Vereinfacht gesagt handelt es sich dabei um Gemüse, das nach einem speziellen Rezept in Wasser gekocht wird. Ich betrachte zwei Ausgangskomponenten (Gemüsesalat und Wasser) und das fertige Ergebnis – Borschtsch. Geometrisch kann man es sich als Rechteck vorstellen, wobei eine Seite Salat und die andere Seite Wasser darstellt. Die Summe dieser beiden Seiten ergibt Borschtsch. Die Diagonale und die Fläche eines solchen „Borschtsch“-Rechtecks sind rein mathematische Konzepte und werden in Borschtsch-Rezepten nie verwendet.
Wie wird aus Salat und Wasser rechnerisch Borschtsch? Wie kann die Summe zweier Liniensegmente zur Trigonometrie werden? Um dies zu verstehen, benötigen wir lineare Winkelfunktionen.
In Mathematiklehrbüchern findet man nichts über lineare Winkelfunktionen. Aber ohne sie kann es keine Mathematik geben. Die Gesetze der Mathematik funktionieren wie die Naturgesetze unabhängig davon, ob wir von ihrer Existenz wissen oder nicht.
Lineare Winkelfunktionen sind Additionsgesetze. Sehen Sie, wie sich Algebra in Geometrie und Geometrie in Trigonometrie verwandelt.
Kann man auf lineare Winkelfunktionen verzichten? Das ist möglich, denn Mathematiker kommen immer noch ohne sie aus. Der Trick der Mathematiker besteht darin, dass sie uns immer nur von den Problemen erzählen, die sie selbst lösen können, und nie über die Probleme, die sie nicht lösen können. Sehen. Wenn wir das Ergebnis der Addition und eines Termes kennen, verwenden wir die Subtraktion, um den anderen Term zu finden. Alle. Wir kennen keine anderen Probleme und wissen nicht, wie wir sie lösen können. Was sollen wir tun, wenn wir nur das Ergebnis der Addition kennen und nicht beide Terme kennen? In diesem Fall muss das Ergebnis der Addition mithilfe linearer Winkelfunktionen in zwei Terme zerlegt werden. Als nächstes wählen wir selbst, was ein Term sein kann, und lineare Winkelfunktionen zeigen, was der zweite Term sein soll, damit das Ergebnis der Addition genau das ist, was wir brauchen. Es kann unendlich viele solcher Begriffspaare geben. Im Alltag kommen wir ohne Zerlegen der Summe gut zurecht, uns genügt die Subtraktion. Aber bei der wissenschaftlichen Erforschung der Naturgesetze kann die Zerlegung einer Summe in ihre Bestandteile sehr nützlich sein.
Ein weiteres Additionsgesetz, über das Mathematiker nicht gerne sprechen (ein weiterer ihrer Tricks), erfordert, dass die Terme die gleichen Maßeinheiten haben. Bei Salat, Wasser und Borschtsch können dies Gewichts-, Volumen-, Wert- oder Maßeinheiten sein.
Die Abbildung zeigt zwei Differenzniveaus für mathematische . Die erste Ebene sind die Unterschiede im Zahlenbereich, die angezeigt werden A, B, C. Das ist es, was Mathematiker tun. Die zweite Ebene sind die Unterschiede im Bereich der Maßeinheiten, die in eckigen Klammern dargestellt und durch den Buchstaben gekennzeichnet sind U. Das ist es, was Physiker tun. Wir können die dritte Ebene verstehen – Unterschiede im Bereich der beschriebenen Objekte. Unterschiedliche Objekte können die gleiche Anzahl identischer Maßeinheiten haben. Wie wichtig das ist, sehen wir am Beispiel der Borschtsch-Trigonometrie. Wenn wir der gleichen Einheitenbezeichnung für verschiedene Objekte Indizes hinzufügen, können wir genau sagen, welche mathematische Größe ein bestimmtes Objekt beschreibt und wie es sich im Laufe der Zeit oder aufgrund unserer Handlungen verändert. Brief W Ich werde Wasser mit einem Buchstaben bezeichnen S Den Salat bezeichne ich mit einem Buchstaben B- Borschtsch. So sehen lineare Winkelfunktionen für Borschtsch aus.
Wenn wir einen Teil des Wassers und einen Teil des Salats nehmen, wird daraus eine Portion Borschtsch. Hier schlage ich vor, dass Sie eine kleine Pause vom Borschtsch einlegen und sich an Ihre ferne Kindheit erinnern. Erinnern Sie sich, wie uns beigebracht wurde, Hasen und Enten zusammenzusetzen? Es galt herauszufinden, wie viele Tiere es geben würde. Was wurde uns damals beigebracht? Uns wurde beigebracht, Maßeinheiten von Zahlen zu trennen und Zahlen zu addieren. Ja, eine beliebige Nummer kann zu jeder anderen Nummer hinzugefügt werden. Dies ist ein direkter Weg zum Autismus der modernen Mathematik – wir tun es unverständlich was, unverständlich warum und verstehen nur sehr schlecht, wie dies mit der Realität zusammenhängt, da Mathematiker aufgrund der drei Differenzebenen nur mit einer operieren. Es wäre richtiger zu lernen, wie man von einer Maßeinheit zur anderen wechselt.
Hasen, Enten und kleine Tiere können in Stücken gezählt werden. Eine gemeinsame Maßeinheit für verschiedene Objekte ermöglicht es uns, diese zu addieren. Dies ist eine Kinderversion des Problems. Schauen wir uns ein ähnliches Problem für Erwachsene an. Was bekommt man, wenn man Hasen und Geld hinzufügt? Hier gibt es zwei mögliche Lösungen.
Erste Wahl. Wir ermitteln den Marktwert der Hasen und addieren ihn zum verfügbaren Geldbetrag. Wir haben den Gesamtwert unseres Vermögens in Geld ausgedrückt.
Zweite Option. Sie können die Anzahl der Hasen zu der Anzahl der Geldscheine hinzufügen, die wir haben. Wir erhalten den Betrag der beweglichen Sachen in Stücken.
Wie Sie sehen, können Sie mit demselben Additionsgesetz unterschiedliche Ergebnisse erzielen. Es hängt alles davon ab, was genau wir wissen wollen.
Aber kommen wir zurück zu unserem Borschtsch. Jetzt können wir sehen, was für verschiedene Winkelwerte linearer Winkelfunktionen passieren wird.
