Betrachten Sie ein System von m linearen Gleichungen mit n Variablen

(1)

Dieses System kann kurz geschrieben werden als:

Oder in Matrixform: Ax = B.

Bei linearen Programmierproblemen werden unsichere Gleichungssysteme betrachtet, d. h. eine unendliche Anzahl von Lösungen haben. Dann der Rang r der Systemmatrix

,
kleiner als die Anzahl der Variablen: rn. Dies bedeutet, dass die maximale Anzahl linear unabhängiger Gleichungen in (1) gleich r ist. Wir gehen davon aus, dass in System (1) die Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen gleich m ist, d.h. r = m. Aus der Algebra ist bekannt, dass es in diesem Fall m Variablen, Koeffizienten, gibt die im System (1) eine Matrix mit einer Determinante ungleich Null bilden. Eine solche Determinante wird als Basis-Minor bezeichnet, und die entsprechenden Variablen werden als Basis-Determinante bezeichnet. Die restlichen n – m Variablen werden freie Variablen genannt. Basisvariablen können durch freie Variablen mithilfe der Gleichungen des Systems (1) ausgedrückt werden, freien Variablen beliebige Werte zuweisen und die Werte von Basisvariablen mithilfe der Cramer-Formeln ermitteln. Das Ergebnis ist eine der Lösungen für System (1).

Definition 1. Die Lösung des linearen Gleichungssystems (1), die mit Nullwerten der freien Variablen erhalten wird, wird als Basislösung bezeichnet.

Die Basisvariablen und damit die von Null verschiedenen Komponenten der Basislösung entsprechen linear unabhängigen Spalten der Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems. Dies ermöglicht uns eine andere Definition der Grundlösung eines linearen Gleichungssystems.

Definition 2. Die Grundlösung eines linearen Gleichungssystems ist eine Lösung dieses Systems, deren von Null verschiedene Komponenten linear unabhängigen Spalten der Koeffizientenmatrix dieses Systems entsprechen.

Die Basisvariablen können verschiedene Gruppen sein, die m Variablen der in (1) angegebenen n Variablen enthalten. Die maximal mögliche Anzahl von Möglichkeiten, m Variablen aus einer Menge mit n Variablen auszuwählen, ist gleich der Anzahl der Kombinationen . Es kann jedoch Fälle geben, in denen die entsprechende Determinante einer Matrix, die aus Koeffizienten für ausgewählte m Variablen im System (1) besteht, gleich Null ist. Daher wird die Anzahl der Gruppen von Basisvariablen nicht überschritten . Für jede Gruppe von Basisvariablen kann man die entsprechende Basislösung von System (1) finden. Aus der obigen Überlegung folgt der Satz:

Satz. Die Anzahl der Basislösungen eines unbestimmten Systems (1), in dem der Rang der Systemmatrix liegtR = M < Nüberschreitet nicht .

Beispiel. Finden Sie alle Grundlösungen des Gleichungssystems (2):

(2)

Lösung. Offensichtlich ist r=m=2, n=4. Die Gesamtzahl der Gruppen von Basisvariablen beträgt nicht mehr als = 6. Allerdings sind die Koeffizienten der Variablen in der Systemmatrix in der ersten, zweiten und vierten Spalte proportional, daher sind die Determinanten zweiter Ordnung, die sich aus den Koeffizienten zweier dieser drei Spalten zusammensetzen, gleich Null. Verbleibende Sets:
,
Und
.

Für eine Reihe von Variablen
Determinante bestehend aus ihren Koeffizienten d = = –2 0. Folglich können diese Variablen als Basisvariablen betrachtet werden,
- frei. Weisen wir freien Variablen Nullwerte zu:
Wir lösen das System:

(3)
, Wo
.

Im Allgemeinen hat die lineare Gleichung die Form:

Die Gleichung hat eine Lösung: wenn mindestens einer der Koeffizienten der Unbekannten von Null verschieden ist. In diesem Fall wird jeder -dimensionale Vektor als Lösung der Gleichung bezeichnet, wenn die Gleichung beim Ersetzen seiner Koordinaten eine Identität wird.

Allgemeine Eigenschaften des aufgelösten Gleichungssystems

Beispiel 20.1

Beschreiben Sie das Gleichungssystem.

Lösung:

1. Liegt eine widersprüchliche Gleichung vor?(Wenn die Koeffizienten, in diesem Fall hat die Gleichung die Form: und heißt umstritten.)

• Wenn ein System etwas Widersprüchliches enthält, dann ist ein solches System inkonsistent und hat keine Lösung.

