"Zufälligkeit ist kein Zufall"... Es klingt wie ein Philosoph sagte, aber tatsächlich ist die Untersuchung von Zufällen das Schicksal der großen Wissenschaft der Mathematik. In der Mathematik ist Zufall die Theorie der Wahrscheinlichkeit. Formeln und Beispiele für Aufgaben sowie die wichtigsten Definitionen dieser Wissenschaft werden im Artikel vorgestellt.

Was ist Wahrscheinlichkeitstheorie?

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine der mathematischen Disziplinen, die zufällige Ereignisse untersucht.

Um es etwas klarer zu machen, geben wir ein kleines Beispiel: Wenn Sie eine Münze nach oben werfen, kann Kopf oder Zahl fallen. Solange die Münze in der Luft ist, sind beide Möglichkeiten möglich. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit möglicher Folgen korreliert 1:1. Zieht man aus einem Stapel mit 36 ​​Karten, dann wird die Wahrscheinlichkeit mit 1:36 angegeben. Es scheint, dass es nichts zu erforschen und vorherzusagen gibt, insbesondere mit Hilfe mathematischer Formeln. Wenn Sie jedoch eine bestimmte Aktion viele Male wiederholen, können Sie ein bestimmtes Muster erkennen und auf seiner Grundlage den Ausgang von Ereignissen unter anderen Bedingungen vorhersagen.

Um das oben Gesagte zusammenzufassen, untersucht die Wahrscheinlichkeitstheorie im klassischen Sinne die Möglichkeit des Eintretens eines der möglichen Ereignisse im numerischen Sinne.

Aus den Seiten der Geschichte

Die Wahrscheinlichkeitstheorie, Formeln und Beispiele für die ersten Aufgaben tauchten im fernen Mittelalter auf, als erste Versuche aufkamen, das Ergebnis von Kartenspielen vorherzusagen.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie hatte zunächst nichts mit Mathematik zu tun. Sie wurde durch empirische Tatsachen oder Eigenschaften eines Ereignisses begründet, die in der Praxis reproduziert werden konnten. Die ersten Arbeiten auf diesem Gebiet als mathematische Disziplin erschienen im 17. Jahrhundert. Die Gründer waren Blaise Pascal und Pierre Fermat. Lange Zeit haben sie Glücksspiel studiert und bestimmte Muster gesehen, über die sie sich entschieden haben, sie der Öffentlichkeit mitzuteilen.

Dieselbe Technik wurde von Christian Huygens erfunden, obwohl er mit den Forschungsergebnissen von Pascal und Fermat nicht vertraut war. Das Konzept der "Wahrscheinlichkeitstheorie", Formeln und Beispiele, die als die ersten in der Geschichte der Disziplin gelten, wurden von ihm eingeführt.

Von nicht geringer Bedeutung sind die Arbeiten von Jacob Bernoulli, die Sätze von Laplace und Poisson. Sie machten die Wahrscheinlichkeitstheorie eher zu einer mathematischen Disziplin. Wahrscheinlichkeitstheorie, Formeln und Beispiele grundlegender Aufgaben haben ihre heutige Form dank Kolmogorovs Axiomen erhalten. Infolge all der Veränderungen ist die Wahrscheinlichkeitstheorie zu einem der mathematischen Zweige geworden.

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Entwicklungen

Das Hauptkonzept dieser Disziplin ist "Ereignis". Es gibt drei Arten von Ereignissen:

• Zuverlässig. Die, die sowieso passieren werden (die Münze wird fallen).
• Unmöglich. Ereignisse, die in keinem Szenario eintreten (die Münze bleibt in der Luft hängen).
• Zufällig. Die, die passieren oder nicht passieren werden. Sie können durch verschiedene Faktoren beeinflusst werden, die sehr schwer vorherzusagen sind. Wenn wir von einer Münze sprechen, dann können zufällige Faktoren das Ergebnis beeinflussen: die physikalischen Eigenschaften der Münze, ihre Form, Ausgangsposition, Wurfkraft usw.

Alle Ereignisse in den Beispielen werden mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet, mit Ausnahme von R, das eine andere Rolle spielt. Zum Beispiel:

• A = "Studenten kamen zur Vorlesung."
• Ā = „Studenten sind nicht zur Vorlesung gekommen“.

Bei praktischen Aufgaben werden Ereignisse meist in Worten festgehalten.

Eine der wichtigsten Eigenschaften von Ereignissen ist ihre gleiche Möglichkeit. Das heißt, wenn Sie eine Münze werfen, sind alle Varianten des anfänglichen Falls möglich, bis sie fällt. Aber Ereignisse sind auch nicht gleich wahrscheinlich. Dies geschieht, wenn jemand das Ergebnis absichtlich beeinflusst. Zum Beispiel „markierte“ Spielkarten oder Würfel, bei denen der Schwerpunkt verschoben ist.

Ereignisse sind auch kompatibel und inkompatibel. Kompatible Ereignisse schließen das Auftreten einander nicht aus. Zum Beispiel:

• A = "der Student kam zur Vorlesung."
• B = "der Student kam zur Vorlesung."

Diese Ereignisse sind voneinander unabhängig, und das Erscheinen eines von ihnen beeinflusst nicht das Erscheinen des anderen. Inkompatible Ereignisse werden dadurch definiert, dass das Eintreten des einen das Eintreten des anderen ausschließt. Wenn wir von derselben Münze sprechen, dann macht es der Verlust von "Schwänzen" unmöglich, dass im selben Experiment "Köpfe" erscheinen.

Aktionen zu Ereignissen

Ereignisse können multipliziert bzw. addiert werden, logische Verknüpfungen „UND“ und „ODER“ werden in die Disziplin eingeführt.

Die Höhe wird dadurch bestimmt, dass entweder Ereignis A oder B oder beide gleichzeitig eintreten können. Falls sie nicht kompatibel sind, ist die letzte Option unmöglich, entweder A oder B fallen aus.

Die Multiplikation von Ereignissen besteht im gleichzeitigen Auftreten von A und B.

Jetzt können Sie ein paar Beispiele geben, um sich die Grundlagen, Wahrscheinlichkeitstheorie und Formeln besser zu merken. Beispiele zur Problemlösung unten.

Übung 1: Das Unternehmen bewirbt sich um Aufträge für drei Arten von Arbeiten. Mögliche Ereignisse, die auftreten können:

• A = "Die Firma erhält den ersten Auftrag."
• A 1 = "Die Firma erhält den ersten Auftrag nicht."
• B = "die Firma erhält einen zweiten Auftrag."
• B 1 = "das Unternehmen erhält keinen zweiten Auftrag"
• C = "die Firma erhält einen dritten Auftrag."
• C 1 = "das Unternehmen erhält keinen dritten Auftrag."

Versuchen wir, die folgenden Situationen durch Aktionen auf Ereignisse auszudrücken:

• K = "die Firma erhält alle Aufträge."

In mathematischer Form sieht die Gleichung so aus: K = ABC.

• M = "die Firma erhält keinen einzigen Auftrag."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Wir komplizieren die Aufgabe: H = "die Firma erhält einen Auftrag." Da nicht bekannt ist, welchen Auftrag das Unternehmen erhält (erster, zweiter oder dritter), ist es notwendig, die gesamte Bandbreite möglicher Ereignisse zu erfassen:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Und 1 BC 1 ist eine Reihe von Ereignissen, bei denen die Firma nicht den ersten und dritten Vertrag erhält, sondern den zweiten. Auch andere mögliche Ereignisse werden durch das entsprechende Verfahren erfasst. Das Symbol υ in der Disziplin bezeichnet ein Bündel von "ODER". Wenn wir das obige Beispiel in die menschliche Sprache übersetzen, erhält das Unternehmen entweder den dritten Vertrag oder den zweiten oder den ersten. Ebenso können Sie in der Disziplin "Wahrscheinlichkeitstheorie" andere Bedingungen schreiben. Die oben vorgestellten Formeln und Beispiele zur Lösung von Problemen helfen Ihnen dabei, dies selbst zu tun.

Eigentlich die Wahrscheinlichkeit

Vielleicht ist in dieser mathematischen Disziplin die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ein zentrales Konzept. Es gibt 3 Definitionen von Wahrscheinlichkeit:

• klassisch;
• statistisch;
• geometrisch.

Jeder hat seinen Platz in der Untersuchung von Wahrscheinlichkeiten. Wahrscheinlichkeitstheorie, Formeln und Beispiele (Klasse 9) verwenden meistens die klassische Definition, die so klingt:

• Die Wahrscheinlichkeit der Situation A ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der Ergebnisse, die ihr Eintreten begünstigen, zur Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

Die Formel sieht folgendermaßen aus: P (A) \u003d m / n.

Und eigentlich ein Event. Wenn das Gegenteil von A auftritt, kann es als Ā oder A 1 geschrieben werden.

m ist die Anzahl möglicher günstiger Fälle.

n - alle Ereignisse, die eintreten können.

Zum Beispiel A \u003d "Zieh eine Herzanzugkarte heraus." Es gibt 36 Karten in einem Standarddeck, 9 davon sind Herzen. Dementsprechend sieht die Formel zur Lösung des Problems folgendermaßen aus:

P(A)=9/36=0,25.

Infolgedessen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Karte mit Herzfarbe aus dem Stapel gezogen wird, 0,25.

zur höheren Mathematik

Jetzt ist ein wenig bekannt geworden, was die Wahrscheinlichkeitstheorie ist, Formeln und Beispiele zur Lösung von Aufgaben, die im Schullehrplan vorkommen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie findet sich aber auch in der höheren Mathematik, die an Universitäten gelehrt wird. Meistens arbeiten sie mit geometrischen und statistischen Definitionen der Theorie und komplexen Formeln.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist sehr interessant. Formeln und Beispiele (höhere Mathematik) sind besser, um von einem kleinen zu lernen - von einer statistischen (oder Häufigkeits-) Definition der Wahrscheinlichkeit.

