Lektion Nr. 30 (Algebra und die Anfänge der Analysis, Klasse 11)

Unterrichtsthema: Grad mit einem rationalen Exponenten.

Unterrichtsziel: 1 . Erweitern Sie den Gradbegriff, geben Sie dem Gradbegriff einen rationalen Indikator; zu lehren, wie man einen Abschluss mit einem rationalen Indikator in die Wurzel übersetzt und umgekehrt; Potenzen mit einem rationalen Exponenten berechnen.

2. Gedächtnisentwicklung, Denken.

3. Aktivitätsbildung.

„Lass jemanden versuchen, durchzustreichen

von einem Mathematikstudium und er wird sehen

Ohne sie kommst du nicht weit." M. W. Lomonossow

Während des Unterrichts.

I. Vermittlung von Thema und Zweck des Unterrichts.

II. Wiederholung und Vertiefung des behandelten Stoffes.

1. Analyse ungelöster Hausbeispiele.

2. Steuerung der selbstständigen Arbeit:

Variante 1.

1. Lösen Sie die Gleichung: √(2x - 1) = 3x - 12

2. Lösen Sie die Ungleichung: √(3x - 2) ≥ 4 - x

Option 2.

1. Lösen Sie die Gleichung: 3 - 2x \u003d √ (7x + 32)

2. Lösen Sie die Ungleichung: √(3x + 1) ≥ x - 1

III. Neues Material lernen.

1 . Erinnern Sie sich an die Erweiterung des Zahlenbegriffs: N є Z є Q є R.

Dies lässt sich am besten im folgenden Diagramm darstellen:

Natur (N)

Null

Nicht negative Zahlen

Negative Zahlen

Bruchzahlen

Ganze Zahlen (Z)

Irrational

Rational (Q)

Reale Nummern

2. In den Unterstufen wurde der Begriff des Grades einer Zahl mit ganzzahligem Exponenten definiert. a) Erinnern Sie sich an die Definition des Grads a) mit einer natürlichen, b) mit einer negativen ganzen Zahl, c) mit einem Exponenten von Null.Betonen Sie, dass der Ausdruck a n ist für alle ganzen Zahlen n und beliebige Werte von a sinnvoll, außer für a=0 und n≤0.

b) Nennen Sie die Eigenschaften von Graden mit ganzzahligem Exponenten.

3 . Mündliche Arbeit.

eines). Rechne: 1 -5 ; 4-3; (-100 ; (-5) -2 ; (1/2) -4 ; (3/7) -1 .

2). Schreiben Sie als negativen Exponenten:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7 ; 1/a 9 .

3).Vergleichen Sie mit Einheit: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Jetzt müssen Sie die Bedeutung der Ausdrücke 3 verstehen 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 usw. Dazu ist es notwendig, den Begriff eines Abschlusses so zu verallgemeinern, dass alle aufgeführten Eigenschaften von Abschlüssen erfüllt sind. Betrachten Sie die Gleichheit (a m/n ) n = ein m . Dann ist es aufgrund der Definition der n-ten Wurzel vernünftig anzunehmen, dass a m/n wird die n-te Wurzel von a sein m . Die Definition des Grads mit einem rationalen Exponenten ist gegeben.

5. Betrachten Sie die Beispiele 1 und 2 aus dem Lehrbuch.

6. Lassen Sie uns einige Bemerkungen zum Konzept eines Grads mit rationalem Exponenten machen.

Bemerkung 1 : Für a>0 und rationale Zahl r ist die Zahl a r>0

Bemerkung 2 : Aufgrund der Grundeigenschaft von Brüchen kann eine rationale Zahl m/n für jede natürliche Zahl k als mk/nk geschrieben werden. Dannder Wert des Grades hängt nicht von der Schreibweise einer rationalen Zahl ab, da a mk/nk = = nk √ a mk = n √ a m = a m/n

Notiz 3: Wenn ein Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels erläutern. Betrachten Sie (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. Andererseits: 1/3 = 2/6 und dann (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Wir erhalten einen Widerspruch.

