In dieser Lektion lernen wir ein neues Konzept kennen – den Umfang eines Rechtecks. Wir formulieren die Definition dieses Konzepts und leiten eine Formel für seine Berechnung ab. Wir wiederholen auch das assoziative Additionsgesetz und das distributive Multiplikationsgesetz.

In dieser Lektion lernen wir den Umfang eines Rechtecks ​​​​und seine Berechnung kennen.

Betrachten Sie die folgende geometrische Figur (Abb. 1):

Reis. 1. Rechteck

Diese Figur ist ein Rechteck. Erinnern wir uns, welche Besonderheiten eines Rechtecks ​​​​wir kennen.

Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln und vier gleichen Seiten.

Was in unserem Leben kann eine rechteckige Form haben? Zum Beispiel ein Buch, eine Tischplatte oder ein Stück Land.

Betrachten Sie das folgende Problem:

Aufgabe 1 (Abb. 2)

Die Bauherren mussten einen Zaun um das Grundstück errichten. Die Breite dieses Abschnitts beträgt 5 Meter, die Länge 10 Meter. Welche Zaunlänge bekommen die Bauherren?

Reis. 2. Illustration für Problem 1

Der Zaun wird entlang der Grundstücksgrenzen platziert. Um die Länge des Zauns herauszufinden, müssen Sie daher die Länge jeder Seite kennen. Die Seiten dieses Rechtecks ​​sind gleich: 5 Meter, 10 Meter, 5 Meter, 10 Meter. Lassen Sie uns einen Ausdruck zur Berechnung der Zaunlänge erstellen: 5 + 10 + 5 + 10. Verwenden wir das kommutative Additionsgesetz: 5+10+5+10=5+5+10+10. In diesem Ausdruck gibt es Summen identischer Terme (5 + 5 und 10 + 10). Ersetzen wir die Summen identischer Terme durch Produkte: 5+5+10+10=5 2+10 2. Wenden wir nun das Verteilungsgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition an: 5·2+10·2=(5+10)·2.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks (5+10) 2. Zuerst führen wir die Aktion in Klammern aus: 5+10=15. Und dann wiederholen wir die Zahl 15 zweimal: 15 2=30.

Antwort: 30 Meter.

Umfang eines Rechtecks ist die Summe der Längen aller seiner Seiten. Formel zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks: , wobei a die Länge des Rechtecks ​​und b die Breite des Rechtecks ​​ist. Man nennt die Summe aus Länge und Breite Halbumfang. Um den Umfang vom Halbumfang zu erhalten, müssen Sie ihn um das Zweifache erhöhen, also mit 2 multiplizieren.

Verwenden wir die Formel für den Umfang eines Rechtecks ​​und ermitteln wir den Umfang eines Rechtecks ​​mit den Seiten 7 cm und 3 cm: (7+3) 2=20 (cm).

Der Umfang einer Figur wird in linearen Einheiten gemessen.

In dieser Lektion haben wir den Umfang eines Rechtecks ​​​​und die Formel zu seiner Berechnung kennengelernt.

Das Produkt einer Zahl und der Summe der Zahlen ist gleich der Summe der Produkte der gegebenen Zahl und jedes der Terme.

Wenn der Umfang die Summe der Längen aller Seiten der Figur ist, dann ist der Halbumfang die Summe aus einer Länge und einer Breite. Den Halbumfang ermitteln wir, wenn wir an der Formel zur Ermittlung des Umfangs eines Rechtecks ​​arbeiten (wenn wir die erste Operation in Klammern ausführen – (a+b)).

Referenzliste

1. Alexandrova E.I. Mathematik. Note 2 - M.: Bustard, 2004.
2. Bashmakov M.I., Nefyodova M.G. Mathematik. Note 2 - M.: Astrel, 2006.
3. Dorofeev G.V., Mirakova T.I. Mathematik. Note 2 - M.: Bildung, 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Nsportal.ru ().
3. Math-prosto.ru ().

