Gegeben seien zwei Ebenen

Die erste Ebene hat einen Normalenvektor (A 1; B 1; C 1), die zweite Ebene (A 2; B 2; C 2).

Wenn die Ebenen parallel sind, dann sind die Vektoren und kollinear, d.h. = l für eine Zahl l. Deshalb

─ die Bedingung der Parallelität der Ebene.

Bedingung der Koinzidenz von Ebenen:

,

denn in diesem Fall erhalten wir durch Multiplizieren der zweiten Gleichung mit l = die erste Gleichung.

Wenn die Parallelitätsbedingung nicht erfüllt ist, schneiden sich die Ebenen. Stehen insbesondere die Ebenen senkrecht, so stehen auch die Vektoren senkrecht. Daher ist ihr Skalarprodukt gleich 0, d.h. = 0, oder

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 \u003d 0.

Dies ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit der Ebenen.

Winkel zwischen zwei Ebenen.

Winkel zwischen zwei Ebenen

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

ist der Winkel zwischen ihren Normalenvektoren und , so

cos = =
.

Gerade im Raum.

Vektorparametrische Gleichung einer Geraden.

Definition. Richtungsvektor gerade Jeder Vektor, der auf einer Linie oder parallel zu ihr liegt, wird aufgerufen.

Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie auf, die durch den Punkt M 0 (x 0; y 0; z 0) verläuft und einen Richtungsvektor = (a 1; a 2; a 3) hat.

Legen Sie den Vektor vom Punkt M 0 ab . Sei M(x; y; z) ein beliebiger Punkt der gegebenen Geraden, und ─ sein Radius-Vektor des Punktes Ì 0 . Dann , , deshalb . Diese Gleichung heißt Vektorparametrische Gleichung einer Geraden.

Parametrische Gleichungen einer Geraden.

In der vektorparametrischen Gleichung der Geraden wird zu den Koordinatenbeziehungen (x; y; z) \u003d (x 0; y 0; z 0) + (a 1; a 2; a 3) t übergehen. Von hier bekommen wir Parametergleichungen der Geraden

x \u003d x 0 + a 1 t,

y = y 0 + a 2 t, (4)

Kanonische Gleichungen einer Geraden.

Aus Gleichungen (4) drücken wir t aus:

t = , t = , t = ,

wo wir hinkommen Kanonische Gleichungen der Linie

= = (5)

Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht.

Gegeben seien zwei Punkte M 1 (x 1; y 1; z 1) und M 2 (x 2; y 2; z 2). Als Richtungsvektor der Geraden kannst du den Vektor = nehmen (x 2 - x 1; y 2 ​​​​- y 1; z 2 - z 1). Da die Linie durch den Punkt M 1 (x 1; y 1; z 1) verläuft, werden ihre kanonischen Gleichungen gemäß (5) in die Form geschrieben

(6)

Winkel zwischen zwei Geraden.

Betrachten Sie zwei Geraden mit Richtungsvektoren = (a 1; a 2; a 3) und .

Der Winkel zwischen Linien ist gleich dem Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren, also

cos = =
(7)

Die Bedingung der Rechtwinkligkeit von Linien:

eine 1 in 1 + eine 2 in 2 + eine 3 in 3 = 0.

Zustand paralleler Linien:

Ich,

. (8)

Gegenseitige Anordnung von Linien im Raum.

Gegeben seien zwei Zeilen
und
.

Offensichtlich liegen die Geraden genau dann in derselben Ebene, wenn die Vektoren , und koplanar, d.h.

= 0 (9)

Wenn in (9) die ersten beiden Zeilen proportional sind, dann sind die Linien parallel. Wenn alle drei Linien proportional sind, fallen die Linien zusammen. Wenn die Bedingung (9) erfüllt ist und die ersten beiden Zeilen nicht proportional sind, schneiden sich die Linien.

Wenn
¹ 0, dann sind die Linien schief.

Probleme auf einer geraden Linie und einer Ebene im Raum.

Eine Gerade ist der Schnittpunkt zweier Ebenen.

Gegeben seien zwei Ebenen

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

Wenn die Ebenen nicht parallel sind, ist die Bedingung verletzt

.

Sei zum Beispiel ¹ .

Lassen Sie uns die Gleichung der geraden Linie finden, entlang der sich die Ebenen schneiden.