Mathematiklehrer: Nashkenova A.N. Maybalyk-Gymnasium Gliederung der Lektion zum Thema "Abschluss mit einem rationalen Indikator"

(Algebra, Klasse 11)

Unterrichtsziele:

Das Wissen der Studierenden über den Grad der Zahl erweitern und vertiefen; Einarbeitung der Studenten in das Konzept des Abschlusses mit einem rationalen Indikator und seinen Eigenschaften;

Wissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten entwickeln, um die Werte von Ausdrücken mithilfe von Eigenschaften zu berechnen;

Arbeiten Sie weiter an der Entwicklung der Fähigkeiten zum Analysieren, Vergleichen, Hervorheben der Hauptsache, Definieren und Erklären von Konzepten.

Kommunikative Kompetenzen bilden, die Fähigkeit, ihr Handeln zu argumentieren, Selbständigkeit zu kultivieren, Sorgfalt.

Ausrüstung: Lehrbuch, Handout-Karten, Laptop,Präsentationsmaterial Power Point ;

Unterrichtstyp: Lernstunde und primäre Festigung des neuen Wissens.

Unterrichtsplan:

1.Org. Moment. - 1 Minute.

2.Motivation des Unterrichts.-2 Minuten

3. Aktualisierung des Grundwissens. - 5 Minuten.

4. Studieren von neuem Material. - 15 Minuten.

5. Minute Sportunterricht - 1 min.

6. Primäre Konsolidierung des untersuchten Materials - 10 min

7. Selbständiges Arbeiten. - 7min.

8. Hausaufgaben. - 2 Minuten.

9. Reflexion - 1 min.

10. Das Ergebnis der Lektion. - 1 Minute.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment

Emotionale Stimmung für den Unterricht.

Ich will arbeiten, ich will

Arbeit,
Ich wünsche Ihnen heute viel Erfolg.
Schließlich ist dies in Zukunft alles für Sie

nützlich sein.
Und es wird Ihnen in Zukunft leichter fallen

studieren(Folie Nr. 1)

2. Unterrichtsmotivation

Die Operationen Potenzieren und Wurzelziehen sind wie die vier arithmetischen Operationen aus praktischen Notwendigkeiten entstanden. Also, zusammen mit der Aufgabe, die Fläche eines Quadrats zu berechnen, die Seitea bekanntlich gab es ein umgekehrtes Problem: „Welche Länge muss die Seite des Quadrats haben, damit sein Flächeninhalt gleich istin. Im 14.-15. Jahrhundert tauchten in Westeuropa Banken auf, die Fürsten und Kaufleuten Geld gegen Zinsen gaben, Fernreisen und Eroberungen zu hohen Zinsen finanzierten. Um Ihnen die Berechnung des Zinseszinses zu erleichtern, haben wir Tabellen zusammengestellt, anhand derer Sie sofort feststellen können, wie viel Sie durchzahlen müssenP Jahre, wenn der Betrag geliehen wurdea anR % pro Jahr. Der gezahlte Betrag wird durch die Formel ausgedrückt: s = a(1 + ) P .Manchmal wurde Geld nicht für eine ganze Zahl von Jahren geliehen, sondern zum Beispiel für 2 Jahre 6 Monate. Wenn nach 2,5 Jahren der Betraga gelten aq , dann wird es in den nächsten 2,5 Jahren um ein weiteres steigenq Mal und wird gleichaq 2 . Nach 5 Jahren:a=(1 + 5 , deshalb q 2 = (1 + 5 und meint q =

(Folie 2) .

Damit war die Idee eines Grades mit gebrochenem Exponenten geboren.

3. Aktualisierung des Grundwissens.

Fragen:

1. Was bedeutet der Datensatz?a P

2. Was ist a ?

3. Was ist P ?

4. a -P =?

