Sei G=(p 0 =e, p 1 , …, p r ) eine Permutationsgruppe, die auf der Menge X = (1, 2, …, n) mit der Identität e=p 0 durch die identische Permutation definiert ist. Wir definieren die Beziehung x~y, indem wir x~y setzen, was gleichbedeutend ist mit der Aussage, dass es ein p gibt, das zu G(p(x)=y) gehört. Die eingeführte Relation ist eine Äquivalenzrelation, das heißt, sie erfüllt drei Axiome:

1) x~x;
2) x~y→y~x;
3) x~y&y~z→x~z;

Sei A eine beliebige Menge.
Definition: Eine binäre Beziehung δ=A*A ist eine Äquivalenzbeziehung (bezeichnet mit a ~ b), wenn sie die folgenden Axiome erfüllt:
∀ a, b, c ∈ A
1) a ~ a - Reflexivität;
2) a ~ b ⇒ b ~ a – Kommutativität;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c – Transitivität

bezeichnet mit a ~ b, σ(a,b), (a,b) ∈ σ, a σ b

Definition: Eine Partition einer Menge A ist eine Familie paarweise disjunkter Teilmengen von A, die in der Vereinigung (in der Summe) alle A ergeben.
А= ∪А i , А i ∩А j = ∅, ∀i ≠ j.

Die Teilmengen A i heißen Nebenmengen der Partition.

Satz: Jede auf A definierte Äquivalenzrelation entspricht einer Partition der Menge A. Jede Partition der Menge A entspricht einer Äquivalenzrelation auf der Menge A.

Kurz gesagt gibt es eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Klassen aller auf der Menge A definierten Äquivalenzrelationen und der Klasse aller Partitionen der Menge A.

Nachweisen: Sei σ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A. Sei a ∈ A.

Erstellen wir eine Menge: К a =(x ∈ A,: x~a ) – alle Elemente äquivalent zu a. Die Menge (Notation) wird Äquivalenzklasse bezüglich der Äquivalenz σ genannt. Beachten Sie, dass, wenn b zu K a gehört, dann b~a. Zeigen wir, dass a~b⇔K a =K b . In der Tat sei a~b. Nehmen Sie ein beliebiges Element c, das zu K a gehört. Dann gehört c~a, a~b, c~b, c zu K b und daher gehört K b zu K a . Die Tatsache, dass K a zu K b gehört, wird ähnlich gezeigt. Daher ist K b =K a .
Sei nun K b =K a . Dann gehört a zu K a = K b, a gehört zu K b, a~b. Das musste gezeigt werden.

Wenn 2 Klassen K a und K b ein gemeinsames Element c haben, dann ist K a = K b . Wenn c tatsächlich zu K a und K b gehört, dann ist b~c, c~a, b~a => K a = K b .

Daher schneiden sich verschiedene Äquivalenzklassen entweder nicht oder sie schneiden sich und fallen dann zusammen. Jedes Element c von A gehört nur zu einer Äquivalenzklasse K c. Daher ergibt das System nicht überlappender Äquivalenzklassen am Schnittpunkt die gesamte Menge A. Und daher ist dieses System eine Aufteilung der Menge A in Äquivalenzklassen.

Umgekehrt: Sei A = sum over oder A i eine Partition von A. Führen wir die Beziehung a~b auf A ein, da a~b ⇔ a,b zur gleichen Partitionsklasse gehören. Diese Beziehung erfüllt die folgenden Axiome:

1) a ~ a (sind in derselben Klasse);
2) a ~ b → b ~ a;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c, d.h. die eingeführte Relation ~ ist eine Äquivalenzrelation.

Kommentar:
1) Die Partition der Menge A in einelementige Teilmengen und die Partition von A, die nur aus der Menge A besteht, wird als triviale (uneigentliche) Partition bezeichnet.

2) Die Aufteilung von A in einelementige Teilmengen entspricht der Äquivalenzrelation, die Gleichheit ist.

3) Partition A, bestehend aus einer Klasse A, entspricht einer Äquivalenzrelation, die A x A enthält.

4) a σ b → [a] σ = [b] σ – jede auf einer Menge definierte Äquivalenzbeziehung teilt diese Menge in paarweise disjunkte Klassen, sogenannte Äquivalenzklassen.

