ALLGEMEINE LEKTION ZUM THEMA „FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN“.
Lernziele:
Methodisch: Steigerung der aktiv-kognitiven Aktivität der Studierenden durch selbstständiges Arbeiten und den Einsatz von Testaufgaben entwickelnden Typs.
Lernprogramm: Elementarfunktionen, ihre Grundeigenschaften und Graphen wiederholen. Führen Sie das Konzept der zueinander inversen Funktionen ein. Das Wissen der Studierenden zum Thema systematisieren; zur Festigung der Fähigkeiten und Fertigkeiten bei der Berechnung von Logarithmen und bei der Anwendung ihrer Eigenschaften bei der Lösung von Aufgaben nicht standardmäßiger Art beitragen; Wiederholen Sie die Konstruktion von Funktionsgraphen mithilfe von Transformationen und testen Sie Fähigkeiten und Fertigkeiten beim selbstständigen Lösen von Übungen.
Lehrreich: Erziehung zu Genauigkeit, Gelassenheit, Verantwortung und der Fähigkeit, unabhängige Entscheidungen zu treffen.
Entwicklung: entwickeln intellektuelle Fähigkeiten, mentale Operationen, Sprache, Gedächtnis. Entwickeln Sie Liebe und Interesse für Mathematik; während des Unterrichts, um die Entwicklung der Denkunabhängigkeit der Schüler bei pädagogischen Aktivitäten sicherzustellen.
Unterrichtsart: Verallgemeinerung und Systematisierung.
Ausrüstung: Tafel, Computer, Projektor, Leinwand, Lehrliteratur.
Epigraph der Lektion:„Mathematik sollte später unterrichtet werden, damit es den Geist in Ordnung bringt.“
(M. V. Lomonossow).
WÄHREND DES UNTERRICHTS
Hausaufgaben überprüfen.
Wiederholung von Exponential- und Logarithmusfunktionen mit Basis a = 2, Darstellung ihrer Graphen in derselben Koordinatenebene, Analyse ihrer relativen Lage. Betrachten Sie die gegenseitige Abhängigkeit zwischen den Haupteigenschaften dieser Funktionen (OOF und FZF). Geben Sie das Konzept der zueinander inversen Funktionen an.
Betrachten Sie Exponential- und Logarithmusfunktionen mit der Basis a = ½ s
um sicherzustellen, dass die gegenseitige Abhängigkeit der aufgeführten Eigenschaften beachtet wird und für
abnehmende gegenseitig inverse Funktionen.
Organisation selbstständiger Arbeit in Testform zur geistigen Entwicklung
Systematisierungsoperationen zum Thema „Funktionen und ihre Eigenschaften“.
FUNKTIONSEIGENSCHAFTEN:
1). y \u003d │x│;
2). Steigt über den gesamten Definitionsbereich;
3). OOF: (- ∞; + ∞) ;
4). y \u003d sin x;
5). Verringert sich bei 0< а < 1 ;
6). y \u003d x ³;
7). ORF: (0; + ∞) ;
8). Allgemeine Funktion;
9). y = √ x;
10). OOF: (0; + ∞) ;
elf). Nimmt über den gesamten Definitionsbereich ab;
12). y = kx + v;
13). OZF: (- ∞; + ∞) ;
14). Erhöht sich, wenn k > 0;
15). OOF: (- ∞; 0) ; (0; +∞) ;
16). y \u003d cos x;
17). Hat keine Extrempunkte;
18). ORF: (- ∞; 0) ; (0; +∞) ;
19). Verringert sich um< 0 ;
20). y \u003d x ²;
21). OOF: x ≠ πn;
22). y \u003d k / x;
23). Sogar;
25). Verringert sich, wenn k > 0;
26). OOF: [ 0; +∞) ;
27). y \u003d tg x;
28). Erhöht sich um< 0;
29). ORF: [ 0; +∞) ;
dreißig). seltsam;
31). y = logx;
32). OOF: x ≠ πn/2;
33). y \u003d ctg x;
34). Erhöht sich, wenn a > 1.
Führen Sie im Rahmen dieser Arbeit eine Befragung der Studierenden zu einzelnen Aufgaben durch:
Nr. 1. a) Stellen Sie die Funktion grafisch dar 
b) Stellen Sie die Funktion grafisch dar 
Nr. 2. a) Berechnen Sie:
b) Berechnen Sie:
Nr. 3. a) Vereinfachen Sie den Ausdruck 
und finden Sie seinen Wert bei
b) Vereinfachen Sie den Ausdruck 
und finden Sie seinen Wert bei 
.
Hausaufgabe: Nr. 1. Berechnen Sie: a) 
;
V) 
;
G) 
.
Nr. 2. Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion: a) 
;
V) 
; G) 
.
n1.doc
OGO SPO Pädagogische Hochschule Rjasan
ABSTRAKT
Thema: „Numerische Funktionen und ihre Eigenschaften. Direkte und umgekehrt proportionale Abhängigkeiten»
Titova Elena Wladimirowna
Fachgebiet: 050709 „Unterricht in Grundschulklassen mit Zusatzausbildung im Bereich der Vorschulerziehung“
Kurs: 1 Gruppe: 2
Abteilung: Schule
Leitung: Pristuplyuk Olga Nikolaevna
Rjasan
Einleitung…………………………………………………………………3
Theoretischer Teil
Numerische Funktionen
1.2 Möglichkeiten zum Einstellen von Funktionen………………………………………………….6
1.3 Funktionseigenschaften …………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………
2. Direkte und umgekehrte Proportionen
2.1 Das Konzept der direkten Verhältnismäßigkeit………………..9
2.2 Eigenschaften einer direkten proportionalen Beziehung…………………………………………….10
2.3 Das Konzept der umgekehrten Proportionalität und seine Eigenschaften………………………………………………………………-
Praktischer Teil
3.1 Funktionale Propädeutik im Grundstudium Mathematik ... .11
3.2 Lösen von Problemen für proportional abhängige Größen……18
Fazit……………………………………………………….......21
Liste der verwendeten Literatur………………………………..22
Einführung
In der Mathematik tauchte die Idee einer Funktion zusammen mit dem Begriff der Größe auf. Es war eng mit geometrischen und mechanischen Darstellungen verbunden. Der Begriff Funktion (von lateinisch „Leistung“) wurde erstmals 1694 von Leibniz eingeführt. Unter Funktion verstand er die Abszissen, Ordinaten und andere Segmente, die einem Punkt zugeordnet sind, der eine bestimmte Linie beschreibt.
In der ersten Hälfte des 18. Jahrhunderts. Es gab einen Übergang von einer visuellen Darstellung des Funktionsbegriffs zu einer analytischen Definition. Der Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli und dann der Akademiker Leonhard Euler glaubten, dass die Funktion
Das analytischer Ausdruck, bestehend aus einer Variablen und einer Konstante.
Mit anderen Worten, die Funktion wird durch verschiedene Arten von Formeln ausgedrückt: y=ax+b, y==axІ+bx+c usw.
Heute wissen wir, dass eine Funktion nicht nur in mathematischer Sprache, sondern auch grafisch ausgedrückt werden kann. Der Pionier dieser Methode war Descartes. Diese Entdeckung spielte eine große Rolle in der Weiterentwicklung der Mathematik: Es gab einen Übergang von Punkten zu Zahlen, von Linien zu Gleichungen, von Geometrie zu Algebra. Dadurch wurde es möglich, gemeinsame Methoden zur Lösung von Problemen zu finden.
Andererseits wurde es dank der Koordinatenmethode möglich, geometrisch unterschiedliche Abhängigkeiten abzubilden.
Daher bieten Diagramme eine visuelle Darstellung der Art der Beziehung zwischen Größen; sie werden häufig in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technologie verwendet.
Die wichtigsten Trends in der Entwicklung der modernen Schulbildung spiegeln sich in den Ideen der Humanisierung, Humanitarisierung, eines aktivitätsbasierten und schülerzentrierten Ansatzes bei der Organisation des Bildungsprozesses wider.
Im Mittelpunkt des Mathematikunterrichts an einer allgemeinbildenden Schule steht der Grundsatz der Priorität der Entwicklungsfunktion der Bildung.
Daher ist das Studium des Konzepts einer numerischen Funktion in der Grundschule ein ziemlich wichtiger Bestandteil bei der Bildung mathematischer Darstellungen von Schulkindern. Für einen Grundschullehrer ist es notwendig, sich auf das Studium dieses Konzepts zu konzentrieren, da zwischen der Funktion und vielen Bereichen menschlichen Handelns ein direkter Zusammenhang besteht, der den Kindern in Zukunft den Einstieg in die Welt der Naturwissenschaften erleichtern wird.
