Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, Konstruktionen und sogar im Sport verwendet. Gleichungen werden seit der Antike vom Menschen verwendet, und seitdem hat ihre Verwendung nur zugenommen. In der Mathematik sind Gleichungen höheren Grades mit ganzzahligen Koeffizienten weit verbreitet. Um eine solche Gleichung zu lösen, benötigen Sie:

Bestimmen Sie die rationalen Wurzeln der Gleichung;

Faktorisieren Sie das Polynom heraus, das auf der linken Seite der Gleichung steht;

Finden Sie die Wurzeln der Gleichung.

Angenommen, wir haben eine Gleichung gegeben folgende Art:

Lassen Sie uns alle seine wahren Wurzeln finden. Multipliziere die linke und rechte Seite der Gleichung mit \

Lassen Sie uns die Variablen ändern \

So haben wir eine reduzierte Gleichung vierten Grades erhalten, die nach dem Standardalgorithmus gelöst wird: Wir überprüfen die Teiler, führen die Division durch und stellen als Ergebnis fest, dass die Gleichung zwei reelle Wurzeln \ und zwei komplexe hat Einsen. Auf unsere Gleichung vierten Grades erhalten wir folgende Antwort:

Wo kann ich eine Gleichung höherer Potenzen online mit einem Löser lösen?

Sie können die Gleichung auf unserer Website https: // site. Mit dem kostenlosen Online-Solver können Sie eine Online-Gleichung beliebiger Komplexität in Sekundenschnelle lösen. Sie müssen lediglich Ihre Daten in den Solver eingeben. Sie können sich auch die Videoanleitung ansehen und lernen, wie Sie die Gleichung auf unserer Website lösen. Und wenn Sie Fragen haben, können Sie diese in unserer Vkontakte-Gruppe http://vk.com/pocketteacher stellen. Treten Sie unserer Gruppe bei, wir helfen Ihnen gerne weiter.

Methoden zur Lösung von Gleichungen: n n n Ersetzung der Gleichung h(f(x)) = h(g(x)) durch die Gleichung f(x) = g(x) Faktorisierung. Einführung einer neuen Variablen. Funktional - grafische Methode. Root-Auswahl. Anwendung von Vieta-Formeln.

Ersetzen Sie die Gleichung h(f(x)) = h(g(x)) durch die Gleichung f(x) = g(x). Das Verfahren kann nur angewendet werden, wenn y = h(x) eine monotone Funktion ist, die jeden ihrer Werte einmal annimmt. Wenn die Funktion nicht monoton ist, dann ist der Verlust von Wurzeln möglich.

Lösen Sie die Gleichung (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ y = x ²³ ansteigende Funktion, sodass Sie von der Gleichung (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ zur Gleichung gehen können 3 x + 2 \u003d 5 x - 9, woher wir x \u003d 5,5 finden. Antwort: 5,5.

Faktorisierung. Die Gleichung f(x)g(x)h(x) = 0 kann durch das Gleichungssystem f(x) = 0 ersetzt werden; g(x) = 0; h(x) = 0. Nachdem Sie die Gleichungen dieses Satzes gelöst haben, müssen Sie die Wurzeln ziehen, die zum Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung gehören, und den Rest als irrelevant verwerfen.

Lösen Sie die Gleichung x³ - 7 x + 6 = 0 Wenn Sie den Term 7 x als x + 6 x darstellen, erhalten wir nacheinander: x³ - x - 6 x + 6 = 0 x(x² - 1) - 6(x - 1) = 0 x (x - 1)(x + 1) - 6(x - 1) = 0 (x - 1)(x² + x - 6) = 0 Nun reduziert sich das Problem auf die Lösung eines Satzes von Gleichungen x - 1 = 0; x² + x - 6 = 0. Antwort: 1, 2, - 3.

Einführung einer neuen Variablen. Wenn die Gleichung y(x) = 0 in die Form p(g(x)) = 0 transformiert werden kann, müssen Sie eine neue Variable u = g(x) einführen, die Gleichung p(u) = 0 lösen, und dann das Gleichungssystem g( x) = u 1 lösen; g(x) = u2; … ; g(x) = un , wobei u 1, u 2, … , un die Wurzeln der Gleichung p(u) = 0 sind.

Lösen Sie die Gleichung Ein Merkmal dieser Gleichung ist die Gleichheit der Koeffizienten ihrer linken Seite, gleich weit entfernt von ihren Enden. Solche Gleichungen nennt man reziprok. Da 0 nicht die Wurzel dieser Gleichung ist, ergibt die Division durch x²

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen. Dann erhalten wir eine quadratische Gleichung. Die Wurzel y 1 = - 1 kann also ignoriert werden. Wir bekommen die Antwort: 2, 0, 5.