Definition: Die Menge der Äquivalenzklassen der Menge A heißt Faktormenge A/σ der Menge A durch die Äquivalenz σ.

Definition: Eine Abbildung p:A→A/σ mit p(A)=[a] σ wird als kanonische (natürliche) Abbildung bezeichnet.

Jede für eine Menge definierte Äquivalenzrelation unterteilt diese Menge in paarweise disjunkte Klassen, sogenannte Äquivalenzklassen.

Sei R eine binäre Relation auf einer Menge X. Die Relation R heißt reflektierend , wenn (x, x) О R für alle x О X; symmetrisch – wenn (x, y) О R impliziert (y, x) О R; Die transitive Zahl 23 entspricht der Variante 24, wenn (x, y) Î R und (y, z) Î R (x, z) Î R implizieren.

Beispiel 1

Wir werden sagen, dass x í X gemeinsam hat mit Element y í X wenn die Menge
x ‡ y ist nicht leer. Die Beziehung zum Gemeinsamen wird reflexiv und symmetrisch, aber nicht transitiv sein.

Äquivalenzbeziehung auf X heißt eine reflexive, transitive und symmetrische Beziehung. Es ist leicht zu erkennen, dass R ½ X ´ X genau dann eine Äquivalenzrelation ist, wenn die Einschlüsse stattfinden:

Id X Í R (Reflexivität),

R -1 Í R (Symmetrie),

R ° R Í R (Transitivität).

Tatsächlich entsprechen diese drei Bedingungen den folgenden:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

Spaltung Menge X ist die Menge A paarweise disjunkter Teilmengen a í X, so dass UA = .

Jeder Äquivalenzrelation ~ auf X entspricht eine Partition A, deren Elemente Teilmengen sind, die jeweils aus denen in der Relation ~ bestehen. Diese Teilmengen werden aufgerufen Äquivalenzklassen . Diese Partition A heißt Faktormenge der Menge X bezüglich ~ und wird mit X/~ bezeichnet.

Definieren wir die Beziehung ~ auf der Menge w der natürlichen Zahlen, indem wir x ~ y setzen, wenn die Reste nach der Division von x und y durch 3 gleich sind. Dann besteht w/~ aus drei Äquivalenzklassen, die den Resten 0, 1 und 2 entsprechen.

Auftragsbeziehung

Eine binäre Relation R auf einer Menge X heißt antisymmetrisch , wenn aus x R y und y R x folgt: x = y. Eine binäre Relation R auf einer Menge X heißt Ordnungsbeziehung , wenn es reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Es ist leicht zu erkennen, dass dies den folgenden Bedingungen entspricht:

1) Id X Í R (Reflexivität),

2) R Ç R -1 (Antisymmetrie),

3) R ° R Í R (Transitivität).

Ein geordnetes Paar (X, R), bestehend aus einer Menge X und einer Ordnungsrelation R auf X, heißt Teilweise bestelltes Set .

Beispiel 1

Sei X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Da R die Bedingungen 1–3 erfüllt, ist (X, R) eine teilweise geordnete Menge. Für die Elemente x = 2, y = 3 ist weder x R y noch y R x wahr. Solche Elemente heißen unvergleichlich . Normalerweise wird die Bestellrelation mit £ bezeichnet. Im obigen Beispiel ist 0 £ 1 und 2 £ 2, aber es stimmt nicht, dass 2 £ 3 ist.

Beispiel 2

Lassen< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Elemente x, y О X einer teilweise geordneten Menge (X, £) werden aufgerufen vergleichbar , wenn x £ y oder y £ x.

Die teilweise geordnete Menge (X, £) heißt linear geordnet oder Kette wenn zwei seiner Elemente vergleichbar sind. Die Menge in Beispiel 2 wird linear geordnet sein, die Menge in Beispiel 1 jedoch nicht.

Eine Teilmenge A Í X einer teilweise geordneten Menge (X, £) heißt von oben begrenzt , wenn es ein Element x í X gibt, so dass a £ x für alle a í A. Ein Element x í X heißt größte in X wenn y £ x für alle y О X. Ein Element x О X heißt maximal, wenn es keine von x verschiedenen Elemente y О X gibt, für die x £ y. In Beispiel 1 sind die Elemente 2 und 3 das Maximum, aber nicht das größte. Der untere Einschränkung Teilmengen, kleinste und minimale Elemente. In Beispiel 1 wäre Element 0 sowohl das Kleinste als auch das Minimum. In Beispiel 2 hat 0 auch diese Eigenschaften, aber (w, t) hat weder das größte noch das maximale Element.