Außerdem , Studierende erlernen in der Regel formal die Definition des Funktionsbegriffs, haben keine ganzheitliche Sicht auf funktionale Abhängigkeit, d.h. können ihr Wissen nicht zur Lösung mathematischer und praktischer Probleme anwenden; Ordnen Sie eine Funktion ausschließlich einem analytischen Ausdruck zu, in dem die Variable enthalten ist bei ausgedrückt als Variable X; kann Darstellungen einer Funktion auf verschiedenen Modellen nicht interpretieren; Es fällt mir schwer, Funktionsgraphen anhand ihrer Eigenschaften usw. zu zeichnen.
Die Gründe für diese Schwierigkeiten hängen nicht nur und nicht so sehr mit der Methode des Studiums von Funktionsmaterial im Rahmen der Algebra zusammen, sondern mit der Unvorbereitetheit des Denkens der Studierenden auf die Wahrnehmung und Assimilation des Begriffs „Funktion“.
Dies bedeutet, dass vor der Einführung des Konzepts der „Funktion“ an der Ausbildung funktionaler Denkfähigkeiten gearbeitet werden muss, damit „in dem Moment, in dem die allgemeine Idee der funktionalen Abhängigkeit in die Köpfe der Studierenden eindringen sollte, dies der Fall ist.“ Das Bewusstsein ist ausreichend auf das Objektive und Effektive vorbereitet und nicht nur auf die formale Wahrnehmung eines neuen Konzepts und damit verbundener Ideen und Fähigkeiten“ (A.Ya. Khinchin)
1. Numerische Funktionen
1.1 Entwicklung des Konzepts der funktionalen Abhängigkeit in der Mathematik
Analysieren wir den Entwicklungsverlauf pädagogischer Ideen im Bereich des Unterrichts der wichtigsten Komponente der Mathematik – der funktionalen Abhängigkeit.
Die Funktionslinie des Schulkurses Mathematik ist einer der führenden Kurse in Algebra, Algebra und Beginn der Analysis. Das Hauptmerkmal des Unterrichtsmaterials dieser Linie besteht darin, dass mit ihm vielfältige Zusammenhänge im Mathematikunterricht hergestellt werden können.
Im Laufe mehrerer Jahrhunderte hat sich der Funktionsbegriff verändert und verbessert. Die Notwendigkeit, funktionale Abhängigkeit im schulischen Mathematikunterricht zu untersuchen, steht seit der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts im Fokus der pädagogischen Presse. Berühmte Methodologen wie M. V. Ostrogradsky, V. N. Shklarevich, S. I. Shokhor-Trotsky, V. E. Serdobinsky und V. P. Sheremetevsky haben diesem Thema in ihren Werken große Aufmerksamkeit gewidmet.
Die Entwicklung der Idee der funktionalen Abhängigkeit verlief in mehreren Phasen:
Erste Stufe- die Phase der Einführung des Funktionskonzepts (hauptsächlich durch einen analytischen Ausdruck) in den Mathematikkurs der Schule.
Zweite Phase Die Einführung des Funktionsbegriffs in den Algebraunterricht der Oberstufe ist vor allem durch den Übergang zu einer grafischen Darstellung der Funktionsabhängigkeit und die Erweiterung des Spektrums der untersuchten Funktionen gekennzeichnet.
Dritter Abschnitt Die Entwicklung der russischen Schule begann in den 20er Jahren. zwanzigstes Jahrhundert. Eine Analyse der methodischen Literatur der Sowjetzeit zeigte, dass die Einführung des Funktionskonzepts in einen schulischen Mathematikkurs mit hitzigen Diskussionen einherging und es uns ermöglichte, vier Hauptprobleme zu identifizieren, zu denen es in den Meinungen der Methodologen unterschiedliche Meinungen gab: nämlich:
1) Zweck und Bedeutung des Studiums des Funktionsbegriffs durch Studierende;
2) Ansätze zur Definition einer Funktion;
3) die Frage der funktionalen Propädeutik;
4) Platz und Umfang des Funktionsmaterials im Unterricht der Schulmathematik.
Vierte Stufe aufgrund der Übertragung der Wirtschaft der RSFSR auf eine geplante Basis
1934 erhielt die Schule das erste stabile Lehrbuch von A.P. Kiselev „Algebra“, überarbeitet unter der Leitung von A.P. Barsukov in zwei Teilen.
Die Abschnitte „Funktionen und ihre Graphen“, „Quadratische Funktion“ wurden in den zweiten Teil aufgenommen. Darüber hinaus wurden im Abschnitt „Verallgemeinerung des Gradbegriffs“ die Exponentialfunktion und ihr Graph und im Abschnitt „Logarithmen“ die Logarithmusfunktion und ihr Graph betrachtet.
Darin wurde die Funktion durch den Begriff einer Variablen definiert: „Diese Variable, deren numerische Werte sich abhängig von den numerischen Werten einer anderen ändern, wird abhängige Variable oder Funktion einer anderen Variablen genannt.“ ." Es spiegelt jedoch nicht die Idee der Korrespondenz wider und es wird kein analytischer Ausdruck erwähnt, was den Schluss zulässt, dass diese Definition einen erheblichen Nachteil hat.
I. Ya. Khinchin hat diesem Problem in seinen Werken große Aufmerksamkeit geschenkt.
Der Wissenschaftler betrachtete die Bildung einer Funktionsidee als Manifestation des Formalismus in der Lehre. Er glaubte, dass in der Oberschule das Konzept der Funktion auf der Grundlage des Konzepts der Korrespondenz studiert werden sollte.
Diese Zeit ist gekennzeichnet durch fehlende Zeit zum Erlernen von Funktionen, schlecht durchdachte Übungssysteme, Missverständnisse der Schüler über das wahre Wesen des Funktionsbegriffs und geringe funktionale und grafische Fähigkeiten der Schulabsolventen.
Dadurch entstand erneut die Notwendigkeit, den Mathematikunterricht an weiterführenden Schulen zu reformieren. Die Umstrukturierung der gesamten Schulmathematik auf der Grundlage des mengentheoretischen Ansatzes markierte die fünfte Stufe in der Entwicklung der Idee der funktionalen Abhängigkeit. Die Idee eines mengentheoretischen Ansatzes wurde von einer Gruppe französischer Wissenschaftler aufgegriffen, die sich unter dem Pseudonym Nicolas Bourbaki zusammenschlossen. In der Stadt Roymond (Frankreich) fand 1959 eine internationale Konferenz statt, auf der der Sturz aller konventionellen Kurse proklamiert wurde. Der Schwerpunkt lag auf den Strukturen und Vereinheitlichungen der gesamten Schulmathematik auf der Grundlage der Mengenlehre.
Eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Reformideen spielten die Artikel von V. L. Goncharov, in denen der Autor auf die Bedeutung einer frühen und langfristigen funktionalen Propädeutik hinwies und die Verwendung von Übungen vorschlug, die in der Durchführung einer Reihe von Vor- spezifizierte numerische Ersetzungen im gleichen gegebenen Literalausdruck.
Die Stabilisierung von Programmen und Lehrbüchern schuf den Grundstein für positive Veränderungen in der Qualität des funktionalen Wissens der Studierenden. In den späten sechziger und frühen siebziger Jahren erschien neben negativen Rezensionen auch die Presse, in der es zu einer gewissen Verbesserung des Wissens der Schulabsolventen über Funktionen und Stundenpläne kam. Allerdings blieb der allgemeine mathematische Entwicklungsstand der Studierenden insgesamt unzureichend. Der Schullehrplan für Mathematik widmete weiterhin unangemessen viel Zeit der formalen Ausbildung und schenkte der Entwicklung der Fähigkeit der Schüler zum selbstständigen Lernen nicht die gebührende Aufmerksamkeit.
1.2 Möglichkeiten zum Einstellen von Funktionen
Also, numerische Funktion ist eine Entsprechung zwischen der numerischen Menge R reeller Zahlen, in der jede Zahl aus der Menge X einer einzelnen Zahl aus der Menge R entspricht.
Dementsprechend repräsentiert X den Bereich der Funktion (OOF).
Die Funktion selbst wird durch lateinische Kleinbuchstaben (f, d, e, k) bezeichnet.
Wenn die Funktion f auf der Menge X definiert ist, dann wird die reelle Zahl y, die der Zahl x aus der Menge X entspricht, als f(x) (y=f(x)) bezeichnet.
