Das Thema arithmetisches und geometrisches Mittel ist im Mathematikprogramm für die Klassen 6-7 enthalten. Da der Absatz recht einfach zu verstehen ist, ist er schnell bestanden und am Ende des Schuljahres vergessen die Schüler ihn. Für das Bestehen der Prüfung sowie für internationale SAT-Prüfungen sind jedoch Kenntnisse in grundlegender Statistik erforderlich. Und für den Alltag schadet entwickeltes analytisches Denken nie.

Wie man das arithmetische und geometrische Mittel von Zahlen berechnet

Angenommen, es gibt eine Reihe von Zahlen: 11, 4 und 3. Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Zahlen dividiert durch die Anzahl der gegebenen Zahlen. Das heißt, bei den Zahlen 11, 4, 3 lautet die Antwort 6. Wie erhält man 6?

Lösung: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Der Nenner muss eine Zahl enthalten, die gleich der Anzahl der Zahlen ist, deren Durchschnitt gefunden werden soll. Die Summe ist durch 3 teilbar, da es drei Terme gibt.

Jetzt müssen wir uns mit dem geometrischen Mittel befassen. Nehmen wir an, es gibt eine Reihe von Zahlen: 4, 2 und 8.

Das geometrische Mittel ist das Produkt aller gegebenen Zahlen, das unter einer Wurzel mit einem Grad gleich der Anzahl der gegebenen Zahlen steht, dh im Fall der Zahlen 4, 2 und 8 ist die Antwort 4. So ist es passiert :

Lösung: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Bei beiden Varianten wurden ganze Antworten erhalten, da spezielle Zahlen als Beispiel genommen wurden. Dies ist nicht immer der Fall. In den meisten Fällen muss die Antwort gerundet oder an der Wurzel belassen werden. Beispielsweise ist für die Zahlen 11, 7 und 20 das arithmetische Mittel ≈ 12,67 und das geometrische Mittel ∛1540. Und für die Zahlen 6 und 5 lauten die Antworten jeweils 5,5 und √30.

Kann es passieren, dass das arithmetische Mittel gleich dem geometrischen Mittel wird?

Natürlich kann es. Aber nur in zwei Fällen. Wenn es eine Reihe von Zahlen gibt, die nur aus Einsen oder Nullen bestehen. Bemerkenswert ist auch, dass die Antwort nicht von ihrer Anzahl abhängt.

Beweis mit Einheiten: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (arithmetisches Mittel).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrischer Mittelwert).

Beweis mit Nullstellen: (0 + 0) / 2=0 (arithmetisches Mittel).

√(0 × 0) = 0 (geometrischer Mittelwert).

Es gibt keine andere Möglichkeit und es kann keine geben.

Geometrisches Mittel angewandt in den Fällen, in denen die einzelnen Werte des Attributs relative Werte der Dynamik sind, die in Form von Kettenwerten aufgebaut sind, im Verhältnis zum vorherigen Niveau jedes Niveaus in der Reihe der Dynamik, d.h. charakterisiert das durchschnittliche Wachstum Faktor.

Der Modus und der Median werden sehr oft in statistischen Problemen berechnet und sind zusätzliche Merkmale der Grundgesamtheit und werden in der mathematischen Statistik verwendet, um die Art der Verteilungsreihen zu analysieren, die normal, asymmetrisch, symmetrisch usw. sein können.

Neben dem Median werden die Werte des Attributs berechnet, wobei die Bevölkerung in vier gleiche Teile geteilt wird - Viertel, in fünf Teile - Quintel, in zehn gleiche Teile - verzögert, in hundert gleiche Teile - Prozente. Die Verwendung der Verteilung der betrachteten Merkmale in der Statistik bei der Analyse von Variationsreihen ermöglicht eine tiefere und detailliertere Charakterisierung der untersuchten Population.

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel misst das geometrische Mittel, wie stark sich eine Variable im Laufe der Zeit verändert hat. Das geometrische Mittel ist die Wurzel der n-ten Potenz des Produkts von n Werten (in Excel wird die Funktion = CVGEOM verwendet):

G = (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n

Ein ähnlicher Parameter - das geometrische Mittel der Rendite - wird durch die Formel bestimmt:

G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,

wobei R i die Rendite für den i-ten Zeitraum ist.

