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Wie die alten Philosophen sagten: „Weisheit ist die Liebe zur Erkenntnis, und die Liebe ist das Maß aller Dinge.“ „Maß“ heißt im Lateinischen „Modulus“, woraus das Wort „Modul“ stammt. Und heute werden wir mit Gleichungen arbeiten, die den Modul enthalten. Ich hoffe, dass alles für uns klappt und wir am Ende der Lektion klüger werden.

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Vorschau:

Pirogova Tatyana Nikolaevna, Taganrog, Sekundarschule Nr. 10.

Thema: "Gleichungen lösen mit Betrag und Parameter"

Klasse 10, Unterrichtsstunde des Wahlpflichtfachs "Eigenschaften einer Funktion".

Unterrichtsplan.

1. Motivation.
2. Wissensaktualisierung.
3. Lösen einer linearen Gleichung mit einem Modul auf verschiedene Arten.
4. Lösung von Gleichungen, die ein Modul unter einem Modul enthalten.
5. Forschungdurch Bestimmen der Abhängigkeit von der Anzahl der Wurzeln der Gleichung

| | x| - a |= in aus den Werten a und b.

1. Betrachtung.

Während des Unterrichts.

Motivation. Wie die alten Philosophen sagten: „Weisheit ist die Liebe zur Erkenntnis, und die Liebe ist das Maß aller Dinge.“"Messen" in Latein -"Modul", von dem das Wort stammt"Modul". Und heute werden wir mit Gleichungen arbeiten, die den Modul enthalten. Ich hoffe, dass alles für uns klappt und wir am Ende der Lektion klüger werden.

Wissensaktualisierung.Erinnern wir uns also an das, was wir bereits über das Modul wissen.

• Moduldefinition.Der Betrag einer reellen Zahl ist die Zahl selbst, wenn sie nicht negativ ist, und ihre Gegenzahl, wenn sie negativ ist.

• Die geometrische Bedeutung des Moduls.Modul der reellen Zahl A ist gleich der Entfernung vom Ursprung zum Punkt mit Koordinaten A auf dem Zahlenstrahl.

– ein 0 ein

|– ein | = | ein | | ein | X

• Die geometrische Bedeutung des Betragsdifferenzmoduls.Modul der Betragsdifferenz| a - ein | ist der Abstand zwischen Punkten mit Koordinaten a und c auf dem Zahlenstrahl

Diese. Segmentlänge [ ein in]

1) Wenn a b 2) Wenn a > b

a b b a

S = b - a S = a - b

3) Wenn a \u003d b, dann S \u003d a - b \u003d b - a \u003d 0

• Grundlegende Eigenschaften des Moduls

1. Der Modul einer Zahl ist eine nicht negative Zahl, d.h.| x | ≥ 0 für jedes x
2. Die Module entgegengesetzter Zahlen sind gleich, d.h.| x | = |– x | für jedes x
3. Das Quadrat des Moduls ist gleich dem Quadrat des Submodulausdrucks, d.h.| x | 2 = x 2 für jedes x

4. Der Modul des Produkts zweier Zahlen ist gleich dem Produkt der ModuleFaktoren, d.h. | ein b | = | ein | · | b |

5. Wenn der Nenner eines Bruchs nicht Null ist, dann ist der Modul des Bruchs gleich dem Quotienten aus der Division des Moduls des Zählers durch den Modul des Nenners, d. h. für b ≠ 0

6. Für die Gleichheit beliebiger Zahlen A und B die Ungleichheiten:

| | ein | – | b | | ≤ | a+b | ≤ | ein | + | b |

| | ein | – | b | | ≤ | a-b | ≤ | ein | + | b |

• Graph des Moduls y = | x | - ein rechter Winkel mit einem Scheitelpunkt im Ursprung, dessen Seiten die Winkelhalbierenden des 1. und 2. Quadranten sind.
• Wie zeichnet man Funktionsgraphen? y = | x –4|, y = | x +3|, y = | x –3|, y = | x | + 1 ,
• y = | x | – 3, y = | x | – 5, y = | x-3 | + 3, y = | x-3 | – 2, y = | x + 2 | – 5. y = || x| – ein |

Beispiel. löse die Gleichung.

Methode 1. Die Methode zum Öffnen von Modulen durch Lücken.

Methode 2. Direkte Modulerweiterung.

Wenn der Modul einer Zahl 3 ist, dann ist diese Zahl 3 oder -3.

Methode 3 . Verwenden der geometrischen Bedeutung des Moduls.

Auf der Zahlenachse müssen solche x-Werte gefunden werden, die von 2 um einen Abstand von 3 entfernt sind.

Methode 4. Quadrieren beider Seiten der Gleichung.

Dies verwendet die Moduleigenschaft

Und die Tatsache, dass beide Seiten der Gleichung nicht negativ sind.

