Vida j= f(x), xÖ N, wo N ist die Menge der natürlichen Zahlen (oder eine Funktion eines natürlichen Arguments), bezeichnet j=f(n) oder j 1 ,j 2 ,…, ja n,…. Werte j 1 ,j 2 ,j 3 ,… werden jeweils das erste, zweite, dritte, ... Glied der Folge genannt.

Zum Beispiel für die Funktion j= n 2 kann geschrieben werden:

j 1 = 1 2 = 1;

j 2 = 2 2 = 4;

j 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Methoden zum Einstellen von Sequenzen. Sequenzen können auf verschiedene Arten spezifiziert werden, von denen drei besonders wichtig sind: analytisch, beschreibend und rekurrent.

1. Eine Folge ist analytisch gegeben, wenn ihre Formel gegeben ist n-tes Mitglied:

ja n=f(n).

Beispiel. ja n= 2n- 1 – Folge ungerader Zahlen: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Beschreibend Die Art und Weise, eine numerische Sequenz anzugeben, besteht darin, dass sie erklärt, aus welchen Elementen die Sequenz aufgebaut ist.

Beispiel 1. "Alle Mitglieder der Folge sind gleich 1." Es handelt sich also um eine stationäre Folge 1, 1, 1, …, 1, ….

Beispiel 2. "Die Folge besteht aus allen Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge." Somit ist die Folge 2, 3, 5, 7, 11, … gegeben. Mit dieser Art, die Sequenz in diesem Beispiel anzugeben, ist es schwierig zu beantworten, was beispielsweise das 1000. Element der Sequenz ist.

3. Die wiederkehrende Art, eine Folge anzugeben, besteht darin, dass eine Regel angegeben wird, die es erlaubt, zu rechnen n-tes Glied der Folge, wenn seine vorherigen Glieder bekannt sind. Der Name wiederkehrende Methode kommt vom lateinischen Wort wiederkehrend- Komm zurück. Meistens wird in solchen Fällen eine Formel angegeben, die das Ausdrücken ermöglicht n th-Mitglied der Sequenz durch die vorherigen und geben Sie 1–2 Anfangsmitglieder der Sequenz an.

Beispiel 1 j 1 = 3; y n = y n–1 + 4 wenn n = 2, 3, 4,….

Hier j 1 = 3; j 2 = 3 + 4 = 7;j 3 = 7 + 4 = 11; ….

Es ist ersichtlich, dass die in diesem Beispiel erhaltene Sequenz auch analytisch spezifiziert werden kann: ja n= 4n- 1.

Beispiel 2 j 1 = 1; j 2 = 1; ja n = ja n –2 + ja n-1 wenn n = 3, 4,….

Hier: j 1 = 1; j 2 = 1; j 3 = 1 + 1 = 2; j 4 = 1 + 2 = 3; j 5 = 2 + 3 = 5; j 6 = 3 + 5 = 8;

Die in diesem Beispiel zusammengesetzte Folge wird speziell in der Mathematik untersucht, da sie eine Reihe interessanter Eigenschaften und Anwendungen aufweist. Sie wird Fibonacci-Folge genannt – nach dem italienischen Mathematiker des 13. Jahrhunderts. Die rekursive Definition der Fibonacci-Folge ist sehr einfach, aber analytisch sehr schwierig. n Die te Fibonacci-Zahl wird in Bezug auf ihre Ordnungszahl durch die folgende Formel ausgedrückt.

Auf den ersten Blick die Formel für n te Fibonacci-Zahl scheint unplausibel, da die Formel, die die Folge von nur natürlichen Zahlen angibt, Quadratwurzeln enthält, aber Sie können die Gültigkeit dieser Formel für die ersten paar "manuell" überprüfen n.

Eigenschaften von Zahlenfolgen.

Eine numerische Folge ist ein Sonderfall einer numerischen Funktion, daher werden auch für Folgen eine Reihe von Eigenschaften von Funktionen berücksichtigt.

Definition . Folge ( ja n} heißt steigend, wenn jeder seiner Terme (außer dem ersten) größer als der vorherige ist:

j 1 j 2 j 3 j n j n +1

Definition.Sequenz ( ja n} heißt abnehmend, wenn jeder seiner Terme (außer dem ersten) kleiner als der vorherige ist:

j 1 > j 2 > j 3 > … > ja n> ja n +1 > … .

Steigende und abfallende Folgen werden durch einen gemeinsamen Begriff vereint - monotone Folgen.

Beispiel 1 j 1 = 1; ja n= n 2 ist eine aufsteigende Folge.

Somit ist der folgende Satz wahr (eine charakteristische Eigenschaft einer arithmetischen Folge). Eine numerische Folge ist genau dann arithmetisch, wenn jedes ihrer Mitglieder, mit Ausnahme des ersten (und letzten im Fall einer endlichen Folge), gleich dem arithmetischen Mittel der vorherigen und nachfolgenden Mitglieder ist.

Beispiel. Zu welchem ​​Wert x Nummer 3 x + 2, 5x– 4 und 11 x+ 12 eine endliche arithmetische Folge bilden?

Entsprechend der charakteristischen Eigenschaft müssen die gegebenen Ausdrücke die Relation erfüllen

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Das Lösen dieser Gleichung ergibt x= –5,5. Mit diesem Wert x vorgegebene Ausdrücke 3 x + 2, 5x– 4 und 11 x+ 12 nehmen jeweils die Werte -14,5, –31,5, –48,5. Dies ist eine arithmetische Progression, ihre Differenz beträgt -17.

Geometrischer Verlauf.

Eine numerische Folge, deren Mitglieder alle ungleich Null sind und von der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, aus dem vorherigen Mitglied durch Multiplikation mit derselben Zahl erhalten wird q, heißt eine geometrische Folge, und die Zahl q- der Nenner einer geometrischen Folge.

Eine geometrische Folge ist also eine Zahlenfolge ( b n) rekursiv durch die Relationen gegeben

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b und q- angegebene Zahlen, b ≠ 0, q ≠ 0).

Beispiel 1. 2, 6, 18, 54, ... - zunehmende geometrische Progression b = 2, q = 3.

Beispiel 2. 2, -2, 2, -2, ... – geometrischer Verlauf b= 2,q= –1.

Beispiel 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrischer Verlauf b= 8, q= 1.

Eine geometrische Progression ist eine steigende Folge, wenn b 1 > 0, q> 1, und abnehmend, wenn b 1 > 0, 0q

Eine der offensichtlichen Eigenschaften einer geometrischen Folge ist, dass, wenn eine Folge eine geometrische Folge ist, die Folge von Quadraten, d.h.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… ist eine geometrische Folge, deren erster Term gleich ist b 1 2 , und der Nenner ist q 2 .

Formel n- ter Term einer geometrischen Folge hat die Form

b n= b 1 qn– 1 .

Sie können die Formel für die Summe der Terme einer endlichen geometrischen Folge erhalten.

Es gebe eine endliche geometrische Folge

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

Lassen Sn- die Summe seiner Mitglieder, d.h.

Sn= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Das wird akzeptiert q Nr. 1. Um festzustellen Sn ein künstlicher Trick wird angewendet: einige geometrische Transformationen des Ausdrucks werden durchgeführt Snq.

Snq = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = Sn+ b n q– b 1 .

