In der Mathematik gibt es spezielle Techniken, mit denen sich viele quadratische Gleichungen sehr schnell und ohne Diskriminanten lösen lassen. Darüber hinaus beginnen viele mit der richtigen Ausbildung, quadratische Gleichungen mündlich, buchstäblich „auf den ersten Blick“, zu lösen.

Leider werden solche Technologien im modernen Schulmathematikunterricht kaum erforscht. Aber Sie müssen es wissen! Und heute werden wir uns eine dieser Techniken ansehen – den Satz von Vieta. Lassen Sie uns zunächst eine neue Definition einführen.

Eine quadratische Gleichung der Form x 2 + bx + c = 0 heißt reduziert. Bitte beachten Sie, dass der Koeffizient für x 2 1 ist. Es gibt keine weiteren Einschränkungen hinsichtlich der Koeffizienten.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 ist eine reduzierte quadratische Gleichung;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - ebenfalls reduziert;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - dies ist aber überhaupt nicht gegeben, da der Koeffizient von x 2 gleich 2 ist.

Natürlich kann jede quadratische Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 reduziert werden – dividieren Sie einfach alle Koeffizienten durch die Zahl a. Wir können dies immer tun, da die Definition einer quadratischen Gleichung impliziert, dass a ≠ 0.

Es stimmt, dass diese Transformationen nicht immer nützlich sein werden, um Wurzeln zu finden. Im Folgenden stellen wir sicher, dass dies nur dann erfolgen sollte, wenn in der durch das Quadrat gegebenen endgültigen Gleichung alle Koeffizienten ganzzahlig sind. Schauen wir uns zunächst die einfachsten Beispiele an:

Aufgabe. Wandeln Sie die quadratische Gleichung in die reduzierte Gleichung um:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Teilen wir jede Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen x 2. Wir bekommen:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - alles durch 3 dividiert;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - dividiert durch −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 – geteilt durch 1,5, alle Koeffizienten wurden ganze Zahlen;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 – dividiert durch 2. In diesem Fall traten gebrochene Koeffizienten auf.

Wie Sie sehen, können die obigen quadratischen Gleichungen ganzzahlige Koeffizienten haben, selbst wenn die ursprüngliche Gleichung Brüche enthielt.

Lassen Sie uns nun den Hauptsatz formulieren, für den tatsächlich das Konzept einer reduzierten quadratischen Gleichung eingeführt wurde:

Satz von Vieta. Betrachten Sie die reduzierte quadratische Gleichung der Form x 2 + bx + c = 0. Angenommen, diese Gleichung hat reelle Wurzeln x 1 und x 2. In diesem Fall sind die folgenden Aussagen wahr:

1. x 1 + x 2 = −b. Mit anderen Worten, die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem Koeffizienten der Variablen x, genommen mit dem umgekehrten Vorzeichen;
2. x 1 x 2 = c. Das Produkt der Wurzeln einer quadratischen Gleichung ist gleich dem freien Koeffizienten.

Beispiele. Der Einfachheit halber betrachten wir nur die obigen quadratischen Gleichungen, die keine zusätzlichen Transformationen erfordern:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; Wurzeln: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; Wurzeln: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; Wurzeln: x 1 = −1; x 2 = −4.

Der Satz von Vieta gibt uns zusätzliche Informationen über die Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Auf den ersten Blick mag dies schwierig erscheinen, aber selbst mit minimalem Training werden Sie in Sekundenschnelle lernen, die Wurzeln zu „sehen“ und sie buchstäblich zu erraten.

Aufgabe. Lösen Sie die quadratische Gleichung:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Versuchen wir, die Koeffizienten mithilfe des Satzes von Vieta aufzuschreiben und die Wurzeln zu „erraten“:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 ist eine reduzierte quadratische Gleichung.
   Nach dem Satz von Vieta gilt: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Es ist leicht zu erkennen, dass die Wurzeln die Zahlen 2 und 7 sind;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - ebenfalls reduziert.
   Nach dem Satz von Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Daher die Wurzeln: 3 und 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 – diese Gleichung wird nicht reduziert. Aber wir werden dies jetzt korrigieren, indem wir beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten a = 3 dividieren. Wir erhalten: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Wir lösen mit dem Satz von Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ Wurzeln: −10 und −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - auch hier ist der Koeffizient für x 2 ungleich 1, d.h. Gleichung nicht angegeben. Wir dividieren alles durch die Zahl a = −7. Wir erhalten: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Nach dem Satz von Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Aus diesen Gleichungen lassen sich leicht die Wurzeln erraten: 5 und 6.