5. Notieren Sie in Ihrem Heft die Eigenschaften des Abschlusses mit einem ganzzahligen Indikator.

6. Welche Zahlen sind natürlich, ganz, rational? Zeichne sie mit Eulerkreisen.(Folie 3)

Antworten: 1. Grad mit ganzzahligem Exponenten

2. a- Base

3. P- Exponent

4. a -P =

5. Gradeigenschaften mit ganzzahligem Exponenten:

a m *a n = ein (m+n) ;

a m : a n = ein (m-n) ( bei a nicht gleicht Null );

(a m ) n = ein (m*n) ;

(ein*b) n = ein n *b n ;

(a/b) n = (ein n )/(b n ) (bei b ungleich Null);

a 1 = ein;

a 0 = 1 (wann a ungleich Null);

Diese Eigenschaften gelten für alle Zahlen a, b und alle ganzen Zahlen m und n.

6.1,2,3, …- positive Zahlen – Menge natürlicher Zahlen –N

0,-1,-2,-3,.. die Zahl O und negative Zahlen - eine Menge ganzer Zahlen -Z

Q , – Bruchzahlen (negativ und positiv) – Menge rationaler Zahlen –Q Z

N

Eulersche Kreise (Folie 4)

4. Neues Material lernen.

Lassen. a - nicht-negative Zahl und Sie wollen sie auf eine gebrochene Potenz erheben . Kennst du die Gleichunga m ) n = ein m n (Folie 4) , d.h. die Regel für die Erhebung einer Potenz zu einer Potenz. Nehmen Sie in der obigen Gleichung an, dass m = , dann erhalten wir: (a ) P = ein = ein (Folie 4)

Daraus lässt sich nämlich schließena Wurzel P - ter Grad von der Zahla , d.h. a = . es folgt dem (a P ) = P = ein (Folie 4).

Folglich a = (ein ) m = (ein m ) = m . ( Folie 4 ).

Somit gilt folgende Gleichheit:a = m (Folie 4)

Definition: Grad einer nicht negativen Zahl a mit einer rationalen , wo - ein irreduzibler Bruch, der Wert der Wurzel des n-ten Grades aus einer Zahl wird genannt a t .

Also per Definition a = m (Folie 5)

Schauen wir uns Beispiel 1 an : Schreibe den Exponenten mit einem rationalen Exponenten als n-te Wurzel:

1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (Folie 6) Lösung: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( Folie 7) Potenzen mit rationalem Exponenten können nach den gleichen Regeln wie Potenzen mit ganzzahligen Exponenten und Potenzen mit gleichen Basen multipliziert, dividiert, potenziert und die Wurzel gezogen werden:a = ein + a = a - (a ) = ein * (ein*b) = ein * in ) = a / in wo p, q sind natürliche Zahlen, m, p sind ganze Zahlen. (Folie 8) 5. Minute Sportunterricht

Richten Sie Ihren Blick nach rechts

Wenden Sie Ihren Blick nach links

An die Decke geschaut

Wir haben alle nach vorne geschaut.

Eins - biegen - biegen,

Zwei ─ beugen - strecken

Drei - in den Händen von drei Klatschen,

Drei Kopfnicken.

Fünf und sechs setzen sich ruhig hin.

Und wieder unterwegs! (Folie 9)

6. Primäre Konsolidierung des untersuchten Materials:

Seite 51, Nr. 90, Nr. 91 - selbst in einem Heft ausfüllen,

mit Boardcheck

7. Selbständiges Arbeiten

Variante 1

(Folie 10)

Variante 1

(Folie 11)

Selbständiges Arbeiten mit Peer-Review durchführen.

Antworten:

Variante 1

(Folie 12)

Also haben wir uns heute in der Lektion mit dem Konzept eines Grads mit einem rationalen Exponenten vertraut gemacht und gelernt, wie man ihn in Form von Wurzeln schreibt und die grundlegenden Eigenschaften von Graden anwendet, wenn man die Werte numerischer Ausdrücke findet.8. Hausaufgaben: Nr. 92, Nr. 93 Informationen zu Hausaufgaben

9. Betrachtung

(Folie 13)

10. Zusammenfassung der Lektion:

Was ist die Ähnlichkeit und der Unterschied zwischen dem Abschluss mit einem ganzzahligen Indikator und dem Abschluss mit einem gebrochenen Indikator? (Ähnlichkeit: alle Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten gelten auch für einen Grad mit rationalem Exponenten;

Unterschied: Grad)

Gradeigenschaften mit rationalem Exponenten auflisten

Lektion heute abgeschlossen
Du kannst keine Freunde finden.
Aber jeder sollte wissen:
Wissen, Ausdauer, Arbeit
Führen Sie zu Fortschritt im Leben.
Vielen Dank für die Lektion! (Folie 14)

Ausdrücke, Ausdrucksumwandlung

Potenzausdrücke (Ausdrücke mit Potenzen) und ihre Transformation

In diesem Artikel werden wir über das Transformieren von Ausdrücken mit Kräften sprechen. Zunächst konzentrieren wir uns auf die Transformationen, die mit Ausdrücken jeglicher Art, einschließlich Potenzausdrücken, wie dem Öffnen von Klammern oder dem Reduzieren ähnlicher Terme, durchgeführt werden. Und dann werden wir die Transformationen analysieren, die speziell Ausdrücken mit Graden innewohnen: Arbeiten mit der Basis und dem Exponenten, Verwenden der Eigenschaften von Graden usw.

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Was sind Machtausdrücke?

Der Begriff „Power Expressions“ findet sich praktisch nicht in Schulbüchern der Mathematik, taucht aber häufig in Aufgabensammlungen auf, die beispielsweise speziell zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen und die OGE konzipiert sind. Nach der Analyse von Aufgaben, bei denen es erforderlich ist, Aktionen mit Machtausdrücken auszuführen, wird deutlich, dass unter Machtausdrücken Ausdrücke verstanden werden, die Grade in ihren Einträgen enthalten. Daher können Sie für sich die folgende Definition nehmen:

Definition.

Machtausdrücke sind Ausdrücke, die Potenzen enthalten.

Lassen Sie uns bringen Beispiele für Machtausdrücke. Außerdem stellen wir sie danach dar, wie die Entwicklung der Ansichten von einem Abschluss mit natürlichem Indikator zu einem Abschluss mit echtem Indikator erfolgt.

Wie Sie wissen, gibt es zunächst eine Bekanntschaft mit dem Grad einer Zahl mit natürlichem Exponenten, zu diesem Zeitpunkt die ersten einfachsten Potenzausdrücke des Typs 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 usw.

Etwas später wird die Potenz einer Zahl mit ganzzahligem Exponenten untersucht, was zum Auftreten von Potenzausdrücken mit negativen ganzzahligen Potenzen führt, wie z. B.: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

In den Oberstufenklassen kehren sie wieder zu den Abschlüssen zurück. Dort wird ein Grad mit rationalem Exponenten eingeführt, was zum Auftreten der entsprechenden Potenzausdrücke führt: , , usw. Schließlich werden Grade mit irrationalen Exponenten und Ausdrücke, die diese enthalten, betrachtet: , .

Die Sache beschränkt sich nicht auf die aufgeführten Potenzausdrücke: weiter dringt die Variable in den Exponenten ein, und es gibt zum Beispiel solche Ausdrücke 2 x 2 +1 oder . Und nach dem Kennenlernen beginnen Ausdrücke mit Potenzen und Logarithmen zu erscheinen, zum Beispiel x 2 lgx −5 x lgx.

Also haben wir die Frage geklärt, was Machtausdrücke sind. Als nächstes werden wir lernen, wie man sie umwandelt.

Die wichtigsten Arten von Transformationen von Machtausdrücken

Mit Power Expressions können Sie alle grundlegenden Übungen ausführen identische Transformationen von Ausdrücken. Sie können beispielsweise Klammern erweitern, numerische Ausdrücke durch ihre Werte ersetzen, ähnliche Begriffe hinzufügen und so weiter. Natürlich ist es in diesem Fall notwendig, das Akzeptierte einzuhalten Reihenfolge der Aktionen. Lassen Sie uns Beispiele geben.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Potenzausdrucks 2 3 ·(4 2 −12) .