Methode 5. Grafische Lösung der Gleichung.

Bezeichnen. Lassen Sie uns Graphen von Funktionen erstellen Und :

Die Abszissen der Schnittpunkte der Graphen geben die Wurzeln an

2 -1 0 1 2 3
2 -1 0 1 2 3 4 5
2 -1 0 1 2 3
2 -1 0 1 2 3 4 5

Selbstständige Arbeit

Löse die Gleichungen:

| x – 1| = 3 | x – 5| = 3 | x –3| = 3 | x + 3| = 3 | x + 5| = 3

(-2; 4) (2; 8) (0; 6) (-6; 0) (-8;-2)

Fügen Sie nun einen weiteren Modul zu den Bedingungen hinzu und lösen Sie die Gleichungen:

| | x| – 1| = 3 | | x| -5| = 3 | | x | – 3| = 3 | | x | + 3| = 3 | | x | + 5| = 3

(Keine Wurzeln)

Wie viele Wurzeln kann also eine Gleichung der Form | | x | – ein |= ein? Wovon hängt es ab?

Forschungsarbeit zum Thema

«Bestimmung der Abhängigkeit der Anzahl der Wurzeln der Gleichung | | x | – a |= b von a und bis »

Wir arbeiten in Gruppen mit analytischen, grafischen und geometrischen Lösungsmethoden.

Lassen Sie uns bestimmen, unter welchen Bedingungen diese Gleichung 1 Wurzel, 2 Wurzeln, 3 Wurzeln, 4 Wurzeln und keine Wurzeln hat.

1 Gruppe (per Definition)

2 Gruppe (unter Verwendung des geometrischen Sinnes des Moduls)

3 Gruppe (unter Verwendung von Funktionsgraphen)

A > 0
	1 Gruppe	2 Gruppe	3 Gruppe
Keine Wurzeln	v c ≥ 0 c+a	v c ≥ 0 a+b	v c ≥ 0 v A
genau eine Wurzel	b > 0 und b + a = 0	b > 0 und b + a = 0	c > 0 und c = - a
genau zwei Wurzeln	b > 0 und b + a > 0 – in + a	b > 0 und b + a > 0 – in + a	in > 0 und in > | ein |
genau drei Wurzeln	c > 0 und - c + a = 0	c > 0 und - c + a = 0	b > 0 und b = a
genau vier Wurzeln	c > 0 und – c + a > 0	c > 0 und – c + a > 0	in > 0 und in A

Vergleichen Sie die Ergebnisse, ziehen Sie eine allgemeine Schlussfolgerung und erstellen Sie ein allgemeines Schema.

Natürlich nicht unbedingt dieses Schema sich einprägen . Der Schwerpunkt unserer Studie warSehen Sie sich diese Abhängigkeit mit verschiedenen Methoden an, und jetzt wird es uns nicht schwer fallen, unsere Argumentation beim Lösen solcher Gleichungen zu wiederholen.

Denn das Lösen einer Aufgabe mit einem Parameter erfordert immer etwas Recherche.

Lösung von Gleichungen mit zwei Moduln und einem Parameter.

1. Werte finden p, x| - R - 3| = 7 hat genau eine Wurzel.

Lösung: | | x| – (p + 3)| = 7

p +3 = -7, p = -10. Oder geometrisch

p + 3 – 7 p + 3 p + 3+7 p + 3+7=0, p = -10

7 7 nach dem Schema hat eine Gleichung dieser Form genau eine Wurzel, wenn c \u003d - a, wobei c \u003d 7, a \u003d p +3

2. Werte finden R, für die jeweils die Gleichung | | x| - R - 6| = 11 hat genau zwei Wurzeln.

Lösung: | | x| – (p + 6)| = 11 geometrisch

P + 6 - 11 P + 6 P + 6 + 11 P + 6-11 R p + 6+11 > 0, p > -17

11 11

nach dem Schema hat eine Gleichung dieser Form genau zwei Wurzeln, wenn in + a > 0 und - in + a wobei a = 11, a = p +6. -17 R 5.

3. Werte finden R, für die jeweils die Gleichung | | x| - 4r | = 5 p -9 hat genau vier Wurzeln.

Lösung: Nach dem Schema hat eine solche Gleichung genau vier Nullstellen, wenn

0p-9 p, p > und p

diese. 1 R 9.

Antwort 1 R 9.

4 . . Finden Sie p-Werte, für die jeweils die Gleichung | | x| – 2r | = 5 p +2 hat keine Wurzeln. Lösung: 5 r +2 p +2 =0 und –2 p >0 oder 5 p +2 >0 und 5 p +2 R.

R p = –0,4 oder p > –0,4 und p . Antwort: p

5. Bei welchen Werten des Parameters p wird die Gleichung | | x –4 | – 3| + 2 r = 0 hat drei Wurzeln. Finde diese Wurzeln.

