Kleiner Anstellwinkel - [A.S. Goldberg. Englisch-Russisches Energiewörterbuch. 2006] Themen Energietechnik im Allgemeinen Synonyme kleiner Anstellwinkel EN negativer Inzidenzgeringe Inzidenz ...

negativer Schnittwinkel- - Themen Öl- und Gasindustrie EN negativer Schnittwinkelnegativer Schnittwinkelnegativer Spanwinkel ... Leitfaden für technische Übersetzer

negativer Abschrägungswinkel der Oberseite der Bürste- [GOST 21888 82 (IEC 276 68, IEC 560 77)] Themen elektrischer rotierender Maschinen im Allgemeinen... Leitfaden für technische Übersetzer

Flügelwinkel Enzyklopädie "Luftfahrt"

Flügelwinkel- Flügeleinbauwinkel. Flügeleinbauwinkel Winkel φ0 zwischen der Mittelsehne des Flügels und der Basisachse des Flugzeugs (siehe Abbildung). Abhängig von der aerodynamischen Konfiguration des Flugzeugs kann dieser Winkel entweder positiv oder negativ sein. Gewöhnlich … Enzyklopädie "Luftfahrt"

Flügelwinkel- Winkel (φ)0 zwischen der Mittelsehne des Flügels und der Basisachse des Flugzeugs. Abhängig von der aerodynamischen Konfiguration des Flugzeugs kann dieser Winkel entweder positiv oder negativ sein. Normalerweise liegt er im Bereich von -2(°) bis +3(°). Winkel (φ)0… … Enzyklopädie der Technik

TÄUSCHUNGSWINKEL- (Absenkungswinkel) der Winkel, den die Höhenlinie (cm) mit dem Horizont bildet, wenn die erste Linie unter dem Horizont verläuft, d. h. ein negativer Höhenwinkel. Samoilov K.I. Marine-Wörterbuch. M.L.: State Naval Publishing House der NKVMF Union... ... Marine Dictionary

WINKEL DER OPTISCHEN ACHSEN- spitzer Winkel zwischen opt. Achsen in zweiachsigen Wellen. U. o. Ö. heißt positiv, wenn die spitze Winkelhalbierende Ng ist, und negativ, wenn die spitze Winkelhalbierende Np ist (siehe Optisch zweiachsiger Kristall). True U. o. Ö. bezeichnet... ... Geologische Enzyklopädie

Rolle (Winkel)- Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Castor. θ Nachlauf, rote Linie ist die Lenkachse des Rades. In der Abbildung ist der Nachlauf positiv (der Winkel wird im Uhrzeigersinn gemessen, die Vorderseite des Autos befindet sich links) ... Wikipedia

Rolle (Drehwinkel)- θ-Rolle, rote Linie ist die Lenkachse des Rades. In der Abbildung ist der Nachlauf positiv (der Winkel wird im Uhrzeigersinn gemessen, die Vorderseite des Autos befindet sich auf der linken Seite). Nachlauf (englisch caster) ist der Längsneigungswinkel der Raddrehachse des Autos. Castor... ...Wikipedia

Spanwinkel- 3.2.9 Spanwinkel: Der Winkel zwischen der Spanfläche und der Grundebene (siehe Abbildung 5). 1 negativer Spanwinkel; 2 positiver Spanwinkel Abbildung 5 Spanwinkel

Alpha steht für reelle Zahl. Das Gleichheitszeichen in den obigen Ausdrücken zeigt an, dass sich nichts ändert, wenn Sie eine Zahl oder Unendlichkeit zur Unendlichkeit addieren. Das Ergebnis ist dieselbe Unendlichkeit. Nehmen wir als Beispiel die unendliche Menge der natürlichen Zahlen, dann lassen sich die betrachteten Beispiele in dieser Form darstellen:

Um eindeutig zu beweisen, dass sie Recht hatten, haben sich Mathematiker viele verschiedene Methoden ausgedacht. Persönlich betrachte ich all diese Methoden als Schamanen, die mit Tamburinen tanzen. Im Wesentlichen läuft alles darauf hinaus, dass entweder einige der Zimmer unbewohnt sind und neue Gäste einziehen, oder dass ein Teil der Besucher auf den Flur geworfen wird, um Platz für Gäste zu schaffen (sehr menschlich). Meine Meinung zu solchen Entscheidungen habe ich in Form einer Fantasy-Geschichte über die Blondine dargelegt. Worauf basiert meine Argumentation? Die Umsiedlung einer unendlichen Anzahl von Besuchern nimmt unendlich viel Zeit in Anspruch. Nachdem wir das erste Zimmer für einen Gast geräumt haben, wird bis zum Ende der Zeit immer einer der Besucher den Flur entlang von seinem Zimmer zum nächsten gehen. Natürlich kann der Zeitfaktor dummerweise ignoriert werden, aber das wird in die Kategorie „Kein Gesetz ist für Dummköpfe geschrieben“ fallen. Es hängt alles davon ab, was wir tun: die Realität an mathematische Theorien anpassen oder umgekehrt.

Was ist ein „Endloshotel“? Ein unendliches Hotel ist ein Hotel, das immer beliebig viele freie Betten hat, unabhängig davon, wie viele Zimmer belegt sind. Wenn alle Räume im endlosen „Besucher“-Korridor belegt sind, gibt es einen weiteren endlosen Korridor mit „Gäste“-Zimmern. Es wird unendlich viele solcher Korridore geben. Darüber hinaus verfügt das „unendliche Hotel“ über unendlich viele Stockwerke in unendlich vielen Gebäuden auf unendlich vielen Planeten in unendlich vielen Universen, die von unendlich vielen Göttern geschaffen wurden. Von banalen Alltagsproblemen können sich Mathematiker nicht distanzieren: Es gibt immer nur einen Gott-Allah-Buddha, es gibt nur ein Hotel, es gibt nur einen Korridor. Also versuchen Mathematiker, mit den Seriennummern von Hotelzimmern zu jonglieren und uns davon zu überzeugen, dass es möglich ist, „das Unmögliche hineinzuschieben“.

Ich werde Ihnen die Logik meiner Überlegungen am Beispiel einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen demonstrieren. Zuerst müssen Sie eine sehr einfache Frage beantworten: Wie viele Mengen natürlicher Zahlen gibt es – eine oder viele? Auf diese Frage gibt es keine richtige Antwort, da wir Zahlen selbst erfunden haben; Zahlen gibt es in der Natur nicht. Ja, die Natur kann gut zählen, aber dafür nutzt sie andere mathematische Werkzeuge, die uns nicht vertraut sind. Was die Natur denkt, erzähle ich euch ein andermal. Da wir die Zahlen erfunden haben, werden wir selbst entscheiden, wie viele Mengen natürlicher Zahlen es gibt. Betrachten wir beide Optionen, wie es sich für echte Wissenschaftler gehört.

Option eins. „Lasst uns einen einzigen Satz natürlicher Zahlen erhalten“, der ruhig im Regal liegt. Wir nehmen dieses Set aus dem Regal. Das ist alles, es sind keine anderen natürlichen Zahlen mehr im Regal und man kann sie nirgendwo hinnehmen. Wir können diesem Set keinen hinzufügen, da wir ihn bereits haben. Was ist, wenn Sie es wirklich wollen? Kein Problem. Wir können eines aus dem Set, das wir bereits genommen haben, nehmen und es zurück ins Regal stellen. Danach können wir eines aus dem Regal nehmen und es zu dem hinzufügen, was wir übrig haben. Als Ergebnis erhalten wir wieder eine unendliche Menge natürlicher Zahlen. Sie können alle unsere Manipulationen wie folgt aufschreiben:

Ich habe die Aktionen in algebraischer und mengentheoretischer Notation aufgeschrieben, mit einer detaillierten Auflistung der Elemente der Menge. Der Index zeigt an, dass wir eine einzige Menge natürlicher Zahlen haben. Es stellt sich heraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen nur dann unverändert bleibt, wenn man von ihr eine abzieht und die gleiche Einheit hinzufügt.