Angenommen, die Anfangsinvestition beträgt 100.000 $, fällt am Ende des ersten Jahres auf 50.000 $ und erholt sich am Ende des zweiten Jahres wieder auf die ursprünglichen 100.000 $. Jahresperiode ist gleich 0, da Anfangs- und Endbetrag der Mittel gleich sind. Der arithmetische Durchschnitt der jährlichen Renditen beträgt jedoch = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 oder 25%, da die Rendite im ersten Jahr R 1 = (50.000 - 100.000) / 100.000 = -0,5 ist, und im zweiten R 2 = (100.000 - 50.000) / 50.000 = 1. Gleichzeitig ist das geometrische Mittel der Rendite für zwei Jahre: G = [(1-0,5) * (1+1 )] 1 /2 - 1 = S - 1 = 1 - 1 = 0. Somit spiegelt das geometrische Mittel die Veränderung (genauer gesagt das Ausbleiben von Veränderungen) der Investitionen über einen Zweijahreszeitraum genauer wider als das arithmetische Mittel.

Interessante Fakten. Erstens ist das geometrische Mittel immer kleiner als das arithmetische Mittel derselben Zahlen. Außer für den Fall, wenn alle genommenen Zahlen einander gleich sind. Zweitens kann man nach Betrachtung der Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks verstehen, warum der Mittelwert als geometrisch bezeichnet wird. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, das auf die Hypotenuse fällt, ist das durchschnittliche Verhältnis zwischen den Projektionen der Beine auf die Hypotenuse, und jedes Bein ist das durchschnittliche Verhältnis zwischen der Hypotenuse und seiner Projektion auf die Hypotenuse. Dies ergibt eine geometrische Möglichkeit, das geometrische Mittel zweier (Längen-) Segmente zu konstruieren: Sie müssen einen Kreis auf der Summe dieser beiden Segmente als Durchmesser aufbauen, dann die Höhe, wiederhergestellt vom Punkt ihrer Verbindung bis zum Schnittpunkt mit dem Kreis, ergibt den gewünschten Wert:

Reis. vier.

Die zweite wichtige Eigenschaft numerischer Daten ist ihre Variation, die den Grad der Datenstreuung charakterisiert. Zwei verschiedene Proben können sich sowohl in Mittelwerten als auch in Schwankungen unterscheiden.

Es gibt fünf Schätzungen der Datenvariation:

Interquartilbereich,

Dispersion,

Standardabweichung,

der Variationskoeffizient.

Die Spannweite ist die Differenz zwischen den größten und kleinsten Elementen der Stichprobe:

Bereich \u003d X Max - X Min

Die Bandbreite einer Stichprobe, die die durchschnittlichen Jahresrenditen von 15 Investmentfonds mit sehr hohem Risiko enthält, kann mithilfe eines geordneten Arrays berechnet werden: Range = 18,5 - (-6,1) = 24,6. Das bedeutet, dass die Differenz zwischen der höchsten und der niedrigsten durchschnittlichen Jahresrendite für Fonds mit sehr hohem Risiko 24,6 % beträgt.

Die Reichweite misst die Gesamtstreuung der Daten. Obwohl die Stichprobenspanne eine sehr einfache Schätzung der Gesamtstreuung der Daten ist, besteht ihre Schwäche darin, dass sie nicht genau berücksichtigt, wie die Daten zwischen den minimalen und maximalen Elementen verteilt sind. Die B-Skala zeigt, dass, wenn die Stichprobe mindestens einen Extremwert enthält, die Stichprobenspanne eine sehr ungenaue Schätzung der Streuung der Daten ist.

Bei der Berechnung geht der Durchschnittswert verloren.

Durchschnitt Bedeutung Zahlenmenge ist gleich der Summe der Zahlen S dividiert durch die Anzahl dieser Zahlen. Das heißt, es stellt sich heraus Durchschnitt Bedeutung entspricht: 19/4 = 4,75.

beachten Sie

Wenn Sie das geometrische Mittel für nur zwei Zahlen finden müssen, brauchen Sie keinen technischen Taschenrechner: Sie können die Wurzel zweiten Grades (Quadratwurzel) einer beliebigen Zahl mit dem gängigsten Taschenrechner ziehen.

Nützlicher Rat

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel wird das geometrische Mittel nicht so stark von großen Abweichungen und Schwankungen zwischen einzelnen Werten im untersuchten Indikatorenset beeinflusst.

Quellen:

• Online-Rechner, der das geometrische Mittel berechnet
• geometrische Mittelformel

Durchschnitt Der Wert ist eines der Merkmale einer Menge von Zahlen. Stellt eine Zahl dar, die nicht außerhalb des Bereichs liegen kann, der durch den größten und kleinsten Wert in diesem Zahlensatz definiert ist. Durchschnitt arithmetischer Wert - die am häufigsten verwendete Variante von Durchschnittswerten.

