Die Lösung einer Reihe von Aufgaben, insbesondere der Addition mehrerer Schwingungen gleicher Richtung (oder, was dasselbe ist, der Addition mehrerer harmonischer Funktionen), wird erheblich erleichtert und deutlich, wenn die Schwingungen als Vektoren an graphisch dargestellt werden ein Flugzeug. Das so erhaltene Schema wird Vektordiagramm genannt.

Nehmen Sie die Achse, die wir mit dem Buchstaben x bezeichnen (Abb. 55.1). Vom Punkt O auf der Achse zeichnen wir einen Vektor der Länge a, der mit der Achse einen Winkel a bildet.

Bringen wir diesen Vektor mit einer Winkelgeschwindigkeit in Rotation, so bewegt sich die Projektion des Endes des Vektors entlang der x-Achse im Bereich von -a bis +a, und die Koordinate dieser Projektion ändert sich mit der Zeit entsprechend das Gesetz

Folglich führt die Projektion des Endes des Vektors auf die Achse eine harmonische Schwingung mit einer Amplitude gleich der Länge des Vektors, mit einer Kreisfrequenz gleich der Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Vektors und mit einer gleichen Anfangsphase aus dem Winkel, den der Vektor mit der Achse zum Anfangszeitpunkt bildet.

Aus dem Gesagten folgt, dass eine harmonische Schwingung unter Verwendung eines Vektors spezifiziert werden kann, dessen Länge gleich der Amplitude der Schwingung ist und die Richtung des Vektors mit der x-Achse einen Winkel bildet, der gleich der Anfangsphase der ist Schwingung.

Betrachten Sie die Addition zweier harmonischer Schwingungen gleicher Richtung und gleicher Frequenz. Die Auslenkung x des Schwingkörpers ist die Summe der Auslenkungen, die wie folgt geschrieben wird:

Stellen wir beide Schwankungen mit Hilfe von Vektoren dar (Abb. 55.2). Konstruieren wir den resultierenden Vektor a nach den Regeln der Vektoraddition.

Es ist leicht zu sehen, dass die Projektion dieses Vektors auf die x-Achse gleich der Summe der Projektionen der Terme der Vektoren ist:

Daher repräsentiert der Vektor a die resultierende Schwingung. Dieser Vektor dreht sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit wie die Vektoren, so dass die resultierende Bewegung eine harmonische Schwingung mit der Frequenzamplitude a und der Anfangsphase a ist. Das geht aus der Konstruktion hervor

Die Darstellung harmonischer Schwingungen durch Vektoren ermöglicht es also, die Addition mehrerer Schwingungen auf die Addition von Vektoren zu reduzieren. Besonders nützlich ist diese Technik beispielsweise in der Optik, wo Lichtschwingungen an einem bestimmten Punkt als Ergebnis einer Überlagerung vieler Schwingungen definiert werden, die an einem bestimmten Punkt aus verschiedenen Abschnitten der Wellenfront eintreffen.

Die Formeln (55.2) und (55.3) können natürlich erhalten werden, indem man die Ausdrücke (55.1) addiert und die entsprechenden trigonometrischen Transformationen durchführt. Aber die Art und Weise, wie wir diese Formeln erhalten haben, ist einfacher und klarer.

Analysieren wir den Ausdruck (55.2) für die Amplitude. Ist die Phasendifferenz beider Schwingungen gleich Null, so ist die Amplitude der resultierenden Schwingung gleich der Summe aus a und . Wenn die Phasendifferenz gleich oder ist, d.h. beide Schwingungen gegenphasig sind, dann ist die Amplitude der resultierenden Schwingung gleich

Wenn die Oszillationsfrequenzen nicht gleich sind, rotieren die Vektoren a und mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. In diesem Fall pulsiert der resultierende Vektor a in der Größe und dreht sich mit einer nicht konstanten Geschwindigkeit. Folglich ist die resultierende Bewegung in diesem Fall keine harmonische Schwingung, sondern ein komplexer Schwingungsprozess.

Die Addition mehrerer Schwingungen gleicher Richtung (oder, was dasselbe ist, die Addition mehrerer harmonischer Funktionen) wird erheblich erleichtert und deutlich, wenn die Schwingungen als Vektoren auf einer Ebene grafisch dargestellt werden.

Nehmen wir die Achse, die wir mit "x" bezeichnen. Ausgehend vom Punkt O auf der Achse unter einem Winkel a gleich der Anfangsphase der Schwingungen zeichnen wir den Längenvektor A (Abb. 8.3). Wir projizieren den Vektor A auf die x-Achse, wir erhalten x 0 =A cos a ist die anfängliche Verschiebung des Schwingungspunktes von der Gleichgewichtsposition. Diesen Vektor bringen wir mit einer Winkelgeschwindigkeit w 0 in Drehung gegen den Uhrzeigersinn. Die Position dieses Vektors wird zu jeder Zeit durch Winkel gekennzeichnet, die gleich sind:

w 0 t 1 + a; w 0 t 2 + a; w 0 t 3 + a; usw.

Und die Projektion dieses Vektors bewegt sich entlang der x-Achse im Bereich von -A bis +A. Darüber hinaus ändert sich die Koordinate dieser Projektion im Laufe der Zeit gemäß dem Gesetz:

.

Daher führt die Projektion des Endes des Vektors auf eine beliebige Achse eine harmonische Schwingung mit einer Amplitude gleich der Länge des Vektors, einer Kreisfrequenz gleich der Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Vektors und einer Anfangsphase gleich der Winkel, den der Vektor mit der Achse zum Anfangszeitpunkt bildet.

Eine harmonische Schwingung kann also durch einen Vektor angegeben werden, dessen Länge gleich der Amplitude der Schwingung ist und dessen Richtung mit der „x“-Achse einen Winkel bildet, der gleich der Anfangsphase der Schwingung ist.

Betrachten Sie die Addition zweier harmonischer Schwingungen gleicher Richtung und gleicher Frequenz. Die Verschiebung des Schwingkörpers „x“ ist die Summe der Verschiebungen x 1 und x 2, die wie folgt geschrieben werden:

Stellen wir beide Schwankungen mit Hilfe von Vektoren dar und (Abb. 8.4) Nach den Regeln der Addition von Vektoren bilden wir den resultierenden Vektor. Die Projektion dieses Vektors auf die X-Achse ist gleich der Summe der Projektionen der Terme der Vektoren: x=x 1 + x 2 . Daher repräsentiert der Vektor die resultierende Schwingung. Dieser Vektor rotiert mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit w 0 wie die Vektoren und , so dass die resultierende Bewegung eine harmonische Schwingung c mit der Frequenz w 0 , der Amplitude "a" und der Anfangsphase a sein wird. Das folgt aus der Konstruktion

Die Darstellung harmonischer Schwingungen durch Vektoren ermöglicht es also, die Addition mehrerer Schwingungen auf die Addition von Vektoren zu reduzieren. Dieses Verfahren ist einfacher und übersichtlicher als die Verwendung trigonometrischer Transformationen.

Analysieren wir den Ausdruck für die Amplitude. Ist die Phasendifferenz beider Schwingungen a 2 - a 1 = 0, so ist die Amplitude der resultierenden Schwingung gleich der Summe ( a 2 + a eines). Wenn die Phasendifferenz a 2 – a 1 = +p oder –p, d.h. Schwingungen sind gegenphasig, dann ist die Amplitude der resultierenden Schwingung .