2. Finden Sie alle zulässigen Variablen. (Das Unbekannte wird gerufengestattet für ein Gleichungssystem, wenn es in einer der Gleichungen des Systems mit einem Koeffizienten von +1 enthalten ist, aber nicht in den anderen Gleichungen enthalten ist (d. h. es ist mit einem Koeffizienten gleich Null enthalten).

3. Ist das Gleichungssystem gelöst? (Das Gleichungssystem heißt gelöst, wenn jede Gleichung des Systems eine aufgelöste Unbekannte enthält, unter der es keine übereinstimmenden gibt)

Die aufgelösten Unbekannten, jeweils eine aus jeder Gleichung des Systems entnommen, bilden sich vollständiger Satz gelöster Unbekannter Systeme. (in unserem Beispiel ist das)

Zulässige Unbekannte, die im Gesamtsatz enthalten sind, werden ebenfalls aufgerufen Basic(), und nicht im Set enthalten - frei ().

Im allgemeinen Fall hat das aufgelöste Gleichungssystem die Form:

In dieser Phase geht es vor allem darum, zu verstehen, was es ist unbekannt gelöst(in der Basis enthalten und kostenlos).

Allgemeines, Besonderes, Basislösungen

Allgemeine Lösung Ein aufgelöstes Gleichungssystem ist eine Menge von Ausdrücken aufgelöster Unbekannter durch freie Terme und freie Unbekannte:

Private Entscheidung heißt eine Lösung, die aus einer allgemeinen Lösung für bestimmte Werte freier Variablen und Unbekannten erhalten wird.

Grundlegende Lösung ist eine bestimmte Lösung, die aus der allgemeinen Lösung für Nullwerte der freien Variablen erhalten wird.

• Die Grundlösung (Vektor) heißt degenerieren, wenn die Anzahl seiner Koordinaten ungleich Null kleiner als die Anzahl der zulässigen Unbekannten ist.
• Die Grundlösung heißt nicht entartet, wenn die Anzahl seiner Koordinaten ungleich Null gleich der Anzahl der zulässigen Unbekannten des Systems ist, die in der vollständigen Menge enthalten sind.

Satz (1)

Das aufgelöste Gleichungssystem ist immer konsistent(weil es mindestens eine Lösung hat); Wenn das System außerdem keine freien Unbekannten hat,(d. h. in einem Gleichungssystem sind alle erlaubten in der Basis enthalten) dann ist es definiert(hat eine einzigartige Lösung); Wenn mindestens eine freie Variable vorhanden ist, ist das System nicht definiert(hat unendlich viele Lösungen).

Beispiel 1. Finden Sie die allgemeine, grundlegende und jede besondere Lösung des Gleichungssystems:

Lösung:

1. Prüfen wir, ob das System autorisiert ist?

• Das System ist aufgelöst (da jede der Gleichungen eine aufgelöste Unbekannte enthält)

2. Wir nehmen zulässige Unbekannte in die Menge auf – eine aus jeder Gleichung.

3. Wir schreiben die allgemeine Lösung auf, je nachdem, welche erlaubten Unbekannten wir in die Menge aufgenommen haben.

4. Eine bestimmte Lösung finden. Dazu setzen wir freie Variablen, die wir nicht in die Menge aufgenommen haben, mit beliebigen Zahlen gleich.

Antwort: private Lösung(eine der Optionen)

5. Die grundlegende Lösung finden. Dazu setzen wir die freien Variablen, die wir nicht in die Menge aufgenommen haben, mit Null gleich.

Elementare Transformationen linearer Gleichungen

Systeme linearer Gleichungen werden durch elementare Transformationen auf äquivalente aufgelöste Systeme reduziert.

Satz (2)

Wenn überhaupt Multiplizieren Sie die Gleichung des Systems mit einer Zahl ungleich Null, und lassen Sie den Rest der Gleichungen unverändert, dann . (das heißt, wenn Sie die linke und rechte Seite der Gleichung mit derselben Zahl multiplizieren, erhalten Sie eine Gleichung, die dieser entspricht)

Satz (3)

Wenn Fügen Sie einer beliebigen Gleichung des Systems eine weitere hinzu, und lassen Sie dann alle anderen Gleichungen unverändert wir erhalten ein System, das diesem entspricht. (das heißt, wenn Sie zwei Gleichungen addieren (indem Sie ihre linke und rechte Seite addieren), erhalten Sie eine Gleichung, die den Daten entspricht.)

