Was ist arctan 3 25 in grad. Arkussinus, Arkuskosinus - Eigenschaften, Grafiken, Formeln

Lektion und Präsentation zu den Themen: "Arxinus. Arcussinustafel. Formel y=arcsin(x)"

Zusätzliche Materialien
Liebe Benutzer, vergessen Sie nicht, Ihre Kommentare, Rückmeldungen und Vorschläge zu hinterlassen! Alle Materialien werden von einem Antivirenprogramm überprüft.

Handbücher und Simulatoren im Online-Shop "Integral" für Klasse 10 ab 1C
Softwareumgebung "1C: Mathematical constructor 6.1"
Wir lösen Probleme in der Geometrie. Interaktive Aufgaben zum Bauen im Weltraum

Was werden wir studieren:
1. Was ist der Arkussinus?
2. Bezeichnung des Arkussinus.
3. Ein bisschen Geschichte.
4. Definition.

6. Beispiele.

Was ist Arkussinus?

Leute, wir haben bereits gelernt, wie man Gleichungen für den Kosinus löst, jetzt lernen wir, wie man ähnliche Gleichungen für den Sinus löst. Betrachten Sie sin(x)= √3/2. Um diese Gleichung zu lösen, musst du eine Gerade y= √3/2 bauen und sehen: An welchen Punkten schneidet sie den Zahlenkreis. Es ist ersichtlich, dass die Gerade den Kreis an zwei Punkten F und G schneidet. Diese Punkte sind die Lösung unserer Gleichung. Benennen Sie F in x1 und G in x2 um. Die Lösung dieser Gleichung haben wir bereits gefunden und erhalten: x1= π/3 + 2πk,
und x2 = 2π/3 + 2πk.

Das Lösen dieser Gleichung ist ziemlich einfach, aber wie löst man beispielsweise die Gleichung
sin(x)=5/6. Natürlich wird diese Gleichung auch zwei Wurzeln haben, aber welche Werte entsprechen der Lösung auf dem Zahlenkreis? Schauen wir uns unsere Gleichung sin(x)=5/6 genauer an.
Die Lösung unserer Gleichung sind zwei Punkte: F= x1 + 2πk und G= x2 ​​​​+ 2πk,
wobei x1 die Länge des Bogens AF ist, x2 die Länge des Bogens AG ist.
Beachte: x2= π - x1, weil AF= AC – FC, aber FC= AG, AF= AC – AG= π – x1.
Aber was sind das für Punkte?

Angesichts einer ähnlichen Situation entwickelten Mathematiker ein neues Symbol - arcsin (x). Es liest sich wie ein Arkussinus.

Dann wird die Lösung unserer Gleichung wie folgt geschrieben: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

Und die allgemeine Lösung: x= arcsin(5/6) + 2πk und x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Der Arkussinus ist der Winkel (Bogenlänge AF, AG) Sinus, der gleich 5/6 ist.

Ein bisschen Arcsine-Geschichte

Die Entstehungsgeschichte unseres Symbols ist genau die gleiche wie die von arccos. Zum ersten Mal taucht das Arcsin-Symbol in den Werken des Mathematikers Scherfer und des berühmten französischen Wissenschaftlers J.L. Lagrange. Etwas früher wurde das Konzept des Arkussinus von D. Bernoulli betrachtet, obwohl er es mit anderen Symbolen aufschrieb.

Diese Symbole wurden erst Ende des 18. Jahrhunderts allgemein akzeptiert. Die Vorsilbe „Arc“ kommt vom lateinischen „arcus“ (Bogen, Bogen). Dies stimmt mit der Bedeutung des Konzepts überein: arcsin x ist ein Winkel (oder Sie können sagen, ein Bogen), dessen Sinus gleich x ist.

Definition von Arkussinus

Ist |а|≤ 1, so ist arcsin(a) eine solche Zahl aus dem Intervall [- π/2; π/2], dessen Sinus a ist.



Wenn |a|≤ 1, dann hat die Gleichung sin(x)= a eine Lösung: x= arcsin(a) + 2πk und
x= π - arcsin(a) + 2πk


Schreiben wir um:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Leute, seht euch unsere beiden Lösungen genau an. Was denken Sie: können sie in einer allgemeinen Formel geschrieben werden? Beachten Sie, dass bei einem Pluszeichen vor dem Arkussinus π mit einer geraden Zahl 2πk multipliziert wird und bei einem Minuszeichen der Multiplikator ungerade 2k+1 ist.
Vor diesem Hintergrund schreiben wir die allgemeine Lösungsformel für die Gleichung sin(x)=a:

Es gibt drei Fälle, in denen es vorzuziehen ist, Lösungen auf einfachere Weise zu schreiben:

sin(x)=0, dann x= πk,

sin(x)=1, dann x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, dann x= -π/2 + 2πk.

