Die kanonischen Gleichungen einer geraden Linie im Raum sind Gleichungen, die eine gerade Linie definieren, die durch einen gegebenen Punkt kollinear zu einem Richtungsvektor verläuft.

Gegeben sei ein Punkt und ein Richtungsvektor. Ein beliebiger Punkt liegt auf einer Geraden l nur wenn die Vektoren und kollinear sind, also die Bedingung erfüllen:

.

Die obigen Gleichungen sind die kanonischen Gleichungen der Linie.

Zahlen m , n und p sind Projektionen des Richtungsvektors auf die Koordinatenachsen. Da der Vektor nicht Null ist, dann alle Zahlen m , n und p kann nicht gleichzeitig Null sein. Aber ein oder zwei davon können Null sein. In der analytischen Geometrie ist beispielsweise folgende Notation erlaubt:

,

was bedeutet, dass die Projektionen des Vektors auf die Achsen Ey und Unze gleich Null sind. Daher stehen sowohl der Vektor als auch die durch die kanonischen Gleichungen gegebene Gerade senkrecht zu den Achsen Ey und Unze, also Flugzeuge yOz .

Beispiel 1 Stellen Sie Gleichungen einer geraden Linie im Raum senkrecht zu einer Ebene auf und durch den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse verläuft Unze .

Lösung. Finden Sie den Schnittpunkt der gegebenen Ebene mit der Achse Unze. Da jeder Punkt auf der Achse Unze, hat dann Koordinaten , vorausgesetzt, in der gegebenen Gleichung der Ebene x=y= 0, wir bekommen 4 z- 8 = 0 bzw z= 2 . Also der Schnittpunkt der gegebenen Ebene mit der Achse Unze hat Koordinaten (0; 0; 2) . Da die gesuchte Linie senkrecht zur Ebene steht, ist sie parallel zu ihrem Normalenvektor. Daher kann der Normalenvektor als Richtungsvektor der Geraden dienen Flugzeug gegeben.

Jetzt schreiben wir die gewünschten Gleichungen der Geraden, die durch den Punkt geht EIN= (0; 0; 2) in Richtung des Vektors :

Gleichungen einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft

Eine Gerade kann durch zwei darauf liegende Punkte definiert werden und Dabei kann der Richtungsvektor der Geraden der Vektor sein. Dann nehmen die kanonischen Gleichungen der Linie die Form an

.

Die obigen Gleichungen definieren eine gerade Linie, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.

Beispiel 2 Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie im Raum, die durch die Punkte und verläuft.

Lösung. Wir schreiben die gewünschten Gleichungen der Geraden in der oben im theoretischen Nachschlagewerk angegebenen Form:

.

Da , dann ist die gesuchte Linie senkrecht zur Achse Ey .

Gerade als Schnittlinie von Ebenen

Eine gerade Linie im Raum kann als Schnittlinie zweier nicht paralleler Ebenen definiert werden, d.h. als eine Menge von Punkten, die ein System von zwei linearen Gleichungen erfüllen

Die Gleichungen des Systems werden auch die allgemeinen Gleichungen einer Raumgeraden genannt.

Beispiel 3 Stellen Sie kanonische Gleichungen einer geraden Linie in dem durch allgemeine Gleichungen gegebenen Raum auf

Lösung. Um die kanonischen Gleichungen einer geraden Linie oder, was dasselbe ist, die Gleichung einer geraden Linie zu schreiben, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, müssen Sie die Koordinaten von zwei beliebigen Punkten auf der geraden Linie finden. Dies können beispielsweise die Schnittpunkte einer Geraden mit zwei beliebigen Koordinatenebenen sein yOz und xOz .

Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene yOz hat eine Abszisse x= 0 . Daher wird in diesem Gleichungssystem angenommen x= 0 erhalten wir ein System mit zwei Variablen:

Ihre Entscheidung j = 2 , z= 6 zusammen mit x= 0 definiert einen Punkt EIN(0; 2; 6) der gewünschten Zeile. Geht man dann in das gegebene Gleichungssystem ein j= 0 erhalten wir das System

Ihre Entscheidung x = -2 , z= 0 zusammen mit j= 0 definiert einen Punkt B(-2; 0; 0) Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene xOz .

Jetzt schreiben wir die Gleichungen einer geraden Linie, die durch die Punkte geht EIN(0; 2; 6) und B (-2; 0; 0) :

,

oder nach Division der Nenner durch -2:

,

Gleichung einer Linie, die in einer bestimmten Richtung durch einen bestimmten Punkt verläuft. Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht. Winkel zwischen zwei Geraden. Bedingung der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden. Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden

1. Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft EIN(x 1 , j 1) in eine bestimmte Richtung, bestimmt durch die Neigung k,

j - j 1 = k(x - x 1). (1)

Diese Gleichung definiert ein Linienbündel, das durch einen Punkt verläuft EIN(x 1 , j 1), die als Strahlmittelpunkt bezeichnet wird.

2. Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht: EIN(x 1 , j 1) und B(x 2 , j 2) wird so geschrieben:

Die Steigung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, wird durch die Formel bestimmt

3. Winkel zwischen geraden Linien EIN und B ist der Winkel, um den die erste Gerade gedreht werden muss EIN um den Schnittpunkt dieser Linien gegen den Uhrzeigersinn herum, bis er mit der zweiten Linie zusammenfällt B. Wenn zwei Geraden durch Steigungsgleichungen gegeben sind

j = k 1 x + B 1 ,

Gegeben seien zwei Punkte M(X 1 ,Bei 1) und N(X 2,j 2). Finden wir die Gleichung der geraden Linie, die durch diese Punkte geht.

Da diese Gerade durch den Punkt geht M, dann hat ihre Gleichung nach Formel (1.13) die Form

Bei – Y 1 = K(X-x 1),

Wo K ist die unbekannte Steigung.

Der Wert dieses Koeffizienten wird aus der Bedingung bestimmt, dass die gewünschte Gerade durch den Punkt verläuft N, was bedeutet, dass seine Koordinaten Gleichung (1.13) erfüllen

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Von hier aus können Sie die Steigung dieser Linie finden:

,

Oder nach Umbau

(1.14)

Formel (1.14) definiert Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht M(X 1, Y 1) und N(X 2, Y 2).

Im besonderen Fall, wenn die Punkte M(EIN, 0), N(0, B), ABER ¹ 0, B¹ 0, auf den Koordinatenachsen liegen, nimmt Gleichung (1.14) eine einfachere Form an

Gleichung (1.15) genannt Gleichung einer Geraden in Segmenten, hier ABER und B bezeichnen Segmente, die durch eine gerade Linie auf den Achsen abgeschnitten sind (Abbildung 1.6).

Abbildung 1.6

Beispiel 1.10. Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte geht M(1, 2) und B(3, –1).

. Nach (1.14) hat die Gleichung der gesuchten Geraden die Form

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Wenn wir alle Terme auf die linke Seite übertragen, erhalten wir schließlich die gewünschte Gleichung

3X + 2Y – 7 = 0.

Beispiel 1.11. Schreibe eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen Punkt geht M(2, 1) und dem Schnittpunkt der Geraden X+ Y- 1 = 0, X-y+ 2 = 0.

. Wir finden die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien, indem wir diese Gleichungen gemeinsam lösen

Wenn wir diese Gleichungen Term für Term addieren, erhalten wir 2 X+ 1 = 0, woher . Wenn wir den gefundenen Wert in eine beliebige Gleichung einsetzen, finden wir den Wert der Ordinate Bei:

Schreiben wir nun die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte (2, 1) und verläuft:

oder .

Daher oder -5( Y – 1) = X – 2.

Schließlich erhalten wir die Gleichung der gesuchten Geraden in der Form X + 5Y – 7 = 0.

Beispiel 1.12. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch Punkte geht M(2.1) und N(2,3).

Mit Formel (1.14) erhalten wir die Gleichung

Es macht keinen Sinn, weil der zweite Nenner Null ist. Aus der Problemstellung ist ersichtlich, dass die Abszissen beider Punkte den gleichen Wert haben. Daher ist die erforderliche Linie parallel zur Achse OY und seine Gleichung lautet: x = 2.

Kommentar . Wenn sich beim Schreiben der Geradengleichung nach Formel (1.14) herausstellt, dass einer der Nenner gleich Null ist, dann erhält man die gewünschte Gleichung, indem man den entsprechenden Zähler mit Null gleichsetzt.

Betrachten wir andere Möglichkeiten, eine gerade Linie auf einer Ebene festzulegen.

1. Ein von Null verschiedener Vektor sei senkrecht zu einer gegebenen Linie L, und der Punkt M 0(X 0, Y 0) liegt auf dieser Linie (Abbildung 1.7).

Abbildung 1.7

Bezeichnen M(X, Y) ein beliebiger Punkt auf der Linie L. Vektoren und Senkrecht. Unter Verwendung der Orthogonalitätsbedingungen für diese Vektoren erhalten wir bzw ABER(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Wir haben die Gleichung einer geraden Linie erhalten, die durch einen Punkt geht M 0 steht senkrecht auf dem Vektor . Dieser Vektor heißt Normaler Vektor zu einer geraden Linie L. Die resultierende Gleichung kann umgeschrieben werden als

Oh + Wu + AUS= 0, wo AUS = –(ABERX 0 + Durch 0), (1.16),

Wo ABER und BEI sind die Koordinaten des Normalenvektors.