Option zwei. Wir haben viele verschiedene unendliche Mengen natürlicher Zahlen in unserem Regal. Ich betone – UNTERSCHIEDLICH, obwohl sie praktisch nicht zu unterscheiden sind. Nehmen wir eines dieser Sets. Dann nehmen wir eine aus einer anderen Menge natürlicher Zahlen und fügen sie der Menge hinzu, die wir bereits genommen haben. Wir können sogar zwei Sätze natürlicher Zahlen addieren. Das bekommen wir:

Die Indizes „eins“ und „zwei“ zeigen an, dass diese Elemente zu unterschiedlichen Mengen gehörten. Ja, wenn Sie einer unendlichen Menge eine hinzufügen, ist das Ergebnis ebenfalls eine unendliche Menge, aber es ist nicht dasselbe wie die ursprüngliche Menge. Wenn man einer unendlichen Menge eine weitere unendliche Menge hinzufügt, entsteht eine neue unendliche Menge, die aus den Elementen der ersten beiden Mengen besteht.

Die Menge der natürlichen Zahlen wird zum Zählen genauso verwendet wie ein Lineal zum Messen. Stellen Sie sich nun vor, Sie hätten dem Lineal einen Zentimeter hinzugefügt. Dies wird eine andere Zeile sein, die nicht mit der Originalzeile übereinstimmt.

Sie können meine Argumentation akzeptieren oder nicht akzeptieren – es ist Ihre eigene Sache. Aber wenn Sie jemals auf mathematische Probleme stoßen, denken Sie darüber nach, ob Sie dem Weg des falschen Denkens folgen, den Generationen von Mathematikern beschritten haben. Denn das Studium der Mathematik bildet in uns zunächst einmal ein stabiles Stereotyp des Denkens und erweitert erst dann unsere geistigen Fähigkeiten (oder beraubt uns umgekehrt des freien Denkens).

Sonntag, 4. August 2019

Ich war gerade dabei, ein Nachwort zu einem Artikel darüber zu schreiben, und sah diesen wunderbaren Text auf Wikipedia:

Wir lesen: „... die reiche theoretische Grundlage der Mathematik Babylons hatte keinen ganzheitlichen Charakter und wurde auf eine Reihe unterschiedlicher Techniken reduziert, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Beweisbasis.“

Wow! Wie schlau wir sind und wie gut wir die Unzulänglichkeiten anderer erkennen können. Fällt es uns schwer, die moderne Mathematik im gleichen Kontext zu betrachten? Wenn ich den obigen Text leicht paraphrasiere, habe ich persönlich Folgendes herausgefunden:

Die reichhaltigen theoretischen Grundlagen der modernen Mathematik sind nicht ganzheitlich und auf eine Reihe unterschiedlicher Abschnitte reduziert, denen ein gemeinsames System und eine gemeinsame Evidenzbasis fehlen.

Ich werde nicht weit gehen, um meine Worte zu bestätigen – es gibt eine Sprache und Konventionen, die sich von der Sprache und den Konventionen vieler anderer Zweige der Mathematik unterscheiden. Dieselben Namen können in verschiedenen Zweigen der Mathematik unterschiedliche Bedeutungen haben. Den offensichtlichsten Fehlern der modernen Mathematik möchte ich eine ganze Reihe von Veröffentlichungen widmen. Bis bald.

Samstag, 3. August 2019

Wie teilt man eine Menge in Teilmengen auf? Dazu müssen Sie eine neue Maßeinheit eingeben, die in einigen Elementen der ausgewählten Menge vorhanden ist. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Mögen wir genug davon haben A bestehend aus vier Personen. Diese Menge wird auf der Grundlage von „Menschen“ gebildet. Bezeichnen wir die Elemente dieser Menge mit dem Buchstaben A, der Index mit einer Zahl gibt die Seriennummer jeder Person in diesem Satz an. Lassen Sie uns eine neue Maßeinheit „Geschlecht“ einführen und sie mit dem Buchstaben bezeichnen B. Da allen Menschen sexuelle Merkmale innewohnen, multiplizieren wir jedes Element der Menge A basierend auf dem Geschlecht B. Beachten Sie, dass unsere Gruppe von „Menschen“ nun zu einer Gruppe von „Menschen mit Geschlechtsmerkmalen“ geworden ist. Danach können wir die Geschlechtsmerkmale in Männer einteilen bm und Frauen bw Geschlechtsmerkmale. Jetzt können wir einen mathematischen Filter anwenden: Wir wählen eines dieser Geschlechtsmerkmale aus, egal welches – männlich oder weiblich. Wenn eine Person es hat, multiplizieren wir es mit eins, wenn es kein solches Zeichen gibt, multiplizieren wir es mit Null. Und dann nutzen wir die reguläre Schulmathematik. Schauen Sie, was passiert ist.

Nach Multiplikation, Reduktion und Neuordnung erhielten wir schließlich zwei Teilmengen: die Teilmenge der Männer Bm und eine Untergruppe von Frauen Bw. Mathematiker denken ungefähr auf die gleiche Weise, wenn sie die Mengenlehre in der Praxis anwenden. Aber sie erzählen uns nicht die Details, sondern geben uns das fertige Ergebnis: „Viele Menschen bestehen aus einer Untergruppe von Männern und einer Untergruppe von Frauen.“ Natürlich haben Sie vielleicht eine Frage: Wie richtig wurde die Mathematik bei den oben beschriebenen Transformationen angewendet? Ich wage Ihnen zu versichern, dass im Wesentlichen alles richtig gemacht wurde; es reicht aus, die mathematischen Grundlagen der Arithmetik, der Booleschen Algebra und anderer Zweige der Mathematik zu kennen. Was ist das? Ein anderes Mal werde ich Ihnen davon erzählen.

Bei Obermengen können Sie zwei Mengen zu einer Obermenge kombinieren, indem Sie die Maßeinheit auswählen, die in den Elementen dieser beiden Mengen vorhanden ist.

Wie Sie sehen, sind Maßeinheiten und gewöhnliche Mathematik die Mengenlehre ein Relikt der Vergangenheit. Ein Zeichen dafür, dass mit der Mengenlehre nicht alles in Ordnung ist, ist, dass Mathematiker ihre eigene Sprache und Notation für die Mengenlehre entwickelt haben. Mathematiker agierten einst wie Schamanen. Nur Schamanen wissen, wie sie ihr „Wissen“ „richtig“ anwenden. Sie vermitteln uns dieses „Wissen“.

Abschließend möchte ich Ihnen zeigen, wie Mathematiker manipulieren.

Montag, 7. Januar 2019

Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zenon von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ... die Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen ... an der Untersuchung des Themas waren mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze beteiligt ; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.

Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, wurde der mathematische Apparat zur Verwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder er wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde sich die Zeit verlangsamen, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.

Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“

Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie bei konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Einheiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.

In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zu einem Auto zu bestimmen, benötigt man zwei Fotos, die zu einem Zeitpunkt von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aus denen man aber nicht die Tatsache der Bewegung ermitteln kann (natürlich benötigt man noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft einem). ). Worauf ich besonders aufmerksam machen möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Ich habe Ihnen bereits gesagt, mit welcher Hilfe Schamanen versuchen, die „Realität“ zu ordnen. Wie machen sie das? Wie kommt es eigentlich zur Bildung einer Menge?

Schauen wir uns die Definition einer Menge genauer an: „eine Sammlung verschiedener Elemente, die als ein einziges Ganzes gedacht sind.“ Spüren Sie nun den Unterschied zwischen zwei Ausdrücken: „als Ganzes denkbar“ und „als Ganzes denkbar“. Der erste Satz ist das Endergebnis, die Menge. Der zweite Satz ist eine vorbereitende Vorbereitung für die Bildung einer Menge. In diesem Stadium wird die Realität in einzelne Elemente (das „Ganze“) zerlegt, aus denen dann eine Vielzahl (das „einzelne Ganze“) gebildet wird. Gleichzeitig wird der Faktor, der es ermöglicht, das „Ganze“ zu einem „einzigen Ganzen“ zu vereinen, sorgfältig überwacht, sonst werden die Schamanen keinen Erfolg haben. Schließlich wissen Schamanen im Voraus genau, welches Set sie uns zeigen wollen.

Ich zeige Ihnen den Vorgang anhand eines Beispiels. Wir wählen den „roten Feststoff im Pickel“ aus – das ist unser „Ganzes“. Gleichzeitig sehen wir, dass diese Dinge mit einem Bogen sind und dass es solche ohne Bogen gibt. Danach wählen wir einen Teil des „Ganzen“ aus und bilden ein Set „mit Schleife“. Auf diese Weise erhalten Schamanen ihre Nahrung, indem sie ihre Mengenlehre mit der Realität in Verbindung bringen.