Die Variable x wird aufgerufen Streit. Die Menge der Zahlen der Form f(x) für alle x heißt FunktionsumfangF.
Am häufigsten werden Funktionen durch verschiedene Arten von Formeln angegeben: y=2x+3, y=xІ, y=3xі, y=?3xІ, wobei x eine reelle Zahl und y die ihr entsprechende einzelne Zahl ist.
Mit einer Formel können Sie jedoch angeben ein Haufen Funktionen, deren Unterschied nur durch den Definitionsbereich bestimmt wird:
Y= 2x-3, wobei x zur Menge der reellen Zahlen gehört und y=2x-3,
X - gehört zur Menge der natürlichen Zahlen.
Wenn eine Funktion mithilfe einer Formel angegeben wird, wird die OOF häufig nicht angegeben (OOF ist die Domäne des Ausdrucks f (x)).
Es ist auch recht praktisch, numerische Funktionen visuell darzustellen, d. h. unter Verwendung der Koordinatenebene. 
1.3 Funktionseigenschaften.
Numerische Funktionen haben wie viele andere Eigenschaften:
Steigend, fallend, Monotonie, Definitionsbereich und Umfang einer Funktion, Beschränktheit und Unbeschränktheit, Gleichmäßigkeit und Ungeradeheit, Periodizität.
Umfang und Umfang einer Funktion.
In der Elementarmathematik werden Funktionen nur auf der Menge der reellen Zahlen R untersucht. Das bedeutet, dass das Argument einer Funktion nur die reellen Werte annehmen kann, für die die Funktion definiert ist, d.h. es akzeptiert auch nur reale Werte. Die Menge X aller zulässigen reellen Werte des Arguments x, für das die Funktion y = f(x) definiert ist, heißt Definitionsbereich der Funktion. Die Menge Y aller reellen y-Werte, die eine Funktion annimmt, wird als Bereich der Funktion bezeichnet. Jetzt können wir eine Funktion genauer definieren: Die Regel (Gesetz) der Entsprechung zwischen den Mengen X und Y, nach der für jedes Element aus der Menge X ein und nur ein Element aus der Menge Y gefunden werden kann, heißt a Funktion. 
Eine Funktion gilt als gegeben, wenn: der Umfang der Funktion X gegeben ist; der Wertebereich der Funktion Y ist angegeben; die Korrespondenzregel (das Gesetz) bekannt ist und dass für jeden Wert des Arguments nur ein Wert der Funktion gefunden werden kann. Diese Anforderung der Eindeutigkeit der Funktion ist zwingend.
Begrenzte und unbegrenzte Funktionen. Eine Funktion heißt beschränkt, wenn es eine positive Zahl M mit | gibt f(x) | M für alle x-Werte. Wenn es keine solche Zahl gibt, ist die Funktion unbeschränkt.
Gerade und ungerade Funktionen. Gilt für jedes x aus dem Funktionsbereich: f (- x) = f (x), dann heißt die Funktion gerade; wenn es stattfindet: f (- x) = - f (x), dann heißt die Funktion ungerade. Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch um die Y-Achse (Abb. 5), und der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch um den Ursprung (Abb. 6). 
Periodische Funktion. Eine Funktion f (x) ist periodisch, wenn es eine Zahl T ungleich Null gibt, so dass für jedes x aus dem Funktionsbereich f (x + T) = f (x) gilt. Diese kleinste Zahl wird als Periode der Funktion bezeichnet. Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch.
Aber die wichtigste Eigenschaft zur Lernfunktion im Grundschulunterricht ist monoton.
Monotone Funktion. Wenn für zwei beliebige Werte des Arguments x1 und x2 die Bedingung x2 > x1 f (x2) > f (x1) impliziert, dann ist die Funktion | f(x) | heißt zunehmend; wenn für jedes x1 und x2 die Bedingung x2 > x1 f (x2) impliziert
2. Direkte und umgekehrt proportionale Abhängigkeiten.
2.1 Das Konzept der direkten Verhältnismäßigkeit.
In der Grundschule manifestiert sich die Funktion in Form direkter und umgekehrt proportionaler Abhängigkeiten.
Direkte Verhältnismäßigkeit ist zunächst einmal Funktion, was mit der Formel y=kx angegeben werden kann, wobei k eine reelle Zahl ungleich Null ist. Der Name der Funktion y = kx ist mit den in dieser Formel enthaltenen Variablen x und y verknüpft. Wenn Attitüde zwei Größen gleich einer Zahl ungleich Null sind, dann heißen sie direkt proportional.
K ist der Proportionalitätskoeffizient.
Im Allgemeinen ist die Funktion y=kx ein mathematisches Modell vieler realer Situationen, die im ersten Mathematikkurs betrachtet werden.
Nehmen wir zum Beispiel an, in einer Packung Mehl sind 2 kg Mehl und es wurden x solcher Packungen gekauft, dann beträgt die Gesamtmasse des gekauften Mehls y. Dies kann als Formel wie folgt geschrieben werden: y=2x wobei 2=k.
2.2 Eigenschaften einer direkten proportionalen Beziehung.
Die direkte Proportionalität hat eine Reihe von Eigenschaften:
Der Definitionsbereich der Funktion y=kx ist die Menge der reellen Zahlen R;
Ein Graph direkter Proportionalität ist eine gerade Linie, die durch den Ursprung verläuft;
Für k>0 nimmt die Funktion y=kx über den gesamten Definitionsbereich zu (für k
Wenn die Funktion f eine direkte Proportionalität ist, dann sind (x1,y1),(x2,y2) Paare entsprechender Variablen x und y, wobei x ungleich Null ist, dann ist x1/x2=y1/y2.
Xmehrmals erhöht (verringert) sich der entsprechende positive Wert von y um den gleichen Betrag.
2.3 Das Konzept der umgekehrten Proportionalität.
Umgekehrte Proportionalität- Das Funktion, was mit der Formel y=k/x angegeben werden kann, wobei k eine reelle Zahl ungleich Null ist. Der Name der Funktion y = k/x ist mit den Variablen x und y verknüpft, deren Produkt einer reellen Zahl ungleich Null entspricht.
Inverse Proportionaleigenschaften:
Der Definitionsbereich und der Geltungsbereich der Funktion y=k/x ist die Menge der reellen Zahlen R;
Der Graph der direkten Proportionalität ist eine Hyperbel;
Für k 0 nimmt es jeweils über den gesamten Definitionsbereich ab, Verzweigungen - nach unten)
Wenn die Funktion f umgekehrt proportional ist, dann sind (x1,y1),(x2,y2) Paare entsprechender Variablen x und y, wobei x ungleich Null ist, dann ist x1/x2=y2/y1.
Wenn die Werte der VariablenXUndjsind also positive reelle Zahlen
mit steigender (fallender) VariableXmehrmals verringert (erhöht) sich der entsprechende Wert von y um den gleichen Betrag.
Praktischer Teil
3.1 Funktionale Propädeutik im Grundstudium Mathematik
Das Konzept der funktionalen Abhängigkeit ist eines der führenden in der Mathematik, daher ist die Bildung dieses Konzepts bei den Schülern eine wichtige Aufgabe in der zielgerichteten Tätigkeit des Lehrers zur Entwicklung des mathematischen Denkens und der kreativen Aktivität von Kindern. Die Entwicklung des funktionalen Denkens setzt zunächst die Entwicklung der Fähigkeit voraus, neue Zusammenhänge zu entdecken, allgemeine Lerntechniken und Fähigkeiten zu beherrschen.
Im Grundstudium der Mathematik sollte der funktionalen Propädeutik eine bedeutende Rolle zukommen, die die Studierenden auf das Studium systematischer Kurse in Algebra und Geometrie vorbereitet und ihnen auch die dialektische Natur des Denkens und das Verständnis der kausalen Zusammenhänge vermittelt zwischen den Phänomenen der umgebenden Realität. In diesem Zusammenhang benennen wir die Hauptrichtungen der propädeutischen Arbeit in der Anfangsphase der Fachvermittlung nach dem Programm von L.G. Peterson:
Der Mengenbegriff, die Entsprechung von Elementen zweier Mengen und Funktionen. Abhängigkeit der Ergebnisse arithmetischer Operationen von der Änderung von Komponenten.
Tabellarische, verbale, analytische, grafische Möglichkeiten zur Einstellung einer Funktion.
Lineare Abhängigkeit.
Koordinatensystem, erste und zweite Koordinate, geordnetes Paar.