Lassen Sie uns die Gleichung in die Form umwandeln:

| | x –4 | – 3|= – 2 r.

Nach dem Schema hat eine solche Gleichung drei Wurzeln,

wenn –2 ð =3>0,

Diese. p = -1,5.

|| x –4|–3| = 3,

| x –4|=0, x = 4,

|| x –4|=6, x = –2, x =10.

Antwort: bei r = -1,5 hat die Gleichung drei Wurzeln: x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 4, x 3 \u003d 10.

Zusammenfassung der Lektion. Betrachtung.

Sagen Sie mir, was würden Sie die Hauptwörter der Lektion hervorheben? (Modul, Parameter)

Was haben wir heute gemacht? (Definition des Moduls, geometrische Bedeutung des Moduls der Anzahl und Differenz von Zahlen, Eigenschaften des Moduls, unterschiedliche Lösungswege von Gleichungen)

Was haben wir heute gemacht?

Hausaufgaben.

21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 - 4 21 42 = 3025 - 3582< 0.

Antwort 1; 2.

§6. Lösen von Gleichungen mit Modulen und Parametern

Betrachten Sie mehrere Gleichungen, in denen die Variable x unter dem Moduluszeichen steht. Erinnere dich daran

x , falls x ≥ 0,

x = − x wenn x< 0.

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung:

a) x – 2 = 3; b) x + 1 − 2x − 3 = 1;

x+2

X=1; d) x 2 −

6; e) 6x 2 −

x+1

x − 1

a) Wenn der Modul einer Zahl 3 ist, dann ist diese Zahl entweder 3 oder (− 3 ) ,

also x − 2 = 3, x = 5 oder x − 2 = − 3, x = − 1.

b) Aus der Definition eines Moduls folgt, dass

x+1

X + 1, für x + 1 ≥ 0,

d.h. für x ≥ − 1 und

x+1

= − x − 1 für x< − 1. Выражение

2x − 3

2x − 3 falls x ≥ 3

und gleich − 2 x + 3 falls x< 3 .

X< −1

Die gleichung

ist gleichbedeutend mit

Gleichung

- x -1 -

(− 2 x + 3 ) = 1, was das impliziert

x = 5. Aber die Zahl 5 ist es nicht

erfüllt die Bedingung x< − 1, следовательно,

bei x< − 1 данное

die Gleichung hat keine Lösungen.

−1 ≤ x<

Die gleichung

ist gleichbedeutend mit

Gleichung

x + 1− (2x + 3) = 1, was impliziert, dass x = 1;

Nummer 1 erfüllt-

keine Bedingung − 1 ≤ x<

Studienjahr 2010-2011 Jahr., Nr. 5, 8 Zellen. Mathematik. Quadratische Gleichungen

x ≥

Die gleichung

ist gleichbedeutend mit

Gleichung

x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, was eine Lösung x = 3 hat. Und da die Zahl 3

erfüllt die Bedingung x ≥

dann ist es eine Lösung der Gleichung.

x+2

c) Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs

das selbe haben

x − 1

Vorzeichen, dann ist der Bruch positiv, und wenn unterschiedlich, dann ist er negativ, d.h.

x+2

x+2

Wenn x ≤ − 2, wenn x > 1,

x − 1

x − 1

x+2

Wenn − 2< x < 1.

−1

Für x ≤ − 2

ypre x > 1

die ursprüngliche Gleichung ist äquivalent zur Gleichung

x+2

x=1, x+2

X (x -1) = x -1, x 2 - x +3 = 0.

x − 1

Die letzte Gleichung hat keine Lösungen.

Bei − 2< x < 1 данное уравнение равносильно уравнению

x+2

X \u003d 1, - x -2 + x 2 - x \u003d x -1, x 2 -3 x -1 \u003d 0.

x − 1

Lassen Sie uns die Wurzeln dieser Gleichung finden:

x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13 .

Ungleichheiten

− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13

Folgen-

Daher ist diese Zahl eine Lösung der Gleichung.

