Stereometrie entwickelt aus Beobachtungen und Lösungen zu Fragen, die im Prozess menschlicher praktischer Tätigkeit entstanden sind. Zweifellos hat sogar der Urmensch, nachdem er vom Nomadenleben zum Sesshaftsein übergegangen war und die Landwirtschaft aufgenommen hatte, versucht, die Größe der Ernte, die er gesammelt hatte, zumindest in groben Zügen anhand der Massen von angehäuftem Brot abzuschätzen Haufen, Schocks oder Stapel. Der Erbauer selbst der ältesten primitiven Gebäude musste irgendwie das Material berücksichtigen, das er zur Verfügung hatte, und in der Lage sein, zu berechnen, wie viel Material benötigt würde, um ein bestimmtes Gebäude zu bauen. Das Steinschneiden unter den alten Ägyptern und Chaldäern erforderte die Vertrautheit mit den metrischen Eigenschaften zumindest der einfachsten geometrischen Körper: eines Würfels, eines Parallelepipeds, eines Prismas, eines Zylinders usw. Die Bedürfnisse der Landwirtschaft, der Navigation und der zeitlichen Orientierung trieben die Menschen zu astronomischen Beobachtungen und letztere zum Studium der Eigenschaften der Kugel und ihrer Teile und folglich der Gesetze der relativen Position von Ebenen und Linien im Raum.

Während der wirtschaftlichen und kulturellen Blüte des antiken Griechenlands und seiner Kolonien erreichte die Geometrie eine hohe theoretische Entwicklung. Von den herausragenden Geometern Griechenlands interessierten sich Anaxagoras, Demokrit und Hippokrates (5. Jahrhundert v. Chr.) für die Stereometrie. Hippokrates gehört zu den ersten, die das berühmte Problem der Antike gelöst haben – das Delhi-Problem der Verdopplung des Würfels. In Platons Schule schritten die Probleme der Stereometrie erheblich voran. Einer der Vertreter der Schule von Platon, Teetetus, betrachtete das Oktaeder und das Zwanzigseitige und gab zum ersten Mal eine Theorie einiger Eigenschaften von fünf regulären Polyedern. Platons Schüler Menechme war der erste, der eine Theorie der Kegelschnitte aufstellte. Das größte Verdienst Euklids ist, dass er das ihm überlieferte Material gesammelt, verarbeitet und in ein zusammenhängendes System gebracht hat. Von den 13 Büchern seiner „Anfänge“ der Stereometrie sind XI-XIII Bücher zugeordnet. Die von Euklid gesammelten Informationen zur Stereometrie wurden durch den größten Mathematiker der Antike, Archimedes, ergänzt, vertieft und erweitert. Er gab dreizehn halbregelmäßige Körper an, von denen jeder durch regelmäßige Polygone begrenzt ist, aber nicht von der gleichen Art, und berechnete die Volumina der Rotationskörper. Dank der Arbeit von Archimedes erreichte die Stereometrie ihren Höhepunkt und die elementare Geometrie im modernen Sinne wurde endgültig etabliert.

Nach dem Fall Griechenlands kommt es zu einer langen Stagnation in der Entwicklung insbesondere der Mathematik und der Stereometrie, die tausend Jahre andauerte. Kepler hat viel für die Entwicklung der Stereometrie in der Neuzeit getan. In seiner „Neuen Stereometrie“ – „Stereometrie der Fässer“ – verwendete er erstmals eine unendlich kleine Größe in der Geometrie. Die Entdeckung der Integralrechnung durch Newton und Leibniz löste schließlich das Problem der Quadratur und der Kubatur.

Zylinder- ein Körper, der aus zwei Kreisen besteht, die nicht in derselben Ebene liegen und durch parallele Verschiebung verbunden sind, und allen Segmenten, die die entsprechenden Punkte dieser Kreise verbinden.

r ist der Radius des Zylinders;
d ist der Durchmesser des Zylinders;
l ist die Erzeugende des Zylinders;
h ist die Höhe des Zylinders.

Notiz: Bei einem geraden Kreiszylinder ist die Länge der Erzeugenden gleich der Länge der Höhe.

Volumen eines Kreiszylinders berechnet nach der Formel:

V = r 2 h, wo

π – konstanter Wert (≈3,1415 );
r ist der Radius der Basis des Zylinders;
h ist die Höhe des Zylinders.

Würfel ist ein regelmäßiges Polyeder, dessen Seiten jeweils ein Quadrat sind. Alle Kanten eines Würfels sind gleich.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - Würfel;

A, B, C, D, A1, B1, C1, D1- Würfelecken;

a - die Länge der Würfelkante.