Hausaufgaben

1. Ermitteln Sie den Umfang eines Rechtecks ​​mit einer Länge von 13 Metern und einer Breite von 7 Metern.
2. Ermitteln Sie den Halbumfang eines Rechtecks, dessen Länge 8 cm und dessen Breite 4 cm beträgt.
3. Ermitteln Sie den Umfang eines Rechtecks, dessen Halbumfang 21 cm beträgt.

Das Rechteck weist viele Besonderheiten auf, auf deren Grundlage die Regeln zur Berechnung seiner verschiedenen numerischen Eigenschaften entwickelt wurden. Also das Rechteck:

Flache geometrische Figur;
Viereck;
Eine Figur, bei der gegenüberliegende Seiten gleich und parallel sind und alle Winkel rechtwinklig sind.

Der Umfang ist die Gesamtlänge aller Seiten einer Figur.

Den Umfang eines Rechtecks ​​zu berechnen ist eine ziemlich einfache Aufgabe.

Alles, was Sie wissen müssen, ist die Breite und Länge des Rechtecks. Da das Rechteck zwei gleiche Längen und zwei gleiche Breiten hat, wird nur eine Seite gemessen.

Der Umfang eines Rechtecks ​​ist gleich dem Doppelten der Summe seiner beiden Seitenlängen und -breiten.

P = (a + b) 2, wobei a die Länge des Rechtecks ​​ist, b die Breite des Rechtecks.

Der Umfang eines Rechtecks ​​kann auch durch die Summe aller Seiten ermittelt werden.

P= a+a+b+b, wobei a die Länge des Rechtecks ​​und b die Breite des Rechtecks ​​ist.

Der Umfang eines Quadrats ist die Länge der Quadratseite multipliziert mit 4.

P = a 4, wobei a die Länge der Quadratseite ist.

Nachtrag: Finden der Fläche und des Umfangs von Rechtecken

Der Lehrplan für die 3. Klasse sieht das Studium von Polygonen und ihren Merkmalen vor. Um zu verstehen, wie man den Umfang eines Rechtecks ​​​​und die Fläche ermittelt, wollen wir herausfinden, was mit diesen Konzepten gemeint ist.

Grundlegendes Konzept

Das Ermitteln des Umfangs und der Fläche erfordert die Kenntnis einiger Begriffe. Diese beinhalten:

1. Rechter Winkel. Es besteht aus zwei Strahlen, die einen gemeinsamen Ursprung in Form eines Punktes haben. Beim Kennenlernen der Figuren (Klasse 3) wird der rechte Winkel anhand eines Quadrats bestimmt.
2. Rechteck. Es ist ein Viereck mit allen rechten Winkeln. Seine Seiten werden Länge und Breite genannt. Wie Sie wissen, sind die gegenüberliegenden Seiten dieser Figur gleich.
3. Quadrat. Es ist ein Viereck, bei dem alle Seiten gleich sind.

Bei der Einführung in Polygone können ihre Eckpunkte als ABCD bezeichnet werden. In der Mathematik ist es üblich, Punkte in Zeichnungen mit Buchstaben des lateinischen Alphabets zu benennen. Der Name des Polygons listet alle Eckpunkte ohne Lücken auf, zum Beispiel Dreieck ABC.

Umfangsberechnung

Der Umfang eines Polygons ist die Summe der Längen aller seiner Seiten. Dieser Wert wird mit dem lateinischen Buchstaben P bezeichnet. Der Kenntnisstand für die vorgeschlagenen Beispiele beträgt Klasse 3.

Aufgabe Nr. 1: „Zeichnen Sie ein Rechteck mit einer Breite von 3 cm und einer Länge von 4 cm mit den Eckpunkten ABCD. Finden Sie den Umfang des Rechtecks ​​ABCD.

Die Formel sieht folgendermaßen aus: P=AB+BC+CD+AD oder P=AB×2+BC×2.

Antwort: P=3+4+3+4=14 (cm) oder P=3×2 + 4×2=14 (cm).