Mengenlehre. Grundlegendes Konzept

Die Mengenlehre ist die grundlegende Definition der modernen Mathematik. Es wurde in den 1860er Jahren von Georg Kantor geschaffen. Er schrieb: „Viele sind viele als ein Ganzes gedacht.“ Der Mengenbegriff ist einer der grundlegenden, undefinierten Begriffe der Mathematik. Es kommt nicht auf andere, einfachere Konzepte an. Daher kann es nicht definiert, sondern nur erklärt werden. Somit ist eine Menge eine Vereinigung von Objekten zu einem Ganzen, die durch unsere Intuition oder unser Denken gut unterscheidbar sind; eine Menge einiger Objekte, die durch ein gemeinsames Merkmal definiert sind.

Zum Beispiel,

1. Viele Einwohner der Stadt Woronesch

2. Punktmenge der Ebene

3. Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ usw.

Mengen werden normalerweise mit lateinischen Großbuchstaben ( A, B, C usw.). Die Objekte, aus denen eine bestimmte Menge besteht, werden ihre Elemente genannt. Die Elemente einer Menge werden mit kleinen lateinischen Buchstaben ( a, b, c usw.). Wenn X– einstellen, dann aufnehmen x∈X bedeutet, dass X ist ein Element der Menge X oder was X gehört zum Set X, und die Aufzeichnung x∉X dieses Element X gehört nicht zur Menge X. Sei beispielsweise ℕ die Menge der natürlichen Zahlen. Dann 5 ℕ , A 0,5∉ℕ .

Wenn das Set Y besteht aus Elementen der Menge X, dann sagen sie das Y ist eine Teilmenge der Menge X und bezeichnen Y⊂X(oder Y⊆X). Zum Beispiel die Menge der ganzen Zahlen ℤ ist eine Teilmenge rationaler Zahlen ℚ .

Wenn für zwei Sätze X Und Y es gibt zwei Einschlüsse gleichzeitig X Y Und Y X, d.h. X ist eine Teilmenge der Menge Y Und Y ist eine Teilmenge der Menge X, dann die Mengen X Und Y bestehen aus den gleichen Elementen. Solche Sets X Und Y heißen gleich und schreiben: X=Y.

Der Begriff leere Menge wird häufig verwendet - Ø ist eine Menge, die kein Element enthält. Es ist eine Teilmenge einer beliebigen Menge.

Die folgenden Methoden können zur Beschreibung von Mengen verwendet werden.

Möglichkeiten zur Angabe von Mengen

1. Aufzählung von Objekten. Wird nur für endliche Mengen verwendet.

Zum Beispiel, X \u003d (x1, x2, x3 ... x n). Rekord Y ={1, 4, 7, 5} bedeutet, dass die Menge aus vier Zahlen besteht 1, 4, 7, 5 .

2. Angabe der charakteristischen Eigenschaft der Elemente der Menge.

Hierzu wird eine Eigenschaft festgelegt R, mit dem Sie feststellen können, ob ein Element zu einer Menge gehört. Diese Methode ist vielseitiger.

X=(x: P(x))

(ein Haufen X besteht aus solchen Elementen X, für die die Immobilie R(x)).

Eine leere Menge kann durch Angabe ihrer Eigenschaften angegeben werden: Ø=(x: x≠x)

Sie können mit Hilfe bereits vorhandener Mengen neue Mengen erstellen, indem Sie Operationen auf Mengen anwenden.

Operationen an Mengen

1. Eine Vereinigung (Summe) ist eine Menge, die aus all jenen Elementen besteht, von denen jedes zu mindestens einer der Mengen gehört A oder IN.

A ∪ B \u003d (x: x A oder x B).

2. Ein Durchschnitt (Produkt) ist eine Menge aller Elemente, von denen jedes gleichzeitig als Menge dazugehört A, und viele IN.

A∩B=(x: x A und x B).

3. Differenz der Mengen A Und IN heißt die Menge, die aus allen Elementen besteht, die zur Menge gehören A und gehören nicht zur Menge IN.

