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Gorner Williams George (1786-22. September 1837) war ein englischer Mathematiker. Geboren in Bristol. Er studierte und arbeitete dort, dann in den Schulen von Bath. Grundlegende Arbeiten zur Algebra. 1819 veröffentlichte ein Verfahren zur ungefähren Berechnung der reellen Wurzeln eines Polynoms, das heute als Ruffini-Horner-Verfahren bezeichnet wird (dieses Verfahren war den Chinesen bereits im 13. Jahrhundert bekannt) Das Schema zur Division eines Polynoms durch ein Binomial x-a ist nach Horner benannt.

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HORNER SCHEMA

Eine Methode zum Teilen eines Polynoms n-ten Grades durch ein lineares Binom - a, basierend auf der Tatsache, dass die Koeffizienten des unvollständigen Quotienten und der Rest r mit den Koeffizienten des teilbaren Polynoms und mit a durch die Formeln zusammenhängen:

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Berechnungen nach dem Horner-Schema werden in einer Tabelle abgelegt:

Beispiel 1 Dividieren Der unvollständige Quotient ist x3-x2+3x - 13 und der Rest ist 42=f(-3).

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Der Hauptvorteil dieser Methode ist die Kompaktheit der Notation und die Fähigkeit, ein Polynom schnell in ein Binom zu teilen. Tatsächlich ist das Horner-Schema eine andere Form der Aufzeichnung des Gruppierungsverfahrens, obwohl es im Gegensatz zu letzterem völlig nicht beschreibend ist. Die Antwort (Faktorisierung) ergibt sich hier von selbst, und wir sehen nicht den eigentlichen Prozess, sie zu erhalten. Wir werden uns nicht mit einer strengen Rechtfertigung von Horners Schema befassen, sondern nur zeigen, wie es funktioniert.

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Beispiel2.

Wir beweisen, dass das Polynom P(x)=x4-6x3+7x-392 durch x-7 teilbar ist und bestimmen den Quotienten. Lösung. Unter Verwendung des Horner-Schemas finden wir Ð(7): Daher erhalten wir Ð(7)=0, d.h. der Rest bei der Division des Polynoms durch x-7 ist Null und daher ist das Polynom P (x) ein Vielfaches von (x-7) In diesem Fall sind die Zahlen in der zweiten Zeile der Tabelle die Koeffizienten von Division von P (x) durch (x-7), also P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

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Faktorisiere das Polynom x3 - 5x2 - 2x + 16.

Dieses Polynom hat ganzzahlige Koeffizienten. Wenn eine ganze Zahl die Wurzel dieses Polynoms ist, dann ist es ein Teiler von 16. Wenn das gegebene Polynom also ganzzahlige Wurzeln hat, dann können dies nur Zahlen ±1 sein; ±2; ±4; ±8; ±16. Durch direkte Verifikation stellen wir sicher, dass die Zahl 2 die Wurzel dieses Polynoms ist, also x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)Q(x), wobei Q(x) ein Polynom der zweiten ist Grad

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Die resultierenden Zahlen 1, −3, −8 sind die Koeffizienten des Polynoms, das durch Division des ursprünglichen Polynoms durch x - 2 erhalten wird. Das Ergebnis der Division ist also: 1 x2 + (-3)x + (- 8) = x2 - 3x - 8. Der Grad des durch Division erhaltenen Polynoms ist immer um 1 kleiner als der Grad des ursprünglichen. Also: x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)(x2 - 3x - 8).

Beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen ist es oft notwendig, ein Polynom zu faktorisieren, dessen Grad drei oder höher ist. In diesem Artikel werden wir uns die einfachste Möglichkeit ansehen, dies zu tun.

Wenden wir uns wie üblich der Theorie zu, um Hilfe zu erhalten.

Satz von Bezout besagt, dass der Rest der Division eines Polynoms durch ein Binom ist.

Aber es ist nicht der Satz selbst, der für uns wichtig ist, sondern Folge davon:

Wenn die Zahl die Wurzel eines Polynoms ist, dann ist das Polynom ohne Rest durch das Binom teilbar.

Wir stehen vor der Aufgabe, irgendwie mindestens eine Wurzel des Polynoms zu finden und dann das Polynom durch zu dividieren, wobei die Wurzel des Polynoms ist. Als Ergebnis erhalten wir ein Polynom, dessen Grad um eins kleiner ist als der Grad des ursprünglichen. Und dann können Sie den Vorgang bei Bedarf wiederholen.

Diese Aufgabe ist zweigeteilt: wie man die Wurzel eines Polynoms findet und wie man ein Polynom in ein Binom teilt.

Schauen wir uns diese Punkte genauer an.

1. Wie man die Wurzel eines Polynoms findet.

Zuerst prüfen wir, ob die Zahlen 1 und -1 die Wurzeln des Polynoms sind.

Dabei helfen uns folgende Fakten:

Wenn die Summe aller Koeffizienten eines Polynoms Null ist, dann ist die Zahl die Wurzel des Polynoms.

Beispielsweise ist in einem Polynom die Summe der Koeffizienten gleich Null: . Es ist leicht zu überprüfen, was die Wurzel eines Polynoms ist.

Wenn die Summe der Koeffizienten eines Polynoms geraden Grades gleich der Summe der Koeffizienten ungeraden Grades ist, dann ist die Zahl eine Wurzel des Polynoms. Der freie Term wird als Koeffizient mit geradem Grad betrachtet, da , a eine gerade Zahl ist.

Beispielsweise ist in einem Polynom die Summe der Koeffizienten bei geraden Graden : , und die Summe der Koeffizienten bei ungeraden Graden ist : . Es ist leicht zu überprüfen, was die Wurzel eines Polynoms ist.

Wenn weder 1 noch -1 Wurzeln des Polynoms sind, fahren wir fort.

Für ein Polynom reduzierten Grades (d. h. ein Polynom, bei dem der führende Koeffizient – ​​der Koeffizient von – gleich eins ist) gilt die Vieta-Formel:

Wo sind die Nullstellen des Polynoms.

Es gibt auch Vieta-Formeln bezüglich der restlichen Koeffizienten des Polynoms, aber diese interessiert uns.

Aus dieser Vieta-Formel folgt das Wenn die Wurzeln eines Polynoms ganze Zahlen sind, dann sind sie Teiler seines freien Terms, der ebenfalls eine ganze Zahl ist.

Basierend auf, Wir müssen den freien Term des Polynoms in Faktoren zerlegen und nacheinander von kleiner nach größer prüfen, welcher der Faktoren die Wurzel des Polynoms ist.

Betrachten Sie zum Beispiel das Polynom

Freie Mitgliederteiler: ; ; ;

Die Summe aller Koeffizienten des Polynoms ist gleich, daher ist die Zahl 1 nicht die Wurzel des Polynoms.

Die Summe der Koeffizienten bei geraden Potenzen:

Die Summe der Koeffizienten bei ungeraden Potenzen:

Daher ist die Zahl -1 auch keine Wurzel des Polynoms.

