Der Unterricht kann mit der Geschichte des Lehrers beginnen.

Vashchenko N.M., beim Unterricht

Im antiken Griechenland wurde allen Rednern Geometrie beigebracht. An der Tür der Schule stand geschrieben: "Wer die Geometrie nicht kennt, der soll hier nicht eintreten." Wieso den? Ja, denn die Geometrie lehrt zu beweisen. Die Rede einer Person ist nur dann überzeugend, wenn sie ihre Schlussfolgerungen beweist. In ihrer Argumentation verwenden die Leute oft die Beweismethode, die "durch Widerspruch" genannt wird.

Lassen Sie uns Beispiele für solche Beweise geben.

Beispiel 1 Die Späher hatten die Aufgabe, herauszufinden, ob sich in dem gegebenen Dorf eine feindliche Panzerkolonne befand. Der Aufklärungskommandant berichtet: Wenn es im Dorf eine Panzerkolonne gäbe, gäbe es Spuren von Raupen, aber wir haben sie nicht gefunden.

Begründungsschema. Es muss bewiesen werden: Es gibt keine Spalte. Angenommen, es gibt eine Spalte. Dann müssen Spuren vorhanden sein. Widerspruch - es gibt keine Spuren. Fazit: Die Annahme ist falsch, was bedeutet, dass es keine Tanksäule gibt.

Beispiel 2 Der Arzt sagt nach der Untersuchung eines kranken Kindes:

„Das Kind hat keine Masern. Wenn er Masern hätte, dann hätte er einen Ausschlag am Körper, aber es gibt keinen Ausschlag.“

Die Argumentation des Arztes erfolgte ebenfalls nach obigem Schema.

Es wird die Frage gestellt: „Was ist die Essenz der Beweismethode durch Widerspruch?“ - und eine Tabelle wird veröffentlicht (Tabelle 5).

Durch Widerspruch ist es möglich, bisher bekannte Probleme zu lösen.

1. Gegeben: a||b, Geraden c und a schneiden sich. Beweisen: Linien c und b schneiden sich.

Nachweisen.

1) Nehmen Sie an, dass b||c.

2) Dann stellt sich heraus, dass zwei verschiedene Geraden a und b durch den Punkt O (den Schnittpunkt der Geraden a und c) gehen, die parallel zur Geraden b verlaufen.

3) Dies widerspricht dem Axiom der parallelen Linien.

Fazit: Es bedeutet, dass unsere Annahme falsch ist, aber was bewiesen werden musste, ist wahr, d. h. dass sich die Linien bis schneiden.

2. Gegeben: A, B, C - Punkte der Linie a, AB = 5 cm, AC = 2 cm, BC = 7 cm. Beweisen:

Nachweisen.

1) Angenommen, Punkt C liegt zwischen den Punkten A und B.

2) Dann gemäß dem Axiom der Messung der Segmente AB = AC + CBA

3) Dies widerspricht der Bedingung: AB \u003d AC + CB, da AB \u003d 5 cm, AC + C5 \u003d 9 cm.

Fazit: Punkt C liegt nicht zwischen den Punkten A und B.

3. Gegeben: AB - Halblinie, C AB, AC< АВ. Beweisen:

Nachweisen.

1) Angenommen, Punkt B liegt zwischen den Punkten A und C.

2) Dann gilt nach dem Axiom der Messung der Segmente AB + BC = AC, also AB

3) Dies widerspricht der Bedingung des Problems: AS<АВ.

Fazit: Punkt B liegt nicht zwischen den Punkten A und C.

Problemlösung wird in Hefte geschrieben. Damit die Schüler das Wesentliche der Beweismethode durch Widerspruch lernen und beim Lösen von Problemen Zeit sparen, können Sie Hinweiskarten verwenden, die aus dickem Papier bestehen und in Plastiktüten eingelegt werden. Der Schüler muss die fehlenden Stellen auf der Plastikfolie ausfüllen. Die Tonbandaufzeichnungen lassen sich leicht löschen, und daher können die Karten wiederholt verwendet werden.

Die Karte sieht so aus:

Nehmen Sie das Gegenteil von dem an, was bewiesen werden muss, d.h.

Daraus folgt die Annahme, dass (basierend auf ……

Wir bekommen einen Widerspruch.