Anweisung

Addiere alle Zahlen in der Menge und dividiere sie durch die Anzahl der Terme, um das arithmetische Mittel zu erhalten. Abhängig von den spezifischen Bedingungen der Berechnung ist es manchmal einfacher, jede der Zahlen durch die Anzahl der Werte in der Menge zu dividieren und das Ergebnis zu summieren.

Verwenden Sie beispielsweise das im Windows-Betriebssystem enthaltene, wenn es nicht möglich ist, das arithmetische Mittel im Kopf zu berechnen. Sie können es über den Programmstartdialog öffnen. Drücken Sie dazu die "Hotkeys" WIN + R oder klicken Sie auf die Schaltfläche "Start" und wählen Sie im Hauptmenü den Befehl "Ausführen". Geben Sie dann calc in das Eingabefeld ein und drücken Sie die Eingabetaste oder klicken Sie auf die Schaltfläche OK. Dasselbe kann über das Hauptmenü erfolgen - öffnen Sie es, gehen Sie zum Abschnitt "Alle Programme" und im Abschnitt "Standard" und wählen Sie die Zeile "Rechner".

Geben Sie nacheinander alle Zahlen im Satz ein, indem Sie nach jeder von ihnen die Plus-Taste drücken (mit Ausnahme der letzten) oder indem Sie auf die entsprechende Schaltfläche in der Rechneroberfläche klicken. Sie können auch Zahlen sowohl über die Tastatur als auch durch Klicken auf die entsprechenden Schaltflächen der Benutzeroberfläche eingeben.

Drücken Sie die Schrägstrichtaste oder klicken Sie in der Rechneroberfläche darauf, nachdem Sie den letzten eingestellten Wert eingegeben haben, und drucken Sie die Anzahl der Zahlen in der Folge. Drücken Sie dann das Gleichheitszeichen und der Rechner berechnet und zeigt das arithmetische Mittel an.

Sie können den Tabelleneditor Microsoft Excel für denselben Zweck verwenden. Starten Sie in diesem Fall den Editor und geben Sie alle Werte der Zahlenfolge in benachbarte Zellen ein. Wenn Sie nach der Eingabe jeder Zahl die Eingabetaste oder die Pfeiltaste nach unten oder rechts drücken, verschiebt der Editor selbst den Eingabefokus auf die benachbarte Zelle.

Klicken Sie auf die Zelle neben der zuletzt eingegebenen Zahl, wenn Sie nicht nur das arithmetische Mittel sehen möchten. Erweitern Sie das Dropdown-Menü Griechisches Sigma (Σ) der Bearbeitungsbefehle auf der Registerkarte Start. Wählen Sie die Zeile " Durchschnitt“ und der Editor fügt die gewünschte Formel zur Berechnung des arithmetischen Mittels in die ausgewählte Zelle ein. Drücken Sie die Eingabetaste und der Wert wird berechnet.

Das arithmetische Mittel ist eines der in Mathematik und statistischen Berechnungen weit verbreiteten Maße der zentralen Tendenz. Das Ermitteln des arithmetischen Mittels mehrerer Werte ist sehr einfach, aber jede Aufgabe hat ihre eigenen Nuancen, die man einfach kennen muss, um korrekte Berechnungen durchzuführen.

Was ist das arithmetische Mittel

Das arithmetische Mittel bestimmt den Durchschnittswert für das gesamte ursprüngliche Zahlenfeld. Mit anderen Worten, aus einer bestimmten Menge von Zahlen wird ein allen Elementen gemeinsamer Wert ausgewählt, dessen mathematischer Vergleich mit allen Elementen ungefähr gleich ist. Das arithmetische Mittel wird hauptsächlich zur Erstellung von Finanz- und Statistikberichten oder zur Berechnung der Ergebnisse ähnlicher Experimente verwendet.

So finden Sie das arithmetische Mittel

Die Suche nach dem arithmetischen Mittel für ein Array von Zahlen sollte mit der Bestimmung der algebraischen Summe dieser Werte beginnen. Wenn das Array beispielsweise die Zahlen 23, 43, 10, 74 und 34 enthält, beträgt ihre algebraische Summe 184. Beim Schreiben wird das arithmetische Mittel mit den Buchstaben μ (mu) oder x (x mit einem Balken) bezeichnet. . Als nächstes sollte die algebraische Summe durch die Anzahl der Zahlen im Array dividiert werden. In diesem Beispiel gab es fünf Zahlen, also ist das arithmetische Mittel 184/5 und 36,8.