Auf diese Weise, Snq= Sn +b n q – b 1 und daher

Dies ist die Formel mit umma n Mitglieder einer geometrischen Folge für den Fall wann q≠ 1.

Bei q= 1 Formel kann nicht separat hergeleitet werden, es ist offensichtlich, dass in diesem Fall Sn= a 1 n.

Die geometrische Folge wird benannt, weil darin jeder Term außer dem ersten gleich dem geometrischen Mittel der vorherigen und nachfolgenden Terme ist. In der Tat seit

bn = bn- 1 q;

Mrd. = Mrd.+ 1 /q,

Folglich, b n 2= bn– 1 Mrd.+ 1 und der folgende Satz ist wahr (eine charakteristische Eigenschaft einer geometrischen Folge):

Eine numerische Folge ist genau dann eine geometrische Folge, wenn das Quadrat jedes ihrer Glieder mit Ausnahme des ersten (und des letzten im Fall einer endlichen Folge) gleich dem Produkt des vorherigen und des nachfolgenden Glieds ist.

Sequenzlimit.

Es sei eine Folge ( c n} = {1/n}. Diese Folge wird harmonisch genannt, da jedes ihrer Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, das harmonische Mittel zwischen dem vorherigen und den nachfolgenden Mitgliedern ist. Geometrisches Mittel von Zahlen a und b Es gibt eine Nummer

Andernfalls heißt die Folge divergent.

Anhand dieser Definition kann man beispielsweise die Existenz einer Grenze beweisen A=0 für die harmonische Folge ( c n} = {1/n). Sei ε eine beliebig kleine positive Zahl. Wir betrachten den Unterschied

Gibt es solche N das für alle n≥ N Ungleichheit 1 /N? Wenn genommen als N jede natürliche Zahl größer als 1/ε , dann für alle n ≥ N Ungleichheit 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Es ist manchmal sehr schwierig, die Existenz einer Grenze für eine bestimmte Sequenz zu beweisen. Die häufigsten Sequenzen sind gut untersucht und in Nachschlagewerken aufgeführt. Es gibt wichtige Sätze, die es ermöglichen, auf der Grundlage bereits untersuchter Folgen zu schließen, dass eine bestimmte Folge einen Grenzwert hat (und ihn sogar zu berechnen).

Satz 1. Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann ist sie beschränkt.

Satz 2. Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, dann hat sie einen Grenzwert.

Satz 3. Wenn die Folge ( ein} hat eine Grenze EIN, dann die Sequenzen ( kann}, {ein+c) und (| ein|} Grenzen haben ca, EIN +c, |EIN| bzw. (hier c ist eine beliebige Zahl).

Satz 4. Wenn Folgen ( ein} und ( b n) haben Grenzen gleich EIN und B Pfanne + qb n) hat eine Grenze pA+ qB.

Satz 5. Wenn Folgen ( ein) und ( b n) haben Grenzen gleich EIN und B bzw. dann die Folge ( ein n b n) hat eine Grenze AB.

Satz 6. Wenn Folgen ( ein} und ( b n) haben Grenzen gleich EIN und B bzw. zusätzlich b n ≠ 0 und B≠ 0, dann die Folge ( ein n / b n) hat eine Grenze A/B.

Anna Tschugainowa

Bevor wir uns entscheiden Arithmetische Progressionsprobleme, überlegen Sie, was eine Zahlenfolge ist, da eine arithmetische Folge ein Sonderfall einer Zahlenfolge ist.

Eine Zahlenfolge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Element eine eigene fortlaufende Nummer hat. Die Elemente dieser Menge heißen Folgenglieder. Die Ordnungszahl eines Sequenzelements wird durch einen Index angegeben:

Das erste Element der Sequenz;

Das fünfte Element der Sequenz;

- "ntes" Element der Sequenz, d.h. das Element "in der Warteschlange stehen" bei Nummer n.

Es besteht eine Abhängigkeit zwischen dem Wert eines Sequenzelements und seiner Ordnungszahl. Daher können wir eine Folge als eine Funktion betrachten, deren Argument die Ordnungszahl eines Elements der Folge ist. Mit anderen Worten, das kann man sagen die Folge ist eine Funktion des natürlichen Arguments:

Die Reihenfolge kann auf drei Arten angegeben werden:

1 . Die Reihenfolge kann über eine Tabelle festgelegt werden. In diesem Fall setzen wir einfach den Wert jedes Mitglieds der Sequenz.

Zum Beispiel entschied sich jemand für ein persönliches Zeitmanagement und berechnete zunächst, wie viel Zeit er während der Woche mit VKontakte verbringt. Indem er die Zeit in eine Tabelle schreibt, erhält er eine Sequenz, die aus sieben Elementen besteht:

Die erste Zeile der Tabelle enthält die Nummer des Wochentages, die zweite - die Zeit in Minuten. Wir sehen das, das heißt, am Montag hat jemand 125 Minuten auf VKontakte verbracht, das heißt am Donnerstag - 248 Minuten, und das heißt, am Freitag nur 15.

2 . Die Reihenfolge kann mit der n-ten Gliedformel angegeben werden.

Dabei wird die Abhängigkeit des Werts eines Folgenelements von seiner Nummer direkt als Formel ausgedrückt.

Zum Beispiel wenn, dann

Um den Wert eines Sequenzelements mit einer bestimmten Nummer zu finden, setzen wir die Elementnummer in die Formel für das n-te Element ein.

Dasselbe tun wir, wenn wir den Wert einer Funktion finden müssen, wenn der Wert des Arguments bekannt ist. Wir ersetzen stattdessen den Wert des Arguments in der Funktionsgleichung:

Wenn zum Beispiel , dann

Ich bemerke noch einmal, dass in einer Folge im Gegensatz zu einer beliebigen numerischen Funktion nur eine natürliche Zahl ein Argument sein kann.

3 . Die Folge kann mit einer Formel angegeben werden, die die Abhängigkeit des Werts des Folgeglieds mit der Nummer n vom Wert der vorherigen Glieder ausdrückt. In diesem Fall reicht es nicht aus, nur die Nummer eines Folgenglieds zu kennen, um seinen Wert zu finden. Wir müssen das erste Mitglied oder die ersten paar Mitglieder der Sequenz angeben.

Betrachten Sie beispielsweise die Reihenfolge ,

Wir können die Werte der Mitglieder einer Sequenz finden der Reihe nach, ab dem dritten:

Das heißt, jedes Mal, um den Wert des n-ten Glieds der Folge zu finden, kehren wir zu den beiden vorherigen zurück. Diese Art der Sequenzierung wird aufgerufen wiederkehrend, vom lateinischen Wort wiederkehrend- Komm zurück.

Jetzt können wir eine arithmetische Folge definieren. Eine arithmetische Folge ist ein einfacher Sonderfall einer Zahlenfolge.

Arithmetische Progression wird eine Zahlenfolge genannt, bei der jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, ergänzt um dieselbe Nummer.

Die Nummer wird angerufen die Differenz einer arithmetischen Progression. Die Differenz einer arithmetischen Progression kann positiv, negativ oder null sein.

Wenn title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} zunehmend.

Zum Beispiel 2; 5; acht; elf;...

Wenn , dann ist jeder Term der arithmetischen Progression kleiner als der vorherige, und die Progression ist abnehmend.

Zum Beispiel 2; -eines; -vier; -7;...

Wenn , dann haben alle Mitglieder der Progression die gleiche Zahl, und die Progression ist stationär.