Lösen der einfachsten kombinatorischen Probleme: Zusammenstellen und Zählen der Anzahl möglicher Permutationen, Teilmengen von Elementen einer endlichen Menge.
Verwendung einer systematischen Aufzählung natürlicher Werte von einer und zwei Variablen zur Lösung von Handlungsproblemen.
Füllen von Tabellen mit arithmetischen Berechnungen, Daten aus den Bedingungen angewandter Probleme. Auswahl der Daten aus der Tabelle nach Bedingung.
Abhängigkeit zwischen proportionalen Werten; angewandtes Studium ihrer Grafiken.
Der Inhalt des Grundkurses Mathematik ermöglicht es den Studierenden, sich ein Bild von einer der wichtigsten Ideen der Mathematik zu machen – Idee der Konformität.Bei der Durchführung von Aufgaben zum Ermitteln der Werte von Ausdrücken und beim Ausfüllen von Tabellen stellen die Schüler fest, dass jedes Zahlenpaar nicht mehr als einer als Ergebnis erhaltenen Zahl entspricht. Um dies zu verstehen, müssen jedoch die Inhalte der Tabellen analysiert werden.
Überlegen Sie sich alle möglichen Beispiele für die Addition zweier einstelliger Zahlen mit der Antwort 12.
Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe stellen die Schüler eine Beziehung zwischen zwei Sätzen von Begriffswerten her. Die festgestellte Entsprechung ist eine Funktion, da jeder Wert des ersten Termes einem einzelnen Wert des zweiten Termes bei konstanter Summe entspricht.
In einer Vase stehen 10 Äpfel. Wie viele Äpfel bleiben übrig, wenn man 2 Äpfel nimmt? 3 Äpfel? 5 Äpfel? Tragen Sie Ihre Lösung in die Tabelle ein. Wovon hängt das Ergebnis ab? Wie viele Einheiten ändert es? Warum?
Dieses Problem stellt tatsächlich die Funktion dar bei = 10 - X, wo die Variable X nimmt die Werte 2, 3, 5 an. Als Ergebnis dieser Aufgabe sollten die Schüler zu dem Schluss kommen: Je größer der Subtrahend, desto kleiner der Wert der Differenz.
Die Idee der funktionalen Korrespondenz findet sich auch in Übungen der Form:
Verbinde die mathematischen Ausdrücke und die entsprechenden Zahlenwerte mit einem Pfeil:
15 + 6 27 35
Einführung Buchstabensymbole ermöglicht es Ihnen, Schüler mit den wichtigsten Konzepten der modernen Mathematik vertraut zu machen – einer Variablen, einer Gleichung, einer Ungleichung, die zur Entwicklung des funktionalen Denkens beiträgt, da die Idee der funktionalen Abhängigkeit eng mit ihnen verbunden ist. Bei der Arbeit mit einer Variablen erkennen die Schüler, dass die im Ausdruck enthaltenen Buchstaben unterschiedliche numerische Werte annehmen können und der wörtliche Ausdruck selbst eine verallgemeinerte Notation numerischer Ausdrücke ist.
Von großer propädeutischer Bedeutung ist die Erfahrung der Studierenden bei der Kommunikation mit Übungen Festlegung von Mustern in Zahlenfolgen und deren Fortsetzung:
1, 2, 3, 4… (bei = X + 1)
1, 3, 5, 7… (bei= 2 X + 1)
Konzept Mengen ist neben dem Zahlbegriff der Hauptbegriff des Mathematik-Grundkurses. Das Material dieses Abschnitts ist die reichhaltigste Quelle für die Umsetzung der indirekten funktionalen Propädeutik. Erstens ist dies die Abhängigkeit (umgekehrt proportional) zwischen der gewählten Mengeneinheit (Maß) und ihrem Zahlenwert (Maß) – je größer das Maß, desto kleiner die Zahl, die sich aus der Messung des Wertes mit diesem Maß ergibt. Daher ist es wichtig, dass die Studierenden bei der Arbeit mit jeder Größe Erfahrung im Messen von Mengen mit unterschiedlichen Maßen sammeln, um sich bewusst zunächst für ein geeignetes und dann für ein einzelnes Maß zu entscheiden.
Zweitens werden bei der Untersuchung der Größen, die die Prozesse Bewegung, Arbeit, Kauf und Verkauf charakterisieren, Vorstellungen über den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Zeit und Entfernung, Preis, Menge und Kosten bei der Lösung von Textproblemen der folgenden Art gebildet – zu bringen zur Einheit (Finden des vierten Proportionalitätsfaktors), Finden des Unbekannten durch zwei Differenzen, Proportionaldivision.
Von besonderer Schwierigkeit für Studierende ist das Verständnis des Zusammenhangs zwischen diesen Größen, da der Begriff der „proportionalen Abhängigkeit“ nicht Gegenstand einer besonderen Untersuchung und Aneignung ist. Im Programm von L.G. Peterson löst dieses Problem methodisch, indem er die folgenden Techniken verwendet:
- Beheben von Problemen mit fehlenden Daten („offene“ Bedingung):
Vasya ist 540 m vom Zuhause und der Schule entfernt und Pascha 480 m. Wer wohnt näher? Wer kommt schneller ans Ziel?
Sasha kaufte Notizbücher für 30 Rubel und Bleistifte für 45 Rubel. Für welche Artikel hat er das meiste Geld ausgegeben? Welche Artikel hat er mehr gekauft?
Bei der Analyse der Texte dieser Aufgaben stellen Studierende fest, dass ihnen Daten fehlen und die Antworten auf die Fragen vom Preis und der Geschwindigkeit abhängen.
- Festlegung der Aufgabenbedingungen nicht nur in einer Tabelle (wie in der klassischen Technik vorgeschlagen), sondern auch in Form eines Diagramms. Dadurch können Sie die im Problem berücksichtigten Abhängigkeiten „visualisieren“. Wenn sich also bewegende Objekte zu unterschiedlichen Zeiten (2 Stunden, 3 Stunden, 4 Stunden, 6 Stunden) die gleiche Distanz von 12 km zurücklegen, dann wird mit dem Schema die umgekehrte Beziehung eindeutig interpretiert – je mehr Teile (Zeit), desto kleiner jedes Teil (Geschwindigkeit).
- Ändern einer der Aufgabendaten und Vergleichen der Ergebnisse der Problemlösung.
48 kg Äpfel wurden in die Schulkantine gebracht. Wie viele Kisten könnten mitgebracht werden, wenn in allen Kisten gleich viele Äpfel wären?
Die Studierenden vervollständigen den Zustand des Problems und klären den Zusammenhang zwischen Größen mithilfe verschiedener Mittel zur Strukturierung theoretischen Wissens – in einer Tabelle, einem Diagramm und mündlich.
Hierbei ist es sinnvoll, auf das Vielfachesverhältnis der betrachteten Größen zu achten – wie oft ist eine der Größen größer, die andere gleich oft größer (kleiner) bei konstantem Drittel.
In der Grundschule werden die Schüler implizit eingeführt tabellarische, analytische, verbale, grafische Möglichkeiten zur Einstellung von Funktionen.
So lässt sich beispielsweise der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Zeit und Distanz wie folgt ausdrücken:
A) verbal: „Um die Entfernung zu ermitteln, muss man die Geschwindigkeit mit der Zeit multiplizieren“;
B) analytisch: S= v T;
C) Tabelle: v = 5 km/h
d) grafisch (unter Verwendung eines Koordinatenstrahls oder -winkels).
Eine grafische Möglichkeit zur Angabe der Abhängigkeit zwischen v , T, S ermöglicht es Ihnen, sich eine Vorstellung von der Geschwindigkeit als Änderung des Standorts eines sich bewegenden Objekts pro Zeiteinheit zu machen (zusammen mit der allgemein akzeptierten – als zurückgelegte Strecke pro Zeiteinheit) und einen Vergleich der Bewegungsdiagramme von zwei Körpern (die sich unabhängig voneinander bewegen) verdeutlicht die Vorstellung von Geschwindigkeit als einer die Bewegungsgeschwindigkeit charakterisierenden Größe.
Zusammengesetzte numerische Ausdrücke(mit und ohne Klammern) ermöglicht die Berechnung ihrer Werte gemäß den Regeln der Aktionsreihenfolge den Schülern zu erkennen, dass das Ergebnis von der Aktionsreihenfolge abhängt.
Ordnen Sie die Klammern so an, dass Sie die richtigen Gleichheiten erhalten.