Aus der obigen Überlegung wird deutlich, wie der Satz von Vieta die Lösung quadratischer Gleichungen vereinfacht. Keine komplizierten Berechnungen, keine arithmetischen Wurzeln oder Brüche. Und wir brauchten nicht einmal eine Diskriminante (siehe Lektion „Quadratische Gleichungen lösen“).

Natürlich sind wir bei all unseren Überlegungen von zwei wichtigen Annahmen ausgegangen, die bei realen Problemen im Allgemeinen nicht immer erfüllt sind:

1. Die quadratische Gleichung wird reduziert, d.h. der Koeffizient für x 2 ist 1;
2. Die Gleichung hat zwei verschiedene Wurzeln. Aus algebraischer Sicht ist in diesem Fall die Diskriminante D > 0 – tatsächlich gehen wir zunächst davon aus, dass diese Ungleichung wahr ist.

Bei typischen mathematischen Problemen sind diese Bedingungen jedoch erfüllt. Wenn die Berechnung zu einer „schlechten“ quadratischen Gleichung führt (der Koeffizient von x 2 unterscheidet sich von 1), kann dies leicht korrigiert werden – schauen Sie sich die Beispiele ganz am Anfang der Lektion an. Ich schweige im Allgemeinen über Wurzeln: Was ist das für ein Problem, auf das es keine Antwort gibt? Natürlich wird es Wurzeln geben.

Das allgemeine Schema zur Lösung quadratischer Gleichungen mithilfe des Satzes von Vieta lautet also wie folgt:

1. Reduzieren Sie die quadratische Gleichung auf die angegebene, falls dies nicht bereits in der Problemstellung geschehen ist;
2. Wenn die Koeffizienten in der obigen quadratischen Gleichung gebrochen sind, lösen wir sie mithilfe der Diskriminante. Sie können sogar zur ursprünglichen Gleichung zurückkehren, um mit „praktischeren“ Zahlen zu arbeiten.
3. Im Fall ganzzahliger Koeffizienten lösen wir die Gleichung mit dem Satz von Vieta;
4. Wenn Sie die Wurzeln nicht innerhalb weniger Sekunden erraten können, vergessen Sie den Satz von Vieta und lösen Sie die Lösung mithilfe der Diskriminante.

Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Wir haben also eine Gleichung vor uns, die nicht reduziert wird, weil Koeffizient a = 5. Teilen Sie alles durch 5, wir erhalten: x 2 − 7x + 10 = 0.

Alle Koeffizienten einer quadratischen Gleichung sind ganzzahlig – versuchen wir, sie mit dem Satz von Vieta zu lösen. Wir haben: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. In diesem Fall sind die Wurzeln leicht zu erraten – sie sind 2 und 5. Es ist nicht erforderlich, mit der Diskriminante zu zählen.

Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Schauen wir uns an: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 – diese Gleichung ist nicht reduziert, dividieren wir beide Seiten durch den Koeffizienten a = −5. Wir erhalten: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 – eine Gleichung mit gebrochenen Koeffizienten.

Es ist besser, zur ursprünglichen Gleichung zurückzukehren und die Diskriminante durchzuzählen: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Teilen wir zunächst alles durch den Koeffizienten a = 2. Wir erhalten die Gleichung x 2 + 5x − 300 = 0.

Dies ist die reduzierte Gleichung, nach dem Satz von Vieta gilt: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. In diesem Fall ist es schwierig, die Wurzeln der quadratischen Gleichung zu erraten – ich persönlich steckte bei der Lösung dieses Problems ernsthaft fest.

Sie müssen nach Wurzeln durch die Diskriminante suchen: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Wenn Sie sich nicht an die Wurzel der Diskriminante erinnern, notiere ich mir einfach, dass 1225: 25 = 49. Daher ist 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Da nun die Wurzel der Diskriminante bekannt ist, ist die Lösung der Gleichung nicht schwierig. Wir erhalten: x 1 = 15; x 2 = −20.

In dieser Vorlesung lernen wir die merkwürdigen Beziehungen zwischen den Wurzeln einer quadratischen Gleichung und ihren Koeffizienten kennen. Diese Zusammenhänge wurden erstmals vom französischen Mathematiker François Viète (1540-1603) entdeckt.