Jetzt machen wir einen kleinen Trick. Nehmen wir „fest mit einer Noppe mit einer Schleife“ und kombinieren wir diese „Ganzen“ entsprechend der Farbe, indem wir die roten Elemente auswählen. Wir haben viel „Rot“ bekommen. Nun die letzte Frage: Sind die resultierenden Sets „mit Schleife“ und „rot“ dasselbe Set oder zwei verschiedene Sets? Nur Schamanen kennen die Antwort. Genauer gesagt, sie selbst wissen nichts, aber wie sie sagen, wird es so sein.

Dieses einfache Beispiel zeigt, dass die Mengenlehre in Bezug auf die Realität völlig nutzlos ist. Was ist das Geheimnis? Wir haben ein Set aus „rotem Feststoff mit Noppe und Schleife“ zusammengestellt. Die Formation erfolgte in vier verschiedenen Maßeinheiten: Farbe (rot), Stärke (fest), Rauheit (pickelig), Verzierung (mit Schleife). Nur eine Reihe von Maßeinheiten ermöglicht es uns, reale Objekte in der Sprache der Mathematik angemessen zu beschreiben. So sieht es aus.

Der Buchstabe „a“ mit unterschiedlichen Indizes bezeichnet unterschiedliche Maßeinheiten. Die Maßeinheiten, nach denen das „Ganze“ im Vorfeld unterschieden wird, sind in Klammern hervorgehoben. In Klammern steht die Maßeinheit, nach der die Menge gebildet wird. Die letzte Zeile zeigt das Endergebnis – ein Element der Menge. Wie Sie sehen, hängt das Ergebnis nicht von der Reihenfolge unserer Aktionen ab, wenn wir Maßeinheiten verwenden, um eine Menge zu bilden. Und das ist Mathematik und nicht der Tanz von Schamanen mit Tamburinen. Schamanen können „intuitiv“ zum gleichen Ergebnis kommen und argumentieren, dass es „offensichtlich“ sei, weil Maßeinheiten nicht Teil ihres „wissenschaftlichen“ Arsenals seien.

Mithilfe von Maßeinheiten ist es sehr einfach, einen Satz aufzuteilen oder mehrere Sätze zu einem Obersatz zusammenzufassen. Schauen wir uns die Algebra dieses Prozesses genauer an.

Samstag, 30. Juni 2018

Wenn Mathematiker einen Begriff nicht auf andere Begriffe reduzieren können, dann verstehen sie nichts von Mathematik. Ich antworte: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Die Antwort ist ganz einfach: Zahlen und Maßeinheiten.

Heutzutage gehört alles, was wir nicht nehmen, zu einer bestimmten Menge (wie uns Mathematiker versichern). Haben Sie übrigens im Spiegel auf Ihrer Stirn eine Liste der Sets gesehen, denen Sie angehören? Und so eine Liste habe ich noch nicht gesehen. Ich werde noch mehr sagen: In Wirklichkeit hat kein einziges Ding ein Tag mit einer Liste der Sets, zu denen dieses Ding gehört. Sets sind allesamt Erfindungen von Schamanen. Wie machen Sie das? Werfen wir einen etwas tieferen Blick in die Geschichte und sehen, wie die Elemente des Sets aussahen, bevor die Mathematiker und Schamanen sie in ihre Sets aufnahmen.

Vor langer Zeit, als noch nie jemand von Mathematik gehört hatte und nur Bäume und Saturn Ringe hatten, durchstreiften riesige Herden wilder Mengenelemente die physikalischen Felder (schließlich hatten Schamanen die mathematischen Felder noch nicht erfunden). Sie sahen ungefähr so ​​aus.

Ja, wundern Sie sich nicht, aus mathematischer Sicht sind alle Elemente von Mengen Seeigeln am ähnlichsten – von einem Punkt aus ragen Maßeinheiten wie Nadeln in alle Richtungen heraus. Für diejenigen, die es tun, möchte ich Sie daran erinnern, dass jede Maßeinheit geometrisch als Segment beliebiger Länge und eine Zahl als Punkt dargestellt werden kann. Geometrisch kann jede Größe als eine Ansammlung von Segmenten dargestellt werden, die von einem Punkt in verschiedene Richtungen abstehen. Dieser Punkt ist Punkt Null. Ich werde dieses geometrische Kunstwerk nicht zeichnen (keine Inspiration), aber Sie können es sich leicht vorstellen.

Welche Maßeinheiten bilden ein Element einer Menge? Alle möglichen Dinge, die ein bestimmtes Element aus verschiedenen Blickwinkeln beschreiben. Dies sind alte Maßeinheiten, die unsere Vorfahren verwendeten und die jeder längst vergessen hat. Dies sind die modernen Maßeinheiten, die wir heute verwenden. Auch das sind uns unbekannte Maßeinheiten, die unsere Nachkommen erfinden und mit denen sie die Realität beschreiben werden.

Wir haben die Geometrie geklärt – das vorgeschlagene Modell der Elemente der Menge hat eine klare geometrische Darstellung. Was ist mit der Physik? Maßeinheiten sind die direkte Verbindung zwischen Mathematik und Physik. Wenn Schamanen Maßeinheiten nicht als vollwertiges Element mathematischer Theorien anerkennen, ist dies ihr Problem. Ich persönlich kann mir die wahre Wissenschaft der Mathematik ohne Maßeinheiten nicht vorstellen. Deshalb habe ich gleich zu Beginn der Geschichte über die Mengenlehre davon gesprochen, dass sie in der Steinzeit liegt.

Aber kommen wir zum Interessantesten – der Algebra der Elemente von Mengen. Algebraisch gesehen ist jedes Element einer Menge ein Produkt (das Ergebnis der Multiplikation) verschiedener Größen. Es sieht so aus.

Ich habe bewusst nicht auf die Konventionen der Mengenlehre zurückgegriffen, da wir ein Element einer Menge in seinem natürlichen Lebensraum vor dem Aufkommen der Mengenlehre betrachten. Jedes Buchstabenpaar in Klammern bezeichnet eine separate Menge, bestehend aus einer durch den Buchstaben angegebenen Zahl. N„ und die durch den Buchstaben „ angegebene Maßeinheit A". Die Indizes neben den Buchstaben zeigen an, dass die Zahlen und Maßeinheiten unterschiedlich sind. Ein Element der Menge kann aus unendlich vielen Größen bestehen (wie viel wir und unsere Nachkommen genug Vorstellungskraft haben). Jede Klammer wird geometrisch dargestellt als Ein separates Segment ist im Beispiel mit dem Seeigel eine Klammer.

Wie bilden Schamanen Sets aus verschiedenen Elementen? Tatsächlich nach Maßeinheiten oder nach Zahlen. Da sie nichts von Mathematik verstehen, nehmen sie verschiedene Seeigel und untersuchen sie sorgfältig auf der Suche nach der einzelnen Nadel, entlang derer sie eine Gruppe bilden. Wenn eine solche Nadel vorhanden ist, gehört dieses Element zur Menge. Wenn keine solche Nadel vorhanden ist, gehört dieses Element nicht zu dieser Menge. Schamanen erzählen uns Fabeln über Denkprozesse und das Ganze.

Wie Sie vielleicht schon erraten haben, kann dasselbe Element zu sehr unterschiedlichen Mengen gehören. Als nächstes zeige ich Ihnen, wie Mengen, Teilmengen und anderer schamanische Unsinn gebildet werden. Wie Sie sehen können, „kann es in einer Menge nicht zwei identische Elemente geben“, wenn es jedoch identische Elemente in einer Menge gibt, wird eine solche Menge als „Multimenge“ bezeichnet. Vernünftige Wesen werden solch eine absurde Logik niemals verstehen. Dies ist das Niveau sprechender Papageien und dressierter Affen, denen das Wort „völlig“ keine Intelligenz verleiht. Mathematiker fungieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, als die Ingenieure, die die Brücke bauten, in einem Boot unter der Brücke saßen, während sie die Brücke testeten. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der talentierte Ingenieur weitere Brücken.

Egal wie sehr sich Mathematiker hinter dem Satz „Pass auf mich auf, ich bin im Haus“ oder besser gesagt „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf die Mathematiker selbst an.