Wenn die Oszillationsfrequenzen x 1 und x 2 nicht gleich sind, rotieren die Vektoren und mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. In diesem Fall pulsiert der resultierende Vektor in der Größe und dreht sich mit einer nicht konstanten Geschwindigkeit.Daher wird die resultierende Bewegung in diesem Fall sein nicht nur eine harmonische Schwingung, sondern ein komplexer Schwingungsprozess.

Lassen Sie uns eine Achse wählen. Von dem Punkt O, genommen auf dieser Achse, setzen wir den Längenvektor beiseite, der einen Winkel mit der Achse bildet. Bringen wir diesen Vektor mit einer Winkelgeschwindigkeit in Rotation, so ändert sich die Projektion des Endes des Vektors auf die Achse gesetzmäßig mit der Zeit . Daher erzeugt die Projektion des Endes des Vektors auf die Achse harmonische Schwingungen mit einer Amplitude gleich der Länge des Vektors; mit einer Kreisfrequenz gleich der Winkelgeschwindigkeit der Rotation und mit einer Anfangsphase gleich dem Winkel, den der Vektor mit der Achse bildet X zum Anfangszeitpunkt.

Das Vektordiagramm ermöglicht es, die Addition von Schwingungen zur geometrischen Summierung von Vektoren zu reduzieren. Betrachten Sie die Addition zweier harmonischer Schwingungen gleicher Richtung und gleicher Frequenz, die folgende Form haben:

Stellen wir beide Schwankungen mit Hilfe von Vektoren und dar (Abb. 7.5). Lassen Sie uns den resultierenden Vektor gemäß der Vektoradditionsregel erstellen. Es ist leicht zu sehen, dass die Projektion dieses Vektors auf die Achse gleich der Summe der Projektionen der Terme der Vektoren ist. Daher repräsentiert der Vektor die resultierende Schwingung. Dieser Vektor rotiert mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit wie die Vektoren, so dass die resultierende Bewegung eine harmonische Schwingung mit Frequenz, Amplitude und Anfangsphase ist. Nach dem Kosinusgesetz ist das Quadrat der Amplitude der resultierenden Schwingung gleich

Die Darstellung harmonischer Schwingungen durch Vektoren ermöglicht es also, die Addition mehrerer Schwingungen auf die Addition von Vektoren zu reduzieren. Die Formeln (7.3) und (7.4) können natürlich durch Addition der Ausdrücke für und analytisch erhalten werden, aber die Vektordiagrammmethode ist einfacher und klarer.

SCHWINGUNGEN DÄMPFEN

In jedem realen Schwingungssystem gibt es Widerstandskräfte, deren Wirkung zu einer Abnahme der Energie des Systems führt. Wenn der Energieverlust nicht durch die Arbeit äußerer Kräfte ersetzt wird, werden die Schwingungen abklingen. Im einfachsten und zugleich häufigsten Fall ist die Widerstandskraft proportional zur Geschwindigkeit:

,

wo r ist ein konstanter Wert, der Luftwiderstandsbeiwert genannt wird. Das Minuszeichen kommt daher, dass Kraft und Geschwindigkeit entgegengesetzte Richtungen haben; daher ihre Projektionen auf die Achse X unterschiedliche Vorzeichen haben. Die Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes in Gegenwart von Widerstandskräften hat die Form:

.

Unter Verwendung der Notation , , schreiben wir die Bewegungsgleichung wie folgt um:

.

Diese Gleichung beschreibt Fading Systemschwingungen. Der Koeffizient wird Dämpfungsfaktor genannt.

Der experimentelle Graph der gedämpften Schwingungen bei einem niedrigen Dämpfungskoeffizienten ist in Abb. dargestellt. 7.6. Von Abb. 7.6 sieht man, dass der Abhängigkeitsgraph wie ein Kosinus multipliziert mit einer Funktion aussieht, die mit der Zeit abnimmt. Diese Funktion ist in der Figur durch gestrichelte Linien dargestellt. Eine einfache Funktion, die sich so verhält, ist die Exponentialfunktion. Daher kann die Lösung geschrieben werden als:

,

wo ist die Frequenz der gedämpften Schwingungen.

Wert x periodisch durch Null geht und unendlich oft ein Maximum und Minimum erreicht. Der zeitliche Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nulldurchgängen beträgt . Sein verdoppelter Wert wird aufgerufen Periode der Schwingung.

Der Multiplikator vor einer periodischen Funktion wird aufgerufen Amplitude gedämpfter Schwingungen. Sie nimmt mit der Zeit exponentiell ab. Die Abklingrate wird durch den Wert bestimmt. Die Zeit, nach der die Amplitude der Schwingungen um einen Faktor abnimmt, wird als Abklingzeit bezeichnet. Während dieser Zeit schwingt das System. Es ist üblich, die Dämpfung von Schwingungen zu charakterisieren logarithmisches Dämpfungsdekrement. Das logarithmische Dämpfungsdekrement ist der Logarithmus des Verhältnisses der Amplituden in den Momenten aufeinanderfolgender Durchgänge eines oszillierenden Werts durch ein Maximum oder Minimum:

.

Sie hängt mit der Anzahl der Schwingungen über das Verhältnis zusammen:

Der Wert wird aufgerufen Gütefaktor des schwingungsfähigen Systems. Der Qualitätsfaktor ist umso höher, je mehr Schwingungen das System ausführen muss, bevor die Amplitude um einen Faktor abnimmt.

Die Konstanten und lassen sich wie bei harmonischen Schwingungen aus den Anfangsbedingungen bestimmen.

ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN

Schwingungen, die unter dem Einfluss einer äußeren periodischen Kraft auftreten, werden als erzwungen bezeichnet. Die äußere Kraft verrichtet positive Arbeit und versorgt das schwingungsfähige System mit Energie. Es lässt Schwingungen trotz Einwirkung von Widerstandskräften nicht abklingen.

Eine periodische äußere Kraft kann nach verschiedenen Gesetzen zeitlich variieren. Von besonderem Interesse ist der Fall, wenn eine äußere Kraft, die sich nach einem harmonischen Gesetz mit einer Frequenz ω ändert, auf ein schwingungsfähiges System wirkt, das Eigenschwingungen mit einer bestimmten Frequenz ω 0 ausführen kann. Zieht man beispielsweise eine an einer Feder hängende Last mit einer Frequenz , führt diese harmonische Schwingungen mit der Frequenz der äußeren Kraft aus, auch wenn diese Frequenz nicht mit der Eigenfrequenz der Feder übereinstimmt.

Lassen Sie eine periodische äußere Kraft auf das System einwirken. In diesem Fall kann man die folgende Gleichung erhalten, die die Bewegung eines solchen Systems beschreibt:

,

(7.5)

wo . Bei erzwungenen Schwingungen hängt die Amplitude der Schwingungen und damit die auf das schwingungsfähige System übertragene Energie vom Verhältnis der Frequenzen und sowie vom Dämpfungskoeffizienten ab.

Nach Beginn der Einwirkung einer äußeren Kraft auf das schwingungsfähige System wird einige Zeit ωt benötigt, um erzwungene Schwingungen aufzubauen. Im Anfangsmoment werden im schwingungsfähigen System beide Prozesse angeregt - erzwungene Schwingungen mit einer Frequenz ω und freie Schwingungen mit einer Eigenfrequenz ω 0 . Freie Schwingungen werden jedoch aufgrund des unvermeidlichen Vorhandenseins von Reibungskräften gedämpft. Im schwingungsfähigen System verbleiben daher nach einiger Zeit nur noch stationäre Schwingungen mit der Frequenz ω der äußeren Antriebskraft. Die Einschwingzeit ist größenordnungsmäßig gleich der Abklingzeit ω freier Schwingungen im schwingungsfähigen System. Die stetigen erzwungenen Schwingungen der Last auf die Feder treten nach dem harmonischen Gesetz mit einer Frequenz auf, die gleich der Frequenz der äußeren Einwirkung ist. Es kann gezeigt werden, dass im stationären Zustand die Lösung von Gleichung (7.6) geschrieben wird als:

,

,
.