Lösen Sie die Gleichung 6(x² - 4)² + 5(x² - 4)(x² - 7 x +12) + (x² - 7 x + 12)² = 0 Diese Gleichung kann als homogen gelöst werden. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch (x² - 7 x +12)² (es ist klar, dass x-Werte wie x² - 7 x +12=0 keine Lösungen sind). Lassen Sie uns nun die Antwort We Have From Here bezeichnen:

Funktional - grafische Methode. Wenn eine der Funktionen y \u003d f (x), y \u003d g (x) zunimmt und die andere abnimmt, hat die Gleichung f (x) \u003d g (x) entweder keine Wurzeln oder eine Wurzel.

Lösen Sie die Gleichung Es ist ziemlich offensichtlich, dass x = 2 die Wurzel der Gleichung ist. Lassen Sie uns beweisen, dass dies die einzige Wurzel ist. Wir transformieren die Gleichung in die Form Wir stellen fest, dass die Funktion zunimmt und die Funktion abnimmt. Die Gleichung hat also nur eine Wurzel. Antwort: 2.

Wurzelwahl n n n Satz 1: Wenn eine ganze Zahl m eine Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist, dann ist der konstante Term des Polynoms durch m teilbar. Satz 2: Das reduzierte Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten hat keine Bruchwurzeln. Satz 3: – Gleichung mit ganzzahligen Let-Koeffizienten. Wenn die Zahl und der Bruch, bei denen p und q ganze Zahlen sind, irreduzibel ist, die Wurzel der Gleichung ist, dann ist p der Teiler des freien Terms an und q der Teiler des Koeffizienten am höchsten Term a 0.

Satz von Bezout. Der Rest bei der Division eines beliebigen Polynoms durch ein Binom (x - a) ist gleich dem Wert des teilbaren Polynoms bei x = a. Folgerungen aus dem Satz von Bezout n n n n Die Differenz gleicher Potenzen zweier Zahlen ist ohne Rest durch die Differenz derselben Zahlen teilbar; Die Differenz gleicher gerader Potenzen zweier Zahlen ist sowohl durch die Differenz dieser Zahlen als auch durch ihre Summe ohne Rest teilbar; Die Differenz gleicher ungerader Potenzen zweier Zahlen ist nicht teilbar durch die Summe dieser Zahlen; Die Summe gleicher Potenzen zweier Nichtzahlen ist teilbar durch die Differenz dieser Zahlen; Die Summe gleicher ungerader Potenzen zweier Zahlen ist ohne Rest durch die Summe dieser Zahlen teilbar; Die Summe gleicher gerader Potenzen zweier Zahlen ist weder durch die Differenz dieser Zahlen noch durch ihre Summe teilbar; Das Polynom ist genau dann durch das Binom (x - a) teilbar, wenn die Zahl a die Wurzel dieses Polynoms ist; Die Anzahl der verschiedenen Wurzeln eines Polynoms ungleich Null ist nicht größer als sein Grad.

Lösen Sie die Gleichung x³ - 5 x² - x + 21 = 0 Das Polynom x³ - 5 x² - x + 21 hat ganzzahlige Koeffizienten. Nach Satz 1 gehören seine ganzzahligen Wurzeln, falls vorhanden, zu den Teilern des freien Terms: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Durch Überprüfung stellen wir sicher, dass die Zahl 3 eine Wurzel ist. Als Folge des Satzes von Bezout ist das Polynom durch (x – 3) teilbar. Also x³ - 5 x² - x + 21 \u003d (x - 3) (x² - 2 x - 7). Antworten:

Lösen Sie die Gleichung 2 x³ - 5 x² - x + 1 = 0 Nach Satz 1 können nur Zahlen ± 1 ganzzahlige Wurzeln der Gleichung sein, die Überprüfung zeigt, dass diese Zahlen keine Wurzeln sind. Da die Gleichung nicht reduziert wird, kann sie gebrochene rationale Wurzeln haben. Lass sie uns finden. Multiplizieren Sie dazu beide Seiten der Gleichung mit 4: 8 x³ - 20 x² - 4 x + 4 = 0 Durch Einsetzen von 2 x = t erhalten wir t³ - 5 t² - 2 t + 4 = 0. Nach Terem 2 alle rationalen Wurzeln dieser reduzierten Gleichung müssen ganz sein. Sie finden sich unter den Teilern des konstanten Terms: ± 1, ± 2, ± 4. In diesem Fall ist t \u003d - 1 geeignet, daher ist das Polynom 2 x³ - 5 x² - x + 1 teilbar durch ( x + 0, 5 ): 2 x³ - 5 x² - x + 1 \u003d (x + 0, 5) (2 x² - 6 x + 2) Lösen der quadratischen Gleichung 2 x² - 6 x + 2 \u003d 0, wir Finde die restlichen Wurzeln: Antwort:

Lösen Sie die Gleichung 6 x³ + x² - 11 x - 6 = 0 Nach Theorem 3 müssen die rationalen Wurzeln dieser Gleichung unter den Zahlen gesucht werden, und wenn wir sie einzeln in die Gleichung einsetzen, stellen wir fest, dass sie die Gleichung erfüllen. Sie erschöpfen alle Wurzeln der Gleichung. Antworten:

Finden Sie die Summe der Quadrate der Wurzeln der Gleichung x³ + 3 x² - 7 x +1 = 0 Durch das Vieta-Theorem Beachten Sie, dass woher

Geben Sie die Methode an, mit der jede dieser Gleichungen gelöst werden kann. Lösen Sie die Gleichungen Nr. 1, 4, 15, 17.