Wir haben sehr gut Mathematik gelernt und jetzt sitzen wir an der Kasse und geben Gehälter aus. Also kommt ein Mathematiker wegen seines Geldes zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag ab und legen ihn in verschiedenen Stapeln auf unserem Tisch aus, in die wir Scheine gleichen Nennwerts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Erklären wir dem Mathematiker, dass er die restlichen Rechnungen erst dann erhält, wenn er beweist, dass eine Menge ohne identische Elemente nicht gleich einer Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: „Das lässt sich auf andere übertragen, aber nicht auf mich!“ Dann beginnen sie uns zu versichern, dass Scheine desselben Nennwerts unterschiedliche Scheinnummern haben, was bedeutet, dass sie nicht als die gleichen Elemente betrachtet werden können. Okay, zählen wir die Gehälter in Münzen – auf den Münzen stehen keine Zahlen. Hier beginnt der Mathematiker, sich hektisch an die Physik zu erinnern: Verschiedene Münzen haben unterschiedliche Mengen an Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome ist bei jeder Münze einzigartig ...

Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, jenseits derer sich die Elemente einer Multimenge in Elemente einer Menge verwandeln und umgekehrt? Eine solche Grenze gibt es nicht – alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft lügt hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit der gleichen Spielfeldfläche aus. Die Flächen der Felder sind gleich – wir haben also ein Multiset. Aber wenn wir uns die Namen derselben Stadien ansehen, fallen uns viele auf, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen, ist dieselbe Menge von Elementen sowohl eine Menge als auch eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Sharpist ein Trümpfe-Ass aus dem Ärmel und beginnt, uns entweder von einer Menge oder einer Mehrmenge zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengenlehre arbeiten und sie mit der Realität in Verbindung bringen, reicht es aus, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich zeige es Ihnen, ohne „vorstellbar als kein einzelnes Ganzes“ oder „nicht vorstellbar als ein einzelnes Ganzes“.

Nennen wir die Drehung des Bewegungsradiusvektors gegen den Uhrzeigersinn positiv und in der entgegengesetzten Richtung (im Uhrzeigersinn) negativ. Der durch die negative Drehung des Bewegungsradiusvektors beschriebene Winkel wird als negativer Winkel bezeichnet.

Regel. Der Winkel wird mit einer positiven Zahl gemessen, wenn er positiv ist, und mit einer negativen Zahl, wenn er negativ ist.

Beispiel 1. In Abb. 80 zeigt zwei Winkel mit einer gemeinsamen Anfangsseite OA und einer gemeinsamen Endseite OD: einer ist gleich +270°, der andere -90°.

Die Summe zweier Winkel. Betrachten Sie auf der Koordinatenebene Oxy einen Kreis mit einem Einheitsradius, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt (Abb. 81).

Es sei ein beliebiger Winkel a (positiv in der Zeichnung) als Ergebnis der Drehung eines bestimmten Bewegungsradiusvektors von seiner Anfangsposition OA, die mit der positiven Richtung der Ox-Achse zusammenfällt, zu seiner Endposition erhalten.

Nehmen wir nun die Position des Radiusvektors OE als Ausgangsposition und legen davon einen beliebigen Winkel (in der Zeichnung positiv) beiseite, den wir durch Drehen eines bestimmten beweglichen Radiusvektors von seiner Ausgangsposition OE zu seiner erhalten Endposition OS. Als Ergebnis dieser Aktionen erhalten wir einen Winkel, den wir die Summe der Winkel a und nennen. (Anfangsposition des bewegten Radiusvektors OA, Endposition des Radiusvektors OS.)

Unterschied zwischen zwei Winkeln.

Unter der Differenz zweier Winkel a und , die wir bezeichnen, verstehen wir den dritten Winkel y, der in Summe mit dem Winkel den Winkel a ergibt, d. h. wenn die Differenz zweier Winkel als Summe der Winkel a und interpretiert werden kann. Tatsächlich wird die Summe aller Winkel im Allgemeinen durch die algebraische Summe der reellen Zahlen gemessen, die diese Winkel messen.

Beispiel 2. dann .

Beispiel 3. Winkel und Winkel. Die Summe davon.

In Formel (95.1) wurde angenommen, dass - jede nicht negative ganze Zahl. Wenn wir davon ausgehen, dass es sich um eine beliebige ganze Zahl (positiv, negativ oder null) handelt, verwenden wir die Formel

wo Sie jeden beliebigen Winkel schreiben können, sowohl positiv als auch negativ.

Beispiel 4. Ein Winkel von -1370° kann wie folgt geschrieben werden:

Beachten Sie, dass alle mit der Formel (96.1) geschriebenen Winkel mit unterschiedlichen Werten von , aber demselben a, gemeinsame Anfangs- (OA) und Endseiten (OE) haben (Abb. 79). Daher wird die Konstruktion eines beliebigen Winkels auf die Konstruktion des entsprechenden nicht negativen Winkels kleiner als 360° reduziert. In Abb. 79 Winkel unterscheiden sich nicht voneinander; sie unterscheiden sich nur durch den Rotationsprozess des Radiusvektors, der zu ihrer Entstehung führte.

In der letzten Lektion haben wir die Schlüsselkonzepte der gesamten Trigonometrie erfolgreich gemeistert (oder wiederholt, je nachdem, für wen Sie sich entscheiden). Das trigonometrischer Kreis , Winkel auf einem Kreis , Sinus und Cosinus dieses Winkels , und auch gemeistert Vorzeichen trigonometrischer Funktionen nach Vierteln . Wir haben es im Detail gemeistert. An den Fingern könnte man sagen.

Aber das reicht noch nicht aus. Um all diese einfachen Konzepte erfolgreich in der Praxis anwenden zu können, benötigen wir eine weitere nützliche Fähigkeit. Nämlich das Richtige Arbeiten mit Ecken in der Trigonometrie. Ohne diese Fähigkeit der Trigonometrie geht es nicht. Selbst in den primitivsten Beispielen. Warum? Ja, denn der Winkel ist die entscheidende aktive Figur in der gesamten Trigonometrie! Nein, keine trigonometrischen Funktionen, nicht Sinus und Cosinus, nicht Tangens und Kotangens, nämlich die Ecke selbst. Kein Winkel bedeutet keine trigonometrischen Funktionen, ja ...

Wie arbeitet man mit Winkeln auf einem Kreis? Dazu müssen wir zwei Punkte fest im Griff haben.

1) Wie Werden Winkel auf einem Kreis gemessen?

2) Worin werden sie gezählt (gemessen)?

Die Antwort auf die erste Frage ist das Thema der heutigen Lektion. Mit der ersten Frage beschäftigen wir uns hier und jetzt ausführlich. Auf die zweite Frage werde ich hier nicht antworten. Weil es ziemlich entwickelt ist. Genauso wie die zweite Frage selbst sehr heikel ist, ja.) Ich werde noch nicht ins Detail gehen. Dies ist das Thema der nächsten separaten Lektion.

Lass uns anfangen?

Wie werden Winkel auf einem Kreis gemessen? Positive und negative Winkel.

Wer den Titel des Absatzes liest, dem stehen vielleicht schon die Haare zu Berge. Wie so?! Negative Winkel? Ist das überhaupt möglich?

Zu negativ Zahlen Wir haben uns schon daran gewöhnt. Wir können sie auf der Zahlenachse darstellen: Rechts von Null sind positiv, links von Null sind negativ. Ja, und wir schauen regelmäßig auf das Thermometer vor dem Fenster. Vor allem im Winter, bei Kälte.) Und das Geld am Telefon ist im Minus (d. h. Pflicht) manchmal gehen sie. Das ist alles bekannt.

Was ist mit den Ecken? Es stellt sich heraus, dass negative Winkel in der Mathematik vorkommen gibt es auch! Es hängt alles davon ab, wie man genau diesen Winkel misst ... nein, nicht auf der Zahlengeraden, sondern auf dem Zahlenkreis! Das heißt, auf einem Kreis. Der Kreis – hier ist er, ein Analogon zum Zahlenstrahl in der Trigonometrie!

Also, Wie werden Winkel auf einem Kreis gemessen? Wir können nichts tun, wir müssen zuerst genau diesen Kreis zeichnen.

Ich werde dieses schöne Bild zeichnen:

Es ist den Bildern aus der letzten Lektion sehr ähnlich. Es gibt Achsen, es gibt einen Kreis, es gibt einen Winkel. Es gibt aber auch neue Informationen.

Ich habe auch die Zahlen 0°, 90°, 180°, 270° und 360° auf den Achsen hinzugefügt. Das ist jetzt interessanter.) Was sind das für Zahlen? Rechts! Dies sind die Winkelwerte, die von unserer festen Seite aus gemessen werden und fallen zu den Koordinatenachsen. Wir erinnern uns, dass die feste Seite des Winkels immer eng mit der positiven Halbachse OX verbunden ist. Und jeder Winkel in der Trigonometrie wird genau von dieser Halbachse aus gemessen. Dieser grundlegende Ausgangspunkt für Winkel muss fest im Auge behalten werden. Und die Achsen – sie schneiden sich im rechten Winkel, oder? Wir fügen also in jedem Viertel 90° hinzu.

