1. Angrenzende Ecken.
Wenn wir die Seite eines Winkels über seinen Scheitel hinaus fortsetzen, erhalten wir zwei Winkel (Abb. 72): ∠ABC und ∠CBD, bei denen eine Seite von BC gemeinsam ist und die anderen beiden, AB und BD, eine gerade Linie bilden .
Zwei Winkel, die eine Seite gemeinsam haben und die anderen beiden eine Gerade bilden, heißen benachbarte Winkel.
Angrenzende Winkel können auch auf diese Weise erhalten werden: Wenn wir einen Strahl von einem Punkt auf einer geraden Linie (die nicht auf einer bestimmten geraden Linie liegt) zeichnen, erhalten wir angrenzende Winkel.
Beispielsweise sind ∠ADF und ∠FDÂ benachbarte Winkel (Abb. 73).
Benachbarte Ecken können eine Vielzahl von Positionen haben (Abb. 74).
Benachbarte Winkel addieren sich zu einem geraden Winkel, also Die Summe zweier benachbarter Winkel beträgt 180°
Daher kann ein rechter Winkel als ein Winkel definiert werden, der gleich seinem angrenzenden Winkel ist.
Wenn wir den Wert eines der angrenzenden Winkel kennen, können wir den Wert des anderen angrenzenden Winkels finden.
Wenn zum Beispiel einer der angrenzenden Winkel 54° beträgt, dann ist der zweite Winkel:
180° - 54° = l26°.
2. Vertikale Winkel.
Wenn wir die Seiten eines Winkels über seinen Scheitel hinaus verlängern, erhalten wir vertikale Winkel. In Abbildung 75 sind die Winkel EOF und AOC vertikal; die Winkel AOE und COF sind ebenfalls vertikal.
Zwei Winkel heißen vertikal, wenn die Seiten des einen Winkels Verlängerungen der Seiten des anderen Winkels sind.
Sei ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (Abb. 76). ∠2 daneben gleich 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, also 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.
Auf die gleiche Weise können Sie berechnen, was ∠3 und ∠4 sind.
∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;
∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Abb. 77).
Wir sehen, dass ∠1 = ∠3 und ∠2 = ∠4.
Sie können mehrere der gleichen Probleme lösen und erhalten jedes Mal das gleiche Ergebnis: Die vertikalen Winkel sind einander gleich.
Um sicherzustellen, dass die vertikalen Winkel immer gleich sind, reicht es jedoch nicht aus, einzelne Zahlenbeispiele zu betrachten, da Schlussfolgerungen aus bestimmten Beispielen manchmal falsch sein können.
Es ist notwendig, die Gültigkeit der Eigenschaft vertikaler Winkel durch Beweis zu überprüfen.
Der Beweis kann wie folgt geführt werden (Abb. 78):
∠ein +∠c= 180°;
∠b +∠c= 180°;
(da die Summe benachbarter Winkel 180° beträgt).
∠ein +∠c = ∠b +∠c
(da die linke Seite dieser Gleichheit 180° beträgt und ihre rechte Seite ebenfalls 180°).
Diese Gleichheit schließt den gleichen Winkel ein Mit.
Wenn wir gleich von gleichen Werten subtrahieren, dann bleibt es gleich. Das Ergebnis wird sein: ∠a = ∠b, d.h. die vertikalen Winkel sind einander gleich.
3. Die Summe der Winkel, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.
In Zeichnung 79 befinden sich ∠1, ∠2, ∠3 und ∠4 auf derselben Seite der Linie und haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt auf dieser Linie. In der Summe ergeben diese Winkel einen geraden Winkel, d.h.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.
In Zeichnung 80 haben ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 und ∠5 einen gemeinsamen Scheitelpunkt. Diese Winkel addieren sich zu einem Vollwinkel, also ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.
Andere MaterialienGeometrie ist eine sehr facettenreiche Wissenschaft. Es entwickelt Logik, Vorstellungskraft und Intelligenz. Aufgrund seiner Komplexität und der Vielzahl von Sätzen und Axiomen gefällt es Schulkindern natürlich nicht immer. Darüber hinaus müssen ihre Schlussfolgerungen ständig anhand allgemein anerkannter Standards und Regeln nachgewiesen werden.
Benachbarte und vertikale Winkel sind ein integraler Bestandteil der Geometrie. Sicherlich verehren viele Schulkinder sie einfach deshalb, weil ihre Eigenschaften klar und leicht nachzuweisen sind.