Folgerung der Sätze (2 und 3)

Wenn Fügen Sie einer Gleichung, die mit einer bestimmten Zahl multipliziert wird, eine weitere Gleichung hinzu, und lassen Sie alle anderen Gleichungen unverändert, dann erhalten wir ein System, das diesem entspricht.

Formeln zur Neuberechnung von Systemkoeffizienten

Wenn wir ein Gleichungssystem haben und dieses in ein aufgelöstes Gleichungssystem umwandeln wollen, hilft uns dabei die Jordan-Gauss-Methode.

Jordan verwandelt sich Mit einem auflösenden Element können Sie eine aufgelöste Unbekannte für ein Gleichungssystem in der Gleichung mit der Zahl erhalten. (Beispiel 2).

Die Jordan-Transformation besteht aus elementaren Transformationen zweier Arten:

Nehmen wir an, wir möchten die Unbekannte in der unteren Gleichung zu einer aufgelösten Unbekannten machen. Dazu müssen wir durch dividieren, so dass die Summe ist.

Beispiel 2 Berechnen wir die Systemkoeffizienten neu

Wenn man eine Gleichung durch eine Zahl dividiert, werden ihre Koeffizienten anhand der Formeln neu berechnet:

Um mit Zahl aus der Gleichung auszuschließen, müssen Sie die Gleichung mit Zahl mit multiplizieren und zu dieser Gleichung addieren.

Satz (4) Zur Reduzierung der Anzahl der Gleichungen des Systems.

Wenn ein Gleichungssystem eine triviale Gleichung enthält, kann diese aus dem System ausgeschlossen werden und man erhält ein dem ursprünglichen System äquivalentes System.

Satz (5) Über die Inkompatibilität des Gleichungssystems.

Wenn ein Gleichungssystem eine inkonsistente Gleichung enthält, dann ist es inkonsistent.

Algorithmus der Jordan-Gauß-Methode

Der Algorithmus zur Lösung von Gleichungssystemen mit der Jordan-Gauss-Methode besteht aus einer Reihe ähnlicher Schritte, bei denen jeweils Aktionen in der folgenden Reihenfolge ausgeführt werden:

1. Überprüft, ob das System inkonsistent ist. Wenn ein System eine inkonsistente Gleichung enthält, dann ist es inkonsistent.
2. Es wird geprüft, ob die Anzahl der Gleichungen reduziert werden kann. Wenn das System eine triviale Gleichung enthält, ist diese durchgestrichen.
3. Wenn das Gleichungssystem gelöst ist, dann notieren Sie die allgemeine Lösung des Systems und gegebenenfalls spezielle Lösungen.
4. Wenn das System nicht aufgelöst ist, wird in einer Gleichung, die keine aufgelöste Unbekannte enthält, ein auflösendes Element ausgewählt und eine Jordan-Transformation mit diesem Element durchgeführt.
5. Gehen Sie dann zurück zu Punkt 1

Beispiel 3 Lösen Sie ein Gleichungssystem mit der Jordan-Gauß-Methode.

Finden: zwei allgemeine und zwei entsprechende Grundlösungen

Lösung:

Die Berechnungen sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

Rechts neben der Tabelle sind Aktionen für Gleichungen aufgeführt. Die Pfeile zeigen an, zu welcher Gleichung die Gleichung mit dem auflösenden Element addiert und mit einem geeigneten Faktor multipliziert wird.

Die ersten drei Zeilen der Tabelle enthalten die Koeffizienten der Unbekannten und die rechten Seiten des Originalsystems. Die Ergebnisse der ersten Jordan-Transformation mit einem Auflösungselement gleich eins sind in den Zeilen 4, 5, 6 angegeben. Die Ergebnisse der zweiten Jordan-Transformation mit einem Auflösungselement gleich (-1) sind in den Zeilen 7, 8, 9 angegeben Da die dritte Gleichung trivial ist, kann auf ihre Betrachtung verzichtet werden.

Dieser Online-Rechner ermittelt die allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems mithilfe der Jordan-Gauß-Methode. Eine detaillierte Lösung wird gegeben. Wählen Sie zum Berechnen die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Variablen aus. Geben Sie dann die Daten in die Zellen ein und klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“.

Nachfolgend finden Sie den theoretischen Teil zum Finden einer Lösung für ein lineares Gleichungssystem mithilfe der Jordan-Gauß-Methode.

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Zahlendarstellung:

Ganze Zahlen und/oder gemeinsame Brüche
Ganze Zahlen und/oder Dezimalzahlen

Anzahl der Nachkommastellen

×

Warnung

Alle Zellen löschen?