Beispielsweise können Sie für die Gleichung 3x 2 - 8x - 6 = 0, ohne ihre Wurzeln zu finden, mit dem Satz von Vieta sofort sagen, dass die Summe der Wurzeln gleich ist und das Produkt der Wurzeln gleich ist
d.h. - 2. Und für die Gleichung x 2 - 6x + 8 = 0 schließen wir: Die Summe der Wurzeln ist 6, das Produkt der Wurzeln ist 8; Übrigens ist es nicht schwer zu erraten, was die Wurzeln sind: 4 und 2.
Beweis des Satzes von Vieta. Die Wurzeln x 1 und x 2 der quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0 werden durch die Formeln gefunden

Wobei D = b 2 - 4ac die Diskriminante der Gleichung ist. Nachdem wir diese Wurzeln zusammengefügt haben,
wir bekommen

Berechnen wir nun das Produkt der Wurzeln x 1 und x 2. Wir haben

Der zweite Zusammenhang ist bewiesen:
Kommentar. Der Satz von Vieta gilt auch für den Fall, dass die quadratische Gleichung eine Wurzel hat (d. h. wenn D = 0), in diesem Fall wird einfach angenommen, dass die Gleichung zwei identische Wurzeln hat, auf die die obigen Beziehungen angewendet werden.
Die bewährten Beziehungen für die reduzierte quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 nehmen eine besonders einfache Form an. In diesem Fall erhalten wir:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
diese. Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.
Mit dem Satz von Vieta können Sie andere Beziehungen zwischen den Wurzeln und Koeffizienten einer quadratischen Gleichung ermitteln. Seien zum Beispiel x 1 und x 2 die Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0. Dann

Der Hauptzweck des Satzes von Vieta besteht jedoch nicht darin, dass er einige Beziehungen zwischen den Wurzeln und Koeffizienten einer quadratischen Gleichung ausdrückt. Viel wichtiger ist, dass mit dem Satz von Vieta eine Formel zur Faktorisierung eines quadratischen Trinoms abgeleitet wird, auf die wir in Zukunft nicht verzichten können.

Nachweisen. Wir haben

Beispiel 1. Faktorisieren Sie das quadratische Trinom 3x 2 - 10x + 3.
Lösung. Nachdem wir die Gleichung 3x 2 - 10x + 3 = 0 gelöst haben, finden wir die Wurzeln des quadratischen Trinoms 3x 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 = .
Mit Satz 2 erhalten wir

Es macht Sinn, stattdessen 3x - 1 zu schreiben. Dann erhalten wir schließlich 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1).
Beachten Sie, dass ein gegebenes quadratisches Trinom ohne Anwendung von Satz 2 mithilfe der Gruppierungsmethode faktorisiert werden kann:

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

Aber wie Sie sehen, hängt der Erfolg bei dieser Methode davon ab, ob wir eine erfolgreiche Gruppierung finden oder nicht, während bei der ersten Methode der Erfolg garantiert ist.
Beispiel 1. Bruch reduzieren

Lösung. Aus der Gleichung 2x 2 + 5x + 2 = 0 finden wir x 1 = - 2,

Aus der Gleichung x2 - 4x - 12 = 0 finden wir x 1 = 6, x 2 = -2. Deshalb
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Nun reduzieren wir den angegebenen Bruch:

Beispiel 3. Faktorisieren Sie die Ausdrücke:
a)x4 + 5x 2 +6; b)2x+-3
Lösung a) Lassen Sie uns eine neue Variable y = x 2 einführen. Dadurch können Sie den gegebenen Ausdruck in Form eines quadratischen Trinoms in Bezug auf die Variable y umschreiben, nämlich in der Form y 2 + bу + 6.
Nachdem wir die Gleichung y 2 + bу + 6 = 0 gelöst haben, finden wir die Wurzeln des quadratischen Trinoms y 2 + 5у + 6: y 1 = - 2, y 2 = -3. Lassen Sie uns nun Satz 2 verwenden; wir bekommen

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Es bleibt zu beachten, dass y = x 2 ist, d. h. zum gegebenen Ausdruck zurückkehren. Also,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
b) Lassen Sie uns eine neue Variable y = einführen. Dadurch können Sie den gegebenen Ausdruck in Form eines quadratischen Trinoms bezüglich der Variablen y umschreiben, nämlich in der Form 2y 2 + y - 3. Nachdem Sie die Gleichung gelöst haben
2y 2 + y - 3 = 0, finden Sie die Wurzeln des quadratischen Trinoms 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Als nächstes erhalten wir mit Satz 2:

Es bleibt zu beachten, dass y = , d. h. zum gegebenen Ausdruck zurückkehren. Also,

Am Ende des Abschnitts einige Überlegungen, die sich wiederum auf den Satz von Vieta bzw. auf die umgekehrte Aussage beziehen:
Wenn die Zahlen x 1, x 2 so sind, dass x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, dann sind diese Zahlen die Wurzeln der Gleichung
Mit dieser Aussage können Sie viele quadratische Gleichungen mündlich lösen, ohne umständliche Wurzelformeln zu verwenden, und auch quadratische Gleichungen mit gegebenen Wurzeln aufstellen. Lassen Sie uns Beispiele nennen.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Hier ist x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Es ist leicht zu erraten, dass x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Hier x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Es ist leicht zu erraten, dass x 1 = -5, x 2 = -6.
Beachten Sie, dass beide Wurzeln entweder positiv oder negativ sind, wenn der Dummy-Term der Gleichung eine positive Zahl ist. Dies ist bei der Auswahl der Wurzeln zu berücksichtigen.

3) x 2 + x - 12 = 0. Hier x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Es ist leicht zu erraten, dass x 1 = 3, x2 = -4.
Bitte beachten Sie: Wenn der freie Term der Gleichung eine negative Zahl ist, haben die Wurzeln unterschiedliche Vorzeichen; Dies ist bei der Auswahl der Wurzeln zu berücksichtigen.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Es ist leicht zu erkennen, dass x = 1 die Gleichung erfüllt, d.h. x 1 = 1 ist die Wurzel der Gleichung. Da x 1 x 2 = - und x 1 = 1, erhalten wir x 2 = -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Hier ist x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Wenn Sie darauf achten, dass 2830 = 283. 10 und 293 = 283 + 10, dann wird klar, dass x 1 = 283, x 2 = 10 (stellen Sie sich nun vor, welche Berechnungen durchgeführt werden müssten, um diese quadratische Gleichung mit Standardformeln zu lösen).

6) Stellen wir eine quadratische Gleichung auf, sodass ihre Wurzeln die Zahlen x 1 = 8, x 2 = - 4 sind. Normalerweise stellen wir in solchen Fällen die reduzierte quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 auf.
Wir haben x 1 + x 2 = -p, also 8 - 4 = -p, d. h. p = -4. Als nächstes ist x 1 x 2 = q, d.h. 8 «(-4) = q, woraus wir q = -32 erhalten. Also p = -4, q = -32, was bedeutet, dass die erforderliche quadratische Gleichung die Form x 2 -4x-32 = 0 hat.

Jede vollständige quadratische Gleichung Axt 2 + bx + c = 0 kann in Erinnerung gerufen werden x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, wenn man vorher jeden Term durch den Koeffizienten a dividiert x 2. Und wenn wir neue Notationen einführen (b/a) = p Und (c/a) = q, dann haben wir die Gleichung x 2 + px + q = 0, was in der Mathematik heißt gegebene quadratische Gleichung.

Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung und Koeffizienten P Und Q miteinander verbunden. Es ist bestätigt Satz von Vieta, benannt nach dem französischen Mathematiker Francois Vieta, der Ende des 16. Jahrhunderts lebte.

Satz. Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0 gleich dem zweiten Koeffizienten P, genommen mit dem umgekehrten Vorzeichen, und dem Produkt der Wurzeln - zum freien Term Q.

Schreiben wir diese Beziehungen in folgender Form:

Lassen x 1 Und x 2 verschiedene Wurzeln der gegebenen Gleichung x 2 + px + q = 0. Nach dem Satz von Vieta x 1 + x 2 = -p Und x 1 x 2 = q.

Um dies zu beweisen, setzen wir jede der Wurzeln x 1 und x 2 in die Gleichung ein. Wir erhalten zwei echte Gleichheiten:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Subtrahieren wir die zweite von der ersten Gleichheit. Wir bekommen:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Wir erweitern die ersten beiden Terme mithilfe der Quadratdifferenzformel:

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

Aufgrund der Bedingung sind die Wurzeln x 1 und x 2 unterschiedlich. Daher können wir die Gleichheit auf (x 1 – x 2) ≠ 0 reduzieren und p ausdrücken.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Die erste Gleichheit ist bewiesen.