Bildung von Ecken
Jeder Winkel wird durch den Schnittpunkt zweier Linien oder durch Zeichnen zweier Strahlen von einem Punkt aus gebildet. Sie können entweder ein oder drei Buchstaben genannt werden, die nacheinander die Konstruktionspunkte der Ecke bezeichnen.
Winkel werden in Grad gemessen und können (je nach Wert) unterschiedlich bezeichnet werden. Es gibt also einen rechten Winkel, spitz, stumpf und entfaltet. Jeder der Namen entspricht einem bestimmten Gradmaß oder seinem Intervall.
Ein spitzer Winkel ist ein Winkel, dessen Maß 90 Grad nicht überschreitet.
Ein stumpfer Winkel ist ein Winkel größer als 90 Grad.
Ein Winkel heißt recht, wenn sein Maß 90 beträgt.
Wenn es aus einer durchgehenden geraden Linie besteht und sein Gradmaß 180 beträgt, wird es als eingesetzt bezeichnet.
Winkel, die eine gemeinsame Seite haben, deren zweite Seite ineinander übergeht, heißen benachbart. Sie können entweder scharf oder stumpf sein. Der Schnittpunkt der Linie bildet benachbarte Winkel. Ihre Eigenschaften sind wie folgt:
- Die Summe solcher Winkel beträgt 180 Grad (es gibt einen Satz, der dies beweist). Daher kann einer von ihnen leicht berechnet werden, wenn der andere bekannt ist.
- Aus dem ersten Punkt folgt, dass benachbarte Winkel nicht durch zwei stumpfe oder zwei spitze Winkel gebildet werden können.
Dank dieser Eigenschaften kann man immer das Gradmaß eines Winkels berechnen, wenn der Wert eines anderen Winkels gegeben ist, oder zumindest das Verhältnis zwischen ihnen.
Vertikale Winkel
Winkel, deren Seiten Fortsetzungen voneinander sind, werden vertikal genannt. Jede ihrer Sorten kann als solches Paar fungieren. Vertikale Winkel sind immer gleich.
Sie entstehen, wenn sich Linien schneiden. Zusammen mit ihnen sind immer benachbarte Ecken vorhanden. Ein Winkel kann sowohl benachbart als auch vertikal für den anderen sein.
Beim Überqueren einer beliebigen Linie werden auch mehrere weitere Arten von Winkeln berücksichtigt. Eine solche Linie wird als Sekante bezeichnet und bildet die entsprechenden einseitigen und kreuzenden Winkel. Sie sind einander gleich. Sie können im Hinblick auf die Eigenschaften betrachtet werden, die vertikale und benachbarte Winkel haben.
Somit scheint das Thema Ecken recht einfach und verständlich zu sein. Alle ihre Eigenschaften sind leicht zu merken und zu beweisen. Das Lösen von Problemen ist nicht schwierig, solange die Winkel einem Zahlenwert entsprechen. Schon weiter, wenn das Studium von Sünde und Kos beginnt, müssen Sie sich viele komplexe Formeln, ihre Schlussfolgerungen und Konsequenzen merken. Bis dahin können Sie sich einfach an einfachen Rätseln erfreuen, bei denen Sie benachbarte Ecken finden müssen.
2) Wie viele gemeinsame Punkte können 2 Geraden haben?
3) Erklären Sie, was ein Segment ist?
4) Erklären Sie, was ein Strahl ist. Wie werden Strahlen bezeichnet?
5) Welche Figur nennt man einen Winkel? Erklären Sie, was ein Eckpunkt und die Seiten eines Winkels sind.
6) Welcher Winkel wird als entfaltet bezeichnet?
7) Welche Figuren heißen gleich?
8) Erklären Sie, wie man 2 Segmente vergleicht
9) Welcher Punkt wird als Mittelpunkt des Segments bezeichnet?
10) Erklären Sie, wie man 2 Winkel vergleicht.
11) Welcher Strahl wird Winkelhalbierende genannt?
12) Punkt C teilt das Segment AB in 2 Segmente Wie findet man die Länge des Segments AB, wenn die Längen der Segmente AC und CB bekannt sind?
13) Mit welchen Hilfsmitteln werden Entfernungen gemessen?
14) Was ist das Gradmaß eines Winkels?
15) Ray OS teilt den Winkel AOB in 2 Winkel. Wie findet man das Gradmaß des Winkels AOB, wenn die Gradmaße der Winkel AOC und COB bekannt sind?
16) Welchen Winkel nennt man spitz, rechts, stumpf?
17) Welche Winkel nennt man benachbart, was ist die Summe benachbarter Winkel?
18) Welche Winkel nennt man vertikal?Welche Eigenschaft haben vertikale Winkel?
19) Welche Geraden nennt man senkrecht?
20) Erklären Sie, warum sich 2 Geraden senkrecht zur 3. nicht schneiden?
21) Welche Instrumente werden verwendet, um rechte Winkel auf dem Boden zu konstruieren?
Wie viele gemeinsame Punkte können zwei Geraden haben?
3 Erklären Sie, was ein Segment ist
4Erklären Sie, was ein Strahl ist.Wie werden Strahlen bezeichnet?
Welche Figur nennt man Winkel? Erkläre, was ein Eckpunkt und die Seiten eines Winkels sind
6Welcher Winkel heißt entfaltet
7 welche Figuren gleich genannt werden
8erklären, wie man zwei Segmente vergleicht
Welcher Punkt wird als Mittelpunkt eines Segments bezeichnet?
10erklären, wie man zwei Winkel vergleicht
11 welcher Strahl Winkelhalbierende genannt wird
12Punkt c teilt die Strecke ab in zwei Strecken Wie man die Länge der Strecke ab ermittelt, wenn die Längen der Strecken ac und sb bekannt sind
13welche Werkzeuge verwendet werden, um Entfernungen zu messen
14 Was ist das Gradmaß eines Winkels?
Der Strahl os teilt den Winkel aob in zwei Winkel So finden Sie das Gradmaß des Winkels aob, wenn die Maße der Winkel aos
Welchen Winkel nennt man spitz?, richtig?, stumpf?.
17Welche Winkel nennt man benachbart, was ist die Summe benachbarter Winkel?
18Welche Art von Winkeln nennt man vertikal?Welche Eigenschaft haben vertikale Winkel?
19 welche Linien senkrecht genannt werden
20Erklären Sie, warum sich zwei Geraden, die senkrecht auf einer dritten stehen, nicht schneiden
21Welche Instrumente werden verwendet, um rechte Winkel auf dem Boden zu konstruieren?
vertikal welche Eigenschaft haben vertikale Winkel 5)
Hilfe bitte!! plz=**7. Beweisen Sie, dass, wenn zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten werden, die inneren kreuzenden Winkel gleich sind und die Summe der inneren einseitigen Winkel 180 Grad beträgt.
8. Beweisen Sie, dass zwei Geraden senkrecht zur dritten parallel sind. Steht eine Gerade senkrecht auf einer von zwei parallelen Geraden, dann steht sie auch senkrecht auf der anderen.
9. Beweisen Sie, dass die Winkelsumme eines Dreiecks 180 Grad beträgt.
10. Beweisen Sie, dass jedes Dreieck mindestens zwei spitze Winkel hat.
11. Was ist der Außenwinkel eines Dreiecks?
12. Beweisen Sie, dass der Außenwinkel eines Dreiecks gleich der Summe zweier nicht benachbarter Innenwinkel ist.
13. Beweisen Sie, dass der Außenwinkel eines Dreiecks größer ist als jeder Innenwinkel, der nicht daran angrenzt.
14. Welches Dreieck wird rechtwinkliges Dreieck genannt?
15. Was ist die Summe der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks?
16. Welche Seite eines rechtwinkligen Dreiecks wird Hypotenuse genannt? Welche Seiten nennt man Beine?
17. Formulieren Sie ein Gleichheitszeichen für rechtwinklige Dreiecke entlang der Hypotenuse und des Schenkels.
18. Beweisen Sie, dass man von jedem Punkt, der nicht auf einer bestimmten Linie liegt, eine Senkrechte zu dieser Linie fallen lassen kann, und zwar nur eine.
19. Wie nennt man den Abstand von einem Punkt zu einer Linie?
20. Erklären Sie den Abstand zwischen parallelen Linien.
Was ist ein angrenzender winkel
Ecke- Dies ist eine geometrische Figur (Abb. 1), die von zwei Strahlen OA und OB (Eckseiten) gebildet wird, die von einem Punkt O (Eckscheitel) ausgehen.
ANGRENZENDE ECKEN sind zwei Winkel, deren Summe 180° beträgt. Jeder dieser Winkel ergänzt den anderen zu einem vollen Winkel.
Angrenzende Ecken- (Agles adjacets) diejenigen, die eine gemeinsame Oberseite und eine gemeinsame Seite haben. Vorwiegend bezieht sich dieser Name auf solche Winkel, deren andere beiden Seiten in entgegengesetzten Richtungen einer durchgezogenen Geraden liegen.
Zwei Winkel heißen benachbart, wenn sie eine Seite gemeinsam haben und die anderen Seiten dieser Winkel komplementäre Halbgeraden sind.
Reis. 2
In Fig. 2 liegen die Winkel a1b und a2b nebeneinander. Sie haben eine gemeinsame Seite b, und die Seiten a1, a2 sind zusätzliche Halblinien.
Reis. 3
Abbildung 3 zeigt die Linie AB, Punkt C liegt zwischen den Punkten A und B. Punkt D ist ein Punkt, der nicht auf der Linie AB liegt. Es stellt sich heraus, dass die Winkel BCD und ACD benachbart sind. Sie haben eine gemeinsame Seite CD, und die Seiten CA und CB sind zusätzliche Halblinien der Linie AB, da die Punkte A, B durch den Anfangspunkt C getrennt sind.
Nebenwinkelsatz
Satz: Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180°
Nachweisen:
Die Winkel a1b und a2b sind benachbart (siehe Abb. 2) Strahl b verläuft zwischen den Seiten a1 und a2 eines geraden Winkels. Daher ist die Summe der Winkel a1b und a2b gleich dem geraden Winkel, d. h. 180°. Der Satz ist bewiesen.
Ein Winkel gleich 90° wird als rechter Winkel bezeichnet. Aus dem Satz über die Summe benachbarter Winkel folgt, dass der an einen rechten Winkel angrenzende Winkel auch ein rechter Winkel ist. Ein Winkel kleiner als 90° wird als spitz, ein Winkel größer als 90° als stumpf bezeichnet. Da die Summe benachbarter Winkel 180° beträgt, ist der an einen spitzen Winkel angrenzende Winkel ein stumpfer Winkel. Ein an einen stumpfen Winkel angrenzender Winkel ist ein spitzer Winkel.
Angrenzende Ecken- zwei Winkel mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt, von denen eine Seite gemeinsam ist und die verbleibenden Seiten auf derselben geraden Linie liegen (nicht zusammenfallen). Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180°.
Bestimmung 1. Ein Winkel ist ein Teil einer Ebene, die von zwei Strahlen mit gemeinsamem Ursprung begrenzt wird.
Definition 1.1. Ein Winkel ist eine Figur, die aus einem Punkt – dem Scheitelpunkt des Winkels – und zwei verschiedenen Halblinien besteht, die von diesem Punkt ausgehen – den Seiten des Winkels.
Zum Beispiel den BOS-Winkel in Abb. 1 Betrachten Sie zunächst zwei sich schneidende Linien. Wenn sie sich schneiden, bilden Linien Winkel. Es gibt Sonderfälle:
Bestimmung 2. Wenn die Seiten eines Winkels komplementäre Halblinien einer geraden Linie sind, dann wird der Winkel ein gerader Winkel genannt.
Bestimmung 3. Ein rechter Winkel ist ein Winkel von 90 Grad.
Bestimmung 4. Ein Winkel kleiner als 90 Grad wird als spitzer Winkel bezeichnet.
Bestimmung 5. Ein Winkel größer als 90 Grad und kleiner als 180 Grad wird als stumpfer Winkel bezeichnet.
Schnittlinien.
Bestimmung 6. Zwei Winkel, deren eine Seite gemeinsam ist und deren andere Seiten auf derselben Geraden liegen, heißen benachbart.
Bestimmung 7. Winkel, deren Seiten sich gegenseitig verlängern, werden vertikale Winkel genannt.
Abbildung 1:
daneben: 1 und 2; 2 und 3; 3 und 4; 4 und 1
vertikal: 1 und 3; 2 und 4
Satz 1. Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180 Grad.
Betrachten Sie zum Beweis Abb. 4 benachbarte Ecken AOB und BOS. Ihre Summe ist der entwickelte Winkel AOC. Daher beträgt die Summe dieser benachbarten Winkel 180 Grad.
Reis. vier
Beziehung zwischen Mathematik und Musik
„Nachdenklich über Kunst und Wissenschaft, über ihre gegenseitigen Verbindungen und Widersprüche kam ich zu dem Schluss, dass Mathematik und Musik die äußersten Pole des menschlichen Geistes sind, dass diese beiden Antipoden alle kreative geistige Aktivität eines Menschen begrenzen und bestimmen, und dass alles zwischen sie gestellt wird, was die Menschheit auf dem Gebiet der Wissenschaft und Kunst geschaffen hat."
G. Neuhaus
Es scheint, dass die Kunst ein sehr abstraktes Gebiet der Mathematik ist. Die Verbindung von Mathematik und Musik ist jedoch sowohl historisch als auch intern bedingt, obwohl die Mathematik die abstrakteste der Wissenschaften und die Musik die abstrakteste Kunstform ist.
Die Konsonanz bestimmt den für das Ohr angenehmen Klang einer Saite.
Dieses Musiksystem basierte auf zwei Gesetzen, die die Namen zweier großer Wissenschaftler tragen - Pythagoras und Archytas. Das sind die Gesetze:
1. Zwei klingende Saiten bestimmen die Konsonanz, wenn ihre Längen als ganze Zahlen in Beziehung gesetzt werden und eine Dreieckszahl 10=1+2+3+4 bilden, d.h. wie 1:2, 2:3, 3:4. Je kleiner die Zahl n im Verhältnis zu n:(n+1) (n=1,2,3), desto konsonanter das resultierende Intervall.
2. Die Schwingungsfrequenz w einer klingenden Saite ist umgekehrt proportional zu ihrer Länge l.
w = a:l,
wobei a ein Koeffizient ist, der die physikalischen Eigenschaften der Saite charakterisiert.
Ich werde Ihre Aufmerksamkeit auch auf eine lustige Parodie über einen Streit zwischen zwei Mathematikern lenken =)
Geometrie um uns herum
Geometrie spielt eine wichtige Rolle in unserem Leben. Wenn Sie sich umschauen, werden Sie unschwer erkennen, dass wir von verschiedenen geometrischen Formen umgeben sind. Wir begegnen ihnen überall: auf der Straße, im Klassenzimmer, zu Hause, im Park, in der Turnhalle, in der Schulkantine, im Prinzip überall. Aber das Thema der heutigen Lektion sind angrenzende Kohlen. Schauen wir uns also um und versuchen, Ecken in dieser Umgebung zu finden. Wenn Sie genau aus dem Fenster schauen, können Sie sehen, dass einige Äste des Baums benachbarte Ecken bilden, und Sie können viele vertikale Ecken in den Trennwänden am Tor sehen. Geben Sie Beispiele für benachbarte Winkel, die Sie in der Umgebung sehen.
Übung 1.
1. Auf dem Tisch auf einem Buchständer liegt ein Buch. Welchen Winkel bildet es?
2. Aber der Student arbeitet an einem Laptop. Welchen Winkel sehen Sie hier?
3. Welchen Winkel hat der Fotorahmen auf dem Ständer?
4. Glauben Sie, dass es möglich ist, dass zwei benachbarte Winkel gleich sind?
Aufgabe 2.
Vor dir ist eine geometrische Figur. Was ist diese Figur, nennen Sie sie? Benennen Sie nun alle angrenzenden Winkel, die Sie auf dieser geometrischen Figur sehen können.
Aufgabe 3.
Hier ist ein Bild einer Zeichnung und eines Gemäldes. Sehen Sie sie sich genau an und sagen Sie, welche Arten von Fang Sie auf dem Bild sehen und welche Winkel im Bild.
Probleme lösen
1) Es sind zwei Winkel angegeben, die mit 1: 2 zueinander in Beziehung stehen und mit 7: 5 benachbart sind. Sie müssen diese Winkel finden.2) Es ist bekannt, dass einer der angrenzenden Winkel viermal größer ist als der andere. Was sind Nebenwinkel?
3) Es ist notwendig, benachbarte Winkel zu finden, vorausgesetzt, einer von ihnen ist 10 Grad größer als der zweite.