Und noch mehr hinzugefügt roter Pfeil. Mit einem Plus. Rot ist absichtlich so gewählt, dass es ins Auge fällt. Und es ist mir gut in Erinnerung geblieben. Denn das muss man sich zuverlässig merken.) Was bedeutet dieser Pfeil?

Es stellt sich also heraus, dass wir die Kurve kriegen entlang des Pfeils mit einem Plus(gegen den Uhrzeigersinn, entsprechend der Viertelnummerierung), dann der Winkel wird als positiv gewertet! Die Abbildung zeigt beispielhaft einen Winkel von +45°. Bitte beachten Sie übrigens, dass die Achswinkel 0°, 90°, 180°, 270° und 360° auch in positiver Richtung zurückgespult werden! Folgen Sie dem roten Pfeil.

Schauen wir uns nun ein weiteres Bild an:

Hier ist fast alles gleich. Nur die Winkel auf den Achsen sind nummeriert umgedreht. Im Uhrzeigersinn. Und sie haben ein Minuszeichen.) Immer noch gezeichnet blauer Pfeil. Auch mit einem Minus. Dieser Pfeil ist die Richtung der negativen Winkel auf dem Kreis. Sie zeigt uns das, wenn wir unsere Ecke aufschieben im Uhrzeigersinn, Das Der Winkel wird als negativ betrachtet. Ich habe zum Beispiel einen Winkel von -45° dargestellt.

Bitte beachten Sie übrigens, dass sich die Nummerierung der Quartale nie ändert! Es spielt keine Rolle, ob wir die Winkel nach Plus oder Minus verschieben. Immer streng gegen den Uhrzeigersinn.)

Erinnern:

1. Der Ausgangspunkt für Winkel ist die positive Halbachse OX. Nach der Uhr – „Minus“, gegen die Uhr – „Plus“.

2. Die Nummerierung der Viertel erfolgt immer gegen den Uhrzeigersinn, unabhängig von der Richtung, in der die Winkel berechnet werden.

Übrigens ist die Beschriftung der Winkel auf den Achsen 0°, 90°, 180°, 270°, 360° bei jedem Zeichnen eines Kreises keineswegs zwingend erforderlich. Dies geschieht lediglich aus Gründen des Verständnisses. Aber diese Zahlen müssen vorhanden sein in deinem Kopf bei der Lösung eines Trigonometrieproblems. Warum? Ja, denn dieses Grundwissen liefert Antworten auf so viele weitere Fragen der Trigonometrie! Die wichtigste Frage ist In welche Richtung fällt der Blickwinkel, der uns interessiert? Ob Sie es glauben oder nicht, die richtige Beantwortung dieser Frage löst den Löwenanteil aller anderen Trigonometrieprobleme. Mit dieser wichtigen Aufgabe (Winkel in Viertel aufteilen) beschäftigen wir uns in derselben Lektion, aber etwas später.

Die Werte der auf den Koordinatenachsen liegenden Winkel (0°, 90°, 180°, 270° und 360°) müssen beachtet werden! Merken Sie es sich genau, bis es automatisch wird. Und sowohl ein Plus als auch ein Minus.

Doch ab diesem Moment beginnen die ersten Überraschungen. Und dazu noch knifflige Fragen an mich, ja...) Was passiert, wenn ein Kreis einen negativen Winkel hat? stimmt mit dem Positiven überein? Es stellt sich heraus, dass der gleiche Punkt auf einem Kreis kann sowohl ein positiver als auch ein negativer Winkel angegeben werden???

Absolut richtig! Das stimmt.) Beispielsweise nimmt ein positiver Winkel von +270° einen Kreis ein gleiche Situation , das Gleiche wie ein negativer Winkel von -90°. Oder es wird beispielsweise ein positiver Winkel von +45° auf einem Kreis angenommen gleiche Situation , das gleiche wie der negative Winkel -315°.

Wir schauen uns die nächste Zeichnung an und sehen alles:

Ebenso fällt ein positiver Winkel von +150° an die gleiche Stelle wie ein negativer Winkel von -210°, ein positiver Winkel von +230° fällt an die gleiche Stelle wie ein negativer Winkel von -130°. Usw…

Und was kann ich jetzt tun? Wie genau zählt man Winkel, wenn man es auf diese und jene Weise machen kann? Wie richtig?

Antwort: in jeder Hinsicht richtig! Die Mathematik verbietet keine der beiden Richtungen zum Zählen von Winkeln. Und die Wahl einer bestimmten Richtung hängt allein von der Aufgabenstellung ab. Wenn in der Aufgabe nichts im Klartext über das Vorzeichen des Winkels steht (z.B „Definieren Sie das Größte Negativ Ecke" usw.), dann arbeiten wir mit den Winkeln, die für uns am bequemsten sind.

Natürlich kann beispielsweise bei so coolen Themen wie trigonometrischen Gleichungen und Ungleichungen die Richtung der Winkelberechnung einen großen Einfluss auf die Antwort haben. Und in den entsprechenden Themen werden wir auf diese Fallstricke eingehen.

Erinnern:

Jeder Punkt auf einem Kreis kann entweder durch einen positiven oder einen negativen Winkel bezeichnet werden. Irgendjemand! Was auch immer wir wollen.

Lassen Sie uns nun darüber nachdenken. Wir haben herausgefunden, dass ein Winkel von 45° genau dasselbe ist wie ein Winkel von -315°? Wie habe ich von diesen 315 erfahren?° ? Kannst du es nicht erraten? Ja! Durch eine volle Umdrehung.) In 360°. Wir haben einen Winkel von 45°. Wie lange dauert es, eine vollständige Revolution abzuschließen? Subtrahiere 45° ab 360° - also kommen wir auf 315° . Wenn wir uns in die negative Richtung bewegen, erhalten wir einen Winkel von -315°. Immer noch nicht klar? Dann schauen Sie sich das Bild oben noch einmal an.

Und das sollte man immer tun, wenn man positive Winkel in negative umwandelt (und umgekehrt) – einen Kreis zeichnen, markieren etwa Bei einem gegebenen Winkel berechnen wir, wie viele Grad fehlen, um eine vollständige Umdrehung zu vollenden, und verschieben die resultierende Differenz in die entgegengesetzte Richtung. Und alle.)

Was ist Ihrer Meinung nach sonst noch interessant an Winkeln, die die gleiche Position auf einem Kreis einnehmen? Und die Tatsache, dass an solchen Ecken genauso Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens! Stets!

Zum Beispiel:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

Aber das ist äußerst wichtig! Wofür? Ja, alle für das Gleiche!) Zur Vereinfachung von Ausdrücken. Denn die Vereinfachung von Ausdrücken ist ein Schlüsselverfahren für eine erfolgreiche Lösung beliebig Mathe-Aufgaben. Und auch in der Trigonometrie.

Also haben wir die allgemeine Regel zum Zählen von Winkeln auf einem Kreis herausgefunden. Nun, wenn wir anfangen, über volle Drehungen, über Vierteldrehungen zu sprechen, dann ist es an der Zeit, genau diese Ecken zu drehen und zu zeichnen. Sollen wir zeichnen?)

Lass uns beginnen mit positiv Ecken Sie werden einfacher zu zeichnen sein.

Wir zeichnen Winkel innerhalb einer Umdrehung (zwischen 0° und 360°).

Zeichnen wir zum Beispiel einen Winkel von 60°. Hier ist alles einfach, kein Ärger. Wir zeichnen Koordinatenachsen und einen Kreis. Sie können dies direkt von Hand tun, ohne Zirkel oder Lineal. Lass uns malen schematisch: Wir zeichnen nicht mit Ihnen. Sie müssen keine GOSTs einhalten, Sie werden nicht bestraft.)

Sie können (für sich selbst) die Winkelwerte auf den Achsen markieren und den Pfeil in die Richtung zeigen gegen die Uhr. Schließlich sparen wir als Plus?) Sie müssen dies nicht tun, aber Sie müssen alles im Kopf behalten.