Prüfen wir, ob die Zahl 2 die Wurzel des Polynoms ist: Daher ist die Zahl 2 die Wurzel des Polynoms. Daher ist nach dem Satz von Bezout das Polynom ohne Rest durch das Binom teilbar.

2. Wie man ein Polynom in ein Binom teilt.

Ein Polynom kann durch eine Spalte in ein Binom geteilt werden.

Wir teilen das Polynom in eine Binomialspalte:

Es gibt eine andere Möglichkeit, ein Polynom in ein Binomial aufzuteilen - Horners Schema.

Sehen Sie sich dieses Video an, um es zu verstehen wie man ein Polynom durch ein Binom durch eine Spalte dividiert und das Schema von Horner verwendet.

Ich merke an, dass wir, wenn beim Teilen durch eine Spalte ein gewisses Maß an Unbekanntem im ursprünglichen Polynom fehlt, 0 an seiner Stelle schreiben - genau wie beim Erstellen einer Tabelle für das Horner-Schema.

Wenn wir also ein Polynom in ein Binom teilen müssen und als Ergebnis der Division ein Polynom erhalten, können wir die Koeffizienten des Polynoms mit dem Horner-Schema finden:

Können wir auch verwenden Horners Schema um zu überprüfen, ob die angegebene Zahl die Wurzel des Polynoms ist: Wenn die Zahl die Wurzel des Polynoms ist, dann ist der Rest der Division des Polynoms durch Null, d. h. in der letzten Spalte der zweiten Zeile des Horners Schema erhalten wir 0.

Mit dem Horner-Schema schlagen wir „zwei Fliegen mit einer Klappe“: Gleichzeitig prüfen wir, ob die Zahl die Wurzel eines Polynoms ist und dividieren dieses Polynom durch ein Binomial.

Beispiel. Löse die Gleichung:

1. Wir schreiben die Teiler des freien Terms aus und suchen die Wurzeln des Polynoms unter den Teilern des freien Terms.

Teiler von 24:

2. Prüfen Sie, ob die Zahl 1 die Wurzel des Polynoms ist.

Die Summe der Koeffizienten eines Polynoms, also die Zahl 1 ist die Wurzel des Polynoms.

3. Teilen Sie das ursprüngliche Polynom unter Verwendung des Horner-Schemas in ein Binomial.

A) Schreiben Sie die Koeffizienten des ursprünglichen Polynoms in die erste Zeile der Tabelle.

Da das enthaltende Element fehlt, schreiben wir in die Spalte der Tabelle, in die der Koeffizient von at geschrieben werden soll, 0. Links schreiben wir die gefundene Wurzel: die Zahl 1.

B) Füllen Sie die erste Zeile der Tabelle aus.

In der letzten Spalte haben wir wie erwartet Null bekommen, wir haben das ursprüngliche Polynom in ein Binom ohne Rest geteilt. Die Koeffizienten des aus der Division resultierenden Polynoms sind in der zweiten Zeile der Tabelle blau dargestellt:

Es ist leicht zu überprüfen, dass die Zahlen 1 und -1 keine Wurzeln des Polynoms sind

C) Setzen wir die Tabelle fort. Prüfen wir, ob die Zahl 2 die Wurzel des Polynoms ist:

Der Grad des Polynoms, das man als Ergebnis der Division durch eins erhält, ist also kleiner als der Grad des ursprünglichen Polynoms, daher sind die Anzahl der Koeffizienten und die Anzahl der Spalten um eins kleiner.

In der letzten Spalte haben wir -40 - eine Zahl ungleich Null erhalten, daher ist das Polynom durch ein Binom mit Rest teilbar, und die Zahl 2 ist nicht die Wurzel des Polynoms.

C) Lassen Sie uns prüfen, ob die Zahl -2 die Wurzel des Polynoms ist. Da der vorherige Versuch erfolglos war, damit es keine Verwechslung mit den Koeffizienten gibt, lösche ich die diesem Versuch entsprechende Zeile:

Großartig! Im Rest haben wir Null erhalten, daher wurde das Polynom in ein Binom ohne Rest geteilt, daher ist die Zahl -2 die Wurzel des Polynoms. Die Koeffizienten des Polynoms, das man durch Division des Polynoms durch das Binom erhält, sind in der Tabelle grün dargestellt.

Als Ergebnis der Division erhalten wir ein quadratisches Trinom , deren Wurzeln leicht durch den Satz von Vieta gefunden werden:

Also, die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung:

{}

Antworten: ( }

Die Seite "Professioneller Tutor in Mathematik" setzt die Reihe methodischer Artikel zum Thema Unterricht fort. Ich veröffentliche Beschreibungen der Methoden meiner Arbeit mit den komplexesten und problematischsten Themen des Schullehrplans. Dieses Material wird für Lehrer und Tutoren in Mathematik nützlich sein, die mit Schülern der Klassen 8-11 sowohl im regulären Programm als auch im Programm des Mathematikunterrichts arbeiten.

Ein Mathematiklehrer kann nicht immer Stoff erklären, der in einem Lehrbuch schlecht dargestellt ist. Leider gibt es immer mehr solche Themen, und Darstellungsfehler werden laut den Autoren der Handbücher massenhaft gemacht. Dies gilt nicht nur für Anfängertutoren in Mathematik und nebenberufliche Tutoren (Tutoren - Studenten und Hochschultutoren), sondern auch für erfahrene Lehrer, Tutoren - Berufstätige, Tutoren mit Erfahrung und Qualifikation. Bei weitem nicht alle Mathematiklehrer haben das Talent eines kompetenten Korrektors der Grobheit von Schulbüchern. Nicht jeder versteht auch, dass diese Korrekturen (oder Ergänzungen) notwendig sind. Nur wenige beschäftigen sich damit, das Material für die qualitative Wahrnehmung durch Kinder anzupassen. Leider ist die Zeit vorbei, in der Mathematiklehrer zusammen mit Methodologen und Autoren von Veröffentlichungen jeden Buchstaben des Lehrbuchs massiv diskutierten. In der Vergangenheit wurden, bevor ein Schulbuch in den Schulen eingeführt wurde, ernsthafte Analysen und Studien zu Lernergebnissen durchgeführt. Die Zeit ist reif für Dilettanten, die danach streben, Handbücher universell zu machen und sie den Standards starker mathematischer Klassen anzupassen.

Der Wettlauf um die Erhöhung der Informationsmenge führt nur zu einer Abnahme der Qualität ihrer Assimilation und folglich zu einer Abnahme des tatsächlichen Wissensstands in Mathematik. Aber darauf achtet niemand. Und unsere Kinder werden gezwungen, bereits in der 8. Klasse das zu lernen, was wir am Institut durchgemacht haben: Wahrscheinlichkeitstheorie, Lösen von Gleichungen höheren Grades und noch etwas. Die Anpassung des Stoffes in Büchern an die volle Wahrnehmung durch das Kind lässt zu wünschen übrig und der Mathelehrer ist gezwungen, damit irgendwie umzugehen.

