Geometrie ist eine sehr facettenreiche Wissenschaft. Es entwickelt Logik, Vorstellungskraft und Intelligenz. Aufgrund seiner Komplexität und der Vielzahl von Sätzen und Axiomen gefällt es Schulkindern natürlich nicht immer. Darüber hinaus müssen ihre Schlussfolgerungen ständig anhand allgemein anerkannter Standards und Regeln nachgewiesen werden.

Benachbarte und vertikale Winkel sind ein integraler Bestandteil der Geometrie. Sicherlich verehren viele Schulkinder sie einfach deshalb, weil ihre Eigenschaften klar und leicht nachzuweisen sind.

Bildung von Ecken

Jeder Winkel wird durch den Schnittpunkt zweier Linien oder durch Zeichnen zweier Strahlen von einem Punkt aus gebildet. Sie können entweder ein oder drei Buchstaben genannt werden, die nacheinander die Konstruktionspunkte der Ecke bezeichnen.

Winkel werden in Grad gemessen und können (je nach Wert) unterschiedlich bezeichnet werden. Es gibt also einen rechten Winkel, spitz, stumpf und entfaltet. Jeder der Namen entspricht einem bestimmten Gradmaß oder seinem Intervall.

Ein spitzer Winkel ist ein Winkel, dessen Maß 90 Grad nicht überschreitet.

Ein stumpfer Winkel ist ein Winkel größer als 90 Grad.

Ein Winkel heißt recht, wenn sein Maß 90 beträgt.

Wenn es aus einer durchgehenden geraden Linie besteht und sein Gradmaß 180 beträgt, wird es als eingesetzt bezeichnet.

Winkel, die eine gemeinsame Seite haben, deren zweite Seite ineinander übergeht, heißen benachbart. Sie können entweder scharf oder stumpf sein. Der Schnittpunkt der Linie bildet benachbarte Winkel. Ihre Eigenschaften sind wie folgt:

1. Die Summe solcher Winkel beträgt 180 Grad (es gibt einen Satz, der dies beweist). Daher kann einer von ihnen leicht berechnet werden, wenn der andere bekannt ist.
2. Aus dem ersten Punkt folgt, dass benachbarte Winkel nicht durch zwei stumpfe oder zwei spitze Winkel gebildet werden können.

Dank dieser Eigenschaften kann man immer das Gradmaß eines Winkels berechnen, wenn der Wert eines anderen Winkels gegeben ist, oder zumindest das Verhältnis zwischen ihnen.

Vertikale Winkel

Winkel, deren Seiten Fortsetzungen voneinander sind, werden vertikal genannt. Jede ihrer Sorten kann als solches Paar fungieren. Vertikale Winkel sind immer gleich.

Sie entstehen, wenn sich Linien schneiden. Zusammen mit ihnen sind immer benachbarte Ecken vorhanden. Ein Winkel kann sowohl benachbart als auch vertikal für den anderen sein.

Beim Überqueren einer beliebigen Linie werden auch mehrere weitere Arten von Winkeln berücksichtigt. Eine solche Linie wird als Sekante bezeichnet und bildet die entsprechenden einseitigen und kreuzenden Winkel. Sie sind einander gleich. Sie können im Hinblick auf die Eigenschaften betrachtet werden, die vertikale und benachbarte Winkel haben.

Somit scheint das Thema Ecken recht einfach und verständlich zu sein. Alle ihre Eigenschaften sind leicht zu merken und zu beweisen. Das Lösen von Problemen ist nicht schwierig, solange die Winkel einem Zahlenwert entsprechen. Schon weiter, wenn das Studium von Sünde und Kos beginnt, müssen Sie sich viele komplexe Formeln, ihre Schlussfolgerungen und Konsequenzen merken. Bis dahin können Sie sich einfach an einfachen Rätseln erfreuen, bei denen Sie benachbarte Ecken finden müssen.

KAPITEL I.

GRUNDLEGENDES KONZEPT.

§elf. ANGRENZENDE UND VERTIKALE WINKEL.