Der Winkel ist Null. Wir haben Salat, aber kein Wasser. Wir können keinen Borschtsch kochen. Die Menge an Borschtsch ist ebenfalls Null. Das bedeutet keineswegs, dass null Borschtsch gleich null Wasser ist. Es kann null Borschtsch mit null Salat geben (rechter Winkel).
Für mich persönlich ist dies der wichtigste mathematische Beweis dafür, dass . Null ändert die Zahl beim Hinzufügen nicht. Dies liegt daran, dass die Addition selbst unmöglich ist, wenn nur ein Term vorhanden ist und der zweite Term fehlt. Sie können darüber nachdenken, wie Sie möchten, aber denken Sie daran: Alle mathematischen Operationen mit Null wurden von Mathematikern selbst erfunden. Werfen Sie also Ihre Logik weg und stopfen Sie dummerweise die von Mathematikern erfundenen Definitionen voll: „Division durch Null ist unmöglich“, „jede Zahl multipliziert mit“. „Null ist gleich Null“, „Jenseits des Einstichpunkts Null“ und anderer Unsinn. Es reicht aus, sich einmal daran zu erinnern, dass Null keine Zahl ist, und Sie werden nie wieder die Frage haben, ob Null eine natürliche Zahl ist oder nicht, denn eine solche Frage verliert jede Bedeutung: Wie kann etwas, das keine Zahl ist, als Zahl betrachtet werden? ? Es ist, als würde man fragen, als welche Farbe eine unsichtbare Farbe klassifiziert werden sollte. Das Hinzufügen einer Null zu einer Zahl ist dasselbe wie das Malen mit Farbe, die nicht vorhanden ist. Wir schwenkten einen trockenen Pinsel und sagten allen: „Wir haben gemalt.“ Aber ich schweife ein wenig ab.
Der Winkel ist größer als Null, aber kleiner als fünfundvierzig Grad. Wir haben viel Salat, aber nicht genug Wasser. Als Ergebnis erhalten wir dicken Borschtsch.
Der Winkel beträgt fünfundvierzig Grad. Wir haben gleiche Mengen Wasser und Salat. Das ist der perfekte Borschtsch (verzeihen Sie, Köche, das ist nur Mathematik).
Der Winkel beträgt mehr als fünfundvierzig Grad, aber weniger als neunzig Grad. Wir haben viel Wasser und wenig Salat. Sie erhalten flüssigen Borschtsch.
Rechter Winkel. Wir haben Wasser. Von dem Salat bleiben nur noch Erinnerungen, während wir weiterhin den Winkel von der Linie messen, die einst den Salat markierte. Wir können keinen Borschtsch kochen. Die Menge an Borschtsch ist Null. Halten Sie in diesem Fall durch und trinken Sie Wasser, solange Sie es haben)))
Hier. Irgendwie so. Ich kann hier noch andere Geschichten erzählen, die hier mehr als angebracht wären.
Zwei Freunde hatten Anteile an einem gemeinsamen Unternehmen. Nachdem einer von ihnen getötet wurde, ging alles an den anderen.
Die Entstehung der Mathematik auf unserem Planeten.
Alle diese Geschichten werden in der Sprache der Mathematik unter Verwendung linearer Winkelfunktionen erzählt. Ein anderes Mal werde ich Ihnen den wahren Platz dieser Funktionen in der Struktur der Mathematik zeigen. Kehren wir in der Zwischenzeit zur Borschtsch-Trigonometrie zurück und betrachten Projektionen.
Samstag, 26. Oktober 2019
Mittwoch, 7. August 2019
Zum Abschluss des Gesprächs müssen wir eine unendliche Menge betrachten. Der Punkt ist, dass das Konzept der „Unendlichkeit“ auf Mathematiker wirkt wie eine Boa constrictor auf ein Kaninchen. Der zitternde Schrecken der Unendlichkeit beraubt Mathematiker des gesunden Menschenverstandes. Hier ist ein Beispiel:
Die Originalquelle befindet sich. Alpha steht für reelle Zahl. Das Gleichheitszeichen in den obigen Ausdrücken zeigt an, dass sich nichts ändert, wenn Sie eine Zahl oder Unendlichkeit zur Unendlichkeit addieren. Das Ergebnis ist dieselbe Unendlichkeit. Nehmen wir als Beispiel die unendliche Menge der natürlichen Zahlen, dann lassen sich die betrachteten Beispiele in dieser Form darstellen:
Um eindeutig zu beweisen, dass sie Recht hatten, haben sich Mathematiker viele verschiedene Methoden ausgedacht. Persönlich betrachte ich all diese Methoden als Schamanen, die mit Tamburinen tanzen. Im Wesentlichen läuft alles darauf hinaus, dass entweder einige der Zimmer unbewohnt sind und neue Gäste einziehen, oder dass ein Teil der Besucher auf den Flur geworfen wird, um Platz für Gäste zu schaffen (sehr menschlich). Meine Meinung zu solchen Entscheidungen habe ich in Form einer Fantasy-Geschichte über die Blondine dargelegt. Worauf basiert meine Argumentation? Die Umsiedlung einer unendlichen Anzahl von Besuchern nimmt unendlich viel Zeit in Anspruch. Nachdem wir das erste Zimmer für einen Gast geräumt haben, wird bis zum Ende der Zeit immer einer der Besucher den Flur entlang von seinem Zimmer zum nächsten gehen. Natürlich kann der Zeitfaktor dummerweise ignoriert werden, aber das wird in die Kategorie „Kein Gesetz ist für Dummköpfe geschrieben“ fallen. Es hängt alles davon ab, was wir tun: die Realität an mathematische Theorien anpassen oder umgekehrt.
Was ist ein „Endloshotel“? Ein unendliches Hotel ist ein Hotel, das immer beliebig viele freie Betten hat, unabhängig davon, wie viele Zimmer belegt sind. Wenn alle Räume im endlosen „Besucher“-Korridor belegt sind, gibt es einen weiteren endlosen Korridor mit „Gäste“-Zimmern. Es wird unendlich viele solcher Korridore geben. Darüber hinaus verfügt das „unendliche Hotel“ über unendlich viele Stockwerke in unendlich vielen Gebäuden auf unendlich vielen Planeten in unendlich vielen Universen, die von unendlich vielen Göttern geschaffen wurden. Von banalen Alltagsproblemen können sich Mathematiker nicht distanzieren: Es gibt immer nur einen Gott-Allah-Buddha, es gibt nur ein Hotel, es gibt nur einen Korridor. Also versuchen Mathematiker, mit den Seriennummern von Hotelzimmern zu jonglieren und uns davon zu überzeugen, dass es möglich ist, „das Unmögliche hineinzuschieben“.
