Mit der Entwicklung der Gesellschaft, der Komplexität der Produktion, entwickelte sich auch die Mathematik. Bewegung von einfach bis komplex. Aus der üblichen Rechenmethode der Addition und Subtraktion mit ihrer wiederholten Wiederholung gelangten sie zum Begriff der Multiplikation und Division. Die Reduktion der mehrfach wiederholten Operation wurde zum Begriff der Potenzierung. Die ersten Tabellen der Abhängigkeit von Zahlen von der Basis und der Anzahl der Potenzierungen wurden bereits im 8. Jahrhundert vom indischen Mathematiker Varasena zusammengestellt. Aus ihnen können Sie die Zeit des Auftretens von Logarithmen zählen.

Historischer Abriß

Die Wiederbelebung Europas im 16. Jahrhundert beflügelte auch die Entwicklung der Mechanik. T erforderte einen großen Rechenaufwand verbunden mit der Multiplikation und Division mehrstelliger Zahlen. Die antiken Tafeln leisteten gute Dienste. Sie ermöglichten es, komplexe Operationen durch einfachere zu ersetzen - Addition und Subtraktion. Ein großer Schritt nach vorn war das 1544 veröffentlichte Werk des Mathematikers Michael Stiefel, in dem er die Idee vieler Mathematiker verwirklichte. Damit war es möglich, Tabellen nicht nur für Grade in Form von Primzahlen, sondern auch für beliebige rationale zu verwenden.

1614 führte der Schotte John Napier, der diese Ideen entwickelte, erstmals den neuen Begriff "Logarithmus einer Zahl" ein. Es wurden neue komplexe Tabellen zur Berechnung der Logarithmen von Sinus und Cosinus sowie von Tangenten erstellt. Dies reduzierte die Arbeit der Astronomen erheblich.

Es tauchten neue Tabellen auf, die von Wissenschaftlern drei Jahrhunderte lang erfolgreich verwendet wurden. Es verging viel Zeit, bis die neue Operation in der Algebra ihre fertige Form annahm. Der Logarithmus wurde definiert und seine Eigenschaften untersucht.

Erst im 20. Jahrhundert, mit dem Aufkommen des Taschenrechners und des Computers, gab die Menschheit die alten Tabellen auf, die im 13. Jahrhundert erfolgreich funktioniert hatten.

Heute nennen wir den Logarithmus von b, um a auf die Zahl x zu stützen, die die Potenz von a ist, um die Zahl b zu erhalten. Dies wird als Formel geschrieben: x = log a(b).

Beispielsweise ist log 3(9) gleich 2. Dies ist offensichtlich, wenn Sie der Definition folgen. Wenn wir 3 hoch 2 erhöhen, erhalten wir 9.

Die formulierte Definition setzt also nur eine Einschränkung, die Zahlen a und b müssen reell sein.

Sorten von Logarithmen

Die klassische Definition heißt reeller Logarithmus und ist eigentlich eine Lösung der Gleichung a x = b. Die Option a = 1 ist grenzwertig und uninteressant. Hinweis: 1 hoch beliebig ist 1.

Reeller Wert des Logarithmus nur definiert, wenn die Basis und das Argument größer als 0 sind, und die Basis darf nicht gleich 1 sein.

Besonderer Platz im Bereich Mathematik spielen Logarithmen, die nach dem Wert ihrer Basis benannt werden:

Regeln und Einschränkungen

Die grundlegende Eigenschaft von Logarithmen ist die Regel: Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der logarithmischen Summe. log abp = log a(b) + log a(p).

Als Variante dieser Aussage lautet es: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), die Quotientenfunktion ist gleich der Differenz der Funktionen.

Aus den beiden vorherigen Regeln ist leicht ersichtlich, dass: log a(b p) = p * log a(b).

Weitere Eigenschaften sind:

Kommentar. Machen Sie keinen allgemeinen Fehler - der Logarithmus der Summe ist nicht gleich der Summe der Logarithmen.