Lassen Sie uns über die Methodik sprechen, um ein so spezifisches Thema wie "Teilen einer Ecke eines Polynoms durch ein Polynom", besser bekannt in der Erwachsenenmathematik als "Theorem von Bezout und Schema von Horner", zu unterrichten. Noch vor ein paar Jahren war die Frage für einen Mathe-Nachhilfelehrer nicht so akut, weil er nicht in den Lehrplan der Hauptschule aufgenommen wurde. Jetzt haben die angesehenen Autoren des von Telyakovsky herausgegebenen Lehrbuchs Änderungen an der neuesten Ausgabe des meiner Meinung nach besten Lehrbuchs vorgenommen und, nachdem sie es vollständig verdorben hatten, dem Tutor nur unnötige Sorgen bereitet. Lehrer von Schulen und Klassen, die nicht den Status von Mathematik haben und sich auf die Innovationen der Autoren konzentrierten, begannen, häufiger zusätzliche Absätze in ihren Unterricht aufzunehmen, und neugierige Kinder, die sich die schönen Seiten ihres Mathematiklehrbuchs ansahen, fragten zunehmend nach Tutor: „Was ist diese Teilung durch eine Ecke? Gehen wir das durch? Wie teilt man eine Ecke? Vor solch direkten Fragen kann man sich nicht verstecken. Der Erzieher muss dem Kind etwas sagen.

Und wie? Wahrscheinlich würde ich die Methode der Bearbeitung des Themas nicht beschreiben, wenn es in Lehrbüchern korrekt dargestellt wäre. Wie geht es weiter bei uns? Lehrbücher müssen gedruckt und verkauft werden. Und dafür müssen sie regelmäßig aktualisiert werden. Beschweren sich Hochschullehrer, dass Kinder mit leeren Köpfen, ohne Wissen und Können zu ihnen kommen? Wachsen die Anforderungen an mathematisches Wissen? Großartig! Lassen Sie uns einige der Übungen entfernen und stattdessen Themen einfügen, die in anderen Programmen behandelt werden. Warum ist unser Lehrbuch schlechter? Lassen Sie uns einige zusätzliche Kapitel hinzufügen. Schulkinder kennen die Eckregel nicht? Das ist elementare Mathematik. Wir sollten einen solchen Absatz optional machen und ihn mit „für diejenigen, die mehr wissen wollen“ überschreiben. Tutoren dagegen? Und was interessieren uns Tutoren im Allgemeinen? Methodisten und Schullehrer sind auch dagegen? Wir werden das Material nicht komplizieren und den einfachsten Teil davon betrachten.

Und hier fängt es an. Die Einfachheit des Themas und die Qualität seiner Assimilation liegt vor allem im Verständnis seiner Logik und nicht in der Tatsache, dass nach der Vorschrift der Autoren des Lehrbuchs eine bestimmte Reihe von Operationen ausgeführt werden muss nicht eindeutig miteinander verwandt sind. Andernfalls wird der Nebel im Kopf des Schülers bereitgestellt. Wenn die Autoren auf relativ starke Studierende setzen (aber nach dem regulären Studienplan studieren), dann sollten Sie das Thema nicht in Teamform einreichen. Was sehen wir im Lehrbuch? Kinder, es ist notwendig, nach dieser Regel zu teilen. Holen Sie sich das Polynom an der Ecke. Somit wird das ursprüngliche Polynom faktorisiert. Es ist jedoch nicht klar, warum die Terme unter der Ecke auf diese Weise gewählt werden, warum sie mit einem Polynom über der Ecke multipliziert und dann vom aktuellen Rest subtrahiert werden müssen - es ist nicht klar. Und vor allem ist nicht klar, warum die gewählten Monome am Ende hinzugefügt werden müssen und warum die resultierenden Klammern die Erweiterung des ursprünglichen Polynoms sind. Jeder kompetente Mathematiker wird die Erklärungen, die im Lehrbuch gegeben werden, mit einem dicken Fragezeichen versehen.

Ich mache Tutoren und Mathematiklehrer auf meine Lösung des Problems aufmerksam, die praktisch alles, was im Lehrbuch steht, für den Schüler offensichtlich macht. Tatsächlich werden wir den Satz von Bezout beweisen: Wenn die Zahl a die Wurzel eines Polynoms ist, dann kann dieses Polynom in Faktoren zerlegt werden, von denen einer x-a ist, und der zweite aus dem ursprünglichen auf eine von drei Arten erhalten wird: durch Extrahieren eines linearen Faktors durch Transformationen, Dividieren durch eine Ecke oder gemäß Horners Schema. Mit einer solchen Formulierung wird es einem Mathelehrer leichter fallen, zu arbeiten.

Was ist eine Unterrichtsmethodik? Zunächst einmal ist es eine klare Ordnung in der Abfolge von Erklärungen und Beispielen, auf deren Grundlage mathematische Schlussfolgerungen gezogen werden. Dieses Thema ist keine Ausnahme. Für einen Mathematiklehrer ist es sehr wichtig, das Kind in den Satz von Bezout einzuführen bevor die Eckenaufteilung durchgeführt wird. Es ist sehr wichtig! Am besten versteht man das anhand eines konkreten Beispiels. Nehmen wir ein Polynom mit einer gewählten Wurzel und zeigen die Technik seiner Faktorisierung mit der Methode der identischen Transformationen, die dem Schüler aus der 7. Klasse bekannt ist. Mit entsprechenden begleitenden Erklärungen, Akzenten und Tipps eines Mathe-Tutors ist es durchaus möglich, den Stoff ohne allgemeine mathematische Berechnungen, willkürliche Koeffizienten und Grade zu vermitteln.

Wichtige Tipps für Mathe-Lehrer- Befolgen Sie die Anweisungen von Anfang bis Ende und ändern Sie diese Reihenfolge nicht.

Nehmen wir also an, wir haben ein Polynom. Wenn wir statt x die Zahl 1 einsetzen, dann ist der Wert des Polynoms Null. Also ist x=1 seine Wurzel. Lassen Sie uns versuchen, in zwei Terme zu zerlegen, so dass einer von ihnen das Produkt eines linearen Ausdrucks und eines Monoms ist und der zweite einen Grad von eins weniger als hat. Das heißt, wir stellen es in der Form dar

Wir wählen das Monom für das rote Feld so, dass es bei der Multiplikation mit dem führenden Term vollständig mit dem führenden Term des ursprünglichen Polynoms übereinstimmt. Wenn der Schüler nicht der Schwächste ist, dann wird er durchaus imstande sein, dem Tutor in Mathematik den gewünschten Ausdruck zu geben:. Der Tutor sollte sofort gebeten werden, es in die rote Box zu stecken und zu zeigen, was passiert, wenn sie geöffnet werden. Am besten signieren Sie dieses virtuelle temporäre Polynom unter den Pfeilen (unter dem Foto) und heben es mit etwas Farbe hervor, zum Beispiel blau. Dies hilft Ihnen bei der Auswahl des Summands für das rote Feld, das als Residuum der Auswahl bezeichnet wird. Ich würde Tutoren raten, hier darauf hinzuweisen, dass dieser Rest durch Subtraktion gefunden werden kann. Wenn wir diese Operation ausführen, erhalten wir:

Ein Mathematiklehrer sollte den Schüler darauf aufmerksam machen, dass wir durch Ersetzen einer Einheit in dieser Gleichheit auf der linken Seite garantiert Null erhalten (da 1 die Wurzel des ursprünglichen Polynoms ist), und auf der rechten Seite natürlich wir setzt auch den ersten Term auf Null. Ohne jegliche Überprüfung können wir also sagen, dass die Einheit die Wurzel des "grünen Rückstands" ist.

