Zu Finden Sie die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen Sie müssen diesen Rechner verwenden. Übung 1. Die Verteilungsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X hat die Form:
Finden:
a) Parameter A;
b) Verteilungsfunktion F(x) ;
c) die Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable X im Intervall zu treffen;
d) mathematischer Erwartungswert MX und Varianz DX .
Zeichnen Sie die Funktionen f(x) und F(x) .

Aufgabe 2. Finden Sie die Varianz der Zufallsvariablen X, die durch die Integralfunktion gegeben ist.

Aufgabe 3. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen X bei gegebener Verteilungsfunktion.

Aufgabe 4. Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen ist wie folgt gegeben: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Ermitteln Sie den Koeffizienten A , die Verteilungsfunktion F(x) , den mathematischen Erwartungswert und die Varianz sowie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen Wert im Intervall annimmt. Zeichnen Sie f(x)- und F(x)-Diagramme.

Eine Aufgabe. Die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist wie folgt gegeben:

Bestimmen Sie die Parameter a und b , finden Sie den Ausdruck für die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) , den mathematischen Erwartungswert und die Varianz sowie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert im Intervall annimmt. Zeichnen Sie f(x)- und F(x)-Diagramme.

Finden wir die Verteilungsdichtefunktion als Ableitung der Verteilungsfunktion.

Wissend, dass

Finden Sie den Parameter a:


oder 3a=1, womit a = 1/3
Wir finden den Parameter b aus den folgenden Eigenschaften:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1, womit b = -1/3
Daher lautet die Verteilungsfunktion: F(x) = (x-1)/3

Erwarteter Wert.


Streuung.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen Wert in dem Intervall annimmt
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Beispiel 1. Gegeben ist die Wahrf(x) einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X. Erforderlich:

1. Koeffizient A bestimmen.
2. Finde die Verteilungsfunktion F(x) .
3. graphische Darstellung von F(x) und f(x) .
4. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz von X .
5. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert aus dem Intervall (2;3) annimmt.

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Lösung:

Die Zufallsvariable X ist durch die Verteilungsdichte f(x) gegeben:

Finden Sie den Parameter A aus der Bedingung:



oder
14/3*A-1=0
Wo,
A = 3 / 14

Die Verteilungsfunktion kann durch die Formel gefunden werden.

Zufällige Variable es wird eine Variable aufgerufen, die bei jedem Test je nach zufälliger Ursache einen vorher unbekannten Wert annimmt. Zufallsvariablen werden mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Durch ihren Typ können Zufallsvariablen sein diskret und kontinuierlich.

Diskrete Zufallsvariable- das ist so eine Zufallsvariable, deren Werte höchstens zählbar sein können, also entweder endlich oder zählbar. Zählbarkeit bedeutet, dass die Werte einer Zufallsvariablen aufgezählt werden können.

Beispiel 1 . Lassen Sie uns Beispiele für diskrete Zufallsvariablen geben:

a) die Anzahl der Treffer auf das Ziel mit $n$ Schüssen, hier sind die möglichen Werte $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) die Anzahl der Wappen, die beim Werfen einer Münze herausgefallen sind, hier sind die möglichen Werte $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) die Anzahl der Schiffe, die an Bord angekommen sind (ein zählbarer Satz von Werten).

d) die Anzahl der an der Vermittlungsstelle ankommenden Anrufe (ein zählbarer Satz von Werten).

1. Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen.

Eine diskrete Zufallsvariable $X$ kann die Werte $x_1,\dots ,\ x_n$ mit Wahrscheinlichkeiten $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ annehmen. Die Entsprechung zwischen diesen Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten wird genannt Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen. In der Regel wird diese Entsprechung anhand einer Tabelle angegeben, in deren erster Zeile die Werte von $x_1,\dots,\x_n$ angegeben sind und in der zweiten Zeile die diesen Werten entsprechenden Wahrscheinlichkeiten $ sind p_1,\dots,\p_n$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Beispiel 2 . Die Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl der gewürfelten Punkte beim Würfeln. Eine solche Zufallsvariable $X$ kann folgende Werte $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$ annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten all dieser Werte sind gleich $1/6$. Dann das Wahrfür die Zufallsvariable $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Kommentar. Da die Ereignisse $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ im Verteilungsgesetz der diskreten Zufallsvariablen $X$ eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden, muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich eins sein, also $\sum( p_i)=1$.

2. Mathematischer Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen.

Mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen gibt seinen "zentralen" Wert an. Für eine diskrete Zufallsvariable berechnet sich der mathematische Erwartungswert als Summe der Produkte aus den Werten $x_1,\dots ,\x_n$ und den diesen Werten entsprechenden Wahrscheinlichkeiten $p_1,\dots ,\p_n$, also: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. In der englischen Literatur wird eine andere Notation $E\left(X\right)$ verwendet.

