Lektion und Präsentation zum Thema: „Zahlenfolgen. Geometrischer Verlauf“

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Leute, heute lernen wir eine andere Art von Fortschritt kennen.
Das Thema der heutigen Lektion ist der geometrische Verlauf.

Geometrischer Verlauf

Definition. Eine numerische Folge, in der jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem Produkt des vorherigen und einer festen Zahl ist, wird als geometrische Folge bezeichnet.
Definieren wir unsere Sequenz rekursiv: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
wobei b und q bestimmte gegebene Zahlen sind. Die Zahl q wird als Nenner der Progression bezeichnet.

Beispiel. 1,2,4,8,16… Geometrische Progression, bei der das erste Mitglied gleich eins ist und $q=2$.

Beispiel. 8,8,8,8… Eine geometrische Folge, deren erstes Glied acht ist,
und $q=1$.

Beispiel. 3,-3,3,-3,3... Eine geometrische Folge, deren erster Term drei ist,
und $q=-1$.

Der geometrische Verlauf hat die Eigenschaften der Monotonie.
Wenn $b_(1)>0$, $q>1$,
dann nimmt die Folge zu.
Wenn $b_(1)>0$, $0 Die Sequenz wird normalerweise wie folgt bezeichnet: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Genau wie bei einer arithmetischen Folge wird die Folge als endliche geometrische Folge bezeichnet, wenn die Anzahl der Elemente in einer geometrischen Folge endlich ist.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Beachten Sie, dass, wenn die Folge eine geometrische Folge ist, auch die Folge der quadrierten Terme eine geometrische Folge ist. Die zweite Folge hat den ersten Term $b_(1)^2$ und den Nenner $q^2$.

Formel des n-ten Gliedes einer geometrischen Folge

Ein geometrischer Verlauf kann auch in analytischer Form angegeben werden. Mal sehen, wie es geht:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Wir können das Muster leicht erkennen: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Unsere Formel heißt „Formel des n-ten Glieds einer geometrischen Folge“.

Kehren wir zu unseren Beispielen zurück.

Beispiel. 1,2,4,8,16… Eine geometrische Folge, deren erster Term gleich eins ist,
und $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Beispiel. 16,8,4,2,1,1/2… Eine geometrische Folge, deren erster Term sechzehn ist und $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Beispiel. 8,8,8,8… Eine geometrische Folge, bei der der erste Term acht ist und $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Beispiel. 3,-3,3,-3,3… Eine geometrische Folge, deren erster Term drei ist und $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Beispiel. Gegeben sei eine geometrische Folge $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Es ist bekannt, dass $b_(1)=6, q=3$. Finden Sie $b_(5)$.
b) Es ist bekannt, dass $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Finden Sie n.
c) Es ist bekannt, dass $q=-2, b_(6)=96$. Finden Sie $b_(1)$.
d) Es ist bekannt, dass $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Finden Sie q.

Lösung.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, da $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Beispiel. Die Differenz zwischen dem siebten und fünften Glied der geometrischen Folge beträgt 192, die Summe des fünften und sechsten Glieds der Folge beträgt 192. Finden Sie das zehnte Glied dieser Folge.

Lösung.
Wir wissen: $b_(7)-b_(5)=192$ und $b_(5)+b_(6)=192$.
Wir wissen auch: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Dann:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Wir haben ein Gleichungssystem:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Durch Gleichsetzung erhalten unsere Gleichungen:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Wir haben zwei Lösungen q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Setzen Sie nacheinander in die zweite Gleichung ein:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ keine Lösungen.
Wir haben Folgendes: $b_(1)=4, q=2$.
Finden wir den zehnten Term: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Die Summe einer endlichen geometrischen Folge

Angenommen, wir haben eine endliche geometrische Folge. Berechnen wir, wie auch für eine arithmetische Folge, die Summe ihrer Mitglieder.

