreidimensionalen Raum. Es ist schon einfacher!

Diese Operation beinhaltet, genau wie das Skalarprodukt zwei Vektoren. Das sollen unvergängliche Buchstaben sein.

Die Aktion selbst bezeichnet durch auf die folgende Weise: . Es gibt auch andere Optionen, aber ich bin es gewohnt, das Vektorprodukt von Vektoren auf diese Weise in eckigen Klammern mit einem Kreuz zu bezeichnen.

Und zwar sofort Frage: wenn in Skalarprodukt von Vektoren Es handelt sich um zwei Vektoren, und hier werden dann auch zwei Vektoren multipliziert Was ist der Unterschied? Der offensichtliche Unterschied liegt zunächst einmal im ERGEBNIS:

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Vektoren ist NUMBER:

Das Ergebnis des Kreuzprodukts von Vektoren ist VEKTOR: , das heißt, wir multiplizieren die Vektoren und erhalten wieder einen Vektor. Geschlossener Club. Daher stammt eigentlich auch der Name der Operation. In unterschiedlicher pädagogischer Literatur können die Bezeichnungen auch variieren; ich verwende den Buchstaben.

Definition von Kreuzprodukt

Zuerst erfolgt eine Definition mit Bild, dann Kommentare.

Definition: Vektorprodukt nichtkollinear Vektoren, in dieser Reihenfolge aufgenommen, genannt VECTOR, Länge was numerisch ist gleich der Fläche des Parallelogramms, auf diesen Vektoren aufgebaut; Vektor orthogonal zu Vektoren und ist so gerichtet, dass die Basis eine richtige Ausrichtung hat:

Lassen Sie uns die Definition Stück für Stück aufschlüsseln, hier gibt es eine Menge interessanter Dinge!

Daher können die folgenden wichtigen Punkte hervorgehoben werden:

1) Die ursprünglichen Vektoren, angezeigt durch rote Pfeile, per Definition nicht kollinear. Es ist angebracht, den Fall kollinearer Vektoren etwas später zu betrachten.

2) Es werden Vektoren genommen in einer streng definierten Reihenfolge: – „a“ wird mit „be“ multipliziert, nicht „sein“ mit „a“. Das Ergebnis der Vektormultiplikation ist VECTOR, was blau angezeigt wird. Wenn die Vektoren in umgekehrter Reihenfolge multipliziert werden, erhalten wir einen Vektor gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung (Himbeerfarbe). Das heißt, die Gleichheit ist wahr .

3) Machen wir uns nun mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts vertraut. Das ist ein sehr wichtiger Punkt! Die LÄNGE des blauen Vektors (und damit des purpurroten Vektors) ist numerisch gleich der FLÄCHE des aus den Vektoren aufgebauten Parallelogramms. In der Abbildung ist dieses Parallelogramm schwarz schattiert.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch und natürlich ist die Nennlänge des Vektorprodukts nicht gleich der Fläche des Parallelogramms.

Erinnern wir uns an eine der geometrischen Formeln: Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt benachbarter Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Basierend auf dem oben Gesagten gilt daher die Formel zur Berechnung der LÄNGE eines Vektorprodukts:

Ich betone, dass es in der Formel um die LÄNGE des Vektors geht und nicht um den Vektor selbst. Was ist die praktische Bedeutung? Und die Bedeutung ist, dass bei Problemen der analytischen Geometrie die Fläche eines Parallelogramms oft durch das Konzept eines Vektorprodukts ermittelt wird:

Erhalten wir die zweite wichtige Formel. Die Diagonale eines Parallelogramms (rote gestrichelte Linie) teilt es in zwei gleiche Dreiecke. Daher kann die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks (rote Schattierung) mit der Formel ermittelt werden:

4) Eine ebenso wichtige Tatsache ist, dass der Vektor orthogonal zu den Vektoren ist . Natürlich ist auch der entgegengesetzt gerichtete Vektor (Himbeerpfeil) orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren.