Erzwungene Schwingungen sind also harmonische Schwingungen mit einer Frequenz gleich der Frequenz der Antriebskraft. Die Amplitude der erzwungenen Schwingungen ist proportional zur Amplitude der Antriebskraft. Für ein gegebenes Schwingungssystem (d. h. ein System mit bestimmten Werten von und ) hängt die Amplitude von der Frequenz der Antriebskraft ab. Die erzwungenen Schwingungen sind außer Phase mit der Antriebskraft. Die Phasenverschiebung hängt von der Frequenz der Antriebskraft ab.

RESONANZ

Die Abhängigkeit der Amplitude erzwungener Schwingungen von der Frequenz der Antriebskraft führt dazu, dass bei einer bestimmten für ein gegebenes System bestimmten Frequenz die Schwingungsamplitude ihren Maximalwert erreicht. Bei dieser Frequenz spricht das schwingungsfähige System besonders gut auf die Wirkung der Antriebskraft an. Dieses Phänomen heißt Resonanz, und die entsprechende Frequenz ist Resonanzfrequenz. Grafisch wird die Abhängigkeit der Amplitude x m erzwungener Schwingungen von der Frequenz ω der antreibenden Kraft durch eine Resonanzkurve beschrieben (Abb. 7.9).

Wir untersuchen das Verhalten der Amplitude erzwungener Schwingungen in Abhängigkeit von der Frequenz. Wenn wir die Amplitude der Antriebskraft unverändert lassen, ändern wir ihre Frequenz. Wenn wir bekommen statische Durchbiegung unter Einwirkung einer konstanten Kraft:

Mit steigender Frequenz steigt zunächst auch die Verschiebungsamplitude, durchläuft dann ein Maximum und geht schließlich asymptotisch gegen Null. Von Abb. 7.9 zeigt auch, dass je kleiner , desto höher und rechts liegt das Maximum dieser Kurve. Außerdem gilt: Je kleiner , desto stärker ändert sich die Amplitude nahe der Resonanz mit der Frequenz, desto schärfer ist das Maximum.

Das Resonanzphänomen kann zur Zerstörung von Brücken, Gebäuden und anderen Bauwerken führen, wenn die Eigenfrequenzen ihrer Schwingungen mit der Frequenz einer periodisch wirkenden äußeren Kraft zusammenfallen. Das Resonanzphänomen muss bei der Konstruktion von Maschinen und verschiedenen Arten von Strukturen berücksichtigt werden. Auf keinen Fall sollte die Eigenfrequenz dieser Geräte in der Nähe der Frequenz möglicher äußerer Einflüsse liegen.

Beispiele

Im Januar 1905 Petersburg stürzte die ägyptische Brücke ein. Schuld daran waren 9 Passanten, 2 Droschkenfahrer und die 3. Schwadron des Peterhof Horse Guards Regiments. Folgendes ist passiert. Alle Soldaten gingen rhythmisch über die Brücke. Die Brücke begann davon zu schwanken - zu schwingen. Durch Zufall stimmte die Eigenfrequenz der Brücke mit der Schrittfrequenz der Soldaten überein. Der rhythmische Schritt der Formation teilte der Brücke immer mehr Energieportionen mit. Durch die Resonanz schwankte die Brücke so stark, dass sie einstürzte. Wenn es keine Resonanz der Eigenschwingungsfrequenz der Brücke mit der Schrittfrequenz der Soldaten gäbe, wäre der Brücke nichts passiert. Daher ist es üblich, beim Passieren von Soldaten auf schwachen Brücken den Befehl zu geben, „das Bein niederzuschlagen“.

Es wird gesagt, dass der große Tenor Enrico Caruso einen Glasbecher zum Zerspringen bringen konnte, indem er mit voller Stimme einen Ton in der richtigen Tonhöhe sang. In diesem Fall verursacht der Schall erzwungene Schwingungen der Glaswände. Bei Resonanz können die Schwingungen der Wände eine solche Amplitude erreichen, dass das Glas bricht.

Experimente machen

Gehen Sie zu einem Saitenmusikinstrument und rufen Sie laut "a": Eine der Saiten wird reagieren - es wird erklingen. Diejenige, die mit der Frequenz dieses Tons in Resonanz ist, schwingt stärker als die anderen Saiten – sie reagiert auf den Ton.

Spannen Sie ein dünnes Seil horizontal. Befestigen Sie ein Pendel aus Faden und Plastilin daran. Wirf ein weiteres ähnliches Pendel über das Seil, aber mit einem längeren Faden. Die Länge der Aufhängung dieses Pendels kann durch Ziehen am freien Ende des Fadens von Hand verändert werden. Bringen Sie dieses Pendel in oszillierende Bewegung. In diesem Fall beginnt auch das erste Pendel zu schwingen, jedoch mit einer kleineren Amplitude. Ohne die Schwingungen des zweiten Pendels zu stoppen, verringern Sie allmählich die Länge seiner Aufhängung - die Amplitude der Schwingungen des ersten Pendels nimmt zu. In diesem Experiment, das die Resonanz mechanischer Schwingungen veranschaulicht, ist das erste Pendel der Empfänger von Schwingungen, die durch das zweite Pendel angeregt werden. Der Grund, der das erste Pendel zum Schwingen zwingt, sind die periodischen Schwingungen des Seils mit einer Frequenz gleich der Schwingungsfrequenz des zweiten Pendels. Erzwungene Schwingungen des ersten Pendels haben nur dann eine maximale Amplitude, wenn ihre Eigenfrequenz mit der Schwingungsfrequenz des zweiten Pendels übereinstimmt.

AUTO-SCHWINGUNGEN

Zahlreich und vielfältig sind die Schöpfungen menschlicher Hände, in denen Eigenschwingungen entstehen und genutzt werden. Zunächst einmal sind dies verschiedene Musikinstrumente. Schon in der Antike - Hörner und Hörner, Pfeifen, Pfeifen, primitive Flöten. Später - Geigen, bei denen die Reibungskraft zwischen Bogen und Saite verwendet wird, um den Klang anzuregen; verschiedene Blasinstrumente; Harmonien, bei denen der Klang durch Metallzungen erzeugt wird, die unter dem Einfluss eines konstanten Luftstroms vibrieren; Orgeln, aus deren Röhren durch schmale Schlitze schwingende Luftsäulen entweichen.

Reis. 7.12

Es ist bekannt, dass die Gleitreibungskraft praktisch unabhängig von der Geschwindigkeit ist. Allerdings ist es der sehr schwachen Geschwindigkeitsabhängigkeit der Reibungskraft geschuldet, dass die Geigensaite erklingt. Eine qualitative Darstellung der Abhängigkeit der Reibungskraft des Bogens auf der Saite zeigt Abb. 7.12. Aufgrund der Haftreibungskraft wird die Saite vom Bogen erfasst und aus der Gleichgewichtslage verschoben. Wenn die Federkraft die Reibungskraft übersteigt, löst sich die Sehne vom Bogen und eilt mit immer größerer Geschwindigkeit in die Gleichgewichtslage. Die Geschwindigkeit der Saite relativ zum sich bewegenden Bogen wird zunehmen, die Reibungskraft wird zunehmen und in einem bestimmten Moment reicht es aus, um die Saite zu erfassen. Dann wiederholt sich der Vorgang erneut. Ein Bogen, der sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, verursacht also ungedämpfte Schwingungen der Saite.