Für jedes -1 ≤ a ≤ 1 gilt die folgende Gleichheit: arcsin(-a)=-arcsin(a).




Lassen Sie uns eine Tabelle mit Kosinuswerten in umgekehrter Richtung schreiben und eine Tabelle für den Arkussinus erhalten.

Beispiele

1. Berechnen: arcsin(√3/2).
Lösung: Sei arcsin(√3/2)= x, dann sin(x)= √3/2. Per Definition: - π/2 ≤ x≤ π/2. Schauen wir uns die Werte des Sinus in der Tabelle an: x= π/3, weil sin(π/3)= √3/2 und –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Antwort: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Berechnen: arcsin(-1/2).
Lösung: Sei arcsin(-1/2)= x, dann sin(x)= -1/2. Per Definition: - π/2 ≤ x≤ π/2. Schauen wir uns die Werte des Sinus in der Tabelle an: x= -π/6, weil sin(-π/6)= -1/2 und -π/2 ≤ -π/6 ≤ π/2.
Antwort: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Berechnen: arcsin(0).
Lösung: Sei arcsin(0)= x, dann sin(x)= 0. Per Definition: - π/2 ≤x≤ π/2. Schauen wir uns die Werte des Sinus in der Tabelle an: Es bedeutet x = 0, weil sin(0)= 0 und - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Antwort: arcsin(0)=0.

4. Lösen Sie die Gleichung: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk und x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Schauen wir uns den Wert in der Tabelle an: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Antwort: x= -π/4 + 2πk und x= 5π/4 + 2πk.

5. Lösen Sie die Gleichung: sin(x) = 0.
Lösung: Verwenden wir die Definition, dann wird die Lösung in der Form geschrieben:
x= arcsin(0) + 2πk und x= π - arcsin(0) + 2πk. Schauen wir uns den Wert in der Tabelle an: arcsin(0)= 0.
Antwort: x= 2πk und x= π + 2πk

6. Lösen Sie die Gleichung: sin(x) = 3/5.
Lösung: Verwenden wir die Definition, dann wird die Lösung in der Form geschrieben:
x= arcsin(3/5) + 2πk und x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Antwort: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Lösen Sie die Ungleichung sin(x) Lösung: Der Sinus ist die Ordinate des Punktes des Zahlenkreises. Also: Wir müssen solche Punkte finden, deren Ordinate kleiner als 0,7 ist. Zeichnen wir eine gerade Linie y=0.7. Sie schneidet den Zahlenkreis an zwei Punkten. Ungleichung y Dann lautet die Lösung der Ungleichung: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Probleme auf dem Arkussinus zur unabhängigen Lösung

1) Berechnen Sie: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Lösen Sie die Gleichung: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Lösen Sie die Ungleichung: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x) ≤ 1/2.

Zuvor haben die Schüler gemäß dem Programm eine Vorstellung von der Lösung trigonometrischer Gleichungen bekommen, sich mit den Konzepten von Arkuskosinus und Arkussinus vertraut gemacht, Beispiele für Lösungen der Gleichungen cos t = a und sin t = a. In diesem Video-Tutorial betrachten wir die Lösung der Gleichungen tg x = a und ctg x = a.

Betrachten Sie zu Beginn des Studiums dieses Themas die Gleichungen tg x = 3 und tg x = - 3. Wenn wir die Gleichung tg x = 3 mithilfe eines Diagramms lösen, sehen wir, dass der Schnittpunkt der Diagramme der Funktionen y = tg x und y = 3 hat unendlich viele Lösungen, wobei x = x 1 + πk. Der Wert x 1 ist die x-Koordinate des Schnittpunkts der Graphen der Funktionen y = tg x und y = 3. Der Autor führt das Konzept des Arkustangens ein: arctg 3 ist eine Zahl, deren tg 3 ist, und zu dieser Zahl gehört das Intervall von -π/2 bis π/2. Unter Verwendung des Konzepts des Arkustangens kann die Lösung der Gleichung tan x = 3 geschrieben werden als x = arctan 3 + πk.