Viele Jahrhunderte lang war die Suche nach dem Logarithmus eine ziemlich zeitaufwändige Aufgabe. Mathematiker verwendeten die bekannte Formel der logarithmischen Theorie der Entwicklung in ein Polynom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), wobei n eine natürliche Zahl größer als 1 ist, die die Genauigkeit der Berechnung bestimmt.

Logarithmen mit anderen Basen wurden mit dem Satz über den Übergang von einer Basis zur anderen und der Eigenschaft des Logarithmus des Produkts berechnet.

Da diese Methode sehr aufwendig ist u bei der Lösung praktischer Probleme schwierig zu implementieren, verwendeten sie vorkompilierte Logarithmentabellen, was die gesamte Arbeit erheblich beschleunigte.

In einigen Fällen wurden speziell zusammengestellte Logarithmendiagramme verwendet, die weniger genau waren, aber die Suche nach dem gewünschten Wert erheblich beschleunigten. Die Kurve der Funktion y = log a(x), die auf mehreren Punkten aufgebaut ist, ermöglicht es, mit dem üblichen Lineal die Werte der Funktion an jedem anderen Punkt zu finden. Lange Zeit nutzten Ingenieure für diese Zwecke das sogenannte Millimeterpapier.

Im 17. Jahrhundert erschienen die ersten analogen Hilfsrechner, die im 19. Jahrhundert eine fertige Form angenommen hatten. Das erfolgreichste Gerät hieß Rechenschieber. Trotz der Einfachheit des Geräts hat sein Erscheinungsbild den Prozess aller technischen Berechnungen erheblich beschleunigt, und dies ist schwer zu überschätzen. Derzeit sind nur wenige Menschen mit diesem Gerät vertraut.

Das Aufkommen von Taschenrechnern und Computern machte es sinnlos, andere Geräte zu verwenden.

Gleichungen und Ungleichungen

Die folgenden Formeln werden verwendet, um verschiedene Gleichungen und Ungleichungen mit Hilfe von Logarithmen zu lösen:

• Übergang von einer Basis zur anderen: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Als Folge der vorherigen Version: log a(b) = 1 / log b(a).

Um Ungleichungen zu lösen, ist es nützlich zu wissen:

• Der Wert des Logarithmus ist nur dann positiv, wenn sowohl die Basis als auch das Argument größer oder kleiner als eins sind; wenn mindestens eine Bedingung verletzt wird, ist der Wert des Logarithmus negativ.
• Wenn die Logarithmusfunktion auf die rechte und linke Seite der Ungleichung angewendet wird und die Basis des Logarithmus größer als eins ist, wird das Vorzeichen der Ungleichung beibehalten; andernfalls ändert es sich.

Aufgabenbeispiele

Betrachten Sie mehrere Optionen für die Verwendung von Logarithmen und ihren Eigenschaften. Beispiele zum Lösen von Gleichungen:

Betrachten Sie die Möglichkeit, den Logarithmus in den Grad zu stellen:

• Aufgabe 3. Berechnen Sie 25^log 5(3). Lösung: Unter den Bedingungen des Problems ähnelt die Notation der folgenden (5^2)^log5(3) oder 5^(2 * log 5(3)). Schreiben wir es anders: 5^log 5(3*2), oder das Quadrat einer Zahl als Funktionsargument kann als Quadrat der Funktion selbst geschrieben werden (5^log 5(3))^2. Unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen ist dieser Ausdruck 3^2. Antwort: Als Ergebnis der Berechnung erhalten wir 9.

Praktischer Nutzen

Als rein mathematisches Werkzeug scheint es weit entfernt vom wirklichen Leben, dass der Logarithmus plötzlich eine große Bedeutung bei der Beschreibung von Objekten in der realen Welt erlangt hat. Es ist schwierig, eine Wissenschaft zu finden, wo sie nicht verwendet wird. Dies gilt uneingeschränkt nicht nur für die naturwissenschaftlichen, sondern auch für die geisteswissenschaftlichen Wissensgebiete.

Logarithmische Abhängigkeiten

Hier sind einige Beispiele für numerische Abhängigkeiten:

Mechanik und Physik

Historisch gesehen haben sich Mechanik und Physik immer mit mathematischen Forschungsmethoden entwickelt und dienten gleichzeitig als Ansporn für die Entwicklung der Mathematik, einschließlich der Logarithmen. Die Theorie der meisten Gesetze der Physik ist in der Sprache der Mathematik geschrieben. Wir geben nur zwei Beispiele für die Beschreibung physikalischer Gesetze mit Hilfe des Logarithmus.