Lösung.

Entsprechend der Reihenfolge der Aktionen führen wir zuerst die Aktionen in Klammern aus. Dort ersetzen wir erstens die Potenz von 4 2 durch ihren Wert 16 (siehe ggf.), und zweitens berechnen wir die Differenz 16−12=4 . Wir haben 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Im resultierenden Ausdruck ersetzen wir die Potenz von 2 3 durch ihren Wert 8 , danach berechnen wir das Produkt 8·4=32 . Dies ist der gewünschte Wert.

So, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Antworten:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Beispiel.

Vereinfachen Sie Potenzausdrücke 3 ein 4 b −7 −1+2 ein 4 b −7.

Lösung.

Offensichtlich enthält dieser Ausdruck wie Begriffe 3 a 4 b −7 und 2 a 4 b −7 , und wir können sie reduzieren: .

Antworten:

3 ein 4 b −7 −1+2 ein 4 b −7 =5 ein 4 b −7 −1.

Beispiel.

Drücken Sie einen Ausdruck mit Potenzen als Produkt aus.

Lösung.

Zur Bewältigung der Aufgabe erlaubt die Darstellung der Zahl 9 als Potenz von 3 2 und anschließende Verwendung abgekürzte Multiplikationsformeln Differenz der Quadrate:

Antworten:

Es gibt auch eine Reihe identischer Transformationen, die Machtausdrücken innewohnen. Als nächstes werden wir sie analysieren.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Es gibt Grade, in deren Basis und / oder Indikator nicht nur Zahlen oder Variablen sind, sondern einige Ausdrücke. Als Beispiel schreiben wir (2+0.3 7) 5−3.7 und (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Beim Arbeiten mit ähnlichen Ausdrücken kann sowohl der Ausdruck in der Basis des Grades als auch der Ausdruck im Exponenten durch einen identisch gleichen Ausdruck ersetzt werden ODZ seine Variablen. Mit anderen Worten, nach den uns bekannten Regeln können wir die Basis des Abschlusses und den Indikator separat umrechnen. Es ist klar, dass als Ergebnis dieser Transformation ein Ausdruck erhalten wird, der identisch gleich dem ursprünglichen ist.

Solche Transformationen ermöglichen es uns, Ausdrücke mit Potenzen zu vereinfachen oder andere Ziele zu erreichen, die wir brauchen. In dem oben erwähnten Potenzausdruck (2+0,3 7) 5−3,7 können Sie beispielsweise Operationen mit Zahlen in der Basis und im Exponenten durchführen, wodurch Sie zur Potenz von 4,1 1,3 gehen können. Und nachdem wir die Klammern geöffnet und ähnliche Terme in die Basis des Grades (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) eingebracht haben, erhalten wir einen Potenzausdruck einer einfacheren Form a 2·(x+1 ) .

Power-Eigenschaften verwenden

Eines der wichtigsten Werkzeuge zum Transformieren von Ausdrücken mit Potenzen sind Gleichungen, die . Erinnern wir uns an die wichtigsten. Für beliebige positive Zahlen a und b und beliebige reelle Zahlen r und s gelten die folgenden Potenzeigenschaften:

• ein r ein s = ein r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ein b) r = ein r b r ;
• (a:b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

Beachten Sie, dass für natürliche, ganzzahlige und positive Exponenten die Beschränkungen für die Zahlen a und b möglicherweise nicht so streng sind. Beispielsweise gilt für die natürlichen Zahlen m und n die Gleichheit a m ·a n = a m+n nicht nur für positive a , sondern auch für negative und für a=0 .