Schließen Löschen

Anweisungen zur Dateneingabe. Zahlen werden als ganze Zahlen (Beispiele: 487, 5, -7623 usw.), Dezimalzahlen (z. B. 67, 102,54 usw.) oder Brüche eingegeben. Der Bruch muss in der Form a/b eingegeben werden, wobei a und b (b>0) ganze Zahlen oder Dezimalzahlen sind. Beispiele 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 usw.

Jordan-Gauss-Methode

Die Jordan-Gauss-Methode ist eine Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme und auch eine Methode zur Ermittlung der inversen Matrix. Diese Methode ist eine Modifikation der Gauß-Methode.

Die erste Stufe der Jordan-Gauss-Methode ähnelt der Gauß-Methode (direkte Gauß-Bewegung), die auf der Seite „Gauß-Methode online“ im Detail eingesehen werden kann. Die zweite Stufe (umgekehrt) der Jordan-Gauss-Methode besteht darin, alle Elemente der Koeffizientenmatrix des Systems linearer Gleichungen über den führenden Elementen auf Null zu setzen. Beachten Sie, dass wir hier ein beliebiges System linearer Gleichungen betrachten, bei dem die Anzahl der Variablen möglicherweise nicht gleich der Anzahl der Einschränkungen ist.

Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem:

(1)

Schreiben wir System (1) in Matrixform:

Ax=b

(2)

(3)

A- die Koeffizientenmatrix des Systems genannt, B− rechte Seite der Beschränkungen, X− Vektor der zu findenden Variablen. Lass rank( A)=P.

Lassen Sie uns eine erweiterte Matrix des Systems erstellen:

Wenn ,..., gleich Null sind, dann hat das lineare Gleichungssystem eine Lösung, ist aber mindestens eine dieser Zahlen von Null verschieden, dann ist das System inkonsistent. Mit anderen Worten, System (2) ist genau dann konsistent, wenn der Rang der Matrix A gleich dem Rang der erweiterten Matrix ( A|b).

Lassen . Dann wenden wir in umgekehrter Reihenfolge, ausgehend vom führenden Element, die umgekehrte Gaußsche Bewegung an. Der Kern der Rückwärtsbewegung besteht darin, alle Elemente der erweiterten Matrix zurückzusetzen, die höher als die führenden Elemente sind.

Lassen Sie uns also alle Elemente in der Spalte zurücksetzen P, über dem Element. Da ≠0, fügen wir die Zeilen 1,2,... hinzu. p− 1 mit Linie P, multipliziert mit jeweils.

Die erweiterte Matrix wird die folgende Form annehmen:

Teilen Sie jede Zeile durch ihr entsprechendes führendes Element (sofern ein führendes Element vorhanden ist):

Dann kann die Lösung wie folgt geschrieben werden:

Matrix-Aufzeichnungstyp: Ax=b, Wo

Bezeichnen wir mit ein ij Elemente ich-te Zeile und J Spalte.

Erste Stufe. Gaußsche Vorwärtsbewegung

A elf . Addieren Sie dazu die Zeilen 2,3 mit Zeile 1, multipliziert mit 1/2 bzw. -3/2:

Lassen Sie uns Elemente der 3. Spalte der Matrix über dem Element ausschließen A 33. Addieren Sie dazu die Zeilen 1, 2 mit Zeile 3, multipliziert mit -3/2 bzw. -5/4:

Wir dividieren jede Zeile der Matrix durch das entsprechende führende Element (sofern das führende Element existiert):

Matrix-Aufzeichnungstyp: Ax=b, Wo

Bezeichnen wir mit ein ij Elemente ich-te Zeile und J Spalte.

Erste Stufe. Direkte Gauß-Bewegung.

Lassen Sie uns die Elemente der 1. Spalte der Matrix unterhalb des Elements ausschließen A elf . Addieren Sie dazu die Zeilen 2,3 mit Zeile 1, multipliziert mit 4/3 bzw. 5/3:

Zweite Phase. Gaußsche Umkehrung

Lassen Sie uns Elemente der 2. Spalte der Matrix über dem Element ausschließen A 22. Addieren Sie dazu Zeile 1 mit Zeile 2 multipliziert mit -3/10:

Lassen Sie uns die Variablen ausdrücken X 1 , X 2 relativ zu anderen Variablen.

Dann lässt sich die Vektorlösung wie folgt darstellen:

,

X 3 ist eine beliebige reelle Zahl.

§1. Systeme linearer Gleichungen.

System anzeigen

ein System genannt M lineare Gleichungen mit N Unbekannt.