Um die zweite Gleichheit zu beweisen, ersetzen wir sie in die erste Gleichung

x 1 2 + px 1 + q = 0 Anstelle des Koeffizienten p ist eine gleiche Zahl (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Wenn wir die linke Seite der Gleichung transformieren, erhalten wir:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, was bewiesen werden musste.

Der Satz von Vieta ist gut, weil Auch ohne die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu kennen, können wir deren Summe und Produkt berechnen .

Der Satz von Vieta hilft dabei, die ganzzahligen Wurzeln einer gegebenen quadratischen Gleichung zu bestimmen. Dies bereitet vielen Studierenden jedoch Schwierigkeiten, da sie keinen klaren Handlungsalgorithmus kennen, insbesondere wenn die Wurzeln der Gleichung unterschiedliche Vorzeichen haben.

Die obige quadratische Gleichung hat also die Form x 2 + px + q = 0, wobei x 1 und x 2 ihre Wurzeln sind. Nach dem Satz von Vieta gilt x 1 + x 2 = -p und x 1 · x 2 = q.

Folgende Schlussfolgerung lässt sich ziehen.

Wenn dem letzten Term in der Gleichung ein Minuszeichen vorangestellt ist, haben die Wurzeln x 1 und x 2 unterschiedliche Vorzeichen. Außerdem stimmt das Vorzeichen der kleineren Wurzel mit dem Vorzeichen des zweiten Koeffizienten in der Gleichung überein.

Basierend auf der Tatsache, dass bei der Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen deren Moduli subtrahiert werden und das Vorzeichen der größeren Modulozahl dem resultierenden Ergebnis vorangestellt wird, sollten Sie wie folgt vorgehen:

1. Bestimmen Sie die Faktoren der Zahl q so, dass ihre Differenz gleich der Zahl p ist;
2. Setzen Sie das Vorzeichen des zweiten Koeffizienten der Gleichung vor die kleinere der resultierenden Zahlen. die zweite Wurzel hat das entgegengesetzte Vorzeichen.

Schauen wir uns einige Beispiele an.

Beispiel 1.

Lösen Sie die Gleichung x 2 – 2x – 15 = 0.

Lösung.

Versuchen wir, diese Gleichung mit den oben vorgeschlagenen Regeln zu lösen. Dann können wir mit Sicherheit sagen, dass diese Gleichung zwei verschiedene Wurzeln haben wird, weil D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Nun wählen wir aus allen Faktoren der Zahl 15 (1 und 15, 3 und 5) diejenigen aus, deren Differenz 2 beträgt. Das werden die Zahlen 3 und 5 sein. Wir setzen ein Minuszeichen vor die kleinere Zahl, d.h. Vorzeichen des zweiten Koeffizienten der Gleichung. Somit erhalten wir die Wurzeln der Gleichung x 1 = -3 und x 2 = 5.

Antwort. x 1 = -3 und x 2 = 5.

Beispiel 2.

Lösen Sie die Gleichung x 2 + 5x – 6 = 0.

Lösung.

Überprüfen wir, ob diese Gleichung Wurzeln hat. Dazu ermitteln wir eine Diskriminante:

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Die Gleichung hat zwei verschiedene Wurzeln.

Mögliche Faktoren der Zahl 6 sind 2 und 3, 6 und 1. Die Differenz beträgt 5 für das Paar 6 und 1. In diesem Beispiel hat der Koeffizient des zweiten Termes ein Pluszeichen, sodass die kleinere Zahl das gleiche Vorzeichen hat . Aber vor der zweiten Zahl steht ein Minuszeichen.

Antwort: x 1 = -6 und x 2 = 1.

Der Satz von Vieta kann auch für eine vollständige quadratische Gleichung geschrieben werden. Also, wenn die quadratische Gleichung Axt 2 + bx + c = 0 Wurzeln x 1 und x 2 hat, dann gelten für sie die Gleichungen

x 1 + x 2 = -(b/a) Und x 1 x 2 = (c/a). Die Anwendung dieses Theorems in einer vollständigen quadratischen Gleichung ist jedoch recht problematisch, weil Wenn es Wurzeln gibt, ist mindestens eine davon eine Bruchzahl. Und die Arbeit mit der Auswahl von Brüchen ist ziemlich schwierig. Aber es gibt immer noch einen Ausweg.

Betrachten Sie die vollständige quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Multiplizieren Sie ihre linke und rechte Seite mit dem Koeffizienten a. Die Gleichung hat die Form (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Jetzt führen wir eine neue Variable ein, zum Beispiel t = ax.