Das bedeutet, dass unsere Annahme falsch ist, aber was bewiesen werden musste, ist wahr, d.h.

Hausaufgaben:

n. "Widerspruchsbeweis" § 2 zu den Worten: "Erklären wir das ...".

1. Beweisen Sie, dass wenn MN = 8 m, MK = 5 m, NK- 10 m, die Punkte M, N und K nicht auf einer Geraden liegen.

2. Beweisen Sie, dass wenn<(ab) = 100°, <(be) - 120°, то луч с не проходит между сторонами угла (ab).

3. Beweisen Sie Satz 1.1 durch Widerspruch.

Beim Beweis von Theoremen wird oft die Beweismethode verwendet. Gegenteil. Die Essenz dieser Methode hilft, das Rätsel zu verstehen. Versuchen Sie, es zu entwirren.

Stellen Sie sich ein Land vor, in dem ein zum Tode Verurteilter aufgefordert wird, eines von zwei identisch aussehenden Papieren auszuwählen: Auf dem einen steht „Tod“, auf dem anderen „Leben“. Feinde haben einen Einwohner dieses Landes verleumdet. Und damit er keine Chance hatte zu entkommen, machte man es so, dass auf der Rückseite der beiden Zettel, von denen er sich einen aussuchen musste, „Tod“ stand. Freunde erfuhren davon und informierten den Verurteilten. Er bat, niemandem davon zu erzählen. Zog eines der Papiere heraus. Und blieb, um zu leben. Wie hat er das gemacht?

Antworten. Der Sträfling schluckte das Stück Papier, das er auswählte. Um festzustellen, welches Los auf ihn fiel, untersuchten die Richter das verbleibende Stück Papier. Darauf stand geschrieben: „Tod“. Dies bewies, dass er Glück hatte, er zog ein Stück Papier heraus, auf dem geschrieben stand: "Leben".

Wie in dem Fall, von dem das Rätsel spricht, sind während des Beweises nur zwei Fälle möglich: es ist möglich ... oder es ist unmöglich ... Wenn Sie sicherstellen können, dass der erste unmöglich ist (auf dem Zettel, auf dem die Richter bekamen, es steht geschrieben: „Tod“), dann können wir sofort schlussfolgern, dass die zweite Möglichkeit gültig ist (auf dem zweiten Zettel steht geschrieben: „Leben“).

Der Widerspruchsbeweis wird wie folgt geführt.

1) Legen Sie fest, welche Möglichkeiten prinzipiell möglich sind, ein Problem zu lösen oder einen Satz zu beweisen. Es kann zwei Möglichkeiten geben (z. B. ob die betrachteten Linien senkrecht sind oder nicht); Es kann drei oder mehr Antwortmöglichkeiten geben (z. B. welcher Winkel erhalten wird: spitz, gerade oder stumpf).

2) Beweisen. Dass keine der Optionen, die wir ablehnen müssen, ausgeführt werden kann. (Wenn es beispielsweise notwendig ist zu beweisen, dass die Linien senkrecht sind, schauen wir uns an, was passiert, wenn wir nicht senkrechte Linien betrachten. In der Regel kann man feststellen, dass in diesem Fall jede der Schlussfolgerungen dem Gegebenen widerspricht in der Bedingung und ist daher unmöglich.

3) Aufgrund der Tatsache, dass alle unerwünschten Schlussfolgerungen verworfen werden und nur eine (wünschenswerte) unberücksichtigt bleibt, schließen wir, dass er der Richtige ist.

Lösen wir das Problem mit dem Beweis durch Widerspruch.

Gegeben: Die Linien a und b sind so, dass jede Linie, die a schneidet, auch b schneidet.

Beweisen Sie unter Verwendung der Beweismethode „durch Widerspruch“, dass a ll b.

Nachweisen.

Es sind nur zwei Fälle möglich:

1) Linien a und b sind parallel (Leben);

2) Linien a und b sind nicht parallel (Tod).

Kann der unerwünschte Fall ausgeschlossen werden, bleibt der Schluss, dass der zweite der beiden möglichen Fälle eintritt. Um den unerwünschten Fall zu verwerfen, denken wir darüber nach, was passiert, wenn sich die Linien a und b schneiden:

Nach Annahme schneidet jede Gerade, die a schneidet, auch b. Wenn es also möglich ist, mindestens eine Linie zu finden, die a, aber nicht b schneidet, muss dieser Fall verworfen werden. Sie können beliebig viele solcher Linien finden: Es reicht aus, durch jeden Punkt K der Linie a, mit Ausnahme des Punktes M, die Linie KS parallel zu b zu ziehen:

Da einer der beiden möglichen Fälle verworfen wird, kann man sofort schließen Was für ein b.

