Arithmetische Progressionsprobleme gibt es seit der Antike. Sie traten auf und forderten eine Lösung, weil sie ein praktisches Bedürfnis hatten.

So enthält einer der Papyri des alten Ägypten, der einen mathematischen Inhalt hat - der Rhind-Papyrus (19. Jahrhundert v. Chr.) - die folgende Aufgabe: Teilen Sie zehn Maß Brot in zehn Personen, vorausgesetzt, dass der Unterschied zwischen jedem von ihnen eins ist Achtel einer Maßnahme.

Und in den mathematischen Werken der alten Griechen gibt es elegante Theoreme, die sich auf die arithmetische Progression beziehen. So formulierte Hypsicles von Alexandria (2. Jahrhundert, der viele interessante Probleme zusammenstellte und das vierzehnte Buch zu Euklids „Elementen“ hinzufügte) die Idee: „Bei einer arithmetischen Folge mit gerader Gliederzahl ist die Summe der Glieder der 2. Hälfte größer ist als die Summe der Mitglieder des 1. Quadrats 1 / 2 Mitglieder.

Die Folge an ist bezeichnet. Die Nummern der Sequenz werden ihre Mitglieder genannt und werden normalerweise durch Buchstaben mit Indizes bezeichnet, die die Seriennummer dieses Mitglieds angeben (a1, a2, a3 ... es lautet: „ein 1.“, „ein 2.“, „ein 3 “ und so weiter).

Die Folge kann unendlich oder endlich sein.

Was ist eine arithmetische Progression? Er wird so verstanden, dass er durch Addition des vorangehenden Terms (n) mit der gleichen Nummer d erhalten wird, was die Differenz der Progression ist.

Wenn d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, dann wird ein solcher Verlauf als ansteigend angesehen.

Eine arithmetische Folge heißt endlich, wenn nur wenige ihrer ersten Terme berücksichtigt werden. Bei einer sehr großen Anzahl von Mitgliedern ist dies bereits eine unendliche Progression.

Jede arithmetische Progression wird durch die folgende Formel angegeben:

an =kn+b, während b und k einige Zahlen sind.

Die umgekehrte Aussage ist absolut richtig: Wenn die Folge durch eine ähnliche Formel gegeben ist, dann ist dies genau eine arithmetische Folge, die die Eigenschaften hat:

1. Jedes Mitglied der Progression ist das arithmetische Mittel des vorherigen Mitglieds und des nächsten.
2. Umgekehrt: Wenn ab dem 2. jeder Term das arithmetische Mittel des vorherigen und des nächsten Terms ist, also wenn die Bedingung erfüllt ist, dann ist die gegebene Folge eine arithmetische Folge. Diese Gleichheit ist auch ein Zeichen des Fortschritts, daher wird sie gewöhnlich als charakteristische Eigenschaft des Fortschritts bezeichnet.
   Ebenso gilt der Satz, der diese Eigenschaft widerspiegelt: Eine Folge ist nur dann eine arithmetische Folge, wenn diese Gleichheit für alle Mitglieder der Folge, beginnend mit dem 2., gilt.

Die charakteristische Eigenschaft für vier beliebige Zahlen einer arithmetischen Folge kann durch die Formel an + am = ak + al ausgedrückt werden, wenn n + m = k + l (m, n, k sind die Zahlen der Folge).

In einer arithmetischen Folge kann jeder notwendige (N-te) Term durch Anwendung der folgenden Formel gefunden werden:

Zum Beispiel: Der erste Term (a1) in einer arithmetischen Folge ist gegeben und gleich drei, und die Differenz (d) ist gleich vier. Sie müssen das fünfundvierzigste Glied dieser Progression finden. a45 = 1+4(45-1)=177

Mit der Formel an = ak + d(n - k) können Sie das n-te Glied einer arithmetischen Folge durch jedes ihrer k-ten Glied bestimmen, sofern es bekannt ist.

Die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge (unter Annahme der 1. n Glieder der Endfolge) errechnet sich wie folgt:

Sn = (a1+an)n/2.

Wenn auch der 1. Term bekannt ist, ist eine andere Formel zur Berechnung geeignet:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Die Summe einer arithmetischen Folge, die n Terme enthält, wird wie folgt berechnet:

Die Wahl der Formeln für Berechnungen hängt von den Bedingungen der Aufgaben und den Ausgangsdaten ab.

Die natürliche Reihe beliebiger Zahlen wie 1,2,3,...,n,... ist das einfachste Beispiel einer arithmetischen Folge.

Neben der arithmetischen Progression gibt es auch eine geometrische, die ihre eigenen Eigenschaften und Besonderheiten hat.

Die Summe einer arithmetischen Progression.

Die Summe einer arithmetischen Folge ist eine einfache Sache. Sowohl in der Bedeutung als auch in der Formel. Aber es gibt allerlei Aufgaben zu diesem Thema. Von elementar bis ziemlich solide.

Beschäftigen wir uns zunächst mit der Bedeutung und Formel der Summe. Und dann entscheiden wir. Zu Ihrem eigenen Vergnügen.) Die Bedeutung der Summe ist so einfach wie Lowing. Um die Summe einer arithmetischen Folge zu finden, müssen Sie nur alle ihre Mitglieder sorgfältig addieren. Wenn diese Terme wenige sind, können Sie ohne Formeln hinzufügen. Aber wenn es viel ist, oder viel ... Addition ist ärgerlich.) In diesem Fall spart die Formel.

Die Summenformel ist einfach:

Lassen Sie uns herausfinden, welche Art von Buchstaben in der Formel enthalten sind. Das wird einiges aufklären.

Sn ist die Summe einer arithmetischen Folge. Additionsergebnis alle Mitglieder, mit Erste an letzte. Es ist wichtig. Füge genau hinzu alle Mitglieder in einer Reihe, ohne Lücken und Sprünge. Und, genau, ab Erste. Bei Problemen wie dem Ermitteln der Summe des dritten und achten Glieds oder der Summe der Glieder fünf bis zwanzig wird die direkte Anwendung der Formel enttäuschend sein.)

eine 1 - Der Erste Mitglied der Progression. Hier ist alles klar, es ist einfach Erste Zeilennummer.

ein- letzte Mitglied der Progression. Die letzte Zahl der Reihe. Kein sehr geläufiger Name, aber auf die Menge bezogen sehr passend. Dann wirst du es selbst sehen.

n ist die Nummer des letzten Mitglieds. Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Zahl in der Formel enthalten ist stimmt mit der Anzahl der hinzugefügten Mitglieder überein.

Lassen Sie uns das Konzept definieren letzte Mitglied ein. Füllfrage: Welche Art von Mitglied wird letzte, falls gegeben endlos arithmetische Folge?

Für eine sichere Antwort müssen Sie die elementare Bedeutung einer arithmetischen Folge verstehen und ... die Aufgabe sorgfältig lesen!)

Bei der Aufgabe, die Summe einer arithmetischen Folge zu finden, erscheint immer der letzte Term (direkt oder indirekt), was begrenzt werden soll. Andernfalls eine endliche, bestimmte Menge existiert einfach nicht. Für die Lösung spielt es keine Rolle, welche Progression gegeben ist: endlich oder unendlich. Es spielt keine Rolle, wie es gegeben ist: durch eine Reihe von Zahlen oder durch die Formel des n-ten Glieds.

Das Wichtigste ist zu verstehen, dass die Formel vom ersten Glied der Progression bis zum Glied mit der Zahl funktioniert n. Eigentlich sieht der vollständige Name der Formel so aus: die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge. Die Zahl dieser allerersten Mitglieder, d.h. n, wird allein durch die Aufgabenstellung bestimmt. In der Aufgabe werden all diese wertvollen Informationen oft verschlüsselt, ja ... Aber nichts, in den folgenden Beispielen werden wir diese Geheimnisse enthüllen.)

Beispiele für Aufgaben zur Summe einer arithmetischen Folge.

Erstmal nützliche Informationen:

Die Hauptschwierigkeit bei Aufgaben zur Summe einer arithmetischen Folge ist die richtige Bestimmung der Elemente der Formel.

Die Autoren der Aufgaben verschlüsseln genau diese Elemente mit grenzenloser Fantasie.) Die Hauptsache hier ist, keine Angst zu haben. Um die Essenz der Elemente zu verstehen, genügt es, sie zu entschlüsseln. Schauen wir uns einige Beispiele im Detail an. Beginnen wir mit einer Aufgabe, die auf einem echten GIA basiert.

1. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben: a n = 2n-3,5. Finde die Summe der ersten 10 Terme.

Gut gemacht. Einfach.) Was müssen wir wissen, um die Menge nach der Formel zu bestimmen? Erstes Mitglied eine 1, das letzte Semester ein, ja die Nummer des letzten Begriffs n.

Wo bekommt man die letzte Mitgliedsnummer n? Ja, an gleicher Stelle, im Zustand! Es sagt, finden Sie die Summe ersten 10 Mitglieder. Nun, welche Nummer wird es sein letzte, zehntes Mitglied?) Sie werden es nicht glauben, seine Nummer ist das zehnte!) Daher statt ein wir werden in die Formel einsetzen eine 10, aber stattdessen n- zehn. Auch hier ist die Nummer des letzten Mitglieds gleich der Anzahl der Mitglieder.