Zum Beispiel 2;2;2;2;...

Die Haupteigenschaft einer arithmetischen Folge:

Schauen wir uns das Bild an.

Wir sehen das

, und gleichzeitig

Addiert man diese beiden Gleichheiten, erhält man:

.

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 2:

Jedes Mitglied der arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist also gleich dem arithmetischen Mittel zweier benachbarter:

Außerdem, weil

, und gleichzeitig

, dann

, und daher

Jedes Mitglied der arithmetischen Folge beginnend mit title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

te Mitgliedsformel.

Wir sehen, dass für die Glieder der arithmetischen Folge folgende Beziehungen gelten:

und endlich,

Wir haben bekommen Formel des n-ten Terms.

WICHTIG! Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge kann durch und ausgedrückt werden. Wenn Sie den ersten Term und den Unterschied einer arithmetischen Folge kennen, können Sie jedes seiner Mitglieder finden.

Die Summe von n Mitgliedern einer arithmetischen Folge.

In einer willkürlichen arithmetischen Folge sind die Summen der Terme mit gleichem Abstand von den Extremen einander gleich:

Betrachten Sie eine arithmetische Folge mit n Mitgliedern. Die Summe der n Mitglieder dieser Folge sei gleich .

Ordnen Sie die Terme der Progression zuerst in aufsteigender Reihenfolge der Zahlen und dann in absteigender Reihenfolge:

Paaren wir es:

Die Summe in jeder Klammer ist , die Anzahl der Paare ist n.

Wir bekommen:

So, Die Summe von n Mitgliedern einer arithmetischen Folge kann mit den Formeln gefunden werden:

In Betracht ziehen arithmetische Progressionsaufgaben lösen.

1 . Die Reihenfolge ergibt sich aus der Formel des n-ten Gliedes: . Beweisen Sie, dass diese Folge eine arithmetische Folge ist.

Lassen Sie uns beweisen, dass die Differenz zwischen zwei benachbarten Gliedern der Folge gleich der gleichen Zahl ist.

Wir haben festgestellt, dass die Differenz zweier benachbarter Glieder der Folge nicht von ihrer Anzahl abhängt und eine Konstante ist. Daher ist diese Folge per Definition eine arithmetische Folge.

2 . Bei einer arithmetischen Progression -31; -27;...

a) Finden Sie die 31 Terme der Progression.

b) Bestimmen Sie, ob die Zahl 41 in dieser Progression enthalten ist.

a) Wir sehen das ;

Schreiben wir die Formel für den n-ten Term für unsere Progression auf.

Im Algemeinen

In unserem Fall , deshalb

Wir bekommen:

b) Angenommen, die Zahl 41 ist ein Mitglied der Folge. Finden wir seine Nummer. Dazu lösen wir die Gleichung:

Wir haben einen natürlichen Wert von n, also ja, die Zahl 41 ist ein Mitglied der Progression. Wenn der gefundene Wert von n keine natürliche Zahl wäre, würden wir antworten, dass die Zahl 41 KEIN Mitglied der Progression ist.

3 . a) Fügen Sie zwischen den Zahlen 2 und 8 4 Zahlen ein, sodass sie zusammen mit den angegebenen Zahlen eine arithmetische Folge bilden.

b) Finden Sie die Summe der Terme der resultierenden Progression.

a) Lassen Sie uns vier Zahlen zwischen den Zahlen 2 und 8 einfügen:

Wir haben eine arithmetische Folge, in der es 6 Mitglieder gibt.

Lassen Sie uns den Unterschied dieser Progression finden. Dazu verwenden wir die Formel für den n-ten Term:

Jetzt ist es einfach, die Werte der Zahlen zu finden:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Antwort: a) ja; b) 30

4. Der LKW transportiert eine Charge Schotter mit einem Gewicht von 240 Tonnen und erhöht die Transportrate täglich um die gleiche Anzahl von Tonnen. Es ist bekannt, dass am ersten Tag 2 Tonnen Schutt transportiert wurden. Bestimmen Sie, wie viele Tonnen Schotter am zwölften Tag transportiert wurden, wenn alle Arbeiten in 15 Tagen abgeschlossen wurden.

Je nach Zustand des Problems steigt die Schottermenge, die der LKW transportiert, jeden Tag um die gleiche Anzahl. Wir haben es also mit einer arithmetischen Progression zu tun.

Wir formulieren dieses Problem in Form einer arithmetischen Progression.

Am ersten Tag wurden 2 Tonnen Schotter transportiert: a_1=2.

Alle Arbeiten wurden in 15 Tagen abgeschlossen: .

Der LKW transportiert eine Ladung Schotter mit einem Gewicht von 240 Tonnen:

Wir müssen finden .

Lassen Sie uns zuerst den Fortschrittsunterschied finden. Verwenden wir die Formel für die Summe von n Mitgliedern der Progression.

In unserem Fall:

Numerische Folge.
Wie ?

In dieser Lektion lernen wir viele interessante Dinge aus dem Leben der Mitglieder einer großen Community namens Vkontakte Zahlenfolgen. Das behandelte Thema bezieht sich nicht nur auf den Ablauf der mathematischen Analyse, sondern berührt auch die Grundlagen Diskrete Mathematik. Darüber hinaus wird das Material insbesondere während der Studie für die Entwicklung anderer Turmabschnitte benötigt Zahlenreihe und funktionale Reihen. Du kannst banal sagen, dass das wichtig ist, du kannst beruhigend sagen, dass es einfach ist, du kannst viel mehr Dienstphrasen sagen, aber heute ist die erste, ungewöhnlich faule Schulwoche, daher ist es für mich schrecklich, den ersten Absatz zu verfassen =) Ich habe die Datei bereits in meinem Herzen gespeichert und mich zum Schlafen bereit gemacht, plötzlich … die Idee eines offenen Geständnisses erhellte den Kopf, was die Seele unglaublich erleichterte und zum weiteren Tippen der Finger auf der Tastatur drängte.

Lassen Sie uns von Sommererinnerungen abschweifen und in diese faszinierende und positive Welt eines neuen sozialen Netzwerks blicken:

Das Konzept einer Zahlenfolge

Lassen Sie uns zunächst über das Wort selbst nachdenken: Was ist eine Sequenz? Konsistenz ist, wenn sich etwas hinter etwas befindet. Zum Beispiel die Abfolge der Handlungen, die Abfolge der Jahreszeiten. Oder wenn sich jemand hinter jemandem befindet. Zum Beispiel eine Reihe von Menschen in einer Schlange, eine Reihe von Elefanten auf einem Weg zu einer Wasserstelle.

Lassen Sie uns sofort die charakteristischen Merkmale der Sequenz klären. Erstens, Sequenzmitglieder befinden sich streng in einer bestimmten Reihenfolge. Wenn also zwei Personen in der Warteschlange getauscht werden, dann ist dies bereits der Fall Ein weiterer Folge. Zweitens zu jedem Sequenzmitglied Sie können eine Seriennummer vergeben:

Genauso ist es mit Zahlen. Lassen zu jedem natürlicher Wert nach irgendeiner Regel auf eine reelle Zahl abgebildet. Dann sagen wir, dass eine Zahlenfolge gegeben ist.

Ja, bei mathematischen Problemen ist im Gegensatz zu Lebenssituationen die Folge fast immer enthalten unendlich viele Zahlen.