x ≥ 0 gegeben

Die gleichung

ist gleichbedeutend mit

Gleichung

x2 - x -6 = 0,

deren Wurzeln die Zahlen 3 und - 2 sind. Die Zahl 3

erfüllt die Bedingung x > 0,

und die Zahl - 2 erfüllt dies nicht

Gesetzlich ist also nur die Zahl 3 eine Lösung zum Original

X< 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

© 2011, FZFTSH bei MIPT. Zusammengestellt von: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Studienjahr 2010-2011 Jahr., Nr. 5, 8 Zellen. Mathematik. Quadratische Gleichungen
		x ≥ − 1 gegeben	Die gleichung	ist gleichbedeutend mit				Gleichung
6 x 2 − x − 1 = 0, finde seine Nullstellen: x = 1 ±				25 , x = 1 , x				= −1 .
Beide Wurzeln erfüllen die Bedingung x ≥ − 1,					deshalb sind sie
sind Lösungen dieser Gleichung. Bei				X< − 1 данное уравнение
entspricht der Gleichung 6 x 2 + x + 1 = 0, die keine Lösungen hat.
Seien die Ausdrücke f (x , a ) und g (x , a ) gegeben,					auf Veränderung angewiesen
X	und ein.	Dann die Gleichung	f (x, a) = g(x, a)		zum Thema Veränderung-

noah x heißt Gleichung mit Parameter A. Eine Gleichung mit einem Parameter zu lösen bedeutet, für jeden zulässigen Wert des Parameters alle Lösungen dieser Gleichung zu finden.

Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung für alle gültigen Werte des Parameters a:

a) Axt 2 - 3 \u003d 4 a 2 - 2 x 2; b) (a - 3) x 2 = a 2 - 9;

c) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.

x 2 =	4a 2 + 3	Ausdruck 4 a 2		3 > 0 für jedes a ; für a > − 2 haben wir
	ein + 2
wir haben zwei Lösungen: x =			4a 2 + 3	und x = −	4a 2		Wenn	ein + 2< 0, то
			ein + 2		ein + 2

Ausdruck 4 a 2 + 3< 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

	Antwort: x = ±	4a 2 + 3	Für a > − 2;	für a ≤ − 2 gibt es keine Lösungen.
		ein + 2
				dann x 2 = a + 3. Wenn a + 3 = 0,
	b) Wenn a = 3, dann x. Wenn a ≠ 3,
	diese. wenn a = − 3,	dann hat die Gleichung eine eindeutige Lösung x = 0.

ob a< − 3, то уравнение не имеет решений. Если a >− 3 und a ≠ 3, dann hat die Gleichung zwei Lösungen: x 1 = a + 3 und x 2 = − a + 3.

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a = 1 nimmt diese Gleichung die Form an

4x − 1 = 0,

x=1

ist seine Lösung. Bei

a ≠ 1 diese Gleichung ist

quadratisch, seine Diskriminante D 1 ist

(a + 1 ) 2 − (a − 1 )(a − 2 ) = 5 a − 1.

Wenn 5 a − 1< 0, т.е. a < 1 ,

dann hat diese Gleichung keine Lösungen.

Wenn ein =

dann hat die Gleichung eine eindeutige Lösung

a+1

x = −

a - 1

−1

Wenn ein >

und a ≠ 1,

dann hat diese Gleichung zwei Lösungen:

x = − (a + 1 ) ± 5 ein − 1 .

a - 1

−(a +1 ) ±

1 an

a = 1; x=3

Für ein

; x=

5a - 1

a - 1

für a > 1

und a ≠ 1; Für ein< 1

die Gleichung hat keine Lösungen.

§7. Lösung von Gleichungssystemen. Lösen von Problemen, die sich auf quadratische Gleichungen reduzieren lassen

In diesem Abschnitt betrachten wir Systeme, die Gleichungen zweiten Grades enthalten.

Beispiel 1. Lösen Sie ein Gleichungssystem

2x + 3y = 8

xy = 2.

In diesem System ist die Gleichung 2 x + 3 y = 8 die Gleichung ersten Grades und die Gleichung xy = 2 die zweite. Wir lösen dieses System mit der Methode

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Substitutionen. Aus der ersten Gleichung des Systems drücken wir x durch y aus und setzen diesen Ausdruck für x in die zweite Gleichung des Systems ein:

	8 − 3 Jahre	4 −
				ja 4			y y = 2.

Die letzte Gleichung reduziert sich auf die quadratische Gleichung

8y − 3y 2 = 4, 3y 2 − 8y + 4 = 0.

Seine Wurzeln finden:

4 ± 4

4 ± 2

Y=2, j

Aus der Bedingung x = 4 −

wir erhalten x = 1, x

Antwort: (1;2) und

Beispiel 2. Lösen Sie das Gleichungssystem:

x 2 + y 2 \u003d 41,

xy = 20.

Multipliziere beide Seiten der zweiten Gleichung mit 2 und addiere zur ersten

Systemgleichung:	x 2 + y 2 + 2xy \u003d 41 + 20 2,				(x + y) 2 = 81, woraus
daraus folgt x + y = 9 oder x + y = − 9.
Wenn x + y = 9 dann	x = 9 − y . Ersetzen Sie diesen Ausdruck für x in
zweite Gleichung des Systems:
(9 − y ) y = 20, y 2 − 9 y + 20 = 0,
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1 , y = 5, y				4, x=4, x=5.
Aus der Bedingung x + y = − 9 erhalten wir die Lösungen (− 4; − 5) und (− 5; − 4 ) .
Antwort: (± 4; ± 5) , (± 5; ± 4) .
Beispiel 3. Lösen Sie das Gleichungssystem:
		y=1
	X -
	x − y

Wir schreiben die zweite Gleichung des Systems in der Form

( x − y )( x + y ) = 5.