Merkmale der Arbeit mit negativen Zahlen

Wenn das Array negative Zahlen enthält, wird das arithmetische Mittel mit einem ähnlichen Algorithmus ermittelt. Lediglich beim Rechnen in der Programmierumgebung oder bei zusätzlichen Bedingungen in der Aufgabe gibt es einen Unterschied. In diesen Fällen besteht die Ermittlung des arithmetischen Mittels von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen aus drei Schritten:

1. Ermittlung des gemeinsamen arithmetischen Mittels nach der Standardmethode;
2. Ermitteln des arithmetischen Mittels negativer Zahlen.
3. Berechnung des arithmetischen Mittels positiver Zahlen.

Die Antworten der einzelnen Aktionen werden durch Kommas getrennt geschrieben.

Natürliche Brüche und Dezimalbrüche

Wenn die Zahlenreihe durch Dezimalbrüche dargestellt wird, erfolgt die Lösung gemäß der Methode zur Berechnung des arithmetischen Mittels ganzer Zahlen, aber das Ergebnis wird entsprechend den Anforderungen des Problems für die Genauigkeit der Antwort reduziert.

Bei der Arbeit mit natürlichen Brüchen sollten diese auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden, der mit der Anzahl der Zahlen im Array multipliziert wird. Der Zähler der Antwort ist die Summe der gegebenen Zähler der ursprünglichen Bruchelemente.

Ingenieurrechner.

Anweisung

Denken Sie daran, dass im Allgemeinen das geometrische Mittel von Zahlen ermittelt wird, indem diese Zahlen multipliziert und daraus die Wurzel des Grads gezogen wird, der der Anzahl der Zahlen entspricht. Wenn Sie beispielsweise das geometrische Mittel von fünf Zahlen finden müssen, müssen Sie die Wurzel des Grades aus dem Produkt ziehen.

Verwenden Sie die Grundregel, um das geometrische Mittel zweier Zahlen zu finden. Finden Sie ihr Produkt und ziehen Sie dann die Quadratwurzel daraus, da die Zahlen zwei sind, was dem Grad der Wurzel entspricht. Um zum Beispiel den geometrischen Mittelwert der Zahlen 16 und 4 zu finden, finden Sie ihr Produkt 16 4=64. Ziehen Sie aus der resultierenden Zahl die Quadratwurzel √64=8. Dies ist der gewünschte Wert. Bitte beachten Sie, dass das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen größer und gleich 10 ist. Wenn die Wurzel nicht vollständig gezogen wird, runden Sie das Ergebnis auf die gewünschte Ordnung.

Um das geometrische Mittel von mehr als zwei Zahlen zu finden, verwenden Sie auch die Grundregel. Finde dazu das Produkt aller Zahlen, für die du das geometrische Mittel finden möchtest. Extrahieren Sie aus dem resultierenden Produkt die Wurzel des Grades gleich der Anzahl der Zahlen. Um zum Beispiel das geometrische Mittel der Zahlen 2, 4 und 64 zu finden, musst du ihr Produkt finden. 2 4 64=512. Da Sie das Ergebnis des geometrischen Mittels von drei Zahlen finden müssen, ziehen Sie die Wurzel des dritten Grades aus dem Produkt. Es ist schwierig, dies mündlich zu tun, verwenden Sie daher einen technischen Taschenrechner. Dazu gibt es einen Button „x ^ y“. Wählen Sie die Nummer 512, drücken Sie die Taste „x^y“, wählen Sie dann die Nummer 3 und drücken Sie die Taste „1/x“, um den Wert 1/3 zu finden, drücken Sie die Taste „=". Wir erhalten das Ergebnis, wenn wir 512 mit 1/3 potenzieren, was der Wurzel des dritten Grades entspricht. Erhalten Sie 512^1/3=8. Das ist das geometrische Mittel der Zahlen 2,4 und 64.

