Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen, die durch die Koordinaten der Punkte gegeben sind. So finden Sie den Winkel zwischen zwei Ebenen

Satz

Der Winkel zwischen den Ebenen hängt nicht von der Wahl der Schnittebene ab.

Nachweisen.

Es gebe zwei Ebenen α und β, die sich entlang der Linie c schneiden. Zeichnen Sie die Ebene γ senkrecht zur Linie c. Dann schneidet die Ebene γ die Ebenen α und β entlang der Linien a bzw. b. Der Winkel zwischen den Ebenen α und β ist gleich dem Winkel zwischen den Linien a und b.
Nimm eine andere Schnittebene γ`, senkrecht zu c. Dann schneidet die Ebene γ' die Ebenen α und β jeweils entlang der Linien a' und b'.
Bei paralleler Verschiebung geht der Schnittpunkt der Ebene γ mit der Linie c zum Schnittpunkt der Ebene γ` mit der Linie c. In diesem Fall geht die Linie a aufgrund der Eigenschaft der Parallelverschiebung zur Linie a`, b - zur Linie b`. daher sind die Winkel zwischen den Linien a und b, a` und b` gleich. Der Satz ist bewiesen.

In diesem Artikel geht es um den Winkel zwischen Ebenen und wie man ihn findet. Zunächst wird die Definition des Winkels zwischen zwei Ebenen gegeben und eine grafische Darstellung gegeben. Danach wurde das Prinzip der Bestimmung des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen durch die Koordinatenmethode analysiert, eine Formel wurde erhalten, die es ermöglicht, den Winkel zwischen sich schneidenden Ebenen unter Verwendung der bekannten Koordinaten der Normalenvektoren dieser Ebenen zu berechnen. Abschließend werden detaillierte Lösungen typischer Probleme aufgezeigt.

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Winkel zwischen Ebenen - Definition.

Bei der Präsentation des Materials verwenden wir die Definitionen und Konzepte aus den Artikeln Ebene im Raum und Gerade im Raum.

Lassen Sie uns Argumente anführen, die es uns ermöglichen, uns allmählich der Definition des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen zu nähern.

Gegeben seien zwei sich schneidende Ebenen und . Diese Ebenen schneiden sich in einer geraden Linie, die wir mit dem Buchstaben bezeichnen c. Konstruieren Sie eine Ebene, die durch den Punkt geht M gerade c und senkrecht zur Linie c. In diesem Fall schneidet die Ebene die Ebenen und . Wir bezeichnen die Linie, entlang der sich die Ebenen schneiden, und als a, sondern die gerade Linie, entlang der sich die Ebenen schneiden und wie b. Offensichtlich direkt. a und b in einem Punkt schneiden M.

Es ist leicht zu zeigen, dass der Winkel zwischen sich schneidenden Linien a und b hängt nicht von der Lage des Punktes ab M auf einer geraden Linie c durch die das Flugzeug fliegt.

Konstruieren Sie eine Ebene senkrecht zur Linie c und anders als das Flugzeug. Die Ebene wird von Ebenen und entlang gerader Linien geschnitten, die wir bezeichnen eine 1 und b 1 beziehungsweise.

Aus der Methode der Konstruktion von Ebenen folgt, dass die Linien a und b senkrecht zur Linie c, und direkt eine 1 und b 1 senkrecht zur Linie c. Da gerade a und eine 1 c, dann sind sie parallel. Ebenso gerade b und b 1 liegen in der gleichen Ebene und stehen senkrecht zur Linie c sie sind also parallel. Somit ist es möglich, eine parallele Übertragung der Ebene zu der Ebene durchzuführen, in der die Gerade liegt eine 1 stimmt mit der Linie überein a, und die Gerade b mit gerader Linie b 1. Also der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden eine 1 und b 1 gleich dem Winkel zwischen sich schneidenden Linien a und b.

Dies beweist, dass der Winkel zwischen sich schneidenden Linien a und b in sich schneidenden Ebenen liegen und nicht von der Wahl des Punktes abhängen M durch die das Flugzeug fliegt. Daher ist es logisch, diesen Winkel als den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen zu nehmen.

Jetzt können Sie die Definition des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen und aussprechen.

Definition.

Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden c Flugzeuge u ist der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden a und b, entlang der sich die Ebenen und mit der Ebene senkrecht zur Linie schneiden c.

Die Definition des Winkels zwischen zwei Ebenen kann etwas anders angegeben werden. Wenn auf einer geraden Linie Mit, entlang der sich die Ebenen und schneiden, markieren Sie einen Punkt M und zeichne gerade Linien hindurch a und b, senkrecht zur Linie c und liegen in den Ebenen bzw. dann der Winkel zwischen den Linien a und b ist der Winkel zwischen den Ebenen und . Üblicherweise werden solche Konstruktionen in der Praxis durchgeführt, um den Winkel zwischen den Ebenen zu erhalten.

Da der Winkel zwischen den sich schneidenden Linien nicht größer ist, folgt aus der stimmhaften Definition, dass das Gradmaß des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen durch eine reelle Zahl aus dem Intervall ausgedrückt wird. In diesem Fall werden sich schneidende Ebenen genannt aufrecht wenn der Winkel zwischen ihnen neunzig Grad beträgt. Der Winkel zwischen parallelen Ebenen wird entweder überhaupt nicht bestimmt oder als gleich Null angesehen.

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Ermitteln des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen.

Wenn Sie den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen finden, müssen Sie normalerweise zuerst zusätzliche Konstruktionen durchführen, um die sich schneidenden Linien zu sehen, deren Winkel gleich dem gewünschten Winkel ist, und dann diesen Winkel mit den ursprünglichen Daten unter Verwendung von Gleichheitszeichen verbinden. Ähnlichkeitszeichen, der Kosinussatz oder die Definitionen von Sinus, Kosinus und Winkeltangens. Im Geometriekurs des Gymnasiums gibt es ähnliche Probleme.

Geben wir zum Beispiel eine Lösung zur Aufgabe C2 aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik für 2012 (die Bedingung wird bewusst geändert, aber das Prinzip der Lösung wird dadurch nicht berührt). Darin musste nur der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen gefunden werden.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, indem AB=3, AD=2, AA 1 = 7 und Punkt E teilt die Seite A.A. 1 gegenüber 4 zu 3 , von Punkt zu Punkt gezählt ABER ABC und BETT 1.

Zuerst machen wir eine Zeichnung.

Lassen Sie uns zusätzliche Konstruktionen durchführen, um den Winkel zwischen den Ebenen zu "sehen".

Zuerst definieren wir eine gerade Linie, entlang der sich die Ebenen schneiden ABC und Bett 1. Punkt BEI ist einer ihrer gemeinsamen Punkte. Finde den zweiten gemeinsamen Punkt dieser Ebenen. Direkte DA und D1E in der gleichen Ebene liegen HINZUFÜGEN 1, und sie sind nicht parallel und schneiden sich daher. Andererseits geradeaus DA liegt im Flugzeug ABC, und die Gerade D1E- im Flugzeug Bett 1, also der Schnittpunkt der Geraden DA und D1E wird ein gemeinsamer Punkt der Flugzeuge sein ABC und Bett 1. Machen wir also direkt weiter DA und D1E bevor sie sich schneiden, bezeichnen wir den Punkt ihres Schnittpunkts mit dem Buchstaben F. Dann bf- eine Linie, entlang der sich die Ebenen schneiden ABC und Bett 1.

Es bleiben noch zwei in Ebenen liegende Geraden zu konstruieren ABC und Bett 1 jeweils durch einen Punkt auf der Linie bf und senkrecht zur Linie bf, - Der Winkel zwischen diesen Linien ist per Definition gleich dem gewünschten Winkel zwischen den Ebenen ABC und Bett 1. Machen wir das.

Punkt ABER ist die Projektion des Punktes E zum Flugzeug ABC. Zeichne eine Linie, die die Linie im rechten Winkel schneidet BF am Punkt M. Dann die Linie BIN ist eine Projektion einer Geraden ESSEN zum Flugzeug ABC, und durch den Satz der drei Senkrechten.

So entsteht der gewünschte Winkel zwischen den Ebenen ABC und Bett 1 ist gleich .

Den Sinus, Cosinus oder Tangens dieses Winkels (und damit den Winkel selbst) können wir aus einem rechtwinkligen Dreieck bestimmen AEM wenn wir die Längen seiner beiden Seiten kennen. Aus dem Zustand lässt sich leicht die Länge ermitteln AE: seit Punkt E teilt die Seite A.A. 1 gegenüber 4 zu 3 , von Punkt zu Punkt gezählt ABER, und die Seitenlänge A.A. 1 ist gleich 7 , dann AE=4. Lassen Sie uns eine andere Länge finden BIN.

Betrachten Sie dazu ein rechtwinkliges Dreieck ABF rechter Winkel ABER, wo BIN ist die Höhe. Nach Zustand AB=2. Seitenlänge AF können wir aus der Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken finden DD1F und AEF:

Nach dem Satz des Pythagoras aus einem Dreieck ABF finden . Länge BIN finde durch die Fläche eines Dreiecks ABF: auf einer Seite die Fläche eines Dreiecks ABF ist andererseits gleich, woher.

Also aus einem rechtwinkligen Dreieck AEM wir haben .

Dann den gewünschten Winkel zwischen den Ebenen ABC und Bett 1 gleich (beachten Sie, dass ).

Um den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen zu ermitteln, ist es in manchen Fällen zweckmäßig, ein rechtwinkliges Koordinatensystem festzulegen Oxyz und verwende die Koordinatenmethode. Lassen Sie uns damit aufhören.

Stellen wir die Aufgabe: Finden Sie den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen und . Lassen Sie uns den gewünschten Winkel als bezeichnen.

Wir nehmen dies in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem an Oxyz wir kennen die Koordinaten der Normalenvektoren der sich schneidenden Ebenen und/oder haben die Möglichkeit, sie zu finden. Sei ein Normalenvektor der Ebene und sei ein Normalenvektor der Ebene. Lassen Sie uns zeigen, wie man den Winkel zwischen sich schneidenden Ebenen und durch die Koordinaten der Normalenvektoren dieser Ebenen findet.

Lassen Sie uns die Linie bezeichnen, entlang der sich die Ebenen schneiden, und als c. Durch den Punkt M auf einer geraden Linie c Zeichnen Sie eine Ebene senkrecht zur Linie c. Die Ebene schneidet Ebenen und entlang gerader Linien a und b jeweils direkt a und b in einem Punkt schneiden M. Per Definition ist der Winkel zwischen sich schneidenden Ebenen gleich dem Winkel zwischen sich schneidenden Linien a und b.

Von dem Punkt beiseite legen M in der Ebene sind die Normalenvektoren und der Ebenen und . Der Vektor liegt auf einer Linie, die senkrecht zur Linie steht a, und der Vektor liegt auf einer Linie, die senkrecht zur Linie steht b. In der Ebene ist also der Vektor der Normalenvektor der Geraden a, - normaler Linienvektor b.

Im Artikel Den Winkel zwischen sich schneidenden Linien finden haben wir eine Formel erhalten, mit der Sie den Kosinus des Winkels zwischen sich schneidenden Linien mithilfe der Koordinaten von Normalenvektoren berechnen können. Also der Kosinus des Winkels zwischen den Linien a und b, und folglich Kosinus des Winkels zwischen sich schneidenden Ebenen und wird durch die Formel gefunden, wobei und die Normalenvektoren der Ebenen bzw. sind. Dann Winkel zwischen sich schneidenden Ebenen wird berechnet als .

Lösen wir das vorherige Beispiel mit der Koordinatenmethode.

Gegeben sei ein rechteckiges Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, indem AB=3, AD=2, AA 1 = 7 und Punkt E teilt die Seite A.A. 1 gegenüber 4 zu 3 , von Punkt zu Punkt gezählt ABER. Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen ABC und BETT 1.

Da die Seiten eines rechteckigen Parallelepipeds an einer Ecke paarweise senkrecht stehen, ist es zweckmäßig, ein rechteckiges Koordinatensystem einzuführen Oxyz so: Beginnen Sie mit der Kombination mit dem Oberteil AUS, und die Koordinatenachsen Ochse, Ey und Unze herumschicken CD, CB und KK 1 beziehungsweise.

Winkel zwischen Ebenen ABC und Bett 1 kann durch die Koordinaten der Normalenvektoren dieser Ebenen durch die Formel gefunden werden, wobei und die Normalenvektoren der Ebenen sind ABC und Bett 1 beziehungsweise. Lassen Sie uns die Koordinaten von Normalenvektoren bestimmen.

Seit dem Flugzeug ABC fällt mit der Koordinatenebene zusammen Oxy, dann ist sein Normalenvektor der Koordinatenvektor , also .

Als normaler Ebenenvektor Bett 1 wir können das Kreuzprodukt von Vektoren nehmen und wiederum die Koordinaten der Vektoren und können durch die Koordinaten der Punkte gefunden werden BEI, E und D1(die im Artikel die Koordinaten des Vektors durch die Koordinaten der Punkte seines Anfangs und Endes geschrieben sind) und die Koordinaten der Punkte BEI, E und D1 im eingeführten Koordinatensystem bestimmen wir aus der Bedingung des Problems.

Offensichtlich, . Denn , dann finden wir durch die Koordinaten der Punkte (ggf. siehe Artikel Aufteilung eines Segments in einem bestimmten Verhältnis). Dann sind und Oxyz Gleichungen und .

Als wir die allgemeine Gleichung einer geraden Linie studierten, fanden wir heraus, dass die Koeffizienten ABER, BEI und AUS sind die entsprechenden Koordinaten des Normalenvektors der Ebene. Somit sind und die Normalenvektoren der Ebenen bzw.

Wir setzen die Koordinaten der Normalenvektoren der Ebenen in die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen ein:

Dann . Da der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen nicht stumpf ist, finden wir unter Verwendung der grundlegenden trigonometrischen Identität den Sinus des Winkels:.

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Winkel zwischen Ebenen - Definition.

Lassen Sie uns Argumente anführen, die es uns ermöglichen, uns allmählich der Definition des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen zu nähern.

Gegeben seien zwei sich schneidende Ebenen und . Diese Ebenen schneiden sich in einer geraden Linie, die wir mit dem Buchstaben c bezeichnen. Konstruieren wir eine Ebene, die durch den Punkt M der Linie c verläuft und senkrecht zur Linie c steht. In diesem Fall schneidet die Ebene die Ebenen und . Bezeichnen Sie die Linie, entlang der sich die Ebenen schneiden, und als a, und die Linie, entlang der sich die Ebenen schneiden, und als b. Offensichtlich schneiden sich die Geraden a und b im Punkt M.

Es ist leicht, das zu zeigen Winkel zwischen sich schneidenden Linien a und b hängen nicht von der Lage des Punktes M auf der Geraden c ab, durch die die Ebene geht.

Konstruieren wir eine Ebene senkrecht zur Linie c und verschieden von der Ebene . Die Ebene wird von den Ebenen und entlang geraden Linien geschnitten, die wir mit a 1 bzw. b 1 bezeichnen.

Aus dem Verfahren zum Konstruieren von Ebenen und folgt, dass die Linien a und b senkrecht zur Linie c sind und die Linien a 1 und b 1 senkrecht zur Linie c sind. Da die Linien a und a 1 in derselben Ebene liegen und senkrecht zur Linie c stehen, sind sie parallel. In ähnlicher Weise liegen die Linien b und b 1 in derselben Ebene und sind senkrecht zur Linie c, daher sind sie parallel. Somit ist es möglich, eine parallele Übertragung der Ebene zu der Ebene durchzuführen, in der die Linie a 1 mit der Linie a und die Linie b mit der Linie b 1 zusammenfällt. Daher ist der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien a 1 und b 1 gleich dem Winkel zwischen sich schneidenden Linien a und b .

Dies beweist, dass der Winkel zwischen den sich schneidenden Geraden a und b in den sich schneidenden Ebenen liegt und nicht von der Wahl des Punktes M abhängt, durch den die Ebene verläuft. Daher ist es logisch, diesen Winkel als den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen zu nehmen.

Jetzt können Sie die Definition des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen und aussprechen.

Definition.

Der Winkel zwischen zwei Ebenen, die sich in einer geraden Linie schneiden und ist der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien a und b, entlang denen die Ebenen und die Ebene senkrecht zur Linie c schneiden.

Die Definition des Winkels zwischen zwei Ebenen kann etwas anders angegeben werden. Wenn Sie auf der Linie c, entlang der sich die Ebenen schneiden, den Punkt M markieren und durch ihn Linien a und b ziehen, die senkrecht zur Linie c liegen und in den Ebenen liegen, und jeweils, dann ist der Winkel zwischen den Linien a und b der Winkel zwischen den Ebenen und. Üblicherweise werden solche Konstruktionen in der Praxis durchgeführt, um den Winkel zwischen den Ebenen zu erhalten.

Ermitteln des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen.

Beispiel.

Lösung.

Zuerst machen wir eine Zeichnung.

Lassen Sie uns zusätzliche Konstruktionen durchführen, um den Winkel zwischen den Ebenen zu "sehen".

Lassen Sie uns zunächst eine gerade Linie definieren, entlang der sich die Ebenen ABC und BED 1 schneiden. Punkt B ist einer ihrer gemeinsamen Punkte. Finde den zweiten gemeinsamen Punkt dieser Ebenen. Die Linien DA und D 1 E liegen in derselben Ebene ADD 1 und sind nicht parallel und schneiden sich daher. Andererseits liegt die Linie DA in der Ebene ABC und die Linie D 1 E liegt in der Ebene BED 1, daher wird der Schnittpunkt der Linien DA und D 1 E ein gemeinsamer Punkt der Ebenen ABC und sein BETT 1. Wir setzen also die Linien DA und D 1 E fort, bis sie sich schneiden, und bezeichnen den Schnittpunkt mit dem Buchstaben F. Dann ist BF die Gerade, entlang der sich die Ebenen ABC und BED 1 schneiden.

Es müssen noch zwei Linien konstruiert werden, die in den Ebenen ABC bzw. BED 1 liegen und durch einen Punkt auf der Linie BF verlaufen und senkrecht zur Linie BF verlaufen - der Winkel zwischen diesen Linien ist per Definition gleich dem gewünschten Winkel zwischen den Flugzeuge ABC und BETT 1 . Machen wir das.

Punkt A ist die Projektion des Punktes E auf die Ebene ABC. Zeichne eine Linie, die die Linie BF im Punkt M im rechten Winkel schneidet. Dann ist die Linie AM die Projektion der Linie EM auf die Ebene ABC, und nach dem Satz der drei Senkrechten.

Somit ist der gewünschte Winkel zwischen den Ebenen ABC und BETT 1 .

Wir können den Sinus, Cosinus oder Tangens dieses Winkels (und damit den Winkel selbst) aus einem rechtwinkligen Dreieck AEM bestimmen, wenn wir die Längen seiner beiden Seiten kennen. Aus der Bedingung lässt sich die Länge AE leicht ermitteln: Da Punkt E die Seite AA 1 in Bezug auf 4 bis 3 teilt, gezählt von Punkt A, und die Länge der Seite AA 1 7 beträgt, ist AE \u003d 4. Lassen Sie uns die Länge von AM finden.

Betrachten Sie dazu ein rechtwinkliges Dreieck ABF mit dem rechten Winkel A, wobei AM die Höhe ist. Durch Bedingung AB=2. Wir können die Länge der Seite AF aus der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke DD 1 F und AEF finden:

Nach dem Satz des Pythagoras finden wir aus dem Dreieck ABF . Wir finden die Länge AM durch die Fläche des Dreiecks ABF: Auf der einen Seite ist die Fläche des Dreiecks ABF gleich , andererseits , wo .

Somit haben wir aus dem rechtwinkligen Dreieck AEM .

Dann ist der gewünschte Winkel zwischen den Ebenen ABC und BETT 1 (beachte das ).

Antworten:

In einigen Fällen ist es zum Ermitteln des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen praktisch, Oxyz anzugeben und die Koordinatenmethode zu verwenden. Lassen Sie uns damit aufhören.

Stellen wir die Aufgabe: Finden Sie den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen und . Lassen Sie uns den gewünschten Winkel als bezeichnen.

Wir nehmen an, dass wir in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz die Koordinaten der Normalenvektoren der sich schneidenden Ebenen kennen und/oder es möglich ist, sie zu finden. Lassen - ebener normaler Vektor, a ist der Normalenvektor der Ebene . Lassen Sie uns zeigen, wie man den Winkel zwischen sich schneidenden Ebenen und durch die Koordinaten der Normalenvektoren dieser Ebenen findet.

Lassen Sie uns die Linie, entlang der sich die Ebenen schneiden, und als c bezeichnen. Durch den Punkt M auf der Linie c zeichnen wir eine Ebene senkrecht zur Linie c. Die Ebene schneidet die Ebenen und entlang der Linien a und b schneiden sich die Linien a und b im Punkt M. Definitionsgemäß ist der Winkel zwischen sich schneidenden Ebenen und gleich dem Winkel zwischen sich schneidenden Linien a und b.

Lassen wir vom Punkt M in der Ebene die Normalenvektoren und der Ebenen und außer Acht. In diesem Fall liegt der Vektor auf einer Linie, die senkrecht zur Linie a steht, und der Vektor liegt auf einer Linie, die senkrecht zur Linie b steht. Also im Ebenenvektor - Normalvektor gerade a , ist der Normalenvektor der Linie b .

Im Artikel Ermitteln des Winkels zwischen sich schneidenden Linien Wir haben eine Formel erhalten, die es uns ermöglicht, den Kosinus des Winkels zwischen sich schneidenden Linien unter Verwendung der Koordinaten von Normalenvektoren zu berechnen. Also der Kosinus des Winkels zwischen den Linien a und b und folglich und Kosinus des Winkels zwischen sich schneidenden Ebenen und wird durch die Formel gefunden, wo und sind die Normalenvektoren der Ebenen bzw. Dann wird es berechnet als .

Lösen wir das vorherige Beispiel mit der Koordinatenmethode.

Beispiel.

Gegeben ist ein rechteckiges Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, bei dem AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 und Punkt E die Seite AA 1 im Verhältnis 4 zu 3 teilt, gezählt von Punkt A . Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen ABC und BED 1.

Lösung.

Da die Seiten eines rechteckigen Parallelepipeds an einer Ecke paarweise senkrecht stehen, ist es zweckmäßig, ein rechteckiges Koordinatensystem Oxyz wie folgt einzuführen: Der Anfang ist mit der Ecke C ausgerichtet, und die Koordinatenachsen Ox, Oy und Oz sind entlang der Seiten gerichtet CD, CB bzw. CC 1.

Der Winkel zwischen den Ebenen ABC und BED 1 kann durch die Koordinaten der Normalenvektoren dieser Ebenen unter Verwendung der Formel ermittelt werden, wobei und die Normalenvektoren der Ebenen ABC bzw. BED 1 sind. Lassen Sie uns die Koordinaten von Normalenvektoren bestimmen.

\(\blacktriangleright\) Ein Flächenwinkel ist der Winkel, der von zwei Halbebenen und der Geraden \(a\) , die ihre gemeinsame Grenze ist, gebildet wird.

\(\blacktriangleright\) Um den Winkel zwischen den Ebenen \(\xi\) und \(\pi\) zu finden, musst du den linearen Winkel finden würzig oder gerade) des von den Ebenen \(\xi\) und \(\pi\) gebildeten Flächenwinkels:

Schritt 1: Sei \(\xi\cap\pi=a\) (die Schnittlinie der Ebenen). In der Ebene \(\xi\) markieren wir einen beliebigen Punkt \(F\) und zeichnen \(FA\perp a\) ;

Schritt 2: zeichne \(FG\perp \pi\) ;

Schritt 3: Gemäß TTP (\(FG\) - senkrecht, \(FA\) - schräg, \(AG\) - Projektion) haben wir: \(AG\perp a\) ;

Schritt 4: Der Winkel \(\angle FAG\) wird linearer Winkel des Flächenwinkels genannt, der von den Ebenen \(\xi\) und \(\pi\) gebildet wird.

Beachten Sie, dass das Dreieck \(AG\) ein rechtwinkliges Dreieck ist.
Beachten Sie auch, dass die so konstruierte Ebene \(AFG\) senkrecht zu den beiden Ebenen \(\xi\) und \(\pi\) steht. Daher kann man auch anders sagen: Winkel zwischen Ebenen\(\xi\) und \(\pi\) ist der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien \(c\in \xi\) und \(b\in\pi\) , die eine Ebene senkrecht zu \(\xi\ bilden ) und \(\pi\) .

Aufgabe 1 #2875

Aufgabenniveau: Schwieriger als die Prüfung

Gegeben ist eine viereckige Pyramide, deren Kanten alle gleich sind und deren Grundfläche ein Quadrat ist. Finden Sie \(6\cos \alpha\) , wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen den benachbarten Seitenflächen ist.

Sei \(SABCD\) eine gegebene Pyramide (\(S\) ist eine Ecke), deren Kanten gleich \(a\) sind. Daher sind alle Seitenflächen gleiche gleichseitige Dreiecke. Finde den Winkel zwischen den Flächen \(SAD\) und \(SCD\) .

Lassen Sie uns \(CH\perp SD\) zeichnen. Als \(\triangle SAD=\triangle SCD\), dann ist \(AH\) auch eine Höhe von \(\triangle SAD\) . Daher ist \(\angle AHC=\alpha\) per Definition der lineare Flächenwinkel zwischen den Flächen \(SAD\) und \(SCD\) .
Da die Basis ein Quadrat ist, ist \(AC=a\sqrt2\) . Beachten Sie auch, dass \(CH=AH\) die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite \(a\) ist, also \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Dann nach dem Kosinussatz aus \(\triangle AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Antwort: -2

Aufgabe 2 #2876

Aufgabenniveau: Schwieriger als die Prüfung

Die Ebenen \(\pi_1\) und \(\pi_2\) schneiden sich unter einem Winkel, dessen Kosinus gleich \(0,2\) ist. Die Ebenen \(\pi_2\) und \(\pi_3\) schneiden sich im rechten Winkel, und die Schnittlinie der Ebenen \(\pi_1\) und \(\pi_2\) ist parallel zur Schnittlinie von die Ebenen \(\pi_2\) und \(\ pi_3\) . Finde den Sinus des Winkels zwischen den Ebenen \(\pi_1\) und \(\pi_3\) .

Die Schnittgerade von \(\pi_1\) und \(\pi_2\) sei die Gerade \(a\) , die Schnittgerade von \(\pi_2\) und \(\pi_3\) sei die Gerade \ (b\) , und die Schnittgerade \(\pi_3\) und \(\pi_1\) sind die Gerade \(c\) . Da \(a\parallel b\) , dann \(c\parallel a\parallel b\) (nach dem Satz aus dem Abschnitt der theoretischen Referenz „Geometry in space“ \(\rightarrow\) „Einführung in die Stereometrie, Parallelität").

Markieren Sie die Punkte \(A\in a, B\in b\) so, dass \(AB\perp a, AB\perp b\) (das ist möglich, weil \(a\parallel b\) ). Beachten Sie \(C\in c\), sodass \(BC\perp c\) , also \(BC\perp b\) . Dann \(AC\perp c\) und \(AC\perp a\) .
Da \(AB\perp b, BC\perp b\) tatsächlich ist, steht \(b\) senkrecht auf der Ebene \(ABC\) . Wegen \(c\parallel a\parallel b\) stehen auch die Geraden \(a\) und \(c\) senkrecht auf der Ebene \(ABC\) , also insbesondere jede Gerade aus dieser Ebene die Zeile \ (AC\) .

Daraus folgt das \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\Winkel BCA=\Winkel (\pi_3, \pi_1)\). Es stellt sich heraus, dass \(\triangle ABC\) rechteckig ist, was bedeutet \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Antwort: 0,2

Aufgabe 3 #2877

Aufgabenniveau: Schwieriger als die Prüfung

Gegeben seien Linien \(a, b, c\), die sich in einem Punkt schneiden, und der Winkel zwischen zwei von ihnen sei gleich \(60^\circ\) . Finden Sie \(\cos^(-1)\alpha\) , wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen der Ebene ist, die durch die Linien \(a\) und \(c\) gebildet wird, und der Ebene, die durch die Linien gebildet wird \(b\) und \(c\) . Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Die Geraden sollen sich im Punkt \(O\) schneiden. Da der Winkel zwischen je zweien gleich \(60^\circ\) ist, können nicht alle drei Geraden in derselben Ebene liegen. Markieren wir einen Punkt \(A\) auf der Geraden \(a\) und zeichnen \(AB\perp b\) und \(AC\perp c\) . Dann \(\triangle AOB=\triangle AOC\) als rechteckig in Hypotenuse und spitzem Winkel. Also \(OB=OC\) und \(AB=AC\) .
Machen wir \(AH\perp (BOC)\) . Dann gilt nach dem Drei-Senkrechten-Satz \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Da \(AB=AC\) dann \(\triangle AHB=\triangle AHC\) als rechteckig entlang der Hypotenuse und des Beins. Also \(HB=HC\) . Daher ist \(OH\) die Winkelhalbierende des Winkels \(BOC\) (da der Punkt \(H\) von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt ist).

Beachten Sie, dass wir auf diese Weise auch den linearen Winkel des Flächenwinkels konstruiert haben, der durch die Ebene gebildet wird, die durch die Linien \(a\) und \(c\) und die Ebene gebildet wird, die durch die Linien \(b\) und \( c\) . Dies ist der Winkel \(ACH\) .

Lassen Sie uns diese Ecke finden. Da wir den Punkt \(A\) willkürlich gewählt haben, wählen wir ihn so, dass \(OA=2\) . Dann in rechteckig \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Da \(OH\) eine Winkelhalbierende ist, ist also \(\angle HOC=30^\circ\) , also in einem Rechteck \(\triangle HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Dann aus rechteckig \(\triangle ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Antwort: 3

Aufgabe 4 #2910

Aufgabenniveau: Schwieriger als die Prüfung

Die Ebenen \(\pi_1\) und \(\pi_2\) schneiden sich entlang der Linie \(l\) , die die Punkte \(M\) und \(N\) enthält. Die Strecken \(MA\) und \(MB\) stehen senkrecht auf der Geraden \(l\) und liegen in den Ebenen \(\pi_1\) bzw. \(\pi_2\) und \(MN = 15). \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Finde \(3\cos\alpha\) , wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen den Ebenen \(\pi_1\) und \(\pi_2\) ist.

Das Dreieck \(AMN\) ist rechtwinklig, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) , woher \ Das Dreieck \(BMN\) ist rechtwinklig, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , woraus \ Wir schreiben den Kosinussatz für das Dreieck \(AMB\): \ Dann \ Da der Winkel \(\alpha\) zwischen den Ebenen ein spitzer Winkel ist und sich \(\angle AMB\) als stumpf herausstellte, ist \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Dann \

Antwort: 1.25

Aufgabe 5 #2911

Aufgabenniveau: Schwieriger als die Prüfung

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) ist ein Parallelepiped, \(ABCD\) ist ein Quadrat mit der Seite \(a\) , Punkt \(M\) ist die Basis der Senkrechten, die vom Punkt \(A_1\) auf die Ebene \ fällt ((ABCD)\) , außerdem ist \(M\) der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats \(ABCD\) . Es ist bekannt, dass \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Finde den Winkel zwischen den Ebenen \((ABCD)\) und \((AA_1B_1B)\) . Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Wir konstruieren \(MN\) senkrecht zu \(AB\), wie in der Abbildung gezeigt.

Da \(ABCD\) ein Quadrat mit Seitenlänge \(a\) und \(MN\perp AB\) und \(BC\perp AB\) ist, ist \(MN\parallel BC\) . Da \(M\) der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats ist, dann ist \(M\) der Mittelpunkt von \(AC\) , also ist \(MN\) die Mittellinie und \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) ist die Projektion von \(A_1N\) auf die Ebene \((ABCD)\) , und \(MN\) ist senkrecht zu \(AB\) , dann ist nach dem Satz der drei Senkrechten \( A_1N\) steht senkrecht auf \(AB \) und der Winkel zwischen den Ebenen \((ABCD)\) und \(AA_1B_1B)\) ist \(\angle A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rechtspfeil\qquad\Winkel A_1NM = 60^(\circ)\]

Antwort: 60

Aufgabe 6 #1854

Aufgabenniveau: Schwieriger als die Prüfung

Im Quadrat \(ABCD\) : \(O\) ist der Schnittpunkt der Diagonalen; \(S\) liegt nicht in der Ebene des Quadrats, \(SO \perp ABC\) . Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen \(ASD\) und \(ABC\) wenn \(SO = 5\) und \(AB = 10\) .

Rechtwinklige Dreiecke \(\triangle SAO\) und \(\triangle SDO\) sind in zwei Seiten gleich und der Winkel zwischen ihnen (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , weil \(O\) ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats, \(SO\) ist die gemeinsame Seite) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) ist gleichschenklig. Der Punkt \(K\) ist der Mittelpunkt von \(AD\) , dann ist \(SK\) die Höhe im Dreieck \(\triangle ASD\) , und \(OK\) ist die Höhe im Dreieck \ (AOD\) \(\Rightarrow\) Ebene \(SOK\) ist senkrecht zu den Ebenen \(ASD\) und \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) ist ein linearer Winkel gleich auf den erforderlichen Flächenwinkel.

In \(\triangle SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Antwort: 45

Aufgabe 7 #1855

Aufgabenniveau: Schwieriger als die Prüfung

Rechtwinklige Dreiecke \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) und \(\triangle SOC\) sind in zwei Seiten gleich und der Winkel zwischen ihnen (\(SO \perp ABC \) \(\Rechtspfeil\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\) , weil \(O\) ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats, \(SO\) ist die gemeinsame Seite) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) und \(\triangle BSC\) sind gleichschenklig. Der Punkt \(K\) ist der Mittelpunkt von \(AD\) , dann ist \(SK\) die Höhe im Dreieck \(\triangle ASD\) , und \(OK\) ist die Höhe im Dreieck \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) die Ebene \(SOK\) steht senkrecht auf der Ebene \(ASD\) . Der Punkt \(L\) ist der Mittelpunkt von \(BC\) , dann ist \(SL\) die Höhe im Dreieck \(\triangle BSC\) , und \(OL\) ist die Höhe im Dreieck \ (BOC\) \(\ Rightarrow\) die Ebene \(SOL\) (auch bekannt als die Ebene \(SOK\) ) ist senkrecht zur Ebene \(BSC\) . Somit erhalten wir, dass \(\angle KSL\) ein linearer Winkel ist, der gleich dem gewünschten Flächenwinkel ist.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rechtspfeil\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) - Höhen in gleichschenkligen Dreiecken, die mit dem Satz des Pythagoras gefunden werden können: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Man kann sehen, dass \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) für ein Dreieck \(\triangle KSL\) gilt der umgekehrte Satz des Pythagoras \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) ist ein rechtwinkliges Dreieck \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\ Kreis\) .

Antwort: 90

Die Vorbereitung der Schüler auf die Prüfung in Mathematik beginnt in der Regel mit einer Wiederholung der Grundformeln, einschließlich derjenigen, mit denen Sie den Winkel zwischen den Ebenen bestimmen können. Obwohl dieser Teil der Geometrie im Rahmen des Schullehrplans ausreichend behandelt wird, müssen viele Absolventen den Grundstoff wiederholen. Mit dem Verständnis, wie man den Winkel zwischen den Ebenen findet, können Gymnasiasten im Zuge der Lösung der Aufgabe schnell die richtige Antwort berechnen und auf der Grundlage des einheitlichen Staatsexamens mit ordentlichen Noten rechnen.

Hauptnuancen

Damit die Frage, wie man den Flächenwinkel findet, keine Schwierigkeiten bereitet, empfehlen wir Ihnen, dem Lösungsalgorithmus zu folgen, der Ihnen hilft, die Aufgaben der Prüfung zu bewältigen.

Zuerst müssen Sie die Linie bestimmen, entlang der sich die Ebenen schneiden.

Dann müssen Sie auf dieser Linie einen Punkt auswählen und zwei Senkrechte zu ihm zeichnen.

Der nächste Schritt besteht darin, die trigonometrische Funktion des Flächenwinkels zu finden, der durch die Senkrechten gebildet wird. Dies geschieht am bequemsten mit Hilfe des resultierenden Dreiecks, zu dem die Ecke gehört.

Die Antwort wird der Wert des Winkels oder seine trigonometrische Funktion sein.

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Während des Studiums am Vorabend des Bestehens der Prüfung stehen viele Studenten vor dem Problem, Definitionen und Formeln zu finden, mit denen Sie den Winkel zwischen zwei Ebenen berechnen können. Ein Schulbuch ist nicht immer genau dann zur Hand, wenn es gebraucht wird. Und um die notwendigen Formeln und Beispiele für ihre korrekte Anwendung zu finden, einschließlich der Ermittlung des Winkels zwischen Ebenen im Internet online, muss manchmal viel Zeit aufgewendet werden.

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Um sich den Stoff besser anzueignen, empfehlen wir auch, die entsprechenden Übungen zu üben. Eine große Auswahl an Aufgabenstellungen unterschiedlicher Komplexität, zum Beispiel zum Thema, finden Sie im Katalogteil. Alle Aufgaben enthalten einen detaillierten Algorithmus zum Finden der richtigen Antwort. Die Liste der Übungen auf der Seite wird ständig ergänzt und aktualisiert.

Um das Lösen von Problemen zu üben, bei denen es erforderlich ist, den Winkel zwischen zwei Ebenen zu finden, haben die Schüler die Möglichkeit, jede Aufgabe online in "Favoriten" zu speichern. Dadurch können sie so oft wie nötig zu ihm zurückkehren und den Fortschritt seiner Lösung mit einem Schullehrer oder Tutor besprechen.

Portal für den Studenten. Selbsttraining

Winkel zwischen Ebenen - Definition.

Ermitteln des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen.

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Ermitteln des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen.

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