5) Der Vektor ist so gerichtet, dass Basis Es hat Rechts Orientierung. In der Lektion über Übergang auf eine neue Basis Ich habe ausführlich genug darüber gesprochen Ebenenausrichtung, und jetzt werden wir herausfinden, was Raumorientierung ist. Ich werde es dir an den Fingern erklären rechte Hand. Geistig kombinieren Zeigefinger mit Vektor und Mittelfinger mit Vektor. Ringfinger und kleiner Finger Drücken Sie es in Ihre Handfläche. Ergebend Daumen– Das Vektorprodukt wird nachgeschlagen. Dies ist eine rechtsorientierte Basis (in der Abbildung ist es diese). Ändern Sie nun die Vektoren ( Zeige- und Mittelfinger) an manchen Stellen dreht sich der Daumen um und das Vektorprodukt schaut bereits nach unten. Auch das ist eine rechtsorientierte Grundlage. Sie haben vielleicht eine Frage: Welche Basis hat die linke Orientierung? Den gleichen Fingern „zuweisen“. linke Hand Vektoren und erhalten die linke Basis und die linke Ausrichtung des Raums (in diesem Fall befindet sich der Daumen in Richtung des unteren Vektors). Im übertragenen Sinne „verdrehen“ oder orientieren diese Sockel den Raum in verschiedene Richtungen. Und dieses Konzept sollte nicht als weit hergeholt oder abstrakt betrachtet werden – zum Beispiel ändert sich die Ausrichtung des Raums durch den gewöhnlichsten Spiegel, und wenn man „das reflektierte Objekt aus dem Spiegel herauszieht“, dann im Allgemeinen Es wird nicht möglich sein, es mit dem „Original“ zu kombinieren. Halten Sie übrigens drei Finger an den Spiegel und analysieren Sie das Spiegelbild ;-)

...wie gut ist es, dass Sie es jetzt wissen rechts- und linksorientiert Grundlagen, denn die Aussagen einiger Dozenten zu einer Orientierungsänderung sind beängstigend =)

Kreuzprodukt kollinearer Vektoren

Die Definition wurde ausführlich besprochen, es bleibt noch herauszufinden, was passiert, wenn die Vektoren kollinear sind. Wenn die Vektoren kollinear sind, können sie auf einer Geraden platziert werden und unser Parallelogramm „faltet“ sich auch zu einer Geraden. Der Bereich davon, wie Mathematiker sagen, degenerieren Parallelogramm ist gleich Null. Dasselbe folgt aus der Formel: Der Sinus von Null oder 180 Grad ist gleich Null, was bedeutet, dass die Fläche Null ist

Also, wenn, dann Und . Bitte beachten Sie, dass das Vektorprodukt selbst gleich dem Nullvektor ist, aber in der Praxis wird dies oft vernachlässigt und es wird geschrieben, dass es auch gleich Null ist.

Ein Sonderfall ist das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst:

Mit dem Vektorprodukt können Sie die Kollinearität dreidimensionaler Vektoren überprüfen, wir werden unter anderem auch dieses Problem analysieren.

Um praktische Beispiele zu lösen, benötigen Sie möglicherweise trigonometrische Tabelle um daraus die Werte der Sinuswerte zu ermitteln.

Nun, lasst uns das Feuer anzünden:

Beispiel 1

a) Bestimmen Sie die Länge des Vektorprodukts von Vektoren, wenn

b) Finden Sie die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms, wenn

Lösung: Nein, das ist kein Tippfehler, ich habe die Ausgangsdaten in den Klauseln bewusst gleich gemacht. Denn das Design der Lösungen wird anders sein!

a) Entsprechend der Bedingung müssen Sie finden Länge Vektor (Kreuzprodukt). Nach der entsprechenden Formel:

Antwort:

Wenn Sie nach der Länge gefragt wurden, geben wir in der Antwort die Maßeinheiten an.

b) Entsprechend der Bedingung müssen Sie finden Quadrat auf Vektoren aufgebautes Parallelogramm. Die Fläche dieses Parallelogramms ist numerisch gleich der Länge des Vektorprodukts:

Antwort:

Bitte beachten Sie, dass sich die Antwort überhaupt nicht auf das Vektorprodukt bezieht; wir wurden danach gefragt Bereich der Figur, dementsprechend ist die Dimension quadratische Einheiten.