Ich werde Ihnen die Logik meiner Überlegungen am Beispiel einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen demonstrieren. Zuerst müssen Sie eine sehr einfache Frage beantworten: Wie viele Mengen natürlicher Zahlen gibt es – eine oder viele? Auf diese Frage gibt es keine richtige Antwort, da wir die Zahlen selbst erfunden haben; Zahlen gibt es in der Natur nicht. Ja, die Natur kann gut zählen, aber dafür nutzt sie andere mathematische Werkzeuge, die uns nicht vertraut sind. Was die Natur denkt, erzähle ich euch ein andermal. Da wir die Zahlen erfunden haben, werden wir selbst entscheiden, wie viele Mengen natürlicher Zahlen es gibt. Betrachten wir beide Optionen, wie es sich für echte Wissenschaftler gehört.
Option eins. „Lasst uns einen einzigen Satz natürlicher Zahlen erhalten“, der ruhig im Regal liegt. Wir nehmen dieses Set aus dem Regal. Das ist alles, es sind keine anderen natürlichen Zahlen mehr im Regal und man kann sie nirgendwo hinnehmen. Wir können diesem Set keinen hinzufügen, da wir ihn bereits haben. Was ist, wenn Sie es wirklich wollen? Kein Problem. Wir können eines aus dem Set, das wir bereits genommen haben, nehmen und es zurück ins Regal stellen. Danach können wir eines aus dem Regal nehmen und es zu dem hinzufügen, was wir übrig haben. Als Ergebnis erhalten wir wieder eine unendliche Menge natürlicher Zahlen. Sie können alle unsere Manipulationen wie folgt aufschreiben:
Ich habe die Aktionen in algebraischer und mengentheoretischer Notation aufgeschrieben, mit einer detaillierten Auflistung der Elemente der Menge. Der Index zeigt an, dass wir eine einzige Menge natürlicher Zahlen haben. Es stellt sich heraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen nur dann unverändert bleibt, wenn man von ihr eine abzieht und die gleiche Einheit hinzufügt.
Option zwei. Wir haben viele verschiedene unendliche Mengen natürlicher Zahlen in unserem Regal. Ich betone – UNTERSCHIEDLICH, obwohl sie praktisch nicht zu unterscheiden sind. Nehmen wir eines dieser Sets. Dann nehmen wir eine aus einer anderen Menge natürlicher Zahlen und fügen sie der Menge hinzu, die wir bereits genommen haben. Wir können sogar zwei Sätze natürlicher Zahlen addieren. Das bekommen wir:
Die Indizes „eins“ und „zwei“ zeigen an, dass diese Elemente zu unterschiedlichen Mengen gehörten. Ja, wenn Sie eins zu einer unendlichen Menge hinzufügen, ist das Ergebnis ebenfalls eine unendliche Menge, aber es ist nicht dasselbe wie die ursprüngliche Menge. Wenn man einer unendlichen Menge eine weitere unendliche Menge hinzufügt, entsteht eine neue unendliche Menge, die aus den Elementen der ersten beiden Mengen besteht.
Die Menge der natürlichen Zahlen wird zum Zählen genauso verwendet wie ein Lineal zum Messen. Stellen Sie sich nun vor, Sie hätten dem Lineal einen Zentimeter hinzugefügt. Dies wird eine andere Zeile sein, die nicht mit der Originalzeile übereinstimmt.
Sie können meine Argumentation akzeptieren oder nicht akzeptieren – es ist Ihre eigene Sache. Wenn Sie jedoch jemals auf mathematische Probleme stoßen, denken Sie darüber nach, ob Sie dem Weg des falschen Denkens folgen, den Generationen von Mathematikern beschritten haben. Denn das Studium der Mathematik bildet in uns zunächst ein stabiles Stereotyp des Denkens und erweitert erst dann unsere geistigen Fähigkeiten (oder beraubt uns umgekehrt des freien Denkens).
pozg.ru
Sonntag, 4. August 2019
Ich war gerade dabei, ein Nachwort zu einem Artikel darüber zu schreiben, und sah diesen wunderbaren Text auf Wikipedia:
Wir lesen: „... die reiche theoretische Grundlage der Mathematik Babylons hatte keinen ganzheitlichen Charakter und wurde auf eine Reihe unterschiedlicher Techniken reduziert, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Beweisbasis.“
Wow! Wie schlau wir sind und wie gut wir die Unzulänglichkeiten anderer erkennen können. Fällt es uns schwer, die moderne Mathematik im gleichen Kontext zu betrachten? Wenn ich den obigen Text leicht paraphrasiere, habe ich persönlich Folgendes herausgefunden:
Die reichhaltige theoretische Grundlage der modernen Mathematik ist nicht ganzheitlicher Natur und reduziert sich auf eine Reihe unterschiedlicher Abschnitte, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Evidenzbasis.
Ich werde nicht weit gehen, um meine Worte zu bestätigen – es gibt eine Sprache und Konventionen, die sich von der Sprache und den Konventionen vieler anderer Zweige der Mathematik unterscheiden. Dieselben Namen können in verschiedenen Zweigen der Mathematik unterschiedliche Bedeutungen haben. Den offensichtlichsten Fehlern der modernen Mathematik möchte ich eine ganze Reihe von Veröffentlichungen widmen. Bis bald.
Samstag, 3. August 2019
Wie teilt man eine Menge in Teilmengen auf? Dazu müssen Sie eine neue Maßeinheit eingeben, die in einigen Elementen der ausgewählten Menge vorhanden ist. Schauen wir uns ein Beispiel an.