Es bleibt zu bestimmen eine 1 und eine 10. Dies lässt sich leicht durch die Formel des n-ten Terms berechnen, die in der Aufgabenstellung angegeben ist. Sie wissen nicht, wie es geht? Besuchen Sie die vorherige Lektion, ohne dies - nichts.

eine 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

eine 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

Sn = S10.

Wir haben die Bedeutung aller Elemente der Formel für die Summe einer arithmetischen Folge herausgefunden. Es bleibt, sie zu ersetzen und zu zählen:

Das ist alles dazu. Antwort: 75.

Eine weitere Aufgabe basierend auf dem GIA. Etwas komplizierter:

2. Gegeben sei eine arithmetische Progression (a n), deren Differenz 3,7 beträgt; ein 1 \u003d 2,3. Finde die Summe der ersten 15 Terme.

Wir schreiben sofort die Summenformel:

Diese Formel ermöglicht es uns, den Wert eines beliebigen Mitglieds anhand seiner Nummer zu ermitteln. Wir suchen nach einer einfachen Substitution:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Es bleibt übrig, alle Elemente in der Formel durch die Summe einer arithmetischen Folge zu ersetzen und die Antwort zu berechnen:

Antwort: 423.

Übrigens, wenn in der Summenformel statt ein ersetzen Sie einfach die Formel des n-ten Terms, wir erhalten:

Geben wir ähnliche an, erhalten wir eine neue Formel für die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge:

Wie Sie sehen, wird hier der n-te Term nicht benötigt. ein. Bei manchen Aufgaben hilft diese Formel sehr, ja ... Sie können sich diese Formel merken. Und Sie können es einfach zum richtigen Zeitpunkt abheben, wie hier. Schließlich muss man sich die Formel für die Summe und die Formel für den n-ten Term unbedingt merken.)

Nun die Aufgabe in Form einer kurzen Verschlüsselung):

3. Finden Sie die Summe aller positiven zweistelligen Zahlen, die ein Vielfaches von drei sind.

Wie! Kein erstes Mitglied, kein letztes, überhaupt keine Progression ... Wie soll man leben!?

Sie müssen mit Ihrem Kopf denken und aus der Bedingung alle Elemente der Summe einer arithmetischen Folge ziehen. Was sind zweistellige Zahlen - wir wissen es. Sie bestehen aus zwei Zahlen.) Welche zweistellige Zahl wird Erste? 10, vermutlich.) letztes Ding zweistellige Zahl? 99 natürlich! Die dreistelligen werden ihm folgen ...

Vielfache von drei ... Hm ... Das sind hier Zahlen, die ohne Rest durch drei teilbar sind! Zehn ist nicht durch drei teilbar, 11 ist nicht teilbar... 12... ist teilbar! Es entsteht also etwas. Sie können je nach Problemstellung bereits eine Reihe schreiben:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Wird diese Reihe eine arithmetische Folge sein? Na sicher! Jeder Begriff unterscheidet sich vom vorherigen strikt um drei. Wenn dem Term beispielsweise 2 oder 4 hinzugefügt wird, ist das Ergebnis, d.h. eine neue Zahl wird nicht mehr durch 3 geteilt. Sie können sofort die Differenz der arithmetischen Progression zum Haufen feststellen: d = 3. Nützlich!)

Wir können also sicher einige Progressionsparameter aufschreiben:

Wie wird die Nummer sein n letztes Mitglied? Wer denkt, dass 99 irrt, der irrt gewaltig ... Zahlen - sie gehen immer hintereinander, und unsere Mitglieder springen über die ersten drei. Sie passen nicht zusammen.

Hier gibt es zwei Lösungen. Ein Weg ist für die super Fleißigen. Sie können den Verlauf, die ganze Zahlenreihe malen und die Anzahl der Begriffe mit dem Finger zählen.) Der zweite Weg ist für die Nachdenklichen. Sie müssen sich die Formel für den n-ten Term merken. Wenn die Formel auf unser Problem angewendet wird, erhalten wir, dass 99 das dreißigste Glied der Progression ist. Diese. n = 30.

Wir betrachten die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge:

Wir schauen und freuen uns.) Wir haben alles Notwendige herausgezogen, um den Betrag aus dem Zustand des Problems zu berechnen:

eine 1= 12.

eine 30= 99.

Sn = S30.

Was bleibt, ist elementare Arithmetik. Ersetzen Sie die Zahlen in der Formel und berechnen Sie:

Antwort: 1665

Eine andere Art von beliebten Rätseln:

4. Eine arithmetische Progression ist gegeben:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Ermitteln Sie die Summe der Terme vom zwanzigsten bis zum vierunddreißigsten.

Wir sehen uns die Summenformel an und ... wir sind verärgert.) Die Formel, ich möchte Sie daran erinnern, berechnet die Summe vom ersten Mitglied. Und in dem Problem müssen Sie die Summe berechnen seit dem zwanzigsten... Die Formel wird nicht funktionieren.

Sie können natürlich die gesamte Progression hintereinander malen und die Mitglieder von 20 bis 34 setzen. Aber ... irgendwie stellt sich das als dumm und lang heraus, oder?)

Es gibt eine elegantere Lösung. Lassen Sie uns unsere Serie in zwei Teile aufteilen. Der erste Teil wird von der ersten Amtszeit bis zum neunzehnten. Der zweite Teil - zwanzig bis vierunddreißig. Das ist klar, wenn wir die Summe der Terme des ersten Teils berechnen S1-19, addieren wir es zur Summe der Mitglieder des zweiten Teils S 20-34, erhalten wir die Summe der Progression vom ersten Term bis zum vierunddreißigsten S1-34. So:

S1-19 + S 20-34 = S1-34

Dies zeigt, dass die Summe zu finden S 20-34 kann durch einfache Subtraktion erfolgen

S 20-34 = S1-34 - S1-19

Beide Summen auf der rechten Seite werden berücksichtigt vom ersten Mitglied, d.h. die Standard-Summenformel ist durchaus anwendbar auf sie. Fangen wir an?

Wir extrahieren die Progressionsparameter aus der Aufgabenbedingung:

d = 1,5.

eine 1= -21,5.

Um die Summen der ersten 19 und der ersten 34 Terme zu berechnen, benötigen wir den 19. und 34. Term. Wir zählen sie nach der Formel des n-ten Terms, wie in Aufgabe 2:

eine 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

eine 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nichts ist übriggeblieben. Subtrahiere die Summe von 19 Termen von der Summe von 34 Termen:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Antwort: 262.5

Ein wichtiger Hinweis! Es gibt eine sehr nützliche Funktion zur Lösung dieses Problems. Statt direkter Berechnung was du brauchst (S 20-34), wir haben gezählt was anscheinend nicht benötigt wird - S 1-19. Und dann haben sie entschieden S 20-34, wobei das Unnötige aus dem vollständigen Ergebnis verworfen wird. Eine solche "Täuschung mit den Ohren" erspart oft böse Rätsel.)

In dieser Lektion haben wir Probleme untersucht, für die es ausreicht, die Bedeutung der Summe einer arithmetischen Folge zu verstehen. Nun, Sie müssen ein paar Formeln kennen.)

Praktische Ratschläge:

Wenn Sie ein Problem für die Summe einer arithmetischen Folge lösen, empfehle ich, die beiden Hauptformeln aus diesem Thema sofort aufzuschreiben.

Formel des n-ten Terms:

Diese Formeln sagen Ihnen sofort, wonach Sie suchen müssen, in welche Richtung Sie denken müssen, um das Problem zu lösen. Hilft.

Und nun die Aufgaben zur selbstständigen Lösung.

5. Finde die Summe aller zweistelligen Zahlen, die nicht durch drei teilbar sind.

Cool?) Der Hinweis ist in der Notiz zu Aufgabe 4 versteckt. Nun, Aufgabe 3 wird helfen.

6. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben: a 1 = –5,5; ein n+1 = ein n +0,5. Finde die Summe der ersten 24 Terme.

Ungewöhnlich?) Dies ist eine wiederkehrende Formel. Sie können darüber in der vorherigen Lektion lesen. Ignorieren Sie den Link nicht, solche Rätsel sind häufig im GIA zu finden.

7. Vasya hat Geld für den Urlaub gespart. So viel wie 4550 Rubel! Und ich beschloss, der am meisten geliebten Person (mich) ein paar Tage des Glücks zu schenken). Lebe schön, ohne dir etwas zu versagen. Geben Sie am ersten Tag 500 Rubel aus und geben Sie an jedem weiteren Tag 50 Rubel mehr aus als am vorherigen! Bis das Geld aufgebraucht ist. Wie viele glückliche Tage hatte Vasya?

Ist es schwierig?) Eine zusätzliche Formel aus Aufgabe 2 hilft weiter.

Antworten (in Unordnung): 7, 3240, 6.