Bei Streichinstrumenten werden Eigenschwingungen durch die zwischen Bogen und Saite wirkende Reibungskraft aufrechterhalten, und bei Blasinstrumenten hält das Blasen eines Luftstrahls Eigenschwingungen der Luftsäule in der Pfeife des Instruments aufrecht.

Mehr als hundert griechische und lateinische Dokumente aus verschiedenen Zeiten erwähnen den Gesang des berühmten „Memnon-Kolosses“ – eine majestätisch klingende Statue eines der Pharaonen, die im 14. Jahrhundert v. Chr. regierten, aufgestellt in der Nähe der ägyptischen Stadt Luxor. Die Höhe der Statue beträgt etwa 20 Meter, die Masse erreicht tausend Tonnen. Im unteren Teil des Kolosses wurden eine Reihe von Spalten und Löchern gefunden, hinter denen sich Kammern mit komplexer Form befanden. Der Koloss von Memnon ist eine gigantische Orgel, die unter dem Einfluss natürlicher Luftströmungen erklingt. Die Statue ahmt die menschliche Stimme nach.

Natürliche Eigenschwingungen etwas exotischer Natur sind singende Sande. Bereits im 14. Jahrhundert erwähnte der große Reisende Marco Polo die „klingenden Ufer“ des mysteriösen Sees Lop Nor in Asien. Seit sechs Jahrhunderten werden an verschiedenen Orten auf allen Kontinenten singende Sande entdeckt. In der lokalen Bevölkerung verursachen sie in den meisten Fällen Angst, sind Gegenstand von Legenden und Legenden. Jack London beschreibt die Begegnung mit dem singenden Sand der Figuren des Romans „Hearts of Three“, die sich mit einem Führer auf die Suche nach den Schätzen der alten Maya begaben.

"Wenn die Götter lachen, pass auf!" rief der alte Mann warnend. Er zeichnete mit dem Finger einen Kreis in den Sand, und während er zeichnete, heulte und kreischte der Sand; dann kniete der alte Mann nieder, der Sand brauste und trompetete.

Es gibt singenden Sand und sogar einen ganzen singenden Sandberg in der Nähe des Flusses Ili in Kasachstan. Der Berg Kalkan, ein riesiges natürliches Organ, erhob sich fast 300 Meter. Die Leute nennen es anders: „singende Düne“, „singender Berg“. Er ist aus hellem Sand gebaut und bietet vor dem Hintergrund der dunklen Ausläufer des dsungarischen Alatau, des Großen und Kleinen Kalkans durch den Farbkontrast einen außergewöhnlichen Anblick. Im Wind und selbst wenn eine Person von ihm herabsteigt, macht der Berg melodische Geräusche. Nach dem Regen und während der Flaute ist der Berg still. Touristen besuchen gerne die Singende Düne und bewundern, nachdem sie einen ihrer drei Gipfel bestiegen haben, das offene Panorama des Ili und des Zailiysky Alatau-Kamms. Wenn der Berg schweigt, bringen ungeduldige Besucher ihn zum „Singen“. Dazu müssen Sie schnell den Hang des Berges hinunterlaufen, sandige Bäche fließen unter Ihren Füßen hervor und aus den Tiefen der Düne entsteht ein Summen.

Viele Jahrhunderte sind seit der Entdeckung des singenden Sandes vergangen, und eine zufriedenstellende Erklärung für dieses erstaunliche Phänomen wurde nicht angeboten. In den letzten Jahren haben englische Akustiker sowie der sowjetische Wissenschaftler V.I. Arabadschi. Arabadji schlug vor, dass sich die schallemittierende obere Sandschicht unter einer Art konstanter Störung über die untere, härtere Schicht bewegt, die ein welliges Oberflächenprofil hat. Durch die Reibungskräfte bei der gegenseitigen Verschiebung der Schichten wird Schall angeregt.

Erzwungene Schwingungen sind ungedämpfte Schwingungen. Der unvermeidliche Energieverlust durch Reibung bei erzwungenen Schwingungen wird durch die Zufuhr von Energie aus einer externen Quelle einer periodisch wirkenden Kraft kompensiert. Es gibt Systeme, bei denen ungedämpfte Schwingungen nicht durch periodische äußere Einflüsse entstehen, sondern durch die Fähigkeit solcher Systeme, den Energiefluss aus einer konstanten Quelle zu regulieren. Solche Systeme werden als Selbstschwinger bezeichnet, und der Vorgang ungedämpfter Schwingungen in solchen Systemen wird als Eigenschwingung bezeichnet. . Schematisch lässt sich ein selbstschwingendes System als Energiequelle, als gedämpfter Oszillator und als Rückkopplungseinrichtung zwischen dem schwingenden System und der Quelle darstellen (Abb. 7.10).

Als Schwingungssystem kann jedes mechanische System verwendet werden, das in der Lage ist, seine eigenen gedämpften Schwingungen auszuführen (z. B. ein Pendel einer Wanduhr). Die Energiequelle kann eine verformte Feder oder eine Last in einem Gravitationsfeld sein. Die Rückkopplungsvorrichtung ist ein Mechanismus, durch den das selbstoszillierende System den Energiefluss von der Quelle reguliert.

Ein Beispiel für ein mechanisches selbstschwingendes System ist ein Uhrwerk mit Ankerschlag (Abb. 7.11). Bei einer Uhr mit Ankerschlag ist ein Laufrad mit Schrägverzahnung starr an einer Zahnradtrommel befestigt, durch die eine Kette mit einem Gewicht geschleudert wird. Am oberen Ende des Pendels ist ein Anker mit zwei Platten aus hartem Material befestigt, die entlang eines Kreisbogens gebogen sind, der auf der Pendelachse zentriert ist. Bei Armbanduhren wird das Gewicht durch eine Feder und das Pendel durch einen Balancer ersetzt, der an einer Spiralfeder befestigt ist. Der Balancer führt Torsionsschwingungen um seine Achse aus. Das Schwingsystem in der Uhr ist ein Pendel oder Balancer, die Energiequelle ist ein angehobenes Gewicht oder eine aufgezogene Feder. Die Rückkopplungsvorrichtung ist ein Anker, der es dem Laufrad ermöglicht, sich in einem Halbzyklus um einen Zahn zu drehen. Die Rückmeldung erfolgt durch das Zusammenspiel des Ankers mit dem Laufrad. Bei jeder Pendelschwingung schiebt der Laufradzahn die Ankergabel in Richtung der Pendelbewegung und überträgt dabei einen bestimmten Energieanteil auf diese, der die Energieverluste durch Reibung kompensiert. Somit wird die potentielle Energie des Gewichts (oder der gedrehten Feder) allmählich in getrennten Portionen auf das Pendel übertragen.

Im Alltag begegnen uns, vielleicht ohne es selbst zu bemerken, häufiger Eigenschwingungen als Schwingungen, die durch periodische Kräfte verursacht werden. Selbstschwingungen umgeben uns überall in Natur und Technik: Dampfmaschinen, Verbrennungsmotoren, elektrische Glocken, Uhren, eine klingende Geigensaite oder Orgelpfeife, ein schlagendes Herz, Stimmbänder beim Sprechen oder Singen – all diese Systeme führen Selbstschwingungen aus.