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Mit der Gleichung x − y = 1 erhalten wir: x + y = 5. Damit erhalten wir ein Gleichungssystem, das dem Gegebenen äquivalent ist

	X -	y=1
		y=5.

Wir addieren diese Gleichungen, wir erhalten: 2 x \u003d 6,		x=3, x=9.
Setzen Sie den Wert x = 9 in die erste Gleichung ein			Systeme, empfangen
wir haben 3 − y = 1, was impliziert, dass y = 4.
Antwort: (9;4) .	(x + y)(x		Y −4 ) = −4,
Beispiel 4. Lösen Sie das Gleichungssystem: (x 2 + y 2 ) xy \u003d - 160.
				xy=v;
Lassen Sie uns neue Variablen einführen	x + y = u
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v,
u (u −4 ) = −4,
das System wird auf die Form (u 2 − 2 v ) v = − 160 reduziert.
Wir lösen die Gleichung:
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2.
Wir setzen diesen Wert für u in die Gleichung ein:
(u 2 - 2v ) v = - 160, (4 - 2v ) v = - 160, 2v 2 - 4v - 160 = 0,
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1 ± 9, v= 10, v						= −8.
Wir lösen zwei Gleichungssysteme:
	X + j = 2,
X + j = 2,
	Und
xy = 10	xy = − 8.
Wir lösen beide Systeme mit der Substitutionsmethode. Für das erste System haben wir:
X= 2 − j, ( 2 − j) j= 10, j2 − 2 j+ 10 = 0.

Die resultierende quadratische Gleichung hat keine Lösungen. Für das zweite System haben wir: X= 2 − j, (2 − j) j= − 8, j2 − 2 j− 8 = 0.

j= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, j1 = 4, j2 = − 2. DannX1 = − 2 UndX2 = 4. Antworten: (− 2;4 ) Und(4; − 2 ) .

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multipliziert mit 3 erhalten wir:

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Beispiel 5 Lösen Sie das Gleichungssystem:

X 2 + 4 xy = 3,

j 2 + 3 xy = 2.

Subtrahiere von der ersten Gleichung multipliziert mit 2 die zweite Gleichung,

2 X 2 − xy − 3 j 2 = 0.

Wenn j= 0, dann und X= 0, aber ein paar Zahlen (0;0 ) ist keine Lösung für das ursprüngliche System. Wir dividieren beide Teile der Gleichung in der resultierenden Gleichung

Führung an j2 ,

1 ± 5 , X = 2 j Und X = − j .

−3

= 0,

j

Ersatz

Bedeutung

X =

3j

erste Gleichung

9 j2 + 6 j2 = 3, 11j2 = 4, j=

, X=

, X= −

Wir ersetzen den Wert X= − j in die erste Gleichung des Systems: j2 − 4 j2 = 3, − 3 j2 = 3.

Es gibt keine Lösungen.

Beispiel 9 Finden Sie alle Parameterwerte A, wofür das Gleichungssystem

X 2 + ( j − 2 ) 2 = 1,

j = Axt 2 .

hat mindestens eine Lösung.

Dieses System wird als System mit einem Parameter bezeichnet. Sie können analytisch gelöst werden, d.h. mit Formeln oder mit der sogenannten grafischen Methode.

Beachten Sie, dass die erste Gleichung einen Kreis definiert, der um den Punkt zentriert ist (0;2 ) mit Radius 1. Die zweite Gleichung für A≠ 0 definiert eine Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung.

Wenn A 2

Im Fall a) berührt die Parabel den Kreis. Aus der zweiten Gleichung des Systems

sie was X2 = j/ A,

Ersetzen Sie diese Werte durch

X 2

in die erste Gleichung:

1

+(j−2 )

= 1,

+ j

− 4 j+ 4 = 1, j

4 − Aj+ 3

= 0.

Bei Tangentialität gibt es aufgrund der Symmetrie einen eindeutigen Wert j, so sollte die Diskriminante der resultierenden Gleichung sein

0 ist. Da die Ordinate j der Berührungspunkt ist positiv, und weil

j = 2

− A

wir bekommen

> 0; D

1 2

4 − A

4 − A

− 12 = 0,

4 − A

> 0

wir bekommen: 4

= 2

= 4 −2

A =

4 + 2 3

4 + 2 3

2 +

( 4 − 2 3)( 4 + 2 3) =

16 − 12 =

4 − 2 3

Wenn A> 2 + 2 3 , dann schneidet die Parabel den Kreis an 4 Punkten

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Studienjahr 2010-2011 Jahr., Nr. 5, 8 Zellen. Mathematik. Quadratische Gleichungen

Daher hat das System mindestens eine Lösung, wenn

A≥ 2 + 2 3 .