Mögen wir genug davon haben A bestehend aus vier Personen. Diese Menge wird auf der Grundlage von „Menschen“ gebildet. Bezeichnen wir die Elemente dieser Menge mit dem Buchstaben A, der Index mit einer Zahl gibt die Seriennummer jeder Person in diesem Satz an. Lassen Sie uns eine neue Maßeinheit „Geschlecht“ einführen und sie mit dem Buchstaben bezeichnen B. Da allen Menschen sexuelle Merkmale innewohnen, multiplizieren wir jedes Element der Menge A basierend auf dem Geschlecht B. Beachten Sie, dass unsere Gruppe von „Menschen“ nun zu einer Gruppe von „Menschen mit Geschlechtsmerkmalen“ geworden ist. Danach können wir die Geschlechtsmerkmale in männlich einteilen bm und Frauen bw Geschlechtsmerkmale. Jetzt können wir einen mathematischen Filter anwenden: Wir wählen eines dieser Geschlechtsmerkmale aus, egal welches – männlich oder weiblich. Wenn eine Person es hat, multiplizieren wir es mit eins, wenn es kein solches Zeichen gibt, multiplizieren wir es mit Null. Und dann nutzen wir die reguläre Schulmathematik. Schauen Sie, was passiert ist.
Nach Multiplikation, Reduktion und Neuordnung erhielten wir schließlich zwei Teilmengen: die Teilmenge der Männer Bm und eine Untergruppe von Frauen Bw. Mathematiker denken ungefähr auf die gleiche Weise, wenn sie die Mengenlehre in der Praxis anwenden. Aber sie erzählen uns nicht die Details, sondern geben uns das fertige Ergebnis: „Viele Menschen bestehen aus einer Untergruppe von Männern und einer Untergruppe von Frauen.“ Natürlich haben Sie möglicherweise eine Frage: Wie korrekt wurde die Mathematik bei den oben beschriebenen Transformationen angewendet? Ich wage Ihnen zu versichern, dass im Wesentlichen alles richtig gemacht wurde; es reicht aus, die mathematischen Grundlagen der Arithmetik, der Booleschen Algebra und anderer Zweige der Mathematik zu kennen. Was ist das? Ein anderes Mal werde ich Ihnen davon erzählen.
Bei Obermengen können Sie zwei Mengen zu einer Obermenge kombinieren, indem Sie die Maßeinheit auswählen, die in den Elementen dieser beiden Mengen vorhanden ist.
Wie Sie sehen, sind Maßeinheiten und gewöhnliche Mathematik die Mengenlehre ein Relikt der Vergangenheit. Ein Zeichen dafür, dass mit der Mengenlehre nicht alles in Ordnung ist, ist, dass Mathematiker ihre eigene Sprache und Notation für die Mengenlehre entwickelt haben. Mathematiker agierten einst wie Schamanen. Nur Schamanen wissen, wie sie ihr „Wissen“ „richtig“ anwenden. Sie vermitteln uns dieses „Wissen“.
Abschließend möchte ich Ihnen zeigen, wie Mathematiker manipulieren.
Montag, 7. Januar 2019
Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zenon von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:
Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.
Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ... Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen ... An der Untersuchung des Themas waren mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze beteiligt ; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.
Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, wurde der mathematische Apparat zur Verwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder er wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde sich die Zeit verlangsamen, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.
Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“
Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie bei konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Einheiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:
In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.
Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.
Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:
Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.
In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zu einem Auto zu bestimmen, benötigt man zwei Fotos, die zu einem Zeitpunkt von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aus denen man aber nicht die Tatsache der Bewegung ermitteln kann (natürlich benötigt man noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft einem). ). Worauf ich besonders aufmerksam machen möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.
Ich zeige Ihnen den Vorgang anhand eines Beispiels. Wir wählen den „roten Feststoff im Pickel“ aus – das ist unser „Ganzes“. Gleichzeitig sehen wir, dass diese Dinge mit einem Bogen sind und dass es solche ohne Bogen gibt. Danach wählen wir einen Teil des „Ganzen“ aus und bilden ein Set „mit Schleife“. Auf diese Weise erhalten Schamanen ihre Nahrung, indem sie ihre Mengenlehre mit der Realität in Verbindung bringen.
Jetzt machen wir einen kleinen Trick. Nehmen wir „fest mit einer Noppe mit einer Schleife“ und kombinieren Sie diese „Ganzen“ nach Farben und wählen Sie die roten Elemente aus. Wir haben viel „Rot“ bekommen. Nun die letzte Frage: Sind die resultierenden Sets „mit Schleife“ und „rot“ dasselbe Set oder zwei verschiedene Sets? Nur Schamanen kennen die Antwort. Genauer gesagt, sie selbst wissen nichts, aber wie sie sagen, wird es so sein.
Dieses einfache Beispiel zeigt, dass die Mengenlehre in Bezug auf die Realität völlig nutzlos ist. Was ist das Geheimnis? Wir haben ein Set aus „rotem Feststoff mit Noppe und Schleife“ zusammengestellt. Die Formation erfolgte in vier verschiedenen Maßeinheiten: Farbe (rot), Stärke (fest), Rauheit (pickelig), Verzierung (mit Schleife). Nur eine Reihe von Maßeinheiten ermöglicht es uns, reale Objekte in der Sprache der Mathematik angemessen zu beschreiben. So sieht es aus.
Der Buchstabe „a“ mit unterschiedlichen Indizes bezeichnet unterschiedliche Maßeinheiten. Die Maßeinheiten, nach denen das „Ganze“ im Vorfeld unterschieden wird, sind in Klammern hervorgehoben. In Klammern steht die Maßeinheit, nach der die Menge gebildet wird. Die letzte Zeile zeigt das Endergebnis – ein Element der Menge. Wie Sie sehen, hängt das Ergebnis nicht von der Reihenfolge unserer Aktionen ab, wenn wir Maßeinheiten verwenden, um eine Menge zu bilden. Und das ist Mathematik und nicht der Tanz von Schamanen mit Tamburinen. Schamanen können „intuitiv“ zum gleichen Ergebnis kommen und argumentieren, dass es „offensichtlich“ sei, weil Maßeinheiten nicht Teil ihres „wissenschaftlichen“ Arsenals seien.
Mithilfe von Maßeinheiten ist es sehr einfach, einen Satz aufzuteilen oder mehrere Sätze zu einem Obersatz zusammenzufassen. Schauen wir uns die Algebra dieses Prozesses genauer an.