In diesem Fall wird die resultierende Gleichung zu einer reduzierten quadratischen Gleichung der Form t 2 + bt + ac = 0, deren Wurzeln t 1 und t 2 (falls vorhanden) durch den Satz von Vieta bestimmt werden können.

In diesem Fall sind die Wurzeln der ursprünglichen quadratischen Gleichung

x 1 = (t 1 / a) und x 2 = (t 2 / a).

Beispiel 3.

Lösen Sie die Gleichung 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Lösung.

Lassen Sie uns eine Hilfsgleichung erstellen. Lassen Sie uns jeden Term der Gleichung mit 15 multiplizieren:

15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.

Wir machen die Ersetzung t = 15x. Wir haben:

t 2 – 11t + 30 = 0.

Nach dem Satz von Vieta sind die Wurzeln dieser Gleichung t 1 = 5 und t 2 = 6.

Wir kehren zum Ersatz t = 15x zurück:

5 = 15x oder 6 = 15x. Also x 1 = 5/15 und x 2 = 6/15. Wir reduzieren und erhalten die endgültige Antwort: x 1 = 1/3 und x 2 = 2/5.

Antwort. x 1 = 1/3 und x 2 = 2/5.

Um das Lösen quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta zu meistern, müssen die Schüler so viel wie möglich üben. Genau darin liegt das Erfolgsgeheimnis.

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2.5 Vieta-Formel für Polynome (Gleichungen) höheren Grades

Die von Viète abgeleiteten Formeln für quadratische Gleichungen gelten auch für Polynome höheren Grades.

Sei das Polynom

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Hat n verschiedene Wurzeln x 1, x 2..., x n.

In diesem Fall hat es eine Faktorisierung der Form:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Teilen wir beide Seiten dieser Gleichheit durch a 0 ≠ 0 und öffnen wir die Klammern im ersten Teil. Wir erhalten die Gleichheit:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Aber zwei Polynome sind genau dann identisch gleich, wenn die Koeffizienten derselben Potenzen gleich sind. Daraus folgt die Gleichheit

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Zum Beispiel für Polynome dritten Grades

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Wir haben Identitäten

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Wie bei quadratischen Gleichungen wird diese Formel Vieta-Formel genannt. Die linken Seiten dieser Formeln sind symmetrische Polynome aus den Wurzeln x 1, x 2 ..., x n dieser Gleichung, und die rechten Seiten werden durch den Koeffizienten des Polynoms ausgedrückt.

2.6 Auf quadratische (biquadratische) reduzierbare Gleichungen

Gleichungen vierten Grades werden auf quadratische Gleichungen reduziert:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

genannt biquadratisch, und a ≠ 0.

Es reicht aus, x 2 = y in diese Gleichung einzufügen, daher gilt

ay² + by + c = 0

Finden wir die Wurzeln der resultierenden quadratischen Gleichung

y 1,2 =

Um die Wurzeln x 1, x 2, x 3, x 4 sofort zu finden, ersetzen Sie y durch x und erhalten Sie

x² =

x 1,2,3,4 = .

Wenn eine Gleichung vierten Grades x 1 hat, dann hat sie auch eine Wurzel x 2 = -x 1,

Wenn x 3 ist, dann ist x 4 = - x 3. Die Summe der Wurzeln einer solchen Gleichung ist Null.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Setzen wir die Gleichung in die Formel für die Wurzeln biquadratischer Gleichungen ein:

x 1,2,3,4 = ,

Wenn man weiß, dass x 1 = -x 2 und x 3 = -x 4, dann:

x 3,4 =

Antwort: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Studium biquadratischer Gleichungen

Nehmen wir die biquadratische Gleichung

ax 4 + bx 2 + c = 0,

wobei a, b, c reelle Zahlen sind und a > 0. Durch Einführung der Hilfsunbekannten y = x² untersuchen wir die Wurzeln dieser Gleichung und tragen die Ergebnisse in die Tabelle ein (siehe Anhang Nr. 1).