Beispiel 10 Die Summe der Quadrate der Ziffern einer natürlichen zweistelligen Zahl ist um 9 mehr als das Doppelte des Produkts dieser Ziffern. Nachdem Sie diese zweistellige Zahl durch die Summe ihrer Ziffern geteilt haben, ist der Quotient 4 und der Rest 3. Finden Sie diese zweistellige Zahl.

Sei die zweistellige Zahl 10 A+ B, Wo A Und B sind die Ziffern dieser Zahl. Dann erhalten wir aus der ersten Bedingung des Problems: A2 + B2 = 9 + 2 ab, und aus der zweiten Bedingung erhalten wir: 10 A+ B= 4 (A+ B) + 3.

A 2 + B 2 = 9 + 2 ab ,

Wir lösen das Gleichungssystem: 6 A− 3 B= 3.

Aus der zweiten Gleichung des Systems erhalten wir

6A− 3B= 3, 2A− B= 1, B= 2A− 1.

Wir ersetzen diesen Wert durch B in die erste Gleichung des Systems:

A2 + ( 2A− 1) 2 = 9 + 2A( 2A− 1) , 5A2 − 4A+ 1 = 9 + 4A2 − 2A,

A2 − 2A− 8 = 0, D1 = 1 + 8 = 9, A= 1 ± 3, A1 = 4, A2 = − 2 < 0, B1 = 7.

Antworten: 47.

Beispiel 11. Nach Mischen von zwei Lösungen, von denen eine 48 g und die andere 20 g wasserfreies Kaliumiodid enthielt, wurden 200 g einer neuen Lösung erhalten. Finden Sie die Konzentration jeder der Anfangslösungen, wenn die Konzentration der ersten Lösung 15 % höher war als die Konzentration der zweiten.

Bezeichne mit X% ist die Konzentration der zweiten Lösung und durch (X+ 15 ) % ist die Konzentration der ersten Lösung.

(X+ 15 )%			X %
ich lösung			II-Lösung

In der ersten Lösung sind 48 g (X+ 15 ) Gew.-% der Gesamtlösung,

so ist das Gewicht der Lösung X48 + 15 100. In der zweiten Lösung werden 20 g Co-

© 2011, FZFTSH bei MIPT. Zusammengestellt von: Yakovleva Tamara Kharitonovna

10x - 5y - 3z = - 9,

6 x + 4 y - 5 z = - 1,3 x - 4 y - 6 z = - 23.

Wir gleichen die Koeffizienten bei x in der ersten und zweiten Gleichung aus, dazu multiplizieren wir beide Teile der ersten Gleichung mit 6 und die zweite Gleichung mit 10, wir erhalten:

60x - 30 Jahre - 18z = - 54,60x + 40 Jahre - 50z = - 10.

Wir subtrahieren von der zweiten Gleichung des resultierenden Systems die erste Gleichung

wir erhalten: 70 y - 32 z = 44, 35 y - 16 z = 22.

Subtrahieren wir die dritte Gleichung multipliziert mit 2 von der zweiten Gleichung des ursprünglichen Systems, erhalten wir: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12y + 7z = 45.

Nun lösen wir ein neues Gleichungssystem:

35y − 16z = 22,12y + 7z = 45.

Zur ersten Gleichung des neuen Systems, multipliziert mit 7, addieren wir die zweite Gleichung, multipliziert mit 16, erhalten wir:

35 7 Jahre + 12 16 Jahre = 22 7 + 45 16,

Jetzt setzen wir y = 2, z = 3 in die erste Gleichung des ursprünglichen Systems ein

Themen erhalten wir: 10x - 5 2 - 3 3 = - 9, 10x - 10 - 9 = - 9, 10x = 10, x = 1.

Antwort: (1; 2; 3) . ▲

§ 3. Lösung von Systemen mit einem Parameter und mit Modulen

Axt + 4y = 2a,

Betrachten Sie das Gleichungssystem

x + ay = a.

Studienjahr 2010-2011 Jahr., Nr. 3, 8 Zellen. Mathematik. Gleichungssysteme.

In diesem System gibt es tatsächlich drei Variablen, nämlich: a , x , y . Die Unbekannten sind x und y, und a heißt Parameter. Es ist erforderlich, Lösungen (x , y ) dieses Systems für jeden Wert des Parameters a zu finden.

Lassen Sie uns zeigen, wie solche Systeme gelöst werden. Drücken wir die Variable x aus der zweiten Gleichung des Systems aus: x = a − ay . Wir setzen diesen Wert für x in die erste Gleichung des Systems ein, wir erhalten:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − ein )(2 + ein ) y = ein (2 − ein ) .

Wenn a = 2, dann erhalten wir die Gleichung 0 y = 0. Jede Zahl y erfüllt diese Gleichung, und dann ist x = 2 − 2 y , also für a = 2 das Zahlenpaar (2 − 2 y ; y ) ist eine Systemlösung. Da kann es sein

beliebig viele, dann hat das System für a = 2 unendlich viele Lösungen.

Wenn a = − 2, dann erhalten wir die Gleichung 0 y = 8. Diese Gleichung hat keine Lösung.

Ist nun a ≠ ± 2,				dann y =		ein (2 - ein)
						(2 − ein )(2 + ein )		2 + a
x = ein − ay = ein −
				2 + a

Antwort: Für a = 2 hat das System unendlich viele Lösungen der Form (2 − 2 y ; y ) , wobei y eine beliebige Zahl ist;

für a = − 2 hat das System keine Lösungen;
für a ≠ ± 2 hat das System eine eindeutige Lösung						. ▲
		2 + a		2 + a

Wir haben dieses System gelöst und festgestellt, für welche Werte des Parameters a das System eine Lösung hat, wann es unendlich viele Lösungen hat und für welche Werte des Parameters a es keine Lösungen hat.

Beispiel 1. Lösen Sie das Gleichungssystem

© 2010, FZFTSH bei MIPT. Zusammengestellt von: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Studienjahr 2010-2011 Jahr., Nr. 3, 8 Zellen. Mathematik. Gleichungssysteme.

−3

y - 1

3x − 2y = 5.

Aus der zweiten Gleichung des Systems drücken wir x durch y aus, wir erhalten

2 Jahre + 5

wir setzen diesen Wert für x in die erste Gleichung des Systems ein.

Themen erhalten wir:

2j+5

−3

y - 1

−3

−1

5 = 0

Ausdruck

y = −

y > −

; Wenn

−5

= −y

Der Ausdruck y − 1 = 0,

wenn y = 1. Wenn

y > 1, dann

y - 1

Y − 1 und

ob y< 1, то

y - 1

1 - y .

Wenn y ≥ 1 dann

y - 1

Y –1 und

wir bekommen die gleichung:

−3 (j

− 1) = 3,

−3 Jahre

3, −

(2 2 +

5 ) = 3. Die Zahl 2 > 1, also ergibt sich das Paar (3;2)

System.

Lassen Sie jetzt

5 ≤ y<1,

y - 1

− y;

finden

wir bekommen

Die gleichung

3y−3

4 Jahre + 10

3y=6

13y=8

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Studienjahr 2010-2011 Jahr., Nr. 3, 8 Zellen. Mathematik. Gleichungssysteme.

(2y + 5) =

Aber weniger als

also ein paar Zahlen

ist die Systemlösung.

j< −

dann erhalten wir die gleichung:

3y−3

4 Jahre-

3y=6

5y=

28 , y = 28 .

Bedeutung

es gibt also keine lösungen.

Das System hat also zwei Lösungen (3;2) und 13 27 ; 13 8 . ▲

§ 4. Lösung von Problemen mit Hilfe von Gleichungssystemen

Beispiel 1. Ein Auto fährt in 2,5 Stunden von einer Stadt in ein Dorf. Wenn er seine Geschwindigkeit um 20 km/h erhöht, legt er in 2 Stunden eine Strecke zurück, die 15 km länger ist als die Entfernung von der Stadt zum Dorf. Finde diesen Abstand.

Bezeichne mit S die Entfernung zwischen der Stadt und dem Dorf und mit V die Geschwindigkeit des Autos. Dann erhalten wir, um S zu finden, ein System von zwei Gleichungen

2,5 V = S

(V + 20) 2 = S + 15.

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Studienjahr 2010-2011 Jahr., Nr. 3, 8 Zellen. Mathematik. Gleichungssysteme.

in die zweite Gleichung:		S+202	S+15,		S=25	S = 125.

Antwort: 125 km. ▲

Beispiel 2. Die Summe der Ziffern einer zweistelligen Zahl ist 15. Vertauscht man diese Ziffern, erhält man eine um 27 größere Zahl als das Original. Finden Sie diese Nummern.

Sei die gegebene Zahl ab , d.h. die Zahl der Zehner ist a und die Zahl der Einer ist b . Aus der ersten Bedingung des Problems haben wir: a + b = 15. Wenn wir die Zahl ab von der Zahl ba subtrahieren, erhalten wir 27, von hier aus erhalten wir die zweite Gleichung: 10 b + a − (10 a + b ) = 27.x

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Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 20, erhalten wir: x + 8 y = 840. Um x und y zu finden, haben wir ein Gleichungssystem

Antwort: 40 Tonnen, 100 Tonnen ▲

Beispiel 4. Ein Computeroperator, der mit einem Studenten arbeitet, bearbeitet eine Aufgabe in 2 Stunden und 24 Minuten. Wenn der Bediener 2 Stunden und der Student 1 Stunde arbeitet, dann

Kinder erledigten 2 3 aller Arbeiten. Wie lange wird es dauern, bis ein Operator

ru und der Student getrennt, um die Aufgabe zu bearbeiten?

Lassen Sie uns die gesamte Arbeit als 1 bezeichnen, die Bedienerleistung als x und die Schülerleistung als y . Das berücksichtigen wir

2 Stunden 24 Minuten = 2 5 2 Stunden = 12 5 Stunden.

Aus der ersten Bedingung des Problems folgt, dass (x+y ) 12 5 = 1. Aus der zweiten Bedingung des Problems folgt, dass 2 x + y = 2 3 . Habe ein Gleichungssystem

(x+y)

2 x + y =

Wir lösen dieses System mit der Substitutionsmethode:

− 2 x ;

−2x

−x

− 1;

; x=

; y=

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Folie 2

.

Lösen von Gleichungen mit Parametern und Modulen, Anwenden der Eigenschaften von Funktionen in unerwarteten Situationen und Beherrschen geometrischer Techniken zum Lösen von Problemen. Nicht standardmäßige Gleichungen Der Zweck der Lektion.

Folie 3

Der Betrag oder Betrag der Zahl a ist die Zahl a wenn a>0, die Zahl -a wenn a 0 ׀ a ׀=( 0 wenn a=0 -a wenn a 0) entspricht der doppelten Ungleichung -a 0 Die Ungleichung ׀ x ׀>a, (falls a>0) ist äquivalent zu zwei Ungleichungen - Ungleichung ׀ x׀>a, (falls a

Folie 4

Eine Gleichung mit Parametern zu lösen bedeutet anzugeben, bei welchen Werten der Parameter Lösungen existieren und welche sie sind. a) Bestimmen Sie den Satz zulässiger Werte der Unbekannten und Parameter; b) Finden Sie für jedes zulässige System von Parameterwerten die entsprechenden Lösungssätze der Gleichung. Wiederholung des wichtigsten theoretischen Stoffes zu den Themen "Lösung von Gleichungen mit Parametern"

Folie 5

1. Lösen Sie die Gleichung ׀ x-2 ׀ =5; Antwort 7;-3 ׀ x-2 ׀ =-5; Die Antwort der Entscheidung ist nein ׀ x-2 ׀ =x+5; ; Die Antwort ist nein; 1,5 ׀ x-2 ׀ \u003d ׀ x + 5 ׀; Die Antwort ist nein; -1,5; es gibt keine Lösung; -1,5; mündliche Übungen.

Folie 6

2. Gleichungen lösen=1; Antworten. Wenn a=0, dann gibt es keine Lösung, wenn a=0, dann x=1/ a 1,3. Lösen Sie die Gleichung (a²-1) x \u003d a + 1. 1) a \u003d 1; dann nimmt die Gleichung die Form Ox = 2 an und hat keine Lösung 2) a = 1; wir erhalten Ox = O, und offensichtlich ist x beliebig. 1 3) wenn a \u003d ± 1, dann x \u003d - a-1 Antwort. Wenn a \u003d -1, dann ist x beliebig; wenn a \u003d 1, dann gibt es keine Lösung 1 wenn a \u003d ± 1, dann x \u003d - a-1

Folie 7

2. Lösen Sie die Gleichung ׀ x + 3 ׀ + ׀ y -2 ׀ = 4; . 2 3. 4. 1

Folie 8

3 3 2 x y 0 1 Antwort: (-3; 2).

Folie 9

2. Lösen Sie die Gleichungen ax=1;

Antworten. Wenn a=0, dann gibt es keine Lösung; wenn a=0, dann x=1/ a 1,3. Lösen Sie die Gleichung (a²-1) x \u003d a + 1. 1) a \u003d 1; dann nimmt die Gleichung die Form Ox = 2 an und hat keine Lösung 2) a = 1; wir erhalten Ox = O, und offensichtlich ist x beliebig. 1 3) wenn a \u003d ± 1, dann x \u003d - a-1 Antwort. Wenn a \u003d -1, dann ist x beliebig; wenn a \u003d 1, dann gibt es keine Lösung 1 wenn a \u003d ± 1, dann x \u003d - a-1

Folie 10

3 Erstellen Sie einen Graphen der Funktion

y x Y=IxI 1 2 -3 -4 -1 1 -2 2 3 0 -5 4 5 6 -1 -2 Y=Ix+3I-2 Y=Ix-2I Y=Ix+5I Y=Ix-2I + 3