Gegeben sei eine endliche geometrische Folge: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Lassen Sie uns die Notation für die Summe seiner Mitglieder einführen: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Für den Fall, dass $q=1$. Alle Mitglieder der geometrischen Folge sind gleich dem ersten Mitglied, dann ist es offensichtlich, dass $S_(n)=n*b_(1)$.
Betrachten Sie nun den Fall $q≠1$.
Multiplizieren Sie den obigen Betrag mit q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Notiz:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Wir haben die Formel für die Summe einer endlichen geometrischen Folge erhalten.

Beispiel.
Ermitteln Sie die Summe der ersten sieben Terme einer geometrischen Folge, deren erster Term 4 und deren Nenner 3 ist.

Lösung.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Beispiel.
Finden Sie das fünfte Mitglied der geometrischen Folge, das bekannt ist: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Lösung.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341q$=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Charakteristische Eigenschaft einer geometrischen Folge

Leute, angesichts einer geometrischen Progression. Betrachten wir seine drei aufeinanderfolgenden Mitglieder: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Wir wissen das:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Dann:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Wenn die Progression endlich ist, gilt diese Gleichheit für alle Terme außer dem ersten und dem letzten.
Wenn nicht im Voraus bekannt ist, welche Art von Sequenz die Sequenz hat, aber bekannt ist: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Dann können wir mit Sicherheit sagen, dass es sich um eine geometrische Folge handelt.

Eine Zahlenfolge ist nur dann eine geometrische Folge, wenn das Quadrat jedes ihrer Glieder gleich dem Produkt der beiden benachbarten Glieder der Folge ist. Vergessen Sie nicht, dass diese Bedingung für eine endliche Progression im ersten und letzten Term nicht erfüllt ist.

Schauen wir uns diese Identität an: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ heißt das geometrische Mittel von a und b.

Der Modul jedes Elements einer geometrischen Folge ist gleich dem geometrischen Mittel der beiden benachbarten Elemente.

Beispiel.
Finden Sie x so, dass $x+2; 2x+2; 3x+3$ waren drei aufeinanderfolgende Elemente einer geometrischen Folge.

Lösung.
Verwenden wir die charakteristische Eigenschaft:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ und $x_(2)=-1$.
Ersetzen Sie nacheinander unsere Lösungen im ursprünglichen Ausdruck:
Mit $x=2$ erhalten wir die Folge: 4;6;9 ist eine geometrische Folge mit $q=1,5$.
Mit $x=-1$ erhalten wir die Folge: 1;0;0.
Antwort: $x=2.$

Aufgaben zur eigenständigen Lösung

1. Finden Sie das achte erste Mitglied der geometrischen Folge 16; -8; 4; -2 ....
2. Finden Sie das zehnte Mitglied der geometrischen Folge 11,22,44….
3. Es ist bekannt, dass $b_(1)=5, q=3$. Finden Sie $b_(7)$.
4. Es ist bekannt, dass $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Finden Sie n.
5. Ermitteln Sie die Summe der ersten 11 Mitglieder der geometrischen Folge 3;12;48….
6. Finden Sie x mit $3x+4; 2x+4; x+5$ sind drei aufeinanderfolgende Elemente einer geometrischen Folge.

Eine geometrische Folge ist eine numerische Folge, deren erster Term ungleich Null ist und deren nächster Term gleich dem vorherigen Term multipliziert mit derselben Zahl ungleich Null ist.

Das Konzept der geometrischen Progression

Der geometrische Verlauf wird mit b1,b2,b3, …, bn, … bezeichnet.

Das Verhältnis eines beliebigen Termes des geometrischen Fehlers zu seinem vorherigen Term ist gleich der gleichen Zahl, d. h. b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/Mrd. = …. Dies ergibt sich direkt aus der Definition einer arithmetischen Folge. Diese Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet. Normalerweise wird der Nenner einer geometrischen Folge mit dem Buchstaben q bezeichnet.