Mit einem technischen Taschenrechner können Sie das geometrische Mittel auf andere Weise finden. Finden Sie die Log-Taste auf Ihrer Tastatur. Nimm danach den Logarithmus für jede der Zahlen, finde ihre Summe und teile sie durch die Anzahl der Zahlen. Nimm von der resultierenden Zahl den Antilogarithmus. Dies ist das geometrische Mittel der Zahlen. Um zum Beispiel das geometrische Mittel der gleichen Zahlen 2, 4 und 64 zu finden, führen Sie eine Reihe von Operationen auf dem Taschenrechner durch. Geben Sie die Zahl 2 ein, drücken Sie dann die Log-Taste, drücken Sie die „+“-Taste, geben Sie die Zahl 4 ein und drücken Sie erneut log und „+“, geben Sie 64 ein, drücken Sie log und „=“. Das Ergebnis ist eine Zahl, die der Summe der Dezimallogarithmen der Zahlen 2, 4 und 64 entspricht. Teilen Sie die resultierende Zahl durch 3, da dies die Anzahl der Zahlen ist, durch die das geometrische Mittel gesucht wird. Nehmen Sie aus dem Ergebnis den Antilogarithmus, indem Sie die Registerschaltfläche umschalten und dieselbe Protokolltaste verwenden. Das Ergebnis ist die Zahl 8, das ist das gewünschte geometrische Mittel.

Durchschnitte im Statistikspiel wichtige Rolle, Weil sie erlauben es, eine verallgemeinernde Eigenschaft des analysierten Phänomens zu erhalten. Der häufigste Durchschnitt ist natürlich . Es tritt auf, wenn der aggregierende Indikator aus der Summe der Elemente gebildet wird. Zum Beispiel die Masse mehrerer Äpfel, der Gesamtumsatz pro Verkaufstag usw. Aber das ist nicht immer der Fall. Manchmal wird ein Gesamtindikator nicht als Ergebnis einer Summierung, sondern als Ergebnis anderer mathematischer Operationen gebildet.

Betrachten Sie das folgende Beispiel. Die monatliche Inflation ist die Veränderung des Preisniveaus eines Monats im Vergleich zum Vormonat. Wenn die Inflationsraten für jeden Monat bekannt sind, wie erhält man dann den jährlichen Wert? Aus statistischer Sicht handelt es sich um einen Kettenindex, die richtige Antwort lautet also: durch Multiplikation der monatlichen Inflationsraten. Das heißt, die Gesamtinflationsrate ist keine Summe, sondern ein Produkt. Und wie findet man nun die durchschnittliche Inflation für den Monat heraus, wenn es einen Jahreswert gibt? Nein, dividiere nicht durch 12, sondern ziehe die Wurzel aus dem 12. Grad (der Grad hängt von der Anzahl der Faktoren ab). Im allgemeinen Fall wird das geometrische Mittel nach folgender Formel berechnet:

Das heißt, es ist die Wurzel des Produkts der ursprünglichen Daten, wobei der Grad durch die Anzahl der Faktoren bestimmt wird. Beispielsweise ist das geometrische Mittel zweier Zahlen die Quadratwurzel ihres Produkts

von drei Zahlen - die Kubikwurzel des Produkts

usw.

Wenn jede ursprüngliche Zahl durch ihren geometrischen Mittelwert ersetzt wird, ergibt das Produkt dasselbe Ergebnis.

Um besser zu verstehen, was das geometrische Mittel ist und wie es sich vom arithmetischen Mittel unterscheidet, betrachten Sie die folgende Abbildung. In einen Kreis ist ein rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben.

Beim rechten Winkel wird der Median weggelassen a(bis zur Mitte der Hypotenuse). Auch beim rechten Winkel entfällt die Höhe b, worauf es ankommt P teilt die Hypotenuse in zwei Teile m und n. Da die hypotenuse ist der durchmesser des umschriebenen kreises, und der median ist der radius, es ist offensichtlich, dass die länge des medians a ist das arithmetische Mittel von m und n.

Berechnen Sie die Höhe b. Aufgrund der Ähnlichkeit von Dreiecken ABP und BCP faire Gleichberechtigung

Das heißt, die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist das geometrische Mittel der Segmente, in die es die Hypotenuse teilt. So ein deutlicher Unterschied.

In MS Excel kann das geometrische Mittel mit der CPGEOM-Funktion ermittelt werden.

Alles ganz einfach: Funktion aufrufen, Bereich angeben und fertig.

In der Praxis wird dieser Indikator nicht so häufig verwendet wie das arithmetische Mittel, kommt aber dennoch vor. Beispielsweise gibt es solche Human Development Index, die den Lebensstandard in verschiedenen Ländern vergleicht. Er wird als geometrischer Mittelwert mehrerer Indizes berechnet.

Es gibt auch andere Durchschnittswerte. Über sie ein andermal.