Vorlesung: Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens eines beliebigen Winkels
Sinus, Cosinus eines beliebigen Winkels
Um zu verstehen, was trigonometrische Funktionen sind, schauen wir uns einen Kreis mit Einheitsradius an. Dieser Kreis hat einen Mittelpunkt im Ursprung auf der Koordinatenebene. Zur Bestimmung der gegebenen Funktionen verwenden wir den Radiusvektor ODER, der im Mittelpunkt des Kreises beginnt, und dem Punkt R ist ein Punkt auf dem Kreis. Dieser Radiusvektor bildet mit der Achse einen Winkel Alpha OH. Da der Kreis also einen Radius von eins hat ODER = R = 1.
Wenn vom Punkt R Senken Sie die Senkrechte zur Achse OH, dann erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse gleich eins.
Wenn sich der Radiusvektor im Uhrzeigersinn bewegt, wird diese Richtung aufgerufen Negativ, wenn es sich gegen den Uhrzeigersinn bewegt - positiv.
Sinus des Winkels ODER, ist die Ordinate des Punktes R Vektor auf einem Kreis.
Das heißt, um den Sinuswert eines gegebenen Winkels Alpha zu erhalten, ist es notwendig, die Koordinate zu bestimmen U auf der Oberfläche.
Wie wurde dieser Wert ermittelt? Da wir wissen, dass der Sinus eines beliebigen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des Gegenkatheten zur Hypotenuse ist, erhalten wir das
Und da R=1, Das sin(α) = y 0 .
In einem Einheitskreis kann der Ordinatenwert nicht kleiner als -1 und nicht größer als 1 sein, was bedeutet
Der Sinus nimmt im ersten und zweiten Viertel des Einheitskreises einen positiven Wert und im dritten und vierten einen negativen Wert an.
Kosinus des Winkels gegebener Kreis, der durch den Radiusvektor gebildet wird ODER, ist die Abszisse des Punktes R Vektor auf einem Kreis.
Das heißt, um den Kosinuswert eines gegebenen Winkels Alpha zu erhalten, ist es notwendig, die Koordinate zu bestimmen X auf der Oberfläche.
Der Kosinus eines beliebigen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse, das erhalten wir
Und da R=1, Das cos(α) = x 0 .
Im Einheitskreis kann der Abszissenwert nicht kleiner als -1 und nicht größer als 1 sein, was bedeutet
Der Kosinus nimmt im ersten und vierten Viertel des Einheitskreises einen positiven Wert und im zweiten und dritten einen negativen Wert an.
Tangentebeliebiger Winkel Das Verhältnis von Sinus zu Cosinus wird berechnet.
Wenn wir ein rechtwinkliges Dreieck betrachten, dann ist dies das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite. Wenn wir vom Einheitskreis sprechen, dann ist dies das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse.
Anhand dieser Beziehungen kann man verstehen, dass die Tangente nicht existieren kann, wenn der Abszissenwert Null ist, also bei einem Winkel von 90 Grad. Die Tangente kann alle anderen Werte annehmen.
Die Tangente ist im ersten und dritten Viertel des Einheitskreises positiv und im zweiten und vierten Viertel negativ.
Wie Sie sehen, ist dieser Kreis im kartesischen Koordinatensystem konstruiert. Der Radius des Kreises ist gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung liegt, ist die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse festgelegt (in unserem Beispiel ist dies der Radius).
Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht zwei Zahlen: der Achsenkoordinate und der Achsenkoordinate. Was sind diese Koordinatenzahlen? Und was haben sie generell mit dem jeweiligen Thema zu tun? Dazu müssen wir uns an das betrachtete rechtwinklige Dreieck erinnern. In der Abbildung oben sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie ein Dreieck. Es ist rechteckig, weil es senkrecht zur Achse steht.
Was ist das Dreieck gleich? Alles ist richtig. Darüber hinaus wissen wir, dass dies der Radius des Einheitskreises ist, was bedeutet. Setzen wir diesen Wert in unsere Formel für den Kosinus ein. Folgendes passiert:
Was ist das Dreieck gleich? Nun, natürlich, ! Setzen Sie den Radiuswert in diese Formel ein und erhalten Sie:
Können Sie also sagen, welche Koordinaten ein Punkt hat, der zu einem Kreis gehört? Nun ja, auf keinen Fall? Was wäre, wenn Sie das erkennen und nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht es? Na klar, die Koordinaten! Und welcher Koordinate entspricht es? Genau, Koordinaten! Also Punkt.
Was sind dann und gleich? Richtig, verwenden wir die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens und erhalten das: a.
Was ist, wenn der Winkel größer ist? Zum Beispiel wie auf diesem Bild:
Was hat sich in diesem Beispiel geändert? Lass es uns herausfinden. Dazu wenden wir uns noch einmal einem rechtwinkligen Dreieck zu. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck: Winkel (als angrenzend an einen Winkel). Welche Werte haben Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel? Richtig, wir halten uns an die entsprechenden Definitionen trigonometrischer Funktionen:
Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate; der Wert des Kosinus des Winkels - die Koordinate; und die Werte von Tangens und Kotangens an die entsprechenden Verhältnisse. Somit gelten diese Beziehungen für jede Drehung des Radiusvektors.
Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel mit einem bestimmten Wert, aber nur dieser ist negativ. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel und beim Drehen im Uhrzeigersinn - Negativ.
Wir wissen also, dass eine ganze Umdrehung des Radiusvektors um einen Kreis oder ist. Ist es möglich, den Radiusvektor nach oder nach zu drehen? Natürlich können Sie das! Im ersten Fall macht der Radiusvektor daher eine volle Umdrehung und stoppt an der Position oder.
Im zweiten Fall macht der Radiusvektor drei volle Umdrehungen und stoppt an der Position oder.
Aus den obigen Beispielen können wir daher schließen, dass Winkel, die sich um oder (wobei eine beliebige ganze Zahl ist) unterscheiden, derselben Position des Radiusvektors entsprechen.
Die folgende Abbildung zeigt einen Winkel. Das gleiche Bild entspricht der Ecke usw. Diese Liste lässt sich beliebig fortsetzen. Alle diese Winkel können durch die allgemeine Formel oder (wobei eine beliebige ganze Zahl ist) geschrieben werden
Versuchen Sie nun, die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen zu kennen und den Einheitskreis zu verwenden, die Werte zu beantworten:
Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen helfen soll:
Haben Sie Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Wir wissen also:
Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: Der Winkel entspricht einem Punkt mit Koordinaten, also:
Existiert nicht;
Wenn wir der gleichen Logik folgen, finden wir außerdem heraus, dass die Ecken jeweils Punkten mit Koordinaten entsprechen. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zunächst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.