Die Summe einer unendlichen geometrischen Folge für |q|<1

Eine Möglichkeit, eine geometrische Folge festzulegen, besteht darin, ihren ersten Term b1 und den Nenner des geometrischen Fehlers q festzulegen. Beispiel: b1=4, q=-2. Diese beiden Bedingungen ergeben eine geometrische Progression von 4, -8, 16, -32, ….

Wenn q>0 (q ist ungleich 1), dann ist die Folge eine monotone Folge. Beispielsweise ist die Folge 2, 4,8,16,32, ... eine monoton steigende Folge (b1=2, q=2).

Wenn der Nenner q=1 im geometrischen Fehler ist, sind alle Elemente der geometrischen Folge einander gleich. In solchen Fällen spricht man von einer konstanten Abfolge.

Damit die Zahlenfolge (bn) eine geometrische Folge ist, ist es notwendig, dass jedes ihrer Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, das geometrische Mittel der benachbarten Mitglieder ist. Das heißt, es ist notwendig, die folgende Gleichung zu erfüllen
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), für jedes n>0, wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen N gehört.

Setzen wir nun (Xn) – eine geometrische Folge. Der Nenner der geometrischen Folge q, mit |q|∞).
Wenn wir nun mit S die Summe einer unendlichen geometrischen Folge bezeichnen, dann gilt folgende Formel:
S=x1/(1-q).

Betrachten Sie ein einfaches Beispiel:

Finden Sie die Summe einer unendlichen geometrischen Folge 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ....

Um S zu finden, verwenden wir die Formel für die Summe einer unendlich arithmetischen Folge. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Eine geometrische Folge ist eine numerische Folge, deren erster Term ungleich Null ist und deren nächster Term gleich dem vorherigen Term multipliziert mit derselben Zahl ungleich Null ist. Der geometrische Verlauf wird mit b1,b2,b3, …, bn, … bezeichnet.

Eigenschaften einer geometrischen Progression

Das Verhältnis eines beliebigen Termes des geometrischen Fehlers zu seinem vorherigen Term ist gleich der gleichen Zahl, d. h. b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/Mrd. = …. Dies ergibt sich direkt aus der Definition einer arithmetischen Folge. Diese Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet. Normalerweise wird der Nenner einer geometrischen Folge mit dem Buchstaben q bezeichnet.

Eine Möglichkeit, eine geometrische Folge festzulegen, besteht darin, ihren ersten Term b1 und den Nenner des geometrischen Fehlers q festzulegen. Beispiel: b1=4, q=-2. Diese beiden Bedingungen ergeben eine geometrische Progression von 4, -8, 16, -32, ….

Wenn q>0 (q ist ungleich 1), dann ist die Folge eine monotone Folge. Beispielsweise ist die Folge 2, 4,8,16,32, ... eine monoton steigende Folge (b1=2, q=2).

Wenn der Nenner q=1 im geometrischen Fehler ist, sind alle Elemente der geometrischen Folge einander gleich. In solchen Fällen spricht man von einer konstanten Abfolge.

Formel des n-ten Mitglieds der Progression

Damit die Zahlenfolge (bn) eine geometrische Folge ist, ist es notwendig, dass jedes ihrer Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, das geometrische Mittel der benachbarten Mitglieder ist. Das heißt, es ist notwendig, die folgende Gleichung zu erfüllen: (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), für jedes n>0, wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen N gehört.

Die Formel für das n-te Glied einer geometrischen Folge lautet:

bn=b1*q^(n-1), wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen N gehört.

Betrachten Sie ein einfaches Beispiel:

Finden Sie in der geometrischen Folge b1=6, q=3, n=8 bn.

Verwenden wir die Formel des n-ten Glieds einer geometrischen Folge.

Verwandte Lektion „Unendlich abnehmende geometrische Progression“

Der Zweck der Lektion: Einführung der Schüler in eine neue Art von Sequenz – eine unendlich abnehmende geometrische Progression.