Wir schauen uns immer an, WAS wir je nach Erkrankung finden müssen, und formulieren darauf basierend klar Antwort. Es mag wie Literalismus erscheinen, aber unter den Lehrern gibt es viele Literalisten, und die Aufgabe hat gute Chancen, zur Überarbeitung zurückgegeben zu werden. Das ist zwar keine besonders weit hergeholte Spitzfindigkeit – wenn die Antwort falsch ist, entsteht der Eindruck, dass die Person einfache Dinge nicht versteht und/oder den Kern der Aufgabe nicht verstanden hat. Dieser Punkt muss bei der Lösung von Problemen in der höheren Mathematik und auch in anderen Fächern stets unter Kontrolle gehalten werden.

Wo ist der große Buchstabe „en“ geblieben? Im Prinzip hätte es der Lösung zusätzlich beigefügt werden können, aber um den Eintrag zu verkürzen, habe ich darauf verzichtet. Ich hoffe, jeder versteht das und ist eine Bezeichnung für dasselbe.

Ein beliebtes Beispiel für eine DIY-Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks durch das Vektorprodukt finden Sie in den Kommentaren zur Definition. Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

In der Praxis ist die Aufgabe wirklich sehr häufig; Dreiecke können einen im Allgemeinen quälen.

Um andere Probleme zu lösen, benötigen wir:

Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren

Einige Eigenschaften des Vektorprodukts haben wir bereits betrachtet, ich werde sie jedoch in diese Liste aufnehmen.

Für beliebige Vektoren und eine beliebige Zahl gelten die folgenden Eigenschaften:

1) In anderen Informationsquellen wird dieser Punkt in den Eigenschaften meist nicht hervorgehoben, ist aber aus praktischer Sicht sehr wichtig. So lass es sein.

2) – Die Eigenschaft wird oben auch besprochen, manchmal wird sie auch genannt Antikommutativität. Mit anderen Worten: Die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig.

3) – assoziativ oder assoziativ Vektorproduktgesetze. Konstanten können leicht außerhalb des Vektorprodukts verschoben werden. Was sollen sie dort wirklich tun?

4) – Verteilung oder verteilend Vektorproduktgesetze. Auch beim Öffnen der Klammern gibt es keine Probleme.

Schauen wir uns zur Veranschaulichung ein kurzes Beispiel an:

Beispiel 3

Finden Sie, ob

Lösung: Die Bedingung erfordert wiederum das Ermitteln der Länge des Vektorprodukts. Lass uns unsere Miniatur bemalen:

(1) Gemäß den Assoziationsgesetzen nehmen wir die Konstanten außerhalb des Bereichs des Vektorprodukts.

(2) Wir verschieben die Konstante aus dem Modul heraus und das Modul „frisst“ das Minuszeichen. Die Länge darf nicht negativ sein.

(3) Der Rest ist klar.

Antwort:

Es ist Zeit, mehr Holz ins Feuer zu legen:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Lösung: Ermitteln Sie die Fläche des Dreiecks mithilfe der Formel . Der Haken daran ist, dass die Vektoren „tse“ und „de“ selbst als Summen von Vektoren dargestellt werden. Der Algorithmus hier ist Standard und erinnert ein wenig an die Beispiele Nr. 3 und 4 der Lektion Skalarprodukt von Vektoren. Der Übersichtlichkeit halber unterteilen wir die Lösung in drei Phasen:

1) Im ersten Schritt drücken wir das Vektorprodukt tatsächlich durch das Vektorprodukt aus Lassen Sie uns einen Vektor als Vektor ausdrücken. Zur Länge noch kein Wort!

(1) Ersetzen Sie die Ausdrücke der Vektoren.

(2) Mithilfe der Verteilungsgesetze öffnen wir die Klammern gemäß der Regel der Multiplikation von Polynomen.

(3) Mithilfe assoziativer Gesetze verschieben wir alle Konstanten über die Vektorprodukte hinaus. Mit etwas Erfahrung können die Schritte 2 und 3 gleichzeitig durchgeführt werden.