Antworten und Anleitungen: 1. Einführung einer neuen Variablen. 2. Funktional - grafische Methode. 3. Ersetzen der Gleichung h(f(x)) = h(g(x)) durch die Gleichung f(x) = g(x). 4. Faktorisierung. 5. Auswahl der Wurzeln. 6 Funktional - grafische Methode. 7. Anwendung von Vieta-Formeln. 8. Auswahl der Wurzeln. 9. Ersetzen der Gleichung h(f(x)) = h(g(x)) durch die Gleichung f(x) = g(x). 10. Einführung einer neuen Variablen. 11. Faktorisierung. 12. Einführung einer neuen Variablen. 13. Auswahl der Wurzeln. 14. Anwendung von Vieta-Formeln. 15. Funktional - grafische Methode. 16. Faktorisierung. 17. Einführung einer neuen Variablen. 18. Faktorisierung.

1. Anweisung. Schreiben Sie die Gleichung als 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x², Teilen Sie beide Seiten durch x². Variable eingeben Antwort: x 1 = - 8; x 2 \u003d - 7, 5. 4. Anzeige. Addiere 6 y und - 6 y auf der linken Seite der Gleichung und schreibe es als (y³ - 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (- 8 y + 16) = (y - 2)(y² - 3 Jahre - acht). Antworten:

14. Anweisung. Nach dem Satz von Vieta Da - ganze Zahlen sind, können nur die Zahlen - 1, - 2, - 3 die Wurzeln der Gleichung sein Antwort: 15. Antwort: - 1. 17. Indikation. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch x² und schreiben Sie es als Geben Sie eine Variable ein Antwort: 1; fünfzehn; 2; 3.

Literaturverzeichnis. n n n Kolmogorov A. N. „Algebra und die Anfänge der Analysis, 10 – 11“ (M.: Prosveshchenie, 2003). Bashmakov M. I. „Algebra und die Anfänge der Analyse, 10 - 11“ (M .: Education, 1993). Mordkovich A. G. "Algebra und der Beginn der Analyse, 10 - 11" (M.: Mnemozina, 2003). Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M. ua „Algebra and the Beginnings of Analysis, 10 – 11“ (M.: Prosveshchenie, 2000). Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. "Sammlung von Problemen in der Algebra, 8 - 9" (M .: Education, 1997). Karp A.P. „Sammlung von Problemen in der Algebra und die Anfänge der Analysis, 10 – 11“ (M.: Education, 1999). Sharygin I. F. "Wahlkurs in Mathematik, Problemlösung, 10" (M.: Education. 1989). Skopets Z. A. „Zusätzliche Kapitel im Mathematikunterricht, 10“ (M .: Education, 1974). Litinsky GI "Lessons in Mathematics" (Moskau: Aslan, 1994). Muravin G. K. „Gleichungen, Ungleichheiten und ihre Systeme“ (Mathematik, Beilage zur Zeitung „Erster September“, Nr. 2, 3, 2003). Kolyagin Yu. M. "Polynome und Gleichungen höherer Grade" (Mathematik, Beilage zur Zeitung "Erster September", Nr. 3, 2005).

Trifanova Marina Anatoljewna
Mathematiklehrer, Gymnasium Nr. 48 (Multiprofil)

Der dreieinige Zweck der Lektion:

Lehrreich:
Systematisierung und Verallgemeinerung des Wissens über das Lösen von Gleichungen höheren Grades.
Entwicklung:
Förderung der Entwicklung des logischen Denkens, der Fähigkeit zum selbstständigen Arbeiten, der Fähigkeit zur gegenseitigen Kontrolle und Selbstkontrolle, der Fähigkeit zu sprechen und zuzuhören.
Pflege:
Entwicklung der Gewohnheit der ständigen Beschäftigung, Erziehung der Reaktionsfähigkeit, harte Arbeit, Genauigkeit.

Unterrichtsart:

eine Lektion in der integrierten Anwendung von Wissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten.

Unterrichtsformular:

Lüften, körperliche Minute, verschiedene Formen der Arbeit.

Ausrüstung:

Referenznotizen, Aufgabenkarten, Unterrichtsüberwachungsmatrix.

WÄHREND DER KLASSEN

I. Organisatorischer Moment

1. Teilen Sie den Schülern den Zweck der Lektion mit.
2. Überprüfung der Hausaufgaben (Anlage 1). Arbeiten Sie mit dem Basic Abstract (Anhang 2).

