Wir werden zwei Arten der Lösung von Gleichungssystemen analysieren:

1. Lösung des Systems nach der Substitutionsmethode.
2. Lösung des Systems durch gliedweise Addition (Subtraktion) der Gleichungen des Systems.

Um das Gleichungssystem zu lösen Substitutionsmethode Sie müssen einem einfachen Algorithmus folgen:
1. Wir drücken aus. Aus jeder Gleichung drücken wir eine Variable aus.
2. Ersatz. Wir ersetzen in einer anderen Gleichung anstelle der ausgedrückten Variablen den resultierenden Wert.
3. Wir lösen die resultierende Gleichung mit einer Variablen. Wir finden eine Lösung für das System.

Lösen System durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) brauchen:
1. Wählen Sie eine Variable aus, für die wir dieselben Koeffizienten erstellen.
2. Wir addieren oder subtrahieren die Gleichungen, als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen.
3. Wir lösen die resultierende lineare Gleichung. Wir finden eine Lösung für das System.

Die Lösung des Systems sind die Schnittpunkte der Graphen der Funktion.

Betrachten wir die Lösung von Systemen anhand von Beispielen im Detail.

Beispiel 1:

Lösen wir nach der Substitutionsmethode

Lösen des Gleichungssystems nach der Substitutionsmethode

2x+5y=1 (1 Gleichung)
x-10y=3 (2. Gleichung)

1. ausdrücken
Es ist ersichtlich, dass es in der zweiten Gleichung eine Variable x mit einem Koeffizienten von 1 gibt, daher stellt sich heraus, dass es am einfachsten ist, die Variable x aus der zweiten Gleichung auszudrücken.
x=3+10y

2. Nach dem Ausdrücken ersetzen wir in der ersten Gleichung 3 + 10y anstelle der Variablen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Wir lösen die resultierende Gleichung mit einer Variablen.
2(3+10y)+5y=1 (offene Klammern)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Die Lösung des Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der Graphen, deshalb müssen wir x und y finden, denn der Schnittpunkt besteht aus x und y. Lassen Sie uns x finden, im ersten Absatz, wo wir ausgedrückt haben, ersetzen wir dort y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Es ist üblich, an erster Stelle Punkte zu schreiben, wir schreiben die Variable x und an zweiter Stelle die Variable y.
Antwort: (1; -0,2)

Beispiel #2:

Lassen Sie uns durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) lösen.

Lösen eines Gleichungssystems nach der Additionsmethode

3x-2y=1 (1 Gleichung)
2x-3y=-10 (2. Gleichung)

1. Wählen Sie eine Variable aus, sagen wir, wir wählen x aus. In der ersten Gleichung hat die Variable x einen Koeffizienten von 3, in der zweiten - 2. Wir müssen die Koeffizienten gleich machen, dafür haben wir das Recht, die Gleichungen zu multiplizieren oder durch eine beliebige Zahl zu dividieren. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3 und erhalten einen Gesamtkoeffizienten von 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Subtrahiere von der ersten Gleichung die zweite, um die Variable x loszuwerden. Löse die lineare Gleichung.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finden Sie x. Wir ersetzen das gefundene y in jeder der Gleichungen, sagen wir in der ersten Gleichung.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Der Schnittpunkt ist x=4,6; y=6,4
Antwort: (4.6; 6.4)

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Algebraische Additionsmethode

Sie können ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten auf verschiedene Arten lösen - eine grafische Methode oder eine Variablenänderungsmethode.

In dieser Lektion lernen wir eine andere Methode kennen, um Systeme zu lösen, die Ihnen sicherlich gefallen wird - dies ist die algebraische Additionsmethode.

Und woher kam die Idee – etwas in die Systeme zu stecken? Beim Lösen von Systemen ist das Hauptproblem das Vorhandensein von zwei Variablen, da wir Gleichungen mit zwei Variablen nicht lösen können. Es ist also notwendig, einen von ihnen auf legale Weise auszuschließen. Und solche legitimen Wege sind mathematische Regeln und Eigenschaften.