Dabei:
genannt erstes Mitglied Sequenzen;
– zweites Mitglied Sequenzen;
– drittes Mitglied Sequenzen;
…
– n oder gemeinsames Mitglied Sequenzen;
…

In der Praxis ist die Reihenfolge meist vorgegeben Gemeinsame Begriffsformel, zum Beispiel:
ist eine Folge positiver gerader Zahlen:

Somit bestimmt der Datensatz eindeutig alle Glieder der Folge – dies ist die Regel (Formel), nach der die natürlichen Werte Nummern werden abgeglichen. Daher wird die Sequenz oft kurz durch ein gemeinsames Mitglied bezeichnet, und anstelle von "x" können andere lateinische Buchstaben verwendet werden, zum Beispiel:

Folge positiver ungerader Zahlen:

Eine weitere übliche Reihenfolge:

Wie wahrscheinlich viele bemerkt haben, spielt die Variable "en" die Rolle einer Art Zähler.

Tatsächlich haben wir uns in der Mittelschule mit Zahlenfolgen beschäftigt. Lass uns erinnern arithmetische Progression. Ich werde die Definition nicht umschreiben, lassen Sie uns mit einem konkreten Beispiel auf das Wesentliche eingehen. Sei der erste Term und Schritt arithmetische Progression. Dann:
ist der zweite Begriff dieser Progression;
ist das dritte Mitglied dieser Progression;
- vierte;
- fünfter;
…
Und natürlich wird das n-te Mitglied gefragt wiederkehrend Formel

Notiz : In einer rekursiven Formel wird jeder nächste Term in Bezug auf den vorherigen Term oder sogar in Bezug auf einen ganzen Satz von vorherigen Termen ausgedrückt.

Die resultierende Formel ist in der Praxis wenig hilfreich - um beispielsweise zu zu gelangen, müssen Sie alle vorherigen Terme durchgehen. Und in der Mathematik wird ein bequemerer Ausdruck für den n-ten Term einer arithmetischen Folge abgeleitet: . In unserem Fall:

Ersetzen Sie die Formel durch natürliche Zahlen und überprüfen Sie die Richtigkeit der oben konstruierten Zahlenfolge.

Ähnliche Berechnungen können durchgeführt werden für geometrischer Verlauf, dessen n-ter Term durch die Formel gegeben ist, wobei der erste Term ist und ist Nenner Verläufe. Bei Matan-Zuweisungen ist der erste Begriff oft gleich eins.

Progression bestimmt die Reihenfolge ;
Fortschreiten legt die Reihenfolge fest ;
Fortschreiten legt die Reihenfolge fest ;
Fortschreiten legt die Reihenfolge fest .

Ich hoffe, jeder weiß, dass -1 hoch ungerade gleich -1 ist und gerade hoch eins.

Die Progression wird aufgerufen unendlich abnehmend, if (die letzten beiden Fälle).

Fügen wir unserer Liste zwei neue Freunde hinzu, von denen einer gerade an die Monitormatrix geklopft hat:

Die Sequenz wird im mathematischen Fachjargon als "Flasher" bezeichnet:

Auf diese Weise, Sequenzmitglieder können wiederholt werden. Im betrachteten Beispiel besteht die Folge also aus zwei unendlich abwechselnden Zahlen.

Kommt es vor, dass die Folge aus denselben Zahlen besteht? Na sicher. Zum Beispiel setzt es eine unendliche Anzahl von "Tripeln". Für Ästheten gibt es einen Fall, in dem „en“ noch formal in der Formel vorkommt:

Laden wir eine einfache Freundin zum Tanzen ein:

Was passiert, wenn „en“ unendlich wird? Offensichtlich werden die Terme der Folge unendlich nah Null annähern. Dies ist die Grenze dieser Sequenz, die wie folgt geschrieben wird:

Wenn der Grenzwert einer Folge Null ist, wird sie aufgerufen unendlich klein.

In der Theorie der mathematischen Analyse ist es gegeben strenge Definition der Sequenzgrenze durch das sogenannte Epsilon-Viertel. Der nächste Artikel wird sich dieser Definition widmen, aber jetzt wollen wir ihre Bedeutung analysieren:

Stellen wir die Glieder der Folge und der Nachbarschaft symmetrisch zu Null (Grenzwert) auf der reellen Geraden dar:


Halten Sie nun die blaue Nachbarschaft mit den Rändern Ihrer Handflächen fest und beginnen Sie, sie zu reduzieren, indem Sie sie an die Grenze ziehen (roter Punkt). Eine Zahl ist die Grenze einer Folge, wenn sie FÜR JEDE vorausgewählte Nachbarschaft gilt (willkürlich klein) drinnen wird es sein unendlich viele Mitglieder der Sequenz und AUSSERHALB davon - nur Finale Anzahl der Mitglieder (oder gar keine). Das heißt, die Epsilon-Nachbarschaft kann mikroskopisch klein sein, und noch weniger, aber der „unendliche Schwanz“ der Sequenz muss früher oder später völlig diesen Bereich betreten.

Auch die Folge ist unendlich klein: mit dem Unterschied, dass ihre Glieder nicht hin und her springen, sondern ausschließlich von rechts an die Grenze heranfahren.

Natürlich kann die Grenze gleich jeder anderen endlichen Zahl sein, ein elementares Beispiel:

Hier tendiert der Bruch gegen Null, und dementsprechend ist die Grenze gleich "zwei".

Wenn die Reihenfolge es gibt eine endliche Grenze, dann heißt es konvergierend(insbesondere, unendlich klein bei ). Sonst - abweichend, wobei zwei Optionen möglich sind: Entweder existiert die Grenze überhaupt nicht oder sie ist unendlich. Im letzteren Fall wird die Sequenz aufgerufen unendlich groß. Lassen Sie uns durch die Beispiele des ersten Absatzes galoppieren:

Sequenzen sind unendlich groß, während sich ihre Mitglieder stetig in Richtung "plus unendlich" bewegen:

Auch eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied und einem Schritt ist unendlich groß:

Übrigens divergiert auch jede arithmetische Progression, außer im Fall mit einem Nullschritt - wenn unendlich zu einer bestimmten Zahl addiert wird. Der Grenzwert einer solchen Folge existiert und fällt mit dem ersten Term zusammen.

Sequenzen haben ein ähnliches Schicksal:

Jede unendlich abnehmende geometrische Progression, wie der Name schon sagt, unendlich klein:

Wenn der Nenner eine geometrische Folge ist, dann ist die Folge unendlich großA:

Wenn zum Beispiel , dann gibt es überhaupt keine Begrenzung, da die Glieder unermüdlich entweder auf „plus unendlich“, dann auf „minus unendlich“ springen. Und der gesunde Menschenverstand und Matans Theoreme legen nahe, dass, wenn irgendwo etwas strebt, dieser geschätzte Ort einzigartig ist.

Nach einer kleinen Offenbarung es wird deutlich, dass der Flasher an dem hemmungslosen Wurf schuld ist, der übrigens von alleine auseinandergeht.
Tatsächlich ist es für eine Folge einfach, eine -Nachbarschaft zu wählen, die beispielsweise nur die Zahl -1 festhält. Infolgedessen bleibt eine unendliche Anzahl von Sequenzmitgliedern („plus Einsen“) außerhalb der gegebenen Nachbarschaft. Aber per Definition muss der "unendliche Schwanz" der Folge ab einem bestimmten Moment (natürliche Zahl) sein völlig Geben Sie JEDE Umgebung seiner Grenze ein. Fazit: Es gibt keine Begrenzung.