Gleichungen und Lösungen für jeden sind an der Tafel geschrieben. Die Schüler überprüfen die Antworten und analysieren kurz die Lösung jeder Gleichung oder beantworten die Fragen des Lehrers (Frontalbefragung). Selbstkontrolle - Die Schüler geben sich selbst Noten und übergeben dem Lehrer Notizbücher, um die Korrektur der Noten oder ihre Zustimmung zu überprüfen. Grundschule an die Tafel geschrieben:

„5+“ - 6 Gleichungen;
„5“ - 5 Gleichungen;
„4“ - 4 Gleichungen;
„3“ - 3 Gleichungen.

Lehrerfragen für Hausaufgaben:

1 Gleichung

1. Was ist die Änderung der Variablen in der Gleichung?
2. Welche Gleichung ergibt sich nach der Änderung der Variablen?

2 Gleichung

1. Welches Polynom teilt beide Seiten der Gleichung?
2. Welche Substitution von Variablen wurde erhalten?

3 Gleichung

1. Welche Polynome müssen multipliziert werden, um die Lösung dieser Gleichung zu vereinfachen?

4 Gleichung

1. Benennen Sie die Funktion f(x).
2. Wie wurden die anderen Wurzeln gefunden?

5 Gleichung

1. Wie viele Intervalle wurden erhalten, um die Gleichung zu lösen?

6 Gleichung

1. Wie könnte diese Gleichung gelöst werden?
2. Welche Lösung ist rationaler?

II. Gruppenarbeit ist der Hauptteil des Unterrichts.

Die Klasse wird in 4 Gruppen eingeteilt. Jede Gruppe erhält eine Karte mit theoretischen und praktischen (Anlage 3) Fragen: „Zerlegen Sie die vorgeschlagene Methode zur Lösung der Gleichung und erläutern Sie sie anhand dieses Beispiels.“

1. Gruppenarbeit 15 Minuten.
2. Beispiele werden an die Tafel geschrieben (die Tafel ist in 4 Teile geteilt).
3. Der Gruppenbericht dauert 2-3 Minuten.
4. Der Lehrer korrigiert die Berichte der Gruppen und hilft bei Schwierigkeiten.

Die Gruppenarbeit wird auf den Karten Nr. 5 - 8 fortgesetzt. Für jede Gleichung sind 5 Minuten für die Diskussion in der Gruppe vorgesehen. Dann hat die Tafel einen Bericht über diese Gleichung - eine kurze Analyse der Lösung. Die Gleichung ist möglicherweise nicht vollständig gelöst - sie wird zu Hause fertig gestellt, aber der gesamte Ablauf ihrer Lösung wird in der Klasse besprochen.

III. Selbstständige Arbeit. Anhang 4.

1. Jeder Schüler bekommt eine individuelle Aufgabe.
2. Die Arbeit dauert 20 Minuten.
3. 5 Minuten vor Unterrichtsende gibt der Lehrer offene Antworten für jede Gleichung.
4. Die Schüler tauschen die Hefte im Kreis aus und überprüfen die Antworten mit einem Freund. Bewertungen abgeben.
5. Hefte werden dem Lehrer zur Kontrolle und Korrektur der Noten ausgehändigt.

IV. Zusammenfassung der Lektion.

Hausaufgaben.

Vervollständigen Sie die Lösung unvollständiger Gleichungen. Bereiten Sie sich auf den Kontrollschnitt vor.

Benotung.

Grundlegende Ziele:

1. Festigung des Konzepts einer ganzzahligen rationalen Gleichung 1. Grades.
2. Formulieren Sie die wichtigsten Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades (Nr > 3).
3. Vermittlung der grundlegenden Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades.
4. Anhand der Form der Gleichung zu lehren, wie man sie am effektivsten löst.

Formen, Methoden und pädagogische Techniken, die von der Lehrkraft im Unterricht eingesetzt werden:

• Vorlesungs-Seminar-Trainingssystem (Vorlesungen - Erläuterung neuer Stoffe, Seminare - Problemlösung).
• Informations- und Kommunikationstechnologien (Frontalbefragung, mündliche Arbeit mit der Klasse).
• Differenziertes Training, Gruppen- und Einzelformen.
• Die Anwendung der Forschungsmethode im Unterricht, die darauf abzielt, den mathematischen Apparat und die geistigen Fähigkeiten jedes einzelnen Schülers zu entwickeln.
• Gedrucktes Material - eine individuelle Zusammenfassung des Unterrichts (Grundbegriffe, Formeln, Aussagen, Vorlesungsmaterial wird in Form von Diagrammen oder Tabellen komprimiert).

Unterrichtsplan:

1. Zeit organisieren.
   Der Zweck der Stufe: Schüler in Lernaktivitäten einzubeziehen, den Inhalt des Unterrichts zu bestimmen.
2. Aktualisierung des Wissens der Schüler.
   Der Zweck der Stufe: das Wissen der Studenten zu zuvor studierten verwandten Themen zu aktualisieren
3. Lernen eines neuen Themas (Vortrag). Der Zweck der Stufe: die wichtigsten Methoden zur Lösung von Gleichungen höheren Grades zu formulieren (Nr > 3)
4. Zusammenfassend.
   Der Zweck der Bühne: noch einmal die wichtigsten Punkte des in der Lektion gelernten Materials hervorzuheben.
5. Hausaufgaben.
   Der Zweck der Bühne: Hausaufgaben für die Schüler zu formulieren.