Aufgabe Nummer 2: „Wie finde ich den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks ABC, wenn die Seiten 5, 4 und 3 cm betragen?“

Antwort: P=5+4+3=12 (cm).

Aufgabe Nummer 3: „Finden Sie den Umfang eines Rechtecks, dessen eine Seite 7 cm und die andere 2 cm länger ist.“

Antwort: P=7+9+7+9=32 (cm).

Aufgabe Nummer 4: „Schwimmwettkämpfe wurden in einem Becken mit einem Umfang von 120 m ausgetragen. Wie viele Meter schwamm der Teilnehmer, wenn das Becken 10 m breit war?“

Bei diesem Problem geht es um die Frage, wie man die Länge des Pools ermitteln kann. Finden Sie die Längen der Seiten des zu lösenden Rechtecks. Die Breite ist bekannt. Die Summe der Längen der beiden unbekannten Seiten sollte 100 m betragen. 120-10×2=100. Um die vom Schwimmer zurückgelegte Distanz herauszufinden, müssen Sie das Ergebnis durch 2 teilen. 100:2=50.

Antwort: 50 (m).

Flächenberechnung

Eine komplexere Größe ist die Fläche der Figur. Um es zu messen, werden Maßnahmen verwendet. Der Standard unter den Maßen sind Quadrate.

Die Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 1 cm beträgt 1 cm². Das Quadratdezimeter wird als dm² bezeichnet, der Quadratmeter als m².

Anwendungsbereiche von Maßeinheiten können wie folgt sein:

1. Kleine Objekte werden in cm² gemessen, z. B. Fotos, Buchumschläge, Papierbögen.
2. In dm² können Sie eine geografische Karte, ein Fensterglas oder ein Bild messen.
3. Zur Messung der Etage, Wohnung, Grundstücksnutzung m².

Wenn Sie ein Rechteck mit einer Länge von 3 cm und einer Breite von 1 cm zeichnen und es in Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm teilen, passen 3 Quadrate hinein, was bedeutet, dass seine Fläche 3 cm² beträgt. Wenn das Rechteck in Quadrate unterteilt wird, können wir auch problemlos den Umfang des Rechtecks ​​​​ermitteln. In diesem Fall sind es 8 cm.

Eine andere Möglichkeit, die Anzahl der Quadrate zu zählen, die in eine Form passen, ist die Verwendung einer Palette. Zeichnen wir auf Pauspapier ein Quadrat mit einer Fläche von ​​1 dm², also 100 cm². Legen wir ein Pauspapier auf die Figur und zählen wir die Quadratzentimeter in einer Reihe. Ermitteln Sie anschließend die Anzahl der Zeilen und multiplizieren Sie dann die Werte. Die Fläche eines Rechtecks ​​ist also das Produkt aus Länge und Breite.

Möglichkeiten, Gebiete zu vergleichen:

1. Etwa. Manchmal reicht schon das bloße Betrachten der Gegenstände, denn in manchen Fällen kann man mit bloßem Auge erkennen, dass eine Figur mehr Platz einnimmt, wie zum Beispiel ein Lehrbuch, das auf dem Tisch neben dem Federmäppchen liegt.
2. Überlagerung. Wenn die Figuren bei der Überlagerung übereinstimmen, sind ihre Flächen gleich. Wenn einer von ihnen vollständig in den zweiten passt, ist seine Fläche kleiner. Der Platzbedarf eines Notizbuchblatts und einer Seite aus einem Lehrbuch kann durch Übereinanderlegen verglichen werden.
3. Nach der Anzahl der Messungen. Bei der Überlagerung stimmen die Figuren möglicherweise nicht überein, haben aber die gleiche Fläche. In diesem Fall können Sie einen Vergleich durchführen, indem Sie die Anzahl der Quadrate zählen, in die die Figur unterteilt ist.
4. Zahlen. Vergleichen Sie mit demselben Maß gemessene Zahlenwerte, beispielsweise in m².

