Bei der Lösung verschiedener Probleme müssen wir sehr oft identische Transformationen von Ausdrücken durchführen. Aber es kommt vor, dass in einigen Fällen eine Art Transformation zulässig ist, in anderen jedoch nicht. Das DHS leistet wesentliche Hilfestellung bei der Überwachung der Zulässigkeit der laufenden Umwandlungen. Lassen Sie uns näher darauf eingehen.
Das Wesentliche des Ansatzes ist wie folgt: ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck werden mit ODZ-Variablen für den Ausdruck verglichen, der als Ergebnis der Durchführung identischer Transformationen erhalten wird, und basierend auf den Ergebnissen des Vergleichs werden geeignete Schlussfolgerungen gezogen.
Im Allgemeinen können identische Transformationen
- wirken sich nicht auf die ODZ aus;
- zu einer Erweiterung des DHS führen;
- zu einer Verengung der ODZ führen.
Lassen Sie uns jeden Fall anhand eines Beispiels erläutern.
Betrachten Sie den Ausdruck x 2 +x+3·x , die ODZ der Variablen x für diesen Ausdruck ist die Menge R . Lassen Sie uns nun die folgende identische Transformation mit diesem Ausdruck durchführen - bringen wir ähnliche Terme , als Ergebnis nimmt er die Form x 2 +4 x an. Offensichtlich ist die ODZ-Variable x dieses Ausdrucks auch die Menge R . Somit hat die Transformation die ODZ nicht verändert.
Lass uns weitermachen. Nehmen Sie den Ausdruck x+3/x−3/x . In diesem Fall wird die ODZ durch die Bedingung x≠0 bestimmt, die der Menge (−∞, 0)∪(0, +∞) entspricht. Dieser Ausdruck enthält auch ähnliche Terme, nach deren Reduktion wir zum Ausdruck x kommen, für den die ODZ R ist. Was wir sehen: Als Ergebnis der Transformation wurde die ODZ erweitert (die Zahl Null wurde der ODZ der Variablen x für den ursprünglichen Ausdruck hinzugefügt).
Es bleibt ein Beispiel für die Einengung des Bereichs zulässiger Werte nach Transformationen zu betrachten. Nimm den Ausdruck 
. Die ODZ der Variablen x wird bestimmt durch die Ungleichung (x−1) (x−3)≥0, passend zu ihrer Lösung, zum Beispiel, als Ergebnis haben wir (−∞, 1]∪∪; herausgegeben von S. A. Telyakovskii - 17. Aufl. - M.: Education, 2008. - 240 S.: Abbildungen - ISBN 978-5-09-019315-3.
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Beginnen wir mit der Suche Definitionsbereich der Summe von Funktionen. Es ist klar, dass eine solche Funktion für alle solche Werte der Variablen sinnvoll ist, für die alle Funktionen, die die Summe ausmachen, Sinn machen. Daher besteht kein Zweifel an der Gültigkeit der folgenden Aussage:
Wenn die Funktion f die Summe von n Funktionen f 1 , f 2 , …, f n ist, d. h., die Funktion f ist durch die Formel y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ) , dann ist der Definitionsbereich der Funktion f der Schnittpunkt der Definitionsbereiche der Funktionen f 1 , f 2 , …, f n . Schreiben wir es als .
Einigen wir uns darauf, weiterhin Aufzeichnungen wie die letzte zu verwenden, womit wir in geschweiften Klammern geschrieben meinen, oder die gleichzeitige Erfüllung beliebiger Bedingungen. Das ist bequem und entspricht ganz natürlich der Bedeutung von Systemen.
Beispiel.
Gegeben ist eine Funktion y=x 7 +x+5+tgx , und wir müssen ihren Definitionsbereich finden.
Lösung.
Die Funktion f wird durch die Summe von vier Funktionen dargestellt: f 1 ist eine Potenzfunktion mit einem Exponenten von 7, f 2 ist eine Potenzfunktion mit einem Exponenten von 1, f 3 ist eine konstante Funktion und f 4 ist eine Tangensfunktion.
Wenn wir uns die Tabelle der Definitionsbereiche der elementaren Grundfunktionen ansehen, finden wir, dass D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3) =(−∞, +∞) , und der Definitionsbereich des Tangens ist die Menge aller reellen Zahlen außer den Zahlen 
.
Der Definitionsbereich der Funktion f ist der Schnittpunkt der Definitionsbereiche der Funktionen f 1 , f 2 , f 3 und f 4 . Es ist ziemlich offensichtlich, dass dies die Menge aller reellen Zahlen ist, mit Ausnahme der Zahlen .
Antworten:
Menge aller reellen Zahlen außer .
Kommen wir zum Finden Domänen des Produkts von Funktionen. Für diesen Fall gilt eine ähnliche Regel:
Wenn die Funktion f das Produkt von n Funktionen f 1 , f 2 , …, f n ist, ist die Funktion f durch die Formel gegeben y=f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x), dann ist der Definitionsbereich der Funktion f der Schnittpunkt der Definitionsbereiche der Funktionen f 1 , f 2 , …, f n . So, .
Es ist verständlich, dass im angegebenen Bereich alle Funktionen des Produkts definiert sind und somit die Funktion f selbst.
Beispiel.
Y=3 arctgx lnx .
Lösung.
Die Struktur der rechten Seite der Formel, die die Funktion definiert, kann als f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) betrachtet werden, wobei f 1 eine konstante Funktion ist, f 2 die Arkustangensfunktion ist und f 3 ist die logarithmische Funktion zur Basis e.
Wir wissen, dass D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) und D(f 3)=(0, +∞) . Dann 
.