Zusammenfassung der Lektion

1. Organisatorischer Moment.

Der Wortlaut des Unterrichtsthemas: „Gleichungen höherer Grade. Methoden zu ihrer Lösung“.

2. Aktualisierung des Wissens der Schüler.

Theoretischer Überblick - Gespräch. Wiederholung einiger zuvor studierter Informationen aus der Theorie. Die Studierenden formulieren grundlegende Definitionen und geben Aussagen über notwendige Theoreme. Es werden Beispiele gegeben, die den Stand des bisher erworbenen Wissens demonstrieren.

• Das Konzept einer Gleichung mit einer Variablen.
• Das Konzept der Wurzel der Gleichung, der Lösung der Gleichung.
• Das Konzept einer linearen Gleichung mit einer Variablen, das Konzept einer quadratischen Gleichung mit einer Variablen.
• Das Konzept der Äquivalenz von Gleichungen, Gleichungsfolgen (das Konzept der fremden Wurzeln), der Übergang nicht durch die Folge (der Fall des Verlusts von Wurzeln).
• Das Konzept eines ganzen rationalen Ausdrucks mit einer Variablen.
• Das Konzept einer ganzen rationalen Gleichung n Grad. Die Standardform einer ganzen rationalen Gleichung. Reduzierte ganzzahlige rationale Gleichung.
• Übergang zu einem Satz von Gleichungen niedrigeren Grades durch Faktorisieren der ursprünglichen Gleichung.
• Das Konzept eines Polynoms n Grad ab x. Satz von Bezout. Konsequenzen aus dem Satz von Bezout. Wurzelsätze ( Z-Wurzeln u Q-Wurzeln) einer ganzen rationalen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten (reduziert bzw. nicht reduziert).
• Horners Schema.

3. Ein neues Thema lernen.

Wir betrachten die ganze rationale Gleichung n Potenz der Standardform mit einer Unbekannten x:Pn(x)= 0 , wo P n (x) = ein n x n + ein n-1 x n-1 + ein 1 x + ein 0– Polynom n Grad ab x, a n ≠ 0 . Wenn ein a n = 1, dann wird eine solche Gleichung eine reduzierte ganze rationale Gleichung genannt n Grad. Betrachten wir solche Gleichungen für verschiedene Werte n und nennen Sie die wichtigsten Methoden zu ihrer Lösung.

n= 1 ist eine lineare Gleichung.

n= 2 ist eine quadratische Gleichung. Diskriminante Formel. Formel zur Berechnung von Wurzeln. Satz von Vieta. Auswahl eines vollen Quadrats.

n= 3 ist eine kubische Gleichung.

Gruppierungsmethode.

Beispiel: x 3 – 4 x 2 – x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1,x 3 = -1.

Reziproke kubische Gleichung der Form Axt 3 + bx 2 + bx + a= 0. Wir lösen, indem wir Terme mit denselben Koeffizienten kombinieren.

Beispiel: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Auswahl von Z-Wurzeln basierend auf dem Theorem. Horners Schema. Bei der Anwendung dieser Methode muss betont werden, dass die Aufzählung in diesem Fall endlich ist, und wir wählen die Wurzeln nach einem bestimmten Algorithmus in Übereinstimmung mit dem Satz weiter Z-Wurzeln der reduzierten ganzen rationalen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten.

Beispiel: x 3 – 9x 2 + 23x– 15 = 0. Die Gleichung wird reduziert. Wir schreiben die Teiler des freien Terms ( + 1; + 3; + 5; + fünfzehn). Wenden wir Horners Schema an:

	x 3	x 2	x 1	x 0	Fazit
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 - 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 - 15 = 0	1 - Wurzel
	x 2	x 1	x 0

Wir bekommen ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. Auswahl von Q-Wurzeln basierend auf dem Theorem. Horners Schema. Bei der Anwendung dieser Methode muss betont werden, dass die Aufzählung in diesem Fall endlich ist und wir die Wurzeln nach einem bestimmten Algorithmus in Übereinstimmung mit dem Theorem auswählen Q-Wurzeln einer nicht reduzierten ganzen rationalen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten.

Beispiel: 9 x 3 + 27x 2 – x– 3 = 0. Die Gleichung wird nicht reduziert. Wir schreiben die Teiler des freien Terms ( + 1; + 3). Wir schreiben die Teiler des Koeffizienten beim höchsten Grad der Unbekannten aus. ( + 1; + 3; + 9) Daher suchen wir nach Wurzeln zwischen den Werten ( + 1; + ; + ; + 3). Wenden wir Horners Schema an:

	x 3	x 2	x 1	x 0	Fazit
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 - 1 = 35	1 x 35 - 3 = 32 ≠ 0	1 ist keine Wurzel
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 - 1 = -19	-1 x (-19) - 3 = 16 ≠ 0	-1 ist keine Wurzel
	9	x9 + 27 = 30	x 30 - 1 = 9	x 9 - 3 = 0	Wurzel
	x 2	x 1	x 0

Wir bekommen ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Zur Vereinfachung der Berechnung bei der Auswahl von Q -Wurzeln Es kann bequem sein, eine Änderung der Variablen vorzunehmen, zur obigen Gleichung zu gehen und Z anzupassen -Wurzeln.