20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26
Im Zuge von L.G. Peterson werden den Schülern implizit vorgestellt lineare Abhängigkeit, als Sonderfall einer Funktion. Diese Funktion kann durch eine Formel der Form definiert werden bei= kh + B, Wo X- unabhängige Variable, k Und B- Zahlen. Ihr Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen.
Nach 350 Kilometern Fahrt begann der Zug für t Stunden mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h zu fahren. Wie viele Kilometer hat der Zug insgesamt zurückgelegt?(350 + 60 T)
Bei der Bearbeitung von Aufgaben mit benannten Zahlen sind sich die Schüler der Abhängigkeit bewusst der numerische Wert von Größen aus der Verwendung verschiedener Maßeinheiten.
Das gleiche Segment wurde zunächst in Zentimetern, dann in Dezimetern gemessen. Im ersten Fall haben wir eine Zahl von 135 mehr bekommen als im zweiten. Wie lang ist das Segment in Zentimetern? (Abhängigkeit bei= 10 X)
Im Rahmen des Mathematik-Grundstudiums bilden sich die Studierenden den Begriff einer natürlichen Zahlenreihe, ein Segment einer natürlichen Zahlenreihe, assimilieren die Eigenschaften einer natürlichen Zahlenreihe – Unendlichkeit, Ordnung usw., Form die Idee der Möglichkeit einer unbegrenzten Zunahme einer natürlichen Zahl oder einer Abnahme ihres Anteils.
Im Mathematikunterricht der Jahrgangsstufen 3 bis 4 wird großer Wert auf die Anwendungsvermittlung gelegt Formeln, ihre unabhängige Schlussfolgerung. Hier ist es wichtig, den Schülern beizubringen, dieselben Informationen in unterschiedlichen Formen darzustellen – grafisch und analytisch – und den Schülern das Recht zu geben, die Form entsprechend ihrem kognitiven Stil zu wählen.
Von großem Interesse für Studierende sind Aufgaben im Zusammenhang mit der Analyse von Tabellen mit Variablenwerten, dem „Entdecken“ von Abhängigkeiten zwischen ihnen und dem Schreiben in Form einer Formel.
Bei der Analyse der in der Tabelle dargestellten Zahlen fällt den Schülern leicht auf, dass die Zahlen in der ersten Reihe um eins und die Zahlen in der zweiten Reihe um vier steigen. Die Aufgabe des Lehrers besteht darin, auf die Beziehung der Werte der Variablen zu achten A Und B. Um die anwendungsorientierte Ausrichtung des Mathematikunterrichts zu stärken, ist es notwendig, diese Situation „wiederzubeleben“ und in den Handlungsstatus zu übertragen.
Um die Fähigkeit der Schüler zu trainieren, Formeln abzuleiten, müssen Sie ihnen beibringen, verschiedene Aussagen in mathematischer Sprache (in Form von Gleichungen) aufzuschreiben:
Ein Stift kostet dreimal so viel wie ein Bleistift R = Zu + 3);
Nummer A geteilt durch 5 ergibt einen Rest von 2 ( A= 5 B + 2);
Die Länge des Rechtecks beträgt 12 cm mehr als die Breite ( A = B + 12).
Voraussetzung ist die Diskussion möglicher Optionen für die Werte dieser Größen mit Ausfüllen der entsprechenden Tabellen.
Ein besonderer Ort im Verlauf von L.G. Peterson übernimmt Aufgaben im Zusammenhang mit mathematische Forschung:
Stellen Sie sich die Zahl 16 als Produkt zweier Faktoren auf unterschiedliche Weise vor. Ermitteln Sie für jede Methode die Summe der Faktoren. In welchem Fall haben Sie den kleinsten Betrag erhalten? Machen Sie dasselbe mit den Zahlen 36 und 48. Was ist die Vermutung?
Bei der Durchführung solcher Aufgaben (Untersuchung der Beziehung zwischen der Anzahl der Ecken eines Polygons und dem Gesamtwert der Winkelmaße, zwischen dem Umfangswert von Figuren unterschiedlicher Form mit gleicher Fläche usw.) verbessern die Schüler ihre Fähigkeiten Kenntnisse im Umgang mit einer Tabelle, da es praktisch ist, die Lösung in einer Tabelle zu fixieren. Darüber hinaus wird die tabellarische Methode zur Lösungsfixierung bei der Lösung nicht standardmäßiger mathematischer Probleme durch die Methode der geordneten Aufzählung oder der rationalen Auswahl verwendet.
In der Klasse sind 13 Kinder. Jungen haben genauso viele Zähne wie Mädchen Finger und Zehen. Wie viele Jungen und wie viele Mädchen sind in der Klasse? (Jeder Junge hat genau 32 Zähne.)
Mathematikunterricht nach dem Programm von L.G. Peterson vermittelt den Schülern die Aneignung der Beziehung zwischen den Ergebnissen und Komponenten arithmetischer Operationen, über die eine Vorstellung entsteht Die „Geschwindigkeit“ der Änderung des Ergebnisses arithmetischer Operationen in Abhängigkeit von der Änderung der Komponenten:
Übungen zur Zahlenkomposition;
Private Berechnungsmethoden (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 5 = 12 10: 2);
Auswertung von Summe, Differenz, Produkt, Quotient.
Bei der Durchführung solcher Aufgaben ist es wichtig, Informationen multisensorisch darzustellen.
Wie ändert sich die Summe, wenn ein Term um 10 erhöht und der zweite um 5 verringert wird?
Wie ändert sich die Fläche eines Rechtecks (oder das Produkt zweier Zahlen), wenn eine der Seiten (eine der Zahlen) um 3 vergrößert wird?
Ein erheblicher Teil der Studierenden löst ähnliche Aufgaben, indem sie bestimmte Zahlenwerte ersetzen. Wer in dieser Situation methodisch kompetent ist, wird den Zustand grafisch und analytisch interpretieren.
(A+ 3) · B = A· B+ 3 ·B
Das Konzept der Funktion in der High School ist damit verbunden Koordinatensystem. Im Zuge von L.G. Peterson enthält Material für propädeutische Arbeiten in dieser Richtung:
Numerisches Segment, numerischer Strahl, Koordinatenstrahl;
Pythagoräische Tabelle, Koordinaten in der Ebene (Koordinatenwinkel);
Bewegungsdiagramme;
Kreis-, Säulen- und Liniendiagramme, die die Beziehung zwischen diskreten Werten visuell darstellen.
Also das Studium arithmetischer Operationen, das Erhöhen und Verringern der Zahl um mehrere Einheiten oder ein Vielfaches, die Beziehung zwischen den Komponenten und den Ergebnissen arithmetischer Operationen, das Lösen von Problemen zum Finden des vierten Proportionalitätsfaktors, für den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Zeit und Entfernung; Preis, Menge und Wert; die Masse eines einzelnen Gegenstands, deren Anzahl und Gesamtmasse; Arbeitsproduktivität, Zeit und Arbeit; usw. liegen einerseits der Bildung des Funktionsbegriffs zugrunde und werden andererseits anhand funktionaler Konzepte untersucht. Es ist zu beachten, dass die grafische Modellierung einen ziemlich großen propädeutischen Wert hat: grafische Interpretation der Problemstellung, Zeichnen, Zeichnen und mehr. In grafischer Form dargestellte Informationen sind leichter verständlich, umfangreich und eher bedingt und sollen nur Informationen über die wesentlichen Merkmale des Objekts enthalten, um die grafischen Fähigkeiten der Schüler zu fördern.
Darüber hinaus soll das Ergebnis der Propädeutik der funktionalen Abhängigkeit eine hohe geistige Aktivität jüngerer Schüler, die Entwicklung intellektueller, allgemeinfachlicher und spezifischer mathematischer Fähigkeiten und Fertigkeiten sein. All dies schafft eine solide Grundlage nicht nur für die Lösung der methodischen Probleme der Elementarmathematik – die Ausbildung rechnerischer Fähigkeiten, die Fähigkeit zur Lösung von Textproblemen etc., sondern auch für die Umsetzung von Weiterentwicklungsmöglichkeiten mathematischer Inhalte und, nicht weniger wichtig, für das erfolgreiche Studium der Funktionen in der High School.
3.2 Lösen von Problemen für proportional abhängige Größen
Ein Problem zu lösen bedeutet durch eine logisch korrekte Abfolge von Handlungen.
und Operationen mit explizit oder indirekt im Problem verfügbaren Zahlen, Mengen,
Beziehungen, um die Anforderung der Aufgabe zu erfüllen (ihre Frage zu beantworten).