Erwartungseigenschaften$M\links(X\rechts)$:

1. $M\left(X\right)$ liegt zwischen dem kleinsten und größten Wert der Zufallsvariablen $X$.
2. Der mathematische Erwartungswert einer Konstanten ist gleich der Konstanten selbst, d.h. $M\links(C\rechts)=C$.
3. Der konstante Faktor kann aus dem Erwartungszeichen entnommen werden: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Der mathematische Erwartungswert der Summe der Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer mathematischen Erwartungswerte: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Der mathematische Erwartungswert des Produkts unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen: $M\links(XY\rechts)=M\links(X\rechts)M\links(Y\rechts)$.

Beispiel 3 . Finden wir den mathematischen Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$ aus Beispiel $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\über (6))=3.5.$$

Wir können feststellen, dass $M\left(X\right)$ zwischen dem kleinsten ($1$) und größten ($6$) Wert der Zufallsvariablen $X$ liegt.

Beispiel 4 . Es ist bekannt, dass der mathematische Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$ gleich $M\left(X\right)=2$ ist. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert der Zufallsvariablen $3X+5$.

Unter Verwendung der obigen Eigenschaften erhalten wir $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Beispiel 5 . Es ist bekannt, dass der mathematische Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$ gleich $M\left(X\right)=4$ ist. Finden Sie die mathematische Erwartung der Zufallsvariablen $2X-9$.

Unter Verwendung der obigen Eigenschaften erhalten wir $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Streuung einer diskreten Zufallsvariablen.

Mögliche Werte von Zufallsvariablen können bei gleichen mathematischen Erwartungen unterschiedlich um ihre Durchschnittswerte streuen. So stellte sich zum Beispiel in zwei Studentengruppen heraus, dass die durchschnittliche Punktzahl für die Prüfung in Wahrscheinlichkeitstheorie 4 war, aber in einer Gruppe waren alle gute Studenten und in der anderen Gruppe nur C-Schüler und ausgezeichnete Studenten. Daher bedarf es eines solchen numerischen Merkmals einer Zufallsvariablen, das die Streuung der Werte einer Zufallsvariablen um ihre mathematische Erwartung herum aufzeigen würde. Diese Eigenschaft ist Dispersion.

Streuung einer diskreten Zufallsvariablen$X$ ist:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

In der englischen Literatur wird die Notation $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ verwendet. Sehr oft wird die Varianz $D\left(X\right)$ nach der Formel $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ links(X \rechts)\rechts))^2$.

Dispersionseigenschaften$D\links(X\rechts)$:

1. Die Streuung ist immer größer oder gleich Null, d.h. $D\links(X\rechts)\ge 0$.
2. Die Streuung von einer Konstanten ist gleich Null, d.h. $D\links(C\rechts)=0$.
3. Der konstante Faktor kann aus dem Dispersionszeichen herausgenommen werden, sofern er quadriert ist, d.h. $D\links(CX\rechts)=C^2D\links(X\rechts)$.
4. Die Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen, d.h. $D\links(X+Y\rechts)=D\links(X\rechts)+D\links(Y\rechts)$.
5. Die Varianz der Differenz unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen, d.h. $D\links(X-Y\rechts)=D\links(X\rechts)+D\links(Y\rechts)$.

Beispiel 6 . Berechnen wir die Varianz der Zufallsvariablen $X$ aus Beispiel $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2.92.$$

Beispiel 7 . Es ist bekannt, dass die Varianz der Zufallsvariablen $X$ gleich $D\left(X\right)=2$ ist. Finden Sie die Varianz der Zufallsvariablen $4X+1$.

Unter Verwendung der obigen Eigenschaften finden wir $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ links(X\rechts)=16\cdot 2=32$.

Beispiel 8 . Es ist bekannt, dass die Varianz von $X$ gleich $D\left(X\right)=3$ ist. Finden Sie die Varianz der Zufallsvariablen $3-2X$.

Unter Verwendung der obigen Eigenschaften finden wir $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ links(X\rechts)=4\cdot 3=12$.

4. Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen.

Die Methode, eine diskrete Zufallsvariable in Form einer Verteilungsreihe darzustellen, ist nicht die einzige und vor allem nicht universell, da eine kontinuierliche Zufallsvariable nicht durch eine Verteilungsreihe spezifiziert werden kann. Es gibt eine andere Möglichkeit, eine Zufallsvariable darzustellen - die Verteilungsfunktion.