Gehen wir damit genauso um wie mit dem ursprünglichen Polynom und extrahieren daraus den gleichen linearen Faktor . Der Mathe-Tutor zeichnet zwei Kästchen vor den Schüler und bittet ihn, diese von links nach rechts auszufüllen.

Der Student wählt für den Tutor das Monom für das rote Feld so aus, dass es, wenn es mit dem höchsten Term des linearen Ausdrucks multipliziert wird, den höchsten Term des erweiterten Polynoms ergibt. Wir geben es in den Rahmen ein, öffnen sofort die Klammer und markieren blau den Ausdruck, der vom erweiterten subtrahiert werden muss. Wenn wir diese Operation durchführen, erhalten wir

Und schließlich das gleiche mit dem letzten Rest

endlich bekommen

Jetzt nehmen wir den Ausdruck aus der Klammer und stellen uns der Zerlegung des ursprünglichen Polynoms in Faktoren, von denen einer „x minus der gewählten Wurzel“ ist.

Damit der Schüler nicht denkt, dass das letzte „grüne Residuum“ zufällig in die notwendigen Faktoren zerlegt wird, muss der Mathe-Tutor auf eine wichtige Eigenschaft aller grünen Residuen hinweisen – jedes von ihnen hat eine Wurzel 1. Da die Grade dieser Residuen abnehmen, dann wird uns, egal welchen Anfangsgrad uns kein Polynom gegeben wurde, früher oder später ein lineares "grünes Residuum" mit einer Wurzel von 1 erhalten, und daher muss es in das Produkt einer bestimmten Zahl und zerlegt werden Ein Ausdruck.

Nach einer solchen Vorarbeit wird es einem Mathe-Nachhilfelehrer nicht schwer fallen, dem Schüler zu erklären, was beim Teilen einer Ecke passiert. Dies ist der gleiche Vorgang, nur in kürzerer und kompakterer Form, ohne Gleichheitszeichen und ohne Umschreiben der gleichen ausgewählten Begriffe. Wir schreiben das Polynom, aus dem der lineare Multiplikator extrahiert wird, links von der Ecke, sammeln die ausgewählten roten Monome in einem Winkel (jetzt wird klar, warum sie sich addieren sollten), um die „blauen Polynome“ zu erhalten, müssen Sie multiplizieren das „Rot“ durch x-1, und dann von der aktuellen Auswahl subtrahieren, wie es bei der üblichen Zahlenteilung in einer Spalte gemacht wird (hier ist es eine Analogie zu der zuvor untersuchten). Die resultierenden "grünen Reste" werden einer neuen Selektion und Selektion von "roten Monomen" unterzogen. Und so weiter, bis kein "grüner Rückstand" erhalten wird. Das Wichtigste ist, dass dem Schüler das weitere Schicksal der geschriebenen Polynome über und unter der Ecke klar wird. Offensichtlich sind dies Klammern, deren Produkt gleich dem ursprünglichen Polynom ist.

Die nächste Stufe in der Arbeit eines Tutors in Mathematik ist die Formulierung des Satzes von Bezout. Tatsächlich wird seine Formulierung mit diesem Ansatz des Tutors offensichtlich: Wenn die Zahl a die Wurzel des Polynoms ist, kann sie in Faktoren zerlegt werden, von denen einer und der andere aus dem ursprünglichen in einem von drei erhalten wird Wege:

• direkte Zerlegung (analog zur Gruppierungsmethode)
• Teilen durch eine Ecke (in einer Spalte)
• über Horners Schema

Ich muss sagen, dass längst nicht alle Mathe-Tutoren den Schülern das Horner-Schema zeigen, und nicht alle Schullehrer (zum Glück für die Tutoren selbst) gehen im Unterricht so tief in das Thema ein. Für einen Matheschüler sehe ich jedoch keinen Grund, bei der langen Division aufzuhören. Darüber hinaus ist die bequemste und schnell Die Zerlegungstechnik basiert genau auf dem Schema von Horner. Um dem Kind zu erklären, woher es kommt, genügt es, das Auftreten höherer Koeffizienten in grünen Resten am Beispiel der Division durch eine Ecke nachzuzeichnen. Es wird deutlich, dass der höchste Koeffizient des Anfangspolynoms in den Koeffizienten des ersten „roten Monoms“ zerlegt wird, und weiter in den zweiten Koeffizienten des aktuellen oberen Polynoms abgezogen das Ergebnis der Multiplikation des aktuellen "roten Monom"-Koeffizienten mit . Daher können Sie hinzufügen das Ergebnis der Multiplikation mit . Nachdem die Aufmerksamkeit des Schülers auf die Besonderheiten von Aktionen mit Koeffizienten gelenkt wurde, kann ein Mathematiklehrer zeigen, wie diese Aktionen normalerweise ausgeführt werden, ohne die Variablen selbst aufzuschreiben. Dazu ist es zweckmäßig, die Wurzel und die Koeffizienten des ursprünglichen Polynoms in der Reihenfolge ihrer Rangfolge in die folgende Tabelle einzutragen:

Wenn im Polynom irgendein Grad fehlt, dann wird sein Nullkoeffizient zwangsweise in die Tabelle eingetragen. Die Koeffizienten der „roten Polynome“ werden nach der „Hook“-Regel abwechselnd in die untere Zeile eingetragen:

Die Wurzel wird mit dem zuletzt abgerissenen „roten Koeffizienten“ multipliziert, zum nächsten Koeffizienten der obersten Zeile addiert und das Ergebnis in die unterste Zeile abgezogen. In der letzten Spalte erhalten wir garantiert den höchsten Koeffizienten der letzten „grünen Bilanz“, also Null. Nachdem der Vorgang abgeschlossen ist, werden die Zahlen zwischen einer übereinstimmenden Wurzel und einem Nullrest eingeklemmt erweisen sich als die Koeffizienten des zweiten (nichtlinearen) Faktors.

Da die Wurzel a am Ende der untersten Zeile Null ergibt, kann das Horner-Schema verwendet werden, um Zahlen auf den Rang der Wurzel eines Polynoms zu überprüfen. Wenn ein spezieller Satz über die Auswahl einer rationalen Wurzel. Alle mit seiner Hilfe gewonnenen Kandidaten für diesen Titel werden einfach der Reihe nach von links in Horners Schema eingefügt. Sobald wir Null erhalten, ist die getestete Zahl die Wurzel, und gleichzeitig erhalten wir die Koeffizienten der Erweiterung des ursprünglichen Polynoms in Faktoren. Sehr bequem.