Mathematisches Diktat zur Wiederholung von zuvor Gelerntem
1) Zeichnen Sie ein Bild: Linien a I b schneiden sich an Punkt A. Markieren Sie die kleinste der gebildeten Ecken mit der Nummer 1 und die verbleibenden Winkel - nacheinander mit den Nummern 2,3,4; die komplementären Strahlen der Linie a - durch a1 und a2 und der Linie b - durch b1 und b2.2) Tragen Sie anhand der fertigen Zeichnung die notwendigen Werte und Erläuterungen in die Lücken im Text ein:
a) Winkel 1 und Winkel .... verwandt, weil ...
b) Winkel 1 und Winkel .... senkrecht weil...
c) wenn Winkel 1 = 60°, dann Winkel 2 = ..., weil ...
d) wenn Winkel 1 = 60°, dann Winkel 3 = ..., weil ...
Probleme lösen:
1. Kann die Summe von 3 Winkeln, die am Schnittpunkt von 2 Geraden gebildet werden, 100° ergeben? 370°?
2. Suchen Sie in der Abbildung alle Paare benachbarter Ecken. Und jetzt die vertikalen Ecken. Benennen Sie diese Winkel.
3. Sie müssen einen Winkel finden, wenn er dreimal größer ist als der benachbarte.
4. Zwei Geraden schneiden sich. Als Ergebnis dieser Überschneidung wurden vier Ecken gebildet. Bestimmen Sie den Wert eines von ihnen, vorausgesetzt, dass:
a) die Summe von 2 Winkeln aus vier 84 °;
b) die Differenz von 2 Winkeln beträgt 45°;
c) ein Winkel ist viermal kleiner als der zweite;
d) die Summe von drei dieser Winkel beträgt 290°.
Zusammenfassung der Lektion
1. Nennen Sie die Winkel, die am Schnittpunkt zweier Geraden gebildet werden?
2. Nenne alle möglichen Winkelpaare in der Abbildung und bestimme ihren Typ.
Hausaufgaben:
1. Ermitteln Sie das Verhältnis der Gradmaße benachbarter Winkel, wenn einer von ihnen um 54 ° größer ist als der zweite.
2. Finden Sie die Winkel, die gebildet werden, wenn sich 2 Linien schneiden, vorausgesetzt, dass einer der Winkel gleich der Summe von 2 anderen angrenzenden Winkeln ist.
3. Es ist notwendig, benachbarte Winkel zu finden, wenn die Winkelhalbierende eines von ihnen einen Winkel mit der Seite des zweiten bildet, der 60 ° größer ist als der zweite Winkel.
4. Die Differenz zweier benachbarter Winkel ist gleich einem Drittel der Summe dieser beiden Winkel. Bestimmen Sie die Werte von 2 benachbarten Winkeln.
5. Die Differenz und die Summe von 2 benachbarten Winkeln stehen jeweils im Verhältnis 1:5. Finden Sie benachbarte Ecken.
6. Die Differenz zwischen zwei benachbarten beträgt 25 % ihrer Summe. Wie hängen die Werte von 2 benachbarten Winkeln zusammen? Bestimmen Sie die Werte von 2 benachbarten Winkeln.
Fragen:
- Was ist ein Winkel?
- Welche Arten von Ecken gibt es?
- Was ist das Merkmal benachbarter Ecken?
Zwei Winkel heißen benachbart, wenn sie eine Seite gemeinsam haben und die anderen Seiten dieser Winkel komplementäre Strahlen sind. In Abbildung 20 liegen die Winkel AOB und BOC nebeneinander.
Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180°
Satz 1. Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180°.
Nachweisen. Der OB-Strahl (siehe Abb. 1) verläuft zwischen den Seiten des entwickelten Winkels. Deshalb ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.
Aus Satz 1 folgt, dass wenn zwei Winkel gleich sind, auch die an sie angrenzenden Winkel gleich sind.
Vertikale Winkel sind gleich
Zwei Winkel heißen vertikal, wenn die Seiten des einen Winkels komplementäre Strahlen der Seiten des anderen sind. Die Winkel AOB und COD, BOD und AOC, die am Schnittpunkt zweier Geraden gebildet werden, sind vertikal (Abb. 2).
Satz 2. Vertikale Winkel sind gleich.
Nachweisen. Betrachten Sie die vertikalen Winkel AOB und COD (siehe Abb. 2). Der Winkel BOD grenzt an jeden der Winkel AOB und COD an. Nach Satz 1 ist ∠ AOB + ∠ BSB = 180°, ∠ COD + ∠ BSB = 180°.
Daraus schließen wir, dass ∠ AOB = ∠ COD.