Es ist möglich, das Problem der Berechnung einer so komplexen Größe wie der Geschwindigkeit einer Rakete mit der Tsiolkovsky-Formel zu lösen, die den Grundstein für die Theorie der Weltraumforschung legte:

V = I * ln(M1/M2), wobei

• V ist die Endgeschwindigkeit des Flugzeugs.
• I ist der spezifische Impuls des Motors.
• M 1 ist die Anfangsmasse der Rakete.
• M 2 - Endmasse.

Ein weiteres wichtiges Beispiel- dies ist die Verwendung in der Formel eines anderen großen Wissenschaftlers, Max Planck, die dazu dient, den Gleichgewichtszustand in der Thermodynamik zu bewerten.

S = k * ln (Ω), wobei

• S ist eine thermodynamische Eigenschaft.
• k ist die Boltzmann-Konstante.
• Ω ist das statistische Gewicht verschiedener Zustände.

Chemie

Weniger offensichtlich wäre die Verwendung von Formeln in der Chemie, die das Verhältnis von Logarithmen enthalten. Hier nur zwei Beispiele:

• Die Nernst-Gleichung, die Bedingung des Redoxpotentials des Mediums in Bezug auf die Aktivität von Stoffen und die Gleichgewichtskonstante.
• Auch die Berechnung von Konstanten wie dem Autoprolyseindex und der Acidität der Lösung ist ohne unsere Funktion nicht vollständig.

Psychologie und Biologie

Und es ist völlig unverständlich, was die Psychologie damit zu tun hat. Es stellt sich heraus, dass die Empfindungsstärke durch diese Funktion gut als das umgekehrte Verhältnis des Reizintensitätswerts zum niedrigeren Intensitätswert beschrieben wird.

Nach den obigen Beispielen ist es nicht mehr verwunderlich, dass das Thema Logarithmen auch in der Biologie weit verbreitet ist. Ganze Bände können über biologische Formen geschrieben werden, die logarithmischen Spiralen entsprechen.

Andere Gebiete

Es scheint, dass die Existenz der Welt ohne Verbindung mit dieser Funktion unmöglich ist, und sie regelt alle Gesetze. Vor allem, wenn die Naturgesetze mit einem geometrischen Verlauf verbunden sind. Es lohnt sich, auf die MatProfi-Website zu verweisen, und es gibt viele solcher Beispiele in den folgenden Tätigkeitsbereichen:

Die Liste könnte endlos sein. Wenn Sie die Grundgesetze dieser Funktion beherrschen, können Sie in die Welt der unendlichen Weisheit eintauchen.

Potenz oder logarithmische Abhängigkeit?

Vergleich der Korrelationskoeffizienten

Zurück im 19. Jahrhundert Deutscher Philosoph, einer der Begründer der wissenschaftlichen Psychologie G.-T. Fechner stellte ein psychophysisches Gesetz auf, das die Abhängigkeit von Empfindungen von der Stärke der körperlichen Stimulation beschreibt. Dieses Gesetz, Weber-Fechner-Gesetz genannt, ging von einer logarithmischen Beziehung zwischen der Energie des auf das Sinnesorgan wirkenden Reizes und der Stärke der Empfindung aus, die dieser Reiz hervorruft. Im XX Jahrhundert. Der amerikanische Psychophysiker S. S. Stevens kritisierte Fechners Methodik, die nicht die Möglichkeit einer direkten Bewertung der Empfindung implizierte. Das Ergebnis dieser Kritik war die Entwicklung einer Reihe von methodologischen Verfahren durch S. S. Stevens, die als Methoden der direkten Bewertung von Empfindungen. Basierend auf den im Experiment erhaltenen Daten wurde es möglich, die Beziehung zwischen der Stärke des Reizes und der Stärke der Empfindung nicht nur theoretisch, sondern auch praktisch zu bewerten. Als Ergebnis kam Stevens zu dem Schluss, dass psychophysische Abhängigkeit beschrieben werden sollte aber logarithmisch, a Energie Funktion.