In der Schule liegt das Hauptaugenmerk bei der Transformation von Machtausdrücken gerade auf der Fähigkeit, die passende Eigenschaft auszuwählen und richtig anzuwenden. In diesem Fall sind die Basen der Abschlüsse in der Regel positiv, wodurch Sie die Eigenschaften der Abschlüsse uneingeschränkt nutzen können. Dasselbe gilt für die Transformation von Ausdrücken, die Variablen in Gradbasen enthalten - der Bereich der akzeptablen Werte von Variablen ist normalerweise so, dass die Basen nur positive Werte annehmen, wodurch Sie die Eigenschaften frei verwenden können von Grad. Im Allgemeinen müssen Sie sich ständig fragen, ob es möglich ist, eine Eigenschaft von Graden in diesem Fall anzuwenden, da eine ungenaue Verwendung von Eigenschaften zu einer Einengung der ODZ und anderen Problemen führen kann. Diese Punkte werden im Artikel ausführlich und mit Beispielen besprochen. Transformation von Ausdrücken unter Verwendung der Eigenschaften von Potenzen. Wir beschränken uns hier auf einige einfache Beispiele.

Beispiel.

Drücken Sie den Ausdruck a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 als Potenz mit Basis a aus.

Lösung.

Zuerst transformieren wir den zweiten Faktor (a 2) −3 durch die Eigenschaft, eine Potenz zu einer Potenz zu erheben: (a 2) –3 = a 2 (–3) = a –6. In diesem Fall nimmt der anfängliche Potenzausdruck die Form a 2,5 ·a –6:a –5,5 an. Offensichtlich bleibt es, die Eigenschaften der Multiplikation und Division von Potenzen mit derselben Basis zu verwenden, die wir haben
ein 2,5 ein -6: ein -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5 − (−5,5) = a 2 .

Antworten:

ein 2,5 (ein 2) -3: ein -5,5 \u003d ein 2.

Potenzeigenschaften werden verwendet, wenn Potenzausdrücke sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links transformiert werden.

Beispiel.

Ermitteln Sie den Wert des Potenzausdrucks.

Lösung.

Gleichheit (a · b) r = a r · b r , von rechts nach links angewendet, ermöglicht es Ihnen, vom ursprünglichen Ausdruck zum Produkt der Form und weiter zu gehen. Und wenn Potenzen mit derselben Basis multipliziert werden, summieren sich die Indikatoren: .

Es war möglich, die Transformation des ursprünglichen Ausdrucks auf andere Weise durchzuführen:

Antworten:

.

Beispiel.

Geben Sie bei einem Potenzausdruck a 1,5 −a 0,5 −6 eine neue Variable t=a 0,5 ein.

Lösung.

Der Grad a 1,5 kann als 0,5 3 dargestellt werden und weiter auf der Grundlage der Eigenschaft des Grads im Grad (a r ) s = a r s von rechts nach links angewendet, in die Form (a 0,5) 3 umgewandelt werden. Auf diese Weise, a 1,5 – a 0,5 – 6 = (a 0,5) 3 – a 0,5 – 6. Jetzt ist es einfach, eine neue Variable t=a 0,5 einzuführen, wir erhalten t 3 −t−6 .

Antworten:

t 3 – t – 6 .

Brüche mit Potenzen umwandeln

Potenzausdrücke können Brüche mit Potenzen enthalten oder solche Brüche darstellen. Zu solchen Fraktionen, einer der wichtigsten Bruchumwandlungen, die Brüchen jeglicher Art innewohnen. Das heißt, Brüche, die Grade enthalten, können gekürzt, auf einen neuen Nenner gekürzt, getrennt mit ihrem Zähler und getrennt mit dem Nenner usw. Um die obigen Worte zu veranschaulichen, betrachten Sie die Lösungen mehrerer Beispiele.

Beispiel.

Machtausdruck vereinfachen .

Lösung.

Dieser Leistungsausdruck ist ein Bruchteil. Lassen Sie uns mit seinem Zähler und Nenner arbeiten. Im Zähler öffnen wir die Klammern und vereinfachen den danach erhaltenen Ausdruck mit den Eigenschaften von Potenzen, und im Nenner präsentieren wir ähnliche Begriffe:

Und wir ändern auch das Vorzeichen des Nenners, indem wir dem Bruch ein Minus voranstellen: .

Antworten:

.

Das Kürzen von Brüchen mit Potenzen auf einen neuen Nenner erfolgt ähnlich wie das Kürzen von rationalen Brüchen auf einen neuen Nenner. Gleichzeitig wird auch ein zusätzlicher Faktor gefunden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multipliziert. Wenn Sie diese Aktion ausführen, sollten Sie daran denken, dass die Reduzierung auf einen neuen Nenner zu einer Verengung des DPV führen kann. Damit dies nicht passiert, ist es notwendig, dass der zusätzliche Faktor für keine Werte der Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck verschwindet.

Beispiel.

Brüche auf einen neuen Nenner bringen: a) auf den Nenner a, b) zum Nenner.

Lösung.

a) In diesem Fall ist es ziemlich einfach herauszufinden, welcher zusätzliche Faktor hilft, das gewünschte Ergebnis zu erzielen. Dies ist ein Multiplikator a 0,3, da a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Beachten Sie, dass im Bereich der akzeptablen Werte der Variablen a (dies ist die Menge aller positiven reellen Zahlen) der Grad a 0,3 nicht verschwindet, daher haben wir das Recht, Zähler und Nenner des angegebenen Bruchs zu multiplizieren durch diesen zusätzlichen Faktor:

b) Wenn wir uns den Nenner genauer ansehen, finden wir das

und die Multiplikation dieses Ausdrucks mit ergibt die Summe der Kubikzahlen und , also . Und das ist der neue Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch bringen müssen.

Wir haben also einen zusätzlichen Faktor gefunden. Der Ausdruck verschwindet nicht im Bereich der akzeptablen Werte der Variablen x und y, daher können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:

Antworten:

a) , b) .

Auch die Kürzung von Brüchen mit Gradzahlen ist nichts Neues: Zähler und Nenner werden als eine bestimmte Anzahl von Teilern dargestellt, und dieselben Teiler von Zähler und Nenner werden gekürzt.

Beispiel.

Kürze den Bruch: a) , b).

Lösung.

a) Zunächst lassen sich Zähler und Nenner um die Zahlen 30 und 45 kürzen, was 15 ergibt. Außerdem können Sie natürlich um x 0,5 +1 und um reduzieren . Hier ist, was wir haben:

b) In diesem Fall sind die gleichen Faktoren in Zähler und Nenner nicht sofort sichtbar. Um sie zu erhalten, müssen Sie vorläufige Transformationen durchführen. In diesem Fall bestehen sie darin, den Nenner gemäß der Quadratdifferenzformel in Faktoren zu zerlegen:

Antworten:

a)

b) .

Das Kürzen von Brüchen auf einen neuen Nenner und das Kürzen von Brüchen wird hauptsächlich verwendet, um Operationen mit Brüchen durchzuführen. Aktionen werden nach bekannten Regeln ausgeführt. Beim Addieren (Subtrahieren) von Brüchen werden diese auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, danach werden die Zähler addiert (subtrahiert) und der Nenner bleibt gleich. Das Ergebnis ist ein Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist. Die Division durch einen Bruch ist die Multiplikation mit seinem Kehrwert.

Beispiel.

Folge den Schritten .

Lösung.

Zuerst subtrahieren wir die Brüche in Klammern. Dazu bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner, nämlich , dann die Zähler subtrahieren:

Jetzt multiplizieren wir Brüche:

Offensichtlich ist eine Reduktion um die Potenz x 1/2 möglich, danach haben wir .

Sie können den Potenzausdruck im Nenner auch vereinfachen, indem Sie die Quadratdifferenzformel verwenden: .

Antworten:

Beispiel.

Machtausdruck vereinfachen .

Lösung.