Wir erhalten die allgemeine Geradengleichung in parametrischer Form.

2. Eine Linie auf einer Ebene kann wie folgt definiert werden: Ein Nicht-Null-Vektor sei parallel zu einer gegebenen Linie L und Punkt M 0(X 0, Y 0) liegt auf dieser Linie. Nehmen Sie wieder einen beliebigen Punkt M(X, y) auf einer Geraden (Abbildung 1.8).

Abbildung 1.8

Vektoren und kollinear.

Schreiben wir die Bedingung der Kollinearität dieser Vektoren auf: , wo T ist eine beliebige Zahl, die als Parameter bezeichnet wird. Schreiben wir diese Gleichheit in Koordinaten:

Diese Gleichungen werden aufgerufen Parametrische Gleichungen Gerade. Lassen Sie uns aus diesen Gleichungen den Parameter ausschließen T:

Diese Gleichungen können in der Form geschrieben werden

. (1.18)

Die resultierende Gleichung wird aufgerufen Die kanonische Gleichung einer Geraden. Vektoranruf Richtungsvektor gerade .

Kommentar . Es ist leicht zu sehen, dass if der Normalenvektor zur Geraden ist L, dann kann sein Richtungsvektor der Vektor sein, da , also .

Beispiel 1.13. Schreibe die Gleichung einer Geraden auf, die durch einen Punkt geht M 0(1, 1) parallel zu Zeile 3 X + 2Bei– 8 = 0.

Lösung . Der Vektor ist der Normalenvektor zu den gegebenen und gewünschten Linien. Verwenden wir die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt verläuft M 0 mit gegebenem Normalenvektor 3( X –1) + 2(Bei– 1) = 0 oder 3 X + 2 Jahre- 5 \u003d 0. Wir haben die Gleichung der gewünschten geraden Linie erhalten.

Dieser Artikel setzt das Thema der Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene fort: Betrachten Sie eine solche Art von Gleichung als die allgemeine Gleichung einer geraden Linie. Lassen Sie uns ein Theorem definieren und seinen Beweis geben; Lassen Sie uns herausfinden, was eine unvollständige allgemeine Gleichung einer geraden Linie ist und wie man Übergänge von einer allgemeinen Gleichung zu anderen Arten von Gleichungen einer geraden Linie macht. Wir werden die gesamte Theorie mit Illustrationen und der Lösung praktischer Probleme festigen.

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Gegeben sei ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y in der Ebene.

Satz 1

Jede Gleichung ersten Grades mit der Form A x + B y + C \u003d 0, wobei A, B, C einige reelle Zahlen sind (A und B sind nicht gleichzeitig gleich Null), definiert eine gerade Linie in ein rechtwinkliges Koordinatensystem auf einer Ebene. Jede Linie in einem rechteckigen Koordinatensystem in der Ebene wird wiederum durch eine Gleichung bestimmt, die die Form A x + B y + C = 0 für einen bestimmten Satz von Werten A, B, C hat.

Nachweisen

Dieser Satz besteht aus zwei Punkten, wir werden jeden von ihnen beweisen.

1. Lassen Sie uns beweisen, dass die Gleichung A x + B y + C = 0 eine Linie in der Ebene definiert.

Es gebe einen Punkt M 0 (x 0 , y 0), dessen Koordinaten der Gleichung A x + B y + C = 0 entsprechen. Also: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtrahieren Sie von der linken und rechten Seite der Gleichungen A x + B y + C \u003d 0 die linke und rechte Seite der Gleichung A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, wir erhalten eine neue Gleichung, die wie A aussieht (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Es ist äquivalent zu A x + B y + C = 0 .

Die resultierende Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit der Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Die Punktmenge M (x, y) definiert also in einem rechtwinkligen Koordinatensystem eine Gerade senkrecht zur Richtung des Vektors n → = (A, B) . Wir können davon ausgehen, dass dies nicht so ist, aber dann wären die Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nicht senkrecht, und die Gleichheit A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 wäre nicht wahr.

Daher definiert die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 eine bestimmte Linie in einem rechteckigen Koordinatensystem in der Ebene und daher die äquivalente Gleichung A x + B y + C \u003d 0 definiert dieselbe Zeile. Damit haben wir den ersten Teil des Satzes bewiesen.

1. Beweisen wir, dass jede gerade Linie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene durch eine Gleichung ersten Grades A x + B y + C = 0 gegeben werden kann.