Verteilungsfunktion Die Zufallsvariable $X$ ist eine Funktion $F\left(x\right)$, die die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner als ein fester Wert $x$ annimmt, also $F\left(x\ rechts)$ )=P\links(X< x\right)$

Eigenschaften der Verteilungsfunktion:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X$ Werte aus dem Intervall $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ annimmt, ist gleich der Differenz zwischen den Werten der Verteilungsfunktion an den Enden dieses Intervalls : $P\links(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - nicht abnehmend.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Beispiel 9 . Finden wir die Verteilungsfunktion $F\left(x\right)$ für das Verteilungsgesetz der diskreten Zufallsvariablen $X$ aus Beispiel $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Wenn $x\le 1$, dann ist offensichtlich $F\left(x\right)=0$ (einschließlich $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Wenn $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Wenn $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Wenn $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Wenn $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Wenn $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Wenn $x > 6$ dann $F\links(x\rechts)=P\links(X=1\rechts)+P\links(X=2\rechts)+P\links(X=3\rechts) + P\links(X=4\rechts)+P\links(X=5\rechts)+P\links(X=6\rechts)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Also $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, bei \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ bei\ 2< x\le 3,\\
1/2, bei \ 3< x\le 4,\\
2/3, \ bei \ 4< x\le 5,\\
5/6, \ bei \ 4< x\le 5,\\
1,\ für \ x > 6.
\end(matrix)\right.$

Beispiele zur Problemlösung zum Thema "Zufallsvariablen".

Eine Aufgabe 1 . Es werden 100 Lose in der Lotterie ausgegeben. Es wurde ein Gewinn von 50 USD gespielt. und zehn Gewinne von jeweils $10. Finden Sie das Verteilungsgesetz des Wertes X - die Kosten eines möglichen Gewinns.

Lösung. Mögliche Werte von X: x 1 = 0; x 2 = 10 und x 3 = 50. Da es 89 „leere“ Tickets gibt, ist p 1 = 0,89, die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 10 c.u. (10 Karten) – p 2 = 0,10 und für einen Gewinn von 50 c.u. -p 3 = 0,01. Auf diese Weise:

	0,89	0,10	0,01

Einfach zu steuern: .

Eine Aufgabe 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Käufer vorab mit der Werbung des Produkts vertraut gemacht hat, beträgt 0,6 (p = 0,6). Eine selektive Qualitätskontrolle der Werbung erfolgt durch Befragung der Käufer vor dem ersten, der die Anzeige vorab studiert hat. Erstellen Sie eine Reihe von Verteilungen der Anzahl der befragten Käufer.

Lösung. Entsprechend der Problemstellung ist p = 0,6. Von: q=1 -p = 0,4. Setzen wir diese Werte ein, erhalten wir: und eine Verteilungsreihe konstruieren:

Pi		0,24

Eine Aufgabe 3. Ein Computer besteht aus drei unabhängig voneinander arbeitenden Elementen: einer Systemeinheit, einem Monitor und einer Tastatur. Bei einem einzigen starken Spannungsanstieg beträgt die Ausfallwahrscheinlichkeit jedes Elements 0,1. Erstellen Sie basierend auf der Bernoulli-Verteilung das Verteilungsgesetz für die Anzahl der ausgefallenen Elemente während einer Überspannung im Netz.

Lösung. In Betracht ziehen Bernoulli-Verteilung(oder Binomial): die Wahrscheinlichkeit, dass in n Tests, Ereignis A wird genau angezeigt k einmal: , oder:

	q n					p n

BEI Kommen wir zurück zur Aufgabe.

Mögliche Werte von X (Anzahl der Ausfälle):

x 0 = 0 – keines der Elemente ausgefallen;

x 1 =1 - Ausfall eines Elements;

x 2 =2 - Ausfall von zwei Elementen;

x 3 =3 - Ausfall aller Elemente.

Da p = 0,1 ist, ist q = 1 – p = 0,9. Unter Verwendung der Bernoulli-Formel erhalten wir

, ,

, .

Kontrolle: .

Daher das angestrebte Verteilungsgesetz:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Aufgabe 4. 5000 Schuss produziert. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Patrone defekt ist . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in der gesamten Charge genau 3 defekte Patronen gibt?

Lösung. Zutreffend Poisson-Verteilung: Diese Verteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass bei einem sehr großen

Anzahl der Versuche (Massenversuche), bei denen die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A jeweils sehr klein ist, Ereignis A tritt k-mal ein: , wo .

Hier n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Wir finden , dann die gewünschte Wahrscheinlichkeit: .

Aufgabe 5. Beim Schießen vor dem ersten Treffer mit der Wahrscheinlichkeit, p zu treffen = 0,6 für einen Schuss, müssen Sie die Wahrscheinlichkeit finden, dass der Treffer beim dritten Schuss erfolgt.

Lösung. Wenden wir die geometrische Verteilung an: Es sollen unabhängige Versuche gemacht werden, bei denen das Ereignis A jeweils eine Eintrittswahrscheinlichkeit p (und eine Nichteintrittswahrscheinlichkeit q = 1 - p) hat. Die Versuche enden, sobald Ereignis A eintritt.