1. Angrenzende Ecken.

Wenn wir die Seite einer Ecke über ihren Scheitel hinaus fortsetzen, erhalten wir zwei Ecken (Abb. 72): / Eine Sonne u / SVD, bei dem eine Seite BC gemeinsam ist und die anderen beiden AB und BD eine gerade Linie bilden.

Zwei Winkel, die eine Seite gemeinsam haben und die anderen beiden eine Gerade bilden, heißen benachbarte Winkel.

Angrenzende Winkel können auch auf diese Weise erhalten werden: Wenn wir einen Strahl von einem Punkt auf einer geraden Linie (die nicht auf einer bestimmten geraden Linie liegt) zeichnen, erhalten wir angrenzende Winkel.
Zum Beispiel, / ADF und / FDВ - benachbarte Ecken (Abb. 73).

Benachbarte Ecken können eine Vielzahl von Positionen haben (Abb. 74).

Benachbarte Winkel addieren sich zu einem geraden Winkel, also die Umma zweier benachbarter Winkel ist 2d.

Daher kann ein rechter Winkel als ein Winkel definiert werden, der gleich seinem angrenzenden Winkel ist.

Wenn wir den Wert eines der angrenzenden Winkel kennen, können wir den Wert des anderen angrenzenden Winkels finden.

Zum Beispiel, wenn einer der angrenzenden Winkel 3/5 beträgt d, dann ist der zweite Winkel gleich:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Vertikale Winkel.

Wenn wir die Seiten eines Winkels über seinen Scheitel hinaus verlängern, erhalten wir vertikale Winkel. In Zeichnung 75 sind die Winkel EOF und AOC vertikal; die Winkel AOE und COF sind ebenfalls vertikal.

Zwei Winkel heißen vertikal, wenn die Seiten des einen Winkels Verlängerungen der Seiten des anderen Winkels sind.

Lassen / 1 = 7 / 8 d(Abb. 76). Daran angrenzend / 2 wird gleich 2 d- 7 / 8 d, also 1 1/8 d.

Auf die gleiche Weise können Sie berechnen, was gleich ist / 3 und / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Abb. 77).

Wir sehen das / 1 = / 3 und / 2 = / 4.

Sie können mehrere der gleichen Probleme lösen und erhalten jedes Mal das gleiche Ergebnis: Die vertikalen Winkel sind einander gleich.

Um sicherzustellen, dass die vertikalen Winkel immer gleich sind, reicht es jedoch nicht aus, einzelne Zahlenbeispiele zu betrachten, da Schlussfolgerungen aus bestimmten Beispielen manchmal falsch sein können.

Es ist notwendig, die Gültigkeit der Eigenschaft vertikaler Winkel durch Argumentation und Beweis zu überprüfen.

Der Beweis kann wie folgt geführt werden (Abb. 78):

/ ein +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(da die Summe benachbarter Winkel 2 ist d).

/ ein +/ c = / b+/ c

(da die linke Seite dieser Gleichheit gleich 2 ist d, und seine rechte Seite ist ebenfalls gleich 2 d).

Diese Gleichheit schließt den gleichen Winkel ein Mit.

Wenn wir gleich von gleichen Werten subtrahieren, dann bleibt es gleich. Das Ergebnis wird sein: / a = / b, d.h. die vertikalen Winkel sind einander gleich.

Bei der Betrachtung der Frage nach vertikalen Winkeln haben wir zunächst erklärt, welche Winkel als vertikal bezeichnet werden, d.h. wir gaben an Definition vertikale Ecken.

Dann haben wir ein Urteil (Aussage) über die Gleichheit der vertikalen Winkel getroffen und uns durch Beweise von der Gültigkeit dieses Urteils überzeugt. Solche Urteile, deren Gültigkeit nachgewiesen werden muss, werden genannt Sätze. Daher haben wir in diesem Abschnitt die Definition vertikaler Winkel gegeben und auch einen Satz über ihre Eigenschaft aufgestellt und bewiesen.

In Zukunft werden wir uns im Studium der Geometrie ständig mit Definitionen und Beweisen von Theoremen auseinandersetzen müssen.