Aufgaben:

Formulierung der Ausgangsidee des Grenzwertes der Zahlenfolge; Kennenlernen einer anderen Möglichkeit, unendliche periodische Brüche in gewöhnliche umzuwandeln, indem man die Formel für die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge verwendet;

die Entwicklung der intellektuellen Qualitäten der Persönlichkeit von Schulkindern, wie logisches Denken, die Fähigkeit zu bewertendem Handeln, Verallgemeinerung;

Aktivitätserziehung, gegenseitige Hilfeleistung, Kollektivismus, Interesse am Thema.

Ausrüstung: Computerkurs, Projektor, Leinwand.

Unterrichtsart: Lektion - Ein neues Thema meistern.

Während des Unterrichts

ICH . Org. Moment. Nachricht über das Thema und den Zweck der Lektion.

II . Aktualisierung des Wissens der Studierenden.1. Hausaufgaben überprüfen.

1) Überprüfung grundlegender Formeln im Zusammenhang mit arithmetischen und geometrischen Folgen. Zwei Schüler schreiben Formeln an die Tafel.

2) Der Rest der Schüler tut es mathematisches Diktat zum Thema „Summenformeln“.

Aufgaben:

№1. Ermitteln Sie die Summe der ersten fünf Elemente einer arithmetischen Folge, wenn ihr erstes Element 6 (1. Option), -20 (2. Option) und das fünfte Element -6 (1. Option), 20 (2. Option) ist.

№2. Ermitteln Sie die Summe der ersten fünf Terme einer arithmetischen Folge, wenn ihr erster Term -20 (1. Option), 6 (2. Option) und die Differenz 10 (1. Option), -3 (2. Option) beträgt.

№3. Ermitteln Sie die Summe der ersten fünf Terme einer geometrischen Folge, wenn ihr erster Term 1 (1. Option), -1 (2. Option) und der Nenner -2 (1. Option), 2 (2. Option) ist.

Am Ende des Diktats werden selektiv die Arbeiten von zwei Schülern zur Bewertung überprüft, der Rest führt eine Selbstprüfung anhand vorgefertigter Lösungen durch, die auf den Revers der Tafel geschrieben sind.

Lösungen:

Aufgaben

1. Der arithmetische Fortschritt ist durch die Formel gegeben A N = 7 – 4 N. Finden A 10 . (-33)

2. Arithmetische Folge A 3 = 7 Und A 5 = 1 . Finden A 4 . (4)

3. Arithmetische Folge A 3 = 7 Und A 5 = 1 . Finden A 17 . (-35)

4. Arithmetische Folge A 3 = 7 Und A 5 = 1 . Finden S 17 . (-187)

5. Für einen geometrischen Verlauf
Finden Sie den fünften Begriff.

6. Für einen geometrischen Verlauf
finden N-tes Mitglied.

7. Exponentiell B 3 = 8 Und B 5 = 2 . Finden B 4 . (4)

8. Exponentiell B 3 = 8 Und B 5 = 2 . Finden B 1 Und Q .

9. Exponentiell B 3 = 8 Und B 5 = 2 . Finden S 5 . (62)

III . Ein neues Thema erkunden(Demonstrationspräsentation).

Betrachten Sie ein Quadrat mit einer Seite gleich 1. Zeichnen wir ein weiteres Quadrat, dessen Seite die Hälfte des ersten Quadrats ist, dann ein weiteres, dessen Seite die Hälfte des zweiten ist, dann das nächste und so weiter. Jedes Mal ist die Seite des neuen Quadrats halb so groß wie die des vorherigen.

Als Ergebnis erhielten wir eine Folge von Quadratseiten Bilden einer geometrischen Folge mit Nenner .