Antworten:
Existiert nicht
Existiert nicht
Existiert nicht
Existiert nicht
Somit können wir die folgende Tabelle erstellen:
Es ist nicht nötig, sich alle diese Werte zu merken. Es reicht aus, sich an die Entsprechung zwischen den Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis und den Werten trigonometrischer Funktionen zu erinnern:
Aber die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und, angegeben in der folgenden Tabelle, muss in Erinnerung bleiben:
Haben Sie keine Angst, jetzt zeigen wir Ihnen ein Beispiel ganz einfach, sich die entsprechenden Werte zu merken:
Um diese Methode verwenden zu können, ist es wichtig, sich die Werte des Sinus für alle drei Winkelmaße () sowie den Wert des Tangens des Winkels zu merken. Wenn man diese Werte kennt, ist es ganz einfach, die gesamte Tabelle wiederherzustellen – die Kosinuswerte werden entsprechend den Pfeilen übertragen, das heißt:
Wenn Sie dies wissen, können Sie die Werte wiederherstellen. Der Zähler „ “ stimmt überein und der Nenner „ “ stimmt überein. Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung angegebenen Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich das Diagramm mit den Pfeilen merken, reicht es aus, sich alle Werte aus der Tabelle zu merken.
Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis
Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden? Kenntnis der Koordinaten des Kreismittelpunkts, seines Radius und Drehwinkels?
Natürlich können Sie das! Lass es uns rausholen allgemeine Formel zum Ermitteln der Koordinaten eines Punktes.
Hier ist zum Beispiel ein Kreis vor uns:
Wir wissen, dass der Punkt der Mittelpunkt des Kreises ist. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten eines Punktes zu ermitteln, indem man den Punkt um Grad dreht.
Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate des Punktes der Länge des Segments. Die Länge des Segments entspricht der Koordinate des Kreismittelpunkts, ist also gleich. Die Länge eines Segments kann mit der Definition des Kosinus ausgedrückt werden:
Dann haben wir das für die Punktkoordinate.
Mit derselben Logik ermitteln wir den y-Koordinatenwert für den Punkt. Auf diese Weise,
Im Allgemeinen werden die Koordinaten von Punkten also durch die Formeln bestimmt:
Koordinaten des Kreismittelpunkts,
Kreisradius,
Der Drehwinkel des Vektorradius.
Wie Sie sehen können, sind diese Formeln für den Einheitskreis, den wir betrachten, erheblich reduziert, da die Koordinaten des Mittelpunkts gleich Null und der Radius gleich Eins sind:
Probieren wir diese Formeln aus, indem wir üben, Punkte auf einem Kreis zu finden?
1. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.
2. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.
3. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.
4. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des anfänglichen Radiusvektors um erhalten wird.
5. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des anfänglichen Radiusvektors um erhalten wird.
Haben Sie Schwierigkeiten, die Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis zu finden?
Lösen Sie diese fünf Beispiele (oder werden Sie gut darin, sie zu lösen) und Sie werden lernen, sie zu finden!
1.
Das merkt man. Aber wir wissen, was einer vollständigen Umdrehung des Ausgangspunkts entspricht. Somit befindet sich der gewünschte Punkt in der gleichen Position wie beim Drehen. Mit diesem Wissen ermitteln wir die erforderlichen Koordinaten des Punktes:
2. Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt in einem Punkt, was bedeutet, dass wir vereinfachte Formeln verwenden können:
Das merkt man. Wir wissen, was zwei vollen Umdrehungen des Startpunkts entspricht. Somit befindet sich der gewünschte Punkt in der gleichen Position wie beim Drehen. Mit diesem Wissen ermitteln wir die erforderlichen Koordinaten des Punktes:
Sinus und Cosinus sind Tabellenwerte. Wir erinnern uns an ihre Bedeutung und erhalten:
Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.
3. Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt in einem Punkt, was bedeutet, dass wir vereinfachte Formeln verwenden können:
Das merkt man. Lassen Sie uns das betreffende Beispiel in der Abbildung darstellen:
Der Radius bildet Winkel, die gleich und mit der Achse sind. Da wir wissen, dass die Tabellenwerte von Cosinus und Sinus gleich sind, und nachdem wir festgestellt haben, dass der Cosinus hier einen negativen Wert und der Sinus einen positiven Wert annimmt, haben wir:
Solche Beispiele werden beim Studium der Formeln zur Reduzierung trigonometrischer Funktionen im Thema ausführlicher besprochen.
Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.
4.
Drehwinkel des Radius des Vektors (nach Bedingung)
Um die entsprechenden Vorzeichen von Sinus und Cosinus zu bestimmen, konstruieren wir einen Einheitskreis und einen Einheitswinkel:
Wie Sie sehen, ist der Wert positiv und der Wert negativ. Wenn wir die Tabellenwerte der entsprechenden trigonometrischen Funktionen kennen, erhalten wir Folgendes:
Setzen wir die erhaltenen Werte in unsere Formel ein und ermitteln die Koordinaten:
Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.
5. Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir Formeln in allgemeiner Form, wo
Koordinaten des Kreismittelpunkts (in unserem Beispiel
Kreisradius (nach Bedingung)
Drehwinkel des Radius des Vektors (nach Bedingung).
Setzen wir alle Werte in die Formel ein und erhalten:
und - Tabellenwerte. Erinnern wir uns und setzen sie in die Formel ein:
Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.
ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMELN
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Schenkels zur Hypotenuse.
Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Schenkels zur Hypotenuse.
Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis der gegenüberliegenden (fernen) Seite zur benachbarten (nahen) Seite.
Der Kotangens eines Winkels ist das Verhältnis der angrenzenden (nahen) Seite zur gegenüberliegenden (fernen) Seite.
Erinnern wir uns an den Mathematikkurs in der Schule und sprechen wir darüber, was eine Tangente ist und wie man die Tangente eines Winkels findet. Definieren wir zunächst, was Tangente genannt wird. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines spitzen Winkels das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite. Der benachbarte Schenkel ist derjenige, der an der Bildung des Winkels beteiligt ist, der gegenüberliegende Schenkel ist derjenige, der dem Winkel gegenüberliegt.