Machen Sie die Erfahrung!

Reis. 7.13

Oszillationsbewegung wird normalerweise untersucht, indem das Verhalten einer Art Pendel betrachtet wird: Feder, mathematisch oder physikalisch. Alle von ihnen sind Feststoffe. Sie können ein Gerät erstellen, das die Vibrationen von flüssigen oder gasförmigen Körpern demonstriert. Nutzen Sie dazu die Idee hinter dem Design der Wasseruhr. Zwei 1,5-Liter-Plastikflaschen werden wie bei einer Wasseruhr verbunden und die Deckel befestigt. Die Hohlräume der Flaschen sind mit einem 15 Zentimeter langen Glasrohr mit einem Innendurchmesser von 4-5 Millimetern verbunden. Die Seitenwände der Flaschen sollten glatt und weich sein und beim Zusammendrücken leicht zerdrückt werden (siehe Abb. 7.13).

Um Schwingungen in Gang zu setzen, wird eine Wasserflasche darauf gestellt. Wasser daraus beginnt sofort durch das Rohr in die untere Flasche zu fließen. Nach etwa einer Sekunde hört der Strahl spontan auf zu fließen und weicht einem Durchgang in der Röhre für die entgegenkommende Bewegung eines Teils der Luft von der unteren Flasche zur oberen. Die Reihenfolge des Durchgangs der entgegenkommenden Wasser- und Luftströme durch das Verbindungsrohr wird durch die Druckdifferenz in der oberen und unteren Flasche bestimmt und automatisch angepasst.

Die Druckschwankungen im System zeigen sich am Verhalten der Seitenwände der oberen Flasche, die sich im Takt der Wasserabgabe und der Luftzufuhr periodisch zusammendrücken und ausdehnen. Weil die

WELLENBILDUNG

Wie breiten sich Vibrationen aus? Ist für die Übertragung von Schwingungen ein Medium notwendig oder können sie auch ohne übertragen werden? Wie kommt der Klang einer klingenden Stimmgabel zum Zuhörer? Wie bewirkt ein schneller Wechselstrom in der Antenne eines Funksenders, dass Strom in die Antenne eines Empfängers fließt? Wie gelangt Licht von fernen Sternen in unsere Augen? Um diese Art von Phänomenen zu betrachten, ist es notwendig, ein neues physikalisches Konzept einzuführen - eine Welle. Wellenprozesse stellen trotz ihrer unterschiedlichen Natur eine allgemeine Klasse von Phänomenen dar.

Die Quellen von Wellen, seien es Meereswellen, Wellen in einer Schnur, Erdbebenwellen oder Schallwellen in der Luft, sind Vibrationen. Der Vorgang der Ausbreitung von Schwingungen im Raum wird als Welle bezeichnet. Beim Schall beispielsweise wird die Schwingungsbewegung nicht nur von der Schallquelle (Saite, Stimmgabel), sondern auch vom Schallempfänger – dem Trommelfell oder der Mikrofonmembran – ausgeführt. Das Medium, durch das sich die Welle ausbreitet, schwingt ebenfalls.

Der Wellenprozess ist auf das Vorhandensein von Verbindungen zwischen den einzelnen Teilen des Systems zurückzuführen, je nachdem, ob wir eine elastische Welle der einen oder anderen Art haben. Ein Prozess, der in irgendeinem Teil des Raums stattfindet, verursacht Veränderungen an benachbarten Punkten des Systems und überträgt eine bestimmte Menge an Energie auf sie. Von diesen Punkten geht die Störung auf die benachbarten Punkte über und so weiter, wobei sie sich von Punkt zu Punkt ausbreitet, dh eine Welle erzeugt.

Elastische Kräfte, die zwischen den Elementen eines festen, flüssigen oder gasförmigen Körpers wirken, führen zum Auftreten elastischer Wellen. Ein Beispiel für elastische Wellen ist eine Welle, die sich entlang einer Schnur ausbreitet. Wenn durch Auf- und Abwärtsbewegungen der Hand Schwingungen des Schnurendes angeregt werden, beginnen sich auch die benachbarten Schnurabschnitte aufgrund der Wirkung der elastischen Kräfte der Verbindung zu bewegen, und es entsteht eine Welle breiten sich entlang der Schnur aus. Eine gemeinsame Eigenschaft von Wellen ist, dass sie sich über große Entfernungen ausbreiten können und die Teilchen des Mediums nur in einem begrenzten Raumbereich schwingen. Die Teilchen des Mediums, in dem sich die Welle ausbreitet, werden durch die Welle nicht in Translationsbewegungen verwickelt, sie schwingen nur um ihre Gleichgewichtslagen. Je nach Schwingungsrichtung der Teilchen des Mediums in Bezug auf die Wellenausbreitungsrichtung werden Longitudinal- und Transversalwellen unterschieden. Bei einer Longitudinalwelle schwingen die Teilchen des Mediums entlang der Ausbreitungsrichtung der Welle; in der Querrichtung - senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Elastische Transversalwellen können nur in einem scherfesten Medium entstehen. Daher können in flüssigen und gasförmigen Medien nur Longitudinalwellen auftreten. In einem festen Medium können sowohl Longitudinal- als auch Transversalwellen auftreten.

Auf Abb. 8.1 zeigt die Bewegung von Teilchen während der Ausbreitung in einem Medium einer Transversalwelle und den Ort von Teilchen in der Welle zu vier festen Zeitpunkten. Zahlen 1, 2 usw. Teilchen sind angegeben, die durch die von der Welle in einem Viertel der von den Teilchen ausgeführten Schwingungsperiode zurückgelegte Strecke voneinander getrennt sind. Zu dem als Null angenommenen Zeitpunkt erreichte die Welle, die sich entlang der Achse von links nach rechts ausbreitete, das Teilchen 1 , wodurch sich das Teilchen aus der Gleichgewichtslage nach oben zu bewegen begann und die nächsten Teilchen mit sich zog. Nach einem Viertel der Periode wird das Teilchen 1 erreicht die höchste Position; gleichzeitig beginnt sich das Teilchen aus der Gleichgewichtslage zu bewegen 2 . Nach einem weiteren Viertel der Periode passiert das erste Teilchen die Gleichgewichtsposition und bewegt sich in Richtung von oben nach unten, das zweite Teilchen erreicht die äußerste obere Position und das dritte Teilchen beginnt, sich von der Gleichgewichtsposition nach oben zu bewegen. Zum Zeitpunkt gleich beendet das erste Teilchen die vollständige Schwingung und befindet sich im gleichen Bewegungszustand wie im Anfangsmoment. Die Welle wird das Teilchen mit der Zeit erreichen 5 .

Auf Abb. 8.2 zeigt die Bewegung von Teilchen während der Ausbreitung einer Longitudinalwelle in einem Medium. Alle Überlegungen zum Verhalten von Teilchen in einer Transversalwelle lassen sich auch auf diesen Fall übertragen, wobei die Verschiebungen nach oben und unten durch Verschiebungen nach rechts und links ersetzt werden. Von Abb. 8.2 ist ersichtlich, dass bei der Ausbreitung einer Longitudinalwelle im Medium abwechselnd Konzentrationen und Verdünnungen von Teilchen entstehen, die sich mit einer Geschwindigkeit in Richtung der Wellenausbreitung bewegen.