2.8 Cardano-Formel

Wenn wir moderne Symbolik verwenden, kann die Ableitung der Cardano-Formel so aussehen:

x =

Diese Formel bestimmt die Wurzeln einer allgemeinen Gleichung dritten Grades:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Diese Formel ist sehr umständlich und komplex (sie enthält mehrere komplexe Reste). Es wird nicht immer zutreffen, weil... sehr schwer auszufüllen.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

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Lösungen aus numerischen Berechnungsmethoden. Um die Wurzeln einer Gleichung zu bestimmen, sind Kenntnisse der Theorien von Abel-, Galois-, Lie- usw. Gruppen und die Verwendung spezieller mathematischer Terminologie: Ringe, Felder, Ideale, Isomorphismen usw. nicht erforderlich. Um eine algebraische Gleichung n-ten Grades zu lösen, benötigen Sie lediglich die Fähigkeit, quadratische Gleichungen zu lösen und Wurzeln aus einer komplexen Zahl zu ziehen. Wurzeln können bestimmt werden durch...

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Der Satz von Vieta (genauer gesagt der Satz, der zum Satz von Vieta invers ist) ermöglicht es Ihnen, die Zeit zum Lösen quadratischer Gleichungen zu verkürzen. Sie müssen nur wissen, wie man es benutzt. Wie lernt man, quadratische Gleichungen mit dem Satz von Vieta zu lösen? Es ist nicht schwer, wenn man ein wenig darüber nachdenkt.

Jetzt werden wir nur über die Lösung der reduzierten quadratischen Gleichung mit dem Satz von Vieta sprechen. Eine reduzierte quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der a, also der Koeffizient von x², gleich eins ist. Es ist auch möglich, quadratische Gleichungen, die nicht gegeben sind, mit dem Satz von Vieta zu lösen, bei denen jedoch mindestens eine der Wurzeln keine ganze Zahl ist. Sie sind schwieriger zu erraten.

Der Umkehrsatz zum Satz von Vieta besagt: Wenn die Zahlen x1 und x2 so sind

dann sind x1 und x2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung

Beim Lösen einer quadratischen Gleichung mit dem Satz von Vieta sind nur 4 Optionen möglich. Wenn Sie sich die Argumentation merken, können Sie sehr schnell lernen, ganze Wurzeln zu finden.

I. Wenn q eine positive Zahl ist,

Dies bedeutet, dass die Wurzeln x1 und x2 Zahlen mit demselben Vorzeichen sind (da nur die Multiplikation von Zahlen mit denselben Vorzeichen eine positive Zahl ergibt).

I.a. Wenn -p eine positive Zahl ist, (bzw. S<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Wenn -p eine negative Zahl ist, (bzw. p>0), dann sind beide Wurzeln negative Zahlen (wir haben Zahlen mit demselben Vorzeichen addiert und eine negative Zahl erhalten).

II. Wenn q eine negative Zahl ist,

das bedeutet, dass die Wurzeln x1 und x2 unterschiedliche Vorzeichen haben (bei der Multiplikation von Zahlen erhält man nur dann eine negative Zahl, wenn die Vorzeichen der Faktoren unterschiedlich sind). In diesem Fall ist x1+x2 keine Summe mehr, sondern eine Differenz (schließlich subtrahieren wir bei der Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen die kleinere vom größeren Betrag im Absolutwert). Daher zeigt x1+x2, um wie viel sich die Wurzeln x1 und x2 unterscheiden, d. h. um wie viel eine Wurzel größer als die andere ist (in absoluten Werten).

II.a. Wenn -p eine positive Zahl ist, (das heißt, S<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Wenn -p eine negative Zahl ist, (p>0), dann ist die größere (Modulo-)Wurzel eine negative Zahl.

Betrachten wir die Lösung quadratischer Gleichungen mithilfe des Satzes von Vieta anhand von Beispielen.

Lösen Sie die gegebene quadratische Gleichung mit dem Satz von Vieta:

Hier ist q=12>0, also sind die Wurzeln x1 und x2 Zahlen mit demselben Vorzeichen. Ihre Summe ist -p=7>0, also sind beide Wurzeln positive Zahlen. Wir wählen ganze Zahlen aus, deren Produkt gleich 12 ist. Das sind 1 und 12, 2 und 6, 3 und 4. Die Summe beträgt 7 für das Paar 3 und 4. Das bedeutet, dass 3 und 4 die Wurzeln der Gleichung sind.

In diesem Beispiel ist q=16>0, was bedeutet, dass die Wurzeln x1 und x2 Zahlen mit demselben Vorzeichen sind. Ihre Summe beträgt -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Hier ist q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, dann ist die größere Zahl positiv. Die Wurzeln sind also 5 und -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.