Analog wird die Gleichung tg x \u003d - 3 gelöst.Anhand der konstruierten Graphen der Funktionen y \u003d tg x und y \u003d - 3 ist ersichtlich, dass die Schnittpunkte der Graphen und damit die Lösungen der Gleichungen wird x \u003d x 2 + πk sein. Unter Verwendung des Arkustangens kann die Lösung geschrieben werden als x = arctan (- 3) + πk. In der folgenden Abbildung sehen wir, dass arctg (- 3) = - arctg 3.

Die allgemeine Definition des Arkustangens lautet wie folgt: Der Arkustangens von a ist eine Zahl aus dem Intervall von -π / 2 bis π / 2, deren Tangens a ist. Dann ist die Lösung der Gleichung tg x = a x = arctg a + πk.

Der Autor gibt ein Beispiel 1. Finden Sie eine Lösung für den Ausdruck arctg. Führen wir die Notation ein: Der Arkustangens der Zahl ist gleich x, dann ist tg x gleich der gegebenen Zahl, wobei x zum Segment von -π gehört /2 bis π/2. Wie in den Beispielen in den vorherigen Themen verwenden wir eine Wertetabelle. Der Tangens dieser Zahl entspricht nach dieser Tabelle dem Wert x = π/3. Wir schreiben die Lösung der Gleichung des Arkustangens einer gegebenen Zahl gleich π / 3, π / 3 gehört auch zum Intervall von -π / 2 bis π / 2.

Beispiel 2 - Berechne den Arkustangens einer negativen Zahl. Geben Sie unter Verwendung der Gleichheit arctg (- a) = - arctg a den x-Wert ein. Ähnlich wie in Beispiel 2 schreiben wir den Wert von x, der zum Intervall von -π/2 bis π/2 gehört. Nach der Wertetabelle finden wir x = π/3, also -- tg x = - π/3. Die Antwort auf die Gleichung ist - π/3.

Betrachten Sie Beispiel 3. Lösen wir die Gleichung tan x = 1. Schreiben wir x = arctan 1 + πk. In der Tabelle entspricht der Wert von tg 1 dem Wert x \u003d π / 4, also arctg 1 \u003d π / 4. Setzen Sie diesen Wert in die ursprüngliche Formel x ein und schreiben Sie das Ergebnis x = π/4 + πk auf.

Beispiel 4: tg x = - 4,1 berechnen. In diesem Fall ist x = arctg (- 4,1) + πk. Da Es ist in diesem Fall nicht möglich, den Wert von arctg zu finden, die Antwort sieht so aus: x = arctg (- 4,1) + πk.

Beispiel 5 betrachtet die Lösung der Ungleichung tg x > 1. Um sie zu lösen, zeichnen wir die Graphen der Funktionen y = tg x und y = 1. Wie in der Abbildung zu sehen ist, schneiden sich diese Graphen an den Punkten x = π /4 + πk. Da in diesem Fall, tg x > 1, wählen wir im Diagramm den Bereich der Tangente aus, der über dem Diagramm y = 1 liegt, wobei x zum Intervall von π/4 bis π/2 gehört. Wir schreiben die Antwort als π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Betrachten Sie als Nächstes die Gleichung ctg x = a. Die Abbildung zeigt Graphen der Funktionen y = ctg x, y = a, y = - a, die viele Schnittpunkte haben. Lösungen können geschrieben werden als x = x 1 + πk, wobei x 1 = arcctg a und x = x 2 + πk, wobei x 2 = arcctg (- a). Es wird angemerkt, dass x 2 \u003d π - x 1. Daraus folgt die Gleichheit arcctg (- a) = π - arcctg a. Außerdem wird die Definition des Bogenkotangens gegeben: Der Bogenkotangens von a ist eine solche Zahl aus dem Intervall von 0 bis π, deren Kotangens gleich a ist. Die Lösung der Gleichung сtg x = a wird geschrieben als: x = arcctg a + πk.

Am Ende der Videolektion wird eine weitere wichtige Schlussfolgerung gezogen - der Ausdruck ctg x = a kann als tg x = 1/a geschrieben werden, vorausgesetzt, dass a ungleich Null ist.