Der statistische Ansatz widerspricht dem klassischen Ansatz nicht, sondern erweitert ihn geringfügig. Wenn im ersten Fall bestimmt werden musste, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis eintritt, muss bei dieser Methode angegeben werden, wie oft es eintritt. Hier wird ein neues Konzept der „relativen Häufigkeit“ eingeführt, das mit W n (A) bezeichnet werden kann. Die Formel unterscheidet sich nicht von der klassischen:

Wenn die klassische Formel für die Prognose berechnet wird, wird die statistische nach den Ergebnissen des Experiments berechnet. Nehmen Sie zum Beispiel eine kleine Aufgabe.

Die Abteilung für technologische Kontrolle prüft die Qualität der Produkte. Von 100 Produkten wurden 3 von schlechter Qualität befunden. Wie findet man die Häufigkeitswahrscheinlichkeit eines Qualitätsprodukts?

A = "das Aussehen eines Qualitätsprodukts."

W n (A) = 97/100 = 0,97

Somit beträgt die Häufigkeit eines Qualitätsprodukts 0,97. Woher hast du 97? Von den 100 geprüften Produkten erwiesen sich 3 als minderwertig. Wir ziehen 3 von 100 ab, wir erhalten 97, das ist die Menge eines Qualitätsprodukts.

Ein bisschen über Kombinatorik

Eine andere Methode der Wahrscheinlichkeitstheorie heißt Kombinatorik. Ihr Grundprinzip ist, dass, wenn eine bestimmte Wahl A auf m verschiedene Arten und eine Wahl B auf n verschiedene Arten getroffen werden kann, die Wahl von A und B durch Multiplikation getroffen werden kann.

Zum Beispiel gibt es 5 Straßen von Stadt A nach Stadt B. Es gibt 4 Routen von Stadt B nach Stadt C. Wie viele Möglichkeiten gibt es, um von Stadt A nach Stadt C zu gelangen?

Ganz einfach: 5x4 = 20, das heißt, es gibt zwanzig verschiedene Wege, um von Punkt A nach Punkt C zu gelangen.

Machen wir die Aufgabe schwieriger. Wie viele Möglichkeiten gibt es, Karten in Solitaire zu spielen? In einem Deck mit 36 ​​Karten ist dies der Ausgangspunkt. Um die Anzahl der Möglichkeiten herauszufinden, müssen Sie eine Karte vom Ausgangspunkt „abziehen“ und multiplizieren.

Das heißt, 36x35x34x33x32…x2x1= das Ergebnis passt nicht auf den Rechnerbildschirm, also kann es einfach als 36! bezeichnet werden. Schild "!" neben der Zahl zeigt an, dass die gesamte Zahlenreihe untereinander multipliziert wird.

In der Kombinatorik gibt es Konzepte wie Permutation, Platzierung und Kombination. Jeder von ihnen hat seine eigene Formel.

Eine geordnete Menge von Mengenelementen wird als Layout bezeichnet. Platzierungen können sich wiederholen, d. h. ein Element kann mehrmals verwendet werden. Und ohne Wiederholung, wenn die Elemente nicht wiederholt werden. n sind alle Elemente, m sind die Elemente, die an der Platzierung teilnehmen. Die Formel für die Platzierung ohne Wiederholungen sieht folgendermaßen aus:

A n m =n!/(n-m)!

Verbindungen von n Elementen, die sich nur in der Reihenfolge der Platzierung unterscheiden, werden als Permutationen bezeichnet. In der Mathematik sieht das so aus: P n = n!

Kombinationen von n Elementen mal m sind solche Verbindungen, bei denen es wichtig ist, um welche Elemente es sich handelt und wie groß ihre Gesamtzahl ist. Die Formel sieht folgendermaßen aus:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoulli-Formel

In der Wahrscheinlichkeitstheorie, wie auch in jeder Disziplin, gibt es Arbeiten herausragender Forscher auf ihrem Gebiet, die es auf eine neue Ebene gehoben haben. Eines dieser Werke ist die Bernoulli-Formel, mit der Sie die Wahrscheinlichkeit bestimmen können, dass ein bestimmtes Ereignis unter unabhängigen Bedingungen eintritt. Dies deutet darauf hin, dass das Auftreten von A in einem Experiment nicht vom Auftreten oder Nichtauftreten desselben Ereignisses in vorherigen oder nachfolgenden Tests abhängt.

Bernoulli-Gleichung:

P n (m) = C n m × p m × q n-m .

Die Wahrscheinlichkeit (p) des Eintretens des Ereignisses (A) bleibt für jeden Versuch unverändert. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Situation genau m mal in n Experimenten eintritt, wird durch die oben dargestellte Formel berechnet. Dementsprechend stellt sich die Frage, wie man die Zahl q herausfindet.

Wenn das Ereignis A p-mal auftritt, kann es dementsprechend nicht eintreten. Eine Einheit ist eine Zahl, die verwendet wird, um alle Ergebnisse einer Situation in einer Disziplin zu bezeichnen. Daher ist q eine Zahl, die die Möglichkeit angibt, dass das Ereignis nicht eintritt.

Jetzt kennen Sie die Bernoulli-Formel (Wahrscheinlichkeitstheorie). Beispiele der Problemlösung (erste Ebene) werden unten betrachtet.

Aufgabe 2: Ein Ladenbesucher kauft mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2. 6 Besucher betraten selbstständig den Laden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher einen Kauf tätigt?

Lösung: Da nicht bekannt ist, wie viele Besucher einen Kauf tätigen sollen, einer oder alle sechs, ist es notwendig, alle möglichen Wahrscheinlichkeiten mit der Bernoulli-Formel zu berechnen.

A = "der Besucher wird einen Kauf tätigen."

In diesem Fall: p = 0,2 (wie in der Aufgabe angegeben). Dementsprechend ist q = 1 – 0,2 = 0,8.

n = 6 (weil 6 Kunden im Geschäft sind). Die Zahl m ändert sich von 0 (kein Kunde kauft etwas) auf 6 (alle Ladenbesucher kaufen etwas). Als Ergebnis erhalten wir die Lösung:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Keiner der Käufer wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2621 einen Kauf tätigen.

Wie sonst wird die Bernoulli-Formel (Wahrscheinlichkeitstheorie) verwendet? Beispiele zur Problemlösung (zweite Ebene) unten.

Nach dem obigen Beispiel stellen sich Fragen, wohin C und p gegangen sind. In Bezug auf p ist eine Zahl hoch 0 gleich eins. Was C betrifft, kann es durch die Formel gefunden werden:

C n m = n! /m!(n-m)!

Da im ersten Beispiel m = 0 bzw. C = 1 ist, was das Ergebnis prinzipiell nicht beeinflusst. Versuchen wir mit der neuen Formel herauszufinden, wie wahrscheinlich es ist, dass zwei Besucher Waren kaufen.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist nicht so kompliziert. Die Bernoulli-Formel, für die oben Beispiele vorgestellt wurden, ist ein direkter Beweis dafür.

Poisson-Formel

Die Poisson-Gleichung wird verwendet, um unwahrscheinliche Zufallssituationen zu berechnen.

Grundformel:

P n (m) = λ m /m! × e (-λ) .

In diesem Fall ist λ = n x p. Hier ist so eine einfache Poisson-Formel (Wahrscheinlichkeitstheorie). Beispiele zur Problemlösung werden nachstehend betrachtet.

Aufgabe 3 A: Die Fabrik produzierte 100.000 Teile. Das Auftreten eines defekten Teils = 0,0001. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es 5 fehlerhafte Teile in einer Charge gibt?

Wie Sie sehen können, ist die Ehe ein unwahrscheinliches Ereignis, und daher wird die Poisson-Formel (Wahrscheinlichkeitstheorie) zur Berechnung verwendet. Beispiele für die Lösung von Problemen dieser Art unterscheiden sich nicht von anderen Aufgaben der Disziplin, wir setzen die erforderlichen Daten in die obige Formel ein:

A = "ein zufällig ausgewähltes Teil wird defekt sein."

p = 0,0001 (gemäß Zuordnungsbedingung).

n = 100000 (Teilezahl).

m = 5 (defekte Teile). Wir ersetzen die Daten in der Formel und erhalten:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! Xe –10 = 0,0375.

Genau wie die Bernoulli-Formel (Wahrscheinlichkeitstheorie), Beispiele für Lösungen, die oben geschrieben sind, hat die Poisson-Gleichung ein unbekanntes e. Im Wesentlichen kann es durch die Formel gefunden werden:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Es gibt jedoch spezielle Tabellen, die fast alle Werte von z.

Satz von De Moivre-Laplace

Wenn im Bernoulli-Schema die Anzahl der Versuche groß genug ist und die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis A in allen Schemata gleich ist, dann kann die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis A eine bestimmte Anzahl von Malen in einer Reihe von Versuchen gefunden werden die Laplace-Formel:

Ð n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Um sich besser an die Laplace-Formel (Wahrscheinlichkeitstheorie) zu erinnern, helfen unten Beispiele für Aufgaben.

Zuerst finden wir X m , setzen die Daten (sie sind alle oben angegeben) in die Formel ein und erhalten 0,025. Mithilfe von Tabellen finden wir die Zahl ϕ (0,025), deren Wert 0,3988 ist. Jetzt können Sie alle Daten in der Formel ersetzen:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Flyer genau 267 Mal trifft, ist also 0,03.

Bayes-Formel

Die Bayes-Formel (Wahrscheinlichkeitstheorie), Beispiele für die Lösung von Aufgaben, die unten angegeben werden, ist eine Gleichung, die die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf der Grundlage der damit verbundenen Umstände beschreibt. Die Hauptformel lautet wie folgt:

P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B).

A und B sind bestimmte Ereignisse.

P(A|B) - bedingte Wahrscheinlichkeit, dh Ereignis A kann eintreten, sofern Ereignis B wahr ist.

Р (В|А) - bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses В.