Als Richtungsvektor der gewünschten Geraden können wir den Vektor nehmen

= × = =
.

Um einen Punkt zu finden, der zu der gewünschten Linie gehört, legen wir einen Wert fest

z = z 0 und Lösung des Systems

,

wir erhalten die Werte x \u003d x 0, y \u003d y 0. Der gewünschte Punkt ist also M (x 0; y 0; z 0).

Erforderliche Gleichung

.

Gegenseitige Anordnung einer Geraden und einer Ebene.

Gegeben sei die Gerade x = x 0 + a 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t

und Flugzeug

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0.

Um gemeinsame Punkte einer Linie und einer Ebene zu finden, ist es notwendig, das System ihrer Gleichungen zu lösen

A 1 (x 0 + a 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.

Wenn A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 ¹ 0, dann hat das System eine eindeutige Lösung

t = t 0 = -
.

In diesem Fall schneiden sich die Linie und die Ebene in einem einzigen Punkt M 1 (x 1; y 1; z 1), wobei

x 1 \u003d x 0 + a 1 t 0, y 1 \u003d y 0 + a 2 t 0, z 1 \u003d z 0 + a 3 t 0.

Wenn A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 ¹ 0, dann haben die Linie und die Ebene keine gemeinsamen Punkte , d. h. sind parallel.

Wenn A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 \u003d 0, dann gehört die Linie zur Ebene.

Der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene.

Gegenseitige Anordnung von Ebenen im Raum

Bei der gegenseitigen Anordnung zweier Ebenen im Raum ist einer von zwei sich gegenseitig ausschließenden Fällen möglich.

1. Zwei Ebenen haben einen gemeinsamen Punkt. Dann haben sie nach dem Schnittpunkt zweier Ebenen eine gemeinsame Linie. Axiom R5 sagt: Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann ist der Schnittpunkt dieser Ebenen ihre gemeinsame Linie. Aus diesem Axiom folgt für Ebenen Solche Ebenen heißen schneidend.

Die beiden Ebenen haben keinen gemeinsamen Punkt.

3. Zwei Ebenen fallen zusammen

3. Vektoren in der Ebene und im Weltraum

Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke. Seine Länge wird als die Länge des Segments angesehen. Wenn zwei Punkte M1 (x1, y1, z1) und M2 (x2, y2, z2) gegeben sind, dann der Vektor

Wenn zwei Vektoren gegeben sind und dann

1. Längen von Vektoren

2. Summe der Vektoren:

3. Die Summe zweier Vektoren a und b ist die Diagonale des Parallelogramms, das auf diesen Vektoren aufgebaut ist, ausgehend von einem gemeinsamen Punkt ihrer Anwendung (Parallelogrammregel); oder ein Vektor, der den Anfang des ersten Vektors mit dem Ende des letzten verbindet - gemäß der Dreiecksregel. Die Summe dreier Vektoren a, b, c ist die Diagonale des auf diesen Vektoren aufgebauten Parallelepipeds (die Regel des Parallelepipeds).

In Betracht ziehen:

• 1. Der Koordinatenursprung liegt bei Punkt A;
• 2. Die Seite des Würfels ist ein einzelnes Segment.
• 3. Wir richten die OX-Achse entlang der AB-Kante, OY entlang der AD-Kante und die OZ-Achse entlang der AA1-Kante.

Für die untere Ebene des Würfels

Def. Zwei Ebenen im Raum heißen parallel, wenn sie sich nicht schneiden, andernfalls schneiden sie sich.

Satz 1: Wenn zwei sich schneidende Geraden einer Ebene jeweils parallel zu zwei Geraden einer anderen Ebene sind, dann sind diese Ebenen parallel.

Nachweisen:

Gegeben seien Ebenen, a1 und a2 - Linien in der Ebene, die sich am Punkt A schneiden, b1 und b2 - Linien parallel zu ihnen jeweils in

Flugzeuge. Nehmen wir an, die Ebenen und seien nicht parallel, d.h. schneiden sich entlang einer Linie. Nach dem Satz sind die Linien a1 und a2, die parallel zu den Linien b1 und b2 sind, parallel zur Ebene, und deshalb sind sie es nicht

die in dieser Ebene liegende Linie c schneiden. Somit verlaufen zwei Geraden (a1 und a2) durch den Punkt A in der Ebene, parallel zur Linie c. Dies ist aber nach dem Parallelaxiom unmöglich. Wir sind bei einem Widerspruch der CTD angelangt.