Außerdem ist der Tangens eines spitzen Winkels das Verhältnis des Sinus dieses Winkels zu seinem Kosinus. Um das zu verstehen, erinnern wir uns an den Sinus und den Cosinus eines Winkels. Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse, der Kosinus ist das Verhältnis der benachbarten Seite zur Hypotenuse.
Es gibt auch einen Kotangens, er ist dem Tangens entgegengesetzt. Der Kotangens ist das Verhältnis der Nachbarseite zur Gegenseite und dementsprechend das Verhältnis des Kosinus des Winkels zu seinem Sinus.
Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen eines Winkels; sie zeigen die Beziehung zwischen den Winkeln und Seiten eines Dreiecks und helfen bei der Berechnung der Seiten eines Dreiecks.
Berechnen Sie den Tangens eines spitzen Winkels
Wie finde ich die Tangente in einem Dreieck? Um keine Zeit mit der Suche nach der Tangente zu verschwenden, finden Sie spezielle Tabellen, die die trigonometrischen Funktionen vieler Winkel angeben. Bei Geometrieaufgaben in der Schule kommen bestimmte Winkel sehr häufig vor, und die Lehrer werden gebeten, sich die Werte ihrer Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangenswerte zu merken. Wir bieten Ihnen eine kleine Platte mit den erforderlichen Werten dieser Winkel an.
Wenn der Winkel, dessen Tangente Sie ermitteln müssen, in dieser Tabelle nicht aufgeführt ist, können Sie zwei Formeln verwenden, die wir oben in verbaler Form dargestellt haben.
Die erste Möglichkeit, den Tangens eines Winkels zu berechnen, besteht darin, die Länge des gegenüberliegenden Schenkels durch die Länge des benachbarten Schenkels zu dividieren. Nehmen wir an, die gegenüberliegende Seite ist 4 und die angrenzende Seite ist 8. Um die Tangente zu finden, benötigen Sie 4:8. Der Tangens des Winkels beträgt ½ oder 0,5.
Die zweite Möglichkeit, den Tangens zu berechnen, besteht darin, den Sinuswert eines bestimmten Winkels durch den Wert seines Kosinus zu dividieren. Als Beispiel erhalten wir einen Winkel von 45 Grad. Seine Sünde = Wurzel aus zwei geteilt durch zwei; sein cos ist gleich der gleichen Zahl. Jetzt dividieren wir den Sinus durch den Cosinus und erhalten einen Tangens gleich eins.
Es kommt vor, dass Sie genau diese Formel verwenden müssen, aber nur ein Element bekannt ist – entweder Sinus oder Cosinus. In diesem Fall ist es hilfreich, sich die Formel zu merken
sin2 α + cos2 α = 1. Dies ist die grundlegende trigonometrische Identität. Indem Sie ein unbekanntes Element durch ein bekanntes Element ausdrücken, können Sie seine Bedeutung herausfinden. Und wenn man Sinus und Cosinus kennt, ist es nicht schwer, den Tangens zu finden.
Und wenn Geometrie eindeutig nicht Ihr Ding ist, Sie aber trotzdem Ihre Hausaufgaben machen müssen, können Sie den Online-Rechner zur Berechnung des Tangens eines Winkels nutzen.
Wir haben Ihnen anhand einfacher Beispiele erklärt, wie Sie die Tangente finden. Allerdings können die Aufgabenbedingungen schwieriger sein und es ist nicht immer möglich, alle erforderlichen Daten schnell herauszufinden. In diesem Fall helfen Ihnen der Satz des Pythagoras und verschiedene trigonometrische Funktionen.
Die Tabelle enthält Tangentenwerte von 0° bis 360°.
Wenn Sie keinen Taschenrechner zur Hand haben, benötigen Sie eine Tangententabelle. Um den Tangens eines Winkels herauszufinden, schauen Sie einfach in der Tabelle nach. Zunächst eine Kurzfassung der Tabelle:
https://uchim.org/matematika/tablica-tangensov - uchim.org
Tangententabelle für 0°-180°
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Tangententisch für 180° - 360°
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In der Geometrie gibt es auch die folgenden Tabellen trigonometrischer Funktionen: Sinustabelle, Cosinustabelle und Kotangenstabelle.
Alles zum Lernen » Mathematik in der Schule » Tabelle der Winkeltangenten (Winkel, Werte)
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Zeichen trigonometrischer Funktionen
Das Vorzeichen der trigonometrischen Funktion hängt ausschließlich vom Koordinatenquadranten ab, in dem sich das numerische Argument befindet.
Beim letzten Mal haben wir gelernt, Argumente von einem Bogenmaß in ein Gradmaß umzuwandeln (siehe Lektion „Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels“) und dann dasselbe Koordinatenviertel zu bestimmen. Lassen Sie uns nun tatsächlich das Vorzeichen von Sinus, Cosinus und Tangens bestimmen.
Winkel α ist die Ordinate (y-Koordinate) eines Punktes auf einem trigonometrischen Kreis, die entsteht, wenn der Radius um den Winkel α gedreht wird.
Winkel α ist die Abszisse (x-Koordinate) eines Punktes auf einem trigonometrischen Kreis, der entsteht, wenn der Radius um den Winkel α gedreht wird.
Winkel α ist das Verhältnis von Sinus zu Cosinus.
Oder, was dasselbe ist, das Verhältnis der y-Koordinate zur x-Koordinate.
Notation: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y: x .
Alle diese Definitionen sind Ihnen aus der Algebra der Highschool bekannt. Allerdings interessieren uns nicht die Definitionen selbst, sondern die Konsequenzen, die sich auf dem trigonometrischen Kreis ergeben. Schau mal:
Die blaue Farbe zeigt die positive Richtung der OY-Achse (Ordinatenachse) an, die rote Farbe zeigt die positive Richtung der OX-Achse (Abszissenachse) an.
Auf diesem „Radar“ werden die Vorzeichen trigonometrischer Funktionen deutlich. Insbesondere:
- sin α > 0, wenn Winkel α im I- oder II-Koordinatenquadranten liegt. Dies liegt daran, dass der Sinus per Definition eine Ordinate (y-Koordinate) ist.
