Frage 1. Welche Winkel heißen benachbart?
Antwort. Zwei Winkel heißen benachbart, wenn sie eine Seite gemeinsam haben und die anderen Seiten dieser Winkel komplementäre Halblinien sind.
In Abbildung 31 liegen die Winkel (a 1 b) und (a 2 b) nebeneinander. Sie haben die Seite b gemeinsam und die Seiten a 1 und a 2 sind zusätzliche Halblinien.

Frage 2. Beweisen Sie, dass die Summe benachbarter Winkel 180° beträgt.
Antwort. Satz 2.1. Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180°.
Nachweisen. Winkel (a 1 b) und Winkel (a 2 b) seien benachbarte Winkel (siehe Abb. 31). Strahl b verläuft zwischen den Seiten a 1 und a 2 eines geraden Winkels. Daher ist die Summe der Winkel (a 1 b) und (a 2 b) gleich dem entfalteten Winkel, also 180°. Q.E.D.

Frage 3. Beweisen Sie: Wenn zwei Winkel gleich sind, dann sind auch ihre benachbarten Winkel gleich.
Antwort.

Aus dem Satz 2.1 Daraus folgt, dass, wenn zwei Winkel gleich sind, auch die benachbarten Winkel gleich sind.
Nehmen wir an, die Winkel (a 1 b) und (c 1 d) sind gleich. Wir müssen beweisen, dass auch die Winkel (a 2 b) und (c 2 d) gleich sind.
Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180°. Daraus folgt, dass a 1 b + a 2 b = 180° und c 1 d + c 2 d = 180°. Daher ist a 2 b = 180° - a 1 b und c 2 d = 180° - c 1 d. Da die Winkel (a 1 b) und (c 1 d) gleich sind, erhalten wir a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Aus der Transitivitätseigenschaft des Gleichheitszeichens folgt a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Frage 4. Welcher Winkel heißt rechts (spitz, stumpf)?
Antwort. Ein Winkel von 90° wird rechter Winkel genannt.
Ein Winkel kleiner als 90° wird als spitzer Winkel bezeichnet.
Ein Winkel größer als 90° und kleiner als 180° wird als stumpf bezeichnet.

Frage 5. Beweisen Sie, dass ein an einen rechten Winkel angrenzender Winkel ein rechter Winkel ist.
Antwort. Aus dem Satz über die Summe benachbarter Winkel folgt, dass ein an einen rechten Winkel angrenzender Winkel ein rechter Winkel ist: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Frage 6. Welche Winkel werden als vertikal bezeichnet?
Antwort. Zwei Winkel heißen vertikal, wenn die Seiten des einen Winkels komplementäre Halblinien der Seiten des anderen sind.

Frage 7. Beweisen Sie, dass die vertikalen Winkel gleich sind.
Antwort. Satz 2.2. Vertikale Winkel sind gleich.
Nachweisen. Seien (a 1 b 1) und (a 2 b 2) die gegebenen vertikalen Winkel (Abb. 34). Winkel (a 1 b 2) grenzt an Winkel (a 1 b 1) und an Winkel (a 2 b 2). Daraus schließen wir unter Verwendung des Satzes über die Summe benachbarter Winkel, dass jeder der Winkel (a 1 b 1) und (a 2 b 2) den Winkel (a 1 b 2) zu 180° ergänzt, d. h. Winkel (a 1 b 1) und (a 2 b 2) sind gleich. Q.E.D.

Frage 8. Beweisen Sie: Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden einer der Winkel recht ist, dann sind auch die anderen drei Winkel recht.
Antwort. Angenommen, die Linien AB und CD schneiden sich im Punkt O. Angenommen, der Winkel AOD beträgt 90°. Da die Summe benachbarter Winkel 180° beträgt, ergibt sich AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Der Winkel COB ist vertikal zum Winkel AOD, daher sind sie gleich. Das heißt, Winkel COB = 90°. Der Winkel COA ist vertikal zum Winkel BOD, daher sind sie gleich. Das heißt, Winkel BOD = 90°. Somit sind alle Winkel gleich 90°, also alle rechten Winkel. Q.E.D.

Frage 9. Welche Geraden heißen Senkrechte? Welches Zeichen wird verwendet, um die Rechtwinkligkeit von Linien anzuzeigen?
Antwort. Zwei Geraden heißen senkrecht, wenn sie sich im rechten Winkel schneiden.
Die Rechtwinkligkeit von Geraden wird durch das Zeichen \(\perp\) angegeben. Der Eintrag \(a\perp b\) lautet: „Linie a steht senkrecht auf Linie b.“

Frage 10. Beweisen Sie, dass Sie durch jeden Punkt einer Geraden eine Gerade senkrecht dazu zeichnen können, und zwar nur eine.
Antwort. Satz 2.3. Durch jede Linie können Sie eine Linie senkrecht dazu zeichnen, und zwar nur eine.
Nachweisen. Sei a eine gegebene Gerade und A ein gegebener Punkt darauf. Bezeichnen wir mit a 1 eine der Halbgeraden der Geraden a mit dem Startpunkt A (Abb. 38). Subtrahieren wir von der Halbgeraden a 1 einen Winkel (a 1 b 1) gleich 90°. Dann steht die Gerade, die den Strahl b 1 enthält, senkrecht zur Geraden a.

Nehmen wir an, dass es eine weitere Gerade gibt, die ebenfalls durch Punkt A verläuft und senkrecht zur Geraden a steht. Bezeichnen wir mit c 1 die Halblinie dieser Linie, die in derselben Halbebene mit dem Strahl b 1 liegt.
Die Winkel (a 1 b 1) und (a 1 c 1), jeweils gleich 90°, werden in einer Halbebene ausgehend von der Halblinie a 1 angelegt. Aber von der Halblinie a 1 kann in eine gegebene Halbebene nur ein Winkel gleich 90° gelegt werden. Daher kann es keine andere Linie geben, die durch Punkt A verläuft und senkrecht zur Linie a verläuft. Der Satz ist bewiesen.

Frage 11. Was steht senkrecht zu einer Geraden?
Antwort. Eine Senkrechte zu einer gegebenen Geraden ist ein Segment einer Geraden senkrecht zu einer gegebenen Geraden, deren eines ihrer Enden an ihrem Schnittpunkt liegt. Dieses Ende des Segments wird aufgerufen Basis aufrecht.

Frage 12. Erklären Sie, woraus ein Widerspruchsbeweis besteht.
Antwort. Die Beweismethode, die wir in Satz 2.3 verwendet haben, wird Widerspruchsbeweis genannt. Diese Beweismethode besteht darin, dass wir zunächst eine Annahme machen, die dem Satz entgegengesetzt ist. Dann kommen wir durch Argumentation, die sich auf Axiome und bewährte Theoreme stützt, zu einer Schlussfolgerung, die entweder den Bedingungen des Theorems oder einem der Axiome oder einem zuvor bewiesenen Theorem widerspricht. Auf dieser Grundlage kommen wir zu dem Schluss, dass unsere Annahme falsch war und daher die Aussage des Theorems wahr ist.

Frage 13. Was ist die Winkelhalbierende?
Antwort. Die Winkelhalbierende ist ein Strahl, der vom Scheitelpunkt des Winkels ausgeht, zwischen seinen Seiten verläuft und den Winkel in zwei Hälften teilt.

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Jeder Winkel hat je nach Größe seinen eigenen Namen:

Winkeltyp	Größe in Grad	Beispiel
Scharf	Weniger als 90°
Gerade	Entspricht 90°. In einer Zeichnung wird ein rechter Winkel normalerweise durch ein Symbol gekennzeichnet, das von einer Seite des Winkels zur anderen verläuft.
Unverblümt	Mehr als 90°, aber weniger als 180°
Erweitert	Entspricht 180° Ein gerader Winkel ist gleich der Summe zweier rechter Winkel und ein rechter Winkel ist die Hälfte eines geraden Winkels.
Konvex	Mehr als 180°, aber weniger als 360°
Voll	Entspricht 360°

Die beiden Winkel werden aufgerufen benachbart, wenn sie eine Seite gemeinsam haben und die anderen beiden Seiten eine gerade Linie bilden:

Winkel MOPP Und PON angrenzend, da der Balken OP- die gemeinsame Seite und die anderen beiden Seiten - OM Und AN eine gerade Linie bilden.

Die gemeinsame Seite benachbarter Winkel heißt schräg bis gerade, auf dem die beiden anderen Seiten liegen, nur für den Fall, dass benachbarte Winkel einander nicht gleich sind. Wenn benachbarte Winkel gleich sind, ist ihre gemeinsame Seite gleich aufrecht.

Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180°.

Die beiden Winkel werden aufgerufen Vertikale, wenn die Seiten eines Winkels die Seiten des anderen Winkels zu Geraden ergänzen:

Winkel 1 und 3 sowie Winkel 2 und 4 sind vertikal.

Vertikale Winkel sind gleich.

Beweisen wir, dass die vertikalen Winkel gleich sind:

Die Summe von ∠1 und ∠2 ist ein gerader Winkel. Und die Summe von ∠3 und ∠2 ist ein gerader Winkel. Diese beiden Beträge sind also gleich:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

In dieser Gleichheit gibt es links und rechts einen identischen Term – ∠2. Die Gleichheit wird nicht verletzt, wenn dieser Begriff links und rechts weggelassen wird. Dann verstehen wir es.

Anzeichen der Parallelität zweier Linien

Satz 1. Wenn sich zwei Geraden mit einer Sekante schneiden:

gekreuzte Winkel sind gleich, oder

entsprechende Winkel sind gleich, oder

die Summe der einseitigen Winkel beträgt dann 180°

Linien sind parallel(Abb. 1).

Nachweisen. Wir beschränken uns auf den Beweis von Fall 1.

Die Schnittlinien a und b seien kreuzweise und die Winkel AB seien gleich. Zum Beispiel ∠ 4 = ∠ 6. Beweisen wir, dass a || B.

Angenommen, die Linien a und b sind nicht parallel. Dann schneiden sie sich in einem Punkt M und daher ist einer der Winkel 4 oder 6 der Außenwinkel des Dreiecks ABM. Der Bestimmtheit halber sei ∠ 4 der Außenwinkel des Dreiecks ABM und ∠ 6 der Innenwinkel. Aus dem Satz über den Außenwinkel eines Dreiecks folgt, dass ∠ 4 größer als ∠ 6 ist, und dies widerspricht der Bedingung, dass sich die Geraden a und 6 nicht schneiden können, also parallel sind.

Folgerung 1. Zwei verschiedene Linien in einer Ebene senkrecht zur gleichen Linie sind parallel(Abb. 2).

Kommentar. Die Art und Weise, wie wir gerade Fall 1 von Satz 1 bewiesen haben, wird als Methode des Beweises durch Widerspruch oder Reduktion auf die Absurdität bezeichnet. Diese Methode erhielt ihren ersten Namen, weil am Anfang der Argumentation eine Annahme gemacht wird, die im Widerspruch zu dem steht, was bewiesen werden muss. Es wird Absurdität genannt, weil wir, wenn wir auf der Grundlage der getroffenen Annahmen argumentieren, zu einer absurden Schlussfolgerung (zum Absurden) kommen. Der Erhalt einer solchen Schlussfolgerung zwingt uns dazu, die zu Beginn getroffene Annahme abzulehnen und die Annahme zu akzeptieren, die bewiesen werden musste.

Aufgabe 1. Konstruieren Sie eine Gerade, die durch einen gegebenen Punkt M und parallel zu einer gegebenen Geraden a verläuft und nicht durch den Punkt M verläuft.

Lösung. Wir zeichnen eine Gerade p durch den Punkt M senkrecht zur Geraden a (Abb. 3).

Dann zeichnen wir eine Gerade b durch den Punkt M senkrecht zur Geraden p. Linie b ist gemäß der Folgerung von Satz 1 parallel zu Linie a.

Aus dem betrachteten Problem ergibt sich eine wichtige Schlussfolgerung:
Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, ist es immer möglich, eine Gerade parallel zu dieser zu zeichnen.

Die Haupteigenschaft paralleler Linien ist wie folgt.

Axiom paralleler Linien. Durch einen gegebenen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, verläuft nur eine Gerade parallel zu dieser.

Betrachten wir einige Eigenschaften paralleler Geraden, die sich aus diesem Axiom ergeben.

1) Wenn eine Gerade eine von zwei parallelen Geraden schneidet, dann schneidet sie auch die andere (Abb. 4).

2) Wenn zwei verschiedene Geraden parallel zu einer dritten Geraden verlaufen, dann sind sie parallel (Abb. 5).

Der folgende Satz ist ebenfalls wahr.

Satz 2. Wenn zwei parallele Geraden von einer Transversallinie geschnitten werden, dann:

Querwinkel sind gleich;

entsprechende Winkel sind gleich;

die Summe der einseitigen Winkel beträgt 180°.

Folgerung 2. Steht eine Gerade senkrecht auf einer von zwei parallelen Geraden, dann steht sie auch senkrecht auf der anderen(siehe Abb. 2).

Kommentar. Satz 2 wird die Umkehrung von Satz 1 genannt. Die Konklusion von Satz 1 ist die Bedingung von Satz 2. Und die Bedingung von Satz 1 ist die Konklusion von Satz 2. Nicht jeder Satz hat eine Umkehrung, das heißt, wenn ein bestimmter Satz vorhanden ist wahr, dann kann der Umkehrsatz falsch sein.

Lassen Sie uns dies am Beispiel des Satzes über vertikale Winkel erklären. Dieser Satz lässt sich wie folgt formulieren: Wenn zwei Winkel vertikal sind, dann sind sie gleich. Der umgekehrte Satz wäre: Wenn zwei Winkel gleich sind, dann sind sie vertikal. Und das stimmt natürlich nicht. Zwei gleiche Winkel müssen nicht vertikal sein.

Beispiel 1. Zwei parallele Linien werden von einer dritten gekreuzt. Es ist bekannt, dass der Unterschied zwischen zwei einseitigen Innenwinkeln 30° beträgt. Finden Sie diese Winkel.

Lösung. Abbildung 6 soll die Bedingung erfüllen.

Herausgegeben von Ivanitskaya V.P. - M.: Staatlicher pädagogischer und pädagogischer Verlag des Bildungsministeriums der RSFSR, 1959. - 272 S.
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Wenn benachbarte Winkel gleich sind, wird jeder von ihnen als rechter Winkel bezeichnet. Ihre gemeinsame Seite wird als Senkrechte zu der Linie bezeichnet, die von den beiden anderen Seiten gebildet wird. Wir können auch sagen, dass die Winkelhalbierende eines umgekehrten Winkels senkrecht zu der durch seine Seiten gebildeten Linie steht.

Satz. Wenn die Winkel gleich sind, sind auch die benachbarten Winkel gleich.

Sei (h, k) = ^. (I, m) und seien ^ (h!, k) und ^ (/", t) die entsprechenden benachbarten Winkel (Abb. 20). Sei weiterhin / die Bewegung, bei der ^ (h, k) ist angezeigt in (I, tri). Mit dieser Bewegung wird das erweiterte ^ (h, K) in das erweiterte (I, /") abgebildet. Daraus folgt, dass ^(h", k) in ^(V, m) abgebildet wird, d. h. ^(h!, k) = ^(V, m).

Satz. Für jeden Winkel gibt es eine Winkelhalbierende und darüber hinaus eine eindeutige.

Sei ^(A, k) vom erweiterten verschieden und sein innerer Bereich sei konvex. Zeichnen wir auf seinen Seiten gleiche Segmente OA und OB vom Scheitelpunkt O aus (Zeichnung 21, a) und verbinden wir die Punkte A und B. Im gleichschenkligen Dreieck AOB ist A = ^B (§ 8). Indem wir den Mittelpunkt C des Segments AB mit dem Punkt O verbinden, erhalten wir Dreiecke L OS und BOC, die im ersten Attribut gleich sind. Daher ist AOC = BOC, und daher ist der Strahl OS eine Winkelhalbierende (h, k).

Wenn (h, k) nicht konvex ist (in der Zeichnung ist sein innerer Bereich nicht schattiert), dann gemäß dem Vorhergehenden

6}
t^

Nach dem Satz ist seine Winkelhalbierende der zum Strahl / komplementäre Strahl m.

Aus der Gleichheit der Dreiecke ACO und BCO folgt auch ^ ACO = BCO1, d. h. der Strahl CO ist die Winkelhalbierende eines umgekehrten Winkels mit den Seiten CA und CB.

Gegeben sei nun ein erweitertes ^(p,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

ACB wird in angezeigt

(p, q). Der CO-Strahl wird in den T-Strahl abgebildet. Da ^ (p, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO und ^ACO= = (q, t), dann ist (p, t) = = ^(q, t), d. h. t -Halbierende (p, q ).

Sei / die Winkelhalbierende

(A, A) und Г ist ein beliebiger Strahl, der vom Scheitelpunkt des Winkels ausgeht und in seinem inneren Bereich liegt. Wenn Γ im inneren Bereich ^(A, /) liegt, dann ^(A, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (A, /). Daher ist ^(A, G)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

Folgerung 1. Es gibt eine und nur eine Senkrechte zu einer gegebenen Linie, die von einem gegebenen Punkt darauf ausgeht und in einer gegebenen Halbebene liegt, die durch diese Linie begrenzt wird.

Folgerung 2. Hälften gleicher Winkel sind einander gleich.

Wenn nämlich ^(A, A) = ^(A", A"), dann gibt es eine Bewegung /, in der einer von ihnen in den anderen abgebildet wird. Nach dem bewährten Satz sollten auch ihre Winkelhalbierenden / und Γ für eine gegebene Bewegung ineinander abgebildet werden. Daher ist ^(A, /) = ^(A", Г).

Da alle geraden Winkel gleich sind, ist ein Sonderfall von Korollar 2 der Satz: Alle rechten Winkel sind einander gleich.

Geraden a und A, die beim Schnitt rechte Winkel bilden, werden als Senkrechte (a ± b) bezeichnet.

Spiegelung einer geraden Linie. Die Gerade a liege in der Ebene a. Die dabei gebildeten Halbebenen werden mit X und p bezeichnet. (Abbildung 22). Nehmen wir Strahl A auf einer geraden Linie

ausgehend vom Punkt O. Aufgrund der Eigenschaft von 6 Bewegungen (§ 7) gibt es eine eindeutige Bewegung, die den Strahl h in sich selbst und die Halbebene X in die Halbebene jx abbildet. Alle Punkte dieses Strahls werden entsprechend der Eigenschaft von 5 Bewegungen in sich selbst abgebildet. Alle zum direkten Strahl h komplementären Punkte des Strahls k werden ebenfalls auf sich selbst abgebildet.

Während der betrachteten Bewegung werden also alle Punkte der Geraden a auf sich selbst abgebildet. Darüber hinaus ist es leicht, das zu erkennen

Nehmen wir nun einen Punkt außerhalb der Linie a.

Satz. Durch jeden Punkt, der nicht auf einer Geraden liegt, verläuft eine einzelne Gerade senkrecht zur gegebenen Geraden.

Nachweisen. Sei M ein Punkt, der außerhalb der Geraden a liegt (Abb. 23). Linie a teilt die durch diese Linie definierte Ebene und

Punkt M in zwei Halbebenen: die Halbebene X, die den Punkt M enthält, und die Halbebene jx. Bei der Spiegelung an der Geraden a wird der Punkt M dem Punkt M" der Halbebene jx zugeordnet. Da die Punkte M und M" in unterschiedlichen Halbebenen liegen,

Ah, dann gerade MM“ und Damn 23

kreuzen sich an manchen

Punkt M0, der bei Spiegelung auf sich selbst abgebildet wird. Daraus folgt, dass die Gerade MM" auf sich selbst abgebildet wird und damit die von ihr mit der Geraden a (siehe Abb. 23) gebildeten Winkel / und 2 ineinander abgebildet werden.

Die Halbebene jx wird in die Halbebene X abgebildet.

Die betrachtete Bewegung heißt Reflexion an der Geraden a.

Aus der Existenz der Winkelhalbierenden eines umgekehrten Winkels folgt, dass es durch jeden auf der Geraden a liegenden Punkt immer möglich ist, eine Gerade b senkrecht zur Geraden a zu zeichnen.

Dies bedeutet, dass diese Winkel gleich sind, und da sie außerdem benachbart sind, gilt MM" ± a. Nun ziehe man eine weitere Gerade durch M, die die Gerade a in einem Punkt Af0 schneidet. Sie wird in die Gerade M abgebildet "N0, a ^ MN0M0 wird in M"N0M0 abgebildet. Also, ^ 3 = ^i4. Aber aufgrund von Axiom 1 (§ 2) liegen die Punkte M1 N0 und M" nicht auf derselben Geraden, und daher ist die Summe der Winkel 3 und 4, also ^ MN0M", kein umgekehrter Winkel. Daraus folgt, dass die Winkel 3 und 4 vom rechten Winkel verschieden sind und die Gerade MN0 nicht senkrecht zur Geraden a steht. Die Die Gerade „MM“ ist also die einzige Gerade, die senkrecht zu a steht und durch den Punkt M geht.