Und was ganz wichtig ist: Je mehr wir solche Quadrate bauen, desto kleiner wird die Seite des Quadrats. Zum Beispiel,

Diese. Mit zunehmender Zahl n nähern sich die Terme der Progression Null.

Mit Hilfe dieser Abbildung kann eine weitere Sequenz betrachtet werden.

Zum Beispiel die Flächenfolge von Quadraten:

. Und noch einmal, wenn N steigt auf unbestimmte Zeit, dann nähert sich die Fläche beliebig nahe Null.

Betrachten wir noch ein Beispiel. Ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 1 cm. Bauen wir das nächste Dreieck mit Eckpunkten in den Mittelpunkten der Seiten des 1. Dreiecks, gemäß dem Dreiecksmittelliniensatz – die Seite des 2. ist gleich der Hälfte der Seite des ersten, die Seite des 3. ist die Hälfte der Seite von der 2. usw. Wieder erhalten wir eine Folge der Längen der Dreiecksseiten.

bei
.

Betrachten wir eine geometrische Folge mit negativem Nenner.

Dann wieder mit steigenden Zahlen N die Terme der Progression nähern sich Null.

Achten wir auf die Nenner dieser Folgen. Überall waren die Nenner kleiner als 1 Modulo.

Wir können daraus schließen: Eine geometrische Folge nimmt unendlich ab, wenn der Modul ihres Nenners kleiner als 1 ist.

Frontarbeit.

Definition:

Eine geometrische Folge heißt unendlich fallend, wenn der Modul ihres Nenners kleiner als eins ist.
.

Mit Hilfe der Definition lässt sich die Frage lösen, ob ein geometrischer Verlauf unendlich abnehmend ist oder nicht.

Aufgabe

Ist die Folge eine unendlich abnehmende geometrische Folge, wenn sie durch die Formel gegeben ist:

;
.

Lösung:

. Lass uns finden Q .

;
;
;
.

dieser geometrische Verlauf nimmt unendlich ab.

B) Diese Folge ist keine unendlich abnehmende geometrische Folge.

Betrachten Sie ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 1. Teilen Sie es in zwei Hälften, eine der Hälften erneut in zwei Hälften und so weiter. Die Flächen aller resultierenden Rechtecke bilden eine unendlich abnehmende geometrische Folge:

Die Summe der Flächen aller auf diese Weise erhaltenen Rechtecke ist gleich der Fläche des 1. Quadrats und gleich 1.

Aber auf der linken Seite dieser Gleichheit steht die Summe unendlich vieler Terme.

Betrachten Sie die Summe der ersten n Terme.

Nach der Formel für die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge ist sie gleich .

Wenn N steigt dann auf unbestimmte Zeit

oder
. Deshalb
, d.h.
.

Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression Es gibt eine Sequenzbegrenzung S 1 , S 2 , S 3 , …, S N , … .

Zum Beispiel für eine Progression
,

Als

Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression kann mit der Formel ermittelt werden
.

III . Reflexion und Konsolidierung(Erledigung von Aufgaben).

Aufgabe Nummer 2. Finden Sie die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge mit dem ersten Term 3 und dem zweiten 0,3.

Lösung:

Aufgabe Nummer 3. Lehrbuch, S. 160, Nr. 433(1)

Finden Sie die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge:

Lösung:

Aufgabe Nummer 4. Schreiben Sie den unendlichen periodischen Dezimalbruch 0,(5) als gemeinsamen Bruch.

1. Weg. Sei x = 0, (5) = 0,555 ... / 10 2. Methode. 0,(5)=0,555…=

Aufgabennummer 5. Lehrbuch, S. 162, Nr. 445(3) (unabhängige Entscheidung)

Schreiben Sie den unendlichen periodischen Dezimalbruch 0,(12) als gemeinsamen Bruch.

Antwort: 0,(12)=4/33.

IV . Zusammenfassend.

Welche Sequenz hast du heute kennengelernt?

Definieren Sie einen unendlich abnehmenden geometrischen Verlauf.