Körper, die auf das Medium einwirken und Schwingungen hervorrufen, nennt man Wellenquellen. Die Ausbreitung elastischer Wellen ist nicht mit der Übertragung von Materie verbunden, sondern die Wellen übertragen Energie, die durch den Wellenprozess von der Schwingungsquelle bereitgestellt wird.

Der Ort der Punkte, die Störungen zu einem bestimmten Zeitpunkt erreichen, wird als Wellenfront bezeichnet. Das heißt, die Wellenfront ist die Fläche, die einen Teil des bereits am Wellenprozess beteiligten Raums von dem Bereich trennt, den die Störungen noch nicht erreicht haben.

Der Ort von Punkten, die in denselben Phasen schwingen, wird als Wellenoberfläche bezeichnet. Die Wellenoberfläche kann durch einen beliebigen Punkt im vom Wellenprozess abgedeckten Raum gezogen werden. Wellenoberflächen können jede beliebige Form haben. Im einfachsten Fall haben sie die Form einer Ebene oder Kugel. Dementsprechend wird die Welle in diesen Fällen als flach oder kugelförmig bezeichnet. Bei einer ebenen Welle sind die Wellenoberflächen eine Reihe von Ebenen, die parallel zueinander verlaufen; in einer sphärischen Welle ein Satz konzentrischer Kugeln.

Die Entfernung, über die sich eine Welle in einer Zeit ausbreitet, die gleich der Schwingungsperiode der Teilchen des Mediums ist, wird als Wellenlänge bezeichnet. Offensichtlich, wo ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.

Auf Abb. 8.3, erstellt mit Computergrafik, zeigt ein Modell der Ausbreitung einer Transversalwelle auf Wasser von einer Punktquelle. Jedes Teilchen führt harmonische Schwingungen um die Gleichgewichtslage aus.

Reis. 8.3. Ausbreitung einer Transversalwelle von einer punktförmigen Schwingungsquelle

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Erstellungsdatum der Seite: 16.02.2016

Vektordiagramm. Vibrationen hinzufügen.

Die Lösung einer Reihe von Problemen der Schwingungstheorie wird erheblich erleichtert und anschaulicher, wenn die Schwingungen mit der Methode graphisch dargestellt werden Vektordiagramme. Lassen Sie uns eine Achse wählen X. Von einem Punkt 0 auf der Achse tragen wir den Längenvektor auf, der zunächst einen Winkel mit der Achse bildet (Abb. 2.14.1). Bringen wir diesen Vektor mit einer Winkelgeschwindigkeit in Rotation, so ist die Projektion des Endes des Vektors auf die Achse X wird sich im Laufe der Zeit gemäß dem Gesetz ändern

.

Daher führt die Projektion des Endes des Vektors auf die Achse eine harmonische Schwingung mit einer Amplitude gleich der Länge des Vektors, mit einer Kreisfrequenz gleich der Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Vektors und mit einer gleichen Anfangsphase aus dem Winkel, den der Vektor mit der Achse zum Anfangszeitpunkt bildet. Der Winkel, den der Vektor mit der Achse zu einem bestimmten Zeitpunkt bildet, bestimmt die Phase der Schwingung zu diesem Zeitpunkt - .

Aus dem Gesagten folgt, dass eine harmonische Schwingung durch einen Vektor dargestellt werden kann, dessen Länge gleich der Amplitude der Schwingung ist und dessen Richtung mit einer bestimmten Achse einen Winkel bildet, der gleich der Phase der Schwingung ist. Dies ist die Essenz der Methode der Vektordiagramme.

Addition gleichsinniger Schwingungen.

Betrachten Sie die Addition zweier harmonischer Schwingungen, deren Richtungen parallel sind:

. (2.14.1)

Resultierender Versatz X wird die Summe von und sein. Es wird eine Schwingung mit Amplitude sein.

Wenden wir die Methode der Vektordiagramme an (Abb. 2.14.2). in der Abbildung und sind die Phasen der resultierenden bzw. addierten Schwingungen. Es ist leicht zu sehen, was gefunden werden kann, indem man die Vektoren und hinzufügt. Wenn jedoch die Frequenzen der hinzugefügten Schwingungen unterschiedlich sind, ändert sich die resultierende Amplitude mit der Zeit in ihrer Größe und der Vektor dreht sich mit einer nicht konstanten Geschwindigkeit, d. h. Die Schwingung wird nicht harmonisch sein, sondern einen komplexen Schwingungsprozess darstellen. Damit die resultierende Schwingung harmonisch ist, müssen die Frequenzen der addierten Schwingungen gleich sein

und die resultierende Schwingung tritt mit der gleichen Frequenz auf

.

Das geht aus der Konstruktion hervor

Analysieren wir den Ausdruck (2.14.2) für die Amplitude der resultierenden Schwingung. Wenn ein die Phasendifferenz der addierten Schwingungen ist gleich Null(Schwingungen sind gleichphasig), die Amplitude ist gleich der Summe der Amplituden der addierten Schwingungen, d.h. hat den maximal möglichen Wert . Wenn ein die Phasendifferenz ist(Schwingungen sind in Gegenphase), dann die resultierende Amplitude ist gleich der Amplitudendifferenz, d.h. hat den kleinstmöglichen Wert .

Addition senkrecht aufeinander stehender Schwingungen.

Lassen Sie das Teilchen zwei harmonische Schwingungen mit derselben Frequenz ausführen: eine entlang der Richtung, die wir bezeichnen X, der andere in senkrechter Richtung j. In diesem Fall bewegt sich das Teilchen entlang einer im allgemeinen krummlinigen Bahn, deren Form von der Phasendifferenz der Schwingungen abhängt.

Wir wählen den Ursprung der Zeitreferenz so, dass die Anfangsphase einer Schwingung gleich Null ist:

. (2.14.3)

Um die Teilchenbahngleichung zu erhalten, muss man aus (2.14.3) ausschließen t. Aus der ersten Gleichung a. meint, . Lassen Sie uns die zweite Gleichung umschreiben

oder

.

Wenn wir den ersten Term von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite übertragen, die resultierende Gleichung quadrieren und Transformationen durchführen, erhalten wir

. (2.14.4)

Diese Gleichung ist die Gleichung einer Ellipse, deren Achsen relativ zu den Achsen gedreht sind X und j zu einem gewissen Winkel. In einigen Spezialfällen werden jedoch einfachere Ergebnisse erhalten.

1. Die Phasendifferenz ist Null. Dann erhalten wir aus (2.14.4).

oder . (2.14.5)

Dies ist die Geradengleichung (Abb. 2.14.3). Das Teilchen schwingt also entlang dieser Geraden mit einer Frequenz und Amplitude gleich .

Ein Vektordiagramm ist eine Möglichkeit, eine oszillierende Bewegung grafisch als Vektor zu definieren.

Entlang der horizontalen Achse ist ein oszillierender Wert ξ (beliebiger physikalischer Art) aufgetragen. Der vom Punkt 0 aus aufgetragene Vektor ist im Absolutwert gleich der Schwingungsamplitude A und unter einem Winkel α, der gleich der Anfangsphase der Schwingung ist, zur Achse ξ gerichtet. Bringen wir diesen Vektor mit einer Winkelgeschwindigkeit ω gleich der Schwingungsfrequenz in Rotation, so ergibt die Projektion dieses Vektors auf die ξ-Achse den Wert der schwingenden Größe zu einem beliebigen Zeitpunkt.