Fakultät ist unendlich groß Reihenfolge:

Außerdem wächst es sprunghaft, also ist es eine Zahl, die mehr als 100 Ziffern (Digits) hat! Warum genau 70? Es bittet meinen Ingenieursrechner um Gnade.

Bei einem Kontrollschuss ist alles etwas komplizierter, und wir sind gerade beim praktischen Teil der Vorlesung angekommen, in dem wir Kampfbeispiele analysieren werden:

Aber jetzt ist es notwendig, die Grenzen von Funktionen lösen zu können, zumindest auf der Ebene von zwei grundlegenden Lektionen: Grenzen. Lösungsbeispiele und Bemerkenswerte Grenzen. Denn viele Lösungsmethoden werden ähnlich sein. Aber lassen Sie uns zunächst die grundlegenden Unterschiede zwischen dem Grenzwert einer Folge und dem Grenzwert einer Funktion analysieren:

In der Begrenzung der Sequenz kann die "dynamische" Variable "en" tendieren nur bis "plus unendlich"– in Richtung steigender natürlicher Zahlen .
Im Grenzwert der Funktion kann „x“ überall hin gerichtet werden – auf „plus / minus unendlich“ oder auf eine beliebige reelle Zahl.

Folge diskret(diskontinuierlich), das heißt, es besteht aus separaten isolierten Mitgliedern. Eins, zwei, drei, vier, fünf, der Hase ging spazieren. Das Argument der Funktion ist durch Kontinuität gekennzeichnet, dh „x“ tendiert glatt und ohne Zwischenfälle zu dem einen oder anderen Wert. Und dementsprechend nähern sich auch die Werte der Funktion kontinuierlich ihrem Limit.

Wegen Diskretion innerhalb der sequenzen gibt es ihre eigenen gebrandeten dinge wie z. b. faktoren, flasher, progressionen usw. Und jetzt werde ich versuchen, die Grenzen zu analysieren, die für Folgen charakteristisch sind.

Beginnen wir mit den Progressionen:

Beispiel 1

Finden Sie den Grenzwert einer Folge

Lösung: so etwas wie eine unendlich abnehmende geometrische Progression, aber ist es das wirklich? Zur Verdeutlichung schreiben wir die ersten Begriffe aus:

Da reden wir über Summe Glieder einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge, die nach der Formel berechnet wird.

Eine Entscheidung treffen:

Wir verwenden die Formel für die Summe einer unendlich fallenden geometrischen Folge: . BEI dieser Fall: - der erste Term, - der Nenner der Progression.

Beispiel 2

Schreiben Sie die ersten vier Terme der Folge und finden Sie ihren Grenzwert

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Um die Unsicherheit im Zähler zu beseitigen, müssen Sie die Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge anwenden:
, wobei der erste und der n-te Term der Progression ist.

Da 'en' innerhalb von Sequenzen immer zu 'plus unendlich' tendiert, ist es nicht verwunderlich, dass Unbestimmtheit eine der beliebtesten ist.
Und viele Beispiele werden genauso gelöst wie die Grenzen von Funktionen!

Oder vielleicht etwas komplizierter wie ? Sehen Sie sich Beispiel Nr. 3 des Artikels an Lösungsmethoden einschränken.

Aus formaler Sicht besteht der Unterschied nur in einem Buchstaben - es gibt „x“ und hier „en“.
Die Rezeption ist die gleiche - Zähler und Nenner müssen im höchsten Grad durch "en" geteilt werden.

Auch innerhalb von Sequenzen ist Ungewissheit weit verbreitet. Wie man Grenzen löst, wie können in den Beispielen Nr. 11-13 desselben Artikels gefunden werden.

Informationen zum Umgang mit dem Limit finden Sie in Beispiel Nr. 7 der Lektion Bemerkenswerte Grenzen(Die zweite bemerkenswerte Grenze gilt auch für den diskreten Fall). Die Lösung wird wieder wie ein Durchschlag mit einem Unterschied in einem einzigen Buchstaben sein.

Die folgenden vier Beispiele (Nr. 3-6) sind ebenfalls „doppelt“, aber in der Praxis aus irgendeinem Grund eher typisch für die Grenzen von Folgen als für die Grenzen von Funktionen:

Beispiel 3

Finden Sie den Grenzwert einer Folge

Lösung: zuerst vollständige Lösung, dann Schritt für Schritt Kommentare:

(1) Im Zähler verwenden wir die Formel zweimal.

(2) Wir geben gleiche Terme im Zähler an.

(3) Um Unsicherheiten zu beseitigen, dividieren wir Zähler und Nenner durch („en“ im höchsten Grad).

Wie Sie sehen können, nichts Kompliziertes.

Beispiel 4

Finden Sie den Grenzwert einer Folge

Dies ist ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung, abgekürzte Multiplikationsformeln helfen.

Innerhalb von s demonstrativ Sequenzen verwenden eine ähnliche Methode zum Teilen von Zähler und Nenner:

Beispiel 5

Finden Sie den Grenzwert einer Folge

Lösung machen wir es genauso:

Ein ähnlicher Satz gilt übrigens auch für Funktionen: Das Produkt einer beschränkten Funktion durch eine infinitesimale Funktion ist eine infinitesimale Funktion.

Beispiel 9

Finden Sie den Grenzwert einer Folge

Hovhannisyan Eva

Numerische Folgen. Abstrakt.

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Vorschau:

Städtische Haushaltsbildungseinrichtung
"Sekundarschule Nr. 31"
die Stadt Barnaul

Zahlenfolgen

abstrakt

Arbeit abgeschlossen:
Oganesjan Eva,
Schüler der 8. Klasse MBOU "Secondary School No. 31"
Supervisor:
Polewa Irina Alexandrowna,
Mathematiklehrer MBOU "Secondary School No. 31"

Barnaul - 2014

Einleitung ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Zahlenfolgen ……………………………………………...3

Möglichkeiten zum Einstellen von Zahlenfolgen………………………...4

Entwicklung der Progressionslehre………………………………………………..5

Eigenschaften von Zahlenfolgen……………………………………7

Arithmetische Progression……………………………................................................ ..............9

Geometrische Progression ………………………………………………….10

Fazit ………………………………………………………………… 11

Referenzen ………………………………………………………………11

Einführung

Zweck dieser Zusammenfassung– Studium der Grundkonzepte im Zusammenhang mit numerischen Folgen, ihre Anwendung in der Praxis.
Aufgaben:

1. Studium der historischen Aspekte der Entwicklung der Progressionslehre;
2. Möglichkeiten der Einstellung und Eigenschaften von Zahlenfolgen berücksichtigen;
3. Lernen Sie arithmetische und geometrische Progressionen kennen.

Derzeit werden Zahlenfolgen als Spezialfälle einer Funktion betrachtet. Die Zahlenfolge ist eine Funktion des natürlichen Arguments. Das Konzept einer Zahlenfolge entstand und entwickelte sich lange vor der Entstehung der Funktionstheorie. Hier sind Beispiele für unendliche Zahlenfolgen, die in der Antike bekannt sind:

1, 2, 3, 4, 5, … - Folge natürlicher Zahlen.