Beispiel Nr. 1: „Eine Näherin hat aus quadratischen, mehrfarbigen Fetzen eine Babydecke genäht. Ein Streifen von 1 dm Länge, in einer Reihe von 5 Stück. Wie viele Dezimeter Klebeband benötigt eine Näherin, um die Kanten einer Decke zu versäubern, wenn die Fläche bekanntermaßen 50 dm² groß ist?

Um das Problem zu lösen, müssen Sie die Frage beantworten, wie Sie die Länge des Rechtecks ​​ermitteln. Als nächstes ermitteln Sie den Umfang eines Rechtecks, das aus Quadraten besteht. Aus der Aufgabe geht klar hervor, dass die Breite der Decke 5 dm beträgt. Wir berechnen die Länge, indem wir 50 durch 5 dividieren, und erhalten 10 dm. Ermitteln Sie nun den Umfang eines Rechtecks ​​mit den Seiten 5 und 10. P=5+5+10+10=30.

Antwort: 30 (m).

Beispiel Nr. 2: „Während der Ausgrabung wurde eine Stelle entdeckt, an der sich möglicherweise antike Schätze befinden. Wie viel Territorium müssen Wissenschaftler erforschen, wenn der Umfang 18 m und die Breite des Rechtecks ​​3 m beträgt?

Bestimmen Sie die Länge des Abschnitts, indem Sie zwei Schritte ausführen. 18-3×2=12. 12:2=6. Die gewünschte Fläche beträgt ebenfalls 18 m² (6 × 3 = 18).

Antwort: 18 (m²).

Wenn Sie also die Formeln kennen, wird es nicht schwierig sein, die Fläche und den Umfang zu berechnen, und die obigen Beispiele helfen Ihnen dabei, das Lösen mathematischer Probleme zu üben.

In dieser Lektion lernen wir ein neues Konzept kennen – den Umfang eines Rechtecks. Wir formulieren die Definition dieses Konzepts und leiten eine Formel für seine Berechnung ab. Wir wiederholen auch das assoziative Additionsgesetz und das distributive Multiplikationsgesetz.

In dieser Lektion lernen wir den Umfang eines Rechtecks ​​​​und seine Berechnung kennen.

Betrachten Sie die folgende geometrische Figur (Abb. 1):

Reis. 1. Rechteck

Diese Figur ist ein Rechteck. Erinnern wir uns, welche Besonderheiten eines Rechtecks ​​​​wir kennen.

Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln und vier gleichen Seiten.

Was in unserem Leben kann eine rechteckige Form haben? Zum Beispiel ein Buch, eine Tischplatte oder ein Stück Land.

Betrachten Sie das folgende Problem:

Aufgabe 1 (Abb. 2)

Die Bauherren mussten einen Zaun um das Grundstück errichten. Die Breite dieses Abschnitts beträgt 5 Meter, die Länge 10 Meter. Welche Zaunlänge bekommen die Bauherren?

Reis. 2. Illustration für Problem 1

Der Zaun wird entlang der Grundstücksgrenzen platziert. Um die Länge des Zauns herauszufinden, müssen Sie daher die Länge jeder Seite kennen. Die Seiten dieses Rechtecks ​​sind gleich: 5 Meter, 10 Meter, 5 Meter, 10 Meter. Lassen Sie uns einen Ausdruck zur Berechnung der Zaunlänge erstellen: 5 + 10 + 5 + 10. Verwenden wir das kommutative Additionsgesetz: 5+10+5+10=5+5+10+10. In diesem Ausdruck gibt es Summen identischer Terme (5 + 5 und 10 + 10). Ersetzen wir die Summen identischer Terme durch Produkte: 5+5+10+10=5 2+10 2. Wenden wir nun das Verteilungsgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition an: 5·2+10·2=(5+10)·2.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks (5+10) 2. Zuerst führen wir die Aktion in Klammern aus: 5+10=15. Und dann wiederholen wir die Zahl 15 zweimal: 15 2=30.

Antwort: 30 Meter.