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Erste Ebene

Arithmetische Progression. Ausführliche Theorie mit Beispielen (2019)

Numerische Folge

Setzen wir uns also hin und schreiben ein paar Zahlen. Zum Beispiel:
Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele sein, wie Sie möchten (in unserem Fall sie). Egal wie viele Zahlen wir schreiben, wir können immer sagen, welche von ihnen die erste, welche die zweite und so weiter bis zur letzten ist, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge:

Numerische Folge
Zum Beispiel für unsere Sequenz:

Die zugewiesene Nummer ist nur für eine Folgenummer spezifisch. Mit anderen Worten, es gibt keine drei Sekunden langen Zahlen in der Folge. Die zweite Zahl (wie die -te Zahl) ist immer gleich.
Die Zahl mit der Zahl heißt das -te Glied der Folge.

Wir nennen die ganze Sequenz normalerweise einen Buchstaben (zum Beispiel) und jedes Mitglied dieser Sequenz - denselben Buchstaben mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

In unserem Fall:

Nehmen wir an, wir haben eine Zahlenfolge, in der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.
Zum Beispiel:

usw.
Eine solche Zahlenfolge wird als arithmetische Folge bezeichnet.
Der Begriff „Progression“ wurde bereits im 6. Jahrhundert vom römischen Autor Boethius eingeführt und im weiteren Sinne als endlose Zahlenfolge verstanden. Der Name "Arithmetik" wurde aus der Theorie der kontinuierlichen Proportionen übernommen, mit der sich die alten Griechen beschäftigten.

Dies ist eine numerische Folge, deren jedes Glied gleich der vorherigen ist, hinzugefügt mit der gleichen Nummer. Diese Zahl wird als Differenz einer arithmetischen Folge bezeichnet und bezeichnet.

Versuchen Sie herauszufinden, welche Zahlenfolgen eine arithmetische Folge sind und welche nicht:

a)
b)
c)
d)

Ich habs? Vergleichen Sie unsere Antworten:
Ist arithmetische Progression - b, c.
Ist nicht arithmetische Progression - a, d.

Kehren wir zu der gegebenen Progression () zurück und versuchen, den Wert ihres th-Mitglieds zu finden. Existiert zwei Weg, es zu finden.

1. Methode

Wir können zum vorherigen Wert der Progressionsnummer addieren, bis wir das te Glied der Progression erreichen. Gut, dass wir nicht viel zusammenzufassen haben – nur drei Werte:

Das -te Glied der beschriebenen arithmetischen Folge ist also gleich.

2-Wege

Was wäre, wenn wir den Wert des th-Terms der Progression finden müssten? Die Summierung hätte uns mehr als eine Stunde gekostet, und es ist keine Tatsache, dass wir beim Addieren der Zahlen keine Fehler gemacht hätten.
Natürlich haben sich Mathematiker einen Weg ausgedacht, bei dem man die Differenz einer arithmetischen Progression nicht zum vorherigen Wert addieren muss. Schauen Sie sich das gezeichnete Bild genau an ... Sicher ist Ihnen schon ein bestimmtes Muster aufgefallen, nämlich:

Sehen wir uns zum Beispiel an, was den Wert des -ten Elements dieser arithmetischen Folge ausmacht:


Mit anderen Worten:

Versuchen Sie auf diese Weise selbstständig den Wert eines Gliedes dieser arithmetischen Folge zu finden.

Berechnet? Vergleichen Sie Ihre Eingaben mit der Antwort:

Beachten Sie, dass Sie genau die gleiche Zahl erhalten haben wie bei der vorherigen Methode, als wir die Glieder einer arithmetischen Folge sukzessive zum vorherigen Wert addiert haben.
Versuchen wir diese Formel zu „entpersonalisieren“ – wir bringen sie in eine allgemeine Form und erhalten:

Arithmetische Progressionsgleichung.

Arithmetische Progressionen nehmen entweder zu oder ab.

Zunehmend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme größer ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Absteigend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme kleiner ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Die abgeleitete Formel wird bei der Berechnung von Termen sowohl in zunehmenden als auch in abnehmenden Termen einer arithmetischen Progression verwendet.
Schauen wir es uns in der Praxis an.
Wir erhalten eine arithmetische Folge bestehend aus den folgenden Zahlen:

Seit damals:

Daher waren wir davon überzeugt, dass die Formel sowohl bei abnehmender als auch bei zunehmender arithmetischer Progression funktioniert.
Versuchen Sie selbst, die -ten und -ten Glieder dieser arithmetischen Folge zu finden.

Vergleichen wir die Ergebnisse:

Arithmetische Progressionseigenschaft

Lassen Sie uns die Aufgabe komplizieren – wir leiten die Eigenschaft einer arithmetischen Folge ab.
Angenommen, wir haben die folgende Bedingung:
- Arithmetische Progression, finden Sie den Wert.
Ganz einfach, sagst du und zählst nach der Formel, die du schon kennst:

Sei a, dann:

Absolut richtig. Es stellt sich heraus, dass wir zuerst finden, es dann zur ersten Zahl addieren und bekommen, wonach wir suchen. Wenn die Progression durch kleine Werte dargestellt wird, ist das nicht kompliziert, aber was ist, wenn uns Zahlen in der Bedingung gegeben werden? Stimmen Sie zu, es besteht die Möglichkeit, Fehler in den Berechnungen zu machen.
Überlegen Sie nun, ist es möglich, dieses Problem mit einer Formel in einem Schritt zu lösen? Natürlich, ja, und wir werden versuchen, es jetzt herauszubringen.

Bezeichnen wir den gesuchten Term der arithmetischen Folge so, dass wir die Formel kennen, um ihn zu finden - dies ist die gleiche Formel, die wir am Anfang hergeleitet haben:
, dann:

• Das vorherige Mitglied der Progression ist:
• Das nächste Glied der Progression ist:

Lassen Sie uns die vorherigen und nächsten Mitglieder der Progression zusammenfassen:

Es stellt sich heraus, dass die Summe der vorherigen und nachfolgenden Mitglieder der Progression doppelt so groß ist wie der Wert des Mitglieds der Progression, das sich zwischen ihnen befindet. Mit anderen Worten, um den Wert eines Progressionsmitglieds mit bekannten vorherigen und nachfolgenden Werten zu finden, ist es notwendig, sie zu addieren und durch zu dividieren.

Richtig, wir haben die gleiche Nummer. Lassen Sie uns das Material reparieren. Berechnen Sie den Wert für die Progression selbst, denn es ist überhaupt nicht schwierig.

Gut erledigt! Sie wissen fast alles über Progression! Es bleibt nur eine Formel herauszufinden, die der Legende nach einer der größten Mathematiker aller Zeiten, der "König der Mathematiker" - Karl Gauß, leicht für sich selbst herleiten konnte ...

Als Carl Gauß 9 Jahre alt war, stellte der Lehrer, der damit beschäftigt war, die Arbeiten von Schülern anderer Klassen zu überprüfen, im Unterricht die folgende Aufgabe: „Berechnen Sie die Summe aller natürlichen Zahlen von bis einschließlich (nach anderen Quellen bis einschließlich). " Was war die Überraschung des Lehrers, als einer seiner Schüler (es war Karl Gauß) nach einer Minute die richtige Antwort auf die Aufgabe gab, während die meisten Klassenkameraden des Draufgängers nach langem Rechnen das falsche Ergebnis erhielten ...

Der junge Carl Gauss bemerkte ein Muster, das Sie leicht erkennen können.
Nehmen wir an, wir haben eine arithmetische Folge, die aus -ti Mitgliedern besteht: Wir müssen die Summe der gegebenen Mitglieder der arithmetischen Folge finden. Natürlich können wir alle Werte manuell summieren, aber was ist, wenn wir die Summe ihrer Terme in der Aufgabe finden müssen, wie Gauß es gesucht hat?

Lassen Sie uns die uns gegebene Progression darstellen. Schauen Sie sich die hervorgehobenen Zahlen genau an und versuchen Sie, verschiedene mathematische Operationen damit durchzuführen.


Versucht? Was haben Sie bemerkt? Korrekt! Ihre Summen sind gleich

Nun antworte, wie viele solcher Paare wird es in der uns gegebenen Progression geben? Natürlich genau die Hälfte aller Zahlen, also.
Basierend auf der Tatsache, dass die Summe zweier Terme einer arithmetischen Folge gleich ist, und ähnliche gleiche Paare, erhalten wir, dass die Gesamtsumme gleich ist:
.
Somit lautet die Formel für die Summe der ersten Terme jeder arithmetischen Folge:

Bei manchen Problemen kennen wir den Term nicht, aber wir kennen den Progressionsunterschied. Versuchen Sie, in der Summenformel die Formel des th-Gliedes einzusetzen.
Was hast du bekommen?

Gut erledigt! Kehren wir nun zu dem Problem zurück, das Carl Gauß gegeben wurde: Berechnen Sie selbst, wie hoch die Summe der Zahlen ist, die mit dem -ten beginnen, und wie hoch die Summe der Zahlen ist, die mit dem -ten beginnen.

Wie viel hast du bekommen?
Gauß stellte sich heraus, dass die Summe der Terme gleich ist, und die Summe der Terme. Hast du dich so entschieden?