2, 4, 6, 8, 10, … - eine Folge gerader Zahlen.

1, 3, 5, 7, 9, … - eine Folge ungerader Zahlen.

1, 4, 9, 16, 25, … - Folge von Quadraten natürlicher Zahlen.

2, 3, 5, 7, 11 … - eine Folge von Primzahlen.

1, ½, 1/3, ¼, 1/5,… - Folge von Kehrwerten natürlicher Zahlen.

Die Zahl der Mitglieder jeder dieser Reihen ist unendlich; die ersten fünf Folgen sind monoton steigend, die letzte monoton fallend. Alle aufgeführten Sequenzen, mit Ausnahme der 5., sind aufgrund der Tatsache angegeben, dass für jede von ihnen der gemeinsame Begriff bekannt ist, dh die Regel zum Erhalten eines Begriffs mit einer beliebigen Nummer. Für eine Folge von Primzahlen ist ein gemeinsamer Begriff unbekannt, aber bereits im 3. Jahrhundert. BC e. Der alexandrinische Wissenschaftler Eratosthenes zeigte eine Methode (wenn auch sehr umständlich) auf, um sein n-tes Mitglied zu erhalten. Diese Methode wurde das "Sieb des Eratosthenes" genannt.

Progressionen - bestimmte Arten von Zahlenfolgen - finden sich in den Denkmälern des 2. Jahrtausends v. e.

Zahlenfolgen

Es gibt verschiedene Definitionen der Zahlenfolge.

Numerische Folge – es ist eine Folge von Elementen eines Zahlenraums (Wikipedia).

Numerische Folge – Dies ist ein nummerierter Zahlensatz.

Eine Funktion der Form y = f (x), xheißt eine Funktion des natürlichen Arguments oderZahlenfolgeund bezeichnen y = f(n) oder

, , , …, Die Notation ().

Positive gerade Zahlen schreiben wir in aufsteigender Reihenfolge aus. Die erste dieser Zahlen ist 2, die zweite 4, die dritte 6, die vierte 8 und so weiter, also erhalten wir die Folge: 2; vier; 6; acht; zehn ….

Offensichtlich ist die fünfte Stelle in dieser Folge die Zahl 10, die zehnte - 20, die hundertste - 200. Im Allgemeinen können Sie für jede natürliche Zahl n die entsprechende positive gerade Zahl angeben; es ist gleich 2n.

Schauen wir uns eine andere Sequenz an. Wir schreiben in absteigender Reihenfolge echte Brüche mit einem Zähler gleich 1:

; ; ; ; ; … .

Für jede natürliche Zahl n können wir den entsprechenden Bruch angeben; es ist gleich. Auf dem sechsten Platz sollte also ein Bruchteil liegen, am dreißigsten - , am tausendsten - ein Bruchteil .

Die Zahlen, die eine Folge bilden, werden jeweils als erste, zweite, dritte, vierte usw. bezeichnet. Mitglieder der Sequenz. Die Mitglieder einer Sequenz werden normalerweise durch Buchstaben mit tiefgestellten Indizes bezeichnet, die die Ordnungszahl des Mitglieds angeben. Zum Beispiel:, , usw. allgemein wird das Glied der Folge mit der Nummer n, oder wie man so sagt, dem n-ten Glied der Folge, bezeichnet. Die Folge selbst wird bezeichnet mit (). Eine Folge kann sowohl eine unendliche Anzahl von Gliedern als auch ein endliches Glied enthalten. In diesem Fall heißt es endgültig. Zum Beispiel: eine Folge von zweistelligen Zahlen.10; elf; 12; 13; …; 98; 99

Methoden zur Angabe von Zahlenfolgen

Sequenzen können auf verschiedene Arten angegeben werden.

Normalerweise ist die Reihenfolge passender einzustellenFormel seines gemeinsamen n-ten Terms, mit dem Sie jedes Mitglied der Sequenz finden können, wenn Sie seine Nummer kennen. In diesem Fall heißt die Sequenz gegeben analytisch. Zum Beispiel: eine Folge positiver gerader Terme=2n.

Eine Aufgabe: Finden Sie die Formel für den gemeinsamen Term der Folge (:

6; 20; 56; 144; 352;…

Lösung. Wir schreiben jeden Term der Folge in der folgenden Form:

n = 1: 6 = 2 3 = 3 =

n=2: 20=4 5=5=

n = 3: 56 = 8 7 = 7 =

Wie Sie sehen können, sind die Glieder der Folge das Produkt einer Zweierpotenz, multipliziert mit aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen, und zwei wird zu einer Potenz erhoben, die gleich der Zahl des betreffenden Elements ist. Damit schließen wir das

Antwort: Gemeinsame Begriffsformel:

Eine andere Möglichkeit, eine Sequenz anzugeben, besteht darin, eine Sequenz mit anzugebenwiederkehrende Beziehung. Eine Formel, die ein beliebiges Glied einer Sequenz ausdrückt, beginnend mit einigen bis zu den vorherigen (eine oder mehrere), wird aufgerufen wiederkehrend (vom lateinischen Wort recurro - zurückkehren).

In diesem Fall werden ein oder mehrere erste Elemente der Folge angegeben, und der Rest wird nach irgendeiner Regel bestimmt.

Ein Beispiel für eine rekursiv gegebene Folge ist die Folge von Fibonacci-Zahlen - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , in der jede nachfolgende Zahl, beginnend mit der dritten, die Summe der beiden vorherigen ist Einer: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 und so weiter. Diese Folge kann rekursiv angegeben werden:

N N, = 1.

Eine Aufgabe: Folgedurch die Wiederholungsrelation gegeben+ , n N, = 4. Schreiben Sie die ersten Terme dieser Folge auf.

Lösung. Lassen Sie uns den dritten Term der gegebenen Sequenz finden:

+ =

Usw.

Wenn Folgen wiederholt angegeben werden, sind Berechnungen sehr umständlich, da es zum Auffinden von Elementen mit großen Zahlen notwendig ist, alle vorherigen Mitglieder der angegebenen Folge zu finden, um beispielsweise zu findenwir müssen alle vorherigen 499 Mitglieder finden.

Beschreibender WegDie Zuordnung einer Zahlenfolge besteht darin, zu erklären, aus welchen Elementen die Folge aufgebaut ist.

Beispiel 1 . "Alle Mitglieder der Sequenz sind 1." Es handelt sich also um eine stationäre Folge 1, 1, 1, …, 1, ….

Beispiel 2. "Die Folge besteht aus allen Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge." Somit ist die Folge 2, 3, 5, 7, 11, … gegeben. Mit dieser Art, die Sequenz in diesem Beispiel anzugeben, ist es schwierig zu beantworten, was beispielsweise das 1000. Element der Sequenz ist.

Auch eine Zahlenfolge kann durch ein einfaches gegeben werdenAuflistung seiner Mitglieder.

Entwicklung der Progressionslehre

Das Wort Progression ist lateinischen Ursprungs (progressio), bedeutet wörtlich „voranschreiten“ (wie das Wort „Fortschritt“) und findet sich erstmals beim römischen Autor Boethius (5.-6. Jh.) in einer Richtung unendlich fortzusetzen , zum Beispiel eine Folge natürlicher Zahlen, ihre Quadrate und Kuben. Am Ende des Mittelalters und zu Beginn der Neuzeit ist dieser Begriff nicht mehr gebräuchlich. Im 17. Jahrhundert verwendete beispielsweise J. Gregory den Begriff „Serien“ anstelle von Progression, und ein anderer prominenter englischer Mathematiker, J. Wallis, verwendete den Begriff „unendliche Progressionen“ für unendliche Reihen.