Abschließend möchte ich anmerken, dass sowohl für die zielgenaue Einführung des Horner-Schemas als auch für die praktische Vertiefung des Themas ein Mathe-Nachhilfelehrer über eine ausreichende Stundenzahl verfügen muss. Ein Tutor, der mit dem Modus „einmal pro Woche“ arbeitet, sollte nicht damit beschäftigt sein, eine Ecke zu teilen. Beim Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik und beim GIA in Mathematik wird es im ersten Teil wohl nie eine so gelöste Gleichung dritten Grades geben. Wenn ein Tutor ein Kind auf eine Prüfung in Mathematik an der Moskauer Staatlichen Universität vorbereitet, wird das Studium des Themas obligatorisch. Hochschullehrer prüfen im Gegensatz zu den Erstellern des Einheitlichen Staatsexamens sehr gerne die Wissenstiefe des Bewerbers.

Kolpakov Alexander Nikolaevich, Mathematiklehrer Moskau, Strogino

Lernziele:

• den Schülern beibringen, Gleichungen höheren Grades unter Verwendung des Horner-Schemas zu lösen;
• die Fähigkeit entwickeln, in Paaren zu arbeiten;
• zusammen mit den Hauptabschnitten des Studiums eine Grundlage für die Entwicklung der Fähigkeiten der Studierenden zu schaffen;
• Helfen Sie dem Schüler, sein Potenzial einzuschätzen, Interesse an Mathematik zu entwickeln, die Fähigkeit zu denken und über das Thema zu sprechen.

Ausrüstung: Karten für die Gruppenarbeit, ein Plakat mit Horners Schema.

Lehrmethode: Vortrag, Geschichte, Erklärung, Durchführung von Trainingsübungen.

Form der Kontrolle:Überprüfung von Problemen der unabhängigen Lösung, unabhängige Arbeit.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment

2. Aktualisierung des Wissens der Schüler

Mit welchem ​​Satz können Sie bestimmen, ob die Zahl die Wurzel einer gegebenen Gleichung ist (um einen Satz zu formulieren)?

Satz von Bezout. Der Rest der Division des Polynoms P(x) durch das Binom x-c ist gleich P(c), die Zahl c heißt Wurzel des Polynoms P(x), wenn P(c)=0. Der Satz ermöglicht es, ohne die Divisionsoperation durchzuführen, zu bestimmen, ob eine gegebene Zahl eine Wurzel eines Polynoms ist.

Welche Aussagen erleichtern die Suche nach Wurzeln?

a) Wenn der führende Koeffizient des Polynoms gleich Eins ist, dann sollten die Wurzeln des Polynoms unter den Teilern des freien Terms gesucht werden.

b) Wenn die Summe der Koeffizienten eines Polynoms 0 ist, dann ist eine der Wurzeln 1.

c) Wenn die Summe der Koeffizienten an geraden Stellen gleich der Summe der Koeffizienten an ungeraden Stellen ist, dann ist eine der Wurzeln gleich -1.

d) Wenn alle Koeffizienten positiv sind, dann sind die Wurzeln des Polynoms negative Zahlen.

e) Ein Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle.

3. Neues Material lernen

Beim Lösen ganzer algebraischer Gleichungen muss man die Werte der Wurzeln von Polynomen finden. Diese Operation kann stark vereinfacht werden, wenn Berechnungen nach einem speziellen Algorithmus namens Horner-Schema durchgeführt werden. Dieses Schema ist nach dem englischen Wissenschaftler William George Horner benannt. Das Schema von Horner ist ein Algorithmus zum Berechnen des Quotienten und des Rests der Division eines Polynoms P(x) durch x-c. Kurz, wie es funktioniert.

Gegeben sei ein beliebiges Polynom P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. Die Division dieses Polynoms durch x-c ist seine Darstellung in der Form P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Privat g (x) \u003d bei 0 x n-1 + bei n x n-2 + ... + bei n-2 x + bei n-1, wobei bei 0 \u003d eine 0, bei n \u003d sv n- 1 + ein n , n=1,2,3,…n-1. Rest r (x) \u003d St n-1 + a n. Diese Berechnungsmethode wird als Horner-Schema bezeichnet. Das Wort "Schema" im Namen des Algorithmus ist darauf zurückzuführen, dass seine Ausführung normalerweise wie folgt formalisiert wird. Erste Ziehungstabelle 2(n+2). Die Zahl c wird in die untere linke Zelle geschrieben, und die Koeffizienten des Polynoms P (x) werden in die obere Zeile geschrieben. In diesem Fall bleibt die obere linke Zelle leer.

	bei 0 = eine 0	in 1 \u003d sv 1 + a 1	in 2 \u003d sv 1 + A 2		in n-1 \u003d sv n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=sv n-1 +a n

Die Zahl, die sich nach der Ausführung des Algorithmus als in die untere rechte Zelle geschrieben herausstellt, ist der Rest der Division des Polynoms P(x) durch x-c. Die anderen Zahlen bei 0 , bei 1 , bei 2 , … der unteren Reihe sind die Koeffizienten des Quotienten.

Zum Beispiel: Teilen Sie das Polynom P (x) \u003d x 3 -2x + 3 durch x-2.

Wir bekommen das x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Konsolidierung des studierten Materials

Beispiel 1: Faktorisiere das Polynom P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 mit ganzzahligen Koeffizienten.

Wir suchen nach ganzzahligen Wurzeln unter den Teilern des freien Terms -1: 1; -1. Machen wir eine Tabelle:

X \u003d -1 - Wurzel

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Lassen Sie uns 1/2 überprüfen.

					X=1/2 - Wurzel

Daher kann das Polynom P(x) dargestellt werden als

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Beispiel 2: Löse die Gleichung 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Da die Summe der Koeffizienten des auf der linken Seite der Gleichung geschriebenen Polynoms gleich Null ist, ist eine der Wurzeln 1. Verwenden wir das Schema von Horner:

						X=1 - Wurzel

Wir erhalten P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). Wir suchen nach Wurzeln unter den Teilern des freien Terms 2.

Wir haben festgestellt, dass es keine ganzen Wurzeln mehr gibt. Lassen Sie uns 1/2 überprüfen; -1/2.

					X \u003d -1/2 - Wurzel

Antwort 1; -1/2.

Beispiel 3: Löse die Gleichung 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

Wir suchen die Wurzeln dieser Gleichung unter den Teilern des freien Terms 5: 1; -1; 5; -5. x=1 ist die Wurzel der Gleichung, da die Summe der Koeffizienten Null ist. Verwenden wir Horners Schema:

Wir stellen die Gleichung als Produkt von drei Faktoren dar: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Beim Lösen der quadratischen Gleichung 5x 2 -7x+5=0 erhalten wir D=49-100=-51, es gibt keine Wurzeln.