Unter solchen Bedingungen wird die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A beim k-ten Test eintritt, durch die Formel bestimmt: . Hier p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4 k \u003d 3. Daher .

Aufgabe 6. Gegeben sei das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X:

Finde die mathematische Erwartung.

Lösung. .

Beachten Sie, dass die probabilistische Bedeutung der mathematischen Erwartung der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen ist.

Aufgabe 7. Finden Sie die Varianz einer Zufallsvariablen X mit dem folgenden Verteilungsgesetz:

Lösung. Hier .

Das Verteilungsgesetz des Quadrats von X 2 :

X 2

Erforderliche Varianz: .

Streuung charakterisiert den Grad der Abweichung (Streuung) einer Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung.

Aufgabe 8. Die Zufallsvariable sei durch die Verteilung gegeben:

			10m

Finden Sie seine numerischen Eigenschaften.

Lösung: m, m 2 ,

M 2 , m.

Über eine Zufallsvariable X kann man beides sagen – ihr mathematischer Erwartungswert beträgt 6,4 m bei einer Varianz von 13,04 m 2 , oder - seine mathematische Erwartung beträgt 6,4 m mit einer Abweichung von m. Die zweite Formulierung ist offensichtlich klarer.

Eine Aufgabe 9. Zufallswert X gegeben durch die Verteilungsfunktion:
.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert X als Ergebnis des Tests einen im Intervall enthaltenen Wert annimmt .

Lösung. Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert aus einem bestimmten Intervall annimmt, ist gleich dem Inkrement der Integralfunktion in diesem Intervall, d.h. . In unserem Fall und daher

.

Eine Aufgabe 10. Diskrete Zufallsvariable X durch das Vertriebsgesetz gegeben:

Verteilungsfunktion finden F(x ) und erstelle seinen Graphen.

Lösung. Da die Verteilungsfunktion

zum , dann

bei ;

bei ;

bei ;

bei ;

Relevantes Diagramm:

Aufgabe 11. Kontinuierliche Zufallsvariable X gegeben durch die Differentialverteilungsfunktion: .

Finde die Trefferwahrscheinlichkeit X zum Intervall

Lösung. Beachten Sie, dass dies ein Sonderfall des Exponentialverteilungsgesetzes ist.

Verwenden wir die Formel: .

Eine Aufgabe 12. Finden Sie die numerischen Eigenschaften einer diskreten Zufallsvariablen X, die durch das Verteilungsgesetz gegeben ist:

	–5
	X2: x2 . , wo ist die Laplace-Funktion. Die Werte dieser Funktion werden anhand einer Tabelle gefunden. In unserem Fall: . Nach der Tabelle finden wir: also:

4. Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Mit der Verteilungsfunktion kann eine stetige Zufallsvariable angegeben werden F(x) . Diese Art der Einstellung ist nicht die einzige. Eine kontinuierliche Zufallsvariable kann auch mit einer anderen Funktion angegeben werden, die als Verteilungsdichte oder Wahrscheinlichkeitsdichte (manchmal auch als Differentialfunktion bezeichnet) bezeichnet wird.

Definition 4.1: Verteilungsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X Rufen Sie die Funktion auf f (x) - die erste Ableitung der Verteilungsfunktion F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

Aus dieser Definition folgt, dass die Verteilungsfunktion die Stammfunktion der Verteilungsdichte ist. Beachten Sie, dass zur Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen die Verteilungsdichte nicht anwendbar ist.

Wahrscheinlichkeit, eine kontinuierliche Zufallsvariable in einem bestimmten Intervall zu treffen

Wenn wir die Verteilungsdichte kennen, können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einen Wert annimmt, der zu einem bestimmten Intervall gehört.

Satz: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable X Werte annimmt, die zum Intervall (a, b), ist gleich einem bestimmten Integral der Verteilungsdichte, genommen im Bereich vonaVorb :

Nachweisen: Wir verwenden das Verhältnis

P(a ≤ Xb) = F(b) – F(a).

Nach der Newton-Leibniz-Formel ist

Auf diese Weise,

.

Als P(a ≤ X b)= P(a X b) , dann bekommen wir endlich

.

Geometrisch lässt sich das Ergebnis wie folgt interpretieren: die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einen Wert annimmt, der zum Intervall (a, b), ist gleich der Fläche des krummlinigen Trapezes, das von der Achse begrenzt wirdOchse, Verteilungskurvef(x) und direktx = aundx = b.

Kommentar: Insbesondere wenn f(x) eine gerade Funktion ist und die Enden des Intervalls symmetrisch zum Ursprung sind, dann

.

Beispiel. Gegeben sei die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen X

Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass als Ergebnis des Tests X nimmt Werte an, die zum Intervall (0,5; 1) gehören.

Lösung: Gewünschte Wahrscheinlichkeit

.