Senkrechte Ebenen: Zwei sich schneidende Ebenen heißen senkrecht, wenn eine dritte Ebene senkrecht zur Schnittlinie dieser Ebenen sie entlang senkrechter Linien schneidet.

Satz 2: Wenn eine Ebene durch eine Linie geht, die senkrecht zu einer anderen Ebene steht, dann sind diese Ebenen senkrecht.

Nachweisen:

Sei eine Ebene, β sei eine Linie senkrecht dazu, sei eine Ebene, die durch die Linie β verläuft, c sei eine Linie, entlang der sich die Ebenen und schneiden. Beweisen wir, dass die Ebenen und senkrecht stehen. Zeichnen wir in der Ebene durch den Schnittpunkt der Geraden in mit der Ebene die Gerade a,

senkrecht zur Geraden. Lassen Sie uns durch die Linien a und in die Ebene ziehen. Sie steht senkrecht auf der Linie c, weil Linie c ist senkrecht zu den Linien a und b. Da die Linien a und b senkrecht sind, sind die Ebenen und senkrecht. h.t.d.

42. Normalgleichung der Ebene und ihre Eigenschaften

Normale (normalisierte) Ebenengleichung

in Vektorform:

wo ein Einheitsvektor ist, ist der Abstand von P. vom Ursprung. Gleichung (2) kann aus Gleichung (1) durch Multiplizieren mit dem Normalisierungsfaktor erhalten werden

(Vorzeichen und Gegenteil).

43. Geradengleichungen im Raum: Allgemeine Gleichungen, kanonische und parametrische Gleichungen.

Kanonische Gleichungen:

Wir leiten die Gleichung einer geraden Linie her, die durch einen gegebenen Punkt und parallel zu einem gegebenen Richtungsvektor verläuft. Beachten Sie, dass ein Punkt genau dann auf dieser Linie liegt, wenn die Vektoren und kollinear sind. Das bedeutet, dass die Koordinaten dieser Vektoren proportional sind:

Diese Gleichungen werden kanonisch genannt. Beachten Sie, dass eine oder zwei der Richtungsvektorkoordinaten Null sein können. Aber wir nehmen es als Verhältnis wahr: Wir verstehen es als Gleichheit.

Allgemeine Gleichungen:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

Wobei die Koeffizienten A1-C1 nicht proportional zu A2-C2 sind, was gleichbedeutend damit ist, sie als Schnittlinie der Ebenen festzulegen

Parametrisch:

Wenn wir von den Punktvektoren für verschiedene Werte kollinear zum Richtungsvektor verschieben, erhalten wir verschiedene Punkte unserer geraden Linie am Ende der verschobenen Vektoren. Aus der Gleichheit folgt:

Die Variable wird als Parameter bezeichnet. Da es für jeden Punkt der Linie einen entsprechenden Parameterwert gibt und da verschiedene Punkte der Linie verschiedenen Werten des Parameters entsprechen, besteht eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den Parameterwerten und den Punkten der Linie . Wenn der Parameter alle reellen Zahlen von bis durchläuft, läuft der entsprechende Punkt durch die gesamte Zeile.

44. Das Konzept des linearen Raums. Axiome. Beispiele für lineare Räume

Ein Beispiel für einen linearen Raum ist die Menge aller geometrischen Vektoren.

Linear, oder VektorPlatzüber dem Feld P- Dies ist eine nicht leere Menge L, auf denen Operationen eingeführt werden

Zusätzlich, das heißt, jedem Paar von Elementen der Menge ist ein Element derselben Menge zugeordnet, das mit bezeichnet wird

Multiplikation mit einem Skalar (also einem Element des Feldes). P), das heißt, jedes Element und jedes Element wird mit dem Element von abgeglichen, bezeichnet.

In diesem Fall werden den Operationen folgende Bedingungen auferlegt:

Für alle ( Kommutativität der Addition);

Für alle ( zusätzliche Assoziativität);

es gibt ein Element, so dass für jedes ( Existenz eines neutralen Elements in Bezug auf die Addition), insbesondere L nicht leer;

für jeden gibt es ein solches Element (die Existenz eines entgegengesetzten Elements).

(Assoziativität der Multiplikation mit einem Skalar);

(Multiplikation mit einem neutralen (durch Multiplikation) FeldelementPspeichert den Vektor).