Setzen wir eine Gerade a in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf der Ebene; Punkt M 0 (x 0 , y 0), durch den diese Gerade verläuft, sowie der Normalenvektor dieser Geraden n → = (A , B) .

Lassen Sie es auch einen Punkt M (x , y) geben - einen Gleitpunkt der Linie. In diesem Fall stehen die Vektoren n → = (A , B) und M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) senkrecht aufeinander und ihr Skalarprodukt ist Null:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Schreiben wir die Gleichung A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 um, definieren C: C = - A x 0 - B y 0 und erhalten schließlich die Gleichung A x + B y + C = 0 .

Wir haben also den zweiten Teil des Satzes bewiesen, und wir haben den ganzen Satz als Ganzes bewiesen.

Bestimmung 1

Eine Gleichung, die aussieht wie A x + B y + C = 0 - Das allgemeine Geradengleichung auf einer Ebene in einem rechtwinkligen KoordinatensystemO x y .

Basierend auf dem bewiesenen Satz können wir schließen, dass eine gerade Linie, die in einer Ebene in einem festen rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben ist, und ihre allgemeine Gleichung untrennbar miteinander verbunden sind. Mit anderen Worten, die ursprüngliche Linie entspricht ihrer allgemeinen Gleichung; die allgemeine Geradengleichung entspricht einer gegebenen Geraden.

Aus dem Beweis des Satzes folgt auch, dass die Koeffizienten A und B für die Variablen x und y die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden sind, der durch die allgemeine Geradengleichung A x + B y + gegeben ist C = 0 .

Betrachten Sie ein spezifisches Beispiel der allgemeinen Gleichung einer geraden Linie.

Gegeben sei die Gleichung 2 x + 3 y - 2 = 0, die einer geraden Linie in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem entspricht. Der Normalenvektor dieser Linie ist der Vektor n → = (2 , 3) ​​​​. Zeichne eine vorgegebene gerade Linie in die Zeichnung.

Man kann auch argumentieren: Die Gerade, die wir in der Zeichnung sehen, ist durch die allgemeine Gleichung 2 x + 3 y - 2 = 0 bestimmt, da die Koordinaten aller Punkte einer gegebenen Gerade dieser Gleichung entsprechen.

Wir können die Gleichung λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 erhalten, indem wir beide Seiten der allgemeinen Geradengleichung mit einer Zahl λ multiplizieren, die nicht Null ist. Die resultierende Gleichung entspricht der ursprünglichen allgemeinen Gleichung und beschreibt daher dieselbe Linie in der Ebene.

Bestimmung 2

Vollständige allgemeine Gleichung einer Geraden- eine solche allgemeine Gleichung der Linie A x + B y + C \u003d 0, in der die Zahlen A, B, C nicht Null sind. Ansonsten ist die Gleichung unvollständig.

Analysieren wir alle Varianten der unvollständigen allgemeinen Geradengleichung.

1. Wenn A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, wird die allgemeine Gleichung zu B y + C \u003d 0. Eine solche unvollständige allgemeine Gleichung definiert eine gerade Linie im rechtwinkligen Koordinatensystem O x y, die parallel zur O x -Achse ist, da für jeden reellen Wert von x die Variable y den Wert annimmt -C.B. Mit anderen Worten, die allgemeine Gleichung der Linie A x + B y + C \u003d 0, wenn A \u003d 0, B ≠ 0, definiert den Ort von Punkten (x, y), deren Koordinaten gleich der gleichen Zahl sind -C.B.
2. Wenn A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, wird die allgemeine Gleichung zu y \u003d 0. Eine solche unvollständige Gleichung definiert die x-Achse O x .
3. Wenn A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, erhalten wir eine unvollständige allgemeine Gleichung A x + C \u003d 0, die eine gerade Linie parallel zur y-Achse definiert.
4. Sei A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, dann nimmt die unvollständige allgemeine Gleichung die Form x \u003d 0 an, und dies ist die Gleichung der Koordinatenlinie O y.
5. Wenn schließlich A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 ist, nimmt die unvollständige allgemeine Gleichung die Form A x + B y \u003d 0 an. Und diese Gleichung beschreibt eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Tatsächlich entspricht das Zahlenpaar (0 , 0) der Gleichheit A x + B y = 0 , da A · 0 + B · 0 = 0 .

Lassen Sie uns alle oben genannten Arten der unvollständigen allgemeinen Geradengleichung grafisch veranschaulichen.

Beispiel 1

Es ist bekannt, dass die gegebene Gerade parallel zur y-Achse ist und durch den Punkt 2 7 , -11 geht. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung einer gegebenen geraden Linie aufzuschreiben.