(4) Der erste und der letzte Term sind aufgrund der netten Eigenschaft gleich Null (Nullvektor). Im zweiten Term nutzen wir die Eigenschaft der Antikommutativität eines Vektorprodukts:

(5) Wir präsentieren ähnliche Begriffe.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass der Vektor durch einen Vektor ausgedrückt wurde, was erreicht werden musste:

2) Im zweiten Schritt ermitteln wir die Länge des benötigten Vektorprodukts. Diese Aktion ähnelt Beispiel 3:

3) Finden Sie die Fläche des erforderlichen Dreiecks:

Die Stufen 2-3 der Lösung hätten in einer Zeile geschrieben werden können.

Antwort:

Das betrachtete Problem kommt in Tests recht häufig vor. Hier ein Beispiel, wie Sie es selbst lösen können:

Beispiel 5

Finden Sie, ob

Eine kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Mal sehen, wie aufmerksam Sie beim Studium der vorherigen Beispiele waren ;-)

Kreuzprodukt von Vektoren in Koordinaten

, angegeben auf Orthonormalbasis, ausgedrückt durch die Formel:

Die Formel ist wirklich einfach: In die oberste Zeile der Determinante schreiben wir die Koordinatenvektoren, in die zweite und dritte Zeile „tragen“ wir die Koordinaten der Vektoren und setzen in strenger Reihenfolge– zuerst die Koordinaten des „ve“-Vektors, dann die Koordinaten des „double-ve“-Vektors. Wenn die Vektoren in einer anderen Reihenfolge multipliziert werden müssen, sollten die Zeilen vertauscht werden:

Beispiel 10

Prüfen Sie, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:
A)
B)

Lösung: Die Prüfung basiert auf einer der Aussagen dieser Lektion: Wenn die Vektoren kollinear sind, dann ist ihr Vektorprodukt gleich Null (Nullvektor): .

a) Finden Sie das Vektorprodukt:

Somit sind die Vektoren nicht kollinear.

b) Finden Sie das Vektorprodukt:

Antwort: a) nicht kollinear, b)

Hier finden Sie vielleicht alle grundlegenden Informationen zum Vektorprodukt von Vektoren.

Dieser Abschnitt wird nicht sehr groß sein, da es nur wenige Probleme gibt, wenn das gemischte Produkt von Vektoren verwendet wird. Tatsächlich hängt alles von der Definition, der geometrischen Bedeutung und einigen Arbeitsformeln ab.

Ein gemischtes Vektorprodukt ist das Produkt von drei Vektoren:

Sie reihten sich also wie ein Zug auf und können es kaum erwarten, identifiziert zu werden.

Zunächst noch einmal eine Definition und ein Bild:

Definition: Gemischte Arbeit nicht koplanar Vektoren, in dieser Reihenfolge aufgenommen, angerufen quaderförmiges Volumen, aufgebaut auf diesen Vektoren, ausgestattet mit einem „+“-Zeichen, wenn die Basis rechts ist, und einem „–“-Zeichen, wenn die Basis links ist.

Machen wir die Zeichnung. Für uns unsichtbare Linien sind mit gestrichelten Linien gezeichnet:

Lassen Sie uns in die Definition eintauchen:

2) Es werden Vektoren genommen in einer bestimmten Reihenfolge, das heißt, die Neuordnung der Vektoren im Produkt erfolgt, wie Sie sich vorstellen können, nicht ohne Konsequenzen.

3) Bevor ich auf die geometrische Bedeutung eingehe, möchte ich auf eine offensichtliche Tatsache hinweisen: Das gemischte Produkt von Vektoren ist eine ZAHL: . In der Lehrliteratur kann das Design etwas anders sein; ich bin es gewohnt, ein gemischtes Produkt mit zu bezeichnen und das Ergebnis von Berechnungen mit dem Buchstaben „pe“.

A-Priorat Das Mischprodukt ist das Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf Vektoren (die Abbildung ist mit roten Vektoren und schwarzen Linien gezeichnet). Das heißt, die Zahl entspricht dem Volumen eines bestimmten Parallelepipeds.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch.

4) Machen wir uns keine Gedanken mehr über das Konzept der Orientierung von Basis und Raum. Der letzte Teil bedeutet, dass dem Volumen ein Minuszeichen hinzugefügt werden kann. Vereinfacht ausgedrückt kann ein gemischtes Produkt negativ sein: .

Direkt aus der Definition folgt die Formel zur Berechnung des Volumens eines auf Vektoren aufgebauten Parallelepipeds.