Karte 1

1. Faktorisiere das Polynom: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Löse die Gleichung: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Karte 2

1. Faktorisiere das Polynom: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Löse die Gleichung: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Karte 3

1. Faktorisieren: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Löse die Gleichung: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Karte 4

1. Faktorisieren: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Löse die Gleichung: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Zusammenfassung

Das Testen des Wissens beim Lösen in Paaren erfolgt im Unterricht durch Erkennen der Handlungsmethode und des Namens der Antwort.

Hausaufgaben:

Lösen Sie die Gleichungen:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

d) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

Literatur

1. N. Ya. Vilenkin et al., Algebra and the Beginnings of Analysis 10. Klasse (Vertiefung der Mathematik): Enlightenment, 2005.
2. Benutzeroberfläche Sacharchuk, L.S. Sagatelova, Lösung von Gleichungen höheren Grades: Wolgograd, 2007.
3. S.B. GashkovZahlensysteme und ihre Anwendung.

Usw. ist allgemeiner Natur und sehr wichtig den GESAMTEN Studiengang der Höheren Mathematik zu studieren. Heute werden wir die „Schul“-Gleichungen wiederholen, aber nicht nur die „Schul“-Gleichungen – sondern jene, die überall in verschiedenen Aufgaben des Vyshmat zu finden sind. Wie üblich wird die Geschichte angewandt verlaufen, d.h. Ich werde mich nicht auf Definitionen und Klassifizierungen konzentrieren, sondern meine persönlichen Lösungserfahrungen mit Ihnen teilen. Die Informationen richten sich in erster Linie an Einsteiger, aber auch Fortgeschrittene finden viele interessante Punkte für sich. Und natürlich wird es neuen Stoff geben, der über die High School hinausgeht.

Also die Gleichung... Viele Menschen erinnern sich mit Schaudern an dieses Wort. Was sind die "schicken" Gleichungen mit Wurzeln... ...vergiss sie! Denn weiter treffen Sie auf die harmlosesten „Vertreter“ dieser Art. Oder langweilige trigonometrische Gleichungen mit Dutzenden von Lösungsmethoden. Ehrlich gesagt mochte ich sie auch nicht wirklich... Keine Panik! - dann erwartet Sie hauptsächlich "Löwenzahn" mit einer naheliegenden Lösung in 1-2 Schritten. Obwohl die "Klette" natürlich anhaftet - hier müssen Sie objektiv sein.

Seltsamerweise ist es in der höheren Mathematik viel üblicher, mit sehr primitiven Gleichungen wie z linear Gleichungen.

Was bedeutet es, diese Gleichung zu lösen? Das bedeutet - SOLCHEN Wert von "x" (Wurzel) zu finden, der ihn in eine echte Gleichheit verwandelt. Drehen wir die „Troika“ mit einem Vorzeichenwechsel nach rechts:

und lassen Sie die "Zwei" auf der rechten Seite fallen (oder dasselbe - beide Teile multiplizieren mit) :

Zur Überprüfung setzen wir die gewonnene Trophäe in die ursprüngliche Gleichung ein:

Die korrekte Gleichheit wird erhalten, was bedeutet, dass der gefundene Wert tatsächlich die Wurzel dieser Gleichung ist. Oder, wie sie sagen, erfüllt diese Gleichung.

Beachten Sie, dass die Wurzel auch als Dezimalbruch geschrieben werden kann:
Und versuchen Sie, nicht bei diesem fiesen Stil zu bleiben! Ich wiederholte den Grund viele Male, insbesondere ab der allerersten Stunde Höhere Algebra.

Die Gleichung lässt sich übrigens auch „auf Arabisch“ lösen:

Und was am interessantesten ist – diese Platte ist völlig legal! Aber wenn Sie kein Lehrer sind, dann sollten Sie das besser nicht tun, denn Originalität ist hier strafbar =)

Und jetzt ein wenig darüber

grafische Lösungsmethode

Die Gleichung hat die Form und ihre Wurzel ist "x"-Koordinate Schnittpunkte Linearer Funktionsgraph mit linearem Funktionsgraph (Abszissenachse):

Es scheint, dass das Beispiel so elementar ist, dass es hier nichts mehr zu analysieren gibt, aber eine weitere unerwartete Nuance kann daraus „herausgequetscht“ werden: Wir stellen dieselbe Gleichung in der Form dar und zeichnen die Funktionsgraphen:

Dabei, Bitte verwechseln Sie die beiden nicht: eine Gleichung ist eine Gleichung, und Funktion ist eine Funktion! Funktionen nur helfen Finden Sie die Wurzeln der Gleichung. Davon kann es zwei, drei, vier und sogar unendlich viele geben. Das nächste Beispiel in diesem Sinne ist jeder kennt quadratische Gleichung, dessen Lösungsalgorithmus mit einem eigenen Punkt ausgezeichnet wurde "heiße" Schulformeln. Und das ist kein Zufall! Wenn Sie eine quadratische Gleichung lösen können und wissen der Satz des Pythagoras, dann könnte man sagen „das Parkett der höheren Mathematik steckt schon in der Tasche“ =) Übertrieben natürlich, aber gar nicht so weit von der Wahrheit entfernt!

Und deshalb sind wir nicht zu faul und lösen irgendeine quadratische Gleichung nach Standardalgorithmus:

, also hat die Gleichung zwei verschiedene gültig Wurzel:

Es ist leicht zu überprüfen, dass beide gefundenen Werte diese Gleichung wirklich erfüllen:

Was tun, wenn Sie den Lösungsalgorithmus plötzlich vergessen haben und keine Tools / helfenden Hände zur Hand sind? Eine solche Situation kann beispielsweise in einem Test oder einer Prüfung auftreten. Wir verwenden die grafische Methode! Und es gibt zwei Möglichkeiten: Sie können punktweise bauen Parabel , wodurch er herausfindet, wo er die Achse schneidet (wenn es überhaupt kreuzt). Aber es ist besser, schlauer zu handeln: Wir stellen die Gleichung in der Form dar, zeichnen Graphen einfacherer Funktionen - und "x"-Koordinaten ihre Schnittpunkte auf einen Blick!


Wenn sich herausstellt, dass die Linie die Parabel berührt, dann hat die Gleichung zwei übereinstimmende (mehrere) Wurzeln. Wenn sich herausstellt, dass die Linie die Parabel nicht schneidet, dann gibt es keine wirklichen Wurzeln.

Dazu muss man natürlich bauen können Graphen elementarer Funktionen, aber auf der anderen Seite stehen diese Fähigkeiten sogar einem Schuljungen zur Verfügung.

Und noch einmal - eine Gleichung ist eine Gleichung, und Funktionen sind Funktionen, die hat nur geholfen löse die Gleichung!

Und hier wäre es übrigens angebracht, sich noch an eine Sache zu erinnern: Wenn alle Koeffizienten der Gleichung mit einer Zahl ungleich Null multipliziert werden, ändern sich ihre Wurzeln nicht.

Also zum Beispiel die Gleichung hat die gleichen Wurzeln. Als einfachsten „Beweis“ nehme ich die Konstante aus der Klammer:
und schmerzlos entfernen (Ich werde beide Teile in „minus zwei“ teilen):

ABER! Betrachten wir die Funktion , dann ist es hier schon unmöglich, die Konstante loszuwerden! Es ist nur möglich, den Multiplikator aus Klammern herauszunehmen: .