Lösung

Eine gerade Linie parallel zur y-Achse ist durch eine Gleichung der Form A x + C \u003d 0 gegeben, wobei A ≠ 0 ist. Die Bedingung gibt auch die Koordinaten des Punktes an, durch den die Linie verläuft, und die Koordinaten dieses Punktes entsprechen den Bedingungen der unvollständigen allgemeinen Gleichung A x + C = 0 , d.h. Gleichheit ist richtig:

A 2 7 + C = 0

Es ist möglich, C daraus zu bestimmen, indem A ein Wert ungleich Null gegeben wird, zum Beispiel A = 7 . In diesem Fall erhalten wir: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Wir kennen beide Koeffizienten A und C, setzen sie in die Gleichung A x + C = 0 ein und erhalten die benötigte Geradengleichung: 7 x - 2 = 0

Antworten: 7 x - 2 = 0

Beispiel 2

Die Zeichnung zeigt eine gerade Linie, es ist notwendig, ihre Gleichung aufzuschreiben.

Lösung

Die gegebene Zeichnung ermöglicht es uns, die ersten Daten zur Lösung des Problems leicht zu entnehmen. Wir sehen in der Zeichnung, dass die angegebene Linie parallel zur O x -Achse ist und durch den Punkt (0 , 3) ​​​​geht.

Die zur Abszisse parallele Gerade wird durch die unvollständige allgemeine Gleichung B y + С = 0 bestimmt. Finden Sie die Werte von B und C . Die Koordinaten des Punktes (0, 3) erfüllen, da eine gegebene Gerade durch ihn verläuft, die Gleichung der Geraden B y + С = 0, dann gilt die Gleichheit: В · 3 + С = 0. Lassen Sie uns B auf einen anderen Wert als Null setzen. Nehmen wir an, B \u003d 1, in diesem Fall können wir aus der Gleichheit B · 3 + C \u003d 0 C finden: C \u003d - 3. Unter Verwendung der bekannten Werte von B und C erhalten wir die erforderliche Geradengleichung: y - 3 = 0.

Antworten: y - 3 = 0 .

Allgemeine Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt der Ebene verläuft

Lassen Sie die gegebene Linie durch den Punkt M 0 (x 0, y 0) verlaufen, dann entsprechen ihre Koordinaten der allgemeinen Gleichung der Linie, d.h. die Gleichheit gilt: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtrahiere die linke und rechte Seite dieser Gleichung von der linken und rechten Seite der allgemeinen vollständigen Gleichung der geraden Linie. Wir erhalten: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, diese Gleichung entspricht der ursprünglichen allgemeinen, geht durch den Punkt M 0 (x 0, y 0) und hat a Normalvektor n → \u003d (A, B) .

Das erhaltene Ergebnis ermöglicht es, die allgemeine Geradengleichung für bekannte Koordinaten des Normalenvektors der Geraden und die Koordinaten eines bestimmten Punktes dieser Geraden zu schreiben.

Beispiel 3

Gegeben sei ein Punkt M 0 (- 3, 4), durch den die Gerade verläuft, und der Normalenvektor dieser Geraden n → = (1 , - 2) . Es ist notwendig, die Gleichung einer gegebenen geraden Linie aufzuschreiben.

Lösung

Die Anfangsbedingungen ermöglichen es uns, die erforderlichen Daten zum Erstellen der Gleichung zu erhalten: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Dann:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Das Problem hätte auch anders gelöst werden können. Die allgemeine Geradengleichung hat die Form A x + B y + C = 0 . Der gegebene Normalenvektor ermöglicht es Ihnen, die Werte der Koeffizienten A und B zu erhalten, dann:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Lassen Sie uns nun den Wert von C ermitteln, indem wir den Punkt M 0 (- 3, 4) verwenden, der durch die Bedingung des Problems gegeben ist, durch das die Linie verläuft. Die Koordinaten dieses Punktes entsprechen der Gleichung x - 2 · y + C = 0 , d.h. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Also C = 11. Die benötigte Geradengleichung hat die Form: x - 2 · y + 11 = 0 .

Antworten: x - 2 y + 11 = 0 .

Beispiel 4

Gegeben sei eine Linie 2 3 x - y - 1 2 = 0 und ein auf dieser Linie liegender Punkt M 0 . Nur die Abszisse dieses Punktes ist bekannt und sie ist gleich - 3. Es ist notwendig, die Ordinate des gegebenen Punktes zu bestimmen.