• Wenn der Schnittpunkt 1 ist

.

• Wenn es möglich ist, die Substitution des Formulars zu verwenden y=kx

.

Formel Cardano. Es gibt eine universelle Methode zum Lösen kubischer Gleichungen - das ist die Cardano-Formel. Diese Formel ist mit den Namen der italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano (1501–1576), Nicolo Tartaglia (1500–1557), Scipio del Ferro (1465–1526) verbunden. Diese Formel liegt außerhalb des Rahmens unseres Kurses.

n= 4 ist eine Gleichung vierten Grades.

Gruppierungsmethode.

Beispiel: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x- 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Variablenersetzungsmethode.

• Biquadratische Gleichung der Form Axt 4 + bx 2+s = 0 .

Beispiel: x 4 + 5x 2 - 36 = 0. Spielerwechsel j = x 2. Von hier j 1 = 4, j 2 = -9. Deshalb x 1,2 = + 2 .

• Reziproke Gleichung vierten Grades der Form Axt 4 + bx 3+c x 2 + bx + a = 0.

Wir lösen, indem wir Terme mit denselben Koeffizienten kombinieren, indem wir die Form ersetzen

• Axt 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.

• Verallgemeinerte Rückwärtsgleichung des vierten Grades der Form Axt 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k2 a = 0.

• Allgemeiner Ersatz. Einige Standardsubstitutionen.

Beispiel 3 . Ersatz der Gesamtansicht(folgt aus der Form einer bestimmten Gleichung).

n = 3.

Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. Auswahl von Q-Wurzeln n = 3.

Allgemeine Formel. Es gibt eine universelle Methode zum Lösen von Gleichungen vierten Grades. Diese Formel ist mit dem Namen von Ludovico Ferrari (1522-1565) verbunden. Diese Formel liegt außerhalb des Rahmens unseres Kurses.

n > 5 - Gleichungen des fünften und höheren Grades.

Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. Auswahl von Z-Wurzeln basierend auf dem Theorem. Horners Schema. Der Algorithmus ähnelt dem oben diskutierten für n = 3.

Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. Auswahl von Q-Wurzeln basierend auf dem Satz. Horners Schema. Der Algorithmus ähnelt dem oben diskutierten für n = 3.

Symmetrische Gleichungen. Jede reziproke Gleichung ungeraden Grades hat eine Wurzel x= -1 und nachdem wir es in Faktoren zerlegt haben, erhalten wir, dass ein Faktor die Form hat ( x+ 1), und der zweite Faktor ist eine reziproke Gleichung geraden Grades (ihr Grad ist um eins kleiner als der Grad der ursprünglichen Gleichung). Jede reziproke Gleichung geraden Grades zusammen mit einer Wurzel der Form x = φ enthält auch den Stamm des Formulars . Unter Verwendung dieser Aussagen lösen wir das Problem, indem wir den Grad der zu untersuchenden Gleichung verringern.

Variablenersetzungsmethode. Verwendung von Homogenität.

Es gibt keine allgemeine Formel zum Lösen ganzer Gleichungen fünften Grades (dies wurde von dem italienischen Mathematiker Paolo Ruffini (1765–1822) und dem norwegischen Mathematiker Nils Henrik Abel (1802–1829) gezeigt) und höheren Potenzen (dies wurde von den Franzosen gezeigt). Mathematiker Evariste Galois (1811–1832) )).

• Erinnern Sie sich noch einmal daran, dass es in der Praxis möglich ist, zu verwenden Kombinationen die oben aufgeführten Methoden. Es ist zweckmäßig, zu einem Satz von Gleichungen niedrigeren Grades überzugehen Faktorisierung der ursprünglichen Gleichung.
• Außerhalb des Rahmens unserer heutigen Diskussion sind sie in der Praxis weit verbreitet grafische Methoden Gleichungen lösen und ungefähre Lösungsmethoden Gleichungen höheren Grades.
• Es gibt Situationen, in denen die Gleichung keine R-Wurzeln hat.
Dann läuft die Lösung darauf hinaus, zu zeigen, dass die Gleichung keine Wurzeln hat. Um dies zu beweisen, analysieren wir das Verhalten der betrachteten Funktionen auf Intervallen der Monotonie. Beispiel: Gleichung x 8 – x 3 + 1 = 0 hat keine Wurzeln.
• Verwenden der Monotonieeigenschaft von Funktionen
. Es gibt Situationen, in denen die Verwendung verschiedener Eigenschaften von Funktionen es uns ermöglicht, die Aufgabe zu vereinfachen.
Beispiel 1: Gleichung x 5 + 3x– 4 = 0 hat eine Wurzel x= 1. Aufgrund der Eigenschaft der Monotonie der analysierten Funktionen gibt es keine anderen Nullstellen.
Beispiel 2: Gleichung x 4 + (x– 1) 4 = 97 hat Wurzeln x 1 = -2 und x 2 = 3. Nachdem wir das Verhalten der entsprechenden Funktionen auf den Intervallen der Monotonie analysiert haben, schließen wir, dass es keine anderen Wurzeln gibt.

