>>Mathe: Rationale Ungleichungen

Eine rationale Ungleichung mit einer Variablen x ist eine Ungleichung der Form - rationale Ausdrücke, d.h. algebraische Ausdrücke, die aus Zahlen und der Variablen x bestehen und die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung verwenden. Natürlich kann die Variable mit jedem anderen Buchstaben bezeichnet werden, aber in der Mathematik wird am häufigsten der Buchstabe x bevorzugt.

Beim Lösen rationaler Ungleichungen werden die drei oben in § 1 formulierten Regeln verwendet, mit deren Hilfe eine gegebene rationale Ungleichung üblicherweise in die Form / (x) > 0 überführt wird, wobei / (x) eine Algebra ist Bruch (oder Polynom). Zerlegen Sie als Nächstes Zähler und Nenner des Bruchs f (x) in Faktoren der Form x - a (falls dies natürlich möglich ist) und wenden Sie die Intervallmethode an, die wir oben bereits erwähnt haben (siehe Beispiel 3 im vorherigen Absatz).

Beispiel 1 Lösen Sie die Ungleichung (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Lösung. Betrachten Sie den Ausdruck f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Es wird an den Punkten 1,-1,2 zu 0; Markiere diese Punkte auf dem Zahlenstrahl. Die Zahlenlinie wird durch die angegebenen Punkte in vier Intervalle unterteilt (Abb. 6), auf denen jeweils der Ausdruck f (x) ein konstantes Vorzeichen behält. Um dies zu überprüfen, führen wir vier Argumente durch (für jedes dieser Intervalle separat).

Nehmen Sie einen beliebigen Punkt x aus dem Intervall (2, Dieser Punkt befindet sich auf dem Zahlenstrahl rechts von Punkt -1, rechts von Punkt 1 und rechts von Punkt 2. Das bedeutet, dass x> -1, x> 1, x > 2 (Abb. 7), aber dann ist x-1 > 0, x+1 > 0, x - 2 > 0 und damit f (x) > 0 (als Produkt einer rationalen Ungleichung von drei positiven Zahlen).Also ist die Ungleichung f (x ) > 0.

Nimm irgendeinen Punkt x aus dem Intervall (1,2). Dieser Punkt befindet sich auf der Zahlenlinie rechts von Punkt-1, rechts von Punkt 1, aber links von Punkt 2. Daher x\u003e -1, x\u003e 1, aber x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1 > 0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Nehmen Sie einen beliebigen Punkt x aus dem Intervall (-1,1). Dieser Punkt befindet sich auf dem Zahlenstrahl rechts von Punkt -1, links von Punkt 1 und links von Punkt 2. Also x > -1, aber x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x-1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (als Produkt aus zwei negativen und einer positiven Zahl). Auf dem Intervall (-1,1) gilt also die Ungleichung f (x)> 0.

Nehmen Sie schließlich einen beliebigen Punkt x aus dem offenen Strahl (-oo, -1). Dieser Punkt befindet sich auf dem Zahlenstrahl links von Punkt -1, links von Punkt 1 und links von Punkt 2. Das bedeutet, dass x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Fassen wir zusammen. Die Vorzeichen des Ausdrucks f (x) in den ausgewählten Intervallen sind wie in Abb. 11. Wir interessieren uns für diejenigen von ihnen, auf denen die Ungleichung f (x) > 0 erfüllt ist. 11 stellen wir fest, dass die Ungleichung f (x) > 0 auf dem Intervall (–1, 1) oder auf dem offenen Balken erfüllt ist
Antworten: -1 < х < 1; х > 2.

Beispiel 2 Löse die Ungleichung
Lösung. Wie im vorherigen Beispiel werden wir die notwendigen Informationen aus Abb. 11, jedoch mit zwei Änderungen gegenüber Beispiel 1. Erstens interessiert uns, welche Werte von x die Ungleichung f(x) erfüllen< 0, нам придется выбрать промежутки Zweitens sind wir auch mit den Punkten zufrieden, an denen die Gleichheit f (x) = 0 erfüllt ist, das sind die Punkte -1, 1, 2, wir markieren sie in der Abbildung mit dunklen Kreisen und nehmen sie in die Antwort auf. Auf Abb. 12 zeigt ein geometrisches Modell der Antwort, von dem es nicht schwierig ist, zu einer analytischen Aufzeichnung zu gelangen.
Antworten:
BEISPIEL 3. Löse die Ungleichung
Lösung. Zerlegen wir Zähler und Nenner des algebraischen Bruchs fx, der auf der linken Seite der Ungleichung enthalten ist. Im Zähler haben wir x 2 - x \u003d x (x - 1).