Haben Sie irgendwelche Fragen? Sie wissen nicht, wie man einen Satz beweist?
Um Hilfe von einem Tutor zu bekommen -.
Die erste Lektion ist kostenlos!

blog.site, mit vollständigem oder teilweisem Kopieren des Materials, ist ein Link zur Quelle erforderlich.

Der Beweis „aus dem Gegenteil“ (lat. „reductio ad absurdum“) zeichnet sich dadurch aus, dass der eigentliche Prozess der Beweisführung einer Meinung durch die Widerlegung des gegenteiligen Urteils vollzogen wird. Eine Antithese kann als falsch bewiesen werden, indem festgestellt wird, dass sie mit einer wahren Aussage unvereinbar ist.

Üblicherweise wird ein solches Verfahren anhand einer Formel visuell demonstriert, wobei A die Antithese und B die Wahrheit ist. Wenn sich herausstellt, dass das Vorhandensein von Variable A zu anderen Ergebnissen als B führt, dann ist A als falsch erwiesen.

Beweis "durch Widerspruch" ohne Verwendung von Wahrheit

Es gibt auch einen einfacheren Beweis für die Falschheit des "Gegenteils" - die Antithese. Eine solche Formelregel besagt: „Wenn beim Lösen mit der Variablen A ein Widerspruch in der Formel auftrat, ist A falsch.“ Dabei spielt es keine Rolle, ob die Antithese negativ oder positiv ist. Außerdem enthält eine einfachere Art des Beweises durch Widerspruch nur zwei Tatsachen: die These und die Antithese, Wahrheit B wird nicht verwendet. Dies vereinfacht den Beweisprozess erheblich.

Apagog

Im Prozess des Beweisens durch Widerspruch (der auch „Reduktion auf Absurdität“ genannt wird) wird häufig Apagogie verwendet. Dies ist eine logische Technik, deren Zweck es ist, die Unrichtigkeit eines Urteils zu beweisen, damit ein Widerspruch direkt darin oder in den daraus entstehenden Konsequenzen aufgedeckt wird. Der Widerspruch kann in der Identität offensichtlich unterschiedlicher Objekte oder als Schlussfolgerungen ausgedrückt werden: Konjunktion oder Paare B und nicht B (wahr und nicht wahr).

Beweisannahme „durch Widerspruch“ wird häufig verwendet. In vielen Fällen ist es nicht möglich, die Unrichtigkeit eines Urteils auf andere Weise zu beweisen. Neben der Apagogie gibt es auch eine paradoxe Form des Widerspruchsbeweises. Diese Form wurde in Euklids „Elementen“ verwendet und stellt folgende Regel dar: A gilt als bewiesen, wenn es möglich ist, die „wahre Falschheit“ von A nachzuweisen.

Der Prozess des Beweises durch Widerspruch (auch indirekter und apagogischer Beweis genannt) ist also wie folgt. Es wird eine entgegengesetzte Meinung vertreten, aus dieser Antithese werden Konsequenzen gezogen, unter denen das Falsche gesucht wird. Sie finden Beweise dafür, dass es unter den Konsequenzen tatsächlich eine falsche gibt. Daraus wird geschlossen, dass die Antithese falsch ist, und da die Antithese falsch ist, folgt der logische Schluss, dass die Wahrheit in der These enthalten ist.

Das Explanatory Dictionary of Mathematical Terms definiert den Beweis durch Widerspruch eines Theorems, das dem inversen Theorem entgegengesetzt ist. „Beweis durch Widerspruch ist eine Methode zum Beweis eines Satzes (Satzes), die darin besteht, nicht den Satz selbst zu beweisen, sondern seinen äquivalenten (äquivalenten), entgegengesetzten inversen (umgekehrten) Satz. Der Beweis durch Widerspruch wird immer dann verwendet, wenn der direkte Satz schwer zu beweisen ist, die umgekehrte Umkehrung jedoch einfacher ist. Beim Beweis durch Widerspruch wird die Konklusion des Satzes durch seine Negation ersetzt, und durch Argumentation gelangt man zur Negation der Bedingung, d.h. zum Widerspruch, zum Gegenteil (dem Gegenteil des Gegebenen; diese Absurdität beweist den Satz.

Der Widerspruchsbeweis wird in der Mathematik sehr häufig verwendet. Der Widerspruchsbeweis beruht auf dem Gesetz des ausgeschlossenen Dritten, das darin besteht, dass von den beiden Aussagen (Aussagen) A und A (Negation von A) eine wahr und die andere falsch ist./ Erklärendes Wörterbuch mathematischer Begriffe: Ein Leitfaden für Lehrer / O. V. Manturov [und andere]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Aufklärung, 1965.- 539 S.: Abb.-C.112/.

Es wäre nicht besser, offen zu erklären, dass die Methode des Widerspruchsbeweises keine mathematische Methode ist, obwohl sie in der Mathematik verwendet wird, dass sie eine logische Methode ist und zur Logik gehört. Ist es gültig zu sagen, dass der Widerspruchsbeweis "verwendet wird, wenn ein direkter Satz schwer zu beweisen ist", obwohl er tatsächlich nur dann verwendet wird, wenn es keinen Ersatz dafür gibt?

Besondere Aufmerksamkeit verdient auch die Charakteristik der Beziehung zwischen direktem und inversem Satz. „Ein Umkehrsatz zu einem gegebenen Satz (oder zu einem gegebenen Satz) ist ein Satz, bei dem die Bedingung die Konklusion und die Konklusion die Bedingung des gegebenen Theorems ist. Dieser Satz in Bezug auf den umgekehrten Satz wird als direkter Satz (Anfangssatz) bezeichnet. Gleichzeitig wird der umgekehrte Satz zum umgekehrten Satz der gegebene Satz sein; Daher werden der direkte und der inverse Satz als gegenseitig invers bezeichnet. Wenn der direkte (gegebene) Satz wahr ist, dann ist der umgekehrte Satz nicht immer wahr. Wenn zum Beispiel ein Viereck eine Raute ist, dann stehen seine Diagonalen senkrecht aufeinander (direkter Satz). Wenn die Diagonalen in einem Viereck senkrecht zueinander stehen, dann ist das Viereck eine Raute – das ist nicht wahr, d.h. der Umkehrsatz gilt nicht./ Erklärendes Wörterbuch mathematischer Begriffe: Ein Leitfaden für Lehrer / O. V. Manturov [und andere]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Aufklärung, 1965.- 539 S.: Abb.-C.261 /.

Diese Charakterisierung des Verhältnisses zwischen direktem und inversem Theorem berücksichtigt nicht, dass die Bedingung des direkten Theorems ohne Beweis als gegeben angenommen wird, so dass seine Richtigkeit nicht garantiert ist. Die Bedingung des Umkehrsatzes wird nicht als gegeben angenommen, da sie die Schlussfolgerung des bewiesenen direkten Satzes ist. Seine Richtigkeit wird durch den Beweis des direkten Satzes bestätigt. Dieser wesentliche logische Unterschied zwischen den Bedingungen des direkten und des inversen Satzes erweist sich als entscheidend bei der Frage, welche Sätze mit der logischen Methode vom Gegenteil bewiesen werden können und welche nicht.

Nehmen wir an, es sei ein direkter Satz im Sinn, der mit der üblichen mathematischen Methode bewiesen werden kann, aber schwierig ist. Wir formulieren es in allgemeiner Form in Kurzform wie folgt: aus ABER sollte E . Symbol ABER hat den Wert der gegebenen Bedingung des Satzes, akzeptiert ohne Beweis. Symbol E ist die Schlussfolgerung des zu beweisenden Satzes.

Wir werden den direkten Satz durch Widerspruch beweisen, logisch Methode. Die logische Methode beweist einen Satz, der gilt nicht mathematisch Zustand und logisch Bedingung. Es kann erhalten werden, wenn die mathematische Bedingung des Satzes aus ABER sollte E , ergänzen Sie mit der entgegengesetzten Bedingung aus ABER es folgt nicht E .

Als Ergebnis wurde eine logisch widersprüchliche Bedingung des neuen Theorems erhalten, die zwei Teile umfasst: aus ABER sollte E und aus ABER es folgt nicht E . Die resultierende Bedingung des neuen Satzes entspricht dem logischen Gesetz der ausgeschlossenen Mitte und entspricht dem Beweis des Satzes durch Widerspruch.

Nach dem Gesetz ist ein Teil der widersprüchlichen Bedingung falsch, ein anderer Teil wahr und der dritte ausgeschlossen. Der Widerspruchsbeweis hat seine eigene Aufgabe und sein Ziel, genau festzustellen, welcher Teil der beiden Teile der Bedingung des Theorems falsch ist. Sobald der falsche Teil der Bedingung bestimmt ist, wird festgestellt, dass der andere Teil der wahre Teil ist, und der dritte wird ausgeschlossen.

Laut dem erklärenden Wörterbuch der mathematischen Begriffe, "Beweis ist Argumentation, bei der die Wahrheit oder Falschheit einer Aussage (Urteil, Aussage, Theorem) festgestellt wird". Nachweisen Gegenteil es findet eine Diskussion statt, in deren Verlauf sie hergestellt wird Falschheit(Absurdität) der Schlussfolgerung, die aus folgt FALSCH Bedingungen des zu beweisenden Theorems.

Gegeben: aus ABER sollte E und von ABER es folgt nicht E .

Beweisen: aus ABER sollte E .

Nachweisen: Die logische Bedingung des Satzes enthält einen Widerspruch, der seiner Auflösung bedarf. Der Widerspruch der Bedingung muss im Beweis und seinem Ergebnis seine Auflösung finden. Das Ergebnis erweist sich als falsch, wenn die Argumentation fehlerfrei und unfehlbar ist. Der Grund für einen falschen Schluss mit logisch richtiger Begründung kann nur eine widersprüchliche Bedingung sein: aus ABER sollte E und aus ABER es folgt nicht E .

Es besteht kein Zweifel, dass ein Teil der Bedingung falsch und der andere in diesem Fall wahr ist. Beide Teile der Bedingung haben den gleichen Ursprung, werden als gegeben angenommen, vorausgesetzt, gleichermaßen möglich, gleichermaßen zulässig usw. Im Laufe des logischen Denkens wurde kein einziges logisches Merkmal gefunden, das einen Teil der Bedingung von der unterscheiden würde Sonstiges. Daher in gleichem Maße aus ABER sollte E und vielleicht aus ABER es folgt nicht E . Aussage aus ABER sollte E kann sein FALSCH, dann die Aussage aus ABER es folgt nicht E wird wahr sein. Aussage aus ABER es folgt nicht E kann falsch sein, dann ist die Aussage aus ABER sollte E wird wahr sein.

Daher ist es unmöglich, den direkten Satz durch die Widerspruchsmethode zu beweisen.

Nun werden wir denselben direkten Satz mit der üblichen mathematischen Methode beweisen.

Gegeben: ABER .

Beweisen: aus ABER sollte E .

Nachweisen.

1. Aus ABER sollte B

2. Aus B sollte BEI (nach dem zuvor bewiesenen Theorem)).

3. Aus BEI sollte G (nach dem zuvor bewiesenen Satz).

4. Aus G sollte D (nach dem zuvor bewiesenen Satz).

5. Aus D sollte E (nach dem zuvor bewiesenen Satz).

Basierend auf dem Transitivitätsgesetz aus ABER sollte E . Der direkte Satz wird mit der üblichen Methode bewiesen.

Der bewiesene direkte Satz habe einen korrekten Umkehrsatz: aus E sollte ABER .

Lassen Sie uns es durch gewöhnlich beweisen mathematisch Methode. Der Beweis des Umkehrsatzes kann in symbolischer Form als Algorithmus mathematischer Operationen ausgedrückt werden.

Gegeben: E

Beweisen: aus E sollte ABER .

Nachweisen.

!. Aus E sollte D

1. Aus D sollte G (nach dem zuvor bewiesenen Umkehrsatz).

2. Aus G sollte BEI (nach dem zuvor bewiesenen Umkehrsatz).

3. Aus BEI es folgt nicht B (Die Umkehrung gilt nicht). Deshalb aus B es folgt nicht ABER .

In dieser Situation macht es keinen Sinn, den mathematischen Beweis des Umkehrsatzes fortzusetzen. Der Grund für die Situation ist logisch. Es ist unmöglich, einen falschen Umkehrsatz durch irgendetwas zu ersetzen. Daher kann dieser Umkehrsatz nicht mit der üblichen mathematischen Methode bewiesen werden. Alle Hoffnung besteht darin, diesen Umkehrsatz durch Widerspruch zu beweisen.

Um es durch Widerspruch zu beweisen, muss seine mathematische Bedingung durch eine logische widersprüchliche Bedingung ersetzt werden, die in ihrer Bedeutung zwei Teile enthält - falsch und wahr.

Umkehrsatz Ansprüche: aus E es folgt nicht ABER . Ihr Zustand E , woraus die Schlussfolgerung folgt ABER , ist das Ergebnis des Beweises des direkten Satzes durch die übliche mathematische Methode. Diese Bedingung ist beizubehalten und mit der Erklärung zu ergänzen aus E sollte ABER . Als Ergebnis der Addition erhält man eine widersprüchliche Bedingung des neuen Umkehrsatzes: aus E sollte ABER und aus E es folgt nicht ABER . Basierend auf logisch widersprüchliche Bedingung kann der Umkehrsatz durch die richtige bewiesen werden logisch nur Argumentation, und nur, logisch entgegengesetzte Methode. Beim Widerspruchsbeweis sind alle mathematischen Aktionen und Operationen den logischen untergeordnet und zählen daher nicht.

Im ersten Teil der widersprüchlichen Aussage aus E sollte ABER Bedingung E wurde durch den Beweis des direkten Satzes bewiesen. Im zweiten Teil aus E es folgt nicht ABER Bedingung E wurde ohne Beweis angenommen und akzeptiert. Einer von ihnen ist falsch und der andere ist wahr. Welche davon falsch ist, muss bewiesen werden.

Wir beweisen mit dem Richtigen logisch Argumentation und stellen fest, dass das Ergebnis eine falsche, absurde Schlussfolgerung ist. Der Grund für eine falsche logische Schlussfolgerung ist die widersprüchliche logische Bedingung des Satzes, der zwei Teile enthält - falsch und wahr. Der falsche Teil kann nur eine Aussage sein aus E es folgt nicht ABER , indem E ohne Nachweis angenommen. Das unterscheidet es von E Aussagen aus E sollte ABER , was durch den Beweis des direkten Satzes bewiesen ist.

Daher gilt die Aussage: aus E sollte ABER , was zu beweisen war.

Fazit: Nur der umgekehrte Satz wird durch die logische Methode aus dem Gegenteil bewiesen, für das ein direkter Satz durch die mathematische Methode bewiesen ist und der durch die mathematische Methode nicht bewiesen werden kann.

Der erhaltene Schluß gewinnt eine außerordentliche Bedeutung in bezug auf die Methode des Widerspruchsbeweises des großen Satzes von Fermat. Die überwiegende Mehrheit der Beweisversuche basiert nicht auf der üblichen mathematischen Methode, sondern auf der logischen Methode des Widerspruchsbeweises. Der Beweis des Großen Satzes von Fermat Wiles ist da keine Ausnahme.

Mit anderen Worten, Gerhard Frey schlug vor, dass die Gleichung von Fermats letztem Satz x n + y n = z n , wo n > 2 , hat Lösungen in positiven ganzen Zahlen. Dieselben Lösungen sind nach Freys Annahme die Lösungen seiner Gleichung
y 2 + x (x - ein n) (y + b n) = 0 , die durch ihre elliptische Kurve gegeben ist.

Andrew Wiles akzeptierte diese bemerkenswerte Entdeckung von Frey und, mit ihrer Hilfe, durch mathematisch Methode bewies, dass dieser Befund, also die elliptische Kurve von Frey, nicht existiert. Daher gibt es keine Gleichung und ihre Lösungen, die durch eine nicht existierende elliptische Kurve gegeben sind.Deshalb hätte Wiles schlussfolgern müssen, dass es keine Gleichung des letzten Satzes von Fermat und des Satzes von Fermat selbst gibt. Er zieht jedoch den bescheideneren Schluss, dass die Gleichung von Fermats letztem Satz keine Lösungen in positiven ganzen Zahlen hat.

Es mag eine unbestreitbare Tatsache sein, dass Wiles eine Annahme angenommen hat, deren Bedeutung genau der entgegengesetzt ist, die von Fermats letztem Satz angegeben wird. Es verpflichtet Wiles, den letzten Satz von Fermat durch Widerspruch zu beweisen. Lassen Sie uns seinem Beispiel folgen und sehen, was aus diesem Beispiel passiert.

Der letzte Satz von Fermat besagt, dass die Gleichung x n + y n = z n , wo n > 2

Nach der logischen Methode des Widerspruchsbeweises wird diese Aussage beibehalten, ohne Beweis als gegeben hingenommen und dann um eine Aussage mit entgegengesetzter Bedeutung ergänzt: die Gleichung x n + y n = z n , wo n > 2 , hat Lösungen in positiven ganzen Zahlen.

Die hypothetische Aussage wird auch ohne Beweis als gegeben akzeptiert. Beide Aussagen sind, vom Standpunkt der Grundgesetze der Logik aus betrachtet, gleichermaßen zulässig, gleichberechtigt und gleichermaßen möglich. Durch korrektes Denken muss genau festgestellt werden, welche von ihnen falsch ist, um dann festzustellen, dass die andere Aussage wahr ist.

Korrektes Denken endet mit einer falschen, absurden Schlussfolgerung, deren logische Ursache nur eine widersprüchliche Bedingung des zu beweisenden Theorems sein kann, die zwei Teile mit direkt entgegengesetzter Bedeutung enthält. Sie waren die logische Ursache der absurden Schlussfolgerung, das Ergebnis des Beweises durch Widerspruch.

Bei logisch korrekter Schlussfolgerung wurde jedoch kein einziges Zeichen gefunden, anhand dessen festgestellt werden könnte, welche bestimmte Aussage falsch ist. Es kann eine Aussage sein: die Gleichung x n + y n = z n , wo n > 2 , hat Lösungen in positiven ganzen Zahlen. Auf der gleichen Grundlage kann es die Aussage sein: die Gleichung x n + y n = z n , wo n > 2 , hat keine Lösungen in positiven ganzen Zahlen.

Als Ergebnis der Argumentation kann es nur eine Schlussfolgerung geben: Der letzte Satz von Fermat kann nicht durch Widerspruch bewiesen werden.

Es wäre eine ganz andere Sache, wenn der letzte Satz von Fermat ein inverser Satz wäre, für den ein direkter Satz durch die übliche mathematische Methode bewiesen wäre. In diesem Fall könnte es durch Widerspruch bewiesen werden. Und da es sich um einen direkten Satz handelt, muss sein Beweis nicht auf der logischen Methode des Widerspruchsbeweises basieren, sondern auf der üblichen mathematischen Methode.

Laut D. Abrarov reagierte der Akademiker V. I. Arnold, der berühmteste zeitgenössische russische Mathematiker, auf Wiles 'Beweis "aktiv skeptisch". Der Akademiker sagte: „Das ist keine echte Mathematik – echte Mathematik ist geometrisch und hat starke Verbindungen zur Physik.“ Die Aussage des Akademikers drückt die Essenz von Wiles' nicht-mathematischem Beweis von Fermats letztem Satz aus.

Durch Widerspruch ist es unmöglich zu beweisen, dass die Gleichung von Fermats letztem Satz keine Lösungen hat, oder dass sie Lösungen hat. Der Fehler von Wiles ist kein mathematischer, sondern ein logischer – die Verwendung eines Widerspruchsbeweises, wo seine Verwendung keinen Sinn ergibt und Fermats letzten Satz nicht beweist.

Der letzte Satz von Fermat wird auch nicht mit der üblichen mathematischen Methode bewiesen, falls er enthält gegeben: Die gleichung x n + y n = z n , wo n > 2 , hat keine Lösungen in positiven ganzen Zahlen, und wenn beweispflichtig: Die gleichung x n + y n = z n , wo n > 2 , hat keine Lösungen in positiven ganzen Zahlen. In dieser Form liegt kein Theorem vor, sondern eine bedeutungslose Tautologie.

Der Unterricht ist für 2 Akademien ausgelegt. Std.

Ziel: Studieren Sie verschiedene Beweismethoden (direktes Denken, die Methode des "durch Widerspruch" und umgekehrtes Denken) und veranschaulichen Sie die Methodik des Denkens. Betrachten Sie die Methode der mathematischen Induktion.

Theoretisches Material Beweismethoden

Beim Beweis von Theoremen wird logisches Denken verwendet. Beweise in der Informatik sind ein wesentlicher Bestandteil der Überprüfung der Korrektheit von Algorithmen. Die Notwendigkeit eines Beweises entsteht, wenn wir die Wahrheit einer Aussage der Form (AB) feststellen müssen. Es gibt mehrere Standardarten von Beweisen, darunter die folgenden:

Direkte Argumentation (Beweis).

Wir nehmen an, dass Aussage A wahr ist, und zeigen die Gültigkeit von B. Diese Beweismethode schließt die Situation aus, dass A wahr und B falsch ist, da in diesem und nur in diesem Fall die Implikation (AB) annimmt ein falscher Wert (siehe Tabelle).

Der direkte Beweis geht also von der Betrachtung der Argumente zum Beweis der These, d.h. die Wahrheit der These wird direkt durch die Argumente untermauert. Das Schema dieses Beweises ist wie folgt: aus den gegebenen Argumenten (a, b, c,...) muss unbedingt eine beweisbare These folgen q.

Diese Art von Beweisen wird in der Gerichtspraxis, in der Wissenschaft, in der Polemik, in den Schriften von Schülern, bei der Präsentation von Material durch einen Lehrer usw. geführt.

Beispiele:

1. Der Lehrer im Unterricht mit direktem Beweis der These „Das Volk ist der Schöpfer der Geschichte“, zeigt; Erstens dass das Volk der Schöpfer des materiellen Reichtums ist, Zweitens, begründet die enorme Rolle der Volksmassen in der Politik, erklärt, wie die Menschen in der Neuzeit aktiv für Frieden und Demokratie kämpfen, drittens, offenbart seine große Rolle bei der Schaffung spiritueller Kultur.

2. Im Chemieunterricht kann der direkte Beweis für die Brennbarkeit von Zucker in Form eines kategorischen Syllogismus präsentiert werden: Alle Kohlenhydrate sind brennbar. Zucker ist ein Kohlenhydrat. Zucker ist brennbar.

Im modernen Modemagazin „Burda“ wird die These „Neid ist die Wurzel allen Übels“ anhand direkter Beweise mit folgenden Argumenten untermauert: „Neid vergiftet nicht nur den Alltag der Menschen, sondern kann auch zu schwerwiegenderen Folgen führen , daher neben Eifersucht, Wut und Hass zweifellos eine der schlimmsten Charaktereigenschaften. Neid schleicht sich unmerklich an und schmerzt schmerzlich und tief. Eine Person beneidet das Wohlergehen anderer, leidet unter dem Bewusstsein, dass jemand mehr Glück hat.

2. Umgekehrte Argumentation(nachweisen) . Wir nehmen an, dass Aussage B falsch ist und zeigen den Irrtum von A. Das heißt, wir prüfen direkt die Wahrheit der Implikation ((nicht B)  (nicht A)), die laut Tabelle logisch äquivalent ist auf die Wahrheit der ursprünglichen Aussage (A  B).

3. Die Methode "durch Widerspruch".

Diese Methode wird häufig in der Mathematik verwendet. Lassen a- eine zu beweisende These oder Theorem. Das nehmen wir im Widerspruch an a falsch, d. h. wahr nö(oder ). Von der Annahme wir leiten Konsequenzen ab, die der Realität oder zuvor bewiesenen Theoremen widersprechen. Wir haben
, dabei - falsch, also ist seine Negation wahr, d.h. , was nach dem Gesetz der zweiwertigen klassischen Logik ( →a) gibt a. Es ist also wahr a, was zu beweisen war.

Im Schulmathematikunterricht gibt es viele Beispiele für den Widerspruchsbeweis. So ist zum Beispiel der Satz bewiesen, dass von einem Punkt, der außerhalb einer Geraden liegt, nur eine Senkrechte auf diese Gerade fallen kann. Durch Widerspruch wird auch folgender Satz bewiesen: „Wenn zwei Geraden senkrecht auf dieselbe Ebene stehen, dann sind sie parallel.“ Der Beweis dieses Satzes beginnt direkt mit den Worten: „Nehmen Sie das Gegenteil an, d.h. die Linien AB und CD nicht parallel."