Vektordiagramm. Vibrationen hinzufügen.

Die Lösung einer Reihe von Problemen der Schwingungstheorie wird erheblich erleichtert und deutlicher, wenn die Schwingungen mit der Methode graphisch dargestellt werden Vektordiagramme. Lassen Sie uns eine Achse wählen X. Von einem Punkt 0 auf der Achse tragen wir den Längenvektor auf, der zunächst einen Winkel mit der Achse bildet (Abb. 2.14.1). Bringen wir diesen Vektor mit einer Winkelgeschwindigkeit in Rotation, so ist die Projektion des Endes des Vektors auf die Achse X wird sich im Laufe der Zeit gemäß dem Gesetz ändern

.

Daher führt die Projektion des Endes des Vektors auf die Achse eine harmonische Schwingung mit einer Amplitude gleich der Länge des Vektors, mit einer Kreisfrequenz gleich der Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Vektors und mit einer gleichen Anfangsphase aus dem Winkel, den der Vektor mit der Achse zum Anfangszeitpunkt bildet. Der Winkel, den der Vektor mit der Achse zu einem bestimmten Zeitpunkt bildet, bestimmt die Phase der Schwingung zu diesem Zeitpunkt - .

Aus dem Gesagten folgt, dass eine harmonische Schwingung durch einen Vektor dargestellt werden kann, dessen Länge gleich der Amplitude der Schwingung ist und dessen Richtung mit einer bestimmten Achse einen Winkel bildet, der gleich der Phase der Schwingung ist. Dies ist die Essenz der Methode der Vektordiagramme.

Addition gleichsinniger Schwingungen.

Betrachten Sie die Addition zweier harmonischer Schwingungen, deren Richtungen parallel sind:

. (2.14.1)

Resultierender Versatz X wird die Summe von und sein. Es wird eine Schwingung mit Amplitude sein.

Wenden wir die Methode der Vektordiagramme an (Abb. 2.14.2). in der Abbildung und sind die Phasen der resultierenden bzw. addierten Schwingungen. Es ist leicht zu sehen, was gefunden werden kann, indem man die Vektoren und hinzufügt. Wenn jedoch die Frequenzen der hinzugefügten Schwingungen unterschiedlich sind, dann ändert sich die resultierende Amplitude mit der Zeit in der Größe und der Vektor dreht sich mit einer nicht konstanten Geschwindigkeit, d. h. Die Schwingung wird nicht harmonisch sein, sondern einen komplexen Schwingungsprozess darstellen. Damit die resultierende Schwingung harmonisch ist, müssen die Frequenzen der addierten Schwingungen gleich sein

und die resultierende Schwingung tritt mit der gleichen Frequenz auf

.

Das geht aus der Konstruktion hervor

Analysieren wir den Ausdruck (2.14.2) für die Amplitude der resultierenden Schwingung. Wenn ein die Phasendifferenz der addierten Schwingungen ist gleich Null(Schwingungen sind gleichphasig), die Amplitude ist gleich der Summe der Amplituden der addierten Schwingungen, d.h. hat den maximal möglichen Wert . Wenn ein die Phasendifferenz ist(Schwingungen sind in Gegenphase), dann die resultierende Amplitude ist gleich der Amplitudendifferenz, d.h. hat den kleinstmöglichen Wert .

Addition senkrecht aufeinander stehender Schwingungen.

Lassen Sie das Teilchen zwei harmonische Schwingungen mit derselben Frequenz ausführen: eine entlang der Richtung, die wir bezeichnen X, der andere in senkrechter Richtung j. In diesem Fall bewegt sich das Teilchen entlang einer im allgemeinen krummlinigen Bahn, deren Form von der Phasendifferenz der Schwingungen abhängt.

Wir wählen den Ursprung der Zeitreferenz so, dass die Anfangsphase einer Schwingung gleich Null ist:

. (2.14.3)

Um die Teilchenbahngleichung zu erhalten, muss man aus (2.14.3) ausschließen t. Aus der ersten Gleichung a. meint, . Lassen Sie uns die zweite Gleichung umschreiben

oder

.

Wenn wir den ersten Term von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite übertragen, die resultierende Gleichung quadrieren und Transformationen durchführen, erhalten wir

. (2.14.4)

Diese Gleichung ist die Gleichung einer Ellipse, deren Achsen relativ zu den Achsen gedreht sind X und j zu einem gewissen Winkel. In einigen Spezialfällen werden jedoch einfachere Ergebnisse erhalten.

1. Die Phasendifferenz ist Null. Dann erhalten wir aus (2.14.4).

oder . (2.14.5)

Dies ist die Geradengleichung (Abb. 2.14.3). Das Teilchen schwingt also entlang dieser Geraden mit einer Frequenz und Amplitude gleich .

Ein Vektordiagramm ist eine Möglichkeit, eine oszillierende Bewegung grafisch als Vektor zu definieren.

Entlang der horizontalen Achse ist ein oszillierender Wert ξ (beliebiger physikalischer Art) aufgetragen. Der vom Punkt 0 aus aufgetragene Vektor ist im Absolutwert gleich der Schwingungsamplitude A und unter einem Winkel α, der gleich der Anfangsphase der Schwingung ist, zur Achse ξ gerichtet. Bringen wir diesen Vektor mit einer Winkelgeschwindigkeit ω gleich der Schwingungsfrequenz in Rotation, so ergibt die Projektion dieses Vektors auf die ξ-Achse den Wert der schwingenden Größe zu einem beliebigen Zeitpunkt.

Addition von Schwingungen gleicher Frequenz und gleicher Richtung

Es gebe zwei Schwingungen: Wir bauen Vektordiagramme und fügen Vektoren hinzu:

Nach dem Kosinussatz

Als dann

Es ist offensichtlich (siehe Diagramm), dass die Anfangsphase der resultierenden Schwingung durch die Beziehung bestimmt wird:

Addition von Schwingungen naher Frequenzen

P est werden zwei Schwingungen mit nahezu identischer Frequenz addiert, d.h.

Aus der Trigonometrie:

Auf unseren Fall angewendet, erhalten wir:

Der Graph der resultierenden Schwingung ist ein Schwebungsgraph, d.h. nahezu harmonische Schwingungen der Frequenz ω, deren Amplitude sich langsam mit der Frequenz Δω ändert.

Amplitude Aufgrund des Vorzeichens des Moduls (die Amplitude ist immer > 0) ist die Frequenz, mit der sich die Amplitude ändert, nicht gleich Δω / 2, sondern doppelt so hoch - Δω.

Addition senkrecht aufeinander stehender Schwingungen

Lassen Sie einen kleinen Körper auf senkrecht zueinander stehenden Federn gleicher Steifigkeit schwingen. Auf welcher Bahn wird sich dieser Körper bewegen?

Dies sind die Trajektoriengleichungen in parametrischer Form. Um eine explizite Beziehung zwischen den x- und y-Koordinaten zu erhalten, muss der Parameter t aus den Gleichungen ausgeschlossen werden.

Aus der ersten Gleichung: ,

Ab dem zweiten

Nach Auswechslung

Lassen Sie uns die Wurzel loswerden:

ist die Gleichung einer Ellipse

H
Spezialfälle:

27. Gedämpfte Schwingungen. Erzwungene Schwingungen. Resonanz.

Dämpfung freier Schwingungen

Freie Schwingungen klingen widerstandsbedingt immer früher oder später ab. Betrachten wir den Vorgang der Schwingungsdämpfung. Nehmen wir an, dass die Widerstandskraft proportional zur Geschwindigkeit des Körpers ist. (Der Proportionalitätsfaktor wird aus Bequemlichkeitsgründen mit 2 mg angegeben, was später offenbart wird). Denken wir an den Fall, dass seine Dämpfung über die Schwingungsdauer gering ist. Dann können wir davon ausgehen, dass die Dämpfung die Frequenz kaum beeinflusst, aber die Amplitude der Schwingungen beeinflusst. Dann kann die Gleichung der gedämpften Schwingungen wie folgt dargestellt werden. Hier stellt A(t) eine abnehmende Funktion dar, die bestimmt werden muss. Wir gehen vom Gesetz der Erhaltung und Umwandlung von Energie aus. Die Änderung der Schwingungsenergie ist gleich der durchschnittlichen Arbeit der Widerstandskraft über die Periode, d.h. Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch dt. Rechts haben wir dx/dt, d.h. Geschwindigkeit v, und links erhalten Sie die Ableitung der Energie nach der Zeit. Daher unter Berücksichtigung Aber die durchschnittliche kinetische Energie gleich der Hälfte der Gesamtenergie. Daher kann man das schreiben beide Teile durch E dividieren und mit dt multiplizieren. Das verstehen wir Wir integrieren beide Teile der resultierenden Gleichung: Nach der Potenzierung erhalten wir Die Integrationskonstante C ergibt sich aus den Anfangsbedingungen. Sei bei t = 0 E = E0, dann E0 = C. Daher gilt Aber E~A^2. Daher nimmt auch die Amplitude gedämpfter Schwingungen nach dem Exponentialgesetz ab:

Und Aufgrund des Widerstands nimmt also die Amplitude der Schwingungen ab und sie sehen im Allgemeinen wie in Abb. 4.2. Der Koeffizient wird als Dämpfungskoeffizient bezeichnet. Es charakterisiert jedoch nicht ganz die Dämpfung. Üblicherweise wird die Dämpfung von Schwingungen durch das Dämpfungsdekrement charakterisiert. Letzteres zeigt, wie oft die Schwingungsamplitude über eine Zeit gleich der Schwingungsperiode abnimmt. Das heißt, der Dämpfungsfaktor ist wie folgt definiert: Der Logarithmus des Dämpfungsdekrements wird logarithmisches Dekrement genannt, es ist offensichtlich gleich

Erzwungene Schwingungen

Wird das schwingungsfähige System der Einwirkung einer äußeren periodischen Kraft ausgesetzt, so entstehen sogenannte erzwungene Schwingungen, die ungedämpften Charakter haben. Erzwungene Schwingungen sind von Eigenschwingungen zu unterscheiden. Bei Eigenschwingungen im System wird ein spezieller Mechanismus angenommen, der im Takt seiner eigenen Schwingungen kleine Energieportionen aus irgendeinem Energiespeicher an das System "abgibt". So bleiben Eigenschwingungen erhalten, die nicht abklingen. Bei Eigenschwingungen schiebt sich das System sozusagen selbst an. Als Beispiel für ein selbstschwingendes System können Uhren dienen. Die Uhr ist mit einem Ratschenmechanismus ausgestattet, mit dessen Hilfe das Pendel kleine Stöße (von einer komprimierten Feder) im Takt seiner eigenen Schwingungen erhält. Bei erzwungenen Schwingungen wird das System durch eine äußere Kraft geschoben. Im Folgenden gehen wir auf diesen Fall ein, wobei wir davon ausgehen, dass der Widerstand im System klein ist und vernachlässigt werden kann. Als Modell für erzwungene Schwingungen meinen wir den gleichen Körper, der an einer Feder aufgehängt ist, die von einer äußeren periodischen Kraft (z. B. einer Kraft elektromagnetischer Natur) beeinflusst wird. Ohne Berücksichtigung des Widerstands hat die Bewegungsgleichung eines solchen Körpers in der Projektion auf die x-Achse die Form: wobei w* die zyklische Frequenz ist, B die Amplitude der externen Kraft ist. Es ist bekannt, dass es Schwankungen gibt. Daher suchen wir nach einer bestimmten Lösung der Gleichung in Form einer Sinusfunktion Wir setzen die Funktion in die Gleichung ein, wofür wir zweimal nach der Zeit differenzieren . Die Substitution führt zur Relation

Die Gleichung wird zu einer Identität, wenn drei Bedingungen erfüllt sind: . Dann und die Gleichung der erzwungenen Schwingungen kann dargestellt werden als Sie treten mit einer Frequenz auf, die mit der Frequenz der äußeren Kraft zusammenfällt, und ihre Amplitude ist nicht wie bei freien Schwingungen willkürlich, sondern von selbst festgelegt. Dieser ermittelte Wert hängt von dem Verhältnis der Eigenschwingungsfrequenz des Systems und der Frequenz der äußeren Kraft gemäß der Formel ab

H und Abb. 4.3 zeigt ein Diagramm der Abhängigkeit der Amplitude erzwungener Schwingungen von der Frequenz der äußeren Kraft. Es ist ersichtlich, dass die Amplitude der Schwingungen deutlich zunimmt, wenn sich die Frequenz der äußeren Kraft der Frequenz der natürlichen Schwingungen nähert. Das Phänomen eines starken Anstiegs der Amplitude erzwungener Schwingungen, wenn die Eigenfrequenz und die Frequenz der äußeren Kraft zusammenfallen, wird genannt Resonanz.

Bei Resonanz muss die Schwingungsamplitude unendlich groß sein. In Wirklichkeit ist die Amplitude der erzwungenen Schwingungen bei Resonanz immer endlich. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass bei Resonanz und in deren Nähe unsere Annahme eines vernachlässigbar kleinen Widerstands falsch wird. Auch wenn der Widerstand im System klein ist, dann ist er in Resonanz signifikant. Seine Anwesenheit macht die Schwingungsamplitude in Resonanz zu einem endlichen Wert. Der eigentliche Graph der Abhängigkeit der Schwingungsamplitude von der Frequenz hat also die in Abb. 4.4. Je größer der Widerstand im System ist, desto geringer ist die maximale Amplitude an der Resonanzstelle.

Resonanzen in mechanischen Systemen sind in der Regel ein unerwünschtes Phänomen Sie versuchen zu vermeiden: Sie versuchen, mechanische Strukturen, die Schwingungen und Vibrationen ausgesetzt sind, so zu gestalten, dass die Eigenfrequenz von Schwingungen weit von den möglichen Werten der Frequenzen äußerer Einflüsse entfernt ist. Aber in einer Reihe von Geräten wird Resonanz als positives Phänomen genutzt. Beispielsweise wird die Resonanz elektromagnetischer Schwingungen in der Funkkommunikation häufig verwendet, die Resonanz von g-Strahlen - in Präzisionsgeräten.

Der Zustand des thermodynamischen Systems. Prozesse

Thermodynamische Zustände und thermodynamische Prozesse

Wenn zusätzlich zu den Gesetzen der Mechanik die Anwendung der Gesetze der Thermodynamik erforderlich ist, wird das System als thermodynamisches System bezeichnet. Die Notwendigkeit, dieses Konzept zu verwenden, ergibt sich, wenn die Anzahl der Elemente des Systems (z. B. die Anzahl der Gasmoleküle) sehr groß ist und die Bewegung seiner einzelnen Elemente im Vergleich zur Bewegung des Systems selbst oder seines Makroskops mikroskopisch ist Komponenten. Die Thermodynamik beschreibt dabei makroskopische Bewegungen (Änderungen makroskopischer Zustände) eines thermodynamischen Systems.

Die Parameter, die solche Bewegungen (Änderungen) eines thermodynamischen Systems beschreiben, werden normalerweise in externe und interne unterteilt. Diese Einteilung ist sehr bedingt und hängt von der konkreten Aufgabenstellung ab. So hat beispielsweise ein Gas in einem Ballon mit elastischer Hülle als äußere Größe den Druck der umgebenden Luft, und bei einem Gas in einem Gefäß mit starrer Hülle ist die äußere Größe das von dieser Hülle begrenzte Volumen. In einem thermodynamischen System können Volumen und Druck unabhängig voneinander variieren. Für eine theoretische Beschreibung ihrer Änderung ist es notwendig, mindestens einen weiteren Parameter einzuführen - die Temperatur.

Bei den meisten thermodynamischen Problemen reichen drei Parameter aus, um den Zustand eines thermodynamischen Systems zu beschreiben. In diesem Fall werden Änderungen im System durch drei thermodynamische Koordinaten beschrieben, die den entsprechenden thermodynamischen Parametern zugeordnet sind.

Gleichgewichtszustand- ein Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts - ein solcher Zustand eines thermodynamischen Systems wird genannt, in dem es keine Strömungen (Energie, Materie, Impuls usw.) gibt und die makroskopischen Parameter des Systems stabil sind und sich nicht mit der Zeit ändern.

Die klassische Thermodynamik besagt, dass ein isoliertes thermodynamisches System (sich selbst überlassen) zu einem thermodynamischen Gleichgewichtszustand strebt und diesen nach Erreichen nicht spontan verlassen kann. Diese Aussage wird oft aufgerufen Nullsatz der Thermodynamik.

Systeme in einem Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts haben Folgendes Eigenschaften mi:

Befinden sich zwei thermisch berührende thermodynamische Systeme im thermodynamischen Gleichgewicht, so befindet sich auch das gesamte thermodynamische System im thermodynamischen Gleichgewicht.

Befindet sich ein thermodynamisches System im thermodynamischen Gleichgewicht mit zwei anderen Systemen, dann befinden sich diese beiden Systeme im thermodynamischen Gleichgewicht miteinander.

Betrachten wir thermodynamische Systeme, die sich im thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Die Beschreibung von Systemen, die sich in einem Nichtgleichgewichtszustand befinden, also in einem Zustand, in dem makroskopische Strömungen stattfinden, wird von der Nichtgleichgewichtsthermodynamik behandelt. Der Übergang von einem thermodynamischen Zustand in einen anderen wird als bezeichnet thermodynamischer Prozess. Im Folgenden betrachten wir nur quasistatische Prozesse oder gleichbedeutende Quasi-Gleichgewichtsprozesse. Der Grenzfall eines Quasigleichgewichtsprozesses ist ein unendlich langsamer Gleichgewichtsprozess, der aus kontinuierlich aufeinanderfolgenden thermodynamischen Gleichgewichtszuständen besteht. In der Realität kann ein solcher Prozess nicht stattfinden, aber wenn makroskopische Änderungen im System eher langsam erfolgen (über Zeitintervalle, die die Zeit für die Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts deutlich überschreiten), wird es möglich, den realen Prozess als quasistatisch anzunähern (quasi- Gleichgewicht). Eine solche Näherung ermöglicht es, Berechnungen mit ausreichend hoher Genauigkeit für eine große Klasse praktischer Probleme durchzuführen. Der Gleichgewichtsprozess ist reversibel, d. h. einer, bei dem eine Rückkehr zu den Werten der Zustandsparameter, die zum vorherigen Zeitpunkt stattgefunden haben, das thermodynamische System in den vorherigen Zustand bringen sollte, ohne dass sich die das System umgebenden Körper verändern .

Die praktische Anwendung von Quasi-Gleichgewichtsprozessen in beliebigen technischen Geräten ist wirkungslos. So führt beispielsweise die Anwendung eines Quasi-Gleichgewichts-Prozesses in einer Wärmekraftmaschine, der bei praktisch konstanter Temperatur abläuft (siehe die Beschreibung des Carnot-Kreises im dritten Kapitel), zwangsläufig dazu, dass eine solche Maschine es wird arbeiten sehr langsam (im Grenzbereich - unendlich langsam) und haben eine sehr geringe Leistung. Daher werden Quasi-Gleichgewichtsprozesse in technischen Geräten in der Praxis nicht verwendet. Da die Vorhersagen der Gleichgewichtsthermodynamik für reale Systeme jedoch mit einer ausreichend hohen Genauigkeit mit experimentellen Daten für solche Systeme übereinstimmen, wird es häufig verwendet, um thermodynamische Prozesse in verschiedenen technischen Geräten zu berechnen.

Kehrt das System während eines thermodynamischen Prozesses in seinen ursprünglichen Zustand zurück, so nennt man einen solchen Prozess kreisförmig oder zyklisch. Kreisprozesse sowie alle anderen thermodynamischen Prozesse können sowohl im Gleichgewicht (und daher reversibel) als auch im Ungleichgewicht (irreversibel) sein. In einem reversiblen Kreisprozess treten nach der Rückkehr des thermodynamischen Systems in seinen ursprünglichen Zustand keine thermodynamischen Störungen in den umgebenden Körpern auf und ihre Zustände bleiben im Gleichgewicht. In diesem Fall kehren die externen Parameter des Systems nach der Durchführung des zyklischen Prozesses auf ihre ursprünglichen Werte zurück. In einem irreversiblen Kreisprozess geraten nach dessen Vollendung die umgebenden Körper in Nichtgleichgewichtszustände und die äußeren Parameter des thermodynamischen Systems ändern sich.

Komplexe Amplitudenmethode

Die Lage eines Punktes auf einer Ebene kann eindeutig durch eine komplexe Zahl angegeben werden:

Wenn sich der Punkt ($A$) dreht, dann ändern sich die Koordinaten dieses Punktes gemäß dem Gesetz:

schreibe $z$ in der Form:

wobei $Re(z)=x$, d. h. die physikalische Größe x ist gleich dem Realteil des komplexen Ausdrucks (4). In diesem Fall ist der Betrag des komplexen Ausdrucks gleich der Schwingungsamplitude – $a$, sein Argument ist gleich der Phase ($(\omega )_0t+\delta $). Manchmal, wenn man den Realteil von $z$ nimmt, wird das Vorzeichen der Operation Re weggelassen und man erhält einen symbolischen Ausdruck:

Ausdruck (5) sollte nicht wörtlich genommen werden. Oft formal vereinfachen (5):

wobei $A=ae^(i \delta)$ die komplexe Schwingungsamplitude ist. Die komplexe Natur der $A$-Amplitude bedeutet, dass die Schwingung eine Anfangsphase hat, die nicht gleich Null ist.

Um die physikalische Bedeutung eines Ausdrucks wie (6) aufzudecken, nehmen wir an, dass die Schwingungsfrequenz ($(\omega )_0$) einen Real- und einen Imaginärteil hat und dargestellt werden kann als:

Dann kann Ausdruck (6) geschrieben werden als:

Wenn $(\omega )2>0,$ dann beschreibt Ausdruck (8) gedämpfte harmonische Schwingungen mit Kreisfrequenz $\omega1$ und Dämpfungsindex $(\omega )_2$. Wenn $(\omega)_2

Kommentar

Viele mathematische Operationen können mit komplexen Größen durchgeführt werden, als ob die Größen real wären. Operationen sind möglich, wenn sie selbst linear und reell sind (wie Addition, Multiplikation, Differentiation in Bezug auf eine reelle Variable und andere, aber nicht alle). Es muss daran erinnert werden, dass komplexe Größen an sich keinen physikalischen Größen entsprechen.

Vektordiagramm-Methode

Der Punkt $A$ lasse sich gleichmäßig um den Kreis vom Radius $r$ drehen (Abb.1), seine Rotationsgeschwindigkeit sei $(\omega )_0$.

Bild 1.

Die Position des Punktes $A$ auf dem Kreis kann mit dem Winkel $\varphi $ angegeben werden. Dieser Winkel ist:

wobei $\delta=\varphi(t=0)$ der Rotationswinkel des Radiusvektors $\overrightarrow(r)$ zum Anfangszeitpunkt ist. Wenn sich der Punkt $M$ dreht, bewegt sich seine Projektion auf die $X$-Achse entlang des Durchmessers des Kreises und erzeugt harmonische Schwingungen zwischen den Punkten $M$ $N$. Die Abszisse von $A$ kann geschrieben werden als:

Auf ähnliche Weise lassen sich beliebig große Schwankungen darstellen.

Es ist nur notwendig, das Bild der Größe aufzunehmen, die mit der Abszisse des Punktes $A$ schwingt, der sich gleichmäßig um den Kreis dreht. Sie können natürlich die Ordinate verwenden:

Bemerkung 1

Um gedämpfte Schwingungen darzustellen, muss man nicht einen Kreis nehmen, sondern eine logarithmische Spirale, die sich dem Fokus nähert. Wenn die Annäherungsgeschwindigkeit eines sich spiralförmig bewegenden Punktes konstant ist und sich der Punkt auf den Fokus zubewegt, dann liefert die Projektion dieses Punktes auf die $X-Achse Formeln für gedämpfte Schwingungen.

Bemerkung 2

Anstelle eines Punktes können Sie einen Radiusvektor verwenden, der sich gleichmäßig um den Ursprung dreht. Dann wird der Wert, der harmonische Schwingungen ausführt, als Projektion dieses Vektors auf die $X$-Achse dargestellt. In diesem Fall werden mathematische Operationen auf der Größe $x$ durch Operationen auf einem Vektor ersetzt.

Also die Operation zum Summieren zweier Größen:

es ist bequemer, durch die Summierung zweier Vektoren zu ersetzen (unter Verwendung der Parallelogrammregel). Die Vektoren werden so gewählt, dass ihre Projektionen auf die gewählte $Achse X$ die Ausdrücke $x_1\ und\ x_2$ sind. Dann ist das Ergebnis der Summierung der Vektoren in der Projektion auf die x-Achse gleich $x_1+\ x_2$.

Beispiel 1

Lassen Sie uns die Anwendung der Methode der Vektordiagramme demonstrieren.

Stellen wir also komplexe Zahlen als Vektoren auf der komplexen Ebene dar. Eine Größe, die sich nach dem harmonischen Gesetz ändert, wird durch einen Vektor repräsentiert, der sich mit der Frequenz $(\omega )0$ gegen den Uhrzeigersinn um seinen Ursprung dreht. Die Länge des Vektors ist gleich der Amplitude der Schwingungen.

Grafische Methode zum Lösen von beispielsweise der Gleichung:

wobei $Z=R+i(\omega L-\frac(1)(\omega C))$ die Impedanz ist, können wir sie mit Hilfe von Abb.2 darstellen. Diese Abbildung zeigt ein Vektordiagramm von Spannungen in einem Wechselstromkreis.

Figur 2.

Berücksichtigen wir, dass die Multiplikation einer komplexen Größe mit einer komplexen Einheit ihre Drehung um einen Winkel $90^0$ gegen den Uhrzeigersinn und die Multiplikation mit ($-i$) um denselben Winkel im Uhrzeigersinn bedeutet. Aus Abb. 2 folgt:

wobei $-\frac(\pi )(2)\le \varphi \le \frac(\pi )(2).$ Die Änderung des Winkels $\varphi $ hängt von der Beziehung zwischen den Impedanzen der Schaltungselemente und ab die Frequenzen. Die externe Spannung kann sich in der Phase ändern, von einer Übereinstimmung mit der Spannung über der Induktivität zu einer Übereinstimmung mit der Spannung über der Kapazität. Dies wird normalerweise als Verhältnis zwischen den Spannungsphasen an den Schaltungselementen und der Phase der externen Spannung ausgedrückt:

Die Phase der Spannung an der Induktivität $((U)L=i\omega LI)$ eilt der Phase der äußeren Spannung immer um einen Winkel von $0$ nach $\pi .$ voraus

Die Phase der Spannung an der Kapazität $((U)C=-\frac(iI)(\omega C)$) eilt der Phase der äußeren Spannung immer um einen Winkel zwischen $0$ und --$\ \pi nach .$

In diesem Fall kann die Phase am Widerstand der Phase der externen Spannung um einen Winkel zwischen $\frac(\pi )(2)$ und $\frac(\pi )(2)$ entweder vor- oder nacheilen.

Das Vektordiagramm (Abb. 2) erlaubt uns, Folgendes zu formulieren:

Die Phase der Spannung über der Induktivität eilt der Phase des Stroms um $\frac(\pi )(2)$ voraus.

Die Phase der Kapazitätsspannung liegt $\frac(\eth )(2)\ $ hinter der aktuellen Phase.

Die Phase der Spannung über dem Widerstand fällt mit der Phase des Stroms zusammen.

Beispiel 2

Übung: Zeigen Sie, dass die Quadrierungsoperation nicht auf komplexe Größen wie auf reelle Zahlen angewendet werden kann.

Lösung:

Nehmen wir an, wir müssen eine reelle Zahl $x$ quadrieren. Richtige Antwort: $x^2$. Formal wenden wir die komplexe Methode an. Lassen Sie uns ersetzen:

$x\bis x+iy$. Wir quadrieren den resultierenden Ausdruck, wir erhalten:

\[(\left(x+iy\right))^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\right).\]

Der Realteil von Ausdruck (2.1) ist:

\[(Re\left(x+iy\right))^2=Re\left(x^2-y^2+2xyi\right)=x^2-y^2\ne x^2.\]

Der Grund für den Fehler liegt darin, dass die Quadrierungsoperation nicht linear ist.

Harmonische Schwingungen

Diese. Tatsächlich wird der Sinusgraph aus der Drehung des Vektors erhalten, die durch die Formel beschrieben wird:

F(x) = A sin (ωt + φ),

Wobei A die Länge des Vektors (Oszillationsamplitude) ist, φ der Anfangswinkel (Phase) des Vektors zum Zeitpunkt Null ist, ω die Winkelgeschwindigkeit der Rotation ist, die gleich ist:

ω=2 πf, wobei f die Frequenz in Hertz ist.

Wie wir sehen können, können wir, wenn wir die Signalfrequenz, Amplitude und den Winkel kennen, ein harmonisches Signal aufbauen.

Die Magie beginnt, wenn sich herausstellt, dass die Darstellung absolut jedes Signals als Summe (oft unendlich) verschiedener Sinuskurven dargestellt werden kann. Also in Form einer Fourier-Reihe.
Ich gebe ein Beispiel aus der englischen Wikipedia. Nehmen wir als Beispiel ein Sägezahnsignal.

Sägezahnsignal

Seine Menge wird durch die folgende Formel dargestellt:

Wenn wir nacheinander summieren, zuerst n=1, dann n=2 usw. nehmen, werden wir sehen, wie sich unser harmonisches Sinussignal allmählich in eine Säge verwandelt:

Die wohl schönste Art, dies zu veranschaulichen, ist ein Programm, das ich im Internet gefunden habe. Es wurde oben bereits gesagt, dass der Sinusgraph eine Projektion eines rotierenden Vektors ist, aber was ist mit komplexeren Signalen? Seltsamerweise ist dies eine Projektion einer Reihe rotierender Vektoren, oder besser gesagt ihrer Summe, und alles sieht so aus:

Vektorzeichensäge.

Im Allgemeinen empfehle ich, dass Sie dem Link selbst folgen und versuchen, selbst mit den Parametern herumzuspielen und zu sehen, wie sich das Signal ändert. IMHO habe ich noch kein visuelleres Spielzeug zum Verständnis gesehen.

Es sollte auch beachtet werden, dass es ein inverses Verfahren gibt, mit dem Sie die Frequenz, Amplitude und Anfangsphase (Winkel) aus einem bestimmten Signal erhalten können, das als Fourier-Transformation bezeichnet wird.

Fourier-Reihenentwicklung einiger bekannter periodischer Funktionen (von hier)

Ich werde nicht im Detail darauf eingehen, aber ich werde zeigen, wie es im Leben angewendet werden kann. In der Liste der Referenzen werde ich empfehlen, wo Sie mehr über das Material lesen können.

Kommen wir zu den praktischen Übungen!

Mir scheint, jeder Student stellt eine Frage, wenn er beispielsweise in einer Vorlesung sitzt, in Matan: Wozu brauche ich diesen ganzen Unsinn? Und da er in der Regel auf absehbare Zeit keine Antwort findet, verliert er leider das Interesse an dem Thema. Daher werde ich sofort die praktische Anwendung dieses Wissens zeigen, und Sie werden dieses Wissen bereits selbst beherrschen :).

Ich werde alles weitere auf dieser Seite umsetzen. Ich habe natürlich alles unter Linux gemacht, aber ich habe keine Besonderheiten verwendet, theoretisch wird das Programm unter anderen Plattformen kompiliert und funktionieren.

Lassen Sie uns zuerst ein Programm schreiben, um eine Audiodatei zu erzeugen. Als einfachste wurde eine wav-Datei angenommen. Sie können über seine Struktur lesen.
Kurz gesagt, die Struktur der wav-Datei wird wie folgt beschrieben: ein Header, der das Dateiformat beschreibt, und dann kommt (in unserem Fall) ein Array von 16-Bit-Daten (pointed) mit einer Länge von: sample_rate * t Sekunden oder 44100 * T-Stücke.

Es wurde ein Beispiel genommen, um eine Tondatei zu bilden. Ich habe es ein wenig modifiziert, die Fehler behoben und die endgültige Version mit meinen Änderungen ist jetzt hier auf Github

Lassen Sie uns eine zwei Sekunden lange Sounddatei mit einer reinen Sinusfrequenz von 100 Hz erzeugen. Dazu modifizieren wir das Programm wie folgt:

#define S_RATE (44100) //Abtastrate #define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 Sekunden Puffer */ …. int main(int argc, char * argv) ( ... float amplitude = 32000; //nimm die maximal mögliche Amplitude float freq_Hz = 100; //Signalfrequenz /* Puffer mit einer Sinuswelle füllen */ for (i=0 ; ich

Ich mache Sie darauf aufmerksam, dass die reine Sinusformel derjenigen entspricht, über die wir oben gesprochen haben. Die Amplitude 32000 (es war möglich, 32767 zu nehmen) entspricht dem Wert, den eine 16-Bit-Zahl annehmen kann (von minus 32767 bis plus 32767).

Als Ergebnis erhalten wir die folgende Datei (Sie können sie sogar mit jedem Ton erzeugenden Programm anhören). Lassen Sie uns diese Audacity-Datei öffnen und sehen, dass der Signalgraph tatsächlich einem reinen Sinus entspricht:

Reiner Röhrensinus

Schauen wir uns das Spektrum dieses Sinus an (Analysis-> Plot Spectrum)

Spektrum-Plot

Bei 100 Hz (logarithmische Skala) ist ein sauberer Peak sichtbar. Was ist ein Spektrum? Das ist der Frequenzgang. Es gibt auch einen Phasengang. Wenn Sie sich erinnern, sagte ich oben, dass Sie zum Aufbau eines Signals seine Frequenz, Amplitude und Phase kennen müssen? Sie können diese Parameter also aus dem Signal erhalten. In diesem Fall haben wir eine Entsprechungskurve zwischen Frequenzen und Amplitude, und die Amplitude ist nicht in realen Einheiten, sondern in Dezibel.

Ich verstehe, dass es notwendig ist, um zu erklären, wie das Programm funktioniert, zu erklären, was die schnelle Fourier-Transformation ist, und dies ist mindestens ein weiterer saurer Artikel.

Lassen Sie uns zunächst Arrays zuweisen:

C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // Array von Rotationsfaktoren in = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // Array eingeben out = calloc (size_array * 2, sizeof (float)); // Ausgabearray

Lassen Sie mich nur sagen, dass wir im Programm Daten in ein Array der Länge size_array lesen (das wir aus dem Header der wav-Datei entnehmen).

While(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) ( in[j]=(float)value; j+=2; if (j > 2*size_array) break; )

Das Array für die schnelle Fourier-Transformation muss eine Sequenz sein (re, im, re, im, ... re, im), wobei fft_size=1 ist<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
es ist ein Array komplexer Zahlen. Ich habe sogar Angst, mir vorzustellen, wo die komplexe Fourier-Transformation verwendet wird, aber in unserem Fall ist der Imaginärteil gleich Null und der Realteil gleich dem Wert jedes Punktes im Array.
Ein weiteres Merkmal der schnellen Fourier-Transformation besteht darin, dass sie Arrays berechnet, die nur Vielfache von Zweierpotenzen sind. Als Ergebnis müssen wir die minimale Zweierpotenz berechnen:

Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));

Der Logarithmus der Anzahl der Bytes in den Daten dividiert durch die Anzahl der Bytes an einem Punkt.

Danach berechnen wir die Rotationsfaktoren:

Fft_make(p2,c);// Funktion zur Berechnung der Rotationsfaktoren für die FFT (der erste Parameter ist eine Zweierpotenz, der zweite ein zugeordnetes Array von Rotationsfaktoren).

Und wir füttern unser Read-Array in die Fourier-Transformation:

Fft_calc(p2, c, ein, aus, 1); //(Eins bedeutet, dass wir ein normalisiertes Array erhalten).

Als Ausgabe erhalten wir komplexe Zahlen der Form (re, im, re, im, ... re, im). Für diejenigen, die nicht wissen, was eine komplexe Zahl ist, werde ich es erklären. Ich habe diesen Artikel aus einem bestimmten Grund mit einer Reihe sich drehender Vektoren und einer Reihe von GIFs begonnen. Der Vektor auf der komplexen Ebene wird also durch die reelle Koordinate a1 und die imaginäre Koordinate a2 bestimmt. Oder Länge (das ist unsere Amplitude Am) und Winkel Psi (Phase).

Vektor auf der komplexen Ebene

Beachten Sie, dass size_array=2^p2. Der erste Punkt des Arrays entspricht der Frequenz von 0 Hz (konstant), der letzte Punkt entspricht der Abtastfrequenz, nämlich 44100 Hz. Als Ergebnis müssen wir die jedem Punkt entsprechende Frequenz berechnen, die sich um die Delta-Frequenz unterscheidet:

Double delta=((float)header.frequency)/(float)size_array; //Abtastrate pro Arraygröße.

Wir weisen ein Array von Amplituden zu:

Doppel* Verstärker; ampl = calloc(size_array*2, sizeof(double));

Und sehen Sie sich das Bild an: Die Amplitude ist die Länge des Vektors. Und wir haben seine Projektionen auf der realen und imaginären Achse. Als Ergebnis haben wir ein rechtwinkliges Dreieck, und hier erinnern wir uns an den Satz des Pythagoras, berechnen die Länge jedes Vektors und schreiben ihn sofort in eine Textdatei:

Für(i=0;i<(size_array);i+=2) { fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out))); cur_freq+=delta; }
Das Ergebnis ist eine Datei, die so aussieht:

… 11.439514 10.943008 11.607742 56.649738 11.775970 15.652428 11.944199 21.872342 12.112427 30.635371 12.280655 30.329171 12.448883 11.932371 12.617111 20.777617 ...

Lass es uns versuchen!

Nun füttern wir das entstandene Programm mit dieser Sinus-Sounddatei

./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav-Format: 16 Bit, PCM unkomprimiert, Kanal 1, Frequenz 44100, 88200 Bytes pro Sekunde, 2 Bytes durch Erfassung, 2 Bits pro Sample, 882000 Bytes im Datenblock= 441000 log2=18 Größe Array=262144 wav Format Max Freq = 99,928 , amp =7216,136

Und wir erhalten eine Textdatei des Frequenzgangs. Wir bauen seinen Graphen mit gnuplot

Skript erstellen:

#! /usr/bin/gnuplot -persist set terminal postscript eps Enhanced color solid set output "result.ps" #set terminal png size 800, 600 #set output "result.png" set grid xtics ytics set log xy set xlabel "Freq, Hz“ setze ylabel „Amp, dB“ setze xrange # setze yrange plot „test.txt“ mit 1:2 Titel „(!LANG:AFC" with lines linestyle 1 !}

Beachten Sie die Begrenzung im Skript auf die Anzahl der Punkte in X: set xrange . Wir haben eine Abtastfrequenz von 44100, und wenn wir uns an das Kotelnikov-Theorem erinnern, kann die Signalfrequenz nicht höher als die Hälfte der Abtastfrequenz sein, daher interessieren wir uns nicht für ein Signal über 22050 Hz. Warum das so ist, rate ich Ihnen, in der Fachliteratur nachzulesen.
Also (Trommelwirbel), führen Sie das Skript aus und sehen Sie:

Das Spektrum unseres Signals

Beachten Sie die scharfe Spitze bei 100 Hz. Vergessen Sie nicht, dass die Achsen logarithmisch sind! Die Wolle auf der rechten Seite sind, denke ich, Fourier-Transformationsfehler (hier fallen mir Fenster ein).

Lassen Sie uns verwöhnen, sollen wir?

Und lass uns! Sehen wir uns die Spektren anderer Signale an!

Lärm rundherum...

Lassen Sie uns zuerst das Rauschspektrum zeichnen. Thema über Rauschen, Zufallssignale etc. verdient einen eigenen Kurs. Aber wir werden es ein wenig berühren. Lassen Sie uns unser Programm zum Generieren von wav-Dateien ändern und eine Prozedur hinzufügen:

Double d_random(double min, double max) (return min + (max - min) / RAND_MAX * rand(); )

Es wird eine Zufallszahl innerhalb des angegebenen Bereichs generiert. Als Ergebnis sieht main so aus:

int main(int argc, char * argv) ( int i; float amplitude = 32000; srand((unsigned int)time(0)); // Initialisiere den Zufallszahlengenerator für (i=0; i

Lassen Sie uns eine Datei generieren (ich empfehle, zuzuhören). Sehen wir es uns in Kühnheit an.

Signal in Kühnheit

Schauen wir uns das Spektrum in Kühnheit an.

Spektrum

Und sehen wir uns das Spektrum mit unserem Programm an:

Unser Spektrum

Ich möchte die Aufmerksamkeit auf eine sehr interessante Tatsache und Eigenschaft des Rauschens lenken – es enthält die Spektren aller Harmonischen. Wie aus der Grafik ersichtlich, ist das Spektrum recht gleichmäßig. Typischerweise wird weißes Rauschen zur Frequenzanalyse der Bandbreite von beispielsweise Audiogeräten verwendet. Es gibt noch andere Arten von Geräuschen: rosa, blau und andere. Hausaufgabe ist es, herauszufinden, wie sie sich unterscheiden.

Was ist mit Kompott?

Und jetzt sehen wir uns ein weiteres interessantes Signal an - einen Mäander. Ich habe oben eine Tabelle mit Erweiterungen verschiedener Signale in Fourier-Reihen gegeben, Sie sehen sich an, wie der Mäander zerlegt wird, schreiben es auf ein Blatt Papier, und wir werden fortfahren.

Um einen Mäander mit einer Frequenz von 25 Hz zu erzeugen, modifizieren wir noch einmal unseren Wav-Datei-Generator:

int main(int argc, char * argv) ( int i; short int meandr_value=32767; /* Puffer mit einer Sinuswelle füllen */ for (i=0; i

Als Ergebnis erhalten wir eine Audiodatei (wieder rate ich Ihnen, sie anzuhören), die Sie sich sofort in Kühnheit ansehen sollten

Seine Majestät ist ein Mäander oder Mäander eines gesunden Menschen

Lassen Sie uns nicht schmachten und schauen Sie sich sein Spektrum an:

Mäanderspektrum

Bisher ist nicht ganz klar, was es ist ... Und schauen wir uns die ersten Obertöne an:

Erste Harmonische

Eine ganz andere Sache! Nun, schauen wir uns das Brett an. Schauen Sie, wir haben nur 1, 3, 5 usw., d.h. ungerade Obertöne. Wir können sehen, dass wir die erste Harmonische von 25 Hz haben, die nächste (dritte) 75 Hz, dann 125 Hz usw., während unsere Amplitude allmählich abnimmt. Theorie trifft Praxis!
Und jetzt Achtung! Im wirklichen Leben hat das Mäandersignal unendlich viele Oberwellen mit immer höheren Frequenzen, aber in der Regel können echte Stromkreise Frequenzen oberhalb einer bestimmten Frequenz nicht passieren (aufgrund der Induktivität und Kapazität der Gleise). Infolgedessen können Sie häufig das folgende Signal auf dem Oszilloskopbildschirm sehen:

Mäander Raucher

Dieses Bild ist wie ein Bild aus Wikipedia, wo nicht alle Frequenzen als Beispiel für einen Mäander genommen werden, sondern nur die ersten paar.

Die Summe der ersten Harmonischen und wie sich das Signal ändert

Der Mäander wird auch in der Funktechnik aktiv genutzt (es muss gesagt werden, dass dies die Grundlage aller Digitaltechnik ist), und es lohnt sich zu verstehen, dass er bei langen Ketten herausgefiltert werden kann, damit die eigene Mutter ihn nicht erkennt. Es wird auch verwendet, um den Frequenzgang verschiedener Geräte zu überprüfen. Eine weitere interessante Tatsache ist, dass TV-Störsender genau nach dem Prinzip der höheren Harmonischen arbeiteten, als der Mikroschaltkreis selbst einen Mäander von mehreren zehn MHz erzeugte und seine höheren Harmonischen Frequenzen von Hunderten von MHz haben konnten, genau bei der Frequenz des Fernsehers und höher Oberwellen haben das TV-Rundfunksignal erfolgreich gestört.

Im Allgemeinen ist das Thema solcher Experimente endlos und Sie können es jetzt selbst fortsetzen.

Buch

Für diejenigen, die nicht verstehen, was wir hier tun, oder umgekehrt, für diejenigen, die es verstehen, aber noch besser verstehen wollen, sowie für Studenten, die DSP studieren, kann ich dieses Buch wärmstens empfehlen. Dies ist ein DSP für Dummies, die der Autor dieses Beitrags ist. Dort werden die komplexesten Konzepte auch für ein Kind in einer verständlichen Sprache erzählt.

Fazit

Abschließend möchte ich sagen, dass die Mathematik die Königin der Wissenschaften ist, aber ohne wirkliche Anwendung verlieren viele Menschen das Interesse daran. Ich hoffe, dieser Beitrag wird Sie dazu inspirieren, sich mit einem so wunderbaren Thema wie Signalverarbeitung und analogen Schaltungen im Allgemeinen zu befassen (verschließen Sie Ihre Ohren, damit Ihr Gehirn nicht ausläuft!). :)
Viel Glück!

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Die Lösung einer Reihe von Aufgaben, insbesondere der Addition mehrerer Schwingungen gleicher Richtung (oder, was dasselbe ist, der Addition mehrerer harmonischer Funktionen), wird erheblich erleichtert und deutlich, wenn die Schwingungen als Vektoren an graphisch dargestellt werden ein Flugzeug. Das so erhaltene Schema wird Vektordiagramm genannt.

Nehmen Sie die Achse, die wir mit dem Buchstaben x bezeichnen (Abb. 55.1). Vom Punkt O auf der Achse zeichnen wir einen Vektor der Länge a, der mit der Achse einen Winkel a bildet.

Bringen wir diesen Vektor mit einer Winkelgeschwindigkeit in Rotation, so bewegt sich die Projektion des Endes des Vektors entlang der x-Achse im Bereich von -a bis +a, und die Koordinate dieser Projektion ändert sich mit der Zeit entsprechend das Gesetz

Folglich führt die Projektion des Endes des Vektors auf die Achse eine harmonische Schwingung mit einer Amplitude gleich der Länge des Vektors, mit einer Kreisfrequenz gleich der Winkelgeschwindigkeit der Rotation des Vektors und mit einer gleichen Anfangsphase aus dem Winkel, den der Vektor mit der Achse zum Anfangszeitpunkt bildet.

Aus dem Gesagten folgt, dass eine harmonische Schwingung unter Verwendung eines Vektors spezifiziert werden kann, dessen Länge gleich der Amplitude der Schwingung ist und die Richtung des Vektors mit der x-Achse einen Winkel bildet, der gleich der Anfangsphase der ist Schwingung.

Betrachten Sie die Addition zweier harmonischer Schwingungen gleicher Richtung und gleicher Frequenz. Die Auslenkung x des Schwingkörpers ist die Summe der Auslenkungen, die wie folgt geschrieben wird:

Stellen wir beide Schwankungen mit Hilfe von Vektoren dar (Abb. 55.2). Konstruieren wir den resultierenden Vektor a nach den Regeln der Vektoraddition.

Es ist leicht zu sehen, dass die Projektion dieses Vektors auf die x-Achse gleich der Summe der Projektionen der Terme der Vektoren ist:

Daher repräsentiert der Vektor a die resultierende Schwingung. Dieser Vektor dreht sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit wie die Vektoren, so dass die resultierende Bewegung eine harmonische Schwingung mit der Frequenzamplitude a und der Anfangsphase a ist. Das geht aus der Konstruktion hervor

Die Darstellung harmonischer Schwingungen durch Vektoren ermöglicht es also, die Addition mehrerer Schwingungen auf die Addition von Vektoren zu reduzieren. Diese Technik ist beispielsweise in der Optik besonders nützlich, wo Lichtschwingungen an einem bestimmten Punkt als Ergebnis einer Überlagerung vieler Schwingungen definiert werden, die von verschiedenen Teilen der Wellenfront an einem bestimmten Punkt eintreffen.

Die Formeln (55.2) und (55.3) können natürlich erhalten werden, indem man die Ausdrücke (55.1) addiert und die entsprechenden trigonometrischen Transformationen durchführt. Aber die Art und Weise, wie wir diese Formeln erhalten haben, ist einfacher und klarer.

Analysieren wir den Ausdruck (55.2) für die Amplitude. Ist die Phasendifferenz beider Schwingungen gleich Null, so ist die Amplitude der resultierenden Schwingung gleich der Summe aus a und . Wenn die Phasendifferenz gleich oder ist, d.h. beide Schwingungen gegenphasig sind, dann ist die Amplitude der resultierenden Schwingung gleich

Wenn die Schwingungsfrequenzen nicht gleich sind, rotieren die Vektoren a und mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. In diesem Fall pulsiert der resultierende Vektor a in der Größe und rotiert mit einer nicht konstanten Geschwindigkeit. Folglich ist die resultierende Bewegung in diesem Fall keine harmonische Schwingung, sondern ein komplexer Schwingungsprozess.