Und jetzt zeichnen wir die zweite (bewegte) Seite der Ecke. In welchem ​​Viertel? Natürlich im ersten! Denn 60 Grad liegen streng genommen zwischen 0° und 90°. Wir ziehen also im ersten Viertel. In einem Winkel etwa 60 Grad zur festen Seite. Wie man zählt etwa 60 Grad ohne Winkelmesser? Leicht! 60° ist zwei Drittel eines rechten Winkels! Wir teilen den ersten Teufel des Kreises gedanklich in drei Teile und nehmen uns zwei Drittel. Und wir zeichnen ... Wie viel wir tatsächlich hinbekommen (wenn man einen Winkelmesser anbringt und misst) – 55 Grad oder 64 – das spielt keine Rolle! Es ist wichtig, dass es noch irgendwo ist etwa 60°.

Wir bekommen das Bild:

Das ist alles. Und es waren keine Werkzeuge nötig. Entwickeln wir unser Auge! Es wird bei Geometrieproblemen nützlich sein.) Diese unansehnliche Zeichnung ist unverzichtbar, wenn Sie schnell einen Kreis und einen Winkel kritzeln müssen, ohne wirklich über Schönheit nachzudenken. Aber gleichzeitig kritzeln Rechts, fehlerfrei, mit allen notwendigen Informationen. Zum Beispiel als Hilfe bei der Lösung trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen.

Zeichnen wir nun einen Winkel ein, zum Beispiel 265°. Lassen Sie uns herausfinden, wo es sich befinden könnte. Nun, das ist klar, nicht im ersten Viertel und auch nicht im zweiten: Sie enden bei 90 und 180 Grad. Sie können sich vorstellen, dass 265° 180° plus weitere 85° sind. Das heißt, zur negativen Halbachse OX (wobei 180°) addiert werden muss etwa 85°. Oder, noch einfacher, vermuten Sie, dass 265° die negative Halbachse OY (wo 270° liegt) nicht erreicht, einige unglückliche 5°. Kurz gesagt, im dritten Quartal wird es diesen Winkel geben. Ganz nah an der negativen Halbachse OY, auf 270 Grad, aber immer noch im dritten!

Lass uns malen:

Auch hier ist absolute Präzision nicht erforderlich. In Wirklichkeit soll dieser Winkel beispielsweise 263 Grad betragen. Aber zur wichtigsten Frage (Welches Viertel?) wir haben richtig geantwortet. Warum ist das die wichtigste Frage? Ja, denn jede Arbeit mit einem Winkel in der Trigonometrie (egal ob wir diesen Winkel zeichnen oder nicht) beginnt mit der Antwort auf genau diese Frage! Stets. Wenn man diese Frage ignoriert oder versucht, sie mental zu beantworten, dann sind Fehler fast vorprogrammiert, ja... Brauchen Sie das?

Erinnern:

Jede Arbeit mit einem Winkel (einschließlich der Zeichnung dieses Winkels auf einem Kreis) beginnt immer mit der Bestimmung des Viertels, in das dieser Winkel fällt.

Nun hoffe ich, dass Sie Winkel, zum Beispiel 182°, 88°, 280°, genau darstellen können. IN richtig Viertel. Im dritten, ersten und vierten, wenn das ...)

Das vierte Viertel endet mit einem Winkel von 360°. Dies ist eine vollständige Revolution. Es ist klar, dass dieser Winkel die gleiche Position auf dem Kreis einnimmt wie 0° (d. h. der Ursprung). Aber die Winkel enden hier nicht, ja ...

Was tun bei Winkeln größer als 360°?

„Gibt es solche Dinge wirklich?“- du fragst. Sie passieren! Es gibt beispielsweise einen Winkel von 444°. Und manchmal, sagen wir, ein Winkel von 1000°. Es gibt alle möglichen Winkel. Es ist nur so, dass solche exotischen Winkel optisch etwas schwieriger wahrgenommen werden als die Winkel, die wir innerhalb einer Umdrehung gewohnt sind. Aber man muss auch in der Lage sein, solche Winkel zu zeichnen und zu berechnen, ja.

Um solche Winkel korrekt auf einem Kreis zu zeichnen, müssen Sie dasselbe tun – es herausfinden In welche Richtung fällt der Blickwinkel, der uns interessiert? Hier ist die genaue Bestimmung des Viertels viel wichtiger als bei Winkeln von 0° bis 360°! Das Verfahren zur Bestimmung des Quartals selbst ist durch nur einen Schritt kompliziert. Du wirst bald sehen, was es ist.

So müssen wir beispielsweise herausfinden, in welchen Quadranten der 444°-Winkel fällt. Fangen wir an zu drehen. Wo? Ein Plus natürlich! Sie haben uns einen positiven Blickwinkel vermittelt! +444°. Wir drehen, wir drehen ... Wir haben es um eine Drehung gedreht – wir haben 360° erreicht.

Wie lange dauert es noch bis 444°?Wir zählen den verbleibenden Schwanz:

444°-360° = 84°.

444° ist also eine volle Drehung (360°) plus weitere 84°. Offensichtlich ist dies das erste Quartal. Der Winkel beträgt also 444° im ersten Viertel. Die halbe Miete ist geschafft.

Jetzt bleibt nur noch, diesen Blickwinkel darzustellen. Wie? Sehr einfach! Wir machen eine volle Drehung entlang des roten (Plus-)Pfeils und fügen weitere 84° hinzu.

So:

Hier habe ich die Zeichnung nicht überladen - beschrifte die Viertel, zeichne Winkel auf die Achsen. All diese guten Dinge hätten mir schon lange im Kopf herumschwirren sollen.)

Aber ich habe eine „Schnecke“ oder eine Spirale verwendet, um genau zu zeigen, wie aus den Winkeln 360° und 84° ein Winkel von 444° entsteht. Die gestrichelte rote Linie ist eine volle Umdrehung. An denen zusätzlich 84° (durchgezogene Linie) verschraubt sind. Bitte beachten Sie übrigens, dass das Verwerfen dieser vollständigen Umdrehung keinerlei Auswirkungen auf die Position unseres Winkels hat!

Aber das ist wichtig! Winkelposition 444° stimmt völlig überein mit einer Winkelstellung von 84°. Es gibt keine Wunder, es kommt einfach so.)

Ist es möglich, nicht eine volle Umdrehung, sondern zwei oder mehr zu verwerfen?

Und warum nicht? Wenn der Winkel groß ist, ist das nicht nur möglich, sondern sogar notwendig! Der Winkel ändert sich nicht! Genauer gesagt wird sich der Winkel selbst natürlich in seiner Größe ändern. Aber seine Position im Kreis – auf keinen Fall!) Deshalb sind sie voll Umdrehungen, egal wie viele Kopien man addiert, egal wie viele man subtrahiert, man landet immer noch am selben Punkt. Schön, nicht wahr?

Erinnern:

Wenn Sie einen beliebigen Betrag zu einem Winkel addieren (subtrahieren). ganz Durch die Anzahl der vollen Umdrehungen ändert sich die Position des ursprünglichen Winkels auf dem Kreis NICHT!

Zum Beispiel:

In welches Viertel fällt der 1000°-Winkel?

Kein Problem! Wir zählen, wie viele volle Umdrehungen in tausend Grad liegen. Eine Umdrehung beträgt 360°, eine andere schon 720°, die dritte 1080°... Stopp! Zu viel! Das bedeutet, dass es in einem Winkel von 1000° sitzt zwei Volle Umdrehungen. Wir verwerfen sie aus 1000° und berechnen den Rest:

1000° - 2 360° = 280°

Die Position des Winkels auf dem Kreis beträgt also 1000° das selbe, etwa in einem Winkel von 280°. Womit man viel angenehmer arbeiten kann.) Und wo liegt diese Ecke? Es fällt in das vierte Viertel: 270° (negative Halbachse OY) plus weitere zehn.

Lass uns malen:

Hier habe ich nicht mehr zwei volle Windungen mit einer gepunkteten Spirale gezeichnet: Es ist zu lang geworden. Ich habe gerade den restlichen Schwanz gezeichnet von Null, verwerfen Alle zusätzliche Drehungen. Es ist, als ob sie überhaupt nicht existierten.)

Noch einmal. Im positiven Sinne sind die Winkel 444° und 84° sowie 1000° und 280° unterschiedlich. Aber für Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind diese Winkel - das gleiche!

Wie Sie sehen, müssen Sie bestimmen, um mit Winkeln größer als 360° arbeiten zu können Wie viele volle Umdrehungen gibt es in einem gegebenen großen Winkel? Dies ist der ganz zusätzliche Schritt, der zuerst ausgeführt werden muss, wenn mit solchen Winkeln gearbeitet wird. Nichts Kompliziertes, oder?