Die wichtigsten in der Mathematik sind Arithmetik Und
algebraisch Wege zur Lösung von Problemen. Bei Arithmetik Weg
Die Antwort auf die Frage des Problems wird als Ergebnis der Arithmetik gefunden
Aktionen auf Zahlen.
Verschiedene Rechenmethoden zur Lösung desselben Problems sind unterschiedlich
Beziehungen zwischen Daten, Daten und Unbekannten, Daten und dem Gesuchten,
der Auswahl arithmetischer Operationen oder einer Folge zugrunde liegen
Verwendung dieser Beziehungen bei der Auswahl von Aktionen.
Ein Textproblem rechnerisch zu lösen ist eine komplexe Tätigkeit,
entscheidend. Es kann jedoch in mehrere Phasen unterteilt werden:
1. Wahrnehmung und Analyse des Aufgabeninhalts.
2. Suche und Erstellung eines Plans zur Lösung des Problems.
3. Umsetzung des Lösungsplans. Formulierung der Schlussfolgerung zur Erfüllung der Anforderung
Aufgabe (Antwort auf die Frage der Aufgabe).
4. Überprüfung der Lösung und Beseitigung etwaiger Fehler.
Probleme für die proportionale Division werden auf unterschiedliche Weise eingeführt: Sie können anbieten
um ein vorgefertigtes Problem zu lösen, oder Sie können es zunächst kompilieren, indem Sie das Problem transformieren
um den vierten Proportionalwert zu finden. In beiden Fällen der Erfolg der Lösung
Probleme zur Proportionaldivision werden durch eine solide Lösungsfähigkeit bestimmt
Problem, das vierte Proportional zu finden, also als
In der Ausbildung ist es notwendig, für die Lösung von Problemen der entsprechenden Art zu sorgen
vierter Proportionalwert. Deshalb ist die zweite Variante vorzuziehen.
benannte Optionen zur Einführung von Problemen für die proportionale Division.
Weiter geht es mit der Lösung vorgefertigter Probleme aus dem Lehrbuch sowie zusammengestellter Probleme
Lehrer, einschließlich verschiedener Mengengruppen, müssen Sie zunächst festlegen, was
Mengen, auf die in der Aufgabe Bezug genommen wird, dann schreiben Sie die Aufgabe kurz in die Tabelle,
nachdem die Frage des Problems zuvor in zwei Fragen aufgeteilt wurde, wenn sie das Wort enthält
jeden. Die Entscheidung treffen in der Regel die Studierenden selbstständig, Analyse
wird nur mit einzelnen Studierenden durchgeführt. Anstelle einer kurzen Notiz können Sie auch Folgendes tun
Zeichnung. Wenn es sich bei dem Problem beispielsweise um Materiestücke, Drahtspulen usw. handelt
usw., dann können sie durch Schreiben der entsprechenden Zahl als Segmente dargestellt werden
die Werte dieser Größen. Beachten Sie, dass es nicht notwendig ist, jedes Mal eine kurze Zusammenfassung zu erstellen.
Aufzeichnen oder Zeichnen, wenn der Schüler nach dem Lesen des Problems weiß, wie er es lösen kann, dann
Lassen Sie ihn entscheiden, und wer Schwierigkeiten hat, greift auf eine kurze Notiz oder Zeichnung zurück
Um die Aufgabe zu lösen. Nach und nach sollten die Aufgaben durch Einführung schwieriger werden
zusätzliche Daten (zum Beispiel: „Im ersten Stück waren es 16 m Materie und im zweiten
2 mal weniger.“) oder indem Sie eine Frage stellen (zum Beispiel: „Wie viele Meter
Gab es im ersten Stück mehr Materie als im zweiten?).
Wenn Sie sich mit der Lösung des Problems der unverhältnismäßigen Teilung vertraut gemacht haben, können Sie loslegen
anders ausgedrückt: Zuerst vorgefertigte Probleme lösen und später ausführen
Transformation des Problems, das vierte Verhältnis zum Problem zu finden
proportionale Division und vergleichen Sie nach deren Lösung sowohl die Aufgaben selbst als auch
ihre Entscheidungen.
Die Verallgemeinerung der Fähigkeit, Probleme der betrachteten Art zu lösen, wird durch Übungen unterstützt
kreative Natur. Nennen wir einige davon.
Vor der Lösung ist es sinnvoll zu fragen, welche Fragen des Problems in der Antwort beantwortet werden.
größere Anzahl und warum, und nach der Entscheidung zu prüfen, ob ich dieser Art entspreche
die resultierenden Zahlen, die eine der Möglichkeiten zur Überprüfung der Lösung darstellen. Kann weiter sein
Finden Sie heraus, ob und unter welchen Bedingungen die gleichen Zahlen in der Antwort erhalten werden konnten.
Nützliche Übungen zur Vorbereitung von Problemen durch Studierende und deren anschließende Lösung,
sowie Aufgabentransformationsübungen. Es ist zunächst einmal die Zusammenstellung
ähnliche Aufgaben wie gelöst. Nachdem wir also das Problem mit den Mengen gelöst haben: Preis,
Menge und Kosten - schlagen Sie vor, ein ähnliches Problem zusammenzustellen und zu lösen
mit den gleichen Größen oder mit anderen, wie Geschwindigkeit, Zeit und Distanz.
Dabei handelt es sich um die Zusammenstellung von Aufgaben entsprechend ihrer Lösung, die einzeln geschrieben werden
Handlungen und in Form eines Ausdrucks ist dies die Zusammenstellung und Lösung von Problemen entsprechend ihrer
kurze schematische Notation
1 Weg:
X \u003d 15 * 30 / 8 \u003d 56 Rubel 25 Kopeken
2-Wege: Die Stoffmenge wird um das 15/8-fache erhöht, was bedeutet, dass das Geld 15/8-mal mehr ausgezahlt wird
X = 30 * 15/8 = 56 Rubel 25 Kopeken
2. Ein gewisser Herr rief einen Zimmermann und befahl den Bau des Hofes. Er gab ihm 20 Arbeiter und fragte, wie viele Tage sie für ihn einen Garten bauen würden. Der Zimmermann antwortete: in 30 Tagen. Und der Meister muss in 5 Tagen bauen, und dafür fragte er den Zimmermann: Wie viele Leute brauchen Sie, damit Sie mit ihnen in 5 Tagen einen Hof bauen können; Und der Zimmermann fragt Sie, den Arithmetiker, verwirrt: Wie viele Leute muss er einstellen, um in 5 Tagen einen Garten zu bauen?
Eine unvollendete kurze Bedingung wird an die Tafel geschrieben:
Ich wähle: Proportion
Option II: ohne Proportionen
ICH. 
II. X \u003d 20 * 6 \u003d 120 Arbeiter
3. Sie nahmen 560 Soldaten Lebensmittel für 7 Monate mit, und ihnen wurde befohlen, 10 Monate lang im Dienst zu sein, und sie wollten sich selbst Leute wegnehmen, damit es genug Essen für 10 Monate gab. Die Frage ist, wie viele Personen sollten reduziert werden?
Alte Aufgabe.
Lösen Sie dieses Problem ohne Proportionen:
(Die Anzahl der Monate erhöht sich um einen Faktor, was bedeutet, dass die Anzahl der Soldaten um einen Faktor abnimmt.
560 - 392 = 168 (Soldaten müssen reduziert werden)
In der Antike gab es zur Lösung vieler Arten von Problemen spezielle Regeln für deren Lösung. Die uns bekannten Probleme der direkten und umgekehrten Proportionalität, bei denen es darum geht, den vierten mal drei Wert zweier Größen zu finden, wurden Probleme für die „Dreifachregel“ genannt.
Wenn für drei Werte fünf Werte angegeben wurden und der sechste gefunden werden musste, wurde die Regel „fünf“ genannt. Ebenso gab es für die vier Größen eine „Siebenerregel“. Aufgaben zur Anwendung dieser Regeln wurden auch Aufgaben zur „komplexen Dreierregel“ genannt.
4.
Drei Hennen haben in 3 Tagen 3 Eier gelegt. Wie viele Eier legen 12 Hennen in 12 Tagen?
| Hühner | Tage | Eier |
| 3 | 3 | 3 |
| 12 | 12 | X |
Muss herausfinden:
Wie oft ist die Anzahl der Hühner gestiegen? (4 Mal)
Wie veränderte sich die Anzahl der Eier, wenn sich die Anzahl der Tage nicht änderte? (4-fach erhöht)
Wie oft hat sich die Anzahl der Tage erhöht? (4 Mal)
Wie hat sich die Anzahl der Eier verändert? (4-fach erhöht)
X = 3 * 4 * 4 = 48 (Eier)
5
. Wenn ein Schreiber in 8 Tagen 15 Blätter schreiben kann, wie viele Schreiber braucht man dann, um in 9 Tagen 405 Blätter zu schreiben?