3. Die Summe der Winkel, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

Auf der Zeichnung 79 / 1, / 2, / 3 und / 4 befinden sich auf derselben Seite einer Geraden und haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt auf dieser Geraden. In der Summe ergeben diese Winkel einen geraden Winkel, d.h.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Auf der Zeichnung 80 / 1, / 2, / 3, / 4 und / 5 haben eine gemeinsame Spitze. In der Summe ergeben diese Winkel einen Vollwinkel, d.h. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Übungen.

1. Einer der angrenzenden Winkel beträgt 0,72 d. Berechnen Sie den Winkel, den die Winkelhalbierenden dieser benachbarten Winkel bilden.

2. Beweisen Sie, dass die Winkelhalbierenden zweier benachbarter Winkel einen rechten Winkel bilden.

3. Beweisen Sie: Wenn zwei Winkel gleich sind, dann sind auch ihre Nachbarwinkel gleich.

4. Wie viele Paare benachbarter Ecken sind in Zeichnung 81?

5. Kann ein Paar benachbarter Winkel aus zwei spitzen Winkeln bestehen? aus zwei stumpfen Ecken? aus rechten und stumpfen Winkeln? aus einem rechten und spitzen Winkel?

6. Wenn einer der angrenzenden Winkel richtig ist, was kann dann über den Wert des angrenzenden Winkels gesagt werden?

7. Wenn es am Schnittpunkt zweier gerader Linien einen rechten Winkel gibt, was kann man dann über die Größe der anderen drei Winkel sagen?

Lektion 8 Zwei Winkel heißen vertikal, wenn die Seiten des einen Winkels eine Verlängerung der Seiten des anderen sind. SATZ. Vertikale Winkel sind gleich. Beweis: = = 180 Ähnlich = = = 3 2 = 4 Problemlösung: 64, 66 Hausaufgabe: Items 11, 66, 67

Mathematisches Diktat. 1 Option. 1. Vervollständigen Sie den Satz: „Wenn die Winkel 1 und 2 benachbart sind, dann ist ihre Summe ...“ 2. Ist der an den 30-Grad-Winkel angrenzende Winkel spitz, stumpf oder recht? 3. Die Summe zweier Winkel beträgt 180 Grad. Müssen diese Winkel benachbart sein? 4. Die Linien AM und CE schneiden sich im Punkt O, der zwischen ihnen liegt. Hat dies zu vertikalen Winkeln geführt? Wenn ja, nennen Sie sie bitte. 5. Wie groß ist der Winkel, wenn der vertikale Winkel dazu 34 Grad beträgt? 6. Einer der vier Winkel, die sich aus dem Schnittpunkt zweier gerader Linien ergeben, beträgt 140 Grad. Was sind die restlichen Winkel? 7. Zwei Ecken haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt, die erste Ecke hat 40 Grad, die zweite 140 Grad. Sind diese Ecken vertikal? Option 2. 1. Vervollständigen Sie den Satz: „Zwei Winkel heißen benachbart, wenn eine Seite gemeinsam ist und die andere ...“ 2. Ist der Winkel neben dem 130-Grad-Winkel spitz, stumpf oder rechts? 3. Die Summe zweier Winkel mit einer gemeinsamen Seite von 180 Grad. Müssen diese Winkel benachbart sein? 4. Der Schüler baute 2 vertikale Ecken. Wie viele Geradenpaare sind dabei entstanden? 5. Zwei Ecken haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt, jede dieser Ecken ist gleich 60 Grad. Müssen diese Winkel senkrecht sein? 6. Einer der vier Winkel, die sich aus dem Schnittpunkt zweier gerader Linien ergeben, beträgt 80 Grad. Was sind die restlichen Winkel? 7. Wie groß ist der Winkel, wenn der vertikale Winkel dazu 120 Grad beträgt?

Antworten. 1. Gleich 180 Grad 2. Stumpfer Winkel 3. Nein 4. Winkel AOC und EOM, AOE und COM Grad und 40 Grad 7. Ja 1. Zusätzliche Strahlen 2. Spitzer Winkel 3. Nein 4. Ein Paar 5. Nein und 100 Grad Grad