(Distributivität der Multiplikation mit einem Vektor in Bezug auf die Addition von Skalaren);

(Distributivität der Multiplikation mit einem Skalar in Bezug auf die Vektoraddition).

Elemente festlegen L genannt Vektoren, und Feldelemente P-Skalare. Die Eigenschaften 1-4 stimmen mit den Axiomen der abelschen Gruppe überein.

Die einfachsten Eigenschaften

Der Vektorraum ist eine abelsche Gruppe durch Addition.

Das neutrale Element ist das einzige, das sich aus Gruppeneigenschaften ergibt.

für jeden .

Denn jedes entgegengesetzte Element ist das einzige, das aus den Gruppeneigenschaften folgt.

für jeden .

für alle und

für jeden .

Die Elemente eines linearen Raums heißen Vektoren. Ein Raum heißt reell, wenn die Operation der Multiplikation von Vektoren mit einer darin enthaltenen Zahl nur für reelle Zahlen definiert ist, und komplex, wenn diese Operation nur für komplexe Zahlen definiert ist.

45. Grundlage und Dimension eines linearen Raums, Verbindung zwischen ihnen.

Endsumme der Ansicht

heißt Linearkombination von Elementen mit Koeffizienten.

Eine Linearkombination heißt nichttrivial, wenn mindestens einer ihrer Koeffizienten nicht Null ist.

Elemente heißen linear abhängig, wenn es eine nicht-triviale Linearkombination gleich θ gibt. Andernfalls heißen diese Elemente linear unabhängig.

Eine unendliche Teilmenge von Vektoren von L heißt linear abhängig, wenn eine endliche Teilmenge davon linear abhängig ist, und linear unabhängig, wenn eine ihrer endlichen Teilmengen linear unabhängig ist.

Die Anzahl der Elemente (Kardinalität) der maximalen linear unabhängigen Teilmenge des Raums hängt nicht von der Wahl dieser Teilmenge ab und wird als Rang oder Dimension des Raums bezeichnet, und diese Teilmenge selbst wird als Basis (Hamel-Basis) bezeichnet oder die lineare Basis). Die Elemente einer Basis werden auch Basisvektoren genannt. Basiseigenschaften:

Beliebige n linear unabhängige Elemente eines n-dimensionalen Raums bilden eine Basis dieses Raums.

Jeder Vektor kann (eindeutig) als endliche Linearkombination von Grundelementen dargestellt werden:

46. ​​​​Vektorkoordinaten in einer bestimmten Basis. Lineare Operationen mit Vektoren in Koordinatenform

Artikel 4. Lineare Operationen mit Vektoren inKoordinatebildenAufzeichnungen.

Sei ein Basisraum und seien seine zwei beliebigen Vektoren. Seien und die Darstellung dieser Vektoren in Koordinatenform. Sei ferner eine beliebige reelle Zahl. In diesen Notationen gilt der folgende Satz.

Satz. (Zu linearen Operationen mit Vektoren in Koordinatenform.)

Sei Ln ein beliebiger n-dimensionaler Raum, B = (e1,….,en) sei darin eine feste Basis. Dann hat jeder zu Ln gehörende Vektor x eine Eins-zu-eins-Entsprechung mit einer Spalte seiner Koordinaten in dieser Basis.

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Für zwei Ebenen sind folgende Varianten der gegenseitigen Anordnung möglich: Sie sind parallel oder schneiden sich auf einer Geraden.

Aus der Stereometrie ist bekannt, dass zwei Ebenen parallel sind, wenn zwei Schnittgeraden einer Ebene jeweils parallel zu zwei Schnittgeraden einer anderen Ebene sind. Dieser Zustand wird aufgerufen ein Zeichen für parallele Ebenen.

Wenn zwei Ebenen parallel sind, dann schneiden sie eine dritte Ebene entlang paralleler Linien. Darauf aufbauend parallele Ebenen R und Q ihre Spuren sind parallele gerade Linien (Abb. 50).