Und die y-Koordinate wird genau in den Vierteln der I- und II-Koordinaten positiv sein;
- cos α > 0, wenn Winkel α im 1. oder 4. Koordinatenquadranten liegt. Denn nur dort ist die x-Koordinate (auch Abszisse genannt) größer als Null;
- tan α > 0, wenn der Winkel α im I- oder III-Koordinatenquadranten liegt. Dies folgt aus der Definition: Immerhin ist tan α = y: x, daher ist es nur dort positiv, wo die Vorzeichen von x und y übereinstimmen.
Dies geschieht im ersten Koordinatenviertel (hier x > 0, y > 0) und im dritten Koordinatenviertel (x< 0, y < 0).
Der Klarheit halber notieren wir die Vorzeichen jeder trigonometrischen Funktion – Sinus, Cosinus und Tangens – auf separaten „Radargeräten“. Wir erhalten folgendes Bild:
Hinweis: In meinen Diskussionen habe ich nie über die vierte trigonometrische Funktion gesprochen – den Kotangens.
Tatsache ist, dass die Kotangenszeichen mit den Tangentenzeichen übereinstimmen – es gibt dort keine besonderen Regeln.
Jetzt schlage ich vor, Beispiele zu betrachten, die den Problemen B11 aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik ähneln, das am 27. September 2011 stattfand. Denn der beste Weg, die Theorie zu verstehen, ist die Praxis. Es ist ratsam, viel Übung zu haben. Natürlich wurden die Bedingungen der Aufgaben leicht geändert.
Aufgabe. Bestimmen Sie die Vorzeichen trigonometrischer Funktionen und Ausdrücke (die Werte der Funktionen selbst müssen nicht berechnet werden):
- sin(3π/4);
- cos(7π/6);
- tg(5π/3);
- sin (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sin (5π/6) cos (7π/4);
- tan (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
Der Aktionsplan sieht so aus: Zuerst wandeln wir alle Winkel vom Bogenmaß in Grad um (π → 180°) und schauen uns dann an, in welchem Koordinatenviertel die resultierende Zahl liegt.
Wenn wir die Viertel kennen, können wir die Schilder leicht finden – gemäß den gerade beschriebenen Regeln. Wir haben:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Da 135° ∈ ist, ist dies ein Winkel vom II. Koordinatenquadranten. Aber der Sinus im zweiten Viertel ist positiv, also ist sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Weil 210° ∈ , das ist der Winkel vom dritten Koordinatenquadranten, in dem alle Kosinuswerte negativ sind.
Daher cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Da 300° ∈ , befinden wir uns im IV. Viertel, wo die Tangente negative Werte annimmt. Daher tan (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Befassen wir uns mit dem Sinus: weil 135° ∈ , das ist das zweite Viertel, in dem die Sinuswerte positiv sind, d.h.
sin (3π/4) > 0. Jetzt arbeiten wir mit Kosinus: 150° ∈ - wieder das zweite Viertel, die Kosinuswerte dort sind negativ. Daher cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Wir betrachten den Kosinus: 120° ∈ ist das II. Koordinatenviertel, also cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ - это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии).
Der Tangens dort ist positiv, also tan (π/4) > 0. Wieder erhalten wir ein Produkt, bei dem die Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben. Da „Minus durch Plus Minus ergibt“, gilt: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Wir arbeiten mit dem Sinus: Da 150° ∈ , sprechen wir vom II. Koordinatenviertel, wo die Sinus positiv sind.
Daher ist sin (5π/6) > 0. Ebenso ist 315° ∈ das IV. Koordinatenviertel, die Kosinuswerte dort sind positiv.
Daher ist cos (7π/4) > 0. Wir haben das Produkt zweier positiver Zahlen erhalten – ein solcher Ausdruck ist immer positiv. Wir schließen daraus: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°.
Aber der Winkel 135° ∈ ist das zweite Viertel, d.h. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ - это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0.
Da „Minus durch Plus ein Minuszeichen ergibt“, gilt: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Wir schauen uns das Kotangens-Argument an: 240° ∈ ist das III. Koordinatenviertel, also ctg (4π/3) > 0. Ebenso gilt für den Tangens: 30° ∈ ist das I. Koordinatenviertel, d. h. der einfachste Winkel. Daher ist tan (π/6) > 0. Wieder haben wir zwei positive Ausdrücke – ihr Produkt wird ebenfalls positiv sein.
Daher ist cot (4π/3) tg (π/6) > 0.
Schauen wir uns abschließend einige komplexere Probleme an. Zusätzlich zum Ermitteln des Vorzeichens der trigonometrischen Funktion müssen Sie hier ein wenig rechnen – genau wie bei echten Aufgaben B11. Im Prinzip handelt es sich hierbei um nahezu reale Probleme, die tatsächlich im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik auftauchen.
Finden Sie sin α, wenn sin2 α = 0,64 und α ∈ [π/2; π].
Da sin2 α = 0,64 ist, gilt: sin α = ±0,8.
Bleibt nur noch die Entscheidung: Plus oder Minus? Bedingung: Winkel α ∈ [π/2; π] ist das II. Koordinatenviertel, in dem alle Sinuswerte positiv sind. Folglich ist sin α = 0,8 – die Unsicherheit mit Vorzeichen entfällt.
Aufgabe. Finden Sie cos α, wenn cos2 α = 0,04 und α ∈ [π; 3π/2].
Wir verhalten uns ähnlich, d.h.
Ziehen Sie die Quadratwurzel: cos2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Bedingung: Winkel α ∈ [π; 3π/2], d.h. Wir sprechen vom dritten Koordinatenviertel. Alle Kosinuswerte dort sind negativ, also cos α = −0,2.
Aufgabe. Finden Sie sin α, wenn sin2 α = 0,25 und α ∈ .
Es gilt: sin2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5.
Trigonometrische Funktionen eines beliebigen Winkels
Schauen wir uns noch einmal den Winkel an: α ∈ ist das IV-Koordinatenviertel, in dem, wie wir wissen, der Sinus negativ sein wird. Daraus schließen wir: sin α = −0,5.
Aufgabe. Finden Sie tan α, wenn tan2 α = 9 und α ∈ .
Alles ist gleich, nur für die Tangente.
Extrahieren Sie die Quadratwurzel: tan2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Aber gemäß der Bedingung ist der Winkel α ∈ das I-Koordinatenviertel. Alle trigonometrischen Funktionen, inkl. Tangens, es gibt positive, also tan α = 3. Das war's!