Offensichtlich kann dieser Bruch um (x 2,7 +1) 2 gekürzt werden, das ergibt den Bruch . Es ist klar, dass mit den Potenzen von x etwas anderes getan werden muss. Dazu wandeln wir die resultierende Fraktion in ein Produkt um. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Eigenschaft der Teilung von Potenzen mit gleichen Basen zu nutzen: . Und am Ende des Prozesses gehen wir vom letzten Produkt zur Fraktion über.

Antworten:

.

Und wir fügen hinzu, dass es möglich und in vielen Fällen wünschenswert ist, Faktoren mit negativen Exponenten vom Zähler auf den Nenner oder vom Nenner auf den Zähler zu übertragen, indem man das Vorzeichen des Exponenten ändert. Solche Transformationen vereinfachen oft weitere Aktionen. Beispielsweise kann ein Potenzausdruck durch ersetzt werden.

Konvertieren von Ausdrücken mit Wurzeln und Potenzen

Oft gibt es in Ausdrücken, in denen einige Transformationen erforderlich sind, neben Graden mit gebrochenen Exponenten auch Wurzeln. Um einen solchen Ausdruck in die gewünschte Form zu bringen, reicht es in den meisten Fällen aus, nur zu Wurzeln oder nur zu Potenzen zu gehen. Da es jedoch bequemer ist, mit Graden zu arbeiten, bewegen sie sich normalerweise von Wurzeln zu Graden. Es ist jedoch ratsam, einen solchen Übergang durchzuführen, wenn die ODZ der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen ermöglicht, die Wurzeln durch Grade zu ersetzen, ohne auf das Modul zugreifen zu müssen, oder die ODZ in mehrere Intervalle aufzuteilen (wir haben dies ausführlich in der beschrieben). Artikel, der Übergang von Wurzeln zu Potenzen und umgekehrt Nachdem Sie sich mit dem Grad mit einem rationalen Exponenten vertraut gemacht haben, wird ein Grad mit einem irrationalen Indikator eingeführt, der es ermöglicht, von einem Grad mit einem beliebigen reellen Indikator zu sprechen Die Schule beginnt zu lernen Exponentialfunktion, die analytisch durch den Grad gegeben ist, auf dessen Basis eine Zahl steht, und im Indikator - eine Variable. Wir haben es also mit Exponentialausdrücken zu tun, die Zahlen in der Basis des Grades und im Exponenten enthalten - Ausdrücke mit Variablen, und natürlich entsteht die Notwendigkeit, Transformationen solcher Ausdrücke durchzuführen.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Transformation von Ausdrücken des angegebenen Typs normalerweise beim Lösen durchgeführt werden muss Exponentialgleichungen und exponentielle Ungleichungen, und diese Transformationen sind ziemlich einfach. In den allermeisten Fällen basieren sie auf den Eigenschaften des Abschlusses und zielen meist darauf ab, zukünftig eine neue Variable einzuführen. Die Gleichung wird uns erlauben, sie zu demonstrieren 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Zunächst werden die Exponenten, in deren Exponenten die Summe einer Variablen (oder eines Ausdrucks mit Variablen) und einer Zahl steht, durch Produkte ersetzt. Dies gilt für das erste und letzte Glied des Ausdrucks auf der linken Seite:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Als nächstes werden beide Teile der Gleichheit durch den Ausdruck 7 2 x geteilt, der nur positive Werte auf der ODZ der Variablen x für die ursprüngliche Gleichung annimmt (dies ist eine Standardtechnik zum Lösen von Gleichungen dieser Art, wir sind es nicht Wenn wir jetzt darüber sprechen, konzentrieren Sie sich also auf nachfolgende Transformationen von Ausdrücken mit Potenzen ):

Nun werden Brüche mit Potenzen gestrichen, was ergibt .

Schließlich wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Potenzen von Verhältnissen ersetzt, was zur Gleichung führt , was gleichbedeutend ist mit . Die durchgeführten Transformationen ermöglichen es uns, eine neue Variable einzuführen, die die Lösung der ursprünglichen Exponentialgleichung auf die Lösung der quadratischen Gleichung reduziert

I. V. Boikov, L. D. Romanova Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung. Teil 1. Pensa 2003.