Wenn zwei Flugzeuge R und Q parallel zur Achse X, werden ihre horizontalen und frontalen Spuren bei einer beliebigen gegenseitigen Anordnung der Ebenen parallel zur x-Achse, d. h. zueinander parallel sein. Folglich ist unter solchen Bedingungen die Parallelität der Spuren ein ausreichendes Zeichen, das die Parallelität der Ebenen selbst kennzeichnet. Für die Parallelität solcher Ebenen müssen Sie darauf achten, dass ihre Profilspuren ebenfalls parallel sind. P w und Q w. Flugzeuge R und Q in Abbildung 51 sind parallel, und in Abbildung 52 sind sie nicht parallel, obwohl dies der Fall ist P v || Q v, und P h y || Q h .

Wenn die Ebenen parallel sind, sind die Horizontalen einer Ebene parallel zu den Horizontalen der anderen. Die Fronten einer Ebene müssen parallel zu den Fronten der anderen sein, da diese Ebenen parallele Spuren mit demselben Namen haben.

Um zwei Ebenen zu konstruieren, die sich schneiden, ist es notwendig, die Linie zu finden, entlang der sich die beiden Ebenen schneiden. Um diese Linie zu konstruieren, genügt es, zwei zugehörige Punkte zu finden.

Manchmal, wenn die Ebene durch Spuren gegeben ist, ist es einfach, diese Punkte anhand eines Diagramms und ohne zusätzliche Konstruktionen zu finden. Hier ist die Richtung der definierten geraden Linie bekannt und ihre Konstruktion basiert auf der Verwendung eines Punktes auf dem Diagramm.

Feierabend -

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Darstellende Geometrie. Vorlesungsskript Vorlesung. Über Projektionen

Vortragsinformationen über Projektionen Das Konzept der Projektionen Lesen einer Zeichnung .. Zentralprojektion .. Eine Vorstellung von der Zentralprojektion kann durch Studieren des Bildes erhalten werden, das das menschliche Auge liefert ..

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Alle Themen in diesem Abschnitt:

Das Konzept der Projektionen
Darstellende Geometrie ist eine Wissenschaft, die die theoretische Grundlage des Zeichnens darstellt. In dieser Wissenschaft werden Methoden zur Darstellung verschiedener Körper und ihrer Elemente auf einer Ebene untersucht.

Parallelprojektion
Parallelprojektion ist eine Projektionsart, die parallel projizierende Strahlen verwendet. Beim Konstruieren von Parallelprojektionen müssen Sie ansetzen

Projektionen eines Punktes auf zwei Projektionsebenen
Betrachten Sie die Projektionen von Punkten auf zwei Ebenen, für die wir zwei senkrechte Ebenen nehmen (Abb. 4), die wir die horizontalen Frontal- und Ebenen nennen. Flache Datenschnittlinie

Fehlende Projektionsachse
Um zu erklären, wie man am Modell Projektionen eines Punktes auf senkrechte Projektionsebenen erhält (Abb. 4), muss man ein dickes Stück Papier in Form eines länglichen Rechtecks ​​nehmen. Es muss dazwischen gebogen werden

Projektionen eines Punktes auf drei Projektionsebenen
Betrachten Sie die Profilebene von Projektionen. Projektionen auf zwei senkrechte Ebenen bestimmen normalerweise die Position der Figur und ermöglichen es, ihre tatsächlichen Abmessungen und ihre Form herauszufinden. Aber es gibt Zeiten, in denen

Punktkoordinaten
Die Position eines Punktes im Raum kann anhand von drei Zahlen, den sogenannten Koordinaten, bestimmt werden. Jede Koordinate entspricht dem Abstand eines Punktes von einer Ebene pr

Projektion einer geraden Linie
Zwei Punkte werden benötigt, um eine Linie zu definieren. Ein Punkt wird durch zwei Projektionen auf die horizontale und frontale Ebene definiert, d. h. eine Gerade wird durch die Projektionen ihrer beiden Punkte auf die Horizontale bestimmt

Gerade Spuren
Die Spur einer geraden Linie ist der Schnittpunkt mit einer Ebene oder Oberfläche (Abb. 20). Die horizontale Spur einer Linie ist ein Punkt H

Verschiedene Positionen der Linie
Eine Linie wird als Linie in allgemeiner Position bezeichnet, wenn sie weder parallel noch senkrecht zu einer Projektionsebene ist. Die Projektionen einer Linie in allgemeiner Position sind auch weder parallel noch senkrecht.