Würfelvolumen berechnet nach der Formel:

V-Würfel \u003d eine 3, wo

a ist die Länge der Würfelkante.

Tetraeder ist ein regelmäßiges Polyeder, dessen Flächen vier Dreiecke sind.

ABCD - Tetraeder;

A, B, C, D - Tetraederecken;

AD, BD, CD, AB, BC, AC - Kanten des Tetraeders;

ABD, BCD, ACD - Flächen eines Tetraeders.

Volumen eines Tetraeders berechnet nach der Formel:

a ist die Länge einer beliebigen Kante des Tetraeders.

Richtlinien

Um Aufgaben in dieser Kategorie erfolgreich abzuschließen, müssen Sie:

kennen die Definitionen von geometrischen Körpern und deren Eigenschaften;

Aktionen mit geometrischen Formen, Koordinaten und Vektoren ausführen können;

stereometrische Probleme zur Bestimmung geometrischer Größen (Längen, Winkel, Flächen, Volumen) lösen können;

kennen die Formeln zur Berechnung der Flächen und Volumen geometrischer Körper.

Tja Nr. 8 Flaschenvolumen Option 1.

1. Ermitteln Sie das Volumen eines Zylinders mit einer Höhe von 3 cm und einem Basisdurchmesser von 6 cm: a) 27π cm 3; b) 9πcm3; c) 36πcm³; d) 18π cm3; e) 54π cm 3.

2. Das Volumen des Zylinders beträgt 27π. Finden Sie den Durchmesser der Basis des Zylinders, wenn seine Gesamtfläche doppelt so groß ist wie die Seitenfläche.

a) 3; b) kann nicht bestimmt werden um 6; d) 2; e) 9.

3. Die Diagonale des Axialschnitts des Zylinders bildet mit der Ebene des Zylinderbodens einen Winkel von 60°. Finden Sie das Volumen des Zylinders, wenn die Fläche des Axialschnitts 16√3 cm2 beträgt.

a) 16π ​​​​cm 3; b) 16√3 cm3; c) 32π√3cm3; d) 8π√3cm3; e) 16π√3 cm3.

4. Eine Kugel mit einem Radius von 1 cm ist in einen Zylinder eingeschrieben.Bestimmen Sie das Volumen des Zylinders.

a) 4πcm3; b) 2πcm3; c) 8π cm3; d) π cm 3; d) kann nicht bestimmt werden.

5. Das Volumen des Zylinders beträgt 120. Ermitteln Sie die Höhe des Zylinders mit einer Genauigkeit von 0,01, wenn der Radius der Basis dreimal größer ist als dieser.

a) 1,62; b) 1,63; c) 1,61; d) 1,6; e) 1,60.

6. Die Fläche des axialen Abschnitts des Zylinders beträgt 21 cm 2, die Fläche der Basis 18π cm 2. Berechne das Volumen des Zylinders.

a) 9π cm3; b) 31,5π√2cm3; c) 21πcm3; d) 63πcm³; e) 31,5π√3 cm3.

7. Kreuzen Sie die richtige Aussage an.

a) Das Volumen eines Zylinders ist das halbe Produkt aus Grundfläche und Höhe.

b) Das Volumen des Zylinders wird nach der Formel V = πS/2 berechnet, wobei S die Fläche des axialen Abschnitts des Zylinders ist;

c) das Volumen eines gleichseitigen Zylinders ist V = 2πR 3 , wobei R der Radius der Basis des Zylinders ist;

d) das Volumen des Zylinders wird nach der Formel V = Mh/2 berechnet, wobei M die Fläche der Seitenfläche des Zylinders und h seine Höhe ist;

8. Ein Abschnitt parallel zur Achse des Zylinders schneidet einen Bogen von 120˚ vom Umfang der Basis ab. Der Radius der Basis des Zylinders ist R, der Winkel zwischen der Diagonalen des Schnitts und der Achse des Zylinders beträgt 30˚. Finden Sie das Volumen des Zylinders a) 3πR 2 ; b) πR 3 √3; c) 3πR3; d) πR3; e) 3πR 3 √3.

9. Durch die Mantellinie des Zylinders werden zwei Ebenen gezogen. Der Winkel zwischen ihnen beträgt 120˚. Die Flächen der resultierenden Schnitte sind 1. Der Radius der Basis des Zylinders ist 1. Finden Sie das Volumen des Zylinders. a) π√3/3; b) 2π; c) π/2; d) Pi; d) kann nicht bestimmt werden.

10. Ein Aluminiumdraht mit einem Durchmesser von 2 mm hat eine Masse von 3,4 kg. Ermitteln Sie die Drahtlänge auf 1 cm genau, wenn die Dichte von Aluminium 2,6 g/cm3 beträgt.

a) 41646; b) 43590; c) 41656; d) 41635; e) 41625.

Tja Nr. 8 Flaschenvolumen Option 2.

1. Ermitteln Sie das Volumen eines Zylinders mit einer Höhe von 6 cm und einem Basisdurchmesser von 3 cm: a) 13,5π cm 3; b) 9πcm3; c) 27πcm3; d) 18π cm3; e) 54π cm 3.

2. Das Volumen des Zylinders beträgt 32π. Bestimme die Höhe des Zylinders, wenn seine Gesamtfläche dreimal so groß ist wie die Seitenfläche.

a) 3; b) kann nicht bestimmt werden um 4; d) 8; D 2.

3. Die Diagonale des Axialschnitts des Zylinders bildet mit der Ebene des Zylinderbodens einen Winkel von 60°. Finden Sie die Fläche des Axialschnitts, wenn das Volumen des Zylinders 16 π √3 cm 2 beträgt.

a) 16 cm2; b) 16√3 cm2; c) 32√3 cm2; d) 8√3cm2; e) 16π√3 cm2.

4. In der Nähe des Zylinders wird eine Kugel mit einem Radius von 1 cm beschrieben.Bestimmen Sie das Volumen des Zylinders.

a) 4π√2cm3; b) 0,5π√2cm3; c) kann nicht bestimmt werden d) π cm 3; e) π√2 cm 3.

5. Das Volumen des Zylinders beträgt 120. Ermitteln Sie die Höhe des Zylinders mit einer Genauigkeit von 0,01, wenn der Radius der Basis dreimal kleiner ist als dieser.

a) 2.3; b) 2,33; c) 2,35; d) 2,335; e) 2.34.

6. Die Fläche des axialen Abschnitts des Zylinders beträgt 30 cm 2, die Fläche der Basis 9π cm 2. Berechne das Volumen des Zylinders.

a) 45πcm3; b) 22,5πcm³; c) 23πcm3; d) 9π cm3; e) 30π cm 3.

7. Wähle die falsche Aussage.

a) Das Volumen eines Zylinders ist das Produkt aus Grundfläche und Höhe.

b) Das Volumen des Zylinders wird nach der Formel V = 1/2πrS berechnet, wobei S die Fläche des axialen Abschnitts des Zylinders und r der Radius des Zylinders ist;

c) das Volumen eines gleichseitigen Zylinders wird nach der Formel V = 1/4πh 3 berechnet, wobei h die Höhe des Zylinders ist;

d) das Volumen des Zylinders wird nach der Formel V = 1/2Mr berechnet, wobei M die Fläche der Mantelfläche des Zylinders und r sein Radius ist;

e) das Volumen eines gleichseitigen Zylinders wird nach der Formel V = πh 3 /2 berechnet, wobei h die Höhe des Zylinders ist.

8. Ein Schnitt parallel zur Achse des Zylinders schneidet einen Bogen von 120 0 vom Umfang der Basis ab. Dieser Abschnitt ist von der Achse des Zylinders um einen Abstand gleich a entfernt. Die Schnittdiagonale beträgt 4a. Berechne das Volumen des Zylinders. a) 8pa2; b) 4pa3; c) 2πa 3 ; d) 16pa3; e) 8πa 3 .

9. Durch die Mantellinie des Zylinders werden zwei Ebenen gezogen. Der Winkel zwischen ihnen beträgt 120˚. Die Flächen der resultierenden Schnitte sind 1. Die Höhe des Zylinders ist 1. Finden Sie das Volumen des Zylinders. a) π/4; b) π/2; c) π; d) π/3; d) kann nicht bestimmt werden.

10. Ein Aluminiumdraht mit einem Durchmesser von 2 mm hat eine Masse von 3,4 m. Ermitteln Sie die Masse des Drahtes mit einer Genauigkeit von 1 g, wenn die Dichte von Aluminium 2,6 g / cm 3 beträgt.

a) 278; b) 277; c) 29; d) 27; e) 28.