Bestimmung der Verteilungsfunktion aus einer bekannten Verteilungsdichte

Kenntnis der Verteilungsdichte f(x) , können wir die Verteilungsfunktion finden F(x) laut Formel

.

Wirklich, F(x) = P(X x) = P(-∞ X x) .

Folglich,

.

Auf diese Weise, Wenn Sie die Verteilungsdichte kennen, können Sie die Verteilungsfunktion finden. Aus der bekannten Verteilungsfunktion kann man natürlich die Verteilungsdichte finden, nämlich:

f(x) = F"(x).

Beispiel. Finden Sie die Verteilungsfunktion für eine gegebene Verteilungsdichte:

Lösung: Lassen Sie uns die Formel verwenden

Wenn ein x ≤ a, dann f(x) = 0 , Folglich, F(x) = 0 . Wenn ein a, dann f(x) = 1/(b-a),

Folglich,

.

Wenn ein x > b, dann

.

Also die gewünschte Verteilungsfunktion

Kommentar: Wir haben die Verteilungsfunktion einer gleichverteilten Zufallsvariablen erhalten (siehe Gleichverteilung).

Eigenschaften der Verteilungsdichte

Eigenschaft 1: Die Verteilungsdichte ist eine nicht negative Funktion:

f ( x ) ≥ 0 .

Eigenschaft 2: Das uneigentliche Integral der Verteilungsdichte im Bereich von -∞ bis ∞ ist gleich eins:

.

Kommentar: Der Plot der Verteilungsdichte wird aufgerufen Verteilungskurve.

Kommentar: Die Verteilungsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen wird auch als Verteilungsgesetz bezeichnet.

Beispiel. Die Verteilungsdichte einer Zufallsvariablen hat folgende Form:

Konstanten Parameter finden a.

Lösung: Die Verteilungsdichte muss die Bedingung erfüllen, also fordern wir die Gleichheit

.

Von hier
. Finden wir das unbestimmte Integral:

.

Wir berechnen das uneigentliche Integral:

Also der benötigte Parameter

.

Wahrscheinliche Bedeutung der Verteilungsdichte

Lassen F(x) ist die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X. Per Definition der Verteilungsdichte f(x) = F"(x) , oder

Unterschied F(x+∆х) -F(x) bestimmt die Wahrscheinlichkeit dafür X nimmt den zum Intervall gehörenden Wert (x, x+∆х). Also die Grenze des Verhältnisses der Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable einen zum Intervall gehörenden Wert annimmt (x, x+∆х), auf die Länge dieses Intervalls (at ∆х→0) ist gleich dem Wert der Verteilungsdichte am Punkt X.

Also die Funktion f(x) bestimmt die Wahrfür jeden Punkt X. Aus der Differentialrechnung ist bekannt, dass das Inkrement einer Funktion ungefähr gleich dem Differential der Funktion ist, d.h.

Als F"(x) = f(x) und dx = ∆ x, dann F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

Die probabilistische Bedeutung dieser Gleichheit ist wie folgt: die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen Wert annimmt, der zum Intervall (x, x+∆ x) , ist ungefähr gleich dem Produkt aus der Wahrscheinlichkeitsdichte am Punkt x und der Länge des Intervalls ∆х.

Geometrisch kann dieses Ergebnis interpretiert werden als: die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen Wert annimmt, der zum Intervall (x, x+∆ x), ungefähr gleich der Fläche eines Rechtecks ​​mit Basis ∆х und Höhef(x).

5. Typische Verteilungen diskreter Zufallsvariablen

5.1. Bernoulli-Verteilung

Definition 5.1: Zufallswert X, die zwei Werte annimmt 1 und 0 mit Wahrscheinlichkeiten („Erfolg“) p und („Fehler“) q, wird genannt Bernoulli:

, wo k=0,1.

5.2. Binomialverteilung

Lass es produzieren n unabhängigen Studien, in denen jeweils ein Ereignis EIN kann erscheinen oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in allen Versuchen eintritt, ist konstant und gleich p(daher die Wahrscheinlichkeit des Nichterscheinens q = 1 - p).

Betrachten Sie eine Zufallsvariable X– Häufigkeit des Ereignisses EIN bei diesen Prüfungen. Zufallswert X nimmt Werte an 0,1,2,… n mit nach der Bernoulli-Formel berechneten Wahrscheinlichkeiten: , wo k = 0,1,2,… n.

Definition 5.2: Binomial wird die durch die Bernoulli-Formel bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt.

Beispiel. Es werden drei Schüsse auf das Ziel abgefeuert, und die Wahrscheinlichkeit, jeden Schuss zu treffen, beträgt 0,8. Wir betrachten eine Zufallsvariable X- die Anzahl der Treffer auf dem Ziel. Finden Sie die Distributionsserie.