Hier
- Unbekannt, - Koeffizienten für Unbekannte,
- freie Terme der Gleichungen.

Sind alle freien Terme der Gleichungen gleich Null, heißt das System homogen.Durch Entscheidung System nennt man eine Sammlung von Zahlen
, wenn sie anstelle von Unbekannten in das System eingesetzt werden, werden alle Gleichungen zu Identitäten. Das System heißt gemeinsam, wenn es mindestens eine Lösung gibt. Ein kompatibles System, das eine einzigartige Lösung hat, wird aufgerufen bestimmt. Die beiden Systeme heißen Äquivalent, wenn die Mengen ihrer Lösungen übereinstimmen.

System (1) kann mit der Gleichung in Matrixform dargestellt werden

(2)

.

§2. Kompatibilität linearer Gleichungssysteme.

Nennen wir die erweiterte Matrix des Systems (1) die Matrix

Kronecker-Capelli-Theorem. System (1) ist genau dann konsistent, wenn der Rang der Systemmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist:

.

§3. SystemlösungN lineare Gleichungen mitN Unbekannt.

Betrachten Sie ein inhomogenes System N lineare Gleichungen mit N Unbekannt:

(3)

Satz von Cramer.Wenn die Hauptdeterminante des Systems (3)
, dann hat das System eine eindeutige Lösung, bestimmt durch die Formeln:

diese.
,

Wo - aus der Determinante gewonnene Determinante Ersatz Spalte in die Spalte der freien Mitglieder.

Wenn
, und mindestens einer von ≠0, dann hat das System keine Lösungen.

Wenn
, dann hat das System unendlich viele Lösungen.

System (3) kann mit seiner Matrixform (2) gelöst werden. Wenn der Matrixrang A gleicht N, d.h.
, dann die Matrix A hat eine Umkehrung
. Multiplikation der Matrixgleichung
zur Matrix
links erhalten wir:

.

Die letzte Gleichung drückt die Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme mithilfe einer inversen Matrix aus.

Beispiel. Lösen Sie ein Gleichungssystem mithilfe einer inversen Matrix.

Lösung. Matrix
nicht entartet, da
, was bedeutet, dass es eine inverse Matrix gibt. Berechnen wir die inverse Matrix:
.

,

Übung. Lösen Sie das System mit der Cramer-Methode.

§4. Lösen beliebiger linearer Gleichungssysteme.

Gegeben sei ein inhomogenes System linearer Gleichungen der Form (1).

Nehmen wir an, dass das System konsistent ist, d.h. die Bedingung des Kronecker-Capelli-Theorems ist erfüllt:
. Wenn der Matrixrang
(Anzahl der Unbekannten), dann hat das System eine eindeutige Lösung. Wenn
, dann hat das System unendlich viele Lösungen. Lassen Sie mich erklären.

Sei der Rang der Matrix R(A)= R< N. Weil das
, dann gibt es eine kleinere Ordnung ungleich Null R. Nennen wir es Grundmoll. Die Unbekannten, deren Koeffizienten eine Basisminor bilden, werden Basisvariablen genannt. Die verbleibenden Unbekannten nennen wir freie Variablen. Ordnen wir die Gleichungen neu und nummerieren die Variablen neu, sodass sich dieser Nebenfaktor in der oberen linken Ecke der Systemmatrix befindet:

.

Erste R Linien sind linear unabhängig, der Rest wird durch sie ausgedrückt. Daher können diese Zeilen (Gleichungen) verworfen werden. Wir bekommen:

Geben wir den freien Variablen beliebige numerische Werte: . Lassen wir nur die Basisvariablen auf der linken Seite und verschieben wir die freien auf die rechte Seite.

Habe das System R lineare Gleichungen mit R unbekannt, dessen Determinante von 0 verschieden ist. Es hat eine eindeutige Lösung.

Dieses System wird als allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems (1) bezeichnet. Ansonsten: Der Ausdruck von Basisvariablen durch freie heißt allgemeine Entscheidung Systeme. Daraus kann man unendlich viele bekommen private Lösungen, wodurch freie Variablen beliebige Werte erhalten. Eine bestimmte Lösung, die aus einer allgemeinen Eins für Nullwerte freier Variablen erhalten wird, heißt Grundlösung. Die Zahl der unterschiedlichen Grundlösungen ist nicht größer
. Eine Basislösung mit nichtnegativen Komponenten wird aufgerufen unterstützend Systemlösung.

Beispiel.

,R=2.

Variablen
- Basic,
- frei.

Addieren wir die Gleichungen; lasst uns ausdrücken
durch
:

- gemeinsame Entscheidung.

- private Lösung für
.

- Grundlösung, Referenz.

§5. Gauß-Methode.

Die Gauß-Methode ist eine universelle Methode zur Untersuchung und Lösung beliebiger linearer Gleichungssysteme. Es besteht darin, das System auf eine diagonale (oder dreieckige) Form zu reduzieren, indem Unbekannte nacheinander mithilfe elementarer Transformationen eliminiert werden, die die Äquivalenz von Systemen nicht verletzen. Eine Variable gilt als ausgeschlossen, wenn sie nur in einer Gleichung des Systems mit einem Koeffizienten von 1 enthalten ist.

Elementare Transformationen Systeme sind:

Eine Gleichung mit einer Zahl ungleich Null multiplizieren;

Addieren einer mit einer beliebigen Zahl multiplizierten Gleichung mit einer anderen Gleichung;

Gleichungen umstellen;

Ablehnung der Gleichung 0 = 0.

Elementare Transformationen können nicht an Gleichungen, sondern an erweiterten Matrizen der resultierenden äquivalenten Systeme durchgeführt werden.

Beispiel.

Lösung. Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf:

.

Durch die Durchführung elementarer Transformationen reduzieren wir die linke Seite der Matrix auf die Einheitsform: Wir erzeugen Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen außerhalb davon.

Kommentar. Wenn bei der Durchführung elementarer Transformationen eine Gleichung der Form 0 erhalten wird = k(Wo Zu0), dann ist das System inkonsistent.

Die Lösung linearer Gleichungssysteme durch die Methode der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten kann in der Form geschrieben werden Tische.

Die linke Spalte der Tabelle enthält Informationen zu ausgeschlossenen (Basis-)Variablen. Die restlichen Spalten enthalten die Koeffizienten der Unbekannten und die freien Terme der Gleichungen.

Die erweiterte Matrix des Systems wird in der Quelltabelle aufgezeichnet. Als nächstes beginnen wir mit der Durchführung von Jordan-Transformationen:

1. Wählen Sie eine Variable aus , die zur Grundlage werden wird. Die entsprechende Spalte wird als Schlüsselspalte bezeichnet. Wählen Sie eine Gleichung, in der diese Variable erhalten bleibt, nachdem sie aus anderen Gleichungen ausgeschlossen wurde. Die entsprechende Tabellenzeile wird als Schlüsselzeile bezeichnet. Koeffizient , die am Schnittpunkt einer Schlüsselzeile und einer Schlüsselspalte steht, wird als Schlüssel bezeichnet.

2. Die Schlüsselzeichenfolgenelemente werden in das Schlüsselelement unterteilt.

3. Die Schlüsselspalte wird mit Nullen gefüllt.

4. Die restlichen Elemente werden nach der Rechteckregel berechnet. Bilden Sie ein Rechteck, an dessen gegenüberliegenden Eckpunkten sich ein Schlüsselelement und ein neu berechnetes Element befinden. Vom Produkt der auf der Diagonale des Rechtecks ​​liegenden Elemente mit dem Schlüsselelement wird das Produkt der Elemente der anderen Diagonale subtrahiert und die resultierende Differenz durch das Schlüsselelement dividiert.

Beispiel. Finden Sie die allgemeine Lösung und die Grundlösung des Gleichungssystems:

Lösung.

Allgemeine Lösung des Systems:

Grundlegende Lösung:
.

Eine einzelne Substitutionstransformation ermöglicht den Übergang von einer Basis des Systems zu einer anderen: Anstelle einer der Hauptvariablen wird eine der freien Variablen in die Basis eingeführt. Wählen Sie dazu ein Schlüsselelement in der Spalte der freien Variablen aus und führen Sie Transformationen gemäß dem oben genannten Algorithmus durch.

§6. Unterstützungslösungen finden

Die Referenzlösung eines linearen Gleichungssystems ist eine Basislösung, die keine negativen Komponenten enthält.

Die Referenzlösungen des Systems werden mit der Gaußschen Methode ermittelt, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Im Originalsystem dürfen alle freien Begriffe nicht negativ sein:
.

2. Das Schlüsselelement wird unter den positiven Koeffizienten ausgewählt.

3. Wenn eine in die Basis eingeführte Variable mehrere positive Koeffizienten hat, dann ist die Schlüssellinie diejenige, in der das Verhältnis des freien Termes zum positiven Koeffizienten am kleinsten ist.

Anmerkung 1. Wenn beim Eliminieren von Unbekannten eine Gleichung entsteht, in der alle Koeffizienten nichtpositiv und der freie Term sind
, dann hat das System keine nichtnegativen Lösungen.

Anmerkung 2. Wenn in den Koeffizientenspalten für freie Variablen kein einziges positives Element vorhanden ist, ist ein Übergang zu einer anderen Referenzlösung nicht möglich.

Beispiel.

Beispiel 1. Finden Sie eine allgemeine Lösung und eine bestimmte Lösung des Systems

Lösung Wir machen es mit einem Taschenrechner. Schreiben wir die erweiterten und Hauptmatrizen auf:

Die Hauptmatrix A wird durch eine gepunktete Linie getrennt. Wir schreiben oben unbekannte Systeme und berücksichtigen dabei die mögliche Neuordnung von Termen in den Gleichungen des Systems. Indem wir den Rang der erweiterten Matrix bestimmen, ermitteln wir gleichzeitig den Rang der Hauptmatrix. In Matrix B sind die erste und zweite Spalte proportional. Von den beiden Proportionalspalten kann nur eine in den Grundmoll fallen, also verschieben wir zum Beispiel die erste Spalte mit dem umgekehrten Vorzeichen über die gepunktete Linie hinaus. Für das System bedeutet dies, Terme von x 1 auf die rechte Seite der Gleichungen zu übertragen.

Reduzieren wir die Matrix auf die Dreiecksform. Wir werden nur mit Zeilen arbeiten, da die Multiplikation einer Matrixzeile mit einer anderen Zahl als Null und deren Addition zu einer anderen Zeile für das System bedeutet, die Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren und sie mit einer anderen Gleichung zu addieren, was die Lösung der Gleichung nicht ändert System. Wir arbeiten mit der ersten Zeile: Multiplizieren Sie die erste Zeile der Matrix mit (-3) und addieren Sie der Reihe nach zur zweiten und dritten Zeile. Dann multiplizieren Sie die erste Zeile mit (-2) und addieren Sie sie zur vierten.

Die zweite und dritte Linie sind proportional, daher kann eine davon, beispielsweise die zweite, durchgestrichen werden. Dies ist gleichbedeutend mit dem Streichen der zweiten Gleichung des Systems, da sie eine Folge der dritten ist.

Jetzt arbeiten wir mit der zweiten Zeile: Multiplizieren Sie sie mit (-1) und addieren Sie sie zur dritten.

Das mit einer gestrichelten Linie eingekreiste Nebenelement hat die höchste Ordnung (möglicher Nebenelemente) und ist ungleich Null (es entspricht dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale). Dieses Nebenelement gehört sowohl zur Hauptmatrix als auch zur erweiterten Matrix , also rangA = rangB = 3.
Unerheblich ist einfach. Es enthält Koeffizienten für die Unbekannten x 2 , x 3 , x 4 , was bedeutet, dass die Unbekannten x 2 , x 3 , x 4 abhängig und x 1 , x 5 frei sind.
Lassen Sie uns die Matrix transformieren und links nur die Basis Minor übrig lassen (was Punkt 4 des obigen Lösungsalgorithmus entspricht).

Das System mit den Koeffizienten dieser Matrix entspricht dem Originalsystem und hat die Form

Mit der Methode zur Eliminierung von Unbekannten finden wir:
, ,

Wir haben Beziehungen erhalten, die die abhängigen Variablen x 2, x 3, x 4 durch die freien Variablen x 1 und x 5 ausdrücken, d. h. wir haben eine allgemeine Lösung gefunden:

Indem wir den freien Unbekannten beliebige Werte zuweisen, erhalten wir beliebig viele bestimmte Lösungen. Lassen Sie uns zwei spezielle Lösungen finden:
1) Sei x 1 = x 5 = 0, dann x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) Setzen Sie x 1 = 1, x 5 = -1, dann x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Somit wurden zwei Lösungen gefunden: (0,1,-3,3,0) – eine Lösung, (1,4,-7,7,-1) – eine andere Lösung.

Beispiel 2. Erkunden Sie die Kompatibilität und finden Sie eine allgemeine und eine bestimmte Lösung für das System

Lösung. Ordnen wir die erste und zweite Gleichung so um, dass sie eins in der ersten Gleichung haben, und schreiben wir die Matrix B.

Wir erhalten Nullen in der vierten Spalte, indem wir mit der ersten Zeile operieren:

Jetzt erhalten wir die Nullen in der dritten Spalte mithilfe der zweiten Zeile:

Die dritte und vierte Zeile sind proportional, sodass eine davon gestrichen werden kann, ohne dass sich die Rangfolge ändert:
Multiplizieren Sie die dritte Zeile mit (–2) und addieren Sie sie zur vierten:

Wir sehen, dass die Ränge der Haupt- und erweiterten Matrizen gleich 4 sind und der Rang mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt, daher hat das System eine eindeutige Lösung:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Beispiel 3. Untersuchen Sie das System auf Kompatibilität und finden Sie gegebenenfalls eine Lösung.

Lösung. Wir erstellen eine erweiterte Matrix des Systems.

Wir ordnen die ersten beiden Gleichungen so um, dass in der oberen linken Ecke eine 1 steht:
Multiplizieren Sie die erste Zeile mit (-1) und addieren Sie sie zur dritten:

Multiplizieren Sie die zweite Zeile mit (-2) und addieren Sie sie zur dritten:

Das System ist inkonsistent, da wir in der Hauptmatrix eine aus Nullen bestehende Zeile erhalten haben, die beim Finden des Rangs durchgestrichen wird, in der erweiterten Matrix jedoch die letzte Zeile erhalten bleibt, d. h. r B > r A .

Übung. Untersuchen Sie dieses Gleichungssystem auf Kompatibilität und lösen Sie es mithilfe der Matrizenrechnung.
Lösung

Beispiel. Beweisen Sie die Kompatibilität des linearen Gleichungssystems und lösen Sie es auf zwei Arten: 1) nach der Gauß-Methode; 2) Cramers Methode. (Geben Sie die Antwort in der Form ein: x1,x2,x3)
Lösung :doc :doc :xls
Antwort: 2,-1,3.

Beispiel. Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem. Beweisen Sie die Kompatibilität. Finden Sie eine allgemeine Lösung des Systems und eine bestimmte Lösung.
Lösung
Antwort: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Übung. Finden Sie die allgemeinen und besonderen Lösungen jedes Systems.
Lösung. Lassen Sie uns dieses System mit dem Kronecker-Capelli-Theorem untersuchen.
Schreiben wir die erweiterten und Hauptmatrizen auf:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Hier ist Matrix A fett hervorgehoben.
Reduzieren wir die Matrix auf die Dreiecksform. Wir werden nur mit Zeilen arbeiten, da die Multiplikation einer Matrixzeile mit einer anderen Zahl als Null und deren Addition zu einer anderen Zeile für das System bedeutet, die Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren und sie mit einer anderen Gleichung zu addieren, was die Lösung der Gleichung nicht ändert System.
Lassen Sie uns die 1. Zeile mit (3) multiplizieren. Multiplizieren Sie die 2. Zeile mit (-1). Fügen wir die 2. Zeile zur 1. hinzu:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Lassen Sie uns die 2. Zeile mit (2) multiplizieren. Multiplizieren Sie die 3. Zeile mit (-3). Fügen wir die 3. Zeile zur 2. hinzu:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Multiplizieren Sie die 2. Zeile mit (-1). Fügen wir die 2. Zeile zur 1. hinzu:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Die ausgewählte Nebenmatrix hat die höchste Ordnung (möglicher Nebenmatrix) und ist ungleich Null (sie ist gleich dem Produkt der Elemente auf der umgekehrten Diagonale), und diese Nebenmatrix gehört sowohl zur Hauptmatrix als auch zur erweiterten Matrix, daher rang( A) = rang(B) = 3 Da der Rang der Hauptmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, dann Das System ist kollaborativ.
Dieses Nebenfach ist grundlegend. Es enthält Koeffizienten für die Unbekannten x 1 , x 2 , x 3 , was bedeutet, dass die Unbekannten x 1 , x 2 , x 3 abhängig (grundlegend) und x 4 , x 5 frei sind.
Lassen Sie uns die Matrix transformieren und links nur die Basis-Moll übrig lassen.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Das System mit den Koeffizienten dieser Matrix entspricht dem Originalsystem und hat die Form:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Mit der Methode zur Eliminierung von Unbekannten finden wir:
Wir haben Beziehungen erhalten, die die abhängigen Variablen x 1 , x 2 , x 3 durch die freien Variablen x 4 , x 5 ausdrücken, das heißt, wir haben sie gefunden gemeinsame Entscheidung:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
unsicher, Weil hat mehr als eine Lösung.

Übung. Lösen Sie das Gleichungssystem.
Antwort:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Indem wir den freien Unbekannten beliebige Werte zuweisen, erhalten wir beliebig viele bestimmte Lösungen. Das System ist unsicher