Satz von Vieta - dieses Konzept ist fast jedem aus der Schulzeit bekannt. Aber ist es wirklich „bekannt“? Nur wenige Menschen begegnen ihm im Alltag. Aber nicht alle, die sich mit Mathematik befassen, verstehen manchmal die tiefe Bedeutung und große Bedeutung dieses Theorems vollständig.

Der Satz von Vieta erleichtert den Prozess der Lösung einer großen Anzahl mathematischer Probleme erheblich, die letztendlich auf die Lösung hinauslaufen:

Wenn man die Bedeutung eines so einfachen und effektiven mathematischen Werkzeugs verstanden hat, denkt man unwillkürlich an die Person, die es zuerst entdeckt hat.

Der berühmte französische Wissenschaftler, der seine Karriere als Rechtsanwalt begann. Aber Mathematik war offensichtlich seine Berufung. Als Berater in königlichen Diensten wurde er berühmt, weil er eine abgefangene verschlüsselte Nachricht des Königs von Spanien an die Niederlande lesen konnte. Dies gab dem französischen König Heinrich III. die Gelegenheit, alle Absichten seiner Gegner zu kennen.

Francois Viet, der sich allmählich mit mathematischem Wissen vertraut machte, kam zu dem Schluss, dass es eine enge Verbindung zwischen den neuesten Forschungen der damaligen „Algebraiker“ und dem tiefen geometrischen Erbe der Alten geben muss. Im Zuge der wissenschaftlichen Forschung entwickelte und formulierte er fast die gesamte elementare Algebra. Er führte als erster die Verwendung von wörtlichen Werten in den mathematischen Apparat ein und unterschied klar zwischen den Begriffen: Zahl, Größe und ihren Beziehungen. Viet hat bewiesen, dass es möglich ist, das Problem durch Ausführen von Operationen in symbolischer Form für den allgemeinen Fall für fast jeden Wert gegebener Größen zu lösen.

Seine Forschung zur Lösung von Gleichungen höheren Grades als dem zweiten führte zu einem Satz, der heute als verallgemeinerter Vieta-Satz bekannt ist. Sie ist von großer praktischer Bedeutung, und ihre Anwendung ermöglicht es, Gleichungen höherer Ordnung schnell zu lösen.

Eine der Eigenschaften dieses Theorems ist folgende: Das Produkt aller n-ten Potenzen ist gleich ihrem konstanten Term. Diese Eigenschaft wird häufig beim Lösen von Gleichungen dritten oder vierten Grades verwendet, um die Ordnung eines Polynoms zu reduzieren. Wenn ein Polynom n-ten Grades ganzzahlige Wurzeln hat, dann können sie durch einfache Auswahl leicht bestimmt werden. Und nachdem wir das Polynom durch den Ausdruck (x-x1) dividiert haben, erhalten wir das Polynom (n-1)-ten Grades.

Abschließend möchte ich anmerken, dass der Satz von Vieta einer der bekanntesten Sätze des Schulalgebrakurses ist. Und sein Name nimmt einen würdigen Platz unter den Namen großer Mathematiker ein.

In der Mathematik gibt es spezielle Tricks, mit denen viele quadratische Gleichungen sehr schnell und diskriminantenfrei gelöst werden. Darüber hinaus beginnen viele mit dem richtigen Training, quadratische Gleichungen verbal zu lösen, buchstäblich "auf einen Blick".

Leider werden solche Technologien im modernen Schulmathematikkurs fast nicht untersucht. Und Sie müssen es wissen! Und heute werden wir eine dieser Techniken betrachten - den Satz von Vieta. Lassen Sie uns zunächst eine neue Definition einführen.

Eine quadratische Gleichung der Form x 2 + bx + c = 0 heißt reduziert. Bitte beachten Sie, dass der Koeffizient bei x 2 gleich 1 ist. Es gibt keine weiteren Einschränkungen für die Koeffizienten.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 ist die reduzierte quadratische Gleichung;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - ebenfalls reduziert;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - aber das ist nichts reduziertes, da der Koeffizient bei x 2 gleich 2 ist.

Natürlich kann jede quadratische Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 reduziert werden - es reicht aus, alle Koeffizienten durch die Zahl a zu teilen. Das können wir immer, da aus der Definition einer quadratischen Gleichung folgt, dass a ≠ 0.

Diese Transformationen werden zwar nicht immer nützlich sein, um Wurzeln zu finden. Etwas niedriger stellen wir sicher, dass dies nur getan werden sollte, wenn alle Koeffizienten in der endgültigen quadratischen Gleichung ganze Zahlen sind. Schauen wir uns zunächst einige einfache Beispiele an:

Eine Aufgabe. Wandeln Sie die quadratische Gleichung in eine reduzierte um:

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5 x 2 + 7,5 x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

Teilen wir jede Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen x 2 . Wir bekommen:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - alles durch 3 geteilt;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - dividiert durch −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - geteilt durch 1,5, alle Koeffizienten wurden zu ganzen Zahlen;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - dividiert durch 2. In diesem Fall entstanden Bruchkoeffizienten.

Wie Sie sehen können, können die gegebenen quadratischen Gleichungen ganzzahlige Koeffizienten haben, selbst wenn die ursprüngliche Gleichung Brüche enthielt.

Nun formulieren wir den Hauptsatz, für den eigentlich der Begriff einer reduzierten quadratischen Gleichung eingeführt wurde:

Satz von Vieta. Betrachten Sie die reduzierte quadratische Gleichung der Form x 2 + bx + c \u003d 0. Angenommen, diese Gleichung hat echte Wurzeln x 1 und x 2. In diesem Fall gelten die folgenden Aussagen:

1. x1 + x2 = −b. Mit anderen Worten, die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem Koeffizienten der Variablen x, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen;
2. x 1 x 2 = c. Das Produkt der Wurzeln einer quadratischen Gleichung ist gleich dem freien Koeffizienten.

Beispiele. Der Einfachheit halber betrachten wir nur die gegebenen quadratischen Gleichungen, die keine zusätzlichen Transformationen erfordern:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; Wurzeln: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; Wurzeln: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; Wurzeln: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Der Satz von Vieta gibt uns zusätzliche Informationen über die Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Auf den ersten Blick mag dies kompliziert erscheinen, aber selbst mit minimalem Training werden Sie lernen, die Wurzeln zu „sehen“ und sie in Sekundenschnelle buchstäblich zu erraten.

Eine Aufgabe. Lösen Sie die quadratische Gleichung:

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. x2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

Versuchen wir, die Koeffizienten nach dem Satz von Vieta aufzuschreiben und die Wurzeln zu „erraten“:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 ist die reduzierte quadratische Gleichung.
   Nach dem Satz von Vieta haben wir: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Es ist leicht zu sehen, dass die Wurzeln die Zahlen 2 und 7 sind;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - ebenfalls reduziert.
   Nach dem Satz von Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Daher die Wurzeln: 3 und 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - diese Gleichung wird nicht reduziert. Aber wir werden dies jetzt beheben, indem wir beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten a \u003d 3 dividieren. Wir erhalten: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Wir lösen nach dem Satz von Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ Wurzeln: −10 und −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - wieder ist der Koeffizient bei x 2 ungleich 1, d.h. Gleichung nicht gegeben. Wir teilen alles durch die Zahl a = −7. Wir erhalten: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Nach dem Satz von Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Aus diesen Gleichungen ist es einfach, die Wurzeln zu erraten: 5 und 6.

Aus der obigen Überlegung ist ersichtlich, wie der Satz von Vieta die Lösung quadratischer Gleichungen vereinfacht. Keine komplizierten Berechnungen, keine arithmetischen Wurzeln und Brüche. Und sogar die Diskriminante (siehe die Lektion „ Quadratische Gleichungen lösen“) brauchten wir nicht.

Natürlich sind wir bei all unseren Überlegungen von zwei wichtigen Annahmen ausgegangen, die bei realen Problemen im Allgemeinen nicht immer erfüllt sind:

1. Die quadratische Gleichung wird reduziert, d.h. der Koeffizient bei x 2 ist 1;
2. Die Gleichung hat zwei verschiedene Wurzeln. Aus algebraischer Sicht ist in diesem Fall die Diskriminante D > 0 – tatsächlich nehmen wir zunächst an, dass diese Ungleichung gilt.

Bei typischen mathematischen Problemen sind diese Bedingungen jedoch erfüllt. Wenn als Ergebnis der Berechnungen eine „schlechte“ quadratische Gleichung erhalten wird (der Koeffizient bei x 2 unterscheidet sich von 1), ist dies leicht zu beheben – sehen Sie sich die Beispiele ganz am Anfang der Lektion an. Über die Wurzeln schweige ich im Allgemeinen: Was ist das für eine Aufgabe, bei der es keine Antwort gibt? Natürlich wird es Wurzeln geben.

Das allgemeine Schema zum Lösen quadratischer Gleichungen gemäß dem Vieta-Theorem lautet also wie folgt:

1. Reduzieren Sie die quadratische Gleichung auf die gegebene, falls dies nicht bereits in der Problemstellung geschehen ist;
2. Wenn sich herausstellt, dass die Koeffizienten in der obigen quadratischen Gleichung gebrochen sind, lösen wir durch die Diskriminante. Sie können sogar zur ursprünglichen Gleichung zurückkehren, um mit "bequemeren" Zahlen zu arbeiten;
3. Bei ganzzahligen Koeffizienten lösen wir die Gleichung mit dem Vieta-Theorem;
4. Wenn es innerhalb weniger Sekunden nicht möglich war, die Wurzeln zu erraten, punkten wir mit dem Vieta-Theorem und lösen durch die Diskriminante.

Eine Aufgabe. Löse die Gleichung: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Wir haben also eine Gleichung, die nicht reduziert ist, weil Koeffizient a \u003d 5. Teilen Sie alles durch 5, wir erhalten: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Alle Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind ganzzahlig - versuchen wir, sie mit dem Vieta-Theorem zu lösen. Wir haben: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. In diesem Fall sind die Wurzeln leicht zu erraten - dies sind 2 und 5. Sie müssen die Diskriminante nicht durchzählen.

Eine Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Wir sehen: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0 - diese Gleichung wird nicht reduziert, wir teilen beide Seiten durch den Koeffizienten a = -5. Wir erhalten: x 2 - 1,6x + 0,48 = 0 - eine Gleichung mit Bruchkoeffizienten.

Es ist besser, zur ursprünglichen Gleichung zurückzukehren und die Diskriminante durchzuzählen: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0,4.

Eine Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Zunächst teilen wir alles durch den Koeffizienten a \u003d 2. Wir erhalten die Gleichung x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Dies ist die reduzierte Gleichung, nach dem Satz von Vieta gilt: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Es ist in diesem Fall schwierig, die Wurzeln der quadratischen Gleichung zu erraten - ich persönlich habe ernsthaft "eingefroren", als ich dieses Problem gelöst habe.

Wir müssen Wurzeln durch die Diskriminante suchen: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Wenn Sie sich nicht an die Wurzel der Diskriminante erinnern, notiere ich einfach, dass 1225: 25 = 49 ist. Daher ist 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Nun, da die Wurzel der Diskriminante bekannt ist, ist das Lösen der Gleichung nicht schwierig. Wir bekommen: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Bevor wir zum Satz von Vieta übergehen, führen wir eine Definition ein. Quadratische Gleichung der Form x² + px + q= 0 heißt reduziert. In dieser Gleichung ist der führende Koeffizient gleich eins. Zum Beispiel die Gleichung x² - 3 x- 4 = 0 wird reduziert. Jede quadratische Gleichung der Form Axt² + b x + c= 0 kann reduziert werden, dazu dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch a≠ 0. Zum Beispiel Gleichung 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0 geteilt durch 4 wird auf die Form reduziert: x² + x- 3/4 = 0. Wir leiten die Formel für die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung her, dazu verwenden wir die Formel für die Wurzeln einer allgemeinen quadratischen Gleichung: Axt² + bx + c = 0

Reduzierte Gleichung x² + px + q= 0 stimmt mit einer allgemeinen Gleichung überein, in der a = 1, b = p, c = q. Daher hat die Formel für die gegebene quadratische Gleichung die Form:

Der letzte Ausdruck wird als Formel der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung bezeichnet. Es ist besonders praktisch, diese Formel zu verwenden, wenn R- gerade Zahl. Lassen Sie uns zum Beispiel die Gleichung lösen x² - 14 x — 15 = 0

Als Antwort schreiben wir, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat.

Für eine reduzierte quadratische Gleichung mit positivem Wert gilt der folgende Satz.

Satz von Vieta

Wenn ein x 1 und x 2 - Wurzeln der Gleichung x² + px + q= 0, dann gelten die Formeln:

x 1 + x 2 = — R

x 1 * x 2 \u003d q, das heißt, die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.

Basierend auf der Formel der Wurzeln der obigen quadratischen Gleichung haben wir:

Addieren wir diese Gleichheiten, erhalten wir: x 1 + x 2 = —R.

Durch Multiplizieren dieser Gleichheiten mit der Differenz der Quadrate-Formel erhalten wir:

Beachten Sie, dass der Satz von Vieta auch gültig ist, wenn die Diskriminante Null ist, wenn wir annehmen, dass in diesem Fall die quadratische Gleichung zwei identische Wurzeln hat: x 1 = x 2 = — R/2.

Gleichungen nicht lösen x² - 13 x+ 30 = 0 Finden Sie die Summe und das Produkt seiner Wurzeln x 1 und x 2. diese Gleichung D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, sodass Sie das Vieta-Theorem anwenden können: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Betrachten Sie einige weitere Beispiele. Eine der Wurzeln der Gleichung x² — px- 12 = 0 ist x 1 = 4. Koeffizient finden R und zweite Wurzel x 2 dieser Gleichung. Nach dem Satz von Vieta x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Als x 1 = 4 dann 4 x 2 = - 12, woher x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Als Antwort schreiben wir die zweite Wurzel auf x 2 = - 3, Koeffizient p = - 1.

Gleichungen nicht lösen x² + 2 x- 4 = 0 Finden Sie die Summe der Quadrate seiner Wurzeln. Lassen x 1 und x 2 sind die Wurzeln der Gleichung. Nach dem Satz von Vieta x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Als x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 dann x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.

Finden Sie die Summe und das Produkt der Wurzeln von Gleichung 3 x² + 4 x- 5 \u003d 0. Diese Gleichung hat seit der Diskriminante zwei verschiedene Wurzeln D= 16 + 4*3*5 > 0. Um die Gleichung zu lösen, verwenden wir das Vieta-Theorem. Dieser Satz wurde für die reduzierte quadratische Gleichung bewiesen. Also teilen wir diese Gleichung durch 3.

Daher ist die Summe der Wurzeln -4/3 und ihr Produkt ist -5/3.

Im Allgemeinen die Wurzeln der Gleichung Axt² + b x + c= 0 hängen durch die folgenden Gleichungen zusammen: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Um diese Formeln zu erhalten, genügt es, beide Seiten dieser quadratischen Gleichung durch zu dividieren a ≠ 0 und wende den Satz von Vieta auf die resultierende reduzierte quadratische Gleichung an. Betrachten Sie ein Beispiel, Sie müssen eine gegebene quadratische Gleichung zusammenstellen, deren Wurzeln x 1 = 3, x 2 = 4. Als x 1 = 3, x 2 = 4 sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung x² + px + q= 0, dann nach dem Satz von Vieta R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Als Antwort schreiben wir x² - 7 x+ 12 = 0. Der folgende Satz wird zur Lösung einiger Probleme verwendet.

Satz invers zum Satz von Vieta

Wenn Zahlen R, q, x 1 , x 2 sind so, dass x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, dann x 1 und x2 sind die Wurzeln der Gleichung x² + px + q= 0. Ersatz auf der linken Seite x² + px + q Anstatt von R Ausdruck - ( x 1 + x 2), sondern stattdessen q- Arbeit x 1 * x 2 . Wir bekommen: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Also, wenn die Zahlen R, q, x 1 und x 2 sind durch diese Beziehungen verwandt, dann für alle X Gleichberechtigung x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), woraus folgt x 1 und x 2 - Wurzeln der Gleichung x² + px + q= 0. Unter Verwendung des Satzes, der dem Satz von Vieta entgegengesetzt ist, ist es manchmal möglich, die Wurzeln einer quadratischen Gleichung durch Auswahl zu finden. Betrachten Sie ein Beispiel, x² - 5 x+ 6 = 0. Hier R = — 5, q= 6. Wähle zwei Zahlen x 1 und x 2 damit x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Wenn wir feststellen, dass 6 = 2 * 3 und 2 + 3 = 5, erhalten wir dies durch den Satz, der dem Satz von Vieta entgegengesetzt ist x 1 = 2, x 2 = 3 - Wurzeln der Gleichung x² - 5 x + 6 = 0.

Der Satz von Vieta wird oft verwendet, um bereits gefundene Wurzeln zu testen. Hat man die Wurzeln gefunden, kann man mit den Formeln \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) die Werte \(p\ ) und \(q\ ). Und wenn sie sich als die gleichen wie in der ursprünglichen Gleichung herausstellen, werden die Wurzeln richtig gefunden.

Verwenden wir zum Beispiel , lösen die Gleichung \(x^2+x-56=0\) und erhalten die Wurzeln: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Lassen Sie uns überprüfen, ob wir beim Lösen einen Fehler gemacht haben. In unserem Fall \(p=1\) und \(q=-56\). Nach dem Satz von Vieta gilt:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Beide Aussagen konvergierten, was bedeutet, dass wir die Gleichung richtig gelöst haben.

Dieser Test kann mündlich durchgeführt werden. Es dauert 5 Sekunden und bewahrt Sie vor dummen Fehlern.

Inverses Vieta-Theorem

Wenn \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), dann sind \(x_1\) und \(x_2\) die Wurzeln der quadratischen Gleichung \ (x^ 2+px+q=0\).

Oder ganz einfach: Wenn Sie eine Gleichung der Form \(x^2+px+q=0\) haben, dann durch Lösen des Systems \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) finden Sie seine Wurzeln.

Dank dieses Satzes können Sie schnell die Wurzeln einer quadratischen Gleichung finden, besonders wenn diese Wurzeln sind. Diese Fähigkeit ist wichtig, da sie viel Zeit spart.

Beispiel . Lösen Sie die Gleichung \(x^2-5x+6=0\).

Lösung : Mit dem inversen Satz von Vieta erhalten wir, dass die Wurzeln die Bedingungen erfüllen: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Betrachten Sie die zweite Gleichung des \(x_1 \cdot x_2=6\)-Systems. In welche zwei kann die Zahl \(6\) zerlegt werden? Auf \(2\) und \(3\), \(6\) und \(1\) oder \(-2\) und \(-3\), und \(-6\) und \(- eines\). Und welches Paar zu wählen ist, zeigt die erste Gleichung des Systems: \(x_1+x_2=5\). \(2\) und \(3\) sind ähnlich, weil \(2+3=5\).
Antworten : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Beispiele . Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung, indem Sie die Umkehrung des Satzes von Vieta verwenden:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Lösung :
a) \(x^2-15x+14=0\) - in welche Faktoren zerfällt \(14\)? \(2\) und \(7\), \(-2\) und \(-7\), \(-1\) und \(-14\), \(1\) und \(14\ ). Welche Zahlenpaare ergeben zusammen \(15\)? Antwort: \(1\) und \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - in welche Faktoren zerlegt sich \(-4\)? \(-2\) und \(2\), \(4\) und \(-1\), \(1\) und \(-4\). Welche Zahlenpaare ergeben zusammen \(-3\)? Antwort: \(1\) und \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – in welche Faktoren zerlegt sich \(20\)? \(4\) und \(5\), \(-4\) und \(-5\), \(2\) und \(10\), \(-2\) und \(-10\ ), \(-20\) und \(-1\), \(20\) und \(1\). Welche Zahlenpaare ergeben zusammen \(-9\)? Antwort: \(-4\) und \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - in welche Faktoren zerlegt \(780\)? \(390\) und \(2\). Ergeben sie zusammen \(88\)? Nein. Welche anderen Multiplikatoren hat \(780\)? \(78\) und \(10\). Ergeben sie zusammen \(88\)? Ja. Antwort: \(78\) und \(10\).

Es ist nicht notwendig, den letzten Term in alle möglichen Faktoren zu zerlegen (wie im letzten Beispiel). Sie können sofort prüfen, ob ihre Summe \(-p\) ergibt.

Wichtig! Der Satz von Vieta und der umgekehrte Satz funktionieren nur mit , also einem, dessen Koeffizient vor \(x^2\) gleich eins ist. Wenn wir zunächst eine nicht reduzierte Gleichung haben, können wir sie reduzieren, indem wir einfach durch den Koeffizienten vor \ (x ^ 2 \) dividieren.

Zum Beispiel, sei die Gleichung \(2x^2-4x-6=0\) gegeben und wir wollen einen Satz von Vieta verwenden. Aber wir können nicht, weil der Koeffizient vor \(x^2\) gleich \(2\) ist. Lassen Sie uns es loswerden, indem wir die ganze Gleichung durch \(2\) dividieren.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Bereit. Jetzt können wir beide Theoreme verwenden.

Antworten auf häufig gestellte Fragen

Frage: Mit dem Satz von Vieta können Sie jedes lösen?
Antworten: Leider gibt es keine. Wenn die Gleichung keine ganzen Zahlen enthält oder die Gleichung überhaupt keine Wurzeln hat, hilft der Satz von Vieta nicht. In diesem Fall müssen Sie verwenden diskriminierend . Glücklicherweise haben 80 % der Gleichungen im Mathekurs der Schule ganzzahlige Lösungen.