Lösung: Zufallswert X nimmt Werte an 0,1,2,3 mit Wahrscheinlichkeiten berechnet durch die Bernoulli-Formel, wobei n = 3, p = 0,8 (Trefferwahrscheinlichkeit), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (Wahrscheinlichkeit des Fehlens).

Damit hat die Verteilungsreihe folgende Form:

Verwenden Sie die Bernoulli-Formel für große Werte n ziemlich schwierig, daher die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, wird das lokale Laplace-Theorem verwendet, das es erlaubt, die Wahrscheinlichkeit des genauen Eintretens eines Ereignisses näherungsweise zu finden k einmal n Versuche, wenn die Anzahl der Versuche groß genug ist.

Lokales Laplace-Theorem: Wenn Wahrscheinlichkeit p Auftreten eines Ereignisses EIN
dass die Veranstaltung EIN wird darin erscheinen n testet genau k mal ungefähr gleich (je genauer, desto mehr n) Funktionswert
, wo
, .

Anmerkung 1: Tabellen mit Funktionswerten
, sind in Anhang 1 angegeben, und
. Funktion ist die Dichte der Standardnormalverteilung (siehe Normalverteilung).

Beispiel: Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis EIN kommt genau 80 einmal 400 Versuche, wenn die Eintrittswahrscheinlichkeit dieses Ereignisses in jedem Versuch gleich ist 0,2.

Lösung: Nach Zustand n = 400, k = 80, p = 0,2 , q = 0,8 . Lassen Sie uns den durch die Problemdaten bestimmten Wert berechnen x:
. Gemäß der Tabelle in Anhang 1 finden wir
. Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen möchten, dass ein Ereignis eintritt EIN wird darin erscheinen n Tests zumindest k 1 einmal und nicht mehr k 2 mal, dann müssen Sie den Integralsatz von Laplace verwenden:

Integralsatz von Laplace: Wenn Wahrscheinlichkeit p Auftreten eines Ereignisses EIN in jedem Test konstant und von Null und Eins verschieden ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit dass die Veranstaltung EIN wird darin erscheinen n Prüfungen ab k 1 Vor k 2 mal ungefähr gleich dem bestimmten Integral

, wo
und
.

Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt EIN wird darin erscheinen n Prüfungen ab k 1 Vor k 2 mal ungefähr gleich

wo
, und .

Bemerkung2: Funktion
die Laplace-Funktion genannt wird (siehe Normalverteilung). Tabellen mit Funktionswerten , sind in Anhang 2 angegeben, und
.

Beispiel: Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 400 zufällig ausgewählte Teile werden von 70 bis 100 Teile ungeprüft, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass das Teil die QCD-Prüfung nicht bestanden hat, gleich ist 0,2.

Lösung: Nach Zustand n = 400, p = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Berechnen wir die untere und obere Integrationsgrenze:

;
.

Somit haben wir:

Gemäß der Tabelle in Anhang 2 finden wir das
und
. Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

Bemerkung3: In einer Reihe unabhängiger Versuche (wenn n groß, p klein ist) wird die Poisson-Formel genau k-mal verwendet, um die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses zu berechnen (siehe Poisson-Verteilung).

5.3. Poisson-Verteilung

Definition 5.3: Eine diskrete Zufallsvariable wird aufgerufen Gift, wenn sein Vertriebsrecht folgende Form hat:

, wo
und
(konstanter Wert).

Beispiele für Poisson-Zufallsvariablen:

Anzahl der Anrufe an eine Automatikstation in einem Zeitintervall T.

Die Anzahl der Zerfallsteilchen einer radioaktiven Substanz über einen bestimmten Zeitraum T.

Die Anzahl der Fernseher, die in einem bestimmten Zeitraum in die Werkstatt kommen T in der Großstadt .

Die Anzahl der Autos, die an der Haltelinie einer Kreuzung in einer Großstadt ankommen .

Anmerkung 1: Spezielle Tabellen zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeiten sind in Anhang 3 angegeben.

Bemerkung2: In einer Reihe von unabhängigen Studien (wann n Großartig, p klein), um die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses exakt zu berechnen k Sobald die Poisson-Formel verwendet wird:
, wo
, das heißt, die durchschnittliche Anzahl des Auftretens von Ereignissen bleibt konstant.

Bemerkung3: Wenn es eine Zufallsvariable gibt, die nach dem Poisson-Gesetz verteilt ist, dann gibt es zwangsläufig auch eine Zufallsvariable, die nach dem Exponentialgesetz verteilt ist und umgekehrt (siehe Exponentialverteilung).

Beispiel. Die Fabrik an die Basis geschickt 5000 Produkte von guter Qualität. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt beim Transport beschädigt wird, ist gleich 0,0002 . Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei unbrauchbare Gegenstände an der Basis ankommen.