Viele unterschätzen die grafische Lösungsmethode als etwas „Würdiges“, manche vergessen diese Möglichkeit sogar ganz. Und das ist grundsätzlich falsch, denn Plotten rettet manchmal einfach den Tag!

Ein weiteres Beispiel: Angenommen, Sie erinnern sich nicht an die Wurzeln der einfachsten trigonometrischen Gleichung:. Die allgemeine Formel steht in Schulbüchern, in allen Nachschlagewerken der Elementarmathematik, steht Ihnen aber nicht zur Verfügung. Entscheidend ist jedoch das Lösen der Gleichung (sonst „zwei“). Es gibt einen Ausgang! - Wir bauen Graphen von Funktionen:


Danach schreiben wir ruhig die "x" -Koordinaten ihrer Schnittpunkte auf:

Es gibt unendlich viele Wurzeln, und ihre gefaltete Notation wird in der Algebra akzeptiert:
, Wo ( – Menge von ganzen Zahlen) .

Und, ohne „die Kasse zu verlassen“, ein paar Worte zur grafischen Methode zur Lösung von Ungleichungen mit einer Variablen. Das Prinzip ist das gleiche. So ist zum Beispiel jedes „x“ die Lösung der Ungleichung, weil Die Sinuskurve liegt fast vollständig unter der Geraden. Die Lösung der Ungleichung ist die Menge der Intervalle, in denen die Stücke der Sinuskurve genau über der Geraden liegen (Abszisse):

oder kurz:

Und hier ist die Menge der Lösungen für die Ungleichung - leer, da kein Punkt der Sinuskurve über der Geraden liegt.

Irgendwas nicht klar? Studieren Sie dringend die Lektionen über setzt Und Funktionsgraphen!

Sich warm laufen:

Übung 1

Lösen Sie grafisch die folgenden trigonometrischen Gleichungen:

Antworten am Ende der Lektion

Wie Sie sehen, ist es zum Studium der exakten Wissenschaften überhaupt nicht notwendig, Formeln und Nachschlagewerke zu büffeln! Darüber hinaus ist dies ein grundlegend bösartiger Ansatz.

Wie ich Ihnen bereits ganz am Anfang der Lektion versichert habe, müssen komplexe trigonometrische Gleichungen im Standardkurs der höheren Mathematik äußerst selten gelöst werden. Alle Komplexität endet in der Regel mit Gleichungen wie , deren Lösung zwei Gruppen von Wurzeln sind, die aus den einfachsten Gleichungen und abgeleitet sind . Machen Sie sich nicht zu viele Gedanken über die Lösung des letzteren - schauen Sie in ein Buch oder finden Sie es im Internet =)

Auch in weniger trivialen Fällen kann die grafische Lösungsmethode Abhilfe schaffen. Betrachten Sie zum Beispiel die folgende "bunte" Gleichung:

Die Aussichten für seine Lösung sehen ... sie sehen gar nicht aus, sondern man muss die Gleichung nur in der Form darstellen, konstruieren Funktionsgraphen und alles wird unglaublich einfach sein. Die Zeichnung befindet sich in der Mitte des Artikels etwa infinitesimale Funktionen (öffnet im nächsten Tab).

Mit der gleichen grafischen Methode können Sie herausfinden, dass die Gleichung bereits zwei Wurzeln hat und eine davon gleich Null ist und die andere anscheinend irrational und gehört zum Segment . Diese Wurzel kann näherungsweise berechnet werden, z. B. Tangentenmethode. Übrigens kommt es bei einigen Aufgaben vor, dass nicht die Wurzeln gefunden, sondern herausgefunden werden müssen gibt es sie überhaupt. Und auch hier kann eine Zeichnung helfen – wenn sich die Graphen nicht schneiden, dann gibt es keine Wurzeln.

Rationale Wurzeln von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten.
Horners Schema

Und jetzt schlage ich vor, dass Sie sich dem Mittelalter zuwenden und die einzigartige Atmosphäre der klassischen Algebra spüren. Zum besseren Verständnis des Stoffes empfehle ich zumindest eine kleine Einarbeitung komplexe Zahlen.

Sie sind die meisten. Polynome.

Das Objekt unseres Interesses werden die häufigsten Polynome der Form mit sein ganz Koeffizienten . Die natürliche Zahl wird aufgerufen Polynomgrad, Anzahl - Koeffizient auf höchstem Niveau (oder nur der höchste Koeffizient), und der Koeffizient ist Freies Mitglied.

Ich bezeichne dieses gefaltete Polynom mit .

Polynomiale Wurzeln werden die Wurzeln der Gleichung genannt

Ich liebe eiserne Logik =)

Zum Beispiel gehen wir zum Anfang des Artikels:

Es ist kein Problem, die Wurzeln von Polynomen 1. und 2. Grades zu finden, aber je mehr Sie sich steigern, desto schwieriger wird diese Aufgabe. Aber auf der anderen Seite ist alles interessanter! Und genau dem widmet sich der zweite Teil der Lektion.

Zuerst buchstäblich ein halber Bildschirm Theorie:

1) Nach dem Korollar Fundamentalsatz der Algebra, hat das Gradpolynom genau integriert Wurzeln. Einige Wurzeln (oder sogar alle) können besonders sein gültig. Außerdem kann es unter den realen Wurzeln identische (mehrere) Wurzeln geben (mindestens zwei, maximal Stück).

Wenn eine komplexe Zahl eine Wurzel eines Polynoms ist, dann konjugieren seine Zahl ist auch notwendigerweise die Wurzel dieses Polynoms (konjugierte komplexe Wurzeln haben die Form ).

Das einfachste Beispiel ist die quadratische Gleichung, der erstmals in 8 begegnet wurde (wie) Klasse, und die wir schließlich im Thema „abgeschlossen“ haben komplexe Zahlen. Ich erinnere Sie daran: Eine quadratische Gleichung hat entweder zwei verschiedene reelle Wurzeln oder mehrere Wurzeln oder konjugierte komplexe Wurzeln.

2) Von Bezouts Theoreme Daraus folgt, dass, wenn die Zahl die Wurzel der Gleichung ist, das entsprechende Polynom faktorisiert werden kann:
, wobei ein Polynom des Grades ist.

Und wieder unser altes Beispiel: Da ist die Wurzel der Gleichung , dann . Danach ist es einfach, die bekannte „Schul“-Zerlegung zu erhalten.

Die Konsequenz aus dem Satz von Bezout ist von großem praktischem Wert: Wenn wir die Wurzel der Gleichung 3. Grades kennen, dann können wir sie in der Form darstellen und aus der quadratischen Gleichung ist es einfach, die verbleibenden Wurzeln herauszufinden. Wenn wir die Wurzel der Gleichung 4. Grades kennen, dann ist es möglich, die linke Seite zu einem Produkt zu erweitern usw.