Mal sehen, wie die Stevens-Methodik und die einfachsten Verfahren der Korrelationsanalyse es ermöglichen, die Daten auf ihre Übereinstimmung mit dem logarithmischen und psychophysischen Potenzgesetz zu vergleichen.

Dazu verwenden wir die Ergebnisse eines psychophysischen Experiments (T. Engen). In diesem Experiment wurde die Modulwertmethode verwendet, um die Geruchskonzentrationen von Amylacetat (Banane), verdünnt in Diethylphthalat, abzuschätzen. Jeder der 12 Probanden bewertete zweimal sieben verschiedene Geruchskonzentrationen. Als Modul wurde eine Konzentration von 12,5 % verwendet. Der Modulwert wurde gleich 10 gesetzt. 7.10 präsentiert die durchschnittlichen Skalenwerte für jeden Stimulus.

Wir präsentieren diese Ergebnisse in Form eines Streudiagramms (Abb. 7.7). Es ist ersichtlich, dass mit zunehmender Konzentration eines Geruchsstoffs die subjektive Bewertung seiner Empfindung zunimmt. Diese Abhängigkeit ist monoton, aber anscheinend nichtlinear. Die Berechnung des Korrelationskoeffizienten zwischen diesen beiden Datenreihen ergibt jedoch einen ziemlich hohen Wert von 0,984. Ein solcher Korrelationskoeffizient erklärt 96,8 % der Varianz der abhängigen Variablen (Kriterium), die direkt mit dem Wert der unabhängigen Variablen (Prädiktor) verbunden ist, obwohl er keine theoretische Grundlage hat.

Tabelle 7.10

Subjektive Geruchsskala von Amylacetat verdünnt in Diatylphthalat (T. Engen )

Reis. 7.7.

Das logarithmische Weber-Fechner-Gesetz legt nahe, dass eine lineare Beziehung zwischen den Logarithmen der Amylacetatkonzentration und dem subjektiven Empfindungswert beobachtet wird.

Eine solche Abhängigkeit scheint sehr wahrscheinlich, wenn man die Daten in Abb. 7.7. Daher werden wir die im Experiment verwendeten Konzentrationen in ihren natürlichen Logarithmus umwandeln und erneut ein Streudiagramm erstellen. Auf Abb. 7.8 spiegelt die Abhängigkeit der subjektiven Geruchsbeurteilung nun vom Wert des Logarithmus der Konzentration von Amylacetat wider. Aber auch hier beobachten wir, wie es scheint, keine lineare Beziehung. Der Korrelationskoeffizient zwischen dem Logarithmus der Konzentration eines Geruchsstoffs und der subjektiven Bewertung seines Geruchs erwies sich diesmal als noch niedriger als bei den ursprünglichen Daten, wenn auch immer noch recht hoch - 0,948. In diesem Fall stehen nur 89,8 % der Testvarianz in direktem Zusammenhang mit der Prädiktorvarianz. Daher sehen die Vorhersagen des Weber-Fechner-Gesetzes in Bezug auf unsere Daten nicht sehr überzeugend aus.

Reis. 7.8.

Das psychophysische Potenzgesetz von Stevens stellt eine lineare Beziehung zwischen den Logarithmen der Stimulation und der Stärke der Empfindung her. Abbildung 7.9 zeigt, dass diese Vorhersage ziemlich genau ist. Alle Punkte des Scatterplots liegen perfekt auf einer Linie. Der Korrelationskoeffizient zwischen diesen Datenreihen beträgt 0,999. Das bedeutet, dass ein solches Regressionsmodell 99,8 % der Varianz der abhängigen Variablen beschreibt, die auf die Varianz der unabhängigen Variablen bezogen werden kann.

Reis. 7.9.

Also ein visueller Vergleich von Abb. 7,7-7,9 sowie die berechneten Korrelationskoeffizienten scheinen eindeutig für das Stevenssche Potenzgesetz zu sprechen. Versuchen wir dennoch abzuschätzen, wie groß der statistische Unterschied zwischen diesen drei Korrelationskoeffizienten ist.