Zur Zeit betrachten wir Progressionen als Spezialfälle von Zahlenfolgen.

Theoretische Informationen zu Progressionen finden sich zuerst in den uns überlieferten Dokumenten des antiken Griechenlands.

Im Psammiten vergleicht Archimedes erstmals arithmetische und geometrische Progressionen:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

Progressionen wurden als Fortsetzung von Proportionen betrachtet, weshalb die Beinamen arithmetisch und geometrisch von Proportionen auf Progressionen übertragen wurden.

Diese Sichtweise der Progressionen wurde von vielen Mathematikern des 17. und sogar 18. Jahrhunderts beibehalten. So sollte die Tatsache erklärt werden, dass das Symbol, das bei Barrow und dann bei anderen englischen Wissenschaftlern dieser Zeit gefunden wurde, um eine kontinuierliche geometrische Proportion zu bezeichnen, in englischen und französischen Lehrbüchern des 18. Jahrhunderts begann, eine geometrische Progression zu bezeichnen. In Analogie dazu begannen sie, eine arithmetische Progression zu bezeichnen.

Einer der Beweise von Archimedes, dargelegt in seinem Werk „Die Quadratur der Parabel“, läuft im Wesentlichen auf die Summierung einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression hinaus.

Um einige Probleme aus Geometrie und Mechanik zu lösen, leitete Archimedes die Formel für die Summe der Quadrate natürlicher Zahlen ab, obwohl sie vor ihm verwendet wurde.

1/6n(n+1)(2n+1)

Einige Formeln im Zusammenhang mit Progressionen waren chinesischen und indischen Wissenschaftlern bekannt. Aryabhatta (5. Jahrhundert) kannte also die Formeln für den gemeinsamen Begriff, die Summe einer arithmetischen Folge usw., Magavira (9. Jahrhundert) verwendete die Formel: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) und andere komplexere Reihen. Die Regel zum Ermitteln der Summe der Terme einer beliebigen arithmetischen Folge findet sich jedoch erstmals im Buch des Abakus (1202) von Leonardo von Pisa. In The Science of Numbers (1484) vergleicht N. Shuke wie Archimedes die arithmetische Progression mit der geometrischen und gibt eine allgemeine Regel für die Summierung jeder unendlich kleinen abnehmenden geometrischen Progression an. Die Formel zur Summierung einer unendlich fallenden Progression war P. Fermat und anderen Mathematikern des 17. Jahrhunderts bekannt.

Probleme zu arithmetischen (und geometrischen) Progressionen finden sich auch in dem altchinesischen Traktat „Mathematik in neun Büchern“, das allerdings keine Anleitung zur Verwendung irgendeiner Summationsformel enthält.

Die ersten uns überlieferten Aufstiegsprobleme hängen mit den Anforderungen des Wirtschaftslebens und der gesellschaftlichen Praxis zusammen, wie der Verteilung von Produkten, der Erbteilung und so weiter.

Aus einer Keilschrifttafel können wir schließen, dass die Babylonier bei der Beobachtung des Mondes von Neumond bis Vollmond zu diesem Schluss kamen: In den ersten fünf Tagen nach Neumond erfolgt die Zunahme der Beleuchtung der Mondscheibe gemäß dem Gesetz der geometrischen Progression mit einem Nenner von 2. In einer anderen späteren Tafel sprechen wir über die geometrische Progression der Summation:

1+2+ +…+ . Lösung und Antwort S=512+(512-1), die Daten in der Tafel deuten darauf hin, dass der Autor die Formel verwendet hat.

Sn= +( -1), aber niemand weiß, wie er es erreicht hat.

Die Summierung geometrischer Progressionen und die Zusammenstellung entsprechender Aufgaben, die nicht immer den praktischen Bedürfnissen entsprechen, wurde von vielen Liebhabern der Mathematik im Altertum und Mittelalter praktiziert.

Eigenschaften von Zahlenfolgen

Eine numerische Folge ist ein Spezialfall einer numerischen Funktion, und daher werden einige Eigenschaften von Funktionen (Beschränktheit, Monotonie) auch für Folgen berücksichtigt.

Begrenzte Sequenzen

Folge () wird genannt von oben begrenzt, dass für jede Zahl n, M.

Folge () wird genannt von unten begrenzt, wenn es eine solche Zahl m gibt, dass für jede Zahl n, m.

Folge () heißt beschränkt , wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist, d. h. es gibt eine solche Zahl M0 , was für jede Zahl n , M.

Folge () heißt unbeschränkt , falls es eine solche Zahl M gibt0, dass es eine Zahl n gibt, so dass M.

Eine Aufgabe: erkunden Sie die Sequenz = zur Begrenzung.

Lösung. Die gegebene Folge ist beschränkt, da für jede natürliche Zahl n folgende Ungleichungen gelten:

0 1,

Das heißt, die Folge ist von unten durch Null begrenzt und gleichzeitig von oben durch Eins begrenzt und daher auch begrenzt.

Antwort: Die Sequenz ist begrenzt - von unten auf Null und von oben auf Eins.

Aufsteigende und absteigende Folgen

Folge () heißt zunehmend , wenn jeder Term größer als der vorherige ist:

Beispielsweise ist 1, 3, 5, 7 ... 2n - 1, ... eine ansteigende Folge.

Folge () wird als abnehmend bezeichnet , wenn jeder Term kleiner als der vorherige ist:

Zum Beispiel 1; ist eine absteigende Folge.

Aufsteigende und abfallende Folgen werden durch einen gemeinsamen Begriff zusammengefasst -monotone Folgen. Nehmen wir noch ein paar Beispiele.

1; - diese Folge ist weder steigend noch fallend (nicht monotone Folge).

2n. Wir sprechen von der Folge 2, 4, 8, 16, 32, ... - einer aufsteigenden Folge.

Im Allgemeinen, wenn a > 1, dann die Folge= erhöht sich;

wenn 0 = abnehmend.

Arithmetische Progression

Eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich der Summe des vorherigen Gliedes und derselben Zahl d ist, wird aufgerufenarithmetische Progression, und die Zahl d ist die Differenz einer arithmetischen Progression.

Eine arithmetische Folge ist also eine Zahlenfolge

X, == + d, (n = 2, 3, 4, …; a und d sind gegebene Zahlen).

Beispiel 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... ist eine ansteigende arithmetische Folge, in der= 1, d = 2.

Beispiel 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - eine abnehmende arithmetische Folge, in der= 20, d = –3.

Beispiel 3. Stellen Sie sich eine Folge natürlicher Zahlen vor, die, wenn sie durch vier geteilt werden, einen Rest von 1: 1 haben; 5; 9; 13; 17; 21…

Jeder Term, beginnend mit dem zweiten, ergibt sich aus der Addition der Zahl 4 zum vorherigen Term. Diese Folge ist ein Beispiel für eine arithmetische Progression.

Es ist leicht, einen expliziten (Formel-)Ausdruck zu findendurch n. Der Wert des nächsten Elements erhöht sich um d im Vergleich zum vorherigen, daher erhöht sich der Wert des n-Elements um (n - 1)d im Vergleich zum ersten Element der arithmetischen Folge, d.h.