Der letzte Teil des Kurzkurses "Wahrscheinlichkeitstheorie" ist also die Bayes-Formel, Beispiele für die Lösung von Problemen, mit denen Sie unten finden.

Aufgabe 5: Telefone von drei Firmen wurden ins Lager gebracht. Gleichzeitig beträgt der Teil der Telefone, die im ersten Werk hergestellt werden, 25%, im zweiten 60% und im dritten 15%. Es ist auch bekannt, dass der durchschnittliche Prozentsatz fehlerhafter Produkte in der ersten Fabrik 2%, in der zweiten - 4% und in der dritten - 1% beträgt. Es muss die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass ein zufällig ausgewähltes Telefon defekt sein wird.

A = "zufällig genommenes Telefon."

B 1 - das Telefon, das die erste Fabrik hergestellt hat. Dementsprechend erscheinen einleitende B 2 und B 3 (für die zweite und dritte Fabrik).

Als Ergebnis erhalten wir:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - also haben wir die Wahrscheinlichkeit jeder Option gefunden.

Jetzt müssen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten des gewünschten Ereignisses finden, dh die Wahrscheinlichkeit fehlerhafter Produkte in Unternehmen:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Jetzt setzen wir die Daten in die Bayes-Formel ein und erhalten:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Der Artikel stellt die Wahrscheinlichkeitstheorie, Formeln und Beispiele zur Problemlösung vor, aber dies ist nur die Spitze des Eisbergs einer riesigen Disziplin. Und nach allem, was geschrieben wurde, wird es logisch sein, die Frage zu stellen, ob die Wahrscheinlichkeitstheorie im Leben gebraucht wird. Es ist für eine einfache Person schwierig zu antworten, es ist besser, jemanden zu fragen, der mit ihrer Hilfe mehr als einmal den Jackpot geknackt hat.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine mathematische Wissenschaft, die es ermöglicht, durch die Wahrscheinlichkeiten einiger zufälliger Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten anderer zufälliger Ereignisse zu finden, die in irgendeiner Weise mit dem ersten zusammenhängen.

Eine Anweisung, bei der ein Ereignis auftritt Wahrscheinlichkeit, gleich z. B. ½, stellt für sich genommen noch nicht den endgültigen Wert dar, da wir nach zuverlässiger Erkenntnis streben. Der endgültige kognitive Wert sind jene Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie, die es uns erlauben zu behaupten, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines beliebigen Ereignisses A sehr nahe bei Eins liegt oder (was dasselbe ist) die Wahrscheinlichkeit des Nichteintretens des Ereignisses A sehr klein ist . Nach dem Grundsatz der „Vernachlässigung hinreichend kleiner Wahrscheinlichkeiten“ gilt ein solches Ereignis zu Recht als praktisch sicher. Weiter unten (im Abschnitt Grenzwertsätze) wird gezeigt, dass wissenschaftlich und praktisch interessante Schlussfolgerungen dieser Art meist auf der Annahme beruhen, dass das Eintreten oder Nichteintreten des Ereignisses A von einer Vielzahl wenig zufälliger Faktoren abhängt miteinander verwandt. Daher können wir auch sagen, dass die Wahrscheinlichkeitstheorie eine mathematische Wissenschaft ist, die die Muster erklärt, die entstehen, wenn eine Vielzahl von Zufallsfaktoren zusammenwirken.

Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Zur Beschreibung eines regelmäßigen Zusammenhangs zwischen bestimmten Bedingungen S und einem Ereignis A, dessen Eintreten oder Nichteintreten unter gegebenen Bedingungen genau festgestellt werden kann, verwendet die Naturwissenschaft üblicherweise eines der folgenden zwei Schemata:

a) bei jeder Erfüllung der Bedingungen S tritt ein Ereignis A ein, zB haben alle Gesetze der klassischen Mechanik diese Form, die besagen, dass bei gegebenen Anfangsbedingungen und Kräften, die auf einen Körper oder ein System von Körpern einwirken, die Bewegung eintritt auf eindeutig definierte Weise.

b) Unter den Bedingungen S hat das Ereignis A eine bestimmte Wahrscheinlichkeit P (A / S) gleich p. So besagen zum Beispiel die Gesetze der radioaktiven Strahlung, dass für jeden radioaktiven Stoff eine bestimmte Wahrscheinlichkeit besteht, dass eine bestimmte Anzahl N von Atomen in einem bestimmten Zeitraum aus einer bestimmten Stoffmenge zerfällt.

Nennen wir die Häufigkeit des Ereignisses A in einer gegebenen Reihe von n Versuchen (d. h. von n wiederholten Implementierungen der Bedingungen S) das Verhältnis h = m/n der Anzahl m jener Versuche, in denen A auftrat, zu ihrer Gesamtzahl n . Die Tatsache, dass das Ereignis A unter den Bedingungen S eine gewisse Wahrscheinlichkeit gleich p hat, zeigt sich darin, dass in fast jeder ausreichend langen Versuchsreihe die Häufigkeit des Ereignisses A ungefähr gleich p ist.

Statistische Regelmäßigkeiten, also Regelmäßigkeiten, die durch ein Schema vom Typ (b) beschrieben werden, wurden erstmals am Beispiel von Glücksspielen wie Würfeln entdeckt. Auch die statistischen Gesetzmäßigkeiten von Geburt und Tod sind seit langem bekannt (Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neugeborenes ein Junge ist, beträgt 0,515). Ende des 19. Jahrhunderts und 1. Hälfte des 20. Jahrhunderts. geprägt durch die Entdeckung einer Vielzahl statistischer Regelmäßigkeiten in Physik, Chemie, Biologie etc.

Die Möglichkeit, die Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie auf das Studium statistischer Gesetzmäßigkeiten in weit entfernten Wissenschaftsgebieten anzuwenden, beruht auf der Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen immer einige einfache Beziehungen erfüllen, die weiter unten diskutiert werden (siehe Abschnitt Grundlegende Konzepte der Wahrscheinlichkeit Theorie). Die Untersuchung der Eigenschaften der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen auf der Grundlage dieser einfachen Beziehungen ist Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie als mathematische Disziplin werden am einfachsten im Rahmen der sogenannten elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie definiert. Jeder in der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie betrachtete Versuch T endet mit einem und nur einem der Ereignisse E1, E2, ..., ES (je nach Fall mit dem einen oder anderen). Diese Ereignisse werden als Studienergebnisse bezeichnet. Jedem Ergebnis Ek ist eine positive Zahl pk zugeordnet – die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses. Die Zahlen pk müssen sich zu Eins addieren. Dann werden die Ereignisse A betrachtet, die darin bestehen, dass „entweder Ei, oder Ej, ..., oder Ek eintritt“. Die Ergebnisse Ei, Ej,..., Ek werden günstiges A genannt, und per Definition wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit P (A) des Ereignisses A gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse ist:

P(A) = pi + ps + … + pk. (eines)

Der Spezialfall p1 = p2 =... ps = 1/S führt auf die Formel

P(A) = r/s. (2)

Formel (2) drückt die sogenannte klassische Definition der Wahrscheinlichkeit aus, wonach die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses A gleich dem Verhältnis der Zahl r der Ausgänge ist, die A begünstigen, zur Zahl s aller „gleich möglichen“ Ausgänge. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit reduziert den Begriff der „Wahrscheinlichkeit“ lediglich auf den Begriff der „Äquimöglichkeit“, der ohne klare Definition bleibt.

Beispiel. Beim Werfen von zwei Würfeln kann jedes der 36 möglichen Ergebnisse bezeichnet werden (i, j), wobei i die Anzahl der Punkte ist, die auf den ersten Würfel fällt, j - auf den zweiten. Die Ergebnisse werden als gleich wahrscheinlich angenommen. Ereignis A – „Die Summe der Punkte ist 4“ wird durch drei Ergebnisse begünstigt (1; 3), (2; 2), (3; 1). Daher ist P(A) = 3/36 = 1/12.

Basierend auf beliebigen Daten von Ereignissen können zwei neue Ereignisse definiert werden: ihre Vereinigung (Summe) und Kombination (Produkt). Ein Ereignis B heißt Vereinigung der Ereignisse A 1, A 2,..., Ar,-, wenn es die Form hat: "entweder A1, oder A2,..., oder Ar tritt ein".

Ein Ereignis C heißt Kombination der Ereignisse A1, A.2,..., Ar, wenn es die Form hat: "A1, A2,..., und Ar treten ein". Die Kombination von Ereignissen wird durch das Zeichen È und die Kombination - durch das Zeichen Ç bezeichnet. So schreiben sie:

B = A1 È A2 È … È Ar, C = A1 Ç A2 Ç … Ç Ar.

Die Ereignisse A und B werden als inkompatibel bezeichnet, wenn ihre gleichzeitige Durchführung nicht möglich ist, d. h. wenn es kein einziges positives Ergebnis des Tests für A und B gibt.

Die beiden Hauptsätze von V. t., die Sätze von der Addition und der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten, hängen mit den eingeführten Operationen des Kombinierens und Überlagerns von Ereignissen zusammen.

Der Wahrscheinlichkeitssatz. Wenn die Ereignisse A1, A2,..., Ar derart sind, dass jeweils zwei von ihnen inkompatibel sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit ihrer Vereinigung gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten.