Wie kann man beweisen, dass eine geometrische Folge unendlich abnehmend ist?

Geben Sie die Formel für die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression an.

V . Hausaufgaben.

Mathematik ist wasMenschen kontrollieren die Natur und sich selbst.

Sowjetischer Mathematiker, Akademiker A.N. Kolmogorow

Geometrischer Verlauf.

Neben Aufgaben zu arithmetischen Reihen sind auch Aufgaben rund um das Konzept einer geometrischen Reihe in Aufnahmetests in Mathematik üblich. Um solche Probleme erfolgreich zu lösen, müssen Sie die Eigenschaften einer geometrischen Folge kennen und über gute Kenntnisse in deren Anwendung verfügen.

Dieser Artikel widmet sich der Darstellung der Haupteigenschaften einer geometrischen Folge. Außerdem werden Beispiele zur Lösung typischer Probleme aufgeführt, entlehnt aus den Aufgaben der Aufnahmetests in Mathematik.

Beachten wir vorab die Haupteigenschaften einer geometrischen Folge und erinnern uns an die wichtigsten Formeln und Aussagen, mit diesem Konzept verbunden.

Definition. Eine Zahlenfolge wird als geometrische Folge bezeichnet, wenn jede ihrer Zahlen, beginnend mit der zweiten, gleich der vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl. Die Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet.

Für einen geometrischen VerlaufDie Formeln sind gültig

, (1)

Wo . Formel (1) wird als Formel des allgemeinen Termes einer geometrischen Folge bezeichnet, und Formel (2) ist die Haupteigenschaft einer geometrischen Folge: Jedes Mitglied der Folge stimmt mit dem geometrischen Mittel seiner benachbarten Mitglieder überein und .

Notiz, dass die betreffende Progression gerade wegen dieser Eigenschaft als „geometrisch“ bezeichnet wird.

Die obigen Formeln (1) und (2) lassen sich wie folgt zusammenfassen:

, (3)

Um die Summe zu berechnen Erste Mitglieder einer geometrischen FolgeEs gilt die Formel

Wenn wir benennen

Wo . Da Formel (6) eine Verallgemeinerung von Formel (5) ist.

Für den Fall, dass und geometrischer Verlaufnimmt unendlich ab. Um die Summe zu berechnenaller Mitglieder einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge wird die Formel verwendet

. (7)

Zum Beispiel , Mit Formel (7) kann man zeigen, Was

Wo . Diese Gleichheiten werden aus Formel (7) erhalten, vorausgesetzt, dass , (die erste Gleichheit) und , (die zweite Gleichheit).

Satz. Wenn, dann

Nachweisen. Wenn, dann ,

Der Satz ist bewiesen.

Betrachten wir nun Beispiele zur Lösung von Problemen zum Thema „Geometrische Progression“.

Beispiel 1 Gegeben: , und . Finden .

Lösung. Wenn Formel (5) angewendet wird, dann

Antwort: .

Beispiel 2 Lass und . Finden .

Lösung. Da und verwenden wir die Formeln (5), (6) und erhalten das Gleichungssystem

Wenn die zweite Gleichung des Systems (9) durch die erste dividiert wird, dann oder . Daraus folgt . Betrachten wir zwei Fälle.

1. Wenn , dann haben wir aus der ersten Gleichung des Systems (9)..

2. Wenn, dann.

Beispiel 3 Lass , und . Finden .

Lösung. Aus Formel (2) folgt, dass oder . Seitdem, dann oder.

Nach Bedingung. Aber deshalb . Weil und , dann haben wir hier ein Gleichungssystem

Wenn die zweite Gleichung des Systems durch die erste geteilt wird, dann oder .

Seitdem hat die Gleichung eine einzige geeignete Wurzel. In diesem Fall impliziert die erste Gleichung des Systems.

Unter Berücksichtigung der Formel (7) erhalten wir.

Antwort: .

Beispiel 4 Gegeben: und . Finden .

Lösung. Seit damals .

Weil , dann oder

Nach Formel (2) gilt . In diesem Zusammenhang erhalten wir aus Gleichung (10) oder .

Allerdings unter der Bedingung, also.

Beispiel 5 Es ist bekannt, dass . Finden .

Lösung. Nach dem Satz haben wir zwei Gleichheiten

Seitdem, dann oder. Weil dann .

Antwort: .

Beispiel 6 Gegeben: und . Finden .

Lösung. Unter Berücksichtigung der Formel (5) erhalten wir

Seit damals . Seit , und , dann .

Beispiel 7 Lass und . Finden .

Lösung. Nach Formel (1) können wir schreiben

Deshalb haben wir oder . Es ist bekannt, dass und daher und .

Antwort: .

Beispiel 8 Finden Sie den Nenner einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge, wenn

Und .

Lösung. Aus Formel (7) folgt Und . Von hier aus und aus der Bedingung des Problems erhalten wir das Gleichungssystem

Wenn die erste Gleichung des Systems quadriert ist, und dividieren Sie dann die resultierende Gleichung durch die zweite Gleichung, dann bekommen wir

Oder .

Antwort: .

Beispiel 9 Finden Sie alle Werte, für die die Folge , , eine geometrische Folge ist.

Lösung. Lass , und . Gemäß Formel (2), die die Haupteigenschaft einer geometrischen Folge definiert, können wir schreiben oder .

Von hier aus erhalten wir die quadratische Gleichung, deren Wurzeln sind Und .

Lassen Sie uns prüfen: ob, dann , und ; wenn, dann, und.

Im ersten Fall haben wir und , und im zweiten - und .

Antwort: , .

Beispiel 10löse die Gleichung

, (11)

wo und .

Lösung. Die linke Seite der Gleichung (11) ist die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge, in der und vorausgesetzt: und .

Aus Formel (7) folgt, Was . In dieser Hinsicht nimmt Gleichung (11) die Form an oder . passende Wurzel quadratische Gleichung ist

Antwort: .

Beispiel 11. P Folge positiver Zahlenbildet eine arithmetische Folge, A - geometrischer Verlauf, was hat das damit zu tun. Finden .

Lösung. Als Arithmetische Sequenz, Das (die Haupteigenschaft einer arithmetischen Folge). Weil das, dann oder . Dies impliziert, dass der geometrische Verlauf ist. Nach Formel (2), dann schreiben wir das .

Seit und , dann . In diesem Fall der Ausdruck hat die Form oder . Durch Bedingung, also aus der Gleichungwir erhalten die eindeutige Lösung des betrachteten Problems, d.h. .

Antwort: .

Beispiel 12. Summe berechnen

. (12)

Lösung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichheit (12) mit 5 und erhalten Sie

Wenn wir (12) vom resultierenden Ausdruck subtrahieren, Das

oder .

Zur Berechnung setzen wir die Werte in Formel (7) ein und erhalten . Seit damals .

Antwort: .

Die hier aufgeführten Beispiele zur Problemlösung werden Bewerbern bei der Vorbereitung auf Aufnahmeprüfungen nützlich sein. Für ein tieferes Studium der Problemlösungsmethoden, mit einem geometrischen Verlauf verbunden, Sie können die Tutorials aus der Liste der empfohlenen Literatur nutzen.

1. Aufgabensammlung Mathematik für Bewerber an technischen Hochschulen / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 S.

2. Suprun V.P. Mathematik für Oberstufenschüler: zusätzliche Abschnitte des Schullehrplans. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 S.

3. Medynsky M.M. Ein vollständiger Kurs der elementaren Mathematik in Aufgaben und Übungen. Buch 2: Zahlenfolgen und -folgen. – M.: Editus, 2015. - 208 S.

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