Das Ablehnen voller Umdrehungen ist natürlich eine angenehme Erfahrung.) Aber in der Praxis treten beim Arbeiten mit absolut schrecklichen Winkeln Schwierigkeiten auf.

Zum Beispiel:

In welches Viertel fällt der Winkel 31240°?

Was also, werden wir 360 Grad viele, viele Male hinzufügen? Es ist möglich, wenn es nicht zu stark brennt. Aber wir können nicht nur addieren.) Wir können auch teilen!

Teilen wir also unseren riesigen Winkel in 360 Grad auf!

Mit dieser Aktion werden wir genau herausfinden, wie viele volle Umdrehungen in unseren 31240 Grad verborgen sind. Sie können es in eine Ecke aufteilen, Sie können (in Ihr Ohr flüstern:)) auf einem Taschenrechner.)

Wir erhalten 31240:360 = 86,777777….

Die Tatsache, dass es sich bei der Zahl um einen Bruchteil handelte, ist nicht beängstigend. Nur wir ganz Mich interessieren die Drehzahlen! Eine vollständige Teilung ist daher nicht erforderlich.)

In unserer Shaggy-Kohle stecken also bis zu 86 volle Umdrehungen. Grusel…

Es wird in Grad angegeben86·360° = 30960°

So. Genau so viele Grad lassen sich aus einem gegebenen Winkel von 31240° schmerzlos herauswerfen. Überreste:

31240° - 30960° = 280°

Alle! Die Position des Winkels 31240° ist vollständig identifiziert! Gleicher Ort wie 280°. Diese. viertes Quartal.) Ich denke, wir haben diesen Aspekt schon einmal dargestellt? Wann wurde der 1000°-Winkel gezeichnet?) Da sind wir auch 280 Grad gegangen. Zufall.)

Die Moral dieser Geschichte lautet also:

Wenn uns ein erschreckend heftiger Blickwinkel gegeben wird, dann:

1. Bestimmen Sie, wie viele volle Umdrehungen in dieser Ecke liegen. Teilen Sie dazu den ursprünglichen Winkel durch 360 und verwerfen Sie den Bruchteil.

2. Wir zählen, wie viele Grad die resultierende Umdrehungszahl hat. Multiplizieren Sie dazu die Anzahl der Umdrehungen mit 360.

3. Wir subtrahieren diese Umdrehungen vom ursprünglichen Winkel und arbeiten mit dem üblichen Winkel im Bereich von 0° bis 360°.

Wie arbeitet man mit negativen Winkeln?

Kein Problem! Genau das Gleiche wie bei positiven, nur mit einem einzigen Unterschied. Welcher? Ja! Sie müssen um die Ecke gehen Rückseite, minus! Geht im Uhrzeigersinn.)

Zeichnen wir zum Beispiel einen Winkel von -200°. Zunächst ist bei positiven Winkeln alles wie gewohnt - Achsen, Kreis. Zeichnen wir auch einen blauen Pfeil mit einem Minus und signieren wir die Winkel auf den Achsen unterschiedlich. Natürlich müssen sie auch in negativer Richtung gezählt werden. Dies sind die gleichen Winkel, in Schritten von 90°, jedoch in der entgegengesetzten Richtung, also minus: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Das Bild wird so aussehen:

Bei der Arbeit mit negativen Winkeln entsteht oft ein leichtes Verwirrungsgefühl. Wie so?! Es stellt sich heraus, dass dieselbe Achse beispielsweise gleichzeitig +90° und -270° beträgt? Nein, hier stimmt etwas nicht...

Ja, alles ist sauber und transparent! Wir wissen bereits, dass jeder Punkt auf einem Kreis entweder ein positiver oder ein negativer Winkel genannt werden kann! Absolut beliebig. Einschließlich einiger Koordinatenachsen. In unserem Fall brauchen wir Negativ Winkelrechnung. Also rasten wir alle Ecken auf Minus ein.)

Jetzt den Winkel -200° richtig zu zeichnen, ist überhaupt nicht schwierig. Das ist -180° und Minus noch einmal 20°. Wir beginnen von Null auf Minus zu schwingen: Wir fliegen durch das vierte Viertel, verpassen auch das dritte, wir erreichen -180°. Wo soll ich die restlichen zwanzig ausgeben? Ja, alles ist da! Stundenweise.) Gesamtwinkel -200° fällt innerhalb zweite Quartal.

Verstehen Sie jetzt, wie wichtig es ist, sich die Winkel auf den Koordinatenachsen genau zu merken?

Die Winkel auf den Koordinatenachsen (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) müssen sich genau merken, um das Viertel genau zu bestimmen, in das der Winkel fällt!

Was ist, wenn der Winkel groß ist und mehrere volle Umdrehungen aufweist? Macht nichts! Welchen Unterschied macht es, ob diese vollen Umdrehungen positiv oder negativ werden? Ein Punkt auf einem Kreis ändert seine Position nicht!

Zum Beispiel:

In welches Viertel fällt der Winkel von -2000°?

Alles das selbe! Zuerst zählen wir, wie viele volle Revolutionen es in dieser bösen Ecke gibt. Um die Vorzeichen nicht durcheinander zu bringen, lassen wir das Minus erst einmal in Ruhe und dividieren einfach 2000 durch 360. Wir erhalten 5 Plus. Der Schwanz ist uns im Moment egal, wir zählen ihn etwas später, wenn wir die Ecke zeichnen. Wir zählen fünf volle Umdrehungen in Grad:

5 360° = 1800°

Wow. Genau so viele zusätzliche Grad können wir getrost aus unserer Ecke schmeißen, ohne unserer Gesundheit zu schaden.

Wir zählen den verbleibenden Schwanz:

2000° – 1800° = 200°

Aber jetzt können wir uns an das Minus erinnern.) Wohin wickeln wir das 200°-Schwanz? Minus natürlich! Wir erhalten einen negativen Winkel.)

2000° = -1800° - 200°

Wir zeichnen also einen Winkel von -200°, nur ohne zusätzliche Umdrehungen. Ich habe es gerade gezeichnet, aber sei es so, ich werde es noch einmal zeichnen. Von Hand.

Es ist klar, dass der angegebene Winkel sowohl -2000° als auch -200° in diesen Bereich fällt zweites Viertel.

Also, lasst uns verrückt werden... Entschuldigung... auf unserem Kopf:

Wenn ein sehr großer negativer Winkel angegeben ist, ist der erste Teil der Arbeit damit (Ermitteln der Anzahl der vollen Umdrehungen und deren Verwerfen) derselbe wie bei der Arbeit mit einem positiven Winkel. Das Minuszeichen spielt in diesem Lösungsstadium keine Rolle. Das Vorzeichen wird erst ganz am Ende berücksichtigt, wenn mit dem nach Entfernung voller Umdrehungen verbleibenden Winkel gearbeitet wird.

Wie Sie sehen, ist das Zeichnen negativer Winkel auf einem Kreis nicht schwieriger als positiver.

Alles ist beim Alten, nur in die andere Richtung! In der Stunde!

Jetzt kommt der spaßige Teil! Wir haben uns positive Winkel, negative Winkel, große Winkel, kleine Winkel angeschaut – das gesamte Spektrum. Wir haben auch herausgefunden, dass jeder Punkt auf einem Kreis als positiver und negativer Winkel bezeichnet werden kann, wir haben volle Umdrehungen verworfen ... Irgendwelche Gedanken? Es muss verschoben werden...

Ja! Welchen Punkt auf dem Kreis Sie auch nehmen, er wird ihm entsprechen unendlich viele Winkel! Große und nicht so große, positive und negative – alle Arten! Und der Unterschied zwischen diesen Winkeln wird sein ganz Anzahl der vollen Umdrehungen. Stets! So funktioniert der trigonometrische Kreis, ja...) Deshalb umkehren Die Aufgabe besteht darin, den Winkel mithilfe des bekannten Sinus/Kosinus/Tangens/Kotangens zu finden – lösbar mehrdeutig. Und viel schwieriger. Im Gegensatz zum direkten Problem finden Sie bei einem gegebenen Winkel den gesamten Satz seiner trigonometrischen Funktionen. Und in ernsteren Themen der Trigonometrie ( Bögen, trigonometrisch Gleichungen Und Ungleichheiten ) wird uns dieser Trick immer wieder begegnen. Wir gewöhnen uns daran.)

1. In welches Viertel fällt der Winkel von -345°?

2. In welches Viertel fällt der Winkel 666°?

3. In welches Viertel fällt der Winkel 5555°?

4. In welches Viertel fällt der Winkel von -3700°?

5. Welches Zeichen tutcos999°?

6. Welches Zeichen tutctg999°?

Und hat es funktioniert? Wunderbar! Es gibt ein Problem? Dann Sie.