Lösung: Nach Zustand n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Lass uns finden λ: λ = np= 5000 0,0002 = 1.

Nach der Poisson-Formel ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich:

, wo Zufallsvariable X- die Anzahl fehlerhafter Produkte.

5.4. Geometrische Verteilung

Lassen Sie unabhängige Versuche machen, in denen jeweils die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses ermittelt wird ABER ist gleich p(0p

q = 1 - p. Trials enden, sobald das Event erscheint ABER. Also, wenn ein Ereignis ABER erschien in k-ten Test, dann im vorherigen k – 1 In den Tests ist es nicht aufgetaucht.

Bezeichne mit X diskrete Zufallsvariable - die Anzahl der Versuche, die vor dem ersten Auftreten des Ereignisses durchgeführt werden sollen ABER. Offensichtlich die möglichen Werte X sind natürliche Zahlen x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ...

Lassen Sie die erste k-1 Testveranstaltung ABER kam nicht, aber k Prüfung erschien. Die Wahrscheinlichkeit dieses „komplexen Ereignisses“ nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse, P (X = k) = q k -1 p.

Definition 5.4: Eine diskrete Zufallsvariable hat geometrische Verteilung wenn sein Vertriebsrecht folgende Form hat:

P ( X = k ) = q k -1 p , wo
.

Anmerkung 1: Vorausgesetzt k = 1,2,… erhalten wir mit dem ersten Term eine geometrische Progression p und Nenner q (0q. Aus diesem Grund wird die Verteilung als geometrisch bezeichnet.

Bemerkung2: Die Zeile
konvergiert und ihre Summe gleich eins ist. In der Tat ist die Summe der Reihe
.

Beispiel. Die Waffe schießt bis zum ersten Treffer auf das Ziel. Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen p = 0,6 . Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Treffer beim dritten Schuss erfolgt.

Lösung: Nach Zustand p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich:

P (X = 3) = 0,4 2 0,6 = 0,096.

5.5. Hypergeometrische Verteilung

Betrachten Sie das folgende Problem. Lass die Party aus N Produkte verfügbar M Standard (MN). zufällig aus der Partei ausgewählt n Produkte (jedes Produkt kann mit der gleichen Wahrscheinlichkeit entfernt werden), und das ausgewählte Produkt wird nicht vor der Auswahl des nächsten in die Charge zurückgeführt (daher ist die Bernoulli-Formel hier nicht anwendbar).

Bezeichne mit X Zufallsvariable - Zahl m Standardprodukte unter n ausgewählt. Dann die möglichen Werte X wird 0, 1, 2, … sein, Mindest ; Beschriften wir sie und... an Werte der unabhängigen Variablen (Fonds), verwenden Sie die Schaltfläche ( Kapitel ...

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Verteilungsdichte Wahrscheinlichkeiten X Rufen Sie die Funktion auf f(x) ist die erste Ableitung der Verteilungsfunktion F(x):

Das Konzept der Wahreiner Zufallsvariablen X für eine diskrete Menge ist nicht anwendbar.

Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) heißt Differentialverteilungsfunktion:

Eigentum 1. Die Verteilungsdichte ist ein nicht negativer Wert:

Eigenschaft 2. Das uneigentliche Integral der Verteilungsdichte im Bereich von bis ist gleich eins:

Beispiel 1.25. Gegeben ist die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X:

f(x).

Lösung: Die Verteilungsdichte ist gleich der ersten Ableitung der Verteilungsfunktion:

1. Gegeben sei die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X:

Finden Sie die Verteilungsdichte.

2. Die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist gegeben X:

Finden Sie die Verteilungsdichte f(x).

1.3. Numerische Merkmale des kontinuierlichen Zufalls

Mengen

Erwarteter Wert stetige Zufallsvariable X, deren mögliche Werte zur gesamten Achse gehören Oh, wird durch die Gleichheit bestimmt:

Es wird angenommen, dass das Integral absolut konvergiert.

ein, b), dann:

f(x) ist die Verteilungsdichte der Zufallsvariablen.

Streuung stetige Zufallsvariable X, deren mögliche Werte zur gesamten Achse gehören, wird durch die Gleichheit bestimmt:

Besonderer Fall. Gehören die Werte der Zufallsvariablen zum Intervall ( ein, b), dann:

Die Wahrscheinlichkeit, dass X nimmt Werte aus dem Intervall ( ein, b), wird durch die Gleichheit bestimmt:

.

Beispiel 1.26. Kontinuierliche Zufallsvariable X

Finden Sie die mathematische Erwartung, Varianz und Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable zu treffen X im Intervall (0; 0,7).