Umfang eines Rechtecks ist die Summe der Längen aller seiner Seiten. Formel zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks: , wobei a die Länge des Rechtecks ​​und b die Breite des Rechtecks ​​ist. Man nennt die Summe aus Länge und Breite Halbumfang. Um den Umfang vom Halbumfang zu erhalten, müssen Sie ihn um das Zweifache erhöhen, also mit 2 multiplizieren.

Verwenden wir die Formel für den Umfang eines Rechtecks ​​und ermitteln wir den Umfang eines Rechtecks ​​mit den Seiten 7 cm und 3 cm: (7+3) 2=20 (cm).

Der Umfang einer Figur wird in linearen Einheiten gemessen.

In dieser Lektion haben wir den Umfang eines Rechtecks ​​​​und die Formel zu seiner Berechnung kennengelernt.

Das Produkt einer Zahl und der Summe der Zahlen ist gleich der Summe der Produkte der gegebenen Zahl und jedes der Terme.

Wenn der Umfang die Summe der Längen aller Seiten der Figur ist, dann ist der Halbumfang die Summe aus einer Länge und einer Breite. Den Halbumfang ermitteln wir, wenn wir an der Formel zur Ermittlung des Umfangs eines Rechtecks ​​arbeiten (wenn wir die erste Operation in Klammern ausführen – (a+b)).

Referenzliste

1. Alexandrova E.I. Mathematik. Note 2 - M.: Bustard, 2004.
2. Bashmakov M.I., Nefyodova M.G. Mathematik. Note 2 - M.: Astrel, 2006.
3. Dorofeev G.V., Mirakova T.I. Mathematik. Note 2 - M.: Bildung, 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Nsportal.ru ().
3. Math-prosto.ru ().

Hausaufgaben

1. Ermitteln Sie den Umfang eines Rechtecks ​​mit einer Länge von 13 Metern und einer Breite von 7 Metern.
2. Ermitteln Sie den Halbumfang eines Rechtecks, dessen Länge 8 cm und dessen Breite 4 cm beträgt.
3. Ermitteln Sie den Umfang eines Rechtecks, dessen Halbumfang 21 cm beträgt.

Unten im Artikel erfahren Sie, was der Umfang eines Rechtecks ​​ist und wie Sie ihn ermitteln, wenn seine Seiten bekannt sind. Und auch, wie man die Seiten eines Rechtecks ​​findet, wenn sein Umfang bekannt ist. Und noch ein interessantes Konstruktionsproblem.

Eine kleine Theorie:

Der Umfang ist die Länge einer geometrischen Figur entlang ihres äußeren Randes.

Der Umfang eines Rechtecks ​​ist die Summe der Längen seiner Seiten.

Formeln zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks: P = 2*(a+b) oder P = a + a + b + b.

Lassen Sie uns rekapitulieren! Um den Umfang eines Rechtecks ​​zu berechnen, addieren Sie alle Seiten.

Typische mathematisch-praktische Aufgaben:

Aufgabe 1:

Ausgangsdaten: Bestimmen Sie den Umfang eines Rechtecks ​​mit den Seitenlängen 5 cm und 10 cm.

Lösung:

Nach der Formel beträgt der Umfang eines Rechtecks ​​= 2 * (5 + 10) = 30 cm.

Antwort: 30 cm.

Aufgabe #2:

Ausgangsdaten: Bestimmen Sie die Seiten des Rechtecks, ausgedrückt als ganze Zahlen, wenn der Umfang des Rechtecks ​​10 beträgt.

Lösung:

Nach der Formel bestimmen wir die Summe der Seitenlängen (a + b) = P / 2 = 10 / 2 = 5
Ganzzahlige Seitenwerte können nur 1 + 4 = 5 und 2 + 3 = 5 sein

Antwort: Die Seitenlängen können nur 2 und 3 oder 1 und 4 betragen.

Aufgabe Nummer 3 (praktisch):

Ausgangsdaten: Bestimmen Sie die Anzahl der Sockelleisten in ausreichender Menge, um den Boden in einem Raum von 5 Metern Länge und 3 Metern Breite zu reparieren, wenn die Länge einer Sockelleiste 3 Meter beträgt.

Lösung:

Raumumfang = 2 * (5 + 3) = 16 Meter
Anzahl Sockelleisten = 16 / 3 = 5,33 Stück
Normalerweise werden Sockelleisten in Baumärkten nicht in laufenden Metern, sondern stückweise verkauft. Daher nehmen wir die folgende ganze Zahl. Es ist sechs.

Antwort: Die Anzahl der Sockelleisten beträgt 6 Stück.

Abschließend:

Die Lösung des Problems der Berechnung des Umfangs ist ein recht einfaches mathematisches Problem, hat jedoch einen sehr wichtigen praktischen Wert, beispielsweise beim Bau oder bei der allgemeinen Planung des Territoriums.

Auf dieser Seite finden Sie den einfachsten Online-Rechner zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks. Mit diesem Programm können Sie den Umfang eines Rechtecks ​​mit einem Klick ermitteln, wenn Sie dessen Länge und Breite kennen.

Umfang ist die Summe der Längen aller Seiten des Polygons.

• Zur Berechnung des Umfangs geometrischer Formen werden spezielle Formeln verwendet, bei denen der Umfang mit dem Buchstaben „P“ bezeichnet wird. Es empfiehlt sich, den Namen der Figur in Kleinbuchstaben unter das „P“-Zeichen zu schreiben, um zu wissen, wessen Umfang Sie finden.
• Der Umfang wird in Längeneinheiten gemessen: mm, cm, m, km usw.

Besonderheiten des Rechtecks

• Ein Rechteck ist ein Viereck.
• Alle parallelen Seiten sind gleich
• Alle Winkel = 90º.
• Im Alltag findet sich ein Rechteck beispielsweise in Form eines Buches, eines Monitors, einer Tischdecke oder einer Tür.

So berechnen Sie den Umfang eines Rechtecks

Es gibt zwei Möglichkeiten, es zu finden:

• 1 Weg. Addieren Sie alle Seiten. P = a + a + b + b
• 2-Wege. Addieren Sie Breite und Länge und multiplizieren Sie mit 2. P = (a + b) 2. ODER P \u003d 2 a + 2 b. Die einander gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks ​​werden als Länge und Breite bezeichnet.

"A"- die Länge des Rechtecks, das längere Paar seiner Seiten.

"B"- die Breite des Rechtecks, das kürzere Paar seiner Seiten.

Ein Beispiel für eine Aufgabe zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks:

Berechnen Sie den Umfang eines Rechtecks, wenn seine Breite 3 cm und seine Länge 6 cm beträgt.

Merken Sie sich die Formeln zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks!

Semiperimeter ist die Summe aus einer Länge und einer Breite .

• Halbumfang eines Rechtecks ​​- wenn Sie die erste Aktion in Klammern ausführen - (a+b).
• Um den Umfang vom Halbumfang zu erhalten, müssen Sie ihn um das Zweifache vergrößern, d. h. mit 2 multiplizieren.

So ermitteln Sie die Fläche eines Rechtecks

Rechteckflächenformel S=a*b

Wenn in der Bedingung die Länge einer Seite und die Länge der Diagonale bekannt sind, kann die Fläche mithilfe des Satzes des Pythagoras ermittelt werden. Bei solchen Problemen können Sie die Länge der Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ermitteln, wenn die Längen von die anderen beiden Seiten sind bekannt.

• : a 2 + b 2 = c 2, wobei a und b die Seiten des Dreiecks sind und c die Hypotenuse, die längste Seite.

Erinnern!

1. Alle Quadrate sind Rechtecke, aber nicht alle Rechtecke sind Quadrate. Als:
   • Rechteck ist ein Viereck mit allen rechten Winkeln.
   • Quadrat Ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich sind.
2. Wenn Sie die Fläche ermitteln, erfolgt die Antwort immer in Quadrateinheiten (mm 2, cm 2, m 2, km 2 usw.).