Lösung

Setzen wir die Bezeichnung der Koordinaten des Punktes M 0 als x 0 und y 0 . Die Anfangsdaten zeigen an, dass x 0 \u003d - 3. Da der Punkt zu einer bestimmten Linie gehört, entsprechen seine Koordinaten der allgemeinen Gleichung dieser Linie. Dann gilt folgende Gleichheit:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definiere y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Antworten: - 5 2

Übergang von der allgemeinen Geradengleichung zu anderen Arten von Geradengleichungen und umgekehrt

Wie wir wissen, gibt es mehrere Arten von Gleichungen derselben Geraden in der Ebene. Die Wahl des Gleichungstyps hängt von den Bedingungen des Problems ab; Es ist möglich, diejenige auszuwählen, die für ihre Lösung bequemer ist. Hier erweist sich die Fähigkeit, eine Gleichung einer Art in eine Gleichung einer anderen Art umzuwandeln, als sehr praktisch.

Betrachten Sie zunächst den Übergang von der allgemeinen Gleichung der Form A x + B y + C = 0 zur kanonischen Gleichung x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Ist A ≠ 0, dann übertragen wir den Term B y auf die rechte Seite der allgemeinen Gleichung. Auf der linken Seite entfernen wir A aus Klammern. Als Ergebnis erhalten wir: A x + C A = - B y .

Diese Gleichheit kann als Verhältnis geschrieben werden: x + C A - B = y A .

Wenn B ≠ 0, lassen wir nur den Term A x auf der linken Seite der allgemeinen Gleichung, wir übertragen die anderen auf die rechte Seite, wir erhalten: A x \u003d - B y - C. Wir nehmen - B aus Klammern heraus, dann: A x \u003d - B y + C B.

Schreiben wir die Gleichheit als Proportion um: x - B = y + C B A .

Natürlich müssen Sie sich die resultierenden Formeln nicht merken. Es reicht aus, den Aktionsalgorithmus beim Übergang von der allgemeinen Gleichung zur kanonischen zu kennen.

Beispiel 5

Die allgemeine Gleichung der Linie 3 y - 4 = 0 ist gegeben. Es muss in eine kanonische Gleichung umgewandelt werden.

Lösung

Wir schreiben die ursprüngliche Gleichung als 3 y - 4 = 0 . Als nächstes verfahren wir nach dem Algorithmus: Der Term 0 x bleibt auf der linken Seite; und auf der rechten Seite nehmen wir - 3 aus Klammern heraus; wir erhalten: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Schreiben wir die resultierende Gleichheit als Verhältnis: x - 3 = y - 4 3 0 . Damit haben wir eine Gleichung der kanonischen Form erhalten.

Antwort: x - 3 = y - 4 3 0.

Um die allgemeine Gleichung einer geraden Linie in parametrische Gleichungen umzuwandeln, wird zuerst der Übergang zur kanonischen Form und dann der Übergang von der kanonischen Gleichung der geraden Linie zu parametrischen Gleichungen durchgeführt.

Beispiel 6

Die Gerade ist gegeben durch die Gleichung 2 x - 5 y - 1 = 0 . Schreiben Sie die Parametergleichungen dieser Geraden auf.

Lösung

Machen wir den Übergang von der allgemeinen Gleichung zur kanonischen:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nehmen wir nun beide Teile der resultierenden kanonischen Gleichung gleich λ, dann:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Antworten:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Die allgemeine Gleichung kann in eine Geradengleichung mit Steigung y = k x + b umgewandelt werden, aber nur, wenn B ≠ 0. Für den Übergang auf der linken Seite lassen wir den Term B y stehen, der Rest wird nach rechts verlegt. Wir erhalten: B y = - A x - C . Lassen Sie uns beide Teile der resultierenden Gleichheit durch B dividieren, das von Null verschieden ist: y = - A B x - C B .

Beispiel 7

Die allgemeine Geradengleichung ist gegeben: 2 x + 7 y = 0 . Sie müssen diese Gleichung in eine Steigungsgleichung umwandeln.

Lösung

Lassen Sie uns die erforderlichen Aktionen gemäß dem Algorithmus ausführen:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Antworten: y = - 2 7 x .

Aus der allgemeinen Gleichung einer geraden Linie reicht es aus, einfach eine Segmentgleichung der Form x a + y b \u003d 1 zu erhalten. Um einen solchen Übergang zu machen, übertragen wir die Zahl C auf die rechte Seite der Gleichheit, dividieren beide Teile der resultierenden Gleichheit durch - С und übertragen schließlich die Koeffizienten für die Variablen x und y auf die Nenner:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Beispiel 8

Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung der geraden Linie x - 7 y + 1 2 = 0 in die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten umzuwandeln.

Lösung

Lassen Sie uns 1 2 auf die rechte Seite verschieben: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Antworten: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Im Allgemeinen ist auch der umgekehrte Übergang einfach: von anderen Gleichungstypen zu den allgemeinen.