Um das im Nenner des Bruchs enthaltene quadratische Trinom x 2 - bx ~ 6 zu faktorisieren, finden wir seine Wurzeln. Aus der Gleichung x 2 - 5x - 6 \u003d 0 finden wir x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Daher (Wir haben die Formel zum Faktorisieren eines quadratischen Trinoms verwendet: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Damit haben wir die gegebene Ungleichung in die Form überführt

Betrachten Sie den Ausdruck:

Der Zähler dieses Bruchs wird an den Punkten 0 und 1 zu 0 und an den Punkten -1 und 6 zu 0. Markieren wir diese Punkte auf dem Zahlenstrahl (Abb. 13). Die Zahlenlinie wird durch die angegebenen Punkte in fünf Intervalle unterteilt, und auf jedem Intervall behält der Ausdruck fx) ein konstantes Vorzeichen. Mit der gleichen Argumentation wie in Beispiel 1 kommen wir zu dem Schluss, dass die Vorzeichen des Ausdrucks fx) in den ausgewählten Intervallen wie in Abb. 13. Uns interessiert, wo die Ungleichung f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 Antwort: -1

Beispiel 4 Löse die Ungleichung

Lösung. Bei der Lösung rationaler Ungleichungen ziehen sie es in der Regel vor, auf der rechten Seite der Ungleichung nur die Zahl 0 zu lassen, deshalb wandeln wir die Ungleichung in die Form um

Des Weiteren:

Wenn die rechte Seite der Ungleichung nur die Zahl 0 enthält, ist es erfahrungsgemäß bequemer zu argumentieren, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner auf der linken Seite einen positiven Leitkoeffizienten haben.Und was haben wir?Wir haben alles in der Nenner des Bruchs in diesem Sinne in Ordnung (der führende Koeffizient, d. H. Der Koeffizient bei x 2, ist 6 - eine positive Zahl), aber im Zähler ist nicht alles in Ordnung - der Senior-Koeffizient (der Koeffizient bei x) ist - 4 (negative Zahl) Wenn wir beide Seiten der Ungleichung mit -1 multiplizieren und das Vorzeichen der Ungleichung in das Gegenteil ändern, erhalten wir eine äquivalente Ungleichung

Lassen Sie uns Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs faktorisieren. Im Zähler ist alles einfach:
Das im Nenner eines Bruchs enthaltene quadratische Trinom faktorisieren

(Wir haben wieder die Formel zur Faktorisierung eines quadratischen Trinoms verwendet).
Damit haben wir die gegebene Ungleichung auf die Form gebracht

Betrachten Sie den Ausdruck

Der Zähler dieses Bruchs wird am Punkt und der Nenner an den Punkten zu 0. Wir notieren diese Punkte auf der Zahlenlinie (Abb. 14), die durch die angegebenen Punkte in vier Intervalle unterteilt ist, und auf jedem Intervall den Ausdruck f (x) behält ein konstantes Vorzeichen (diese Vorzeichen sind in Fig. 14 angegeben). Uns interessieren diejenigen Intervalle, in denen die Ungleichung fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

In allen betrachteten Beispielen haben wir die gegebene Ungleichung in eine äquivalente Ungleichung der Form f (x) > 0 oder f (x)<0,где
In diesem Fall kann die Anzahl der Faktoren im Zähler und Nenner eines Bruchs beliebig sein. Dann wurden die Punkte a, b, c, e auf dem Zahlenstrahl markiert. und bestimmt die Vorzeichen des Ausdrucks f (x) auf den ausgewählten Intervallen. Wir haben festgestellt, dass ganz rechts in den ausgewählten Intervallen die Ungleichung f (x) > 0 erfüllt ist, und dann wechseln sich die Vorzeichen des Ausdrucks f (x) entlang der Intervalle ab (siehe Abb. 16a). Dieser Wechsel wird zweckmäßigerweise mit Hilfe einer Wellenkurve veranschaulicht, die von rechts nach links und von oben nach unten gezeichnet wird (Abb. 166). In den Intervallen, in denen diese Kurve (manchmal Vorzeichenkurve genannt) über der x-Achse liegt, ist die Ungleichung f (x) > 0 erfüllt; wo diese Kurve unterhalb der x-Achse liegt, ist die Ungleichung f (x)< 0.

Beispiel 5 Löse die Ungleichung

Lösung. Wir haben

(beide Teile der vorherigen Ungleichung wurden mit 6 multipliziert).
Um die Intervallmethode zu verwenden, markieren Sie die Punkte auf dem Zahlenstrahl (an diesen Stellen verschwindet der Zähler des auf der linken Seite der Ungleichung enthaltenen Bruchs) und Punkte (an diesen Stellen verschwindet der Nenner des angegebenen Bruchs). Normalerweise werden die Punkte schematisch markiert, wobei die Reihenfolge berücksichtigt wird, in der sie folgen (rechts, links) und nicht besonders auf die Skala geachtet wird. Es ist klar, dass Komplizierter stellt sich die Situation bei Zahlen dar. Die erste Schätzung zeigt, dass beide Zahlen etwas größer als 2,6 sind, woraus nicht geschlossen werden kann, welche der angegebenen Zahlen größer und welche kleiner ist. Angenommen (zufällig), dass Then
Es stellte sich die richtige Ungleichung heraus, was bedeutet, dass unsere Vermutung bestätigt wurde: tatsächlich
So,

Wir markieren die angegebenen 5 Punkte in der angegebenen Reihenfolge auf dem Zahlenstrahl (Abb. 17a). Ordnen Sie die Zeichen des Ausdrucks
auf den erhaltenen Intervallen: ganz rechts - ein + Zeichen, und dann wechseln sich die Zeichen ab (Abb. 176). Zeichnen wir eine Vorzeichenkurve und wählen (schraffiert) diejenigen Intervalle aus, auf denen die uns interessierende Ungleichung f (x) > 0 erfüllt ist (Abb. 17c). Schließlich berücksichtigen wir, dass es sich um eine nicht strenge Ungleichung f (x) > 0 handelt, uns also auch an den Stellen interessiert, an denen der Ausdruck f (x) verschwindet. Dies sind die Wurzeln des Zählers des Bruchs f (x), d.h. Punkte wir markieren sie in Abb. 17 in dunklen Kreisen (und natürlich in die Antwort aufnehmen). Hier ist jetzt das Bild. 17c gibt ein vollständiges geometrisches Modell für Lösungen der gegebenen Ungleichung.

Vorabinformationen

Bestimmung 1

Eine Ungleichung der Form $f(x) >(≥)g(x)$, bei der $f(x)$ und $g(x)$ ganzzahlige rationale Ausdrücke sind, heißt ganzzahlige rationale Ungleichung.

Beispiele für ganzzahlige rationale Ungleichungen sind lineare, quadratische, kubische Ungleichungen mit zwei Variablen.

Bestimmung 2

Der Wert $x$, für den die Ungleichung aus der Definition von $1$ erfüllt ist, heißt Wurzel der Gleichung.

Ein Beispiel zur Lösung solcher Ungleichungen:

Beispiel 1

Lösen Sie die ganzzahlige Ungleichung $4x+3 >38-x$.

Lösung.

Vereinfachen wir diese Ungleichung:

Wir haben eine lineare Ungleichung. Lassen Sie uns seine Lösung finden:

Antwort: $(7,∞)$.

In diesem Artikel werden wir die folgenden Methoden zum Lösen ganzer rationaler Ungleichungen betrachten.

Factoring-Methode

Diese Methode sieht wie folgt aus: Eine Gleichung der Form $f(x)=g(x)$ wird geschrieben. Diese Gleichung wird auf die Form $φ(x)=0$ reduziert (wobei $φ(x)=f(x)-g(x)$). Dann wird die Funktion $φ(x)$ mit möglichst kleinen Potenzen faktorisiert. Es gilt die Regel: Das Produkt von Polynomen ist Null, wenn eines von ihnen Null ist. Weiterhin werden die gefundenen Wurzeln auf dem Zahlenstrahl markiert und eine Vorzeichenkurve konstruiert. Je nach Vorzeichen der Anfangsungleichung wird die Antwort geschrieben.

Hier sind Beispiele für Lösungen auf diese Weise:

Beispiel 2

Lösung durch Factoring. $y^2-9

Lösung.

Lösen Sie die Gleichung $y^2-9

Unter Verwendung der Differenz-der-Quadrate-Formel haben wir

Unter Anwendung der Nullgleichheitsregel des Faktorprodukts erhalten wir die folgenden Wurzeln: $3$ und $-3$.

Lassen Sie uns eine Vorzeichenkurve zeichnen:

Da das Vorzeichen in der anfänglichen Ungleichung „kleiner als“ ist, erhalten wir

Antworten: $(-3,3)$.

Beispiel 3

Lösung durch Factoring.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Lösung.

Lösen wir die folgende Gleichung:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

In Klammern nehmen wir die Gemeinsamkeiten der ersten beiden Terme und der letzten beiden heraus

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

Nimm den gemeinsamen Faktor $(x^2+3)$ heraus

$(x^2+3)(x+2)=0$

Unter Anwendung der Nullgleichheitsregel des Faktorprodukts erhalten wir:

$x+2=0 \ und \ x^2+3=0$

$x=-2$ und "keine Wurzeln"

Lassen Sie uns eine Vorzeichenkurve zeichnen:

Da in der anfänglichen Ungleichung das Zeichen "größer als oder gleich" ist, erhalten wir

Antworten: $(-∞,-2]$.

Wie man eine neue Variable einführt

Diese Methode ist wie folgt: Eine Gleichung der Form $f(x)=g(x)$ wird geschrieben. Wir lösen es wie folgt: Wir führen eine solche neue Variable ein, um eine Gleichung zu erhalten, deren Lösung bereits bekannt ist. Wir lösen es anschließend und kehren zum Ersatz zurück. Daraus finden wir die Lösung der ersten Gleichung. Weiterhin werden die gefundenen Wurzeln auf dem Zahlenstrahl markiert und eine Vorzeichenkurve konstruiert. Je nach Vorzeichen der Anfangsungleichung wird die Antwort geschrieben.

Wir geben ein Beispiel für die Anwendung dieser Methode am Beispiel einer Ungleichung vierten Grades:

Beispiel 4

Lösen wir die Ungleichung.

$x^4+4x^2-21 >0$

Lösung.

Lösen wir die Gleichung:

Nehmen wir die folgende Ersetzung vor:

Sei $x^2=u (wobei \ u >0)$, wir erhalten:

Wir lösen dieses System mit der Diskriminante:

$D=16+84=100=10^2$

Die Gleichung hat zwei Wurzeln:

$x=\frac(-4-10)(2)=-7$ und $x=\frac(-4+10)(2)=3$

Zurück zum Ersatz:

$x^2=-7$ und $x^2=3$

Die erste Gleichung hat keine Lösungen, und ab der zweiten $x=\sqrt(3)$ und $x=-\sqrt(3)$

Lassen Sie uns eine Vorzeichenkurve zeichnen:

Seit dem „größer als“-Zeichen in der anfänglichen Ungleichung erhalten wir

Antworten:$(-∞,-\sqrt(3))∪(\sqrt(3),∞)$

Mit Hilfe dieser Lektion lernen Sie rationale Ungleichungen und ihre Systeme kennen. Das System der rationalen Ungleichungen wird mit Hilfe von äquivalenten Transformationen gelöst. Es wird die Definition der Äquivalenz betrachtet, die Methode, eine gebrochen-rationale Ungleichung durch eine quadratische zu ersetzen, und es wird auch verstanden, was der Unterschied zwischen einer Ungleichung und einer Gleichung ist und wie äquivalente Transformationen durchgeführt werden.

Algebra Klasse 9

Letzte Wiederholung des Algebrakurses der 9. Klasse

Rationale Ungleichheiten und ihre Systeme. Systeme rationaler Ungleichungen.

1.1 Abstrakt.

1. Äquivalente Transformationen rationaler Ungleichungen.

Sich entscheiden rationale Ungleichheit bedeutet, alle seine Lösungen zu finden. Anders als bei einer Gleichung gibt es beim Lösen einer Ungleichung in der Regel unendlich viele Lösungen. Unendlich viele Lösungen lassen sich nicht durch Substitution verifizieren. Daher ist es notwendig, die ursprüngliche Ungleichung so umzuformen, dass in jeder nächsten Zeile eine Ungleichung mit demselben Lösungssatz erhalten wird.

Rationale Ungleichheiten nur mit gelöst gleichwertig oder äquivalente Transformationen. Solche Transformationen verzerren die Lösungsmenge nicht.

Definition. Rationale Ungleichheiten genannt gleichwertig wenn die Mengen ihrer Lösungen gleich sind.

Zu benennen Gleichwertigkeit Zeichen verwenden

2. Lösung des Systems der Ungleichungen

Die erste und die zweite Ungleichung sind gebrochene rationale Ungleichungen. Die Methoden zu ihrer Lösung sind eine natürliche Fortsetzung der Methoden zur Lösung linearer und quadratischer Ungleichungen.

Lassen Sie uns die Zahlen auf der rechten Seite mit dem entgegengesetzten Vorzeichen nach links verschieben.

Als Ergebnis bleibt auf der rechten Seite 0. Diese Transformation ist äquivalent. Dies wird durch das Zeichen angezeigt

Lassen Sie uns die Aktionen ausführen, die die Algebra vorschreibt. Subtrahiere „1“ von der ersten Ungleichung und „2“ von der zweiten.

3. Lösen der Ungleichung nach der Intervallmethode

1) Lassen Sie uns eine Funktion einführen. Wir müssen wissen, wann diese Funktion kleiner als 0 ist.

2) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion: Der Nenner sollte nicht 0 sein. "2" ist der Unterbrechungspunkt. Für x=2 ist die Funktion unbestimmt.

3) Finden Sie die Nullstellen der Funktion. Die Funktion ist 0, wenn der Zähler 0 ist.

Die Sollwerte unterteilen die Zahlenachse in drei Intervalle – das sind Intervalle der Konstanz. Bei jedem Intervall behält die Funktion ihr Vorzeichen. Lassen Sie uns das Vorzeichen des ersten Intervalls bestimmen. Ersetzen Sie einen Wert. Zum Beispiel 100. Es ist klar, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner größer als 0 sind. Das bedeutet, dass der ganze Bruch positiv ist.

Lassen Sie uns die Vorzeichen auf den verbleibenden Intervallen bestimmen. Beim Durchgang durch den Punkt x=2 ändert nur der Nenner das Vorzeichen. Das bedeutet, dass der ganze Bruch das Vorzeichen ändert und negativ wird. Lassen Sie uns eine ähnliche Diskussion führen. Beim Durchgang durch den Punkt x=-3 ändert nur der Zähler das Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Bruch das Vorzeichen ändert und positiv wird.

Wir wählen ein der Ungleichungsbedingung entsprechendes Intervall. Schattiere sie und schreibe sie als Ungleichung

4. Lösen der Ungleichung mit einer quadratischen Ungleichung

Eine wichtige Tatsache.

Beim Vergleich mit 0 (bei strikter Ungleichheit) kann der Bruch durch das Produkt aus Zähler und Nenner ersetzt oder Zähler und Nenner vertauscht werden.

Denn alle drei Ungleichungen sind erfüllt, sofern u und v unterschiedliche Vorzeichen haben. Diese drei Ungleichungen sind äquivalent.

Wir nutzen diese Tatsache und ersetzen die gebrochen-rationale Ungleichung durch eine quadratische.

Lösen wir die quadratische Ungleichung.

Wir führen eine quadratische Funktion ein. Lassen Sie uns seine Wurzeln finden und eine Skizze seines Diagramms erstellen.

Die Äste der Parabel sind also oben. Innerhalb des Wurzelintervalls behält die Funktion das Vorzeichen bei. Sie ist negativ.

Außerhalb des Nullstellenintervalls ist die Funktion positiv.

Lösung der ersten Ungleichung:

5. Lösung der Ungleichung

Lassen Sie uns eine Funktion einführen:

Lassen Sie uns seine Konstanzintervalle finden:

Dazu finden wir die Nullstellen und Unstetigkeitspunkte des Definitionsbereichs der Funktion. Wir schneiden immer Breakpoints heraus. (x \u003d 3/2) Wir schneiden die Wurzeln abhängig vom Ungleichheitszeichen aus. Unsere Ungleichheit ist streng. Deshalb schneiden wir die Wurzel aus.

Setzen wir die Zeichen:

Schreiben wir die Lösung:

Lassen Sie uns die Lösung des Systems beenden. Lassen Sie uns den Schnittpunkt der Lösungsmenge der ersten Ungleichung und der Lösungsmenge der zweiten Ungleichung finden.

Ein Ungleichungssystem zu lösen bedeutet, den Schnittpunkt der Lösungsmenge der ersten Ungleichung und der Lösungsmenge der zweiten Ungleichung zu finden. Nachdem die erste und die zweite Ungleichung getrennt gelöst wurden, ist es daher notwendig, die erhaltenen Ergebnisse in ein System zu schreiben.

Lassen Sie uns die Lösung der ersten Ungleichung über der x-Achse darstellen.

Rationale Ungleichheiten und ihre Systeme. Systeme rationaler Ungleichungen
Letzte Wiederholung des Algebrakurses der 9. Klasse

Mit Hilfe dieser Lektion lernen Sie rationale Ungleichungen und ihre Systeme kennen. Das System der rationalen Ungleichungen wird mit Hilfe von äquivalenten Transformationen gelöst. Es wird die Definition der Äquivalenz betrachtet, die Methode, eine gebrochen-rationale Ungleichung durch eine quadratische zu ersetzen, und es wird auch verstanden, was der Unterschied zwischen einer Ungleichung und einer Gleichung ist und wie äquivalente Transformationen durchgeführt werden.

Algebra Klasse 9

Letzte Wiederholung des Algebrakurses der 9. Klasse

Rationale Ungleichheiten und ihre Systeme. Systeme rationaler Ungleichungen.

1.1 Abstrakt.

1. Äquivalente Transformationen rationaler Ungleichungen.

Sich entscheiden rationale Ungleichheit bedeutet, alle seine Lösungen zu finden. Anders als bei einer Gleichung gibt es beim Lösen einer Ungleichung in der Regel unendlich viele Lösungen. Unendlich viele Lösungen lassen sich nicht durch Substitution verifizieren. Daher ist es notwendig, die ursprüngliche Ungleichung so umzuformen, dass in jeder nächsten Zeile eine Ungleichung mit demselben Lösungssatz erhalten wird.

Rationale Ungleichheiten nur mit gelöst gleichwertig oder äquivalente Transformationen. Solche Transformationen verzerren die Lösungsmenge nicht.

Definition. Rationale Ungleichheiten genannt gleichwertig wenn die Mengen ihrer Lösungen gleich sind.

Zu benennen Gleichwertigkeit Zeichen verwenden

2. Lösung des Systems der Ungleichungen

Die erste und die zweite Ungleichung sind gebrochene rationale Ungleichungen. Die Methoden zu ihrer Lösung sind eine natürliche Fortsetzung der Methoden zur Lösung linearer und quadratischer Ungleichungen.

Lassen Sie uns die Zahlen auf der rechten Seite mit dem entgegengesetzten Vorzeichen nach links verschieben.

Als Ergebnis bleibt auf der rechten Seite 0. Diese Transformation ist äquivalent. Dies wird durch das Zeichen angezeigt

Lassen Sie uns die Aktionen ausführen, die die Algebra vorschreibt. Subtrahiere „1“ von der ersten Ungleichung und „2“ von der zweiten.

3. Lösen der Ungleichung nach der Intervallmethode

1) Lassen Sie uns eine Funktion einführen. Wir müssen wissen, wann diese Funktion kleiner als 0 ist.

2) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion: Der Nenner sollte nicht 0 sein. "2" ist der Unterbrechungspunkt. Für x=2 ist die Funktion unbestimmt.

3) Finden Sie die Nullstellen der Funktion. Die Funktion ist 0, wenn der Zähler 0 ist.

Die Sollwerte unterteilen die Zahlenachse in drei Intervalle – das sind Intervalle der Konstanz. Bei jedem Intervall behält die Funktion ihr Vorzeichen. Lassen Sie uns das Vorzeichen des ersten Intervalls bestimmen. Ersetzen Sie einen Wert. Zum Beispiel 100. Es ist klar, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner größer als 0 sind. Das bedeutet, dass der ganze Bruch positiv ist.

Lassen Sie uns die Vorzeichen auf den verbleibenden Intervallen bestimmen. Beim Durchgang durch den Punkt x=2 ändert nur der Nenner das Vorzeichen. Das bedeutet, dass der ganze Bruch das Vorzeichen ändert und negativ wird. Lassen Sie uns eine ähnliche Diskussion führen. Beim Durchgang durch den Punkt x=-3 ändert nur der Zähler das Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Bruch das Vorzeichen ändert und positiv wird.

Wir wählen ein der Ungleichungsbedingung entsprechendes Intervall. Schattiere sie und schreibe sie als Ungleichung

4. Lösen der Ungleichung mit einer quadratischen Ungleichung

Eine wichtige Tatsache.

Beim Vergleich mit 0 (bei strikter Ungleichheit) kann der Bruch durch das Produkt aus Zähler und Nenner ersetzt oder Zähler und Nenner vertauscht werden.

Denn alle drei Ungleichungen sind erfüllt, sofern u und v unterschiedliche Vorzeichen haben. Diese drei Ungleichungen sind äquivalent.

Wir nutzen diese Tatsache und ersetzen die gebrochen-rationale Ungleichung durch eine quadratische.

Lösen wir die quadratische Ungleichung.

Wir führen eine quadratische Funktion ein. Lassen Sie uns seine Wurzeln finden und eine Skizze seines Diagramms erstellen.

Die Äste der Parabel sind also oben. Innerhalb des Wurzelintervalls behält die Funktion das Vorzeichen bei. Sie ist negativ.

Außerhalb des Nullstellenintervalls ist die Funktion positiv.

Lösung der ersten Ungleichung:

5. Lösung der Ungleichung

Lassen Sie uns eine Funktion einführen:

Lassen Sie uns seine Konstanzintervalle finden:

Dazu finden wir die Nullstellen und Unstetigkeitspunkte des Definitionsbereichs der Funktion. Wir schneiden immer Breakpoints heraus. (x \u003d 3/2) Wir schneiden die Wurzeln abhängig vom Ungleichheitszeichen aus. Unsere Ungleichheit ist streng. Deshalb schneiden wir die Wurzel aus.

Setzen wir die Zeichen:

Schreiben wir die Lösung:

Lassen Sie uns die Lösung des Systems beenden. Lassen Sie uns den Schnittpunkt der Lösungsmenge der ersten Ungleichung und der Lösungsmenge der zweiten Ungleichung finden.

Ein Ungleichungssystem zu lösen bedeutet, den Schnittpunkt der Lösungsmenge der ersten Ungleichung und der Lösungsmenge der zweiten Ungleichung zu finden. Nachdem die erste und die zweite Ungleichung getrennt gelöst wurden, ist es daher notwendig, die erhaltenen Ergebnisse in ein System zu schreiben.

Lassen Sie uns die Lösung der ersten Ungleichung über der x-Achse darstellen.

Lassen Sie uns die Lösung der zweiten Ungleichung unter der Achse darstellen.

Abstandsmethode- Dies ist ein universeller Weg, um fast alle Ungleichungen zu lösen, die in einem Schulalgebrakurs auftreten. Es basiert auf den folgenden Eigenschaften von Funktionen:

1. Die stetige Funktion g(x) kann nur dort das Vorzeichen wechseln, wo sie gleich 0 ist. Grafisch bedeutet dies, dass sich der Graph einer stetigen Funktion nur dann von einer Halbebene in eine andere bewegen kann, wenn er die x- Achse (wir erinnern uns, dass die Ordinate jedes Punktes, der auf der OX-Achse (Abszissenachse) liegt, gleich Null ist, das heißt, der Wert der Funktion an diesem Punkt ist 0):

Wir sehen, dass die in der Grafik dargestellte Funktion y=g(x) die OX-Achse an den Punkten x= -8, x=-2, x=4, x=8 schneidet. Diese Punkte werden Nullstellen der Funktion genannt. Und an denselben Stellen wechselt die Funktion g(x) das Vorzeichen.

2. Die Funktion kann auch das Vorzeichen an Nullen des Nenners ändern – das einfachste Beispiel einer bekannten Funktion:

Wir sehen, dass die Funktion an der Wurzel des Nenners an der Stelle das Vorzeichen wechselt, aber an keiner Stelle verschwindet. Wenn die Funktion also einen Bruch enthält, kann sie das Vorzeichen in den Wurzeln des Nenners ändern.

2. Die Funktion ändert jedoch nicht immer das Vorzeichen an der Wurzel des Zählers oder an der Wurzel des Nenners. Beispielsweise ändert die Funktion y=x 2 an der Stelle x=0 nicht das Vorzeichen:

Da die Gleichung x 2 \u003d 0 hat zwei gleiche Wurzeln x \u003d 0, am Punkt x \u003d 0 wird die Funktion sozusagen zweimal zu 0. Eine solche Wurzel wird Wurzel der zweiten Multiplizität genannt.

Funktion ändert das Vorzeichen bei Null des Zählers, ändert aber nicht das Vorzeichen bei Null des Nenners: , da die Wurzel die Wurzel der zweiten Multiplizität ist, dh der geraden Multiplizität:

Wichtig! Bei Wurzeln mit gerader Multiplizität ändert die Funktion nicht das Vorzeichen.

Beachten Sie! Irgendein nichtlinear Die Ungleichung des Schulkurses Algebra wird in der Regel mit der Methode der Intervalle gelöst.

Ich biete Ihnen eine ausführliche Anleitung, anhand derer Sie Fehler vermeiden können Lösen nichtlinearer Ungleichungen.

1. Zuerst müssen Sie die Ungleichung in die Form bringen

P(x)V0,

wobei V das Ungleichheitszeichen ist:<,>, ≤ oder ≥. Dazu benötigen Sie:

a) bewege alle Terme auf die linke Seite der Ungleichung,

b) Finden Sie die Wurzeln des resultierenden Ausdrucks,

c) Faktorisiere die linke Seite der Ungleichung

d) Schreiben Sie die gleichen Faktoren als Abschluss.

Aufmerksamkeit! Die letzte Aktion muss ausgeführt werden, um keinen Fehler mit der Multiplizität der Wurzeln zu machen - wenn das Ergebnis ein Multiplikator in geradem Grad ist, dann hat die entsprechende Wurzel eine gerade Multiplizität.

2. Trage die gefundenen Wurzeln auf den Zahlenstrahl ein.

3. Wenn die Ungleichung streng ist, werden die Kreise, die die Wurzeln auf der Zahlenachse bezeichnen, "leer" gelassen, wenn die Ungleichung nicht streng ist, werden die Kreise übermalt.

4. Wir wählen die Wurzeln der gleichmäßigen Vielfalt - in ihnen P(x) das Vorzeichen ändert sich nicht.

5. Bestimmen Sie das Vorzeichen P(x) auf der rechten Seite der Lücke. Nehmen Sie dazu einen beliebigen Wert x 0, der größer als die größte Wurzel ist, und setzen Sie ihn ein P(x).

Wenn P(x 0) > 0 (oder ≥ 0), dann setzen wir in das Intervall ganz rechts das „+“-Zeichen.

Wenn P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Beim Durchgang durch einen Punkt, der eine Wurzel mit gerader Vielfachheit bezeichnet, ändert sich das Vorzeichen NICHT.

7. Noch einmal schauen wir uns das Vorzeichen der ursprünglichen Ungleichung an und wählen die Intervalle des Vorzeichens aus, die wir brauchen.

8. Achtung! Wenn unsere Ungleichung NICHT STRIKT ist, prüfen wir die Gleichheitsbedingung separat auf Null.

9. Schreiben Sie die Antwort auf.

Wenn das Original die Ungleichung enthält eine Unbekannte im Nenner, dann übertragen wir auch alle Terme nach links und reduzieren die linke Seite der Ungleichung auf die Form

(wobei V das Ungleichheitszeichen ist:< или >)

Eine solche strenge Ungleichung ist der Ungleichung äquivalent

Nicht streng eine Ungleichheit der Form

ist gleichbedeutend mit System:

In der Praxis, wenn die Funktion die Form hat, gehen wir wie folgt vor:

1. Finde die Wurzeln von Zähler und Nenner.
2. Wir setzen sie auf die Achse. Alle Kreise bleiben leer. Dann, wenn die Ungleichung nicht streng ist, übermalen wir die Wurzeln des Zählers und lassen die Wurzeln des Nenners immer leer.
3. Als nächstes folgen wir dem allgemeinen Algorithmus:
4. Wir wählen die Wurzeln gerader Vielfachheit aus (wenn Zähler und Nenner dieselben Wurzeln enthalten, dann zählen wir, wie oft dieselben Wurzeln vorkommen). Es gibt keinen Vorzeichenwechsel in Wurzeln mit gerader Multiplizität.
5. Wir finden das Zeichen ganz rechts heraus.
6. Wir haben Schilder aufgestellt.
7. Bei einer nichtstrikten Ungleichheit wird die Gleichheitsbedingung, die Gleichheitsbedingung zu Null, separat geprüft.
8. Wir wählen die notwendigen Intervalle und separat stehende Wurzeln.
9. Wir schreiben die Antwort auf.

Um besser zu verstehen Algorithmus zum Lösen von Ungleichungen nach der Intervallmethode, sehen Sie sich die VIDEO-LEKTION an, in der das Beispiel im Detail analysiert wird Lösung der Ungleichung mit der Methode der Intervalle.