A \ B \u003d (x: x A und x B)

4. Wenn A ist eine Teilmenge der Menge IN. Dieses Set B/A heißt das Komplement der Menge A für viele IN und bezeichnen A'.

5. Die symmetrische Differenz zweier Mengen ist die Menge A∆B=(A\B) (B\A)

N- die Menge aller natürlichen Zahlen;
Z- die Menge aller ganzen Zahlen;
Q- die Menge aller rationalen Zahlen;
R- die Menge aller reellen Zahlen;
C- die Menge aller komplexen Zahlen;
Z0 ist die Menge aller nichtnegativen ganzen Zahlen.

Eigenschaften von Operationen auf Mengen:

1. A B=B A (Kommutativvereinigung)

2. A B=B A (Kommutativität der Schnittmenge)

3. A(B C)=(A IN) C (Gewerkschaftsassoziativität)

4. A (IN C)=(A IN) C (Assoziativität der Schnittmenge)

5. A (IN C)=(A IN) (A C) (1 Gesetz der Distributivität)

6. A (IN C)=(A IN) (A C) (2. Distributivgesetz)

7. A Ø=A

8. A U= U

9. A Ø= Ø

10 A U=A

11. (A B)'=A' B' (de Morgans Gesetz)

12. (A B)'=A' B' (de Morgans Gesetz)

13. A (A B) \u003d A (Absorptionsgesetz)

14. A (A B) \u003d A (Absorptionsgesetz)

Lassen Sie uns Eigenschaft Nr. 11 beweisen. (A B)'=A' IN'

Durch die Definition gleicher Mengen müssen wir zwei Einschlüsse beweisen 1) (A B)' ⊂A' IN';

2) A' B'⊂(A IN)'.

Um die erste Inklusion zu beweisen, betrachten Sie ein beliebiges Element x∈(A B)'=X\(A∪B). Das bedeutet es x∈X, x∉ A∪B. Daraus folgt daraus x∉A Und x∉B, Deshalb x∈X\A Und x∈X\B, was bedeutet x∈A’∩B’. Auf diese Weise, (A B)'⊂A' IN'

Umgekehrt, wenn x∈A' IN', Das X gehört gleichzeitig zu Mengen A', B', was bedeutet x∉A Und x∉B. Es folgt dem x∉ A IN, Deshalb x∈(A IN)'. Somit, A' B'⊂(A IN)'.

So, (A B)'=A' IN'

Eine Menge bestehend aus zwei Elementen, in der die Reihenfolge der Elemente definiert ist, wird als geordnetes Paar bezeichnet. Zum Schreiben werden Klammern verwendet. (x 1, x 2)- eine Zwei-Elemente-Menge, in der x 1 als erstes Element und x 2 als zweites betrachtet wird. Paare (x 1, x 2) Und (x 2, x 1), Wo x 1 ≠ x 2 gelten als unterschiedlich.

Eine aus n Elementen bestehende Menge, in der die Reihenfolge der Elemente definiert ist, wird als geordnete Menge von n Elementen bezeichnet.

Das kartesische Produkt ist eine beliebige Menge X 1 , X 2 ,…, X n geordnete Mengen von n Elementen, wobei x 1 X 1 , x 2 X 2 ,…, x n X n

X 1 X n

Wenn die Sets X 1 , X 2 ,…, X n passen (X 1 \u003d X 2 \u003d ... \u003d X n), dann wird ihr Produkt bezeichnet Xn.

Zum Beispiel, ℝ 2 ist die Menge der geordneten Paare reeller Zahlen.

Äquivalenzbeziehungen. Set-Faktor

Bei gegebener Menge können neue Mengen konstruiert werden, indem die Menge einiger Teilmengen berücksichtigt wird. In diesem Fall spricht man üblicherweise nicht von einer Menge von Teilmengen, sondern von einer Familie oder Klasse von Teilmengen.

In einer Reihe von Fragen wird die Klasse solcher Teilmengen einer gegebenen Menge betrachtet A, die sich nicht schneiden und deren Vereinigung mit zusammenfällt A. Wenn dies eingestellt ist A kann als Vereinigung seiner paarweise disjunkten Teilmengen dargestellt werden, so wird es üblicherweise gesagt A in Klassen unterteilt. Die Klassifizierung erfolgt anhand eines bestimmten Merkmals.

Lassen X keine leere Menge ist, dann jede Teilmenge R aus der Arbeit X X heißt eine binäre Relation auf der Menge X. Wenn ein Paar (x, y) enthalten R, Sagen Sie, dass Element x in Beziehung steht R Mit bei.

Zum Beispiel Beziehungen x=y, x≥y sind binäre Beziehungen auf der Menge ℝ.

binäre Beziehung R am Set X heißt Äquivalenzrelation, wenn:

1. (x, x) R; X X (Eigenschaft der Reflexivität)

2. (x, y) R => (y, x) R (symmetrische Eigenschaft)

3. (x, y) R, (y, z) R, dann (x,z) R (Eigenschaft der Transitivität)

Wenn ein Paar (x, y) in eine Äquivalenzbeziehung gebracht, so heißen x und y äquivalent (x~y).

1. Lass ℤ ist eine Menge von ganzen Zahlen, m≥1- ganze Zahl. Definieren Sie die Äquivalenzrelation R An ℤ so dass n~k, Wenn n-k geteilt durch M. Überprüfen wir, ob die Eigenschaften für die gegebene Beziehung erfüllt sind.

1. Reflexivität.

Für jeden n∈ℤ ℤ so dass (p,p)∈R

rr=0. Als 0∈ ℤ , Das (p,p)∈ℤ.

2. Symmetrie.

Aus (n,k) ∈R Daraus folgt, dass es das gibt ð∈ ℤ, Was n-k=mp;

k-n =m(-p), -p∈ ℤ, somit (k,n) ∈R.

3. Transitivität.

Von was (n,k) ∈R, (k, q) ∈R Daraus folgt, dass es sie gibt S. 1 Und p 2 ∈ ℤ, Was n-k=mp 1 Und k-q=mp2. Wenn wir diese Ausdrücke hinzufügen, erhalten wir das n-q=m(p 1 + p 2), p 1 + p 2 =p, p∈ ℤ. Deshalb (n,q) ∈ ℤ.

2. Betrachten Sie die Menge X alle gerichteten Segmente des Raums oder der Ebene . =(A, B). Führen wir die Äquivalenzrelation ein R An X.

∼ (\displaystyle \sim ). Dann heißt die Menge aller Äquivalenzklassen Faktorsatz und wird bezeichnet. Die Aufteilung einer Menge in Klassen äquivalenter Elemente wird als it bezeichnet Faktorisierung.

Anzeige von X (\displaystyle X) in die Menge der Äquivalenzklassen X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) genannt Faktorkartierung. Aufgrund der Eigenschaften der Äquivalenzrelation ist die Aufteilung in Mengen eindeutig. Dies bedeutet, dass Klassen enthalten ∀ x , y ∈ X (\displaystyle \forall x,\;y\in X) entweder nicht schneiden oder vollständig zusammenfallen. Für jedes Element x ∈ X (\displaystyle x\in X) Einige Klassen sind eindeutig definiert X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ), mit anderen Worten, es gibt eine surjektive Abbildung von X (\displaystyle X) V X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ). Die Klasse enthält x (\displaystyle x), manchmal bezeichnet [ x ] (\displaystyle [x]).

Wenn die Menge mit einer Struktur versehen ist, dann oft das Mapping X → X / ∼ (\displaystyle X\to X/\!\sim ) kann zur Bereitstellung eines Faktorsatzes verwendet werden X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) die gleiche Struktur, z. B. Topologie. In diesem Fall das Set X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) mit der induzierten Struktur heißt Quotientenraum.