Die Gleichung einer Geraden in Segmenten und die Gleichung mit einer Steigung lassen sich leicht in eine allgemeine umwandeln, indem man einfach alle Terme auf der linken Seite der Gleichung zusammenfasst:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Die kanonische Gleichung wird nach folgendem Schema in die allgemeine umgewandelt:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Um vom Parametrischen überzugehen, wird zuerst der Übergang zum Kanonischen und dann zum Allgemeinen durchgeführt:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Beispiel 9

Gegeben sind die Parametergleichungen der Geraden x = - 1 + 2 · λ y = 4. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung dieser Linie aufzuschreiben.

Lösung

Machen wir den Übergang von parametrischen Gleichungen zu kanonischen:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Gehen wir von kanonisch zu allgemein über:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Antworten: y - 4 = 0

Beispiel 10

Gegeben ist die Gleichung einer Geraden in Segmenten x 3 + y 1 2 = 1. Es ist notwendig, den Übergang zur allgemeinen Form der Gleichung durchzuführen.

Lösung:

Schreiben wir einfach die Gleichung in der erforderlichen Form um:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Antworten: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Aufstellen einer allgemeinen Geradengleichung

Oben haben wir gesagt, dass die allgemeine Gleichung mit bekannten Koordinaten des Normalenvektors und den Koordinaten des Punktes, durch den die Gerade verläuft, geschrieben werden kann. Eine solche Gerade ist durch die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definiert. An gleicher Stelle haben wir das entsprechende Beispiel analysiert.

Betrachten wir nun komplexere Beispiele, bei denen zunächst die Koordinaten des Normalenvektors bestimmt werden müssen.

Beispiel 11

Gegeben sei eine Linie parallel zur Linie 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Bekannt ist auch der Punkt M 0 (4 , 1), durch den die gegebene Gerade verläuft. Es ist notwendig, die Gleichung einer gegebenen geraden Linie aufzuschreiben.

Lösung

Die Anfangsbedingungen sagen uns, dass die Geraden parallel sind, dann nehmen wir als Normalenvektor der Geraden, deren Gleichung geschrieben werden soll, den Richtungsvektor der Geraden n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Jetzt kennen wir alle notwendigen Daten, um die allgemeine Geradengleichung aufzustellen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Antworten: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Beispiel 12

Die gegebene Gerade geht durch den Ursprung senkrecht zur Geraden x - 2 3 = y + 4 5 . Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung einer gegebenen geraden Linie zu schreiben.

Lösung

Der Normalenvektor der gegebenen Linie ist der Richtungsvektor der Linie x - 2 3 = y + 4 5 .

Dann ist n → = (3 , 5) . Die Gerade geht durch den Ursprung, d.h. durch den Punkt O (0, 0) . Lassen Sie uns die allgemeine Gleichung einer gegebenen geraden Linie aufstellen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Antworten: 3 x + 5 y = 0 .

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Lektion aus der Reihe "Geometrische Algorithmen"

Hallo lieber Leser!

Heute werden wir anfangen, Algorithmen zu lernen, die sich auf Geometrie beziehen. Tatsache ist, dass es in der Informatik viele Olympiade-Probleme im Zusammenhang mit Computergeometrie gibt und die Lösung solcher Probleme oft Schwierigkeiten bereitet.

In einigen Lektionen werden wir eine Reihe elementarer Teilprobleme betrachten, auf denen die Lösung der meisten Probleme der Computergeometrie basiert.

In dieser Lektion schreiben wir ein Programm für Finden der Geradengleichung durch das Gegebene gehen zwei Punkte. Um geometrische Probleme zu lösen, benötigen wir einige Kenntnisse der Computergeometrie. Wir werden einen Teil der Lektion darauf verwenden, sie kennenzulernen.

Informationen aus der Computergeometrie

Computational Geometry ist ein Zweig der Informatik, der Algorithmen zur Lösung geometrischer Probleme untersucht.

Die Anfangsdaten für solche Probleme können eine Reihe von Punkten auf der Ebene, eine Reihe von Segmenten, ein Polygon (gegeben zum Beispiel durch eine Liste seiner Eckpunkte im Uhrzeigersinn) usw. sein.

Das Ergebnis kann entweder eine Antwort auf eine Frage sein (z. B. gehört ein Punkt zu einem Segment, schneiden sich zwei Segmente, ...) oder ein geometrisches Objekt (z. B. das kleinste konvexe Polygon, das bestimmte Punkte verbindet, die Fläche von ein Polygon usw.) .

Wir werden Probleme der Computergeometrie nur in der Ebene und nur im kartesischen Koordinatensystem betrachten.