In dem obigen Beispiel mit dem Werfen von zwei Würfeln ist Ereignis B - "die Summe der Punkte ist nicht größer als 4" die Vereinigung von drei inkompatiblen Ereignissen A2, A3, A4, die darin bestehen, dass die Summe der Punkte 2 ist , 3 bzw. 4. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse 1/36; 2/36; 3/36. Nach dem Additionssatz ist die Wahrscheinlichkeit P(B) gleich

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter Bedingung A wird durch die Formel bestimmt

was, wie gezeigt werden kann, in voller Übereinstimmung mit den Eigenschaften von Frequenzen ist. Die Ereignisse A1, A2, ..., Ar heißen unabhängig, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit jedes von ihnen, vorausgesetzt, dass irgendwelche der anderen eingetreten sind, gleich ihrer "unbedingten" Wahrscheinlichkeit ist

Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz. Die Wahrscheinlichkeit der Kombination der Ereignisse A1, A2, ..., Ar ist gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A1, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A2, angenommen unter der Bedingung, dass A1 eingetreten ist, ..., multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Ar, vorausgesetzt, dass A1, A2, ..., Ar-1 eingetroffen sind. Für unabhängige Ereignisse führt der Multiplikationssatz auf die Formel:

P (A1 Ç A2 Ç … Ç Ar) = P (A1) Ç P (A2) Ç … Ç P (Ar), (3)

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit der Kombination unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse. Formel (3) bleibt gültig, wenn einige der Ereignisse in beiden Teilen durch entgegengesetzte ersetzt werden.

Beispiel. Feuert 4 Schüsse auf das Ziel mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von 0,2 bei einem einzigen Schuss ab. Zieltreffer für verschiedene Schüsse werden als unabhängige Ereignisse angenommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Ziel genau dreimal zu treffen?

Jedes Testergebnis kann durch eine Folge von vier Buchstaben angegeben werden [z. B. bedeutet (y, n, n, y), dass der erste und vierte Schuss getroffen haben (Erfolg), und der zweite und dritte Treffer nicht (fehlgeschlagen)]. Insgesamt gibt es 2Ї2Ї2Ї2 = 16 Ergebnisse. Entsprechend der Annahme der Unabhängigkeit der Ergebnisse einzelner Schüsse sollte Formel (3) und eine Anmerkung dazu verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse zu bestimmen. Daher sollte die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses (y, n. n, n) gleich 0,2 0,8 0,8 0,8 = 0,1024 gesetzt werden; hier 0,8 \u003d 1-0,2 - die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschusses mit einem einzigen Schuss. Das Ereignis „das Ziel wird dreimal getroffen“ wird durch die Ergebnisse (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y) begünstigt. (n, y, y, y), die Wahrscheinlichkeit ist jeweils gleich:

0,2 0,2 ​​0,2 ​​0,8 \u003d ...... \u003d 0,8 0,2 0,2 ​​0,2 ​​\u003d 0,0064;

daher ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit gleich

4 0,0064 = 0,0256.

Aus der Argumentation des analysierten Beispiels verallgemeinernd, lässt sich eine der Grundformeln der Wahrscheinlichkeitstheorie herleiten: Wenn die Ereignisse A1, A2,..., An unabhängig sind und jeweils die Wahrscheinlichkeit p haben, dann ist die Eintrittswahrscheinlichkeit genau m von ihnen ist gleich

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (vier)

hier bezeichnet Cnm die Anzahl der Kombinationen von n Elementen durch m. Für große n werden Berechnungen unter Verwendung von Formel (4) schwierig. Die Anzahl der Schüsse im vorherigen Beispiel sei 100, und die Frage ist, die Wahrscheinlichkeit x zu finden, dass die Anzahl der Treffer im Bereich von 8 bis 32 liegt. Die Anwendung von Formel (4) und dem Additionstheorem ergibt eine exakte, aber praktische ungeeigneter Ausdruck für die gewünschte Wahrscheinlichkeit

Ein ungefährer Wert der Wahrscheinlichkeit x kann mit dem Satz von Laplace gefunden werden

und der Fehler überschreitet nicht 0,0009. Das gefundene Ergebnis zeigt, dass das Ereignis 8 £ m £ 32 so gut wie sicher ist. Dies ist das einfachste, aber typische Beispiel für die Verwendung der Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Zu den Grundformeln der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie gehört auch die sogenannte Gesamtwahrscheinlichkeitsformel: Wenn die Ereignisse A1, A2,..., Ar paarweise unverträglich sind und ihre Vereinigung ein bestimmtes Ereignis ist, dann ist für jedes Ereignis B die Wahrscheinlichkeit gleich zur Summe

Das Wahrscheiist besonders nützlich, wenn man zusammengesetzte Tests betrachtet. Ein Versuch T besteht aus den Versuchen T1, T2, ..., Tn-1, Tn, wenn jeder Ausgang des Versuchs T eine Kombination einiger Ausgänge Ai, Bj, ..., Xk, Yl des entsprechenden ist Versuche T1, T2, ..., Tn-1, Tn. Aus dem einen oder anderen Grund sind die Wahrscheinlichkeiten oft bekannt

Wichtige Notizen!
1. Wenn Sie anstelle von Formeln Abrakadabra sehen, leeren Sie Ihren Cache. Wie es in Ihrem Browser geht, steht hier:
2. Bevor Sie mit dem Lesen des Artikels beginnen, achten Sie auf unseren Navigator für die nützlichste Ressource für

Was ist eine Wahrscheinlichkeit?

Wenn ich zum ersten Mal mit diesem Begriff konfrontiert werde, würde ich nicht verstehen, was das ist. Also ich versuche es verständlich zu erklären.

Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gewünschte Ereignis eintritt.

Wenn Sie sich zum Beispiel entschieden haben, einen Freund zu besuchen, erinnern Sie sich an den Eingang und sogar an die Etage, auf der er lebt. Aber ich habe die Nummer und Lage der Wohnung vergessen. Und jetzt stehst du im Treppenhaus und vor dir stehen die Türen zur Auswahl.

Wie groß ist die Chance (Wahrscheinlichkeit), dass Ihr Freund für Sie öffnet, wenn Sie an der ersten Tür klingeln? Ganze Wohnung, und ein Freund wohnt nur hinter einer von ihnen. Bei gleicher Wahrscheinlichkeit können wir jede Tür wählen.

Aber was ist diese Chance?

Türen, die richtige Tür. Wahrscheinlichkeit des Erratens durch Klingeln an der ersten Tür: . Das heißt, eins von dreien werden Sie sicher erraten.

Wir wollen wissen, indem wir einmal anrufen, wie oft werden wir die Tür erraten? Schauen wir uns alle Optionen an:

1. du hast angerufen 1 Tür
2. du hast angerufen 2 Tür
3. du hast angerufen 3 Tür

Und jetzt betrachten Sie alle Möglichkeiten, wo ein Freund sein kann:

a. Pro 1 Tür
b. Pro 2 Tür
in. Pro 3 Tür

Vergleichen wir alle Optionen in Form einer Tabelle. Ein Häkchen zeigt die Optionen an, wenn Ihre Auswahl mit dem Standort eines Freundes übereinstimmt, ein Kreuz - wenn es nicht übereinstimmt.

Wie siehst du alles Vielleicht Optionen den Standort eines Freundes und Ihre Wahl, an welcher Tür geklingelt werden soll.

ABER günstige Ergebnisse von allen . Das heißt, Sie erraten die Zeiten, indem Sie einmal an der Tür klingeln, d.h. .

Dies ist die Wahrscheinlichkeit - das Verhältnis eines günstigen Ergebnisses (wenn Ihre Wahl mit dem Standort eines Freundes übereinstimmt) zur Anzahl möglicher Ereignisse.

Die Definition ist die Formel. Die Wahrscheinlichkeit wird normalerweise mit p bezeichnet, also:

Es ist nicht sehr praktisch, eine solche Formel zu schreiben, daher nehmen wir für - die Anzahl günstiger Ergebnisse und für - die Gesamtzahl der Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit kann in Prozent geschrieben werden, dazu müssen Sie das resultierende Ergebnis multiplizieren mit:

Wahrscheinlich ist Ihnen das Wort „Ergebnisse“ aufgefallen. Da Mathematiker verschiedene Aktionen (für uns ist eine solche Aktion eine Türklingel) Experimente nennen, ist es üblich, das Ergebnis solcher Experimente als Ergebnis zu bezeichnen.

Nun, die Ergebnisse sind günstig und ungünstig.

Kommen wir zurück zu unserem Beispiel. Nehmen wir an, wir haben an einer der Türen geklingelt, aber ein Fremder hat sie uns geöffnet. Wir haben es nicht erraten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser Freund sie für uns öffnet, wenn wir an einer der verbleibenden Türen klingeln?

Wenn Sie das dachten, dann ist dies ein Fehler. Finden wir es heraus.

Wir haben noch zwei Türen. Wir haben also mögliche Schritte:

1) Rufen Sie an 1 Tür
2) Anruf 2 Tür

Ein Freund steht mit all dem definitiv hinter einem von ihnen (schließlich stand er nicht hinter dem, den wir angerufen haben):

a) ein Freund 1 Tür
b) ein Freund für 2 Tür

Lassen Sie uns die Tabelle erneut zeichnen:

Wie Sie sehen, gibt es alle Optionen, von denen - günstig. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Warum nicht?

Die Situation, die wir betrachtet haben, ist Beispiel für abhängige Ereignisse. Das erste Ereignis ist die erste Türklingel, das zweite Ereignis ist die zweite Türklingel.

Und sie werden abhängig genannt, weil sie die folgenden Aktionen beeinflussen. Wenn ein Freund nach dem ersten Klingeln die Tür öffnete, wie hoch wäre die Wahrscheinlichkeit, dass er sich hinter einem der anderen beiden befand? Richtig, .

Aber wenn es abhängige Ereignisse gibt, dann muss es welche geben unabhängig? Es stimmt, es gibt.

Ein Lehrbuchbeispiel ist das Werfen einer Münze.

1. Wir werfen eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zum Beispiel Köpfe fallen? Das ist richtig - weil die Optionen für alles (entweder Kopf oder Zahl, wir werden die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze auf der Kante steht, vernachlässigen), aber nur zu uns passt.
2. Aber die Schwänze fielen heraus. Okay, machen wir es noch einmal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jetzt Kopf kommt? Nichts hat sich geändert, alles ist gleich. Wie viele Optionen? Zwei. Womit sind wir zufrieden? Einer.

Und lass Schwänze mindestens tausendmal hintereinander ausfallen. Die Wahrscheinlichkeit, dass gleichzeitig Köpfe fallen, ist gleich. Es gibt immer Möglichkeiten, aber günstige.