Gegenseitige Anordnung zweier Geraden
Drei Fälle der Anordnung von Linien im Raum sind möglich: 1) die Linien schneiden sich, dh sie haben einen gemeinsamen Punkt; 2) Die Linien sind parallel, das heißt, sie haben keinen gemeinsamen Punkt, sondern liegen in derselben Ebene

Senkrechte Linien
Betrachten Sie den Satz: Wenn eine Seite eines rechten Winkels parallel zur Projektionsebene ist (oder in ihr liegt), dann wird der rechte Winkel unverzerrt auf diese Ebene projiziert. Wir präsentieren einen Beweis für

Bestimmung der Position des Flugzeugs
Für eine beliebig angeordnete Projektionsebene füllen ihre Punkte alle drei Projektionsebenen. Daher macht es keinen Sinn, über die Projektion der gesamten Ebene zu sprechen, Sie müssen nur Projektionen berücksichtigen

Ebenenspuren
Die Spur der Ebene P ist die Schnittlinie mit einer gegebenen Ebene oder Fläche (Abb. 36). Die Schnittlinie der Ebene P mit der horizontalen Ebene wird genannt

Ebene Konturen und Fronten
Unter den Linien, die in einer bestimmten Ebene liegen, können zwei Klassen von Linien unterschieden werden, die bei der Lösung verschiedener Probleme eine wichtige Rolle spielen. Dies sind gerade Linien, die als Horizontale bezeichnet werden.

Konstruktion von Flugzeugspuren
Betrachten Sie die Konstruktion von Spuren der Ebene P, die durch ein Paar sich schneidender Linien I und II gegeben ist (Abb. 45). Befindet sich eine Gerade in der Ebene P, so liegen ihre Spuren auf den gleichnamigen Spuren

Verschiedene Positionen des Flugzeugs
Eine Ebene in allgemeiner Position ist eine Ebene, die weder parallel noch senkrecht zu einer der Projektionsebenen ist. Auch die Spuren einer solchen Ebene sind weder parallel noch senkrecht.

Gerade parallel zur Ebene
Es kann mehrere Positionen einer Geraden relativ zu einer bestimmten Ebene geben. 1. Die Linie liegt in einer Ebene. 2. Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene. 3. Direktüberweisung

Eine gerade Linie, die eine Ebene schneidet
Um den Schnittpunkt einer Geraden und einer Ebene zu finden, ist es notwendig, Schnittlinien zweier Ebenen zu konstruieren. Betrachten Sie die Linie I und die Ebene P (Abb. 54).

Prisma und Pyramide
Stellen Sie sich ein gerades Prisma vor, das auf einer horizontalen Ebene steht (Abb. 56). Ihre Seitenkörner

Zylinder und Kegel
Ein Zylinder ist eine Figur, deren Oberfläche durch Drehen der geraden Linie m um die i-Achse erhalten wird, die sich in derselben Ebene wie diese gerade Linie befindet. Für den Fall, dass die Linie m

Kugel, Torus und Ring
Wenn eine Rotationsachse I den Durchmesser eines Kreises hat, dann erhält man eine sphärische Oberfläche (Abb. 66).

Beim Zeichnen verwendete Linien
Beim Zeichnen werden drei Haupttypen von Linien (durchgezogen, gestrichelt und strichpunktiert) unterschiedlicher Dicke verwendet (Abb. 76).

Lage der Ansichten (Projektionen)
Beim Zeichnen werden sechs Typen verwendet, die in Abbildung 85 dargestellt sind. Die Abbildung zeigt die Projektionen des Buchstabens "L".

Abweichung von den obigen Regeln für die Anordnung von Ansichten
In einigen Fällen sind Abweichungen von den Regeln für die Erstellung von Projektionen zulässig. Unter diesen Fällen kann unterschieden werden: Teilansichten und Ansichten, die ohne Projektionsverbindung mit anderen Ansichten angeordnet sind.

Anzahl der Vorsprünge, die diesen Körper definieren
Die Lage von Körpern im Raum, Form und Größe werden üblicherweise durch eine kleine Anzahl geeignet ausgewählter Punkte bestimmt. Wenn Sie eine Projektion eines Körpers darstellen, achten Sie darauf

Drehung eines Punktes um eine Achse senkrecht zur Projektionsebene
Abbildung 91 zeigt die Rotationsachse I, die senkrecht auf der horizontalen Ebene steht, und einen willkürlich im Raum gelegenen Punkt A. Bei Rotation um die Achse I beschreibt sich dieser Punkt