Addition von Schwingungen gleicher Frequenz und gleicher Richtung

Es gebe zwei Schwingungen: Wir bauen Vektordiagramme und fügen Vektoren hinzu:

Nach dem Kosinussatz

Als dann

Es ist offensichtlich (siehe Diagramm), dass die Anfangsphase der resultierenden Schwingung durch die Beziehung bestimmt wird:

Addition von Schwingungen naher Frequenzen

P est werden zwei Schwingungen mit nahezu identischer Frequenz addiert, d.h.

Aus der Trigonometrie:

Auf unseren Fall angewendet, erhalten wir:

Der Graph der resultierenden Schwingung ist ein Schwebungsgraph, d.h. nahezu harmonische Schwingungen der Frequenz ω, deren Amplitude sich langsam mit der Frequenz Δω ändert.

Amplitude Aufgrund des Vorzeichens des Moduls (die Amplitude ist immer > 0) ist die Frequenz, mit der sich die Amplitude ändert, nicht gleich Δω / 2, sondern doppelt so hoch - Δω.

Addition senkrecht aufeinander stehender Schwingungen

Lassen Sie einen kleinen Körper auf senkrecht zueinander stehenden Federn gleicher Steifigkeit schwingen. Auf welcher Bahn wird sich dieser Körper bewegen?

Dies sind die Trajektoriengleichungen in parametrischer Form. Um eine explizite Beziehung zwischen den x- und y-Koordinaten zu erhalten, muss der Parameter t aus den Gleichungen ausgeschlossen werden.

Aus der ersten Gleichung: ,

Ab dem zweiten

Nach Auswechslung

Lassen Sie uns die Wurzel loswerden:

ist die Gleichung einer Ellipse

H
Spezialfälle:

27. Gedämpfte Schwingungen. Erzwungene Schwingungen. Resonanz.

Dämpfung freier Schwingungen

Freie Schwingungen klingen widerstandsbedingt immer früher oder später ab. Betrachten wir den Vorgang der Schwingungsdämpfung. Nehmen wir an, dass die Widerstandskraft proportional zur Geschwindigkeit des Körpers ist. (Der Proportionalitätsfaktor wird aus Bequemlichkeitsgründen mit 2 mg angegeben, was später offenbart wird). Denken wir an den Fall, dass seine Dämpfung über die Schwingungsdauer gering ist. Dann können wir davon ausgehen, dass die Dämpfung die Frequenz kaum beeinflusst, aber die Amplitude der Schwingungen beeinflusst. Dann kann die Gleichung der gedämpften Schwingungen wie folgt dargestellt werden. Hier stellt A(t) eine abnehmende Funktion dar, die bestimmt werden muss. Wir gehen vom Gesetz der Erhaltung und Umwandlung von Energie aus. Die Änderung der Schwingungsenergie ist gleich der durchschnittlichen Arbeit der Widerstandskraft über die Periode, d.h. Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch dt. Rechts haben wir dx/dt, d.h. Geschwindigkeit v, und links erhalten Sie die Ableitung der Energie nach der Zeit. Daher unter Berücksichtigung Aber die durchschnittliche kinetische Energie gleich der Hälfte der Gesamtenergie. Daher kann man das schreiben beide Teile durch E dividieren und mit dt multiplizieren. Das verstehen wir Wir integrieren beide Teile der resultierenden Gleichung: Nach der Potenzierung erhalten wir Die Integrationskonstante C ergibt sich aus den Anfangsbedingungen. Sei bei t = 0 E = E0, dann E0 = C. Daher gilt Aber E~A^2. Daher nimmt auch die Amplitude gedämpfter Schwingungen nach dem Exponentialgesetz ab:

Und Aufgrund des Widerstands nimmt also die Amplitude der Schwingungen ab und sie sehen im Allgemeinen wie in Abb. 4.2. Der Koeffizient wird als Dämpfungskoeffizient bezeichnet. Es charakterisiert jedoch nicht ganz die Dämpfung. Üblicherweise wird die Dämpfung von Schwingungen durch das Dämpfungsdekrement charakterisiert. Letzteres zeigt, wie oft die Schwingungsamplitude über eine Zeit gleich der Schwingungsperiode abnimmt. Das heißt, der Dämpfungsfaktor ist wie folgt definiert: Der Logarithmus des Dämpfungsdekrements wird logarithmisches Dekrement genannt, es ist offensichtlich gleich

Erzwungene Schwingungen

Wird das schwingungsfähige System der Einwirkung einer äußeren periodischen Kraft ausgesetzt, so entstehen sogenannte erzwungene Schwingungen, die ungedämpften Charakter haben. Erzwungene Schwingungen sind von Eigenschwingungen zu unterscheiden. Bei Eigenschwingungen im System wird ein spezieller Mechanismus angenommen, der im Takt seiner eigenen Schwingungen kleine Energieportionen aus irgendeinem Energiespeicher an das System "abgibt". So bleiben Eigenschwingungen erhalten, die nicht abklingen. Bei Eigenschwingungen schiebt sich das System sozusagen selbst an. Als Beispiel für ein selbstschwingendes System können Uhren dienen. Die Uhr ist mit einem Ratschenmechanismus ausgestattet, mit dessen Hilfe das Pendel kleine Stöße (von einer komprimierten Feder) im Takt seiner eigenen Schwingungen erhält. Bei erzwungenen Schwingungen wird das System durch eine äußere Kraft geschoben. Im Folgenden gehen wir auf diesen Fall ein, wobei wir davon ausgehen, dass der Widerstand im System klein ist und vernachlässigt werden kann. Als Modell für erzwungene Schwingungen meinen wir den gleichen Körper, der an einer Feder aufgehängt ist und von einer äußeren periodischen Kraft (z. B. einer Kraft elektromagnetischer Natur) beeinflusst wird. Ohne Berücksichtigung des Widerstands hat die Bewegungsgleichung eines solchen Körpers in der Projektion auf die x-Achse die Form: wobei w* die zyklische Frequenz ist, B die Amplitude der externen Kraft ist. Es ist bekannt, dass es Schwankungen gibt. Daher suchen wir nach einer bestimmten Lösung der Gleichung in Form einer Sinusfunktion Wir setzen die Funktion in die Gleichung ein, wofür wir zweimal nach der Zeit differenzieren . Die Substitution führt zur Relation

Die Gleichung wird zu einer Identität, wenn drei Bedingungen erfüllt sind: . Dann und die Gleichung der erzwungenen Schwingungen kann dargestellt werden als Sie treten mit einer Frequenz auf, die mit der Frequenz der äußeren Kraft zusammenfällt, und ihre Amplitude ist nicht wie bei freien Schwingungen willkürlich, sondern von selbst festgelegt. Dieser ermittelte Wert hängt von dem Verhältnis der Eigenschwingungsfrequenz des Systems und der Frequenz der äußeren Kraft gemäß der Formel ab

H und Abb. 4.3 zeigt ein Diagramm der Abhängigkeit der Amplitude erzwungener Schwingungen von der Frequenz der äußeren Kraft. Es ist ersichtlich, dass die Amplitude der Schwingungen deutlich zunimmt, wenn sich die Frequenz der äußeren Kraft der Frequenz der natürlichen Schwingungen nähert. Das Phänomen eines starken Anstiegs der Amplitude erzwungener Schwingungen, wenn die Eigenfrequenz und die Frequenz der äußeren Kraft zusammenfallen, wird genannt Resonanz.