Zunächst führen wir eine logarithmische Transformation der von uns berechneten Korrelationskoeffizienten mit der nichtlinearen Fisher-Transformation durch:

Um die Berechnungen zu vereinfachen, können Sie die entsprechende Funktion verwenden Microsoft Excel - FISCHER. Als Argument nimmt er den Wert des entsprechenden Korrelationskoeffizienten.

Die Ergebnisse solcher Transformationen geben uns die folgenden Werte von z:

• 1. Für den Zusammenhang zwischen Amylacetatkonzentrationen und Geruchsbeurteilung ist z" = 2,41.
• 2. Für den Zusammenhang zwischen dem Logarithmus der Konzentrationen und der Bewertung von Gerüchen ist z" = 1,81.
• 3. Für den Zusammenhang zwischen dem Logarithmus der Konzentrationen und dem Logarithmus der subjektiven Schätzungen ist z" = 3,89.

Nun können wir drei statistische Hypothesen über die paarweise Gleichheit dieser Korrelationskoeffizienten in der Allgemeinbevölkerung aufstellen. Um die statistische Zuverlässigkeit dieser Hypothesen zu beurteilen, müssen drei Statistiken erstellt werden, z :

Hier P und t den Stichprobengrößen entsprechen. In unserem Fall sind beide Werte gleich sieben, da dieselben Daten verwendet werden.

Als Ergebnis erhalten wir, dass die Statistik z für den Fall des Vergleichs des Korrelationskoeffizienten zwischen den Anfangswerten der Konzentration eines Geruchsstoffs und der subjektiven Beurteilung des Geruchs einerseits und des Korrelationskoeffizienten zwischen den Ergebnissen der logarithmischen Transformation von Reizwerten und deren Empfindungen dagegen gleich 0,85, was dem Weber-Fechner-Gesetz entspricht. Die Zuverlässigkeit dieser Statistiken kann anhand statistischer Tabellen beurteilt werden (siehe Anhang 1). Die Schätzung zeigt, dass ein solcher Wert nicht zuverlässig von Null abweicht und daher die aufgestellte Nullhypothese über die Gleichheit dieser Korrelationskoeffizienten beibehalten werden muss.

Vergleich des Korrelationskoeffizienten, der die logarithmische Transformation beider Variablen annimmt – das Stevens-Gesetz, mit dem Korrelationskoeffizienten, der die logarithmische Transformation nur der unabhängigen Variablen annimmt – das Weber-Fechner-Gesetz und impliziert überhaupt keine solche Transformation, ergibt z-Statistikwerte von 2,94 bzw. 2,10. Diese beiden Werte weisen auf einen zuverlässigen Unterschied zwischen der z-Statistik und dem theoretisch zu erwartenden Nullwert hin. Folglich,

die Nullhypothese über die Gleichheit der Korrelationskoeffizienten muss verworfen werden.

(aus dem Griechischen λόγος - "Wort", "Beziehung" und ἀριθμός - "Zahl") Zahlen b aus grund a(Log α b) wird eine solche Zahl genannt c, und b= ein c, also log α b=c und b=ac sind gleichwertig. Der Logarithmus ist sinnvoll, wenn a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Mit anderen Worten Logarithmus Zahlen b aus grund a als Exponent formuliert, zu dem eine Zahl erhoben werden muss a um die Nummer zu bekommen b(Der Logarithmus existiert nur für positive Zahlen).

Aus dieser Formulierung folgt die Berechnung x= log α b, ist äquivalent zum Lösen der Gleichung a x = b.

Zum Beispiel:

log 2 8 = 3, weil 8=2 3 .

Wir stellen fest, dass die angegebene Formulierung des Logarithmus eine sofortige Bestimmung ermöglicht logarithmischer Wert wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus eine bestimmte Potenz der Basis ist. Tatsächlich ermöglicht die Formulierung des Logarithmus dies zu rechtfertigen, wenn b=a c, dann der Logarithmus der Zahl b aus grund a gleich Mit. Es ist auch klar, dass das Thema Logarithmus eng mit dem Thema verbunden ist Grad der Zahl.