TEXTEINTERPRETATION:

Betrachten Sie die Lösung der Gleichungen tg x \u003d 3 und tg x \u003d - 3. Wenn wir die erste Gleichung grafisch lösen, sehen wir, dass die Graphen der Funktionen y \u003d tg x und y \u003d 3 unendlich viele Schnittpunkte haben, die Abszissen, in deren Form wir schreiben

x \u003d x 1 + πk, wobei x 1 die Abszisse des Schnittpunkts der Linie y \u003d 3 mit dem Hauptast der Tangente (Abb. 1) ist, für die die Bezeichnung erfunden wurde

arctan 3 (Arkustangens von drei).

Wie ist arctg 3 zu verstehen?

Dies ist eine Zahl, deren Tangens 3 ist, und diese Zahl gehört zum Intervall (-;). Dann können alle Wurzeln der Gleichung tg x \u003d 3 durch die Formel x \u003d arctan 3 + πk geschrieben werden.

In ähnlicher Weise kann die Lösung der Gleichung tg x \u003d - 3 geschrieben werden als x \u003d x 2 + πk, wobei x 2 die Abszisse des Schnittpunkts der Linie y \u003d - 3 mit dem Hauptzweig der ist Tangente (Abb. 1), für die die Bezeichnung arctg (- 3) (arct tangens minus drei) steht. Dann können alle Wurzeln der Gleichung durch die Formel geschrieben werden: x \u003d arctg (-3) + πk. Die Abbildung zeigt, dass arctg(- 3)= - arctg 3.

Lassen Sie uns die Definition des Arkustangens formulieren. Arkustangens a ist eine solche Zahl aus dem Intervall (-;), deren Tangens gleich a ist.

Häufig wird die Gleichheit verwendet: arctg(-a) = -arctg a, die für jedes a gilt.

Wenn wir die Definition des Arkustangens kennen, ziehen wir eine allgemeine Schlussfolgerung über die Lösung der Gleichung

tg x \u003d a: Die Gleichung tg x \u003d a hat eine Lösung x \u003d arctg a + πk.

Betrachten Sie Beispiele.

BEISPIEL 1. arctg berechnen.

Lösung. Sei arctg = x, dann tgx = und xϵ (-;). Wertetabelle anzeigen Daher x =, da tg = und ϵ (- ;).

Also arctg =.

BEISPIEL 2 Arctan (-) berechnen.

Lösung. Unter Verwendung der Gleichheit arctg (- a) \u003d - arctg a schreiben wir:

arctg(-) = - arctg . Sei - arctg = x, dann - tgx = und xϵ (-;). Also x =, da tg = und ϵ (- ;). Wertetabelle anzeigen

Also - arctg=- tgх= - .

BEISPIEL 3. Lösen Sie die Gleichung tgх = 1.

1. Schreiben wir die Lösungsformel auf: x = arctg 1 + πk.

2. Ermitteln Sie den Wert des Arkustangens

da tg = . Wertetabelle anzeigen

Also arctg1= .

3. Setzen Sie den gefundenen Wert in die Lösungsformel ein:

BEISPIEL 4. Lösen Sie die Gleichung tgx \u003d - 4,1 (Tangente x ist gleich minus vier Komma ein Zehntel).

Lösung. Schreiben wir die Lösungsformel auf: x \u003d arctg (- 4,1) + πk.

Wir können den Wert des Arkustangens nicht berechnen, also lassen wir die Lösung der Gleichung so wie sie ist.

BEISPIEL 5. Lösen Sie die Ungleichung tgх 1.

Lösung. Machen wir es grafisch.

  1. Lassen Sie uns eine Tangente bauen

y \u003d tgx und eine gerade Linie y \u003d 1 (Abb. 2). Sie schneiden sich in Punkten der Form x = + πk.

2. Wählen Sie das Intervall der x-Achse aus, auf dem sich der Hauptast der Tangente über der geraden Linie y \u003d 1 befindet, da gemäß der Bedingung tgх 1. Dies ist das Intervall (;).

3. Wir verwenden die Periodizität der Funktion.

Eigenschaft 2. y \u003d tg x - eine periodische Funktion mit einer Grundperiode π.

Unter Berücksichtigung der Periodizität der Funktion y \u003d tgx schreiben wir die Antwort:

(;). Die Antwort kann als doppelte Ungleichung geschrieben werden:

Kommen wir zur Gleichung ctg x \u003d a. Lassen Sie uns eine grafische Darstellung der Lösung der Gleichung für positives und negatives a präsentieren (Abb. 3).