4. Zusammenfassung.

Zusammenfassung: Jetzt beherrschen wir die grundlegenden Methoden zum Lösen verschiedener Gleichungen höheren Grades (für Nr > 3). Unsere Aufgabe ist es, zu lernen, wie man die oben genannten Algorithmen effektiv einsetzt. Je nach Art der Gleichung müssen wir lernen, zu bestimmen, welche Lösungsmethode in diesem Fall die effektivste ist, und die gewählte Methode richtig anwenden.

5. Hausaufgaben.

: Artikel 7, S. 164–174, Nr. 33–36, 39–44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Mögliche Themen von Berichten oder Abstracts zu diesem Thema:

• Formel Cardano
• Grafische Methode zum Lösen von Gleichungen. Lösungsbeispiele.
• Methoden zur Näherungslösung von Gleichungen.

Analyse der Aneignung des Stoffes und des Interesses der Studierenden am Thema:

Die Erfahrung zeigt, dass das Interesse der Studierenden in erster Linie an der Auswahlmöglichkeit liegt Z-Wurzeln u Q-Wurzeln von Gleichungen mit einem ziemlich einfachen Algorithmus mit Horners Schema. Die Studierenden interessieren sich auch für verschiedene Standardtypen der Variablensubstitution, die die Art der Problemstellung erheblich vereinfachen können. Grafische Lösungsverfahren sind meist von besonderem Interesse. In diesem Fall können Sie die Aufgaben zusätzlich in eine grafische Methode zum Lösen von Gleichungen zerlegen; diskutieren Sie die allgemeine Ansicht des Graphen für ein Polynom von 3, 4, 5 Grad; Analysieren Sie, wie die Anzahl der Wurzeln von Gleichungen von 3, 4, 5 Grad mit dem Typ des entsprechenden Graphen zusammenhängt. Nachfolgend finden Sie eine Liste von Büchern, in denen Sie weitere Informationen zu diesem Thema finden können.

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Im Allgemeinen kann eine Gleichung, die einen höheren Grad als 4 hat, nicht in Radikale gelöst werden. Aber manchmal finden wir die Wurzeln des linken Polynoms noch in der Gleichung höchsten Grades, wenn wir es als Produkt von Polynomen höchstens im Grad 4 darstellen. Die Lösung solcher Gleichungen basiert auf der Faktorisierung eines Polynoms, daher empfehlen wir Ihnen, dieses Thema zu überprüfen, bevor Sie diesen Artikel studieren.

Meistens hat man es mit Gleichungen höheren Grades mit ganzzahligen Koeffizienten zu tun. In diesen Fällen können wir versuchen, rationale Wurzeln zu finden, und dann das Polynom faktorisieren, damit wir es dann in eine Gleichung niedrigeren Grades umwandeln können, die leicht zu lösen ist. Im Rahmen dieses Materials werden wir nur solche Beispiele betrachten.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Gleichungen höheren Grades mit ganzzahligen Koeffizienten

Alle Gleichungen der Form a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , können wir auf eine Gleichung gleichen Grades zurückführen, indem wir beide Seiten mit a n n - 1 multiplizieren und die Variable der Form y = a n x ändern:

ein n x n + ein n - 1 x n - 1 + . . . + ein 1 x + ein 0 = 0 ein n n x n + ein n - 1 ein n n - 1 x n - 1 + ... + ein 1 (ein n) n - 1 x + ein 0 (ein n) n - 1 = 0 y = ein n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Die resultierenden Koeffizienten sind ebenfalls ganze Zahlen. Daher müssen wir die reduzierte Gleichung n-ten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten lösen, die die Form x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0 hat.

Wir berechnen die ganzzahligen Wurzeln der Gleichung. Wenn die Gleichung ganzzahlige Wurzeln hat, müssen Sie sie unter den Teilern des freien Terms a 0 suchen. Lassen Sie uns sie aufschreiben und sie nacheinander in die ursprüngliche Gleichheit einsetzen und das Ergebnis überprüfen. Sobald wir eine Identität erhalten und eine der Wurzeln der Gleichung gefunden haben, können wir sie in der Form x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 schreiben. Hier ist x 1 die Wurzel der Gleichung, und P n - 1 (x) ist der Quotient von x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 dividiert durch x - x 1 .

Setzen Sie die verbleibenden Teiler in P n - 1 (x) = 0 ein, beginnend mit x 1 , da die Wurzeln wiederholt werden können. Nach Erhalt der Identität gilt die Wurzel x 2 als gefunden, und die Gleichung kann geschrieben werden als (x - x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) \u003d 0. Hier P n - 2 (x ) ist der Quotient aus der Division von P n – 1 (x) durch x – x 2 .

Wir sortieren weiter durch die Divisoren. Finde alle ganzzahligen Wurzeln und bezeichne ihre Zahl als m. Danach kann die ursprüngliche Gleichung dargestellt werden als x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 . Hier ist P n - m (x) ein Polynom n - m-ten Grades. Zur Berechnung ist es zweckmäßig, das Schema von Horner zu verwenden.

Wenn unsere ursprüngliche Gleichung ganzzahlige Koeffizienten hat, können wir nicht mit Bruchwurzeln enden.

Als Ergebnis haben wir die Gleichung P n - m (x) = 0 erhalten, deren Wurzeln auf beliebige Weise gefunden werden können. Sie können irrational oder komplex sein.

Lassen Sie uns an einem konkreten Beispiel zeigen, wie ein solches Lösungsschema angewendet wird.

Beispiel 1

Bedingung: Finden Sie die Lösung der Gleichung x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 .

Lösung

Beginnen wir damit, ganzzahlige Wurzeln zu finden.

Wir haben einen Schnittpunkt gleich minus drei. Es hat Teiler gleich 1, -1, 3 und -3. Lassen Sie uns sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und sehen, welche von ihnen als Ergebnis Identitäten ergeben.

Für x gleich eins erhalten wir 1 4 + 1 3 + 2 1 2 - 1 - 3 \u003d 0, was bedeutet, dass eins die Wurzel dieser Gleichung ist.

Teilen wir nun das Polynom x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 durch (x - 1) in eine Spalte:

Also x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

Wir haben eine Identität, was bedeutet, dass wir eine andere Wurzel der Gleichung gefunden haben, die gleich - 1 ist.

Wir dividieren das Polynom x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 durch (x + 1) in einer Spalte:

Das verstehen wir

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Wir setzen den nächsten Teiler in die Gleichung x 2 + x + 3 = 0 ein, beginnend bei - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Die resultierenden Gleichheiten sind falsch, was bedeutet, dass die Gleichung keine ganzzahligen Wurzeln mehr hat.

Die verbleibenden Wurzeln sind die Wurzeln des Ausdrucks x 2 + x + 3 .

D \u003d 1 2 - 4 1 3 \u003d - 11< 0

Daraus folgt, dass dieses quadratische Trinom keine reellen Wurzeln hat, sondern komplex konjugierte: x = - 1 2 ± i 11 2 .

Lassen Sie uns klarstellen, dass anstelle der Aufteilung in eine Spalte das Schema von Horner verwendet werden kann. Das geht so: Nachdem wir die erste Wurzel der Gleichung bestimmt haben, füllen wir die Tabelle aus.

In der Koeffiziententabelle sehen wir sofort die Koeffizienten des Quotienten aus der Division der Polynome, also x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

Nachdem wir die nächste Wurzel gefunden haben, die gleich - 1 ist, erhalten wir Folgendes:

Antworten: x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± ich 11 2.

Beispiel 2

Bedingung: Löse die Gleichung x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Lösung

Das freie Glied hat die Teiler 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 4 , - 4 , 6 , - 6 , 12 , - 12 .

Lassen Sie uns sie der Reihe nach überprüfen:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

Also ist x = 2 die Wurzel der Gleichung. Dividiere x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 durch x - 2 unter Verwendung des Horner-Schemas:

Als Ergebnis erhalten wir x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 .

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

Also wird 2 wieder eine Wurzel sein. Teile x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 durch x - 2:

Als Ergebnis erhalten wir (x - 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0 .

Die Überprüfung der restlichen Teiler macht keinen Sinn, da die Gleichheit x 2 + 3 x + 3 = 0 mit der Diskriminante schneller und bequemer zu lösen ist.

Lösen wir die quadratische Gleichung:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

Wir erhalten ein komplex konjugiertes Wurzelpaar: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Antworten: x = - 3 2 ± ich 3 2 .

Beispiel 3

Bedingung: Finden Sie die reellen Wurzeln für die Gleichung x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.

Lösung

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Wir führen die Multiplikation 2 3 beider Teile der Gleichung durch:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

Wir ersetzen die Variablen y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

Als Ergebnis haben wir eine Standardgleichung 4. Grades erhalten, die nach dem Standardschema gelöst werden kann. Lassen Sie uns die Teiler überprüfen, dividieren und am Ende erhalten wir, dass es 2 reelle Wurzeln hat y \u003d - 2, y \u003d 3 und zwei komplexe. Wir werden hier nicht die gesamte Lösung präsentieren. Aufgrund der Ersetzung werden die echten Wurzeln dieser Gleichung x = y 2 = – 2 2 = – 1 und x = y 2 = 3 2 sein.

Antworten: x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2

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