Eine dieser Eigenschaften klingt so: Die Summe der Gegenzahlen ist Null. Dies bedeutet, dass, wenn es für eine der Variablen entgegengesetzte Koeffizienten gibt, ihre Summe gleich Null ist und wir diese Variable aus der Gleichung ausschließen können. Es ist klar, dass wir nicht das Recht haben, nur die Terme mit der benötigten Variablen hinzuzufügen. Es ist notwendig, die Gleichungen als Ganzes zu addieren, d.h. Fügen Sie ähnliche Begriffe separat auf der linken Seite und dann auf der rechten Seite hinzu. Als Ergebnis erhalten wir eine neue Gleichung, die nur eine Variable enthält. Schauen wir uns konkrete Beispiele an.

Wir sehen, dass es in der ersten Gleichung eine Variable y gibt und in der zweiten die entgegengesetzte Zahl y ist. Diese Gleichung kann also mit der Additionsmethode gelöst werden.

Eine der Gleichungen bleibt so wie sie ist. Jeder, der dir am besten gefällt.

Aber die zweite Gleichung erhält man, indem man diese beiden Gleichungen Term für Term addiert. Diese. Addiere 3x zu 2x, addiere y zu -y, addiere 8 zu 7.

Wir erhalten ein Gleichungssystem

Die zweite Gleichung dieses Systems ist eine einfache Gleichung mit einer Variablen. Daraus finden wir x \u003d 3. Wenn wir den gefundenen Wert in der ersten Gleichung ersetzen, finden wir y \u003d -1.

Antwort: (3; - 1).

Designbeispiel:

Lösen Sie das Gleichungssystem durch algebraische Addition

In diesem System gibt es keine Variablen mit entgegengesetzten Koeffizienten. Aber wir wissen, dass beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multipliziert werden können. Lassen Sie uns die erste Gleichung des Systems mit 2 multiplizieren.

Dann nimmt die erste Gleichung die Form an:

Nun sehen wir, dass es bei der Variablen x entgegengesetzte Koeffizienten gibt. Also machen wir dasselbe wie im ersten Beispiel: Wir lassen eine der Gleichungen unverändert. Zum Beispiel 2y + 2x \u003d 10. Und wir erhalten die zweite durch Addieren.

Jetzt haben wir ein Gleichungssystem:

Wir finden leicht aus der zweiten Gleichung y = 1 und dann aus der ersten Gleichung x = 4.

Designbeispiel:

Fassen wir zusammen:

Wir haben gelernt, Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten mit der Methode der algebraischen Addition zu lösen. Daher kennen wir jetzt drei Hauptmethoden zur Lösung solcher Systeme: die grafische Methode, die Methode der Variablenänderung und die Additionsmethode. Nahezu jedes System kann mit diesen Methoden gelöst werden. In komplexeren Fällen wird eine Kombination dieser Techniken verwendet.

Liste der verwendeten Literatur:

1. Mordkovich A.G., Algebra Klasse 7 in 2 Teilen, Teil 1, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen / A.G. Mordkowitsch. - 10. Auflage, überarbeitet - Moskau, "Mnemosyne", 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra Klasse 7 in 2 Teilen, Teil 2, Aufgabenheft für Bildungseinrichtungen / [A.G. Mordkovich und andere]; bearbeitet von A.G. Mordkovich - 10. Auflage, überarbeitet - Moskau, Mnemosyne, 2007.
3. SIE. Tulchinskaya, Algebra Klasse 7. Blitzumfrage: ein Leitfaden für Studenten von Bildungseinrichtungen, 4. Auflage, überarbeitet und ergänzt, Moskau, Mnemozina, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra Klasse 7. Thematische Prüfungsarbeiten in neuer Form für Studierende von Bildungseinrichtungen, herausgegeben von A.G. Mordkovich, Moskau, „Mnemosyne“, 2011.
5. Alexandrova L.A. Algebra Klasse 7. Selbständige Arbeit für Studenten von Bildungseinrichtungen, herausgegeben von A.G. Mordkovich - 6. Auflage, stereotyp, Moskau, "Mnemosyne", 2010.

Gleichungssysteme werden in der Wirtschaftsbranche häufig zur mathematischen Modellierung verschiedener Prozesse verwendet. Zum Beispiel bei der Lösung von Problemen der Produktionssteuerung und -planung, Logistikrouten (Transportproblem) oder der Geräteplatzierung.

Gleichungssysteme werden nicht nur auf dem Gebiet der Mathematik, sondern auch in der Physik, Chemie und Biologie verwendet, wenn es um die Lösung von Problemen zur Bestimmung der Populationsgröße geht.

Ein lineares Gleichungssystem ist ein Begriff für zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden muss. Eine solche Zahlenfolge, für die alle Gleichungen wahre Gleichheiten werden oder beweisen, dass die Folge nicht existiert.

Lineare Gleichung

Gleichungen der Form ax+by=c heißen linear. Die Bezeichnungen x, y sind die Unbekannten, deren Wert gefunden werden muss, b, a sind die Koeffizienten der Variablen, c ist der freie Term der Gleichung.
Das Lösen der Gleichung durch Auftragen ihres Graphen sieht aus wie eine gerade Linie, deren alle Punkte die Lösung des Polynoms sind.

Arten von Systemen linearer Gleichungen

Die einfachsten sind Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen X und Y.

F1(x, y) = 0 und F2(x, y) = 0, wobei F1,2 Funktionen und (x, y) Funktionsvariablen sind.

Lösen Sie ein Gleichungssystem - es bedeutet, solche Werte (x, y) zu finden, für die das System eine echte Gleichheit wird, oder festzustellen, dass es keine geeigneten Werte von x und y gibt.

Ein Wertepaar (x, y), geschrieben als Punktkoordinaten, wird als Lösung eines linearen Gleichungssystems bezeichnet.

Wenn die Systeme eine gemeinsame Lösung haben oder es keine Lösung gibt, werden sie als äquivalent bezeichnet.

Homogene lineare Gleichungssysteme sind Systeme, deren rechte Seite gleich Null ist. Wenn der rechte Teil nach dem Gleichheitszeichen einen Wert hat oder durch eine Funktion ausgedrückt wird, ist ein solches System nicht homogen.

Die Anzahl der Variablen kann viel mehr als zwei sein, dann sollten wir über ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei oder mehr Variablen sprechen.

Angesichts von Systemen gehen Schulkinder davon aus, dass die Anzahl der Gleichungen zwangsläufig mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen muss, aber dem ist nicht so. Die Anzahl der Gleichungen im System hängt nicht von den Variablen ab, es kann beliebig viele davon geben.

Einfache und komplexe Methoden zum Lösen von Gleichungssystemen

Es gibt keinen allgemeinen analytischen Weg, um solche Systeme zu lösen, alle Methoden basieren auf numerischen Lösungen. Der Schulmathematikkurs beschreibt ausführlich Methoden wie Permutation, algebraische Addition, Substitution, sowie die graphische und Matrizenmethode, die Lösung nach Gauß.

Die Hauptaufgabe bei der Vermittlung von Lösungsmethoden besteht darin, zu lehren, wie man das System richtig analysiert und für jedes Beispiel den optimalen Lösungsalgorithmus findet. Die Hauptsache ist nicht, sich ein System von Regeln und Aktionen für jede Methode zu merken, sondern die Prinzipien der Anwendung einer bestimmten Methode zu verstehen.

Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme der 7. Klasse des allgemeinbildenden Schulprogramms ist recht einfach und wird ausführlich erklärt. In jedem mathematischen Lehrbuch wird diesem Abschnitt genügend Aufmerksamkeit geschenkt. Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Methode von Gauß und Cramer wird in den ersten Kursen der Hochschulen näher untersucht.

Lösung von Systemen nach der Substitutionsmethode

Die Aktionen der Substitutionsmethode zielen darauf ab, den Wert einer Variablen durch die zweite auszudrücken. Der Ausdruck wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt und dann auf eine einzelne Variablenform reduziert. Die Aktion wird abhängig von der Anzahl der Unbekannten im System wiederholt

Geben wir ein Beispiel für ein System linearer Gleichungen der 7. Klasse nach der Substitutionsmethode:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurde die Variable x durch F(X) = 7 + Y ausgedrückt. Der resultierende Ausdruck, der anstelle von X in die 2. Gleichung des Systems eingesetzt wurde, half dabei, eine Variable Y in der 2. Gleichung zu erhalten . Die Lösung dieses Beispiels bereitet keine Schwierigkeiten und erlaubt Ihnen, den Y-Wert zu erhalten.Der letzte Schritt besteht darin, die erhaltenen Werte zu überprüfen.

Es ist nicht immer möglich, ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems durch Substitution zu lösen. Die Gleichungen können komplex sein und der Ausdruck der Variablen in Bezug auf die zweite Unbekannte wird für weitere Berechnungen zu umständlich sein. Bei mehr als 3 Unbekannten im System ist die Substitutionslösung ebenfalls unpraktisch.