Bestimmung der natürlichen Länge eines Segments durch Rotation
Darauf wird unverzerrt ein Segment parallel zu einer beliebigen Projektionsebene projiziert. Wenn Sie das Segment so drehen, dass es parallel zu einer der Projektionsebenen wird, können Sie es definieren

Die Konstruktion von Projektionen der Schnittfigur kann auf zwei Arten erfolgen
1. Sie können die Treffpunkte der Kanten des Polyeders mit der Schnittebene finden und dann die Projektionen der gefundenen Punkte verbinden. Als Ergebnis davon werden Projektionen des gewünschten Polygons erhalten. In diesem Fall,

Pyramide
Fig. 98 zeigt den Schnittpunkt der Pyramidenfläche mit der Frontalprojektionsebene P. Fig. 98b zeigt die Frontalprojektion a des Treffpunkts der Rippe KS mit der Ebene

schräge Abschnitte
Unter Schrägschnitten versteht man eine Reihe von Aufgaben zur Konstruktion natürlicher Typen von Schnitten des betrachteten Körpers durch die projizierte Ebene. Um einen Schrägschnitt durchzuführen, ist es notwendig, zu zerstückeln

Hyperbel als Schnitt der Oberfläche eines Kegels durch die Frontalebene
Es sei erforderlich, einen Schnitt durch die Oberfläche eines Kegels zu konstruieren, der auf einer horizontalen Ebene durch die Ebene P steht, die parallel zur Ebene V ist. Abbildung 103 zeigt die Stirnseite

Abschnitt der Oberfläche des Zylinders
Es gibt die folgenden Fälle eines Schnitts der Oberfläche eines geraden Kreiszylinders durch eine Ebene: 1) ein Kreis, wenn die Sekantenebene P senkrecht zur Achse des Zylinders steht und parallel zu den Grundflächen ist

Schnitt durch die Oberfläche des Kegels
Im allgemeinen Fall enthält eine Kreiskegelfläche zwei völlig identische Hohlräume, die eine gemeinsame Spitze haben (Abb. 107c). Die Generatoren eines Hohlraums sind eine Fortsetzung der

Ausschnitt der Kugeloberfläche
Jeder Schnitt der Kugeloberfläche durch eine Ebene ist ein Kreis, der nur dann unverzerrt projiziert wird, wenn die Schnittebene parallel zur Projektionsebene liegt. Im Allgemeinen wir

schräge Abschnitte
Es sei erforderlich, durch die frontal hervortretende Körperebene eine natürliche Schnittansicht zu konstruieren. Abbildung 110a betrachtet einen von drei zylindrischen Flächen (1, 3 und 6) begrenzten Körper, die Fläche

Pyramide
Um Spuren einer geraden Linie auf der Oberfläche eines geometrischen Körpers zu finden, müssen Sie durch eine gerade Hilfsebene zeichnen und dann den Schnitt der Oberfläche des Körpers durch diese Ebene finden. Das Gewünschte wird sein

Zylindrische Wendel
Bildung einer Spirale. Betrachten Sie Abbildung 113a, wo sich der Punkt M gleichmäßig entlang eines bestimmten Kreises bewegt, der ein Schnitt eines kreisförmigen Zylinders durch die Ebene P ist. Hier diese Ebene

Zwei Revolutionskörper
Die Methode des Zeichnens von Hilfsebenen wird verwendet, wenn eine Schnittlinie der Oberflächen zweier Rotationskörper konstruiert wird. Das Wesentliche dieser Methode ist wie folgt. Führen Sie eine Hilfsebene durch

Abschnitte
Es gibt einige Definitionen und Regeln, die für Abschnitte gelten. Ein Abschnitt ist eine flache Figur, die als Ergebnis der Schnittmenge eines bestimmten Körpers mit einigen erhalten wurde

Schnitte
Definitionen und Regeln, die für Schnitte gelten. Ein Schnitt ist ein solches bedingtes Bild eines Objekts, wenn sich sein Teil zwischen dem Auge des Betrachters und der Schnittebene befindet

Teilweiser Schnitt oder Riss
Der Schnitt wird als vollständig bezeichnet, wenn das abgebildete Objekt vollständig geschnitten ist, die verbleibenden Schnitte werden als Teilschnitte oder Schnitte bezeichnet. In Abbildung 120 sind in der linken Ansicht und auf dem Plan Vollschnitte gemacht. Frisur