Und hier stellen sich zwei Fragen:

Frage eins. Wie finde ich diese Wurzel? Lassen Sie uns zunächst seine Natur definieren: In vielen Problemen der höheren Mathematik muss es gefunden werden rational, insbesondere ganz die Wurzeln von Polynomen, und in dieser Hinsicht werden wir uns weiterhin hauptsächlich für sie interessieren .... …sie sind so gut, so flauschig, dass man sie nur finden möchte! =)

Das erste, was sich anbietet, ist die Auswahlmethode. Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung . Der Haken liegt hier im freien Begriff - wenn er gleich Null wäre, wäre alles durchbrochen - wir setzen das "x" aus Klammern und die Wurzeln selbst "fallen" an die Oberfläche:

Aber unser freier Term ist gleich der „Drei“, und deshalb fangen wir an, verschiedene Zahlen in die Gleichung einzusetzen, die behaupten, „Wurzel“ genannt zu werden. Zunächst einmal bietet sich die Substitution von Einzelwerten an. Ersatz :

Erhalten falsch Gleichheit, also passte die Einheit nicht. Okay, setzen wir es ein:

Erhalten richtig Gleichwertigkeit! Das heißt, der Wert ist die Wurzel dieser Gleichung.

Um die Wurzeln eines Polynoms 3. Grades zu finden, gibt es eine analytische Methode (die sogenannten Cardano-Formeln), aber jetzt interessiert uns ein etwas anderes Problem.

Da - die Wurzel unseres Polynoms ist, kann das Polynom in der Form dargestellt werden und entsteht Zweite Frage: Wie finde ich den "jüngeren Bruder"?

Die einfachsten algebraischen Überlegungen legen nahe, dass Sie dafür dividieren müssen. Wie teilt man ein Polynom durch ein Polynom? Die gleiche Schulmethode, die gewöhnliche Zahlen teilt - eine "Spalte"! Ich habe diese Methode in den ersten Beispielen der Lektion ausführlich besprochen. Komplexe Grenzen, und jetzt betrachten wir eine andere Methode, die aufgerufen wird Horners Schema.

Zuerst schreiben wir das "ältere" Polynom mit allen , einschließlich Nullkoeffizienten:
, danach tragen wir diese Koeffizienten (streng der Reihe nach) in die oberste Zeile der Tabelle ein:

Links schreiben wir die Wurzel:

Ich werde sofort reservieren, dass Horners Schema auch bei der „roten“ Nummer funktioniert Nicht ist die Wurzel des Polynoms. Lassen Sie uns jedoch nichts überstürzen.

Wir nehmen den Senior-Koeffizienten von oben:

Der Vorgang des Ausfüllens der unteren Näpfchen erinnert ein wenig an Sticken, wo „minus eins“ eine Art „Nadel“ ist, die die weiteren Schritte durchdringt. Wir multiplizieren die "abgerissene" Zahl mit (-1) und addieren die Zahl aus der obersten Zelle zum Produkt:

Wir multiplizieren den gefundenen Wert mit der „roten Nadel“ und addieren den folgenden Gleichungskoeffizienten zum Produkt:

Und schließlich wird der resultierende Wert noch einmal mit einer „Nadel“ und einem oberen Koeffizienten „verarbeitet“:

Null in der letzten Zelle sagt uns, dass sich das Polynom geteilt hat ohne jede Spur (so wie es sein sollte), während die Ausdehnungskoeffizienten direkt aus der untersten Zeile der Tabelle "entfernt" werden:

Wir sind also von der Gleichung zu einer äquivalenten Gleichung übergegangen, und mit den beiden verbleibenden Wurzeln ist alles klar (V dieser Fall konjugierte komplexe Wurzeln werden erhalten).

Gleichung lässt sich übrigens auch grafisch lösen: build "Reißverschluss" und sehen Sie, dass der Graph die x-Achse schneidet () am Punkt . Oder der gleiche "listige" Trick - wir schreiben die Gleichung in der Form um , zeichnen elementare Graphen und ermitteln die "x" -Koordinate ihres Schnittpunkts.

Übrigens schneidet der Graph jeder Polynomfunktion 3. Grades die Achse mindestens einmal, was bedeutet, dass die entsprechende Gleichung hat wenigstens eins gültig Wurzel. Diese Tatsache gilt für alle Polynomfunktionen ungeraden Grades.

Und hier möchte ich auch anhalten wichtiger Punkt zur Terminologie: Polynom Und Polynomfunktion – es ist nicht das gleiche! Aber in der Praxis spricht man zum Beispiel oft vom „Polynomgraphen“, was natürlich fahrlässig ist.

Aber zurück zu Horners Schema. Wie ich kürzlich erwähnt habe, funktioniert dieses Schema auch für andere Nummern, aber wenn die Nummer Nicht die Wurzel der Gleichung ist, dann erscheint in unserer Formel ein Additiv ungleich Null (Rest):

Lassen Sie uns den Wert "nicht erfolgreich" nach Horners Schema "fahren". Gleichzeitig ist es bequem, dieselbe Tabelle zu verwenden - wir schreiben links eine neue „Nadel“ auf, wir reißen den höchsten Koeffizienten von oben ab (linker grüner Pfeil), Und weg gehen wir:

Zur Überprüfung öffnen wir die Klammern und geben ähnliche Begriffe ein:
, OK.

Es ist leicht zu sehen, dass der Rest („sechs“) genau den Wert des Polynoms bei hat. Und tatsächlich - was ist das:
, und noch schöner - so:

Aus den obigen Berechnungen ist leicht zu verstehen, dass Horners Schema nicht nur die Faktorisierung des Polynoms, sondern auch die Durchführung einer "zivilisierten" Auswahl der Wurzel ermöglicht. Ich schlage vor, dass Sie den Berechnungsalgorithmus mit einer kleinen Aufgabe selbstständig reparieren:

Aufgabe 2

Finden Sie unter Verwendung des Horner-Schemas die gesamte Wurzel der Gleichung und faktorisieren Sie das entsprechende Polynom

Mit anderen Worten, hier müssen Sie nacheinander die Zahlen 1, -1, 2, -2, ... überprüfen, bis in der letzten Spalte ein Nullrest „gezeichnet“ wird. Dies bedeutet, dass die "Nadel" dieser Linie die Wurzel des Polynoms ist

Berechnungen werden bequem in einer einzigen Tabelle angeordnet. Ausführliche Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Das Verfahren zum Auswählen von Wurzeln ist für relativ einfache Fälle gut, aber wenn die Koeffizienten und / oder der Grad des Polynoms groß sind, kann sich der Prozess verzögern. Oder vielleicht einige Werte aus derselben Liste 1, -1, 2, -2 und es macht keinen Sinn, sie zu berücksichtigen? Außerdem können sich die Wurzeln als bruchstückhaft herausstellen, was zu einem völlig unwissenschaftlichen Stich führen wird.

Glücklicherweise gibt es zwei mächtige Theoreme, die die Aufzählung von „Kandidaten“-Werten für rationale Wurzeln erheblich reduzieren können:

