Unter den zahlreichen Berechnungen, die zur Berechnung bestimmter Größen verschiedener Größen durchgeführt werden, befindet sich die Hypotenuse des Dreiecks. Denken Sie daran, dass ein Dreieck ein Polyeder mit drei Winkeln ist. Im Folgenden finden Sie mehrere Möglichkeiten, die Hypotenuse verschiedener Dreiecke zu berechnen.

Lassen Sie uns zuerst sehen, wie man die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks findet. Für diejenigen, die es vergessen haben, ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem Winkel von 90 Grad. Die Seite eines Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse. Außerdem ist es die längste Seite des Dreiecks. Abhängig von den bekannten Werten berechnet sich die Länge der Hypotenuse wie folgt:

• Die Beinlängen sind bekannt. Die Hypotenuse wird in diesem Fall mit dem Satz des Pythagoras berechnet, der wie folgt lautet: Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Beine. Betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck BKF, wobei BK und KF Schenkel sind und FB die Hypotenuse ist, dann ist FB2= BK2+KF2. Aus dem Vorstehenden folgt, dass bei der Berechnung der Länge der Hypotenuse jeder der Beinwerte der Reihe nach quadriert werden muss. Zähle dann die Zahlen zusammen und ziehe die Quadratwurzel aus dem Ergebnis.

Betrachten Sie ein Beispiel: Gegeben ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Ein Bein ist 3 cm lang, das andere 4 cm. Finden Sie die Hypotenuse. Die Lösung sieht so aus.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Extrahieren und FB=5cm erhalten.

• Bekanntes Bein (BK) und der daran angrenzende Winkel, der von der Hypotenuse und diesem Bein gebildet wird. Wie findet man die Hypotenuse eines Dreiecks? Lassen Sie uns den bekannten Winkel als α bezeichnen. Gemäß der Eigenschaft, die besagt, dass das Verhältnis der Länge des Beins zur Länge der Hypotenuse gleich dem Kosinus des Winkels zwischen diesem Bein und der Hypotenuse ist. Betrachtet man ein Dreieck, lässt sich dies wie folgt schreiben: FB= BK*cos(α).
• Das Bein (KF) und der gleiche Winkel α sind bekannt, nur wird es jetzt schon entgegengesetzt sein. Wie findet man in diesem Fall die Hypotenuse? Wenden wir uns den gleichen Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks zu und finden heraus, dass das Verhältnis der Länge des Schenkels zur Länge der Hypotenuse gleich dem Sinus des Winkels gegenüber dem Schenkel ist. Das heißt, FB = KF * sin (α).

Schauen wir uns ein Beispiel an. Gegeben sei das gleiche rechtwinklige Dreieck BKF mit Hypotenuse FB. Der Winkel F sei gleich 30 Grad, der zweite Winkel B entspricht 60 Grad. Bekannt ist auch das Bein BK, dessen Länge 8 cm entspricht, den gewünschten Wert errechnest du wie folgt:

FB=BK/cos60=8 cm.
FB = BK / sin30 = 8 cm.

• Bekannt für (R), umschrieben von einem Dreieck mit einem rechten Winkel. Wie findet man die Hypotenuse, wenn man ein solches Problem betrachtet? Aus den Eigenschaften eines um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises ist bekannt, dass der Mittelpunkt eines solchen Kreises mit dem Hypotenusenpunkt zusammenfällt, der ihn in zwei Hälften teilt. Vereinfacht ausgedrückt entspricht der Radius der halben Hypotenuse. Daher ist die Hypotenuse gleich zwei Radien. FB=2*R. Wenn ein ähnliches Problem gegeben ist, bei dem nicht der Radius, sondern der Median bekannt ist, dann sollte man auf die Eigenschaft eines um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises achten, die besagt, dass der Radius gleich dem gezeichneten Median ist zur Hypotenuse. Unter Verwendung all dieser Eigenschaften wird das Problem auf die gleiche Weise gelöst.

Wenn die Frage lautet, wie man die Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks findet, muss man sich dem gleichen Satz des Pythagoras zuwenden. Aber denken Sie zunächst daran, dass ein gleichschenkliges Dreieck ein Dreieck ist, das zwei identische Seiten hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind die Schenkel gleich lang. Wir haben FB2= BK2+ KF2, aber wegen BK= KF haben wir folgendes: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Wie Sie sehen können, ist es sehr einfach, Probleme zu lösen, bei denen die Länge der Hypotenuse berechnet werden muss, wenn Sie den Satz des Pythagoras und die Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks kennen. Wenn es schwierig ist, sich alle Eigenschaften zu merken, lernen Sie vorgefertigte Formeln und ersetzen Sie bekannte Werte, in die Sie die erforderliche Länge der Hypotenuse berechnen können.

Wenn Sie eines der Beine in einem rechtwinkligen Dreieck kennen, können Sie das zweite Bein und die Hypotenuse finden, indem Sie trigonometrische Beziehungen verwenden - den Sinus und den Tangens eines bekannten Winkels. Da das Verhältnis des dem Winkel gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse gleich dem Sinus dieses Winkels ist, muss daher, um die Hypotenuse zu finden, der Schenkel durch den Sinus des Winkels geteilt werden. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Der zweite Schenkel kann aus der Tangente des bekannten Winkels ermittelt werden, als Verhältnis des bekannten Schenkels zur Tangente. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Um den unbekannten Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, müssen Sie den Winkel α von 90 Grad abziehen. β=90°-α

Der Umfang und die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks durch das Bein und den ihm gegenüberliegenden Winkel können ausgedrückt werden, indem die zuvor erhaltenen Ausdrücke für das zweite Bein und die Hypotenuse in die Formeln eingesetzt werden. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Die Höhe kann man auch durch trigonometrische Beziehungen berechnen, aber schon im inneren rechtwinkligen Dreieck mit der Seite a, das sie bildet. Dazu braucht man die Seite a als Hypotenuse eines solchen Dreiecks, multipliziert mit dem Sinus des Winkels β oder dem Kosinus von α, da sie nach trigonometrischen Identitäten äquivalent sind. (Abb. 79.2) h=a cos⁡α

Der Median der Hypotenuse ist gleich der Hälfte der Hypotenuse oder des bekannten Beins a geteilt durch zwei Sinus α. Um die Seitenhalbierenden zu finden, bringen wir die Formeln für die bekannten Seiten und Winkel in die entsprechende Form. (Abb.79.3) m_ñ=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Da die Winkelhalbierende eines rechten Winkels in einem Dreieck das Produkt aus zwei Seiten und der Wurzel aus zwei ist, geteilt durch die Summe dieser Seiten, wobei eines der Schenkel durch das Verhältnis des bekannten Schenkels zur Tangente ersetzt wird, erhalten wir Folgendes Ausdruck. In ähnlicher Weise kann man durch Einsetzen des Verhältnisses in die zweite und dritte Formel die Winkelhalbierenden der Winkel α und β berechnen. (Abb.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Die mittlere Linie verläuft parallel zu einer der Seiten des Dreiecks, während sie ein weiteres ähnliches rechtwinkliges Dreieck mit denselben Winkeln bildet, in dem alle Seiten halb so groß sind wie das ursprüngliche. Auf dieser Grundlage können die Mittellinien mit den folgenden Formeln gefunden werden, wenn man nur das Bein und den gegenüberliegenden Winkel kennt. (Abb.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Der Radius des eingeschriebenen Kreises ist gleich der Differenz zwischen den Beinen und der Hypotenuse geteilt durch zwei, und um den Radius des umschriebenen Kreises zu finden, musst du die Hypotenuse durch zwei teilen. Wir ersetzen den zweiten Schenkel und die Hypotenuse durch die Verhältnisse des Schenkels a zum Sinus bzw. zur Tangente. (Abb. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Bevor Sie die Hypotenuse eines Dreiecks finden, müssen Sie herausfinden, welche Eigenschaften diese Figur hat. Betrachten wir die wichtigsten:

1. In einem rechtwinkligen Dreieck ergänzen sich beide spitzen Winkel zu 90º.
2. Ein Bein, das einem Winkel von 30º gegenüberliegt, entspricht der Hälfte der Hypotenuse.
3. Wenn das Bein dem halben Wert der Hypotenuse entspricht, hat der zweite Winkel denselben Wert - 30º.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck zu finden. Die einfachste Lösung ist die Berechnung über die Beine. Angenommen, Sie kennen die Werte der Beine der Seiten A und B. Dann kommt der Satz des Pythagoras zur Rettung und sagt uns, dass wir herausfinden, was die Hypotenuse ist, wenn wir jeden Beinwert quadrieren und die erhaltenen Daten summieren ist. Also müssen wir nur den Quadratwurzelwert extrahieren:

Wenn zum Beispiel Bein A = 3 cm und Bein B = 4 cm, dann würde die Berechnung so aussehen:

Wie finde ich die Hypotenuse durch einen Winkel?

Eine andere Möglichkeit, herauszufinden, was die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck ist, besteht darin, durch einen bestimmten Winkel zu rechnen. Dazu müssen wir den Wert durch die Sinusformel ableiten. Angenommen, wir kennen den Wert des Beins (A) und den Wert des Gegenwinkels (α). Dann ist die ganze Lösung in einer Formel: С=А/sin(α).

Wenn beispielsweise die Beinlänge 40 cm beträgt und der Winkel 45° beträgt, dann lässt sich die Länge der Hypotenuse wie folgt ableiten:

Sie können den gewünschten Wert auch über den Kosinus eines bestimmten Winkels bestimmen. Angenommen, wir kennen den Wert eines Beins (B) und einen spitzen eingeschlossenen Winkel (α). Dann wird eine Formel benötigt, um das Problem zu lösen: С=В/ cos(α).

Wenn beispielsweise die Beinlänge 50 cm beträgt und der Winkel 45° beträgt, dann kann die Hypotenuse wie folgt berechnet werden:

Daher haben wir die wichtigsten Möglichkeiten untersucht, um die Hypotenuse in einem Dreieck herauszufinden. Bei der Lösung der Aufgabe ist es wichtig, sich auf die verfügbaren Daten zu konzentrieren, dann wird es ganz einfach, den unbekannten Wert zu finden. Sie müssen nur ein paar Formeln kennen und der Prozess der Problemlösung wird einfach und angenehm.

Anweisung

Die den Schenkeln a und b gegenüberliegenden Winkel bezeichnen wir mit A bzw. B. Die Hypotenuse ist per Definition die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (gleichzeitig bildet die Hypotenuse spitze Winkel mit andere Seiten des Dreiecks). Bezeichnen wir die Länge der Hypotenuse mit s.

Du wirst brauchen:
Taschenrechner.

Verwenden Sie für das Bein folgenden Ausdruck: a=sqrt(c^2-b^2), wenn Sie die Werte der Hypotenuse und des anderen Beins kennen. Dieser Ausdruck leitet sich vom Satz des Pythagoras ab, der besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate der Schenkel ist. Der sqrt-Operator steht für das Ziehen der Quadratwurzel. Das Zeichen „^2“ bedeutet Potenzierung in die zweite Potenz.

Verwenden Sie die Formel a=c*sinA, wenn Sie die Hypotenuse (c) und den Winkel gegenüber dem gewünschten Bein kennen (wir haben diesen Winkel als A bezeichnet).
Verwenden Sie den Ausdruck a=c*cosB, um das Bein zu finden, wenn Sie die Hypotenuse (c) und den Winkel neben dem gewünschten Bein kennen (wir haben diesen Winkel als B bezeichnet).
Berechnen Sie das Bein mit der Formel a = b * tgA für den Fall, dass das Bein b und der Winkel gegenüber dem gewünschten Bein gegeben sind (wir haben uns darauf geeinigt, diesen Winkel A zu bezeichnen).

Beachten Sie:
Wenn bei Ihrer Aufgabe das Bein mit keiner der beschriebenen Methoden gefunden wird, kann es höchstwahrscheinlich auf eine von ihnen reduziert werden.

Hilfreiche Ratschläge:
Alle diese Ausdrücke werden aus den bekannten Definitionen trigonometrischer Funktionen erhalten, sodass Sie sie, selbst wenn Sie eine davon vergessen haben, immer schnell mit einfachen Operationen ableiten können. Es ist auch nützlich, die Werte trigonometrischer Funktionen für die typischsten Winkel 30, 45, 60, 90, 180 Grad zu kennen.

Verwenden Sie einen Taschenrechner, um die Quadratwurzel der Differenz zwischen der quadrierten Hypotenuse und dem bekannten Bein, ebenfalls quadriert, zu finden. Das Bein wird die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks neben dem rechten Winkel genannt. Dieser Ausdruck leitet sich vom Satz des Pythagoras ab, der besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate der Schenkel ist.

Bevor wir uns die verschiedenen Möglichkeiten ansehen, ein Bein in einem rechtwinkligen Dreieck zu finden, nehmen wir eine Notation. Prüfen Sie, welcher der aufgelisteten Fälle der Bedingung Ihres Problems entspricht und folgen Sie abhängig davon dem entsprechenden Abschnitt. Finden Sie heraus, welche Größen im betrachteten Dreieck Ihnen bekannt sind. Verwenden Sie den folgenden Ausdruck, um das Bein zu berechnen: a=sqrt(c^2-b^2), wenn Sie die Werte der Hypotenuse und des anderen Beins kennen.

Die Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln dieser geometrischen Figur werden in der mathematischen Disziplin der Trigonometrie ausführlich behandelt. Um diese Gleichung anzuwenden, musst du die Länge von zwei beliebigen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennen.

Berechnen Sie die Länge eines der Beine, wenn die Abmessungen der Hypotenuse und des anderen Beins bekannt sind. Wenn die Hypotenuse und einer der angrenzenden spitzen Winkel in der Aufgabe angegeben sind, verwenden Sie die Bradys-Tabellen.

Das innere Dreieck wird dem äußeren ähnlich sein, da die Mittellinien parallel zu den Beinen und der Hypotenuse und jeweils gleich ihren Hälften sind. Da die Hypotenuse unbekannt ist, müssen Sie das Radikal aus dem Satz des Pythagoras ersetzen, um die Mittellinie M_c zu finden.

Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Er liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Länge der Hypotenuse kann auf verschiedene Weise ermittelt werden. Wenn die Länge beider Beine bekannt ist, wird ihre Größe nach dem Satz des Pythagoras berechnet: Die Summe der Quadrate der beiden Beine ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Da wir wissen, dass die Summe aller Winkel 180 ° beträgt, subtrahieren wir den rechten Winkel und den bereits bekannten.

Bei der Berechnung der Parameter eines rechtwinkligen Dreiecks ist es wichtig, auf bekannte Werte zu achten und das Problem mit der einfachsten Formel zu lösen. Erinnern wir uns zunächst daran, was ein rechtwinkliges Dreieck ist. Ein rechtwinkliges Dreieck ist eine geometrische Figur aus drei Segmenten, die Punkte verbinden, die nicht auf derselben geraden Linie liegen, und einer der Winkel dieser Figur beträgt 90 Grad. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Beinlänge zu ermitteln.

Formel: c²=a²+b², wobei c die Hypotenuse ist, a und b die Beine sind

Wenn wir die Hypotenuse und das Bein kennen, können wir die Länge des unbekannten Beins mit dem Satz des Pythagoras bestimmen. Es klingt so: "Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Beine." Es gibt vier Möglichkeiten, das Bein mit trigonometrischen Funktionen zu finden: durch Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens. Der Sinus eines Winkels (sin) ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse. Formel: sin \u003d a / c, wobei a das Bein gegenüber dem angegebenen Winkel und c die Hypotenuse ist.

Die ungewöhnlichen Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke wurden vom antiken griechischen Wissenschaftler Pythagoras entdeckt, der entdeckte, dass das Quadrat der Hypotenuse in solchen Dreiecken gleich der Summe der Quadrate der Beine ist

Die Höhe ist die Senkrechte von jeder Ecke eines Dreiecks zur gegenüberliegenden Seite (oder zu ihrer Verlängerung bei einem Dreieck mit stumpfem Winkel). Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als Orthozentrum bezeichnet wird. Wenn es sich um ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck handelt, sind nicht genügend Daten vorhanden.

Es ist auch nützlich, die Werte trigonometrischer Funktionen für die typischsten Winkel 30, 45, 60, 90, 180 Grad zu kennen. Wenn die Bedingungen die Abmessungen der Beine angeben, finden Sie die Länge der Hypotenuse. Im Leben müssen wir uns oft mit Matheproblemen auseinandersetzen: in der Schule, im Studium und dann unserem Kind bei den Hausaufgaben helfen.

Als nächstes wandeln wir die Formel um und erhalten: a=sin*c

Um die Probleme zu lösen, hilft uns die folgende Tabelle. Betrachten wir diese Optionen. Ein interessanter Spezialfall ist, wenn einer der spitzen Winkel gleich 30 Grad ist.

Menschen bestimmter Berufe begegnen der Mathematik täglich.

Es ist auch möglich, ein unbekanntes Bein zu finden, wenn jede andere Seite und jeder spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind. Finde die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras. Auch die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks können je nach Anzahl der bekannten Variablen mit verschiedenen Formeln ermittelt werden.