Lösung: Die Zufallsvariable wird über das Intervall (0,1) verteilt. Lassen Sie uns die Verteilungsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen definieren X:

a) Mathematische Erwartung :

b) Streuung

in)

Aufgaben für selbstständiges Arbeiten:

1. Zufallsvariable X gegeben durch die Verteilungsfunktion:

M(x);

b) Streuung D(x);

X in das Intervall (2,3).

2. Zufallswert X

Finden Sie: a) mathematische Erwartung M(x);

b) Streuung D(x);

c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable zu treffen X im Intervall (1; 1,5).

3. Zufallswert X ist durch die integrale Verteilungsfunktion gegeben:

Finden Sie: a) mathematische Erwartung M(x);

b) Streuung D(x);

c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable zu treffen X im Intervall.

1.4. Verteilungsgesetze einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

1.4.1. Gleichmäßige Verteilung

Kontinuierliche Zufallsvariable X hat eine gleichmäßige Verteilung auf dem Intervall [ ein, b], wenn auf diesem Segment die Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen konstant und außerhalb gleich Null ist, d.h.:

Reis. vier.

; ; .

Beispiel 1.27. Ein Bus irgendeiner Route bewegt sich gleichmäßig mit einem Intervall von 5 Minuten. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine gleichmäßig verteilte Zufallsvariable X– Die Wartezeit auf den Bus beträgt weniger als 3 Minuten.

Lösung: Zufallswert X- gleichmäßig über das Intervall verteilt.

Wahrscheinlichkeitsdichte: .

Damit die Wartezeit 3 ​​Minuten nicht überschreitet, muss der Fahrgast innerhalb von 2 bis 5 Minuten nach der Abfahrt des vorherigen Busses an der Bushaltestelle eintreffen, d.h. Zufallswert X muss in das Intervall (2;5) fallen. Dass. gewünschte Wahrscheinlichkeit:

Aufgaben für selbstständiges Arbeiten:

1. a) Finden Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen X gleichmäßig verteilt im Intervall (2; 8);

b) Finden Sie die Varianz und die Standardabweichung einer Zufallsvariablen X, gleichmäßig verteilt im Intervall (2;8).

2. Der Minutenzeiger einer elektrischen Uhr springt am Ende jeder Minute. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Uhr zu einem bestimmten Zeitpunkt die Zeit anzeigt, die nicht mehr als 20 Sekunden von der wahren Zeit abweicht.

1.4.2. Die exponentielle (exponentielle) Verteilung

Kontinuierliche Zufallsvariable X ist exponentiell verteilt, wenn ihre Wahrscheinlichkeitsdichte die Form hat:

wo ist der Parameter der Exponentialverteilung.

Auf diese Weise

Reis. 5.

Numerische Eigenschaften:

Beispiel 1.28. Zufallswert X- die Betriebsdauer der Glühbirne - ist exponentiell verteilt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Lampe mindestens 600 Stunden hält, wenn die durchschnittliche Lampenlebensdauer 400 Stunden beträgt.

Lösung: Je nach Problemstellung die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen X entspricht 400 Stunden, also:

;

Die gewünschte Wahrscheinlichkeit , wo

Endlich:

Aufgaben für selbstständiges Arbeiten:

1. Schreiben Sie die Dichte- und Verteilungsfunktion des Exponentialgesetzes, wenn der Parameter .

2. Zufallswert X

Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz einer Größe X.

3. Zufallswert X gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion:

Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Standardabweichung einer Zufallsvariablen.

1.4.3. Normalverteilung

normal heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X, dessen Dichte die Form hat:

wo a– mathematischer Erwartungswert, – Standardabweichung X.

Die Wahrscheinlichkeit, dass X nimmt einen Wert, der zum Intervall gehört:

, wo

ist die Laplace-Funktion.

Eine Distribution, die ; , d.h. mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte Standard genannt.

Reis. 6.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Absolutwert der Abweichung kleiner als eine positive Zahl ist:

.

Vor allem wann a= 0 Gleichheit ist wahr:

Beispiel 1.29. Zufallswert X normal verteilt. Standardabweichung . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert im absoluten Wert kleiner als 0,3 ist.

Lösung: .

Aufgaben für selbstständiges Arbeiten:

1. Schreiben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung einer Zufallsvariablen X, wissend, dass M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Mathematischer Erwartungswert und Standardabweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen X sind 20 bzw. 5. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass als Ergebnis des Tests X nimmt den im Intervall (15;20) enthaltenen Wert an.

3. Zufällige Messfehler unterliegen dem Normalgesetz mit Standardabweichung mm und mathematischer Erwartung a= 0. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler von mindestens einer von 3 unabhängigen Messungen 4 mm im absoluten Wert nicht überschreitet.

4. Einige Substanzen werden ohne systematische Fehler gewogen. Zufällige Wägefehler unterliegen dem normalen Gesetz mit einer Standardabweichung r. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Wägung mit einem absoluten Fehler von höchstens 10 g durchgeführt wird.