Korollar 1. Ein an einen rechten Winkel angrenzender Winkel ist ein rechter Winkel.
Betrachten Sie zwei sich schneidende gerade Linien AC und BD (Abb. 3). Sie bilden vier Ecken. Wenn einer von ihnen richtig ist (Winkel 1 in Abb. 3), dann sind auch die anderen Winkel richtig (Winkel 1 und 2, 1 und 4 sind benachbart, Winkel 1 und 3 sind vertikal). In diesem Fall sollen sich diese Linien rechtwinklig schneiden und werden als senkrecht (oder senkrecht zueinander) bezeichnet. Die Rechtwinkligkeit der Linien AC und BD wird wie folgt bezeichnet: AC ⊥ BD.
Die Mittelsenkrechte eines Segments ist eine Linie, die senkrecht zu diesem Segment verläuft und durch seinen Mittelpunkt verläuft.
AN - senkrecht zur Linie
Betrachten Sie eine Linie a und einen Punkt A, der nicht darauf liegt (Abb. 4). Verbinden Sie den Punkt A mit einer Strecke mit dem Punkt H mit einer Geraden a. Eine Strecke AH heißt Senkrechte vom Punkt A zur Geraden a, wenn die Geraden AN und a senkrecht aufeinander stehen. Der Punkt H heißt Basis der Senkrechten.
Quadrat zeichnen
Der folgende Satz ist wahr.
Satz 3. Von jedem Punkt, der nicht auf einer Geraden liegt, kann man eine Senkrechte zu dieser Geraden ziehen, und zwar nur eine.
Um eine Senkrechte von einem Punkt zu einer geraden Linie in der Zeichnung zu zeichnen, wird ein Zeichenquadrat verwendet (Abb. 5).
Kommentar. Die Aussage des Theorems besteht in der Regel aus zwei Teilen. Ein Teil spricht über das, was gegeben wird. Dieser Teil wird als Bedingung des Theorems bezeichnet. Der andere Teil spricht darüber, was nachgewiesen werden muss. Dieser Teil wird als Konklusion des Theorems bezeichnet. Beispielsweise ist die Bedingung von Theorem 2 vertikale Winkel; Fazit - diese Winkel sind gleich.
Jeder Satz kann detailliert in Worten ausgedrückt werden, sodass seine Bedingung mit dem Wort „wenn“ beginnt und die Schlussfolgerung mit dem Wort „dann“. Beispielsweise kann Theorem 2 im Detail wie folgt formuliert werden: "Wenn zwei Winkel vertikal sind, dann sind sie gleich."
Beispiel 1 Einer der angrenzenden Winkel beträgt 44°. Was ist dem anderen gleich?
Lösung.
Bezeichne das Gradmaß eines anderen Winkels mit x, dann gemäß Satz 1.
44° + x = 180°.
Beim Lösen der resultierenden Gleichung stellen wir fest, dass x \u003d 136 ° ist. Daher beträgt der andere Winkel 136°.
Beispiel 2 Der COD-Winkel in Abbildung 21 sei 45°. Was sind die Winkel AOB und AOC?
Lösung.
Die Winkel COD und AOB sind vertikal, daher sind sie nach Satz 1.2 gleich, d.h. ∠ AOB = 45°. Der Winkel AOC grenzt an den Winkel COD, also nach Satz 1.
∠ AOC = 180° - ∠ CSB = 180° - 45° = 135°.
Beispiel 3 Finden Sie benachbarte Winkel, wenn einer von ihnen dreimal so groß ist wie der andere.
Lösung.
Bezeichne das Gradmaß des kleineren Winkels mit x. Dann ist das Gradmaß des größeren Winkels Zx. Da die Summe benachbarter Winkel 180° beträgt (Satz 1), ist x + 3x = 180°, also x = 45°.
Die angrenzenden Winkel betragen also 45° und 135°.
Beispiel 4 Die Summe zweier vertikaler Winkel ist 100°. Finden Sie den Wert von jedem der vier Winkel.
Lösung.
Dem Problemzustand entspreche Abbildung 2. Die Vertikalwinkel COD zu AOB sind gleich (Satz 2), was bedeutet, dass auch ihre Gradmaße gleich sind. Daher ist ∠ COD = ∠ AOB = 50° (ihre Summe ist bedingt 100°). Der Winkel BOD (auch der Winkel AOC) grenzt an den Winkel COD und damit nach Satz 1
∠ BSB = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.