(Die Zahl der Schreiber nimmt mit der Zunahme der Blätter zeitweise zu und ab
Aus der Zunahme der Arbeitstage 
(Schriftgelehrte)).
Betrachten Sie ein komplexeres Problem mit vier Größen.
6.
Für die Beleuchtung von 18 Räumen wurden in 48 Tagen 120 Tonnen Kerosin verbraucht und in jedem Raum brannten 4 Lampen. Wie viele Tage reichen 125 Pfund Kerosin, wenn 20 Räume beleuchtet sind und in jedem Raum 3 Lampen leuchten?
Die Anzahl der Tage, an denen Kerosin verwendet wird, erhöht sich mit zunehmender Kerosinmenge
Zeiten und von der Reduzierung der Lampen auf die Hälfte.
Die Anzahl der Tage, an denen Kerosin verwendet wird, nimmt mit zunehmender Anzahl an Räumen ab 20 mal.
X = 48 * * : = 60 (Tage)
Schließlich ist X = 60. Das bedeutet, dass 125 Pfund Kerosin für 60 Tage reichen.
Abschluss
Das im Rahmen der modularen Bildung entwickelte methodische System zur Untersuchung funktionaler Abhängigkeit in der Grundschule ist eine Integrität, die sich aus dem Verhältnis der Hauptkomponenten (zielgerichtet, inhaltlich, organisatorisch, technologisch, diagnostisch) und Prinzipien (Modularität, bewusste Perspektive, Offenheit, Ausrichtung der Ausbildung auf die Persönlichkeitsentwicklung des Studierenden, Vielseitigkeit der methodischen Beratung).
Der modulare Ansatz ist ein Mittel zur Verbesserung des Prozesses des Studiums der funktionalen Abhängigkeit bei Grundschülern, der es den Schülern ermöglicht, das System des funktionalen Wissens und der Handlungsmethoden sowie der praktischen (operativen) Fähigkeiten zu beherrschen; der Lehrer - ihr mathematisches Denken auf der Grundlage von Funktionsmaterial zu entwickeln, die Unabhängigkeit beim Lernen zu fördern.
Die methodische Unterstützung des Prozesses des Lernens von Funktionen in der Grundschule basiert auf modularen Programmen, die die Grundlage für die Hervorhebung grundlegender Muster bilden, die für das Verständnis des Themas, die erfolgreiche und vollständige Aufnahme der Inhalte des Unterrichtsmaterials usw. erforderlich sind der Erwerb fundierter Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten durch Studierende.
Literaturverzeichnis.
Demidova T. E., Tonkikh A. P., Theorie und Praxis der Lösung von Textproblemen: Proc. Zuschuss für Studierende. höher Päd. Lehrbuch Betriebe. - M.: Verlagszentrum „Akademie“, 2002. -288 S.
Fridman L. M. Mathematik: Lehrbuch für Lehrer und Studierende pädagogischer Universitäten und Hochschulen. - M.: Schulpresse, 2002. - 208s.
Stoilova L.P., Pyshkalo A.M. Grundlagen des Grundkurses Mathematik: Proc. Zuschuss für Studierende päd. uch - du laut Sonderangebot. „Der Unterricht in den ersten Klassen ist Allgemeinbildung. Schule" - M.: Aufklärung, 1998. - 320er.
Stoilova L.P. Mathematik: Lehrbuch für Studenten. höher Päd. Lehrbuch Betriebe. - M.: Verlagszentrum "Akakdemiya", 1999. - 424 S.
Pekhletsky I. D. Mathematik: Lehrbuch. - 2. stereotype Auflage - M.: Verlagszentrum „Akademie“; Meisterschaft, 2002. – 304 S.
Kryuchkova V. V. Arbeiten an Problemen mit Proportionalwerten im Entwicklungsmodus: Methodischer Leitfaden für Lehrer am Anfang. Klassen: Teil 2 / Rjasaner Regionalinstitut für Bildungsentwicklung. Rjasan, 1996. - 75er.
Padun T. A. Nicht standardmäßige Aufgaben im Rahmen der Elementarmathematik: Methodisch. Empfohlen Um Grundschullehrern / Ryaz zu helfen. Region in - t Entwicklung der Bildung. - Rjasan, 2003 - 85er Jahre.
Glaser G. I. Geschichte der Mathematik in der Schule: IX - X Zellen. Ein Leitfaden für Lehrer. - M.: Aufklärung, 1983. - 351 S., mit Abb.
Dorofeev G.V. Humanitär orientierter Studiengang – Grundlage des Faches „Mathematik“ an einer allgemeinbildenden Schule // Mathematik in der Schule. - 1997. - Nr. 4. - S.59-66, S. 59.
Aktuelle Probleme der Methoden des Mathematikunterrichts in Grundschulklassen. / Ed. M.I. Moro, A.M. Pyshkalo. - M.: Pädagogik, 1977. - 262 S.
Bantova M.A., Beltyukova G.V. Methoden des Mathematikunterrichts in der Grundschule. - M.: Pädagogik, 1984. - 301 S.
Davydov V.V. Mathematik, Klasse 3: Ein Lehrbuch für eine 4-jährige Grundschule. - M.: Verlagszentrum "Academy", 1998. - 212 S.
Moro M.I. und andere. Mathematik: Ein Lehrbuch für die 3. Klasse einer dreijährigen Grundschule und die 4. Klasse einer vierjährigen Grundschule. / Ed. Kalyagina Yu.M. - M.: Aufklärung, 1997. - 240 S.
Peterson L.G. Mathematik, 3. Klasse. Kapitel 1, 2. Lehrbuch für die 4-jährige Grundschule. - M.: Balass, 2001.
Dabei handelt es sich um eine Entsprechung, bei der jedem Element x aus der Menge D nach einer Regel eine bestimmte Zahl y zugeordnet ist, abhängig von x. Notation: y = f(x) x y Unabhängige Variable oder argumentabhängige Variable oder Funktionswert D(f) E(f) Bereich der Funktion Bereich der Funktion Numerische Funktion mit Bereich D
Gleichmäßigkeit einer Funktion Eine Funktion y=f(x) wird auch dann aufgerufen, wenn für jeden Wert x aus dem Definitionsbereich die Gleichheit f(-x)=f(x) gilt. Die Funktion y=f(x) heißt ungerade, wenn für jeden Wert x aus dem Definitionsbereich die Gleichheit f(-x)=-f(x) gilt.
Monotonie der Funktion (Zunahme und Abnahme der Funktion) Die Funktion y \u003d f (x) heißt ansteigend auf der Menge X є D (f), wenn für beliebige Punkte x 1 und x 2 der Menge X gilt, dass x 1 f (x 2) f (x 2)">
So zeichnen Sie eine periodische Funktion grafisch auf: Wenn die Funktion y \u003d f (x) eine Periode T hat, müssen Sie zum Zeichnen des Funktionsgraphen zunächst einen Zweig (Welle, Teil) des Graphen in einem beliebigen Intervall der Länge T und zeichnen Verschieben Sie dann diesen Zweig entlang der x-Achse nach rechts und links um T, 2T, 3T usw.