Bei Resonanz muss die Schwingungsamplitude unendlich groß sein. In Wirklichkeit ist die Amplitude der erzwungenen Schwingungen bei Resonanz immer endlich. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass bei Resonanz und in deren Nähe unsere Annahme eines vernachlässigbar kleinen Widerstands falsch wird. Auch wenn der Widerstand im System klein ist, dann ist er in Resonanz signifikant. Seine Anwesenheit macht die Schwingungsamplitude in Resonanz zu einem endlichen Wert. Der eigentliche Graph der Abhängigkeit der Schwingungsamplitude von der Frequenz hat also die in Abb. 4.4. Je größer der Widerstand im System ist, desto geringer ist die maximale Amplitude an der Resonanzstelle.

Resonanzen in mechanischen Systemen sind in der Regel ein unerwünschtes Phänomen Sie versuchen zu vermeiden: Sie versuchen, mechanische Strukturen, die Schwingungen und Vibrationen ausgesetzt sind, so zu gestalten, dass die Eigenfrequenz von Schwingungen weit von den möglichen Werten der Frequenzen äußerer Einflüsse entfernt ist. Aber in einer Reihe von Geräten wird Resonanz als positives Phänomen genutzt. Beispielsweise wird die Resonanz elektromagnetischer Schwingungen in der Funkkommunikation häufig verwendet, die Resonanz von g-Strahlen - in Präzisionsgeräten.

Der Zustand des thermodynamischen Systems. Prozesse

Thermodynamische Zustände und thermodynamische Prozesse

Wenn zusätzlich zu den Gesetzen der Mechanik die Anwendung der Gesetze der Thermodynamik erforderlich ist, wird das System als thermodynamisches System bezeichnet. Die Notwendigkeit, dieses Konzept zu verwenden, ergibt sich, wenn die Anzahl der Elemente des Systems (z. B. die Anzahl der Gasmoleküle) sehr groß ist und die Bewegung seiner einzelnen Elemente im Vergleich zur Bewegung des Systems selbst oder seines Makroskops mikroskopisch ist Komponenten. Die Thermodynamik beschreibt dabei makroskopische Bewegungen (Änderungen makroskopischer Zustände) eines thermodynamischen Systems.

Die Parameter, die solche Bewegungen (Änderungen) eines thermodynamischen Systems beschreiben, werden normalerweise in externe und interne unterteilt. Diese Einteilung ist sehr bedingt und hängt von der konkreten Aufgabenstellung ab. So hat beispielsweise ein Gas in einem Ballon mit elastischer Hülle als äußere Größe den Druck der umgebenden Luft, und bei einem Gas in einem Gefäß mit starrer Hülle ist die äußere Größe das von dieser Hülle begrenzte Volumen. In einem thermodynamischen System können Volumen und Druck unabhängig voneinander variieren. Für eine theoretische Beschreibung ihrer Änderung ist es notwendig, mindestens einen weiteren Parameter einzuführen - die Temperatur.

Bei den meisten thermodynamischen Problemen reichen drei Parameter aus, um den Zustand eines thermodynamischen Systems zu beschreiben. In diesem Fall werden Änderungen im System durch drei thermodynamische Koordinaten beschrieben, die den entsprechenden thermodynamischen Parametern zugeordnet sind.

Gleichgewichtszustand- ein Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts - ein solcher Zustand eines thermodynamischen Systems wird genannt, in dem es keine Strömungen (Energie, Materie, Impuls usw.) gibt und die makroskopischen Parameter des Systems stabil sind und sich nicht mit der Zeit ändern.

Die klassische Thermodynamik besagt, dass ein isoliertes thermodynamisches System (sich selbst überlassen) in einen Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts strebt und diesen nach Erreichen nicht spontan verlassen kann. Diese Aussage wird oft aufgerufen Nullsatz der Thermodynamik.

Systeme in einem Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts haben Folgendes Eigenschaften mi:

Befinden sich zwei thermisch berührende thermodynamische Systeme im thermodynamischen Gleichgewicht, so befindet sich auch das gesamte thermodynamische System im thermodynamischen Gleichgewicht.

Befindet sich ein thermodynamisches System im thermodynamischen Gleichgewicht mit zwei anderen Systemen, dann befinden sich diese beiden Systeme im thermodynamischen Gleichgewicht miteinander.

Betrachten wir thermodynamische Systeme, die sich im thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Die Beschreibung von Systemen, die sich in einem Nichtgleichgewichtszustand befinden, also in einem Zustand, in dem makroskopische Strömungen stattfinden, wird von der Nichtgleichgewichtsthermodynamik behandelt. Der Übergang von einem thermodynamischen Zustand in einen anderen wird als bezeichnet thermodynamischer Prozess. Im Folgenden betrachten wir nur quasistatische Prozesse oder gleichbedeutende Quasi-Gleichgewichtsprozesse. Der Grenzfall eines Quasigleichgewichtsprozesses ist ein unendlich langsamer Gleichgewichtsprozess, der aus kontinuierlich aufeinanderfolgenden thermodynamischen Gleichgewichtszuständen besteht. In der Realität kann ein solcher Prozess nicht stattfinden, aber wenn makroskopische Änderungen im System eher langsam erfolgen (über Zeitintervalle, die die Zeit für die Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts deutlich überschreiten), wird es möglich, den realen Prozess als quasistatisch anzunähern (quasi- Gleichgewicht). Diese Näherung ermöglicht es, Berechnungen mit ausreichend hoher Genauigkeit für eine große Klasse praktischer Probleme durchzuführen. Der Gleichgewichtsprozess ist reversibel, d. h. einer, bei dem eine Rückkehr zu den Werten der Zustandsparameter, die zum vorherigen Zeitpunkt stattgefunden haben, das thermodynamische System in den vorherigen Zustand bringen sollte, ohne dass sich die das System umgebenden Körper verändern .

Die praktische Anwendung von Quasi-Gleichgewichtsprozessen in beliebigen technischen Geräten ist wirkungslos. So führt beispielsweise die Anwendung eines Quasi-Gleichgewichts-Prozesses in einer Wärmekraftmaschine, der bei praktisch konstanter Temperatur abläuft (siehe die Beschreibung des Carnot-Kreises im dritten Kapitel), zwangsläufig dazu, dass eine solche Maschine funktioniert sehr langsam (im Grenzbereich - unendlich langsam) und haben eine sehr geringe Leistung. Daher werden Quasi-Gleichgewichtsprozesse in technischen Geräten in der Praxis nicht verwendet. Da die Vorhersagen der Gleichgewichtsthermodynamik für reale Systeme jedoch mit einer ausreichend hohen Genauigkeit mit experimentellen Daten für solche Systeme übereinstimmen, wird es häufig verwendet, um thermodynamische Prozesse in verschiedenen technischen Geräten zu berechnen.

Wenn das System während eines thermodynamischen Prozesses in seinen ursprünglichen Zustand zurückkehrt, wird ein solcher Prozess als kreisförmig oder zyklisch bezeichnet. Kreisprozesse sowie alle anderen thermodynamischen Prozesse können sowohl im Gleichgewicht (und daher reversibel) als auch im Ungleichgewicht (irreversibel) sein. In einem reversiblen Kreisprozess treten nach der Rückkehr des thermodynamischen Systems in seinen ursprünglichen Zustand keine thermodynamischen Störungen in den umgebenden Körpern auf und ihre Zustände bleiben im Gleichgewicht. In diesem Fall kehren die externen Parameter des Systems nach der Durchführung des zyklischen Prozesses auf ihre ursprünglichen Werte zurück. In einem irreversiblen Kreisprozess geraten nach dessen Vollendung die umgebenden Körper in Nichtgleichgewichtszustände und die äußeren Parameter des thermodynamischen Systems ändern sich.