Abhängige Ereignisse von unabhängigen Ereignissen zu unterscheiden ist einfach:

1. Wenn das Experiment einmal durchgeführt wird (einmal eine Münze geworfen, einmal an der Tür geklingelt usw.), dann sind die Ereignisse immer unabhängig voneinander.
2. Wird das Experiment mehrmals durchgeführt (einmal Münze geworfen, mehrmals geklingelt), dann ist das erste Ereignis immer unabhängig. Und dann, wenn sich die Anzahl der günstigen oder die Anzahl aller Ergebnisse ändert, dann sind die Ereignisse abhängig, und wenn nicht, sind sie unabhängig.

Lassen Sie uns ein wenig üben, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.

Beispiel 1

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander Heads-Up zu bekommen?

Lösung:

Betrachten Sie alle möglichen Optionen:

1. Adler Adler
2. Schwanz Adler
3. Schwanzadler
4. Schwänze-Schwänze

Wie Sie sehen können, alle Optionen. Davon sind wir nur zufrieden. Das ist die Wahrscheinlichkeit:

Wenn die Bedingung lediglich nach der Wahrscheinlichkeit fragt, muss die Antwort als Dezimalbruch angegeben werden. Wenn angegeben wäre, dass die Antwort in Prozent angegeben werden muss, würden wir mit multiplizieren.

Antworten:

Beispiel 2

In einer Pralinenschachtel sind alle Bonbons in der gleichen Verpackung verpackt. Allerdings von Süßigkeiten - mit Nüssen, Cognac, Kirschen, Karamell und Nougat.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Süßigkeit zu nehmen und eine Süßigkeit mit Nüssen zu bekommen? Geben Sie Ihre Antwort in Prozent an.

Lösung:

Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? .

Das heißt, wenn Sie eine Süßigkeit nehmen, wird es eine von denen in der Schachtel sein.

Und wie viele günstige Ergebnisse?

Denn die Schachtel enthält nur Pralinen mit Nüssen.

Antworten:

Beispiel 3

In einer Kiste voller Bälle. davon sind weiß und schwarz.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?
2. Wir haben der Box weitere schwarze Kugeln hinzugefügt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine weiße Kugel zu ziehen?

Lösung:

a) In der Schachtel sind nur Bälle. davon sind weiß.

Die Wahrscheinlichkeit ist:

b) Jetzt sind Bälle in der Kiste. Und es sind genauso viele Weiße übrig.

Antworten:

Volle Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist ().

Zum Beispiel in einer Kiste mit roten und grünen Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Ball zu ziehen? Grüne Kugel? Roter oder grüner Ball?

Wahrscheinlichkeit, einen roten Ball zu ziehen

Grüne Kugel:

Rote oder grüne Kugel:

Wie Sie sehen können, ist die Summe aller möglichen Ereignisse gleich (). Das Verständnis dieses Punktes wird Ihnen helfen, viele Probleme zu lösen.

Beispiel 4

In der Schachtel sind Filzstifte: grün, rot, blau, gelb, schwarz.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, KEINE rote Markierung zu ziehen?

Lösung:

Zählen wir die Zahl günstige Ergebnisse.

KEINE rote Markierung, das heißt grün, blau, gelb oder schwarz.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Sie wissen bereits, was unabhängige Veranstaltungen sind.

Und wenn Sie die Wahrscheinlichkeit finden müssen, dass zwei (oder mehr) unabhängige Ereignisse hintereinander eintreten?

Nehmen wir an, wir wollen wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir beim einmaligen Werfen einer Münze zweimal einen Adler sehen.

Wir haben bereits überlegt - .

Was, wenn wir eine Münze werfen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander einen Adler zu sehen?

Insgesamt mögliche Optionen:

1. Adler-Adler-Adler
2. Adlerkopfschwänze
3. Kopf-Schwanz-Adler
4. Kopf-Zahl-Zahl
5. Schwanz-Adler-Adler
6. Zahl-Kopf-Zahl
7. Schwänze-Schwänze-Köpfe
8. Schwänze-Schwänze-Schwänze

Ich weiß nicht, wie es euch geht, aber ich habe diese Liste einmal falsch gemacht. Wow! Und nur Option (die erste) passt zu uns.

Bei 5 Würfen können Sie selbst eine Liste möglicher Ergebnisse erstellen. Aber Mathematiker sind nicht so fleißig wie Sie.

Daher haben sie zuerst bemerkt und dann bewiesen, dass die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse jedes Mal um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses abnimmt.

Mit anderen Worten,

Betrachten Sie das Beispiel derselben, unglückseligen Münze.

Wahrscheinlichkeit, in einem Prozess Kopf zu bekommen? . Jetzt werfen wir eine Münze.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Zahlen hintereinander zu bekommen?

Diese Regel funktioniert nicht nur, wenn es darum geht, die Wahrscheinlichkeit dafür zu ermitteln, dass dasselbe Ereignis mehrmals hintereinander eintritt.

Wenn wir die Sequenz TAILS-EAGLE-TAILS bei aufeinanderfolgenden Flips finden wollten, würden wir dasselbe tun.

Die Wahrscheinlichkeit, Zahl - , Kopf - zu bekommen.

Die Wahrscheinlichkeit, die Sequenz SCHWANZ-ADLER-SCHWANZ-SCHWANZ zu erhalten:

Sie können es selbst überprüfen, indem Sie eine Tabelle erstellen.

Die Regel zum Addieren der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse.

Also hör auf! Neudefinition.

Finden wir es heraus. Nehmen wir unsere abgenutzte Münze und werfen sie einmal.
Möglichkeiten:

1. Adler-Adler-Adler
2. Adlerkopfschwänze
3. Kopf-Schwanz-Adler
4. Kopf-Zahl-Zahl
5. Schwanz-Adler-Adler
6. Zahl-Kopf-Zahl
7. Schwänze-Schwänze-Köpfe
8. Schwänze-Schwänze-Schwänze

Hier sind also inkompatible Ereignisse, das ist eine bestimmte, vorgegebene Abfolge von Ereignissen. sind inkompatible Ereignisse.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit von zwei (oder mehr) inkompatiblen Ereignissen bestimmen wollen, dann addieren wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Sie müssen verstehen, dass der Verlust eines Adlers oder Schwanzes zwei unabhängige Ereignisse sind.

Wenn wir bestimmen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Folge (oder irgendeine andere) herausfällt, verwenden wir die Regel der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf Kopf und beim zweiten und dritten Wurf Zahl zu bekommen?

Wollen wir aber wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, eine von mehreren Folgen zu bekommen, wenn zum Beispiel Kopf genau einmal kommt, d.h. Optionen und dann müssen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Sequenzen addieren.

Gesamtoptionen passen zu uns.

Wir können dasselbe erhalten, indem wir die Wahrscheinlichkeiten des Auftretens jeder Sequenz addieren:

Daher fügen wir Wahrscheinlichkeiten hinzu, wenn wir die Wahrscheinlichkeit einiger inkompatibler Ereignisfolgen bestimmen wollen.

Es gibt eine großartige Regel, die Ihnen hilft, nicht verwirrt zu werden, wann Sie multiplizieren und wann Sie addieren müssen:

Gehen wir zurück zu dem Beispiel, wo wir mal eine Münze geworfen haben und die Wahrscheinlichkeit wissen wollen, einmal Kopf zu sehen.
Was wird passieren?

Sollte fallen:
(Kopf UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl und Zahl UND Kopf).
Und so stellt sich heraus:

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 5

In der Schachtel sind Bleistifte. rot, grün, orange und gelb und schwarz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Rot- oder Grünstifte zu zeichnen?

Lösung:

Beispiel 6

Ein Würfel wird zweimal geworfen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt 8 fallen?

Lösung.

Wie können wir Punkte bekommen?

(und) oder (und) oder (und) oder (und) oder (und).

Die Wahrscheinlichkeit, aus einem (beliebigen) Gesicht herauszufallen, ist .

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit:

Trainieren.

Ich denke, jetzt ist Ihnen klar geworden, wann Sie die Wahrscheinlichkeiten zählen, wann sie addieren und wann sie multiplizieren müssen. Nicht wahr? Lass uns ein bisschen Sport treiben.

Aufgaben:

Nehmen wir ein Kartenspiel, in dem die Karten Pik, Herz, 13 Kreuz und 13 Tamburine sind. Von bis Ass jeder Farbe.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Kreuze in Folge zu ziehen (wir legen die erste gezogene Karte zurück in den Stapel und mischen)?
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Karte (Pik oder Kreuz) zu ziehen?
3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein Bild zu ziehen (Bube, Dame, König oder Ass)?
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Bilder hintereinander zu ziehen (wir entfernen die erste gezogene Karte aus dem Stapel)?
5. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Karten eine Kombination zu erhalten - (Bube, Dame oder König) und Ass? Die Reihenfolge, in der die Karten gezogen werden, spielt keine Rolle.

Antworten:

Wenn du alle Probleme selbst lösen konntest, dann bist du ein toller Kerl! Jetzt Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitstheorie in der Prüfung werden Sie wie Nüsse klicken!

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Betrachten Sie ein Beispiel. Nehmen wir an, wir würfeln. Was ist das für ein Knochen, weißt du? Dies ist der Name eines Würfels mit Zahlen auf den Flächen. Wie viele Gesichter, so viele Zahlen: von bis wie viele? Vor.

Wir würfeln also und wollen, dass ein oder erscheint. Und wir fallen aus.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie sagen sie, was passiert ist günstiges Ereignis(nicht zu verwechseln mit gut).

Wenn es ausfiel, wäre die Veranstaltung auch vielversprechend. Insgesamt können nur zwei günstige Ereignisse eintreten.

Wie viele schlechte? Da alle möglichen Ereignisse sind, dann sind die ungünstigsten Ereignisse (dies ist, wenn es herausfällt oder).

Definition:

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse.. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit zeigt, welcher Anteil aller möglichen Ereignisse günstig ist.

Sie bezeichnen die Wahrscheinlichkeit mit einem lateinischen Buchstaben (anscheinend vom englischen Wort Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit).

Es ist üblich, die Wahrscheinlichkeit in Prozent zu messen (siehe Thema). Dazu muss der Wahrscheinlichkeitswert mit multipliziert werden. Im Würfelbeispiel Wahrscheinlichkeit.

Und in Prozent: .

Beispiele (selbst entscheiden):

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen einer Münze Kopf fällt? Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Zahl?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln eine gerade Zahl erscheint? Und womit - seltsam?
3. In einer Schublade mit einfachen, blauen und roten Stiften. Wir zeichnen zufällig einen Bleistift. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen einfachen herauszuziehen?

Lösungen:

1. Wie viele Optionen gibt es? Kopf und Zahl - nur zwei. Und wie viele davon sind günstig? Nur einer ist ein Adler. Also die Wahrscheinlichkeit

   Dasselbe gilt für Schwänze: .

2. Gesamtoptionen: (wie viele Seiten ein Würfel hat, also viele verschiedene Optionen). Günstige: (das sind alles gerade Zahlen :).
   Wahrscheinlichkeit. Mit ungeraden natürlich das Gleiche.
3. Insgesamt: . Günstig: . Wahrscheinlichkeit: .

Volle Wahrscheinlichkeit

Alle Bleistifte in der Schublade sind grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Rotstift zu zeichnen? Es gibt keine Chancen: Wahrscheinlichkeit (immerhin günstige Ereignisse -).

Ein solches Ereignis wird als unmöglich bezeichnet.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen grünen Stift zu zeichnen? Es gibt genau so viele günstige Ereignisse wie es Gesamtereignisse gibt (alle Ereignisse sind günstig). Die Wahrscheinlichkeit ist also oder.

Ein solches Ereignis wird als sicher bezeichnet.

Wenn grüne und rote Stifte in der Schachtel sind, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen grünen oder einen roten zu zeichnen? Wieder mal. Beachten Sie Folgendes: Die Wahrscheinlichkeit, Grün zu ziehen, ist gleich, und Rot ist .

In der Summe sind diese Wahrscheinlichkeiten genau gleich. Also, die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse ist gleich oder.

Beispiel:

In einer Schachtel Bleistifte sind blau, rot, grün, einfach, gelb und der Rest orange. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, kein Grün zu ziehen?

Lösung:

Denken Sie daran, dass sich alle Wahrscheinlichkeiten summieren. Und die Wahrscheinlichkeit, Grün zu ziehen, ist gleich. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, kein Grün zu ziehen, gleich ist.

Denken Sie an diesen Trick: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Unabhängige Ereignisse und die Multiplikationsregel

Sie werfen eine Münze zweimal und möchten, dass sie beide Male Kopf zeigt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Lassen Sie uns alle möglichen Optionen durchgehen und bestimmen, wie viele es gibt:

Adler-Adler, Schwänze-Adler, Adler-Schwänze, Schwänze-Schwänze. Was sonst?

Die ganze Variante. Davon passt nur einer zu uns: Adler-Adler. Die Wahrscheinlichkeit ist also gleich.

Gut. Jetzt werfen wir eine Münze. Zählen Sie sich. Passiert? (Antworten).

Sie haben vielleicht bemerkt, dass mit jedem weiteren Wurf die Wahrscheinlichkeit um einen Faktor abnimmt. Die allgemeine Regel heißt Multiplikationsregel:

Die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse ändern sich.

Was sind unabhängige Veranstaltungen? Alles ist logisch: Das sind diejenigen, die nicht voneinander abhängen. Wenn wir zum Beispiel eine Münze mehrmals werfen, wird jedes Mal ein neuer Wurf gemacht, dessen Ergebnis nicht von allen vorherigen Würfen abhängt. Bei gleichem Erfolg können wir gleichzeitig zwei verschiedene Münzen werfen.

Mehr Beispiele:

1. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es beide Male auftaucht?
2. Eine Münze wird mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zuerst Kopf und dann zweimal Zahl zu bekommen?
3. Der Spieler wirft zwei Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen darauf gleich ist?

Antworten:

1. Die Ereignisse sind unabhängig, was bedeutet, dass die Multiplikationsregel funktioniert: .
2. Die Wahrscheinlichkeit eines Adlers ist gleich. Tails-Wahrscheinlichkeit auch. Wir multiplizieren:
3. 12 erhält man nur, wenn zwei -ki herausfallen: .

Inkompatible Ereignisse und die Additionsregel

Inkompatible Ereignisse sind Ereignisse, die sich zu voller Wahrscheinlichkeit ergänzen. Wie der Name schon sagt, können sie nicht gleichzeitig auftreten. Wenn wir zum Beispiel eine Münze werfen, kann entweder Kopf oder Zahl herausfallen.

Beispiel.

In einer Schachtel Bleistifte sind blau, rot, grün, einfach, gelb und der Rest orange. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, grün oder rot zu ziehen?

Lösung .

Die Wahrscheinlichkeit, einen grünen Stift zu zeichnen, ist gleich. Rot - .

Glücksverheißende Ereignisse von allen: grün + rot. Die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu ziehen, ist also gleich.

Dieselbe Wahrscheinlichkeit kann in folgender Form dargestellt werden: .

Dies ist die Additionsregel: die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Gemischte Aufgaben

Beispiel.

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der Würfe unterschiedlich ausfällt?

Lösung .

Das heißt, wenn Kopf zuerst kommt, sollte Zahl an zweiter Stelle stehen und umgekehrt. Es stellt sich heraus, dass es hier zwei Paare unabhängiger Ereignisse gibt, und diese Paare sind nicht miteinander kompatibel. Wie man nicht verwirrt wird, wo man multipliziert und wo man addiert.

Für solche Situationen gibt es eine einfache Regel. Versuchen Sie zu beschreiben, was passieren soll, indem Sie die Ereignisse mit den Verknüpfungen „UND“ oder „ODER“ verbinden. Zum Beispiel in diesem Fall:

Muss rollen (Kopf und Zahl) oder (Zahl und Kopf).

Wo eine Vereinigung „und“ ist, wird multipliziert und wo „oder“ addiert wird:

Versuch es selber:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Münzwürfe beide Male dieselbe Seite ergeben?
2. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe Punkte abwirft?

Lösungen:

Ein anderes Beispiel:

Wir werfen einmal eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Kopf kommt?

Lösung:

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse.

Unabhängige Veranstaltungen

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht ändert.

Volle Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist ().

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten jedes der Ereignisse

Inkompatible Ereignisse

Inkompatible Ereignisse sind solche Ereignisse, die als Ergebnis eines Experiments unmöglich gleichzeitig auftreten können. Mehrere inkompatible Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe von Ereignissen.

Die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Nachdem wir beschrieben haben, was passieren soll, verwenden wir die Vereinigungen "AND" oder "OR", anstelle von "AND" setzen wir das Zeichen der Multiplikation und anstelle von "OR" - Addition.

So, das Thema ist erledigt. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.

Denn nur 5% der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie zu Ende gelesen haben, dann sind Sie bei den 5%!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema herausgefunden. Und ich wiederhole, es ist ... es ist einfach super! Sie sind bereits besser als die große Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung, für die Aufnahme ins Institut auf Kosten des Budgets und vor allem auf Lebenszeit.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich werde nur eines sagen ...

Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten haben, verdienen viel mehr als diejenigen, die sie nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Die Hauptsache ist, dass sie MEHR GLÜCKLICH sind (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben heller wird? Weiß nicht...

Aber denkt selbst...

Was braucht es, um bei der Prüfung sicher besser zu sein als andere und am Ende … glücklicher?

FÜLLEN SIE IHRE HAND, LÖSEN SIE PROBLEME ZU DIESEM THEMA.

Bei der Prüfung wird dir keine Theorie abverlangt.

Du wirst brauchen Probleme rechtzeitig lösen.

Und wenn Sie sie nicht gelöst haben (VIELE!), werden Sie definitiv irgendwo einen dummen Fehler machen oder es einfach nicht rechtzeitig schaffen.

Es ist wie im Sport – Sie müssen viele Male wiederholen, um sicher zu gewinnen.

Finden Sie eine Sammlung, wo immer Sie wollen unbedingt mit Lösungen, detaillierte Analyse und entscheide, entscheide, entscheide!

Sie können unsere Aufgaben verwenden (nicht erforderlich) und wir empfehlen sie auf jeden Fall.

Um bei unseren Aufgaben mitzuhelfen, müssen Sie helfen, die Lebensdauer des YouClever-Lehrbuchs, das Sie gerade lesen, zu verlängern.

Wie? Es gibt zwei Möglichkeiten:

1. Entsperren Sie den Zugriff auf alle versteckten Aufgaben in diesem Artikel -
2. Schalte den Zugriff auf alle versteckten Aufgaben in allen 99 Artikeln des Tutorials frei - Kaufen Sie ein Lehrbuch - 499 Rubel

Ja, wir haben 99 solcher Artikel im Lehrbuch und Zugriff auf alle Aufgaben und alle versteckten Texte darin können sofort geöffnet werden.

Der Zugriff auf alle versteckten Aufgaben wird für die gesamte Lebensdauer der Website gewährt.

Abschließend...

Wenn Ihnen unsere Aufgaben nicht gefallen, suchen Sie sich andere. Bloß nicht bei der Theorie aufhören.

„Verstanden“ und „Ich weiß, wie ich es lösen kann“ sind völlig unterschiedliche Fähigkeiten. Sie brauchen beides.

Probleme finden und lösen!

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Zweig der Mathematik, der die Muster zufälliger Phänomene untersucht: zufällige Ereignisse, Zufallsvariablen, ihre Eigenschaften und Operationen mit ihnen.

Lange Zeit hatte die Wahrscheinlichkeitstheorie keine klare Definition. Es wurde erst 1929 formuliert. Die Entstehung der Wahrscheinlichkeitstheorie als Wissenschaft wird dem Mittelalter und den ersten Versuchen zur mathematischen Analyse des Glücksspiels (Wurf, Würfel, Roulette) zugeschrieben. Die französischen Mathematiker des 17. Jahrhunderts, Blaise Pascal und Pierre de Fermat, entdeckten die ersten Wahrscheinlichkeitsmuster, die beim Würfeln entstehen, während sie die Vorhersage von Gewinnen beim Glücksspiel untersuchten.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand als Wissenschaft aus der Überzeugung, dass bestimmte Muster zufälligen Massenereignissen zugrunde liegen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht diese Muster.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie befasst sich mit der Untersuchung von Ereignissen, deren Eintritt nicht sicher bekannt ist. Es ermöglicht Ihnen, den Grad der Wahrscheinlichkeit des Eintretens einiger Ereignisse im Vergleich zu anderen zu beurteilen.

Zum Beispiel: Es ist unmöglich, das Ergebnis einer Münze, die Kopf oder Zahl wirft, eindeutig zu bestimmen, aber bei wiederholtem Werfen fällt ungefähr die gleiche Anzahl von Kopf und Zahl heraus, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf oder Zahl fällt, gleich ist zu 50%.

Prüfung in diesem Fall wird die Umsetzung einer bestimmten Reihe von Bedingungen genannt, dh in diesem Fall das Werfen einer Münze. Die Herausforderung kann unbegrenzt oft gespielt werden. In diesem Fall enthält der Bedingungskomplex Zufallsfaktoren.

Das Testergebnis ist Veranstaltung. Das Ereignis findet statt:

1. Zuverlässig (tritt immer als Ergebnis von Tests auf).
2. Unmöglich (passiert nie).
3. Zufällig (kann als Ergebnis des Tests auftreten oder nicht).

Zum Beispiel beim Werfen einer Münze ein unmögliches Ereignis - die Münze landet am Rand, ein zufälliges Ereignis - der Verlust von "Kopf" oder "Zahl". Das konkrete Testergebnis wird aufgerufen elementares Ereignis. Als Ergebnis des Tests treten nur elementare Ereignisse auf. Die Gesamtheit aller möglichen, unterschiedlichen, spezifischen Testergebnisse wird genannt elementarer Veranstaltungsraum.

Grundbegriffe der Theorie

Wahrscheinlichkeit- Grad der Wahrscheinlichkeit des Eintritts des Ereignisses. Wenn die Gründe für das tatsächliche Eintreten eines möglichen Ereignisses die gegenteiligen Gründe überwiegen, wird dieses Ereignis als wahrscheinlich bezeichnet, andernfalls als unwahrscheinlich oder unwahrscheinlich.

Zufallswert- Dies ist ein Wert, der als Ergebnis des Tests den einen oder anderen Wert annehmen kann, und es ist nicht im Voraus bekannt, welchen. Zum Beispiel: die Anzahl der Feuerwachen pro Tag, die Anzahl der Treffer mit 10 Schüssen usw.

Zufallsvariablen können in zwei Kategorien eingeteilt werden.

1. Diskrete Zufallsvariable wird eine solche Größe genannt, die als Ergebnis des Tests mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit bestimmte Werte annehmen kann und eine zählbare Menge (eine Menge, deren Elemente nummeriert werden können) bildet. Diese Menge kann entweder endlich oder unendlich sein. Beispielsweise ist die Anzahl der Schüsse vor dem ersten Treffer auf dem Ziel eine diskrete Zufallsvariable, weil dieser Wert kann eine unendliche, wenn auch zählbare Anzahl von Werten annehmen.
2. Kontinuierliche Zufallsvariable ist eine Größe, die jeden Wert aus einem endlichen oder unendlichen Intervall annehmen kann. Offensichtlich ist die Anzahl der möglichen Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen unendlich.

Wahrscheinlichkeitsraum- das von A.N. Kolmogorov in den 1930er Jahren, um das Konzept der Wahrscheinlichkeit zu formalisieren, was zur raschen Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie als einer streng mathematischen Disziplin führte.

Der Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tripel (manchmal in spitzen Klammern eingerahmt: , wo

Dies ist eine willkürliche Menge, deren Elemente elementare Ereignisse, Ergebnisse oder Punkte genannt werden;
- Sigma-Algebra von Teilmengen, die (zufällige) Ereignisse genannt werden;
- probabilistisches Maß oder Wahrscheinlichkeit, d.h. sigma-additives endliches Maß, so dass .

Satz von De Moivre-Laplace- einer der Grenzsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie, der 1812 von Laplace aufgestellt wurde. Sie gibt an, dass die Anzahl der Erfolge bei der Wiederholung desselben Zufallsexperiments mit zwei möglichen Ergebnissen ungefähr normalverteilt ist. Es ermöglicht Ihnen, einen ungefähren Wert der Wahrscheinlichkeit zu finden.

Wenn für jeden der unabhängigen Versuche die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines zufälligen Ereignisses gleich () ist und die Anzahl der Versuche ist, in denen es tatsächlich auftritt, dann ist die Wahrscheinlichkeit der Gültigkeit der Ungleichung nahe (für große ) zum Wert des Laplace-Integrals.

Verteilungsfunktion in der Wahrscheinlichkeitstheorie- eine Funktion, die die Verteilung einer Zufallsvariablen oder eines Zufallsvektors charakterisiert; die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt, wobei x eine beliebige reelle Zahl ist. Unter bestimmten Bedingungen bestimmt es eine Zufallsvariable vollständig.

Erwarteter Wert- der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen (das ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen, betrachtet in der Wahrscheinlichkeitstheorie). In der englischen Literatur wird es auf Russisch mit - bezeichnet. In der Statistik wird häufig die Notation verwendet.

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine darauf definierte Zufallsvariable. Das ist per Definition eine messbare Funktion. Wenn es dann ein Lebesgue-Integral über den Raum gibt, dann wird es als mathematischer Erwartungswert oder Mittelwert bezeichnet und mit bezeichnet.

Varianz einer Zufallsvariablen- ein Maß für die Streuung einer gegebenen Zufallsvariablen, d.h. ihre Abweichung von der mathematischen Erwartung. Bezeichnet in der russischen Literatur und im Ausland. In der Statistik wird häufig die Bezeichnung oder verwendet. Die Quadratwurzel der Varianz wird als Standardabweichung, Standardabweichung oder Standardstreuung bezeichnet.

Sei eine Zufallsvariable, die auf einem Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist. Dann

wobei das Symbol die mathematische Erwartung bezeichnet.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden zwei zufällige Ereignisse genannt unabhängig wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht ändert. Ebenso werden zwei Zufallsvariablen aufgerufen abhängig wenn der Wert des einen die Wahrscheinlichkeit der Werte des anderen beeinflusst.

Die einfachste Form des Gesetzes der großen Zahlen ist der Satz von Bernoulli, der besagt, dass, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in allen Versuchen gleich ist, die Häufigkeit des Ereignisses mit zunehmender Anzahl der Versuche zur Wahrscheinlichkeit des Ereignisses tendiert und hört auf zufällig zu sein.

Das Gesetz der großen Zahlen in der Wahrscheinlichkeitstheorie besagt, dass das arithmetische Mittel einer endlichen Stichprobe aus einer festen Verteilung nahe am theoretischen Mittel dieser Verteilung liegt. Je nach Art der Konvergenz unterscheidet man ein schwaches Gesetz der großen Zahlen, wenn Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit stattfindet, und ein starkes Gesetz der großen Zahlen, wenn Konvergenz mit ziemlicher Sicherheit stattfindet.

Die allgemeine Bedeutung des Gesetzes der großen Zahlen ist, dass das Zusammenwirken einer großen Anzahl identischer und unabhängiger Zufallsfaktoren zu einem Ergebnis führt, das im Grenzfall nicht vom Zufall abhängt.

Auf dieser Eigenschaft basieren Verfahren zur Schätzung der Wahrscheinlichkeit, die auf der Analyse einer endlichen Stichprobe basieren. Ein gutes Beispiel ist die Vorhersage von Wahlergebnissen auf Basis einer Befragung einer Wählerstichprobe.

Zentrale Grenzwertsätze- eine Klasse von Sätzen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, die besagt, dass die Summe einer ausreichend großen Anzahl von schwach abhängigen Zufallsvariablen, die ungefähr die gleiche Skala haben (kein der Terme dominiert, trägt nicht entscheidend zur Summe bei), eine Verteilung nahe an hat normal.

Da viele Zufallsvariablen in Anwendungen unter dem Einfluss mehrerer schwach abhängiger Zufallsfaktoren entstehen, gilt ihre Verteilung als normal. Dabei ist die Bedingung einzuhalten, dass keiner der Faktoren dominant ist. Zentrale Grenzwertsätze rechtfertigen in diesen Fällen die Anwendung der Normalverteilung.

Ereignisse, die in der Realität oder in unserer Vorstellung auftreten, können in 3 Gruppen eingeteilt werden. Dies sind bestimmte Ereignisse, die eintreten müssen, unmögliche Ereignisse und zufällige Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht zufällige Ereignisse, d.h. Ereignisse, die eintreten können oder nicht. In diesem Artikel wird kurz die Theorie der Wahrscheinlichkeitsformeln und Beispiele zur Lösung von Problemen vorgestellt, die in der 4. Aufgabe der Einheitlichen Staatsprüfung in Mathematik (Profilebene) behandelt werden.

Wozu brauchen wir die Wahrscheinlichkeitstheorie?

Historisch gesehen entstand die Notwendigkeit, diese Probleme zu untersuchen, im 17. Jahrhundert im Zusammenhang mit der Entwicklung und Professionalisierung des Glücksspiels und dem Aufkommen von Casinos. Es war ein echtes Phänomen, das sein Studium und seine Erforschung erforderte.

Das Spielen von Karten, Würfeln und Roulette schuf Situationen, in denen eine endliche Anzahl von gleich wahrscheinlichen Ereignissen eintreten konnte. Es bestand die Notwendigkeit, numerische Schätzungen der Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses anzugeben.

Im 20. Jahrhundert wurde deutlich, dass diese scheinbar frivole Wissenschaft eine wichtige Rolle für das Verständnis der grundlegenden Prozesse spielt, die im Mikrokosmos ablaufen. Die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie wurde geschaffen.

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Der Untersuchungsgegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten. Wenn das Ereignis komplex ist, kann es in einfache Komponenten zerlegt werden, deren Wahrscheinlichkeiten leicht zu finden sind.

Die Summe der Ereignisse A und B wird als Ereignis C bezeichnet, was darin besteht, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B oder Ereignis A und B gleichzeitig stattgefunden haben.

Das Produkt der Ereignisse A und B ist das Ereignis C, das darin besteht, dass sowohl das Ereignis A als auch das Ereignis B stattgefunden haben.

Die Ereignisse A und B heißen inkompatibel, wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können.

Ein Ereignis A heißt unmöglich, wenn es nicht eintreten kann. Ein solches Ereignis wird durch das Symbol gekennzeichnet.

Ein Ereignis A heißt sicher, wenn es mit Sicherheit eintritt. Ein solches Ereignis wird durch das Symbol gekennzeichnet.

Jedem Ereignis A sei eine Nummer P(A) zugeordnet. Diese Zahl P(A) wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A genannt, wenn die folgenden Bedingungen mit einer solchen Entsprechung erfüllt sind.

Ein wichtiger Sonderfall ist die Situation, in der es gleich wahrscheinliche elementare Ergebnisse gibt und beliebige dieser Ergebnisse die Ereignisse A bilden. In diesem Fall kann die Wahrscheinlichkeit durch die Formel eingeführt werden. Die so eingeführte Wahrscheinlichkeit heißt klassische Wahrscheinlichkeit. Es kann bewiesen werden, dass die Eigenschaften 1-4 in diesem Fall gelten.

Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie, die in der Klausur in Mathematik zu finden sind, beziehen sich hauptsächlich auf die klassische Wahrscheinlichkeit. Solche Aufgaben können sehr einfach sein. Besonders einfach sind Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie in Demonstrationsversionen. Es ist einfach, die Anzahl der günstigen Ergebnisse zu berechnen, die Anzahl aller Ergebnisse wird direkt in die Bedingung geschrieben.

Wir erhalten die Antwort gemäß der Formel.

Ein Beispiel für eine Aufgabe aus der Prüfung in Mathematik zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit

Auf dem Tisch liegen 20 Pasteten – 5 mit Kohl, 7 mit Äpfeln und 8 mit Reis. Marina möchte einen Kuchen essen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie den Reiskuchen nimmt?

Lösung.

Es gibt insgesamt 20 gleichwahrscheinliche Elementarergebnisse, das heißt, Marina kann jeden der 20 Kuchen nehmen. Aber wir müssen die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass Marina das Reispastetchen nimmt, das heißt, wobei A die Wahl des Reispastetchens ist. Das bedeutet, dass wir insgesamt 8 günstige Ergebnisse haben (Reiskuchen wählen) Dann wird die Wahrscheinlichkeit durch die Formel bestimmt:

Unabhängige, entgegengesetzte und willkürliche Ereignisse

In der offenen Aufgabenbank tauchten jedoch komplexere Aufgaben auf. Lassen Sie uns daher die Aufmerksamkeit des Lesers auf andere Fragen lenken, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht werden.

Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit jedes von ihnen nicht davon abhängt, ob das andere Ereignis eingetreten ist.

Ereignis B besteht darin, dass Ereignis A nicht eingetreten ist, d.h. Ereignis B ist dem Ereignis A entgegengesetzt. Die Wahrscheinlichkeit des entgegengesetzten Ereignisses ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit des direkten Ereignisses, d.h. .

Additions- und Multiplikationssätze, Formeln

Für beliebige Ereignisse A und B ist die Wahrscheinlichkeit der Summe dieser Ereignisse gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ohne die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Ereignisses, d.h. .

Für unabhängige Ereignisse A und B ist die Wahrscheinlichkeit des Produkts dieser Ereignisse gleich dem Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten, d. h. in diesem Fall .

Die letzten 2 Aussagen werden die Sätze der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten genannt.

Es ist nicht immer so einfach, die Anzahl der Ergebnisse zu zählen. In einigen Fällen ist es notwendig, kombinatorische Formeln zu verwenden. Das Wichtigste ist, die Anzahl der Ereignisse zu zählen, die bestimmte Bedingungen erfüllen. Manchmal können solche Berechnungen zu eigenständigen Aufgaben werden.

Auf wie viele Arten können 6 Schüler auf 6 leeren Plätzen sitzen? Der erste Student nimmt einen der 6 Plätze ein. Jede dieser Optionen entspricht 5 Möglichkeiten, den zweiten Schüler zu platzieren. Für den dritten Schüler gibt es 4 freie Plätze, für den vierten - 3, für den fünften - 2, der sechste nimmt den einzigen verbleibenden Platz ein. Um die Anzahl aller Optionen zu finden, müssen Sie das Produkt finden, das mit dem Symbol 6 gekennzeichnet ist! und lesen Sie "sechs Fakultät".

Die Antwort auf diese Frage liefert im allgemeinen Fall die Formel für die Anzahl der Permutationen von n Elementen, in unserem Fall .

Betrachten Sie nun einen anderen Fall mit unseren Schülern. Auf wie viele Arten können 2 Schüler auf 6 leeren Plätzen sitzen? Der erste Student nimmt einen der 6 Plätze ein. Jede dieser Optionen entspricht 5 Möglichkeiten, den zweiten Schüler zu platzieren. Um die Anzahl aller Optionen zu finden, müssen Sie das Produkt finden.

Im allgemeinen Fall wird diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Platzierungen von n Elementen mal k Elementen beantwortet

In unserem Fall .

Und das letzte in dieser Reihe. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 von 6 Schülern auszuwählen? Der erste Schüler kann auf 6 Arten gewählt werden, der zweite auf 5 Arten und der dritte auf 4 Arten. Aber unter diesen Optionen kommen die gleichen drei Schüler 6 Mal vor. Um die Anzahl aller Optionen zu finden, müssen Sie den Wert berechnen: . Im allgemeinen Fall wird diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Kombinationen von Elementen für Elemente beantwortet:

In unserem Fall .

Beispiele zur Lösung von Aufgaben aus der Prüfung in Mathematik zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 1. Aus der Sammlung, hrsg. Jaschtschenko.

Auf einem Teller liegen 30 Pasteten: 3 mit Fleisch, 18 mit Kohl und 9 mit Kirschen. Sasha wählt zufällig einen Kuchen aus. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er mit einer Kirsche endet.

.

Antwort: 0,3.

Aufgabe 2. Aus der Sammlung, hrsg. Jaschtschenko.

In jeder Charge von 1000 Glühbirnen sind durchschnittlich 20 defekte. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus einer Charge ausgewählte Glühbirne gut ist.

Lösung: Die Anzahl der betriebsbereiten Glühbirnen beträgt 1000-20=980. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus der Charge entnommene Glühbirne brauchbar ist:

Antwort: 0,98.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Schülerin U. mehr als 9 Aufgaben in einem Mathetest richtig löst, beträgt 0,67. Die Wahrscheinlichkeit, dass U. mehr als 8 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,73. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass U. genau 9 Aufgaben richtig löst.

Wenn wir uns einen Zahlenstrahl vorstellen und darauf die Punkte 8 und 9 markieren, dann sehen wir, dass die Bedingung „U. genau 9 Aufgaben richtig lösen“ ist in der Bedingung „U. mehr als 8 Aufgaben richtig lösen", trifft aber nicht auf die Bedingung "W. mehr als 9 Aufgaben richtig lösen.

Allerdings ist die Bedingung „U. mehr als 9 Aufgaben richtig lösen“ ist in der Bedingung „U. mehr als 8 Aufgaben richtig lösen. Wenn wir also Ereignisse bezeichnen: „W. genau 9 Aufgaben richtig lösen" - bis A, "U. mehr als 8 Aufgaben richtig lösen" - bis B, "U. mehr als 9 Probleme richtig lösen “durch C. Dann sieht die Lösung so aus:

Antwort: 0,06.

In der Geometrieprüfung beantwortet der Schüler eine Frage aus der Liste der Prüfungsfragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine trigonometrische Frage handelt, beträgt 0,2. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies eine Outer Corners-Frage ist, beträgt 0,15. Es gibt keine Fragen zu diesen beiden Themen gleichzeitig. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Student in der Prüfung eine Frage zu einem dieser beiden Themen bekommt.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Veranstaltungen wir haben. Wir erhalten zwei inkompatible Ereignisse. Das heißt, die Frage bezieht sich entweder auf das Thema „Trigonometrie“ oder auf das Thema „Außenwinkel“. Nach dem Wahrscheinlichkeitssatz ist die Wahrscheinlichkeit inkompatibler Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses, wir müssen die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse finden, das heißt:

Antwort: 0,35.

Der Raum wird von einer Laterne mit drei Lampen beleuchtet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe in einem Jahr durchbrennt, beträgt 0,29. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Lampe innerhalb eines Jahres nicht durchbrennt.

Betrachten wir mögliche Ereignisse. Wir haben drei Glühbirnen, von denen jede unabhängig von jeder anderen Glühbirne durchbrennen kann oder nicht. Dies sind eigenständige Veranstaltungen.

Dann werden wir die Varianten solcher Ereignisse angeben. Wir akzeptieren die Notation: - die Glühbirne ist an, - die Glühbirne ist durchgebrannt. Und gleich als nächstes berechnen wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, bei dem drei unabhängige Ereignisse „die Glühbirne durchgebrannt“, „die Glühbirne an“, „die Glühbirne an“ eingetreten sind: .