Tatsächlich wurde die Formel für die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge bereits im 3. Jahrhundert von dem antiken griechischen Wissenschaftler Diophantus bewiesen, und während dieser ganzen Zeit nutzten witzige Menschen die Eigenschaften einer arithmetischen Folge mit Macht und Kraft.
Stellen Sie sich zum Beispiel das alte Ägypten und die größte Baustelle dieser Zeit vor - den Bau einer Pyramide ... Die Abbildung zeigt eine Seite davon.

Wo ist hier der Fortschritt, sagst du? Schauen Sie genau hin und finden Sie ein Muster in der Anzahl der Sandblöcke in jeder Reihe der Pyramidenwand.


Warum nicht eine arithmetische Progression? Zählen Sie, wie viele Blöcke benötigt werden, um eine Mauer zu bauen, wenn Blocksteine ​​​​in die Basis gelegt werden. Ich hoffe, Sie werden nicht zählen, indem Sie Ihren Finger über den Monitor bewegen. Erinnern Sie sich an die letzte Formel und alles, was wir über arithmetische Progression gesagt haben?

In diesem Fall sieht der Verlauf so aus:
Arithmetische Progressionsdifferenz.
Die Anzahl der Mitglieder einer arithmetischen Folge.
Lassen Sie uns unsere Daten in die letzten Formeln einsetzen (wir zählen die Anzahl der Blöcke auf zwei Arten).

Methode 1.

Methode 2.

Und jetzt können Sie auch am Monitor rechnen: Vergleichen Sie die erhaltenen Werte mit der Anzahl der Blöcke, die sich in unserer Pyramide befinden. Hat es zugestimmt? Gut gemacht, Sie haben die Summe der Terme einer arithmetischen Folge gemeistert.
Natürlich kann man aus den Blöcken an der Basis keine Pyramide bauen, aber aus? Versuchen Sie zu berechnen, wie viele Sandziegel benötigt werden, um eine Mauer mit dieser Bedingung zu bauen.
Hast du es geschafft?
Die richtige Antwort lautet Blöcke:

Trainieren

Aufgaben:

1. Mascha macht sich fit für den Sommer. Jeden Tag steigert sie die Anzahl der Kniebeugen um. Wie oft wird Masha in Wochen Kniebeugen machen, wenn sie beim ersten Training Kniebeugen gemacht hat?
2. Wie groß ist die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen?
3. Beim Lagern von Stämmen stapeln Holzfäller sie so, dass jede oberste Schicht einen Stamm weniger enthält als die vorherige. Wie viele Baumstämme befinden sich in einem Mauerwerk, wenn die Basis des Mauerwerks Baumstämme sind.

Antworten:

1. Lassen Sie uns die Parameter der arithmetischen Folge definieren. In diesem Fall
   (Wochen = Tage).

   Antworten: In zwei Wochen soll Mascha einmal täglich in die Hocke gehen.

2. Erste ungerade Zahl, letzte Zahl.
   Arithmetische Progressionsdifferenz.
   Die Anzahl der ungeraden Zahlen in - halbieren Sie diese Tatsache jedoch mit der Formel zum Auffinden des -ten Gliedes einer arithmetischen Folge:

   Die Zahlen enthalten ungerade Zahlen.
   Wir setzen die verfügbaren Daten in die Formel ein:

   Antworten: Die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen ist gleich.

3. Erinnern Sie sich an das Problem mit den Pyramiden. Da in unserem Fall a jede obere Ebene um einen Balken reduziert wird, gibt es nur eine Reihe von Ebenen.
   Ersetzen Sie die Daten in der Formel:

   Antworten: Es gibt Baumstämme im Mauerwerk.

Zusammenfassen

1. - eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist. Es nimmt zu und ab.
2. Formel finden Glied einer arithmetischen Folge wird durch die Formel - geschrieben, wobei die Anzahl der Zahlen in der Folge ist.
3. Eigenschaft von Gliedern einer arithmetischen Folge- - wo - die Anzahl der Zahlen in der Progression.
4. Die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge kann auf zwei Arten gefunden werden:
   
   , wobei die Anzahl der Werte ist.

ARITHMETISCHER FORTSCHRITT. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Numerische Folge

Setzen wir uns hin und schreiben ein paar Zahlen. Zum Beispiel:

Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele sein, wie Sie möchten. Aber Sie können immer sagen, welcher von ihnen der erste ist, welcher der zweite ist und so weiter, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge.

Numerische Folge ist eine Reihe von Nummern, denen jeweils eine eindeutige Nummer zugeordnet werden kann.

Mit anderen Worten, jede Zahl kann einer bestimmten natürlichen Zahl zugeordnet werden, und zwar nur einer. Und wir werden diese Nummer keiner anderen Nummer aus diesem Set zuweisen.

Die Zahl mit der Zahl heißt das -te Glied der Folge.

Wir nennen die ganze Sequenz normalerweise einen Buchstaben (zum Beispiel) und jedes Mitglied dieser Sequenz - denselben Buchstaben mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

Es ist sehr praktisch, wenn das -te Glied der Sequenz durch irgendeine Formel angegeben werden kann. Zum Beispiel die Formel

legt die Reihenfolge fest:

Und die Formel ist die folgende Sequenz:

Beispielsweise ist eine arithmetische Folge eine Folge (der erste Term ist hier gleich und die Differenz). Oder (, Unterschied).

n-te Termformel

Wir nennen rekurrent eine Formel, in der Sie, um den -ten Term herauszufinden, den vorherigen oder mehrere vorherige kennen müssen:

Um beispielsweise den ten Term der Progression mit einer solchen Formel zu finden, müssen wir die vorherigen neun berechnen. Lassen Sie zum Beispiel. Dann:

Nun, jetzt ist klar, was die Formel ist?

In jeder Zeile addieren wir, multipliziert mit einer Zahl. Für was? Ganz einfach: Das ist die Nummer des aktuellen Mitglieds minus:

Viel bequemer jetzt, oder? Wir überprüfen:

Entscheide dich selbst:

Finden Sie in einer arithmetischen Folge die Formel für den n-ten Term und finden Sie den hundertsten Term.

Lösung:

Der erste Term ist gleich. Und was ist der Unterschied? Und hier ist was:

(Schließlich wird sie Differenz genannt, weil sie gleich der Differenz aufeinanderfolgender Glieder der Progression ist).

Die Formel lautet also:

Dann ist der hundertste Term:

Was ist die Summe aller natürlichen Zahlen von bis?

Der Legende nach berechnete der große Mathematiker Carl Gauß als 9-jähriger Junge diesen Betrag in wenigen Minuten. Er bemerkte, dass die Summe der ersten und der letzten Zahl gleich ist, die Summe der zweiten und der vorletzten Zahl gleich ist, die Summe der dritten und der 3. vom Ende gleich ist und so weiter. Wie viele solcher Paare gibt es? Richtig, genau die Hälfte aller Zahlen also. So,

Die allgemeine Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge lautet:

Beispiel:
Finde die Summe aller zweistelligen Vielfachen.

Lösung:

Die erste solche Zahl ist diese. Jede nächste wird durch Hinzufügen einer Zahl zur vorherigen erhalten. Die uns interessierenden Zahlen bilden also mit dem ersten Glied und der Differenz eine arithmetische Folge.

Die Formel für das te Glied dieser Progression lautet:

Wie viele Begriffe sind in der Reihe, wenn sie alle zweistellig sein müssen?

Sehr leicht: .

Das letzte Glied der Progression ist gleich. Dann die Summe:

Antworten: .

Entscheiden Sie jetzt selbst:

1. Jeden Tag läuft der Athlet 1m mehr als am Vortag. Wie viele Kilometer wird er in Wochen laufen, wenn er am ersten Tag km m laufen würde?
2. Ein Radfahrer fährt jeden Tag mehr Kilometer als der vorherige. Am ersten Tag reiste er km. Wie viele Tage muss er fahren, um einen Kilometer zurückzulegen? Wie viele Kilometer legt er am letzten Reisetag zurück?
3. Der Preis eines Kühlschranks im Geschäft wird jedes Jahr um denselben Betrag reduziert. Bestimmen Sie, um wie viel der Preis eines Kühlschranks jedes Jahr gesunken ist, wenn er sechs Jahre später für Rubel zum Verkauf angeboten wurde.

Antworten:

1. Das Wichtigste dabei ist, die arithmetische Progression zu erkennen und ihre Parameter zu bestimmen. In diesem Fall (Wochen = Tage). Sie müssen die Summe der ersten Terme dieser Progression bestimmen:
   .
   Antworten:
2. Hier ist es gegeben:, man muss finden.
   Offensichtlich müssen Sie dieselbe Summenformel wie in der vorherigen Aufgabe verwenden:
   .
   Ersetzen Sie die Werte:

   Die Wurzel passt offensichtlich nicht, also die Antwort.
   Berechnen wir die am letzten Tag zurückgelegte Strecke mit der Formel des -ten Terms:
   (km).
   Antworten:

3. Gegeben: . Finden: .
   Einfacher geht es nicht:
   (reiben).
   Antworten:

ARITHMETISCHER FORTSCHRITT. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Dies ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.