Enzyklopädisches YouTube

1 / 4

✪ 3. Äquivalenzklassen

✪ Mengenlehre Vorlesung 3 Teil 1

✪ Mengenlehre Vorlesung 3 Teil 2

✪ Mengenlehre Vorlesung 3 Teil 3

Untertitel

Faktorisieren Sie den Raum durch den Unterraum

Häufig wird die Äquivalenzrelation wie folgt eingeführt. Lassen X (\displaystyle X)- linearer Raum und L (\displaystyle L) ist ein linearer Unterraum. Dann zwei Elemente x , y ∈ X (\displaystyle x,\;y\in X) so dass x − y ∈ L (\displaystyle x-y\in L), werden genannt Äquivalent. Dies wird bezeichnet x ∼ L y (\displaystyle x\,(\overset (L)(\sim ))\,y). Der durch die Faktorisierung erhaltene Raum wird aufgerufen Quotient Raum durch Unterraum L (\displaystyle L). Wenn X (\displaystyle X) entwickelt sich zu einer direkten Summe X = L ⊕ M (\displaystyle X=L\oplus M), dann gibt es einen Isomorphismus von M (\displaystyle M) V X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))). Wenn X (\displaystyle X) ein endlichdimensionaler Raum ist, dann der Quotientenraum X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))) ist auch endlichdimensional und dim ⁡ X / ∼ L = dim ⁡ X − dim ⁡ L (\displaystyle \dim X/\,(\overset (L)(\sim ))=\dim.

Beispiele

. Wir können den Faktorsatz betrachten X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ). Funktion f (\displaystyle f) stellt eine natürliche Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen her X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) Und Y (\displaystyle Y).

Es ist sinnvoll, die Mengenfaktorisierung zu verwenden, um normierte Räume aus halbnormierten Räumen, Räume mit einem inneren Produkt aus Räumen mit einem fast inneren Produkt usw. zu erhalten. Dazu wird die Norm einer Klasse bzw. gleich der Norm von eingeführt ein beliebiges Element davon und das Skalarprodukt von Klassen als Skalarprodukt beliebiger Elemente von Klassen. Die Äquivalenzrelation wiederum wird wie folgt eingeführt (z. B. um einen normierten Quotientenraum zu bilden): Es wird eine Teilmenge des ursprünglichen halbnormierten Raums eingeführt, die aus Elementen mit einer Null-Halbnorm besteht (übrigens ist dies der Fall). linear, das heißt, es ist ein Unterraum) und es wird davon ausgegangen, dass zwei Elemente äquivalent sind, wenn ihre Differenz zu demselben Unterraum gehört.

Wenn ein bestimmter Unterraum eines linearen Raums eingeführt wird, um einen linearen Raum zu faktorisieren, und angenommen wird, dass, wenn die Differenz zweier Elemente des ursprünglichen Raums zu diesem Unterraum gehört, diese Elemente äquivalent sind, dann die Faktorenmenge ein linearer Raum ist und heißt Faktorraum.

Faktor einstellen

Sets.

Eine partielle Ordnungsrelation auf einer Menge x ist eine binäre Relation, die antisymmetrisch, reflexiv und transitiv ist und mit bezeichnet wird
als Paar:

Eine binäre Beziehung heißt Toleranz, wenn sie reflexiv und symmetrisch ist.

Eine binäre Relation heißt Quasiordnung, wenn sie irreflexiv, antisymmetrisch und transitiv (Vorordnung) ist.

Eine binäre Relation heißt strenge Ordnung, wenn sie reflexiv und transitiv ist.

Eine Enary-algebraische Operation auf einer Menge M ist eine Funktion

ist eine unäre Operation;

ist eine binäre Operation;

- Triary-Operation.

Binäre algebraische Operation −

ist eine Operation, die jedem geordneten Paar aus der Menge M ein Element der Menge M zuweist.

Eigenschaften:

1) Kommutativität:

2) Assoziativität:

neutrales Element

Setzt M für eine binäre algebraische Operation

Das Element heißt:

• 
  Faktor Sätze ist die Menge der Äquivalenzklassen davon Sätze. Die Teilordnungsbeziehung auf Vielzahl x heißt eine binäre Relation...


• 
  Nächste Frage." Faktor Sätze. Faktor Sätze- Aggregat. Multiplikative und additive Formen.


• 
  Faktor Sätze- Aggregat.
  Ein Haufen- eine Menge bestimmter und unterschiedlicher Objekte, die als Ganzes denkbar sind.


• 
  Eine multiplikative Funktion ist eine... weitere Details ». Faktor Sätze. Faktor Sätze ist die Menge der Äquivalenzklassen davon Sätze.


• 
  In Wirklichkeit ist der Produktionsprozess komplizierter und das Produkt ist das Ergebnis der Nutzung. Sätze Faktoren.


• 
  Die Qualität von Managemententscheidungen hängt davon ab Sätze Faktoren, das bedeutendste davon kann n sein.


• 
  Die Optimierung von Kist ein Forschungsprozess Sätze Faktoren Auswirkungen auf die erwarteten Ergebnisse...