Beschränktheit einer Funktion Eine Funktion y=f(x) heißt von unten auf die Menge X beschränkt є D(f), wenn alle Werte dieser Funktion auf der Menge X größer als eine bestimmte Zahl sind. (das heißt, wenn es eine Zahl m gibt, so dass für jeden Wert x є X die folgende Ungleichung gilt: f (x) > m. Die Funktion y \u003d f (x) heißt von oben auf der Menge D (f) wenn alle Werte dieser Funktion auf der Menge X kleiner als eine bestimmte Zahl sind (d. h. wenn es eine Zahl M gibt, so dass für jeden Wert x є =f(x) heißt von oben begrenzt auf der Menge X є D(f), wenn alle Werte dieser Funktion auf der Menge x є X gilt folgende Ungleichung: f(x)
Der größte und kleinste Wert der Funktion Die Zahl m heißt der kleinste Wert der Funktion y \u003d f (x) auf der Menge X є D (f), wenn: 1) es einen Punkt x o є X gibt, so dass f (х o) \u003d m; 2) Für jeden Wert x є X ist die Ungleichung f(x)f(x o) erfüllt. Die Zahl M heißt der größte Wert der Funktion y=f(x) auf der Menge X є D(f), wenn: dass f(х o)=M; 2) Für jeden Wert x є X gilt die Ungleichung f (x) f (x o)
Konvexität einer Funktion Eine Funktion ist auf dem Intervall X mit Dif) nach oben konvex, wenn wir durch die Verbindung zweier beliebiger Punkte ihres Graphen mit den Abszissen von Man geht davon aus, dass eine Funktion im Intervall X mit D(f) nach unten konvex ist, wenn wir durch die Verbindung zweier beliebiger Punkte ihres Graphen mit den Abszissen von Segment
Stetigkeit der Funktion Die Stetigkeit der Funktion auf dem Intervall X bedeutet, dass der Graph der Funktion auf diesem Intervall keine Bruchpunkte hat (d. h. es ist eine durchgezogene Linie). Kommentar. Tatsächlich kann man nur dann von der Stetigkeit einer Funktion sprechen, wenn bewiesen ist, dass die Funktion stetig ist. Aber die entsprechende Definition ist komplex und übersteigt noch unsere Kräfte (wir werden sie später in § 26 geben). Das Gleiche gilt für das Konzept der Konvexität. Daher werden wir bei der Diskussion dieser beiden Eigenschaften von Funktionen vorerst weiterhin auf visuell-intuitive Darstellungen zurückgreifen.
Extremumpunkte und Funktionsextremum. Die Maximal- und Minimalpunkte einer Funktion werden als Extrempunkte der Funktion bezeichnet. Definition. Der Punkt x 0 heißt Minimalpunkt der Funktion f, wenn für alle x aus einer Umgebung x 0 die Ungleichung f(x) f(x 0) erfüllt ist. Definition. Der Punkt x 0 heißt Maximalpunkt der Funktion f, wenn für alle x aus einer Umgebung x 0 die Ungleichung f(x) f(x 0) erfüllt ist.
Schema zur Untersuchung der Funktion 1 – Definitionsbereich 2 – gerade (ungerade) 3 – am wenigsten positive Periode 4 – Intervalle der Zunahme und Abnahme 5 – Punkte der Extrema und Extrema der Funktion 6 – Beschränktheit der Funktion 7 – Kontinuität der Funktion 8 – der größte und kleinste Wert der Funktion. 9 – Wertebereich. 10 – Konvexität der Funktion
Numerische Funktion eine solche Korrespondenz zwischen einer Zahlenmenge heißt X und viele R reelle Zahlen, bei denen jede Zahl aus der Menge X Entspricht einer einzelnen Zahl aus einer Menge R. Ein Haufen X angerufen Funktionsumfang
. Funktionen werden mit Buchstaben bezeichnet f, g, h usw. Wenn F ist eine auf der Menge definierte Funktion X, dann die reelle Zahl ja, entsprechend der Nummer X ihre Menge X, oft bezeichnet f(x) und schreibe
y = f(x). Variable X heißt Argument. Die Zahlenmenge des Formulars f(x) angerufen Funktionsumfang
Eine Funktion wird mithilfe einer Formel definiert. Zum Beispiel , y = 2X - 2. Wenn bei der Definition einer Funktion mithilfe einer Formel der Definitionsbereich nicht angegeben wird, wird davon ausgegangen, dass der Gültigkeitsbereich der Funktion der Definitionsbereich des Ausdrucks ist f(x).
1. Die Funktion wird aufgerufen eintönig auf einem bestimmten Intervall A, wenn es in diesem Intervall zunimmt oder abnimmt
2. Die Funktion wird aufgerufen zunehmend auf einem Intervall A, wenn für beliebige Zahlen in ihrer Menge A die folgende Bedingung erfüllt ist: .
Der Graph einer steigenden Funktion weist eine Besonderheit auf: beim Bewegen entlang der Abszissenachse von links nach rechts entlang des Intervalls A die Ordinaten der Diagrammpunkte steigen an (Abb. 4).
3. Die Funktion wird aufgerufen abnehmend in einem gewissen Abstand A, wenn für irgendwelche Zahlen ihre Mengen A Bedingung ist erfüllt: .
Der Graph einer abnehmenden Funktion weist eine Besonderheit auf: beim Bewegen entlang der Abszissenachse von links nach rechts entlang des Intervalls A die Ordinaten der Diagrammpunkte nehmen ab (Abb. 4).
4. Die Funktion wird aufgerufen sogar
auf irgendeinem Set X, wenn die Bedingung erfüllt ist: 
.
Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch um die y-Achse (Abb. 2).
5. Die Funktion wird aufgerufen seltsam
auf irgendeinem Set X, wenn die Bedingung erfüllt ist: 
.
Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung (Abb. 2).
6. Wenn Funktion y = f(x)
f(x) f(x), dann sagen wir, dass die Funktion y = f(x) akzeptiert kleinster Wert
bei =f(x) bei X= X(Abb. 2, die Funktion nimmt den kleinsten Wert am Punkt mit den Koordinaten (0;0) an).
7. Wenn Funktion y = f(x) ist auf der Menge X definiert und es existiert so, dass für jede Ungleichung gilt f(x) f(x), dann sagen wir, dass die Funktion y = f(x) akzeptiert Höchster Wert bei =f(x) bei X= X(Abb. 4, die Funktion hat nicht den größten und kleinsten Wert) .
Wenn für diese Funktion y = f(x) Alle aufgelisteten Eigenschaften werden untersucht, dann sagen sie das Studie Funktionen.
Grenzen.
Die Zahl A wird als Grenzwert von f-ii bezeichnet, da x gegen ∞ tendiert, wenn für jedes E>0 ein δ (E)>0 existiert, so dass für alle x die Ungleichung |x|>δ die Ungleichung |F(x) erfüllt )-A| Die Zahl A wird Grenzwert der Funktion genannt, da X gegen X 0 tendiert, wenn für jedes E>0 δ (E)>0 existiert, sodass für alle<δ выполняется неравенство |F(x)-A| EINSEITIGE GRENZEN. Bei der Bestimmung des Grenzwertes geht davon aus, dass X in beliebiger Weise, also von jeder Seite, gegen X0 tendiert. Wenn X gegen X0 tendiert, also immer kleiner als X0 ist, dann wird der Grenzwert als Grenzwert am linken Punkt X0 bezeichnet. Oder linke Grenze. Die rechte Grenze wird ähnlich definiert. Abschnitte:
Mathematik Klasse:
9
Unterrichtsart: Unterricht zur Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen. Ausrüstung: Der Zweck der Lektion wird angegeben. Hausaufgaben überprüfen 1. Frontale Umfrage. 2. Blitzumfrage: Markieren Sie an der Tafel die richtige Antwort im Test (Anhang 1, S. 2-3). Übungen machen. 1. Lösen Sie Nr. 358 (a). Lösen Sie grafisch die Gleichung: . 2. Karten (vier schwache Schüler entscheiden im Heft oder an der Tafel): 1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks: a) ; B) 2) Finden Sie den Definitionsbereich von Funktionen: a) ; b) y = . 3. Lösen Sie Nr. 358 (a). Lösen Sie grafisch die Gleichung: .
Ein Schüler löst das Problem an der Tafel, der Rest in einem Notizbuch. Bei Bedarf hilft der Lehrer dem Schüler. Mit dem Programm AutoGraph wurde auf dem interaktiven Whiteboard ein rechteckiges Koordinatensystem erstellt. Der Schüler zeichnet die entsprechenden Grafiken mit einem Marker, findet eine Lösung und schreibt die Antwort auf. Dann wird die Aufgabe überprüft: Über die Tastatur wird eine Formel eingegeben, und die Grafik muss mit der bereits im gleichen Koordinatensystem gezeichneten übereinstimmen. Die Abszisse des Schnittpunkts der Graphen ist die Wurzel der Gleichung. Lösung: Antwort: 8 Lösen Sie #360(a). Zeichnen und lesen Sie den Graphen der Funktion: Die Schüler lösen die Aufgabe selbstständig. Die Konstruktion des Diagramms wird mit dem AutoGraph-Programm überprüft, die Eigenschaften werden von einem Schüler an die Tafel geschrieben (Domäne, Wertebereich, Gleichmäßigkeit, Monotonie, Kontinuität, Nullen und konstantes Vorzeichen, die größten und kleinsten Werte der Funktion). ). Lösung: Eigenschaften: 1) D( F) = (-); E( F) = , erhöht sich um )
Während des Unterrichts
1. Organisatorischer Moment
Ich stufe den Unterricht ein
II. Stufe des Unterrichts
III. Stufe des Unterrichts
.