Jobtyp: 8
Thema: Zylinder

Bedingung

In einem zylindrischen Gefäß erreicht der Flüssigkeitsstand 20 cm. Auf welcher Höhe wird der Flüssigkeitsstand sein, wenn er in ein zweites zylindrisches Gefäß gegossen wird, dessen Durchmesser doppelt so groß ist wie der des ersten? Geben Sie Ihre Antwort in Zentimetern an.

Lösung anzeigen

Lösung

Sei R der Radius der Basis des ersten Gefäßes, dann ist 2 R der Radius der Basis des zweiten Gefäßes. Bedingt ist, dass das Flüssigkeitsvolumen V im ersten und zweiten Gefäß gleich ist. Bezeichnen Sie mit H - das Niveau, auf das die Flüssigkeit im zweiten Gefäß gestiegen ist. Dann

V=\pi R^2 \cdot 20, und V=\pi(2R)^2H= 4\pi R^2H. Von hier \pi R^2 \cdot 20 = 4\pi R^2H, 20 = 4 Std H=5

Antworten

Jobtyp: 8
Thema: Zylinder

Bedingung

2000 cm 3 Wasser wurden in ein zylindrisches Gefäß gegossen. Es stellte sich heraus, dass der Flüssigkeitsstand 15 cm betrug, das Teil war vollständig in Wasser eingetaucht. Gleichzeitig stieg der Flüssigkeitsspiegel im Gefäß um 9 cm Wie groß ist das Volumen des Teils? Geben Sie Ihre Antwort in cm3 an.

Lösung anzeigen

Lösung

Sei R der Radius der Basis des Zylinders und h der Füllstand des in das Gefäß gegossenen Wassers. Dann ist das Volumen des eingegossenen Wassers gleich dem Volumen eines Zylinders mit Grundradius R und Höhe h. V Wasser \u003d S Hauptleitung. · h = \pi R^2\cdot h. Gemäß der Bedingung ist die Gleichheit 2000=\pi R^2\cdot15 erfüllt. Von hier, \pi R^2=\frac(2000)(15)=\frac(400)(3).

Sei H der Wasserstand im Gefäß, nachdem der Gegenstand darin eingetaucht ist. Dann ist das Gesamtvolumen von Wasser und Teil gleich dem Volumen eines Zylinders mit einem Basisradius R und einer Höhe H. Durch Bedingung H=h+9=15+9=24. Also V Wasser + Details = \pi R^2\cdot H=\frac(400)(3)\cdot24=3200. Daher ist V Teile = V Wasser + Teile − V Wasser = 3200-2000=1200.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 8
Thema: Zylinder

Bedingung

Berechne die Höhe eines Zylinders, wenn sein Grundradius 8 und seine Seitenfläche 96 pi beträgt.

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Lösung

S=2\pi rh,

96\pi=2\pi\cdot8h,

h=\frac(96\pi)(16\pi)=6.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2016. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 8
Thema: Zylinder

Bedingung

500 Kubikmeter wurden in ein zylindrisches Gefäß gegossen. Wasser sehen. Bestimmen Sie das Volumen des vollständig in Wasser eingetauchten Teils, wenn sich der Flüssigkeitsstand nach dem Eintauchen um das 1,2-fache erhöht hat. Drücken Sie Ihre Antwort im Würfel aus. cm.

Lösung anzeigen

Lösung

V 1 bezeichne das anfängliche Flüssigkeitsvolumen im Zylinder. Nachdem das Teil eingetaucht war, erhöhte sich das Flüssigkeitsvolumen um das 1,2-fache, was bedeutet, dass das endgültige Flüssigkeitsvolumen V 2 = 1,2 V 1 beträgt. Das Volumen des Teils ist gleich der Differenz zwischen den Volumina vor und nach dem Eintauchen, das heißt V = V_2-V_1=1,2\cdot 500-500=100 Würfel cm.

Antworten

Wenn eine Flüssigkeit überläuft, ändert sich ihr Anfangsvolumen nicht, d. H.: V 1 \u003d V 2, was bedeutet, dass die Gleichheit wahr ist: \pi\left(\frac(d_1)(2)\right)^2h_1=\pi\left(\frac(3d_1)(2)\right)^2h_2

Ersetzen Sie die Werte aus der Bedingung, vereinfachen Sie den Ausdruck und finden Sie die gewünschte Höhe der Flüssigkeit des zweiten Gefäßes h 2:

\pi \enspace\frac(d_1^(2))(4)\enspace 63=\pi \enspace\frac(9d_1^(2))(4)\enspace h_2

\frac(63)(4)=\frac(9)(4)h_2

h_2=\frac(63)(9)=7