Die arithmetische Progression nimmt zu () und ab ().

Zum Beispiel:

Die Formel zum Auffinden des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge

wird als Formel geschrieben, wobei die Anzahl der Zahlen in der Progression ist.

Eigenschaft von Gliedern einer arithmetischen Folge

Es macht es einfach, ein Mitglied der Progression zu finden, wenn seine benachbarten Mitglieder bekannt sind - wo ist die Anzahl der Zahlen in der Progression.

Die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Summe zu finden:

Wo ist die Anzahl der Werte.

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Ja, ja: Arithmetische Progression ist kein Spielzeug für dich :)

Nun, Freunde, wenn Sie diesen Text lesen, dann sagt mir der interne Cap-Beweis, dass Sie immer noch nicht wissen, was eine arithmetische Progression ist, aber Sie wollen es wirklich (nein, so: SOOOOO!) wissen. Daher werde ich Sie nicht mit langen Vorstellungsgesprächen quälen und gleich zur Sache kommen.

Zu Beginn ein paar Beispiele. Betrachten Sie mehrere Sätze von Zahlen:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Was haben all diese Sets gemeinsam? Auf den ersten Blick nichts. Aber tatsächlich gibt es etwas. Nämlich: jedes nächste Element unterscheidet sich vom vorherigen durch die gleiche Nummer.

Urteile selbst. Der erste Satz besteht nur aus fortlaufenden Nummern, jede mehr als die vorherige. Im zweiten Fall ist die Differenz zwischen benachbarten Zahlen bereits gleich fünf, aber diese Differenz ist immer noch konstant. Im dritten Fall gibt es im Allgemeinen Wurzeln. Allerdings ist $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, während $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, also in diesem Fall erhöht sich jedes nächste Element einfach um $\sqrt(2)$ (und haben Sie keine Angst, dass diese Zahl irrational ist).

Also: alle solche Folgen nennt man einfach arithmetische Progressionen. Lassen Sie uns eine strenge Definition geben:

Definition. Eine Folge von Zahlen, bei der sich jede nächste um genau den gleichen Betrag von der vorherigen unterscheidet, wird als arithmetische Progression bezeichnet. Der genaue Betrag, um den sich die Zahlen unterscheiden, wird als Progressionsdifferenz bezeichnet und wird meistens mit dem Buchstaben $d$ bezeichnet.

Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ ist die Progression selbst, $d$ ist ihre Differenz.

Und nur ein paar wichtige Bemerkungen. Zunächst wird nur die Progression betrachtet ordentlich Zahlenfolge: Sie dürfen streng in der Reihenfolge gelesen werden, in der sie geschrieben wurden - und sonst nichts. Sie können Nummern nicht neu anordnen oder vertauschen.

Zweitens kann die Folge selbst entweder endlich oder unendlich sein. Beispielsweise ist die Menge (1; 2; 3) offensichtlich eine endliche arithmetische Folge. Aber wenn Sie so etwas wie (1; 2; 3; 4; ...) schreiben, ist dies bereits eine unendliche Progression. Die Auslassungspunkte hinter der Vier deuten sozusagen darauf hin, dass ziemlich viele Zahlen weiter gehen. Unendlich viele zum Beispiel. :)

Ich möchte auch darauf hinweisen, dass die Progressionen zunehmen und abnehmen. Wir haben bereits zunehmende gesehen - die gleiche Menge (1; 2; 3; 4; ...). Hier sind Beispiele für abnehmende Progressionen:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okay, okay: Das letzte Beispiel mag zu kompliziert erscheinen. Aber den Rest, denke ich, verstehst du. Daher führen wir neue Definitionen ein:

Definition. Eine arithmetische Folge heißt:

1. Erhöhen, wenn jedes nächste Element größer als das vorherige ist;
2. abnehmend, wenn im Gegenteil jedes nachfolgende Element kleiner als das vorherige ist.

Darüber hinaus gibt es sogenannte "stationäre" Sequenzen - sie bestehen aus der gleichen sich wiederholenden Nummer. Zum Beispiel (3; 3; 3; ...).

Bleibt nur noch eine Frage: Wie kann man eine zunehmende Progression von einer abnehmenden unterscheiden? Zum Glück hängt hier alles nur vom Vorzeichen der Zahl $d$ ab, also Progressionsunterschiede:

1. Wenn $d \gt 0$, dann steigt die Progression;
2. Wenn $d \lt 0$, dann ist die Progression offensichtlich abnehmend;
3. Schließlich gibt es noch den Fall $d=0$ – in diesem Fall reduziert sich die gesamte Folge auf eine stationäre Folge identischer Zahlen: (1; 1; 1; 1; ...) usw.

Versuchen wir, die Differenz $d$ für die drei abnehmenden Progressionen oben zu berechnen. Dazu reicht es aus, zwei benachbarte Elemente (z. B. das erste und das zweite) zu nehmen und von der rechten Zahl die linke Zahl zu subtrahieren. Es wird so aussehen:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Wie Sie sehen, fiel die Differenz in allen drei Fällen wirklich negativ aus. Und jetzt, da wir die Definitionen mehr oder weniger herausgefunden haben, ist es an der Zeit herauszufinden, wie Progressionen beschrieben werden und welche Eigenschaften sie haben.

Mitglieder der Progression und der wiederkehrenden Formel

Da die Elemente unserer Sequenzen nicht vertauscht werden können, können sie nummeriert werden:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Rechts\)\]

Einzelne Elemente dieser Menge werden Mitglieder der Progression genannt. Sie werden auf diese Weise mit Hilfe einer Nummer angegeben: das erste Mitglied, das zweite Mitglied und so weiter.

Darüber hinaus sind, wie wir bereits wissen, benachbarte Mitglieder der Progression durch die Formel miteinander verbunden:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kurz gesagt, um den $n$ten Term der Progression zu finden, müssen Sie den $n-1$ten Term und die Differenz $d$ kennen. Eine solche Formel wird als rekurrent bezeichnet, da Sie mit ihrer Hilfe jede Zahl finden können, wobei Sie nur die vorherige (und tatsächlich alle vorherigen) kennen. Das ist sehr umständlich, daher gibt es eine kniffligere Formel, die jede Berechnung auf den ersten Term und die Differenz reduziert:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Wahrscheinlich ist Ihnen diese Formel schon einmal begegnet. Sie geben es gerne in allen möglichen Nachschlagewerken und Reshebniks. Und in jedem vernünftigen Lehrbuch der Mathematik ist es eines der ersten.

Ich empfehle Ihnen jedoch, ein wenig zu üben.

Aufgabe Nummer 1. Schreiben Sie die ersten drei Glieder der arithmetischen Folge $\left(((a)_(n)) \right)$ auf, wenn $((a)_(1))=8,d=-5$.

Lösung. Wir kennen also den ersten Term $((a)_(1))=8$ und die Progressionsdifferenz $d=-5$. Lassen Sie uns die gerade gegebene Formel verwenden und $n=1$, $n=2$ und $n=3$ ersetzen:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Antwort: (8; 3; -2)

Das ist alles! Beachten Sie, dass unser Fortschritt abnimmt.

Natürlich hätte $n=1$ nicht ersetzt werden können - den ersten Term kennen wir bereits. Durch das Ersetzen der Einheit haben wir jedoch dafür gesorgt, dass unsere Formel auch für den ersten Term funktioniert. In anderen Fällen lief alles auf banale Arithmetik hinaus.

Aufgabe Nummer 2. Schreiben Sie die ersten drei Glieder einer arithmetischen Folge auf, wenn ihr siebtes Glied −40 und ihr siebzehntes Glied −50 ist.

Lösung. Wir schreiben den Zustand des Problems in den üblichen Begriffen:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Rechts.\]

Ich setze das Zeichen des Systems, weil diese Anforderungen gleichzeitig erfüllt werden müssen. Und jetzt stellen wir fest, dass wir, wenn wir die erste Gleichung von der zweiten Gleichung subtrahieren (wir haben das Recht dazu, weil wir ein System haben), Folgendes erhalten:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Einfach so haben wir den Fortschrittsunterschied gefunden! Es bleibt, die gefundene Zahl in einer der Gleichungen des Systems zu ersetzen. Zum Beispiel im ersten:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Nun, da wir den ersten Term und den Unterschied kennen, müssen wir noch den zweiten und dritten Term finden:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Bereit! Problem gelöst.

Antwort: (-34; -35; -36)

Achten Sie auf eine merkwürdige Eigenschaft der Progression, die wir entdeckt haben: Wenn wir die $n$ten und $m$ten Terme voneinander subtrahieren, erhalten wir die Differenz der Progression multipliziert mit der Zahl $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Eine einfache, aber sehr nützliche Eigenschaft, die Sie unbedingt kennen sollten – mit ihrer Hilfe können Sie die Lösung vieler Progressionsprobleme erheblich beschleunigen. Hier ist ein Paradebeispiel dafür:

Aufgabe Nummer 3. Das fünfte Glied der arithmetischen Folge ist 8,4 und ihr zehntes Glied ist 14,4. Finden Sie den fünfzehnten Term dieser Progression.

Lösung. Da $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, und wir $((a)_(15))$ finden müssen, notieren wir Folgendes:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Aber nach Bedingung $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, also $5d=6$, woraus wir haben:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Antwort: 20.4

Das ist alles! Wir mussten keine Gleichungssysteme aufstellen und den ersten Term und die Differenz berechnen – alles war in nur wenigen Zeilen entschieden.

Betrachten wir nun einen anderen Problemtyp – die Suche nach negativen und positiven Gliedern der Progression. Es ist kein Geheimnis, dass, wenn die Progression zunimmt, während ihr erster Term negativ ist, früher oder später positive Terme darin erscheinen. Und umgekehrt: Die Terme einer abnehmenden Progression werden früher oder später negativ.

Gleichzeitig ist es bei weitem nicht immer möglich, diesen Moment „auf der Stirn“ zu finden und die Elemente der Reihe nach zu sortieren. Oft sind Aufgaben so angelegt, dass ohne Kenntnis der Formeln Berechnungen mehrere Blätter dauern würden – wir würden einfach einschlafen, bis wir die Antwort gefunden hätten. Daher werden wir versuchen, diese Probleme schneller zu lösen.

Aufgabe Nummer 4. Wie viele negative Terme in einer arithmetischen Folge -38,5; -35,8; …?

Lösung. Also $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, woraus wir sofort die Differenz finden:

Beachten Sie, dass die Differenz positiv ist, die Progression also zunimmt. Der erste Term ist negativ, also werden wir tatsächlich irgendwann auf positive Zahlen stoßen. Die Frage ist nur, wann dies geschehen wird.

Versuchen wir herauszufinden, wie lange (also bis zu welcher natürlichen Zahl $n$) die Negativität der Terme erhalten bleibt:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Die letzte Zeile ist erklärungsbedürftig. Wir wissen also, dass $n \lt 15\frac(7)(27)$. Auf der anderen Seite passen uns nur ganzzahlige Werte der Zahl (im Übrigen: $n\in \mathbb(N)$), also ist die größte zulässige Zahl genau $n=15$ und auf keinen Fall 16.

Aufgabe Nummer 5. In arithmetischer Folge $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Finde die Nummer des ersten positiven Terms dieser Progression.

Dies wäre genau das gleiche Problem wie das vorherige, aber wir kennen $((a)_(1))$ nicht. Aber die benachbarten Terme sind bekannt: $((a)_(5))$ und $((a)_(6))$, sodass wir den Progressionsunterschied leicht finden können:

Versuchen wir außerdem, den fünften Term in Bezug auf den ersten und die Differenz mit der Standardformel auszudrücken:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Nun gehen wir analog zum vorigen Problem vor. Wir finden heraus, an welcher Stelle in unserer Folge positive Zahlen erscheinen:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rechtspfeil ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Die kleinste ganzzahlige Lösung dieser Ungleichung ist die Zahl 56.

Bitte beachten Sie, dass in der letzten Aufgabe alles auf strikte Ungleichheit reduziert wurde, sodass die Option $n=55$ nicht zu uns passt.

Nachdem wir nun gelernt haben, einfache Probleme zu lösen, gehen wir zu komplexeren über. Aber zuerst lernen wir eine weitere sehr nützliche Eigenschaft arithmetischer Progressionen kennen, die uns in Zukunft viel Zeit und ungleiche Zellen ersparen wird. :)

Arithmetisches Mittel und gleiche Einzüge

Betrachten Sie mehrere aufeinanderfolgende Terme der aufsteigenden arithmetischen Folge $\left(((a)_(n)) \right)$. Versuchen wir, sie auf einem Zahlenstrahl zu markieren:

Arithmetische Progressionsmitglieder auf dem Zahlenstrahl

Ich habe ausdrücklich die willkürlichen Elemente $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ und nicht irgendwelche $((a)_(1)) notiert, \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ usw. Denn die Regel, die ich Ihnen jetzt verrate, funktioniert für alle „Segmente“ gleich.

Und die Regel ist ganz einfach. Merken wir uns die rekursive Formel und schreiben sie für alle markierten Mitglieder auf:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Diese Gleichheiten können jedoch anders umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Na so was? Aber die Tatsache, dass die Terme $((a)_(n-1))$ und $((a)_(n+1))$ den gleichen Abstand von $((a)_(n)) $ haben . Und dieser Abstand ist gleich $d$. Das gleiche gilt für die Terme $((a)_(n-2))$ und $((a)_(n+2))$ - sie werden auch aus $((a)_(n) entfernt )$ um die gleiche Distanz gleich $2d$. Sie können endlos fortfahren, aber das Bild veranschaulicht die Bedeutung gut

Die Glieder der Progression liegen im gleichen Abstand vom Zentrum

Was bedeutet das für uns? Das bedeutet, dass Sie $((a)_(n))$ finden können, wenn die Nachbarzahlen bekannt sind:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Wir haben eine großartige Aussage abgeleitet: Jedes Glied einer arithmetischen Folge ist gleich dem arithmetischen Mittel der benachbarten Glieder! Außerdem können wir von unserem $((a)_(n))$ nach links und rechts nicht um einen Schritt, sondern um $k$ Schritte abweichen — und trotzdem stimmt die Formel:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Diese. wir können leicht $((a)_(150))$ finden, wenn wir $((a)_(100))$ und $((a)_(200))$ kennen, weil $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass uns diese Tatsache nichts Nützliches bringt. In der Praxis werden jedoch viele Aufgaben speziell für die Verwendung des arithmetischen Mittels „geschärft“. Schau mal:

Aufgabe Nummer 6. Finde alle Werte von $x$, sodass die Zahlen $-6((x)^(2))$, $x+1$ und $14+4((x)^(2))$ aufeinanderfolgende Mitglieder sind eine arithmetische Progression (in festgelegter Reihenfolge).

Lösung. Da diese Zahlen Glieder einer Progression sind, ist für sie die Bedingung des arithmetischen Mittels erfüllt: Das zentrale Element $x+1$ kann durch benachbarte Elemente ausgedrückt werden:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Das Ergebnis ist eine klassische quadratische Gleichung. Seine Wurzeln: $x=2$ und $x=-3$ sind die Antworten.

Antwort: -3; 2.

Aufgabe Nummer 7. Finde die Werte von $$ so, dass die Zahlen $-1;4-3;(()^(2))+1$ eine arithmetische Folge bilden (in dieser Reihenfolge).

Lösung. Auch hier drücken wir den mittleren Term durch das arithmetische Mittel benachbarter Terme aus:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Noch eine quadratische Gleichung. Und wieder zwei Wurzeln: $x=6$ und $x=1$.

Antwort 1; 6.

Wenn Sie beim Lösen eines Problems brutale Zahlen erhalten oder sich der Richtigkeit der gefundenen Antworten nicht ganz sicher sind, gibt es einen wunderbaren Trick, mit dem Sie überprüfen können: Haben wir das Problem richtig gelöst?

Nehmen wir an, in Aufgabe 6 haben wir die Antworten -3 und 2 bekommen. Wie können wir überprüfen, ob diese Antworten richtig sind? Stecken wir sie einfach in den Originalzustand und sehen was passiert. Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir drei Zahlen haben ($-6(()^(2))$, $+1$ und $14+4(()^(2))$), die eine arithmetische Folge bilden sollten. $x=-3$ ersetzen:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &#x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Wir haben die Zahlen -54; –2; 50, die sich um 52 unterscheiden, ist zweifellos eine arithmetische Folge. Dasselbe passiert für $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &#x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Wieder eine Progression, aber mit einer Differenz von 27. Damit ist das Problem richtig gelöst. Wer möchte, kann die zweite Aufgabe selbst prüfen, aber ich sage gleich: Auch da stimmt alles.

Im Allgemeinen sind wir bei der Lösung der letzten Probleme auf eine weitere interessante Tatsache gestoßen, an die wir uns auch erinnern müssen:

Wenn drei Zahlen so sind, dass die zweite der Durchschnitt der ersten und letzten ist, dann bilden diese Zahlen eine arithmetische Folge.

In Zukunft wird es uns das Verständnis dieser Aussage ermöglichen, die notwendigen Progressionen basierend auf dem Zustand des Problems buchstäblich zu „konstruieren“. Aber bevor wir uns auf eine solche "Konstruktion" einlassen, sollten wir noch eine Tatsache beachten, die sich direkt aus dem bisher Besprochenen ergibt.

Gruppierung und Summe von Elementen

Gehen wir noch einmal zurück zum Zahlenstrahl. Wir stellen dort mehrere Mitglieder der Progression fest, zwischen denen vielleicht. viele andere Mitglieder wert:

6 Elemente auf dem Zahlenstrahl markiert

Versuchen wir, den "linken Schwanz" in Form von $((a)_(n))$ und $d$ auszudrücken, und den "rechten Schwanz" in Form von $((a)_(k))$ und $ d$. Es ist sehr einfach:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Beachten Sie nun, dass die folgenden Summen gleich sind:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Einfach ausgedrückt, wenn wir als Anfang zwei Elemente der Progression betrachten, die insgesamt gleich einer Zahl $S$ sind, und dann beginnen, von diesen Elementen in entgegengesetzte Richtungen zu gehen (aufeinander zu oder umgekehrt, um sich zu entfernen), dann die Summen der Elemente, auf die wir stoßen werden, werden ebenfalls gleich sein$S$. Dies lässt sich am besten grafisch darstellen:

Gleiche Einrückungen ergeben gleiche Summen

Das Verständnis dieser Tatsache wird es uns ermöglichen, Probleme mit einer grundlegend höheren Komplexität als die oben betrachteten zu lösen. Zum Beispiel diese:

Aufgabe Nummer 8. Bestimmen Sie die Differenz einer arithmetischen Folge, bei der der erste Term 66 ist und das Produkt aus dem zweiten und dem zwölften Term das kleinstmögliche ist.

Lösung. Schreiben wir alles auf, was wir wissen:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Wir kennen also den Unterschied der Progression $d$ nicht. Eigentlich wird die ganze Lösung um den Unterschied herum aufgebaut, da das Produkt $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ wie folgt umgeschrieben werden kann:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Für die im Tank: Ich habe den gemeinsamen Faktor 11 aus der zweiten Klammer herausgenommen. Das gesuchte Produkt ist also eine quadratische Funktion bezüglich der Variablen $d$. Betrachten Sie daher die Funktion $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - ihr Graph ist eine Parabel mit Zweigen nach oben, weil Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Wie Sie sehen können, ist der Koeffizient mit dem höchsten Term 11 – das ist eine positive Zahl, also haben wir es wirklich mit einer Parabel mit Ästen nach oben zu tun:

Graph einer quadratischen Funktion - Parabel

Beachte: Diese Parabel nimmt ihren Minimalwert an ihrem Scheitelpunkt mit der Abszisse $((d)_(0))$ an. Natürlich können wir diese Abszisse nach dem Standardschema berechnen (es gibt eine Formel $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), aber es wäre viel sinnvoller Beachten Sie, dass der gewünschte Scheitelpunkt auf der Achsensymmetrie der Parabel liegt, sodass der Punkt $((d)_(0))$ gleich weit von den Wurzeln der Gleichung $f\left(d \right)=0$ entfernt ist:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Deshalb hatte ich es nicht eilig, die Klammern zu öffnen: In ihrer ursprünglichen Form waren die Wurzeln sehr, sehr leicht zu finden. Daher ist die Abszisse gleich dem arithmetischen Mittel der Zahlen −66 und −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Was gibt uns die entdeckte Zahl? Damit nimmt das benötigte Produkt den kleinsten Wert an (wir haben übrigens $((y)_(\min ))$ nicht berechnet - das wird von uns nicht verlangt). Gleichzeitig ist diese Zahl die Differenz der Anfangsprogression, d.h. Wir haben die Antwort gefunden. :)

Antwort: -36

Aufgabe Nummer 9. Füge zwischen den Zahlen $-\frac(1)(2)$ und $-\frac(1)(6)$ drei Zahlen ein, sodass sie zusammen mit den gegebenen Zahlen eine arithmetische Folge bilden.

Lösung. Tatsächlich müssen wir eine Folge von fünf Zahlen bilden, wobei die erste und letzte Zahl bereits bekannt sind. Kennzeichnen Sie die fehlenden Zahlen durch die Variablen $x$, $y$ und $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Beachten Sie, dass die Zahl $y$ die "Mitte" unserer Sequenz ist - sie ist gleich weit entfernt von den Zahlen $x$ und $z$ und von den Zahlen $-\frac(1)(2)$ und $-\frac (1)(6)$. Und wenn wir aus den Zahlen $x$ und $z$ im Moment nicht $y$ bekommen können, dann ist das bei den Enden der Progression anders. Denken Sie an das arithmetische Mittel:

Nun, da wir $y$ kennen, werden wir die verbleibenden Zahlen finden. Beachten Sie, dass $x$ zwischen $-\frac(1)(2)$ und $y=-\frac(1)(3)$ liegt, die gerade gefunden wurden. Deshalb

Ähnlich argumentierend finden wir die verbleibende Zahl:

Bereit! Wir haben alle drei Nummern gefunden. Wir schreiben sie in der Antwort in der Reihenfolge, in der sie zwischen die ursprünglichen Zahlen eingefügt werden sollen.

Antwort: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Aufgabe Nummer 10. Füge zwischen den Zahlen 2 und 42 mehrere Zahlen ein, die zusammen mit den angegebenen Zahlen eine arithmetische Folge bilden, wenn bekannt ist, dass die Summe der ersten, zweiten und letzten der eingefügten Zahlen 56 ist.

Lösung. Eine noch schwierigere Aufgabe, die jedoch auf die gleiche Weise wie die vorherigen gelöst wird - durch das arithmetische Mittel. Das Problem ist, dass wir nicht genau wissen, wie viele Zahlen wir einfügen müssen. Daher nehmen wir zur Sicherheit an, dass es nach dem Einfügen genau $n$ Zahlen geben wird, und die erste davon ist 2 und die letzte 42. In diesem Fall kann die gewünschte arithmetische Folge wie folgt dargestellt werden:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Beachten Sie jedoch, dass die Zahlen $((a)_(2))$ und $((a)_(n-1))$ aus den Zahlen 2 und 42 erhalten werden, die an den Rändern um einen Schritt zueinander stehen , d. h. in die Mitte der Sequenz. Und das bedeutet das

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Aber dann kann der obige Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Wenn wir $((a)_(3))$ und $((a)_(1))$ kennen, können wir den Fortschrittsunterschied leicht finden:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rechtspfeil d=5. \\ \end(align)\]

Es bleibt nur, die verbleibenden Mitglieder zu finden:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Somit kommen wir bereits beim 9. Schritt zum linken Ende der Sequenz - der Zahl 42. Insgesamt mussten nur 7 Zahlen eingefügt werden: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Antwort: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Textaufgaben mit Progressionen

Abschließend möchte ich einige relativ einfache Probleme betrachten. Nun, so einfach: Für die meisten Schüler, die in der Schule Mathematik lernen und das oben Geschriebene nicht gelesen haben, mögen diese Aufgaben wie eine Geste erscheinen. Dennoch sind es gerade solche Aufgaben, die in der OGE und der USE in der Mathematik vorkommen, daher empfehle ich Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Aufgabe Nummer 11. Das Team produzierte im Januar 62 Teile und in jedem Folgemonat 14 Teile mehr als im Vormonat. Wie viele Teile hat die Brigade im November produziert?

Lösung. Offensichtlich wird die Anzahl der Teile, die von Monat zu Monat gemalt werden, eine zunehmende arithmetische Progression sein. Und:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November ist der 11. Monat des Jahres, also müssen wir $((a)_(11))$ finden:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Daher werden im November 202 Teile gefertigt.

Aufgabe Nummer 12. Die Buchbinderei hat im Januar 216 Bücher gebunden und jeden Monat 4 Bücher mehr als im Vormonat. Wie viele Bücher hat der Workshop im Dezember gebunden?

Lösung. Alles das selbe:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dezember ist der letzte, 12. Monat des Jahres, also suchen wir nach $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Das ist die Antwort – 260 Bücher werden im Dezember gebunden.

Nun, wenn Sie bis hierher gelesen haben, beeile ich mich, Ihnen zu gratulieren: Sie haben den „Jungkämpfer-Kurs“ in Arithmetischen Progressionen erfolgreich abgeschlossen. Wir können sicher zur nächsten Lektion übergehen, in der wir die Progressionssummenformel sowie wichtige und sehr nützliche Konsequenzen daraus studieren werden.

Zum Beispiel die Sequenz \(2\); \(5\); \(acht\); \(elf\); \(14\)… ist eine arithmetische Folge, weil sich jedes nächste Element vom vorherigen um drei unterscheidet (kann vom vorherigen durch Hinzufügen von drei erhalten werden):

In dieser Progression ist die Differenz \(d\) positiv (gleich \(3\)), und daher ist jeder nächste Term größer als der vorherige. Solche Progressionen werden aufgerufen zunehmend.

\(d\) kann aber auch eine negative Zahl sein. Zum Beispiel, in arithmetischer Folge \(16\); \(zehn\); \(vier\); \(-2\); \(-8\)… die Progressionsdifferenz \(d\) ist gleich minus sechs.

Und in diesem Fall ist jedes nächste Element kleiner als das vorherige. Diese Progressionen werden aufgerufen abnehmend.

Arithmetische Progressionsnotation

Die Progression wird durch einen kleinen lateinischen Buchstaben gekennzeichnet.

Die Zahlen, die eine Progression bilden, werden sie genannt Mitglieder(oder Elemente).

Sie werden mit demselben Buchstaben wie die arithmetische Folge bezeichnet, jedoch mit einem numerischen Index, der der Elementnummer in der Reihenfolge entspricht.

Beispielsweise besteht die arithmetische Folge \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aus den Elementen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) und so weiter.

Mit anderen Worten, für die Progression \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Lösen von Problemen auf einer arithmetischen Folge

Im Prinzip reichen die obigen Informationen bereits aus, um fast alle Probleme auf einer arithmetischen Progression (einschließlich der an der OGE angebotenen) zu lösen.

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression ist durch die Bedingungen \(b_1=7; d=4\) gegeben. Finden Sie \(b_5\).
Lösung:

Antworten: \(b_5=23\)

Beispiel (OGE). Die ersten drei Glieder einer arithmetischen Folge sind gegeben: \(62; 49; 36…\) Finde den Wert des ersten negativen Glieds dieser Folge..
Lösung:

	Wir erhalten die ersten Elemente der Folge und wissen, dass es sich um eine arithmetische Folge handelt. Das heißt, jedes Element unterscheidet sich vom benachbarten um die gleiche Zahl. Finden Sie heraus, welches, indem Sie das vorherige vom nächsten Element subtrahieren: \(d=49-62=-13\).
	Jetzt können wir unsere Progression zum gewünschten (ersten negativen) Element wiederherstellen.
	Bereit. Sie können eine Antwort schreiben.

Antworten: \(-3\)

Beispiel (OGE). Mehrere aufeinanderfolgende Elemente einer arithmetischen Folge sind gegeben: \(...5; x; 10; 12.5...\) Finden Sie den Wert des Elements, das mit dem Buchstaben \(x\) bezeichnet wird.
Lösung:

	Um \(x\) zu finden, müssen wir wissen, wie stark sich das nächste Element vom vorherigen unterscheidet, mit anderen Worten, die Progressionsdifferenz. Finden wir es aus zwei bekannten benachbarten Elementen: \(d=12.5-10=2.5\).
	Und jetzt finden wir ohne Probleme, was wir suchen: \(x=5+2.5=7.5\).
	Bereit. Sie können eine Antwort schreiben.

Antworten: \(7,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression ist durch folgende Bedingungen gegeben: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Finden Sie die Summe der ersten sechs Terme dieser Progression.
Lösung:

Wir müssen die Summe der ersten sechs Terme der Progression finden. Aber wir kennen ihre Bedeutung nicht, wir bekommen nur das erste Element. Daher berechnen wir zunächst die Werte der Reihe nach anhand der uns gegebenen: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Und nachdem wir die sechs Elemente berechnet haben, die wir brauchen, finden wir ihre Summe.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Der angeforderte Betrag wurde gefunden.

Antworten: \(S_6=9\).

Beispiel (OGE). In arithmetischer Folge \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Finde den Unterschied dieser Progression.
Lösung:

Antworten: \(d=7\).

Wichtige arithmetische Progressionsformeln

Wie Sie sehen, können viele arithmetische Progressionsprobleme gelöst werden, indem Sie einfach die Hauptsache verstehen - dass eine arithmetische Progression eine Kette von Zahlen ist und jedes nächste Element in dieser Kette durch Hinzufügen derselben Zahl zur vorherigen erhalten wird (die Differenz des Verlaufs).

Manchmal gibt es jedoch Situationen, in denen es sehr unpraktisch ist, "auf der Stirn" zu lösen. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass wir im allerersten Beispiel nicht das fünfte Element \(b_5\), sondern das dreihundertsechsundachtzigste \(b_(386)\) finden müssen. Was ist es, wir \ (385 \) mal vier zu addieren? Oder stellen Sie sich vor, dass Sie im vorletzten Beispiel die Summe der ersten 73 Elemente finden müssen. Zählen ist verwirrend...

Daher lösen sie in solchen Fällen nicht „auf der Stirn“, sondern verwenden spezielle Formeln, die für die arithmetische Progression abgeleitet wurden. Und die wichtigsten sind die Formel für den n-ten Term der Progression und die Formel für die Summe \(n\) der ersten Terme.

Formel für das \(n\)-te Mitglied: \(a_n=a_1+(n-1)d\), wobei \(a_1\) das erste Mitglied der Progression ist;
\(n\) – Nummer des gewünschten Elements;
\(a_n\) ist ein Mitglied der Progression mit der Nummer \(n\).

Diese Formel ermöglicht es uns, schnell mindestens das dreihundertste, sogar das millionste Element zu finden, wenn wir nur den ersten und den Fortschrittsunterschied kennen.

Beispiel. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingungen gegeben: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Finden Sie \(b_(246)\).
Lösung:

Antworten: \(b_(246)=1850\).

Die Formel für die Summe der ersten n Terme lautet: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), wobei

\(a_n\) ist der letzte summierte Term;

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression ist durch die Bedingungen \(a_n=3.4n-0.6\) gegeben. Finde die Summe der ersten \(25\) Terme dieser Progression.
Lösung:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Um die Summe der ersten fünfundzwanzig Elemente zu berechnen, müssen wir den Wert des ersten und des fünfundzwanzigsten Terms kennen. Unsere Progression ergibt sich aus der Formel des n-ten Terms in Abhängigkeit von seiner Nummer (siehe Details). Lassen Sie uns das erste Element berechnen, indem wir \(n\) durch eins ersetzen.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Lassen Sie uns nun den fünfundzwanzigsten Term finden, indem wir anstelle von \(n\) fünfundzwanzig einsetzen.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Nun, jetzt berechnen wir problemlos die erforderliche Menge.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Die Antwort ist fertig.

Antworten: \(S_(25)=1090\).

Für die Summe \(n\) der ersten Terme können Sie eine andere Formel erhalten: Sie müssen nur \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) ersetzen Sie statt \(a_n\) die Formel dafür \(a_n=a_1+(n-1)d\). Wir bekommen:

Die Formel für die Summe der ersten n Terme lautet: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), wobei

\(S_n\) – die erforderliche Summe \(n\) der ersten Elemente;
\(a_1\) ist der erste zu summierende Term;
\(d\) – Progressionsdifferenz;
\(n\) - die Anzahl der Elemente in der Summe.

Beispiel. Finden Sie die Summe der ersten \(33\)-ex-Terme der arithmetischen Folge: \(17\); \(15,5\); \(vierzehn\)…
Lösung:

Antworten: \(S_(33)=-231\).

Komplexere arithmetische Progressionsprobleme

Jetzt haben Sie alle Informationen, die Sie benötigen, um fast alle arithmetischen Progressionsaufgaben zu lösen. Lassen Sie uns das Thema beenden, indem wir Probleme betrachten, bei denen Sie nicht nur Formeln anwenden, sondern auch ein wenig nachdenken müssen (in Mathematik kann dies nützlich sein ☺)

Beispiel (OGE). Finde die Summe aller negativen Terme der Progression: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Lösung:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Die Aufgabe ist der vorherigen sehr ähnlich. Wir beginnen auf die gleiche Weise zu lösen: Zuerst finden wir \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Jetzt würden wir \(d\) in die Formel für die Summe einsetzen ... und hier taucht eine kleine Nuance auf - wir kennen \(n\) nicht. Mit anderen Worten, wir wissen nicht, wie viele Begriffe hinzugefügt werden müssen. Wie findet man es heraus? Denken wir nach. Wir hören auf, Elemente hinzuzufügen, wenn wir zum ersten positiven Element kommen. Das heißt, Sie müssen die Nummer dieses Elements herausfinden. Wie? Schreiben wir die Formel zur Berechnung eines beliebigen Elements einer arithmetischen Folge auf: \(a_n=a_1+(n-1)d\) für unseren Fall.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Wir müssen \(a_n\) größer als Null sein. Lassen Sie uns herausfinden, für was \(n\) dies passieren wird.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Wir dividieren beide Seiten der Ungleichung durch \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Wir übertragen minus eins und vergessen nicht, die Vorzeichen zu ändern
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Rechnen...
\(n>65.333…\)		…und es stellt sich heraus, dass das erste positive Element die Nummer \(66\) haben wird. Dementsprechend hat das letzte Negativ \(n=65\). Lassen Sie es uns für alle Fälle überprüfen.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Daher müssen wir die ersten \(65\) Elemente hinzufügen.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Die Antwort ist fertig.

Antworten: \(S_(65)=-630,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression ist durch die Bedingungen gegeben: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Finden Sie die Summe vom \(26\)-ten bis einschließlich \(42\)-Element.
Lösung:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bei dieser Aufgabe müssen Sie auch die Summe der Elemente finden, aber nicht beim ersten, sondern beim \(26\)-ten. Dafür haben wir keine Formel. Wie entscheiden? Einfach - um die Summe von \(26\)th bis \(42\)th zu erhalten, müssen Sie zuerst die Summe von \(1\)th bis \(42\)th finden und dann die Summe von davon subtrahieren die erste bis \ (25 \) th (siehe Bild).
	Für unsere Progression \(a_1=-33\) und die Differenz \(d=4\) (schließlich addieren wir vier zum vorherigen Element, um das nächste zu finden). Mit diesem Wissen finden wir die Summe der ersten \(42\)-uh Elemente.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nun die Summe der ersten \(25\)-ten Elemente.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Und schließlich berechnen wir die Antwort.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Antworten: \(S=1683\).

Für eine arithmetische Progression gibt es noch einige weitere Formeln, die wir in diesem Artikel aufgrund ihres geringen praktischen Nutzens nicht berücksichtigt haben. Sie können sie jedoch leicht finden.