Antworten:
der Definitionsbereich der Funktion y=3 arctgx lnx ist die Menge aller reellen positiven Zahlen.
Lassen Sie uns separat darauf eingehen, den Definitionsbereich der Funktion zu finden, die durch die Formel y=C·f(x) gegeben ist, wobei C eine reelle Zahl ist. Es ist leicht zu zeigen, dass der Definitionsbereich dieser Funktion und der Definitionsbereich der Funktion f zusammenfallen. Tatsächlich ist die Funktion y = C f(x) das Produkt einer konstanten Funktion und einer Funktion f . Der Definitionsbereich einer konstanten Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen, und der Definitionsbereich der Funktion f ist D(f) . Dann ist der Definitionsbereich der Funktion y=C f(x). 
, was gezeigt werden sollte.
Also stimmen die Definitionsbereiche der Funktionen y=f(x) und y=C·f(x) überein, wobei С eine reelle Zahl ist. Wenn beispielsweise der Definitionsbereich der Wurzel ist, wird klar, dass D(f) die Menge aller x aus dem Definitionsbereich der Funktion f 2 ist, für die f 2 (x) im Definitionsbereich der Funktion f 1 enthalten ist .
Auf diese Weise, Domäne einer komplexen Funktion y=f 1 (f 2 (x)) ist der Schnittpunkt zweier Mengen: der Menge aller x mit x∈D(f 2) und der Menge aller x mit f 2 (x)∈D(f 1). ) . Das heißt, in unserer Notation 
(Dies ist im Wesentlichen ein System von Ungleichheiten).
Schauen wir uns ein paar Beispiele an. Dabei gehen wir nicht näher darauf ein, da dies den Rahmen dieses Artikels sprengen würde.
Beispiel.
Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion y=lnx 2 .
Lösung.
Die ursprüngliche Funktion kann als y=f 1 (f 2 (x)) dargestellt werden, wobei f 1 ein Logarithmus mit der Basis e und f 2 eine Potenzfunktion mit dem Exponenten 2 ist.
Wenden wir uns den bekannten Definitionsbereichen der elementaren Grundfunktionen zu, so haben wir D(f 1)=(0, +∞) und D(f 2)=(−∞, +∞) .
Dann 
Also fanden wir den Definitionsbereich der Funktion, die wir brauchten, es ist die Menge aller reellen Zahlen außer Null.
Antworten:
(−∞, 0)∪(0, +∞) .
Beispiel.
Was ist der Umfang der Funktion 
?
Lösung.
Diese Funktion ist komplex, sie kann als betrachtet werden y \u003d f 1 (f 2 (x)) , wobei f 1 eine Potenzfunktion mit Exponent und f 2 die Arkussinusfunktion ist und wir ihre Domäne finden müssen.
Mal sehen, was wir wissen: D(f 1)=(0, +∞) und D(f 2)=[−1, 1] . Es bleibt noch, den Schnittpunkt von Wertemengen x zu finden, so dass x∈D(f 2) und f 2 (x)∈D(f 1) : 
Erinnern wir uns für arcsinx>0 an die Eigenschaften der Arcussinus-Funktion. Der Arkussinus nimmt über den gesamten Bereich [−1, 1] zu und verschwindet bei x=0 , also arcsinx>0 für jedes x aus dem Intervall (0, 1] .
Kommen wir zurück zum System: 
Somit ist der gewünschte Definitionsbereich der Funktion ein halbes Intervall (0, 1] .
Antworten:
(0, 1] .
Kommen wir nun zu komplexen allgemeinen Funktionen y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Der Definitionsbereich der Funktion f wird in diesem Fall wie folgt gefunden 
.
Beispiel.
Ermitteln Sie den Gültigkeitsbereich einer Funktion 
.
Lösung.
Die gegebene komplexe Funktion kann geschrieben werden als y \u003d f 1 (f 2 (f 3 (x))), wobei f 1 - sin, f 2 - Funktion der Wurzel vierten Grades, f 3 - lg.
Wir wissen, dass D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=∪∪/ Zugriffsmodus: Materialien der Seiten www.fipi.ru, www.eg
Anhang 1
Praktikum "ODZ: wann, warum und wie?"
|
Variante 1 |
Option 2 |
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│х+14│= 2 - 2х |
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│3-х│=1 - 3х |
Anhang 2
Antworten auf die Aufgaben der praktischen Arbeit "ODZ: wann, warum und wie?"
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Variante 1 |
Option 2 |
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Antwort: keine Wurzeln |
Antwort: x ist eine beliebige Zahl außer x=5 |
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9x+ = +27 ODZ: x≠3 Antwort: keine Wurzeln |
ODZ: x=-3, x=5. Antwort: -3;5. |
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y= -verringert, y= -steigt Die Gleichung hat also höchstens eine Wurzel. Antwort: x=6. |
ODZ: → →х≥5 Antwort: x≥5, x≤-6. |
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│х+14│=2-2х ODZ:2-2х≥0, х≤1 х=-4, х=16, 16 gehört nicht zu ODZ |
Verringert - erhöht Die Gleichung hat höchstens eine Wurzel. Antwort: keine Wurzeln. |
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0, ODZ: x≥3, x≤2 Antwort: x≥3, x≤2 |
8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Antwort: keine Wurzeln. |
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x=7, x=1. Antwort: keine Lösung |
Zunehmend - abnehmend Antwort: x=2. |
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0 ODZ: x≠15 Antwort: x ist eine beliebige Zahl außer x=15. |
│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, х≤ x=-1, x=1 gehört nicht zur ODZ. Antwort: x=-1. |