Lösung eines Beispiels eines Systems linearer inhomogener Gleichungen:

Lösung mit algebraischer Addition

Bei der Suche nach einer Lösung für Systeme nach der Additionsmethode werden Termweise Additionen und Multiplikationen von Gleichungen mit verschiedenen Zahlen durchgeführt. Das ultimative Ziel mathematischer Operationen ist eine Gleichung mit einer Variablen.

Anwendungen dieser Methode erfordern Übung und Beobachtung. Es ist nicht einfach, ein lineares Gleichungssystem mit der Additionsmethode mit der Anzahl der Variablen 3 oder mehr zu lösen. Die algebraische Addition ist nützlich, wenn die Gleichungen Brüche und Dezimalzahlen enthalten.

Lösungsaktionsalgorithmus:

1. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einer Zahl. Als Ergebnis der arithmetischen Operation muss einer der Koeffizienten der Variablen gleich 1 werden.
2. Addieren Sie den resultierenden Ausdruck Term für Term und finden Sie eine der Unbekannten.
3. Setzen Sie den resultierenden Wert in die zweite Gleichung des Systems ein, um die verbleibende Variable zu finden.

Lösungsverfahren durch Einführung einer neuen Variablen

Eine neue Variable kann eingeführt werden, wenn das System eine Lösung für nicht mehr als zwei Gleichungen finden muss, die Anzahl der Unbekannten sollte auch nicht mehr als zwei betragen.

Das Verfahren wird verwendet, um eine der Gleichungen zu vereinfachen, indem eine neue Variable eingeführt wird. Die neue Gleichung wird bezüglich der eingegebenen Unbekannten gelöst und der resultierende Wert wird verwendet, um die ursprüngliche Variable zu bestimmen.

Aus dem Beispiel ist ersichtlich, dass es durch Einführung einer neuen Variablen t möglich war, die 1. Gleichung des Systems auf ein quadratisches Standardtrinom zu reduzieren. Sie können ein Polynom lösen, indem Sie die Diskriminante finden.

Es ist notwendig, den Wert der Diskriminante mit der bekannten Formel zu finden: D = b2 - 4*a*c, wobei D die gesuchte Diskriminante ist, b, a, c die Multiplikatoren des Polynoms sind. Im gegebenen Beispiel ist a=1, b=16, c=39, also D=100. Wenn die Diskriminante größer als Null ist, dann gibt es zwei Lösungen: t = -b±√D / 2*a, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, dann gibt es nur eine Lösung: x= -b / 2*a.

Die Lösung für die resultierenden Systeme wird durch die Additionsmethode gefunden.

Eine visuelle Methode zum Lösen von Systemen

Geeignet für Systeme mit 3 Gleichungen. Das Verfahren besteht darin, Graphen jeder im System enthaltenen Gleichung auf der Koordinatenachse aufzuzeichnen. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven sind die allgemeine Lösung des Systems.

Die grafische Methode hat eine Reihe von Nuancen. Betrachten Sie einige Beispiele für die visuelle Lösung von linearen Gleichungssystemen.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurden für jede Linie zwei Punkte konstruiert, die Werte der Variablen x wurden willkürlich gewählt: 0 und 3. Basierend auf den Werten von x wurden die Werte für y gefunden: 3 und 0. Punkte mit den Koordinaten (0, 3) und (3, 0) wurden in der Grafik markiert und durch eine Linie verbunden.

Die Schritte müssen für die zweite Gleichung wiederholt werden. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des Systems.

Im folgenden Beispiel soll eine grafische Lösung für das lineare Gleichungssystem gefunden werden: 0,5x-y+2=0 und 0,5x-y-1=0.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, hat das System keine Lösung, da die Graphen parallel sind und sich nicht auf ihrer ganzen Länge schneiden.

Die Systeme aus den Beispielen 2 und 3 sind ähnlich, aber wenn sie konstruiert sind, wird es offensichtlich, dass ihre Lösungen unterschiedlich sind. Es sollte daran erinnert werden, dass es nicht immer möglich ist zu sagen, ob das System eine Lösung hat oder nicht, es ist immer notwendig, einen Graphen zu erstellen.

Matrix und seine Sorten

Matrizen werden verwendet, um ein lineares Gleichungssystem kurz niederzuschreiben. Eine Matrix ist eine spezielle Art von Tabelle, die mit Zahlen gefüllt ist. n*m hat n - Zeilen und m - Spalten.

Eine Matrix ist quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich ist. Ein Matrix-Vektor ist eine einspaltige Matrix mit unendlich vielen Zeilen. Eine Matrix mit Einheiten entlang einer der Diagonalen und anderen Nullelementen wird als Identität bezeichnet.

Eine inverse Matrix ist eine solche Matrix, bei deren Multiplikation die ursprüngliche zu einer Einheit wird, eine solche Matrix existiert nur für die ursprüngliche quadratische.

Regeln zur Transformation eines Gleichungssystems in eine Matrix

Bei Gleichungssystemen werden die Koeffizienten und freien Glieder der Gleichungen als Zahlen der Matrix geschrieben, eine Gleichung ist eine Zeile der Matrix.

Eine Matrixzeile heißt ungleich Null, wenn mindestens ein Element der Zeile ungleich Null ist. Wenn sich also in einer der Gleichungen die Anzahl der Variablen unterscheidet, muss anstelle der fehlenden Unbekannten Null eingegeben werden.

Die Spalten der Matrix müssen genau den Variablen entsprechen. Das bedeutet, dass die Koeffizienten der Variablen x nur in eine Spalte geschrieben werden können, zum Beispiel die erste, die Koeffizienten der Unbekannten y – nur in die zweite.

Beim Multiplizieren einer Matrix werden alle Matrixelemente nacheinander mit einer Zahl multipliziert.

Optionen zum Finden der inversen Matrix

Die Formel zum Finden der inversen Matrix ist ganz einfach: K -1 = 1 / |K|, wobei K -1 die inverse Matrix und |K| ist - Matrixdeterminante. |K| nicht gleich Null sein muss, dann hat das System eine Lösung.

Für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix lässt sich die Determinante leicht berechnen, es müssen nur die Elemente diagonal miteinander multipliziert werden. Für die Option „drei mal drei“ gibt es eine Formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ein 3 b 2 c 1 . Sie können die Formel verwenden oder sich daran erinnern, dass Sie aus jeder Zeile und jeder Spalte ein Element nehmen müssen, damit sich die Spalten- und Zeilennummern der Elemente im Produkt nicht wiederholen.

Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Matrixmethode

Die Matrixmethode zur Lösungsfindung ermöglicht es, umständliche Schreibweisen beim Lösen von Systemen mit zu reduzieren große Menge Variablen und Gleichungen.

Im Beispiel sind a nm die Koeffizienten der Gleichungen, die Matrix ist ein Vektor x n sind die Variablen und b n sind die freien Terme.

Lösung von Systemen nach der Gauß-Methode

In der höheren Mathematik wird die Gauß-Methode zusammen mit der Cramer-Methode untersucht, und der Prozess, eine Lösung für Systeme zu finden, wird als Gauß-Cramer-Lösungsmethode bezeichnet. Diese Methoden werden verwendet, um die Variablen von Systemen mit einer großen Anzahl linearer Gleichungen zu finden.

Die Gaußsche Methode ist Substitutions- und algebraischen Additionslösungen sehr ähnlich, aber systematischer. Im Schulkurs wird die Gaußsche Lösung für 3er- und 4er-Gleichungssysteme verwendet. Der Zweck des Verfahrens besteht darin, das System in die Form eines umgekehrten Trapezes zu bringen. Durch algebraische Transformationen und Substitutionen wird der Wert einer Variablen in einer der Gleichungen des Systems gefunden. Die zweite Gleichung ist ein Ausdruck mit 2 Unbekannten und 3 und 4 - mit 3 bzw. 4 Variablen.

Nachdem das System in die beschriebene Form gebracht wurde, reduziert sich die weitere Lösung auf das sequentielle Einsetzen bekannter Variablen in die Gleichungen des Systems.

In Schulbüchern für die 7. Klasse wird ein Beispiel für eine Gaußsche Lösung wie folgt beschrieben:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden in Schritt (3) zwei Gleichungen erhalten, 3 x 3 - 2 x 4 = 11 und 3 x 3 + 2 x 4 = 7. Die Lösung einer der Gleichungen ermöglicht es Ihnen, eine der Variablen x n herauszufinden.

Satz 5, der im Text erwähnt wird, besagt, dass, wenn eine der Gleichungen des Systems durch eine äquivalente ersetzt wird, das resultierende System auch dem ursprünglichen äquivalent sein wird.

Die Gauss-Methode ist für Mittelschüler schwer verständlich, aber eine der interessantesten Möglichkeiten, den Einfallsreichtum von Kindern im Aufbaustudiengang im Mathematik- und Physikunterricht zu fördern.

Zur Erleichterung der Aufzeichnung von Berechnungen ist es üblich, Folgendes zu tun:

Gleichungskoeffizienten und freie Terme werden in Form einer Matrix geschrieben, wobei jede Zeile der Matrix einer der Gleichungen des Systems entspricht. trennt die linke Seite der Gleichung von der rechten Seite. Römische Ziffern bezeichnen die Anzahl der Gleichungen im System.

Zuerst schreiben sie die Matrix auf, mit der sie arbeiten, dann alle Aktionen, die mit einer der Zeilen ausgeführt werden. Die resultierende Matrix wird nach dem "Pfeil" -Zeichen geschrieben und führt die erforderlichen algebraischen Operationen fort, bis das Ergebnis erreicht ist.

Als Ergebnis sollte eine Matrix erhalten werden, in der eine der Diagonalen 1 ist und alle anderen Koeffizienten gleich Null sind, dh die Matrix wird auf eine einzige Form reduziert. Wir dürfen nicht vergessen, mit den Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung zu rechnen.

Diese Notation ist weniger umständlich und lässt Sie nicht durch die Auflistung zahlreicher Unbekannter abgelenkt werden.

Die freie Anwendung jeder Lösungsmethode erfordert Sorgfalt und ein gewisses Maß an Erfahrung. Nicht alle Methoden werden angewendet. Einige Wege, Lösungen zu finden, sind in einem bestimmten Bereich menschlicher Aktivität vorzuziehen, während andere zum Zweck des Lernens existieren.

Ein System linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten sind zwei oder mehr lineare Gleichungen, für die alle ihre gemeinsamen Lösungen gefunden werden müssen. Wir betrachten Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten. Eine allgemeine Ansicht eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Hier sind x und y unbekannte Variablen, a1, a2, b1, b2, c1, c2 sind einige reelle Zahlen. Eine Lösung für ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten ist ein Zahlenpaar (x, y), so dass, wenn diese Zahlen in die Gleichungen des Systems eingesetzt werden, jede der Gleichungen des Systems zu einer wahren Gleichheit wird. Es gibt mehrere Möglichkeiten, ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Betrachten Sie eine der Möglichkeiten, ein System linearer Gleichungen zu lösen, nämlich die Additionsmethode.

Algorithmus zum Lösen durch Additionsverfahren

Ein Algorithmus zum Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei unbekannten Additionsverfahren.

1. Ggf. durch äquivalente Transformationen die Koeffizienten für eine der Unbekannten in beiden Gleichungen angleichen.

2. Addieren oder Subtrahieren der resultierenden Gleichungen, um eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten zu erhalten

3. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Unbekannten und finden Sie eine der Variablen.

4. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck in eine der beiden Gleichungen des Systems ein und lösen Sie diese Gleichung, wodurch Sie die zweite Variable erhalten.

5. Überprüfen Sie die Lösung.

Ein Beispiel für eine Lösung nach dem Additionsverfahren

Zur besseren Übersicht lösen wir folgendes lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten nach der Additionsmethode:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Da keine der Variablen die gleichen Koeffizienten hat, gleichen wir die Koeffizienten der Variablen y an. Multiplizieren Sie dazu die erste Gleichung mit drei und die zweite Gleichung mit zwei.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Erhalten folgendes Gleichungssystem:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Subtrahiere nun die erste von der zweiten Gleichung. Wir präsentieren gleiche Terme und lösen die resultierende lineare Gleichung.

10*x+6*y – (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Wir setzen den resultierenden Wert in die erste Gleichung unseres ursprünglichen Systems ein und lösen die resultierende Gleichung.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

Das Ergebnis ist ein Zahlenpaar x=6 und y=14. Wir überprüfen. Wir nehmen Ersatz vor.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Wie Sie sehen können, haben wir zwei wahre Gleichheiten, also haben wir die richtige Lösung gefunden.

Schülern fällt es sehr oft schwer, eine Methode zum Lösen von Gleichungssystemen auszuwählen.

In diesem Artikel betrachten wir eine der Möglichkeiten, Systeme zu lösen - die Substitutionsmethode.

Wenn eine gemeinsame Lösung zweier Gleichungen gefunden wird, dann sagt man, dass diese Gleichungen ein System bilden. In einem Gleichungssystem steht jede Unbekannte in allen Gleichungen für dieselbe Zahl. Um zu zeigen, dass diese Gleichungen ein System bilden, werden sie meist untereinander geschrieben und beispielsweise mit einer geschweiften Klammer verbunden

Wir stellen fest, dass für x = 15 und y = 5 beide Gleichungen des Systems korrekt sind. Dieses Zahlenpaar ist die Lösung des Gleichungssystems. Jedes Paar unbekannter Werte, das gleichzeitig beide Gleichungen des Systems erfüllt, wird als Lösung des Systems bezeichnet.

Ein System kann eine Lösung haben (wie in unserem Beispiel), unendlich viele Lösungen und keine Lösungen.

Wie löst man Systeme mit der Substitutionsmethode? Wenn die Koeffizienten für einige Unbekannte in beiden Gleichungen im Absolutwert gleich sind (wenn sie nicht gleich sind, gleichen wir aus), dann können Sie durch Addieren beider Gleichungen (oder Subtrahieren einer von der anderen) eine Gleichung mit einer Unbekannten erhalten. Dann lösen wir diese Gleichung. Wir definieren eine Unbekannte. Wir setzen den erhaltenen Wert der Unbekannten in eine der Gleichungen des Systems (in die erste oder in die zweite) ein. Wir finden einen weiteren Unbekannten. Schauen wir uns Beispiele für die Anwendung dieser Methode an.

Beispiel 1 Gleichungssystem lösen

Hier sind die Koeffizienten bei y im Absolutwert gleich, aber im Vorzeichen entgegengesetzt. Versuchen wir Term für Term, die Gleichungen des Systems zu addieren.

Den resultierenden Wert x \u003d 4 setzen wir in eine Gleichung des Systems ein (z. B. in die erste) und finden den Wert von y:

2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3.

Unser System hat eine Lösung x = 4, y = 3. Oder die Antwort kann in Klammern geschrieben werden, als die Koordinaten eines Punktes, an erster Stelle x, an zweiter Stelle y.

Antwort: (4; 3)

Beispiel 2. Lösen Sie ein Gleichungssystem

Wir gleichen die Koeffizienten für die Variable x aus, multiplizieren dazu die erste Gleichung mit 3 und die zweite mit (-2), erhalten wir

Seien Sie vorsichtig beim Hinzufügen von Gleichungen

Dann y \u003d - 2. Wir ersetzen die Zahl (-2) anstelle von y in der ersten Gleichung, die wir bekommen

4x + 3 (-2) \u003d - 4. Wir lösen diese Gleichung 4x \u003d - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d ½.

Antwort: (1/2; - 2)

Beispiel 3 Gleichungssystem lösen

Multipliziere die erste Gleichung mit (-2)

Lösung des Systems

wir bekommen 0 = - 13.

Es gibt kein Lösungssystem, da 0 ungleich (-13) ist.

Antwort: Es gibt keine Lösungen.

Beispiel 4 Gleichungssystem lösen

Beachten Sie, dass alle Koeffizienten der zweiten Gleichung durch 3 teilbar sind,

Teilen wir die zweite Gleichung durch drei und wir erhalten ein System, das aus zwei identischen Gleichungen besteht.

Dieses System hat unendlich viele Lösungen, da die erste und die zweite Gleichung gleich sind (wir haben nur eine Gleichung mit zwei Variablen). Wie präsentiert man die Lösung dieses Systems? Drücken wir die Variable y aus der Gleichung x + y = 5 aus. Wir erhalten y = 5 - x.

Dann Antworten wird so geschrieben: (x; 5-x), x ist eine beliebige Zahl.

Wir haben die Lösung von Gleichungssystemen nach der Additionsmethode betrachtet. Wenn Sie Fragen haben oder etwas nicht klar ist, melden Sie sich für eine Lektion an und wir werden alle Probleme mit Ihnen lösen.

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