• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere Algebra und die Anfänge der Analysis: Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 allgemeiner Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).

Der Logarithmus einer Zahl N aus grund a heißt Exponent X , auf die Sie erhöhen müssen a um die Nummer zu bekommen N

Unter der Vorraussetzung, dass
,
,

Aus der Definition des Logarithmus folgt, dass
, d.h.
- diese Gleichheit ist die grundlegende logarithmische Identität.

Logarithmen zur Basis 10 werden Dezimallogarithmen genannt. Anstatt von
schreiben
.

Basislogarithmen e heißen natürlich und bezeichnet
.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen.

Der Logarithmus der Einheit für jede Basis ist Null

Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

3) Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen

Faktor
wird der Übergangsmodul von Logarithmen an der Basis genannt a zu Logarithmen an der Basis b .

Mit den Eigenschaften 2-5 ist es oft möglich, den Logarithmus eines komplexen Ausdrucks auf das Ergebnis einfacher arithmetischer Operationen mit Logarithmen zu reduzieren.

Zum Beispiel,

Solche Transformationen des Logarithmus heißen Logarithmen. Reziproke Transformationen von Logarithmen nennt man Potenzierung.

Kapitel 2. Elemente der höheren Mathematik.

1. Grenzen

Funktionsgrenze
ist eine endliche Zahl A, wenn, beim Streben xx 0 für jeden vorgegebenen
, es gibt eine Nummer
das sobald
, dann
.

Eine Funktion, die einen Grenzwert hat, unterscheidet sich davon um einen infinitesimalen Betrag:
, wobei - b.m.w., d.h.
.

Beispiel. Betrachten Sie die Funktion
.

Beim Streben
, Funktion j geht auf null:

1.1. Grundlegende Sätze über Grenzen.

Die Grenze eines konstanten Werts ist gleich diesem konstanten Wert

.

Der Grenzwert der Summe (Differenz) endlich vieler Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert eines Produkts endlich vieler Funktionen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte dieser Funktionen, wenn der Grenzwert des Nenners ungleich Null ist.

Bemerkenswerte Grenzen

,
, wo

1.2. Beispiele für Grenzwertberechnungen

Allerdings werden nicht alle Limits so einfach berechnet. Häufiger wird die Berechnung des Limits auf die Offenlegung der Typunsicherheit reduziert: oder .

.

2. Ableitung einer Funktion

Lassen Sie uns eine Funktion haben
, kontinuierlich auf dem Segment
.

Streit bekam etwas Auftrieb
. Dann wird die Funktion inkrementiert
.

Argumentwert entspricht dem Wert der Funktion
.

Argumentwert
entspricht dem Wert der Funktion .

Folglich, .

Lassen Sie uns den Grenzwert dieser Beziehung bei finden
. Wenn dieser Grenzwert existiert, wird er als Ableitung der gegebenen Funktion bezeichnet.

Definition der 3. Ableitung einer gegebenen Funktion
durch argument heißt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments, wenn das Inkrement des Arguments willkürlich gegen Null geht.

Ableitung der Funktion
kann wie folgt bezeichnet werden:

; ; ; .

Definition 4Die Operation zum Finden der Ableitung einer Funktion wird aufgerufen Unterscheidung.

2.1. Die mechanische Bedeutung der Ableitung.

Betrachten Sie die geradlinige Bewegung eines starren Körpers oder materiellen Punktes.

Irgendwann lassen bewegender Punkt
war auf Distanz aus der Startposition
.

Nach einiger Zeit
sie bewegte sich ein Stück weit
. Attitüde =- Durchschnittsgeschwindigkeit eines materiellen Punktes
. Finden wir die Grenze dieses Verhältnisses unter Berücksichtigung dessen
.

Folglich reduziert sich die Bestimmung der Momentangeschwindigkeit eines materiellen Punktes auf die Ermittlung der Ableitung der Bahn nach der Zeit.

2.2. Geometrischer Wert der Ableitung

Angenommen, wir haben eine grafisch definierte Funktion
.

Reis. 1. Die geometrische Bedeutung der Ableitung

Wenn ein
, dann der Punkt
, bewegt sich entlang der Kurve und nähert sich dem Punkt
.

Folglich
, d.h. der Wert der Ableitung bei gegebenem Wert des Arguments numerisch gleich dem Tangens des Winkels, den die Tangente an einem gegebenen Punkt mit der positiven Richtung der Achse bildet
.

2.3. Tabelle der grundlegenden Differenzierungsformeln.

Power-Funktion

Exponentialfunktion

Logarithmische Funktion

Trigonometrische Funktion

Umgekehrte trigonometrische Funktion

2.4. Abgrenzungsregeln.

Ableitung von

Ableitung der Summe (Differenz) von Funktionen

Ableitung des Produkts zweier Funktionen

Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

2.5. Ableitung einer komplexen Funktion.

Lassen Sie die Funktion
so dass es dargestellt werden kann

und
, wobei die Variable ist also ein Zwischenargument

Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der gegebenen Funktion nach dem Zwischenargument durch die Ableitung des Zwischenarguments nach x.

Beispiel 1.

Beispiel2.

3. Funktionsdifferential.

Lass es sein
, differenzierbar in einem gewissen Intervall
Loslassen bei Diese Funktion hat eine Ableitung

,

dann kannst du schreiben

(1),

wo - eine unendlich kleine Menge,

denn bei

Multiplikation aller Gleichheitsterme (1) mit
wir haben:

Wo
- b.m.v. Auftrag von oben.

Wert
heißt Differential der Funktion
und bezeichnet

.

3.1. Der geometrische Wert des Differentials.

Lassen Sie die Funktion
.

Abb.2. Die geometrische Bedeutung des Differentials.

.

Offensichtlich das Differential der Funktion
ist gleich dem Inkrement der Ordinate der Tangente an dem gegebenen Punkt.

3.2. Derivate und Differentiale verschiedener Ordnungen.

Wenn es gibt
, dann
heißt erste Ableitung.

Die Ableitung der ersten Ableitung heißt Ableitung zweiter Ordnung und wird geschrieben
.

Ableitung n-ter Ordnung der Funktion
heißt Ableitung der Ordnung (n-1) und lautet:

.

Das Differential des Differentials einer Funktion wird als zweites Differential oder Differential zweiter Ordnung bezeichnet.

.

.

3.3 Lösen biologischer Probleme durch Differenzieren.

Aufgabe 1. Studien haben gezeigt, dass das Wachstum einer Kolonie von Mikroorganismen dem Gesetz gehorcht
, wo N – Anzahl der Mikroorganismen (in Tausend), t – Zeit (Tage).

b) Wird die Bevölkerung der Kolonie in diesem Zeitraum zunehmen oder abnehmen?

Antworten. Die Kolonie wird an Größe zunehmen.

Aufgabe 2. Das Wasser im See wird regelmäßig getestet, um den Gehalt an pathogenen Bakterien zu kontrollieren. Durch t Tage nach dem Test wird die Bakterienkonzentration durch das Verhältnis bestimmt

.

Wann wird die Mindestkonzentration an Bakterien im See erreicht und es wird möglich sein, darin zu schwimmen?

Lösung Eine Funktion erreicht Maximum oder Minimum, wenn ihre Ableitung Null ist.

,

Lassen Sie uns bestimmen, ob das Maximum oder Minimum in 6 Tagen sein wird. Dazu nehmen wir die zweite Ableitung.

Antwort: Nach 6 Tagen ist eine minimale Bakterienkonzentration vorhanden.

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Heute werden wir darüber sprechen logarithmische Formeln und demonstrieren Lösungsbeispiele.

Sie implizieren für sich genommen Lösungsmuster gemäß den grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen. Bevor wir die Logarithmusformeln auf die Lösung anwenden, erinnern wir uns für Sie zunächst an alle Eigenschaften:

Basierend auf diesen Formeln (Eigenschaften) zeigen wir nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen basierend auf Formeln.

Logarithmus Eine positive Zahl b zur Basis a (als log a b bezeichnet) ist der Exponent, auf den a erhöht werden muss, um b zu erhalten, mit b > 0, a > 0 und 1.

Nach der Definition log a b = x, was äquivalent zu a x = b ist, also log a a x = x.

Logarithmen, Beispiele:

log 2 8 = 3, weil 2 3 = 8

log 7 49 = 2 weil 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, weil 5 -1 = 1/5

Dezimaler Logarithmus ist ein gewöhnlicher Logarithmus, dessen Basis 10 ist. Bezeichnet als lg.

log 10 100 = 2 weil 10 2 = 100

natürlicher Logarithmus- auch der übliche Logarithmus-Logarithmus, aber mit der Basis e (e \u003d 2,71828 ... - eine irrationale Zahl). Wird als ln bezeichnet.

Es ist wünschenswert, sich die Formeln oder Eigenschaften von Logarithmen zu merken, da wir sie später beim Lösen von Logarithmen, logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen benötigen. Lassen Sie uns jede Formel noch einmal mit Beispielen durcharbeiten.

• Grundlegende logarithmische Identität
  ein Protokoll ein b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Eigenschaften des Grades einer logarithmierbaren Zahl und der Basis des Logarithmus

  Der Exponent einer logarithmischen Zahl log a b m = mlog a b

  Exponent der Basis des Logarithmus log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  wenn m = n, erhalten wir log a n b n = log a b

  Log 4 9 = Log 2 2 3 2 = Log 2 3

• Übergang in eine neue Stiftung
  log a b = log c b / log c a,

  wenn c = b, erhalten wir log b b = 1

  dann log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Wie Sie sehen können, sind die Logarithmusformeln nicht so kompliziert, wie sie scheinen. Nachdem wir nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen betrachtet haben, können wir zu logarithmischen Gleichungen übergehen. Wir werden Beispiele für die Lösung logarithmischer Gleichungen im Artikel genauer betrachten: "". Nicht verpassen!

Wenn Sie noch Fragen zur Lösung haben, schreiben Sie diese in die Kommentare zum Artikel.

Hinweis: entschieden, eine Ausbildung einer anderen Klasse im Ausland als Option zu absolvieren.

Wir haben also Zweierpotenzen. Wenn Sie die Zahl aus der unteren Zeile nehmen, können Sie leicht die Potenz finden, mit der Sie eine Zwei erhöhen müssen, um diese Zahl zu erhalten. Um beispielsweise 16 zu erhalten, müssen Sie zwei in die vierte Potenz erheben. Und um 64 zu bekommen, musst du zwei hoch sechs potenzieren. Dies ist aus der Tabelle ersichtlich.

Und jetzt - tatsächlich die Definition des Logarithmus:

Der Logarithmus zur Basis a des Arguments x ist die Potenz, mit der die Zahl a potenziert werden muss, um die Zahl x zu erhalten.

Notation: log a x \u003d b, wobei a die Basis ist, x das Argument ist, b eigentlich gleich dem Logarithmus ist.

Zum Beispiel 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist drei, weil 2 3 = 8). Könnte auch 2 64 = 6 protokollieren, weil 2 6 = 64 .

Die Operation, den Logarithmus einer Zahl zu einer gegebenen Basis zu finden, wird Logarithmus genannt. Also fügen wir unserer Tabelle eine neue Zeile hinzu:

Leider werden nicht alle Logarithmen so einfach berücksichtigt. Versuchen Sie beispielsweise, log 2 5 zu finden. Die Zahl 5 ist nicht in der Tabelle, aber die Logik diktiert, dass der Logarithmus irgendwo auf dem Segment liegen wird. Denn 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Solche Zahlen nennt man irrational: Die Zahlen nach dem Komma können unbegrenzt geschrieben werden, und sie wiederholen sich nie. Wenn sich herausstellt, dass der Logarithmus irrational ist, belassen Sie ihn besser so: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Es ist wichtig zu verstehen, dass der Logarithmus ein Ausdruck mit zwei Variablen ist (Basis und Argument). Zuerst verwechseln viele Leute, wo die Basis und wo das Argument ist. Um ärgerliche Missverständnisse zu vermeiden, werfen Sie einfach einen Blick auf das Bild:

Vor uns liegt nichts weiter als die Definition des Logarithmus. Denken Sie daran: Der Logarithmus ist die Potenz, auf die Sie die Basis erhöhen müssen, um das Argument zu erhalten. Es ist die Basis, die potenziert wird – im Bild rot hervorgehoben. Es stellt sich heraus, dass die Basis immer unten ist! Diese wunderbare Regel sage ich meinen Schülern in der allerersten Stunde – und es gibt keine Verwirrung.

Wir haben die Definition herausgefunden - es bleibt zu lernen, wie man Logarithmen zählt, d.h. das "log"-Zeichen loswerden. Zunächst stellen wir fest, dass sich aus der Definition zwei wichtige Tatsachen ergeben:

1. Das Argument und die Basis müssen immer größer als Null sein. Dies folgt aus der Definition des Grades durch einen rationalen Exponenten, auf den sich die Definition des Logarithmus reduziert.
2. Die Basis muss sich von der Einheit unterscheiden, da eine Einheit für jede Macht immer noch eine Einheit ist. Aus diesem Grund ist die Frage „zu welcher Potenz muss man erhoben werden, um zwei zu bekommen“ bedeutungslos. Einen solchen Abschluss gibt es nicht!

Solche Einschränkungen werden genannt gültiger Bereich(ODZ). Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus so aussieht: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Beachten Sie, dass der Zahl b (dem Wert des Logarithmus) keine Beschränkungen auferlegt werden. Beispielsweise kann der Logarithmus durchaus negativ sein: log 2 0,5 \u003d -1, weil 0,5 = 2 −1 .

Allerdings betrachten wir jetzt nur numerische Ausdrücke, bei denen es nicht erforderlich ist, die ODZ des Logarithmus zu kennen. Alle Einschränkungen wurden bereits von den Compilern der Probleme berücksichtigt. Aber wenn logarithmische Gleichungen und Ungleichungen ins Spiel kommen, werden die DHS-Anforderungen obligatorisch. Tatsächlich kann es in der Grundlage und Argumentation sehr starke Konstruktionen geben, die nicht unbedingt den obigen Einschränkungen entsprechen.

Betrachten Sie nun das allgemeine Schema zur Berechnung von Logarithmen. Es besteht aus drei Schritten:

1. Drücken Sie die Basis a und das Argument x als Potenz aus, wobei die kleinstmögliche Basis größer als eins ist. Unterwegs ist es besser, Dezimalbrüche loszuwerden;
2. Lösen Sie die Gleichung für die Variable b: x = a b ;
3. Die resultierende Zahl b ist die Antwort.

Das ist alles! Erweist sich der Logarithmus als irrational, wird dies bereits im ersten Schritt sichtbar. Die Anforderung, dass die Basis größer als eins sein muss, ist sehr relevant: Dies verringert die Fehlerwahrscheinlichkeit und vereinfacht die Berechnungen erheblich. Ähnlich verhält es sich mit Dezimalbrüchen: Wenn Sie sie sofort in gewöhnliche Brüche umwandeln, treten um ein Vielfaches weniger Fehler auf.

Sehen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie dieses Schema funktioniert:

Eine Aufgabe. Berechne den Logarithmus: log 5 25

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Fünferpotenz dar: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Antwort erhalten: 2.

Eine Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus:

Eine Aufgabe. Berechne den Logarithmus: log 4 64

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Zweierpotenz dar: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Antwort erhalten: 3.

Eine Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 16 1

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Zweierpotenz dar: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Antwort erhalten: 0.

Eine Aufgabe. Berechne den Logarithmus: log 7 14

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Potenz von sieben dar: 7 = 7 1 ; 14 wird nicht als Siebenerpotenz dargestellt, weil 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Aus dem vorigen Absatz folgt, dass der Logarithmus nicht berücksichtigt wird;
3. Die Antwort ist keine Änderung: log 7 14.

Eine kleine Anmerkung zum letzten Beispiel. Wie kann man sicherstellen, dass eine Zahl keine exakte Potenz einer anderen Zahl ist? Ganz einfach - einfach in Primfaktoren zerlegen. Wenn es mindestens zwei unterschiedliche Faktoren in der Erweiterung gibt, ist die Zahl keine exakte Potenz.

Eine Aufgabe. Finden Sie heraus, ob die genauen Potenzen der Zahl sind: 8; 48; 81; 35; vierzehn .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - der genaue Grad, weil es gibt nur einen Multiplikator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ist keine exakte Potenz, da es zwei Faktoren gibt: 3 und 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - genauer Grad;
35 = 7 5 - wieder kein exakter Grad;
14 \u003d 7 2 - wieder kein genauer Grad;

Beachten Sie auch, dass die Primzahlen selbst immer exakte Potenzen ihrer selbst sind.

Dezimaler Logarithmus

Einige Logarithmen sind so verbreitet, dass sie einen besonderen Namen und eine besondere Bezeichnung haben.

Der dezimale Logarithmus des x-Arguments ist der Basis-10-Logarithmus, d.h. die Potenz, mit der Sie die Zahl 10 erhöhen müssen, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: lg x .

Zum Beispiel log 10 = 1; Protokoll 100 = 2; lg 1000 = 3 - usw.

Wenn von nun an ein Satz wie „Finde lg 0,01“ im Lehrbuch erscheint, wissen Sie, dass dies kein Tippfehler ist. Das ist der dezimale Logarithmus. Wenn Sie eine solche Bezeichnung jedoch nicht gewohnt sind, können Sie sie jederzeit umschreiben:
log x = log 10 x

Alles, was für gewöhnliche Logarithmen gilt, gilt auch für Dezimalzahlen.

natürlicher Logarithmus

Es gibt einen weiteren Logarithmus mit eigener Notation. In gewisser Weise ist es sogar noch wichtiger als die Dezimalzahl. Das ist der natürliche Logarithmus.

Der natürliche Logarithmus von x ist der Basis-e-Logarithmus, d.h. die Potenz, mit der die Zahl e potenziert werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: ln x .

Viele werden fragen: Was ist die Zahl e noch? Dies ist eine irrationale Zahl, ihr genauer Wert kann nicht gefunden und aufgeschrieben werden. Hier nur die ersten Zahlen:
e = 2,718281828459...

Wir werden nicht näher darauf eingehen, was diese Nummer ist und warum sie benötigt wird. Denken Sie daran, dass e die Basis des natürlichen Logarithmus ist:
ln x = log e x

Also ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - usw. Andererseits ist ln 2 eine irrationale Zahl. Im Allgemeinen ist der natürliche Logarithmus jeder rationalen Zahl irrational. Außer natürlich Eins: ln 1 = 0.

Für natürliche Logarithmen gelten alle Regeln, die für gewöhnliche Logarithmen gelten.