Funktionsgraphen y \u003d ctg x und y \u003d a und

y=ctgx und y=-a

haben unendlich viele Punkte gemeinsam, deren Abszissen die Form haben:

x \u003d x 1 +, wobei x 1 die Abszisse des Schnittpunkts der Linie y \u003d a mit dem Hauptast der Tangente und ist

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, wobei x 2 die Abszisse des Schnittpunkts der Linie ist

y \u003d - aber mit dem Hauptast der Tangente und x 2 \u003d arcсtg (- a).

Beachten Sie, dass x 2 \u003d π - x 1. Also schreiben wir die wichtige Gleichung auf:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

Formulieren wir die Definition: Der Arkuskotangens von a ist eine solche Zahl aus dem Intervall (0; π), deren Kotangens gleich a ist.

Die Lösung der Gleichung ctg x \u003d a wird geschrieben als: x \u003d arcсtg a +.

Beachten Sie, dass die Gleichung ctg x = a in die Form umgewandelt werden kann

tg x = , außer wenn a = 0.

Was ist Arkussinus, Arkuskosinus? Was ist arc tangens, arc tangens?

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Zu Konzepten Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens, Arkuskotangens die studentische Bevölkerung ist vorsichtig. Er versteht diese Begriffe nicht und vertraut daher dieser glorreichen Familie nicht.) Aber vergebens. Dies sind sehr einfache Konzepte. Was übrigens einem sachkundigen Menschen das Leben beim Lösen trigonometrischer Gleichungen erheblich erleichtert!

Verwirrt über Einfachheit? Vergebens.) Genau hier und jetzt werden Sie davon überzeugt sein.

Zum Verständnis wäre es natürlich schön zu wissen, was Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sind. Ja, ihre Tabellenwerte für einige Winkel ... Zumindest im Allgemeinen. Dann gibt es auch hier keine Probleme.

Wir sind also überrascht, aber denken Sie daran: Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkustangens sind nur einige Winkel. Nicht mehr und nicht weniger. Es gibt einen Winkel, sagen wir 30°. Und es gibt einen Winkel arcsin0.4. Oder arctg(-1,3). Es gibt alle Arten von Winkeln.) Sie können Winkel einfach auf verschiedene Arten schreiben. Sie können den Winkel in Grad oder Bogenmaß schreiben. Oder Sie können - durch seinen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens ...

Was bedeutet der Ausdruck

arcsin 0,4?

Dies ist der Winkel, dessen Sinus 0,4 beträgt! Ja Ja. Dies ist die Bedeutung des Arkussinus. Ich wiederhole ausdrücklich: arcsin 0,4 ist ein Winkel, dessen Sinus 0,4 beträgt.

Und alle.

Um diesen einfachen Gedanken lange in meinem Kopf zu behalten, werde ich diesen schrecklichen Begriff - den Arkussinus - sogar aufschlüsseln:

Bogen Sünde 0,4
Ecke, dessen Sinus gleich 0,4

Wie es geschrieben steht, so wird es gehört.) Fast. Konsole Bogen meint Bogen(Wort Bogen wissen?), weil alte Leute benutzten Bögen anstelle von Ecken, aber das ändert nichts an der Essenz der Sache. Denken Sie an diese elementare Dekodierung eines mathematischen Begriffs! Darüber hinaus unterscheidet sich die Dekodierung für Arkuskosinus, Arkustangens und Arkustangens nur im Namen der Funktion.

Was ist Arccos 0,8?
Dies ist ein Winkel, dessen Kosinus 0,8 beträgt.

Was ist arctan(-1,3)?
Dies ist ein Winkel, dessen Tangens -1,3 ist.

Was ist arcctg12?
Dies ist ein Winkel, dessen Kotangens 12 ist.

Eine solche elementare Dekodierung erlaubt es übrigens, epische Schnitzer zu vermeiden.) Zum Beispiel sieht der Ausdruck arccos1,8 ziemlich solide aus. Beginnen wir mit der Dekodierung: arccos1,8 ist ein Winkel, dessen Kosinus gleich 1,8 ist... Hop-hop!? 1,8!? Kosinus kann nicht größer als eins sein!

Recht. Der Ausdruck arccos1,8 ist nicht sinnvoll. Und das Schreiben eines solchen Ausdrucks in eine Antwort wird den Prüfer sehr amüsieren.)

Elementar, wie Sie sehen können.) Jeder Winkel hat seinen eigenen persönlichen Sinus und Kosinus. Und fast jeder hat seinen eigenen Tangens und Kotangens. Wenn Sie also die trigonometrische Funktion kennen, können Sie den Winkel selbst aufschreiben. Dazu sind Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens vorgesehen. Außerdem werde ich diese ganze Familie eine Verkleinerung nennen - Bögen. weniger tippen.)

Aufmerksamkeit! Elementare verbale und bewusst Durch das Entziffern der Bögen können Sie eine Vielzahl von Aufgaben ruhig und sicher lösen. Und in ungewöhnlich Aufgaben, die nur sie speichert.

Ist es möglich, von Bögen zu gewöhnlichen Graden oder Radianten zu wechseln?- Ich höre eine vorsichtige Frage.)

Warum nicht!? Leicht. Sie können hin und zurück gehen. Darüber hinaus ist es manchmal notwendig, dies zu tun. Bögen sind eine einfache Sache, aber ohne sie ist es irgendwie ruhiger, oder?)

Zum Beispiel: Was ist arcsin 0,5?

Schauen wir uns die Entschlüsselung an: arcsin 0,5 ist der Winkel, dessen Sinus 0,5 beträgt. Schalten Sie jetzt Ihren Kopf ein (oder Google) und erinnern Sie sich, welcher Winkel einen Sinus von 0,5 hat? Der Sinus beträgt 0,5 y Winkel von 30 Grad. Das ist alles dazu: Arcsin 0,5 ist ein Winkel von 30°. Sie können sicher schreiben:

arcsin 0,5 = 30°

Oder, solider, in Radianten ausgedrückt:

Das war's, du kannst den Arkussinus vergessen und mit den üblichen Graden oder Radianten weiterarbeiten.

Wenn du es gemerkt hast Was ist Arkussinus, Arkuskosinus ... Was ist Arcustangens, Arkuskotangens ... Dann können Sie zum Beispiel mit einem solchen Monster leicht fertig werden.)

Eine unwissende Person wird entsetzt zurückschrecken, ja ...) Und eine sachkundige Person erinnere dich an die Entschlüsselung: Der Arkussinus ist der Winkel, dessen Sinus ... Nun, und so weiter ist. Wenn ein Kenner auch die Sinustafel kennt ... Die Kosinustafel. Eine Tangenten- und Kotangenstabelle, dann gibt es überhaupt keine Probleme!

Es genügt zu bedenken:

Ich werde entziffern, d.h. Übersetze die Formel in Worte: Winkel, dessen Tangens 1 ist (arctg1) ist ein Winkel von 45°. Oder, was dasselbe ist, Pi/4. Ähnlich:

und das ist alles ... Wir ersetzen alle Bögen durch Werte im Bogenmaß, alles wird reduziert, es bleibt zu berechnen, wie viel 1 + 1 sein wird. Es wird 2.) sein, was die richtige Antwort ist.

So können (und sollten) Sie von Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkustangens zu Grad und Bogenmaß wechseln. Dies vereinfacht gruselige Beispiele erheblich!

In solchen Beispielen befinden sich häufig Bögen im Inneren Negativ Werte. Wie arctg(-1.3) oder zum Beispiel arccos(-0.8)... Das ist kein Problem. Hier sind einige einfache Formeln, um von negativ zu positiv zu wechseln:

Sie müssen beispielsweise den Wert eines Ausdrucks bestimmen:

Sie können dies mit einem trigonometrischen Kreis lösen, aber Sie möchten ihn nicht zeichnen. Na ja, okay. Gehen von Negativ Werte innerhalb des Arkuskosinus zu positiv nach der zweiten Formel:

Innerhalb des Arkuskosinus rechts schon positiv Bedeutung. Was

man muss es nur wissen. Es bleibt, das Bogenmaß anstelle des Arkuskosinus zu ersetzen und die Antwort zu berechnen:

Das ist alles.

Einschränkungen für Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens, Arkuskotangens.

Gibt es ein Problem mit den Beispielen 7 - 9? Nun ja, da gibt es einen Trick.)

Alle diese Beispiele, vom 1. bis zum 9., sind in den Regalen in Abschnitt 555 sorgfältig sortiert. Was, wie und warum. Mit all den geheimen Fallen und Tricks. Plus Möglichkeiten, die Lösung drastisch zu vereinfachen. Übrigens enthält dieser Abschnitt viele nützliche Informationen und praktische Tipps zur Trigonometrie im Allgemeinen. Und das nicht nur in der Trigonometrie. Hilft sehr.

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Arkustangens (y = arctg x) ist die Umkehrfunktion des Tangens (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctg(tg x) = x

Der Arkustangens wird wie folgt bezeichnet:
.

Arcus-Tangens-Funktionsgraph

Graph der Funktion y = arctg x

Der Arcus-Tangens-Plot wird aus dem Tangens-Plot durch Vertauschen der Abszissen- und Ordinatenachse erhalten. Um Mehrdeutigkeiten zu beseitigen, wird die Wertemenge auf das Intervall beschränkt, auf dem die Funktion monoton ist. Diese Definition wird Hauptwert des Arkustangens genannt.

Bogentangente, arcctg

Arcustangens (y = arcctg x) ist die Umkehrfunktion des Kotangens (x = ctg y). Es hat einen Geltungsbereich und eine Reihe von Werten.
ctg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

Der Arkustangens wird wie folgt bezeichnet:
.

Arc-Cotangens-Funktionsgraph


Graph der Funktion y = arcctg x

Die Auftragung des Arcustangens erhält man aus der Auftragung des Kotangens durch Vertauschen der Abszissen- und Ordinatenachse. Um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen, wird der Wertebereich auf das Intervall beschränkt, auf dem die Funktion monoton ist. Eine solche Definition wird Hauptwert des Arkustangens genannt.

Parität

Die Arkustangensfunktion ist ungerade:
arctan(-x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - Bogen x

Die Bogenkotangensfunktion ist weder gerade noch ungerade:
arcctg(-x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.

Eigenschaften - Extrema, Zunahme, Abnahme

Die Funktionen Arcus Tangens und Arcus Cotangens sind stetig auf ihrem Definitionsbereich, also für alle x. (siehe Kontinuitätsnachweis). Die Haupteigenschaften des Arkustangens und des Arkokotangens sind in der Tabelle dargestellt.

y= arctg x y= arcctg x
Reichweite und Kontinuität - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Viele Werte
Aufsteigend absteigend steigt monoton an nimmt monoton ab
Höhen, Tiefen Nein Nein
Nullen, y= 0 x= 0 Nein
Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0 y= 0 y = π/ 2
- π
0

Tabelle der Bogentangenten und Bogentangenten

Diese Tabelle zeigt die Werte von Arkustangens und Arkustangens in Grad und Bogenmaß für einige Werte des Arguments.

x arctg x arcctg x
Grad froh. Grad froh.
- ∞ - 90° - 180° π
- - 60° - 150°
- 1 - 45° - 135°
- - 30° - 120°
0 0 90°
30° 60°
1 45° 45°
60° 30°
+ ∞ 90° 0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Formeln

Summen- und Differenzenformeln


bei

bei

bei


bei

bei

bei

Logarithmische Ausdrücke, komplexe Zahlen

,
.

Ausdrücke in Bezug auf hyperbolische Funktionen

Derivate


Siehe Ableitung von Arkustangens und Arkotangens > > >

Ableitungen höherer Ordnung:
Lassen . Dann kann die Ableitung der n-ten Ordnung des Arkustangens auf eine der folgenden Arten dargestellt werden:
;
.
Das Symbol bedeutet den Imaginärteil des folgenden Ausdrucks.

Siehe Ableitung von Ableitungen höherer Ordnung von arc tangens und arc tangens > > >
Dort sind auch die Formeln für Ableitungen der ersten fünf Ordnungen angegeben.

Ähnlich für den Arcus Tangens. Lassen . Dann
;
.

Integrale

Wir machen eine Substitution x = tg t und partiell integrieren:
;
;
;

Wir drücken den Arcustangens durch den Arcustangens aus:
.

Erweiterung der Potenzreihen

Für |x| ≤ 1 es findet folgende Zerlegung statt:
;
.

Umkehrfunktionen

Die Umkehrungen von Arkustangens und Arkotangens sind Tangens bzw. Kotangens.

Im gesamten Definitionsbereich gelten folgende Formeln:
tg(arctg x) = x
ctg(arctg x) = x .

Die folgenden Formeln gelten nur für die Wertemenge von Arkustangens und Bogenkotangens:
arctg(tg x) = x bei
arcctg(ctg x) = x bei .

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.