Auf die Berechnung des Logarithmus wird verwiesen Logarithmus. Der Logarithmus ist die mathematische Operation des Logarithmierens. Beim Logarithmieren werden die Produkte von Faktoren in Summen von Termen umgewandelt.

Potenzierung ist die zum Logarithmus inverse mathematische Operation. Beim Potenzieren wird die gegebene Basis mit dem Ausdruck potenziert, auf dem die Potenzierung durchgeführt wird. In diesem Fall werden die Summen der Terme in das Produkt der Faktoren umgewandelt.

Nicht selten werden reelle Logarithmen mit den Basen 2 (binär), e Euler-Zahl e ≈ 2,718 (natürlicher Logarithmus) und 10 (dezimal) verwendet.

In diesem Stadium ist es eine Überlegung wert Proben von Logarithmen Protokoll 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Und die Einträge lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 machen keinen Sinn, da im ersten eine negative Zahl unter das Vorzeichen des Logarithmus gestellt wird, im zweiten eine negative Zahl die Basis und in der dritten - und eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus und der Einheit in der Basis.

Bedingungen zur Bestimmung des Logarithmus.

Es lohnt sich, die Bedingungen a > 0, a ≠ 1, b > 0 gesondert zu betrachten. Definition eines Logarithmus. Lassen Sie uns überlegen, warum diese Einschränkungen getroffen werden. Dies hilft uns bei einer Gleichheit der Form x = log α b, genannt die grundlegende logarithmische Identität, die direkt aus der oben gegebenen Definition des Logarithmus folgt.

Nehmen Sie die Bedingung a≠1. Da Eins gleich Eins zu jeder Potenz ist, ist die Gleichheit x=log α b kann nur existieren, wenn b=1, aber log 1 1 ist eine beliebige reelle Zahl. Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, nehmen wir a≠1.

Beweisen wir die Notwendigkeit der Bedingung a>0. Bei a=0 nach der Formulierung des Logarithmus nur wann existieren kann b=0. Und dann entsprechend Protokoll 0 0 kann jede reelle Zahl ungleich Null sein, da Null hoch jede Potenz ungleich Null gleich Null ist. Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, die Bedingung a≠0. Und wann a<0 die Analyse von rationalen und irrationalen Werten des Logarithmus müssten wir ablehnen, da der Exponent mit rationalem und irrationalem Exponenten nur für nicht-negative Basen definiert ist. Aus diesem Grund ist die Bedingung a>0.

Und die letzte Bedingung b>0 folgt aus der Ungleichung a>0, denn x=log α b, und den Wert des Grades mit positiver Basis a immer positiv.

Merkmale von Logarithmen.

Logarithmen gekennzeichnet durch unverwechselbar Merkmale, was zu ihrer weit verbreiteten Verwendung führte, um sorgfältige Berechnungen erheblich zu erleichtern. Beim Übergang "in die Welt der Logarithmen" wird die Multiplikation in eine viel einfachere Addition, die Division in eine Subtraktion und Potenzieren und Wurzelziehen in eine Multiplikation bzw. Division mit einem Exponenten umgewandelt.

Die Formulierung von Logarithmen und eine Tabelle ihrer Werte (für trigonometrische Funktionen) wurde erstmals 1614 von dem schottischen Mathematiker John Napier veröffentlicht. Logarithmische Tabellen, die von anderen Wissenschaftlern vergrößert und detailliert wurden, wurden häufig in wissenschaftlichen und technischen Berechnungen verwendet und blieben relevant, bis elektronische Taschenrechner und Computer verwendet wurden.

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grundlegendes psychophysisches Gesetz- DAS PSYCHO-PHYSIKALISCHE GRUNDGESETZ - die Funktion der Abhängigkeit der Empfindungsstärke von der Stärke des Reizes. Eine einzige Formel O. p. z. nein, aber es gibt Varianten davon: logarithmisch (Fechner), Potenz (Stevens), verallgemeinert (Baird, Ekman, Zabrodin usw.) ... Enzyklopädie der Erkenntnistheorie und Wissenschaftsphilosophie

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