Vektoren und Koordinaten

Um die Methoden der Computergeometrie anzuwenden, ist es notwendig, geometrische Bilder in die Sprache der Zahlen zu übersetzen. Wir nehmen an, dass auf der Ebene ein kartesisches Koordinatensystem gegeben ist, in dem die Drehrichtung gegen den Uhrzeigersinn als positiv bezeichnet wird.

Nun erhalten geometrische Objekte einen analytischen Ausdruck. Um also einen Punkt festzulegen, reicht es aus, seine Koordinaten anzugeben: ein Zahlenpaar (x; y). Ein Segment kann durch Angabe der Koordinaten seiner Enden angegeben werden, eine gerade Linie kann durch Angabe der Koordinaten eines Paars ihrer Punkte angegeben werden.

Aber das Hauptwerkzeug zur Lösung von Problemen werden Vektoren sein. Lassen Sie mich Sie daher an einige Informationen über sie erinnern.

Liniensegment AB, was einen Sinn hat ABER betrachtet den Anfang (Anwendungspunkt) und den Punkt BEI- Das Ende wird als Vektor bezeichnet AB und beispielsweise entweder mit , oder einem fettgedruckten Kleinbuchstaben gekennzeichnet a .

Um die Länge eines Vektors (d. h. die Länge des entsprechenden Segments) anzugeben, verwenden wir das Modulsymbol (z. B. ).

Ein beliebiger Vektor hat Koordinaten, die gleich der Differenz zwischen den entsprechenden Koordinaten seines Endes und Anfangs sind:

,

Punkte hier EIN und B Koordinaten haben beziehungsweise.

Für Berechnungen verwenden wir das Konzept orientierten Winkel, also ein Winkel, der die relative Position der Vektoren berücksichtigt.

Orientierter Winkel zwischen Vektoren a und b positiv, wenn die Drehung vom Vektor weg ist a zum Vektor b erfolgt in positiver Richtung (gegen den Uhrzeigersinn) und negativ im anderen Fall. Siehe Abb.1a, Abb.1b. Es wird auch gesagt, dass ein Paar von Vektoren a und b positiv (negativ) orientiert.

Somit hängt der Wert des orientierten Winkels von der Reihenfolge der Aufzählung der Vektoren ab und kann Werte im Intervall annehmen.

Viele Computergeometrieprobleme verwenden das Konzept von Vektorprodukten (schräg oder pseudoskalar) von Vektoren.

Das Vektorprodukt der Vektoren a und b ist das Produkt der Längen dieser Vektoren und des Sinus des Winkels zwischen ihnen:

.

Vektorprodukt von Vektoren in Koordinaten:

Der rechte Ausdruck ist eine Determinante zweiter Ordnung:

Im Gegensatz zur Definition in der analytischen Geometrie ist dies ein Skalar.

Das Vorzeichen des Kreuzprodukts bestimmt die Lage der Vektoren zueinander:

a und b positiv orientiert.

Wenn der Wert ist, dann das Vektorpaar a und b negativ orientiert.

Das Kreuzprodukt von Vektoren ungleich Null ist genau dann Null, wenn sie kollinear sind ( ). Das bedeutet, dass sie auf derselben Linie oder auf parallelen Linien liegen.

Betrachten wir einige einfache Aufgaben, die zur Lösung komplexerer Aufgaben erforderlich sind.

Lassen Sie uns die Gleichung einer geraden Linie durch die Koordinaten zweier Punkte definieren.

Die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei verschiedene Punkte verläuft, die durch ihre Koordinaten gegeben sind.

Auf der Geraden seien zwei nicht übereinstimmende Punkte gegeben: mit Koordinaten (x1;y1) und mit Koordinaten (x2;y2). Dementsprechend hat der Vektor mit dem Anfang am Punkt und dem Ende am Punkt Koordinaten (x2-x1, y2-y1). Wenn P(x, y) ein beliebiger Punkt auf unserer Linie ist, dann sind die Koordinaten des Vektors (x-x1, y - y1).

Mit Hilfe des Kreuzprodukts lässt sich die Bedingung für die Kollinearität der Vektoren und wie folgt schreiben:

Diese. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Wir schreiben die letzte Gleichung wie folgt um:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Die Gerade kann also durch eine Gleichung der Form (1) gegeben werden.

Aufgabe 1. Die Koordinaten zweier Punkte sind gegeben. Finde seine Darstellung in der Form ax + by + c = 0.

In dieser Lektion haben wir einige Informationen aus der Computergeometrie kennengelernt. Wir haben das Problem gelöst, die Geradengleichung durch die Koordinaten zweier Punkte zu finden.

In der nächsten Lektion werden wir ein Programm schreiben, um den Schnittpunkt zweier Geraden zu finden, die durch unsere Gleichungen gegeben sind.