= + d (n – 1). Dies ist die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge.

Das ist die Summenformel n Mitglieder einer arithmetischen Folge.

Die arithmetische Progression heißt, weil in ihr jeder Term, mit Ausnahme des ersten, gleich dem arithmetischen Mittel der beiden benachbarten ist - der vorherige und der nächste, in der Tat,

Geometrischer Verlauf

Eine Zahlenfolge, deren alle Glieder ungleich Null sind und deren jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, aus dem vorhergehenden Glied durch Multiplikation mit derselben Zahl q erhalten wird, wird aufgerufengeometrischer Verlauf, und die Zahl q ist der Nenner einer geometrischen Folge. Eine geometrische Folge ist also eine Zahlenfolge (rekursiv durch die Relationen gegeben

B, = q (n = 2, 3, 4…; b und q sind gegebene Zahlen).

Beispiel 1. 2, 6, 18, 54, ... - zunehmende geometrische Progression

2, q = 3.

Beispiel 2. 2, -2, 2, -2, ... ist eine geometrische Folge= 2, q = –1.

Eine der offensichtlichen Eigenschaften einer geometrischen Folge ist, dass, wenn eine Folge eine geometrische Folge ist, die Folge von Quadraten, d.h.; ;…-

ist eine geometrische Folge, deren erster Term gleich ist, und der Nenner ist.

Die Formel für das n-te Glied einer geometrischen Folge lautet:

Die Formel für die Summe von n Mitgliedern einer geometrischen Folge:

charakteristische Eigenschaftgeometrische Folge: Eine Zahlenfolge ist genau dann eine geometrische Folge, wenn das Quadrat jedes ihrer Terme, mit Ausnahme des ersten (und des letzten im Fall einer endlichen Folge), gleich dem Produkt des vorherigen und des nachfolgenden Terms ist,

Fazit

Numerische Folgen werden seit vielen Jahrhunderten von vielen Wissenschaftlern untersucht.Die ersten uns überlieferten Aufstiegsprobleme hängen mit den Anforderungen des Wirtschaftslebens und der gesellschaftlichen Praxis zusammen, wie etwa der Verteilung von Produkten, der Erbteilung und so weiter. Sie sind eines der Schlüsselkonzepte der Mathematik. In meiner Arbeit habe ich versucht, die mit numerischen Folgen verbundenen Grundkonzepte zu reflektieren, wie man sie einstellt, Eigenschaften und einige davon berücksichtigt. Separat wurden Progressionen (arithmetisch und geometrisch) betrachtet und die damit verbundenen Grundkonzepte beschrieben.

Referenzliste

1. AG Mordkovich, Algebra, Klasse 10, Lehrbuch, 2012
2. AG Mordkovich, Algebra, Klasse 9, Lehrbuch, 2012
3. Toller Schülerführer. Moskau, "Drofa", 2001
4. GI Glaser, Geschichte der Mathematik in der Schule,

M.: Aufklärung, 1964.

1. „Mathematik in der Schule“, Zeitschrift, 2002.
2. Online-Bildungsdienste Webmath.ru
3. Universelle populärwissenschaftliche Online-Enzyklopädie "Krugosvet"

Wiege. Windeln. Schrei.
Wort. Schritt. Kalt. Arzt.
herumrennen. Spielzeuge. Der Bruder.
Hof. Schwingen. Kindergarten.
Die Schule. Zwei. Troika. Fünf.
Ball. Schritt. Gips. Bett.
Kampf. Blut. Gebrochene Nase.
Hof. Freunde. Party. Macht.
Institut. Frühling. Gebüsch.
Sommer. Sitzung. Schwänze.
Bier. Wodka. Eisiger Gin.
Kaffee. Sitzung. Diplom.
Romantik. Liebe. Stern.
Waffen. Lippen. Nacht ohne Schlaf.
Hochzeit. Schwiegermutter. Schwiegervater. Fangen.
Streit. Verein. Freunde. Tasse.
Haus. Arbeit. Haus. Die Familie.
Sonne. Sommer. Schnee. Winter.
Sohn. Windeln. Wiege.
Betonen. Herrin. Bett.
Geschäft. Geld. Planen. Avral.
Fernsehen. TV-Serie.
Landhaus. Kirschen. Zucchini.
Graue Haare. Migräne. Brille.
Enkel. Windeln. Wiege.
Betonen. Druck. Bett.
Herz. Nieren. Knochen. Arzt.
Reden. Sarg. Abschied. Schrei.

Lebensablauf

SEQUENCE - (Folge), Zahlen oder Elemente, die organisiert angeordnet sind. Folgen können endlich (mit einer begrenzten Anzahl von Elementen) oder unendlich sein, wie eine vollständige Folge natürlicher Zahlen 1, 2, 3, 4 ….… …

Wissenschaftliches und technisches Lexikon

Definition:Numerische Folge heißt numerisch, gegeben auf der Menge N der natürlichen Zahlen, bei Zahlenfolgen meist statt f(n) schreiben ein und bezeichne die Folge wie folgt: ein ). Zahlen a 1 , a 2 , …, ein,… genannt Sequenzelemente.

Üblicherweise wird die Ziffernfolge durch Einstellung festgelegt n-ten Elements oder eine rekursive Formel, nach der jedes nächste Element durch das vorherige bestimmt wird. Auch eine beschreibende Art der Angabe einer Zahlenfolge ist möglich. Zum Beispiel:

• Alle Mitglieder der Sequenz sind "1". Es handelt sich also um eine stationäre Folge 1, 1, 1, …, 1, ….

• Die Folge besteht aus allen Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge. Somit ist die Folge 2, 3, 5, 7, 11, … gegeben. Mit dieser Art, die Sequenz in diesem Beispiel anzugeben, ist es schwierig zu beantworten, was beispielsweise das 1000. Element der Sequenz ist.

Bei der rekurrenten Methode wird eine Formel angegeben, mit der Sie ausdrücken können n th-Mitglied der Sequenz durch die vorherigen und geben Sie 1–2 Anfangsmitglieder der Sequenz an.

• j 1 = 3; y n =j n-1 + 4 , wenn n = 2, 3, 4,…

Hier j 1 = 3; j 2 = 3 + 4 = 7;j 3 = 7 + 4 = 11; ….

• j 1 = 1; j 2 = 1; ja n =j n-2 + j n-1 , wenn n = 3, 4,…

Hier: j 1 = 1; j 2 = 1; j 3 = 1 + 1 = 2; j 4 = 1 + 2 = 3; j 5 = 2 + 3 = 5; j 6 = 3 + 5 = 8;

Sequenz ausgedrückt durch rekursive Formel y n =j n-1 + 4 kann auch analytisch angegeben werden: ja n= y1+4*(n-1)

Überprüfe: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

Hier müssen wir das vorherige Glied der Zahlenfolge nicht kennen, um das n-te Element zu berechnen, wir müssen nur seine Nummer und den Wert des ersten Elements angeben.

Wie wir sehen können, ist diese Art der Angabe einer Zahlenfolge der analytischen Art der Angabe von Funktionen sehr ähnlich. Tatsächlich ist eine numerische Folge eine spezielle Art einer numerischen Funktion, sodass eine Reihe von Eigenschaften von Funktionen auch für Folgen berücksichtigt werden können.

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