Antworten:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Diesmal werden die Antworten der Reihe nach gegeben und mit der Tradition gebrochen. Denn es gibt nur vier Viertel und nur zwei Zeichen. Du wirst nicht zu oft weglaufen...)

In der nächsten Lektion werden wir über das Bogenmaß sprechen, über die mysteriöse Zahl „Pi“, wir werden lernen, wie man Bogenmaß einfach und unkompliziert in Grad umrechnet und umgekehrt. Und wir werden überrascht sein, dass selbst diese einfachen Kenntnisse und Fähigkeiten völlig ausreichen, um viele nicht triviale Trigonometrieprobleme erfolgreich zu lösen!

Ecke: ° π rad =

Umrechnen in: Bogenmaß Grad 0 - 360° 0 - 2π positiv negativ Berechnen

Wenn sich Linien schneiden, gibt es relativ zum Schnittpunkt vier verschiedene Bereiche.
Diese neuen Bereiche werden aufgerufen Ecken.

Das Bild zeigt 4 verschiedene Winkel, die durch den Schnittpunkt der Linien AB und CD entstehen

Winkel werden normalerweise in Grad gemessen, was als ° bezeichnet wird. Wenn ein Objekt einen vollständigen Kreis bildet, sich also von Punkt D über B, C, A und dann zurück nach D bewegt, spricht man von einer Drehung um 360 Grad (360°). Ein Grad ist also $\frac(1)(360)$ eines Kreises.

Winkel größer als 360 Grad

Wir haben darüber gesprochen, dass ein Objekt, wenn es einen vollständigen Kreis um einen Punkt macht, einen Winkel von 360 Grad bildet. Wenn ein Objekt jedoch mehr als einen Kreis macht, bildet es einen Winkel von mehr als 360 Grad. Dies kommt im Alltag häufig vor. Während der Fahrt dreht sich das Rad viele Kreise, das heißt, es bildet einen Winkel von mehr als 360°.

Um die Anzahl der Zyklen (vollendete Kreise) beim Drehen eines Objekts herauszufinden, zählen wir, wie oft wir 360 zu sich selbst addieren müssen, um eine Zahl zu erhalten, die gleich oder kleiner als ein gegebener Winkel ist. Auf die gleiche Weise finden wir eine Zahl, die wir mit 360 multiplizieren, um eine Zahl zu erhalten, die kleiner ist, aber dem angegebenen Winkel am nächsten kommt.

Beispiel 2
1. Ermitteln Sie die Anzahl der Kreise, die ein Objekt beschreibt, das einen Winkel bildet
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Lösung
a) 380 = (1 × 360) + 20
Das Objekt beschrieb einen Kreis und 20°
Da $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ Kreis
Das Objekt beschrieb $1\frac(1)(18)$ Kreise.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Das Objekt beschrieb zwei Kreise und 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ Kreis
Das Objekt beschrieb $2\frac(5)(36)$ eines Kreises
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ Kreise
Das Objekt beschrieb $2\frac(7)(9)$ Kreise

Wenn sich ein Objekt im Uhrzeigersinn dreht, bildet es einen negativen Drehwinkel, und wenn es sich gegen den Uhrzeigersinn dreht, bildet es einen positiven Winkel. Bisher haben wir nur positive Winkel berücksichtigt.

In Diagrammform kann ein negativer Winkel wie unten dargestellt dargestellt werden.

Die folgende Abbildung zeigt das Vorzeichen des Winkels, der von einer gemeinsamen Geraden, der 0-Achse (x-Achse - x-Achse), gemessen wird.

Das heißt, wenn es einen negativen Winkel gibt, können wir einen entsprechenden positiven Winkel erhalten.
Beispielsweise beträgt der untere Rand einer vertikalen Linie 270°. In negativer Richtung gemessen ergibt sich ein Wert von -90°. Wir subtrahieren einfach 270 von 360. Bei einem negativen Winkel addieren wir 360, um den entsprechenden positiven Winkel zu erhalten.
Wenn der Winkel -360° beträgt, bedeutet dies, dass das Objekt mehr als einen Kreis im Uhrzeigersinn gemacht hat.

Beispiel 3
1. Finden Sie den entsprechenden positiven Winkel
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) - 670°

2. Finden Sie den entsprechenden negativen Winkel von 80°, 167°, 330° und 1300°.
Lösung
1. Um den entsprechenden positiven Winkel zu finden, addieren wir 360 zum Winkelwert.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Das bedeutet einen Kreis im Uhrzeigersinn (360)
360 + (-310) = 50°
Der Winkel beträgt 360 + 50 = 410°

2. Um den entsprechenden negativen Winkel zu erhalten, subtrahieren wir 360 vom Winkelwert.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (eine Runde absolviert)
940 - 360 = 580 (zweite Runde abgeschlossen)
580 - 360 = 220 (dritte Runde abgeschlossen)
220 - 360 = -140°
Der Winkel beträgt -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Also 1300° = -1220°

Radian

Ein Bogenmaß ist der Winkel vom Mittelpunkt eines Kreises, der einen Bogen umschließt, dessen Länge gleich dem Radius des Kreises ist. Dies ist eine Maßeinheit für die Winkelgröße. Dieser Winkel beträgt etwa 57,3°.
In den meisten Fällen wird dies als bezeichnet froh.
Somit ist $1 rad \ungefähr 57,3^(\circ)$

Radius = r = OA = OB = AB
Der Winkel BOA entspricht einem Bogenmaß

Da der Umfang eines Kreises als $2\pi r$ angegeben ist, gibt es $2\pi$ Radien im Kreis und daher gibt es im gesamten Kreis $2\pi$ Bogenmaß.

Das Bogenmaß wird normalerweise in $\pi$ ausgedrückt, um Dezimalstellen in Berechnungen zu vermeiden. In den meisten Büchern ist die Abkürzung froh kommt nicht vor, aber der Leser sollte wissen, dass der Winkel in Form von $\pi$ angegeben wird und die Maßeinheiten automatisch zum Bogenmaß werden.

$360^(\circ) = 2\pi\rad$
$180^(\circ) = \pi\rad$,
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$,
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$,
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$,
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

Beispiel 4
1. Konvertieren Sie 240°, 45°, 270°, 750° und 390° mit $\pi$ in Bogenmaß.
Lösung
Multiplizieren wir die Winkel mit $\frac(\pi)(180)$.
$240^(\circ) = 240 \times \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \times \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. Wandeln Sie die folgenden Winkel in Grad um.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) $3,12\pi$
c) 2,4 Bogenmaß
Lösung
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
b) $3,12\pi = 3,12 \times 180 = 561,6^(\circ)$
c) 1 rad = 57,3°
$2,4 = \frac(2,4 \times 57,3)(1) = 137,52$

Negative Winkel und Winkel größer als $2\pi$ Bogenmaß

Um einen negativen Winkel in einen positiven umzuwandeln, addieren wir ihn zu $2\pi$.
Um einen positiven Winkel in einen negativen umzuwandeln, subtrahieren wir $2\pi$ davon.

Beispiel 5
1. Konvertieren Sie $-\frac(3)(4)\pi$ und $-\frac(5)(7)\pi$ in positive Winkel im Bogenmaß.

Lösung
Addiere $2\pi$ zum Winkel
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$

$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$

Wenn sich ein Objekt um einen Winkel größer als $2\pi$; dreht, bildet es mehr als einen Kreis.
Um die Anzahl der Umdrehungen (Kreise oder Zyklen) in einem solchen Winkel zu bestimmen, finden wir eine Zahl und multiplizieren sie mit $2\pi$. Das Ergebnis ist gleich oder kleiner, aber so nah wie möglich an dieser Zahl.

Beispiel 6
1. Ermitteln Sie die Anzahl der Kreise, die das Objekt bei gegebenen Winkeln durchläuft
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$

Lösung
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ impliziert einen Zyklus im Uhrzeigersinn, das bedeutet das
Das Objekt machte 5 Zyklen im Uhrzeigersinn.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ halber Zyklus
Das Objekt machte viereinhalb Zyklen gegen den Uhrzeigersinn

c) $\frac(7)(2)\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$, $1.5\pi$ entspricht drei Vierteln des Zyklus $(\frac(1.5\pi)(2 \pi)= \frac(3)(4))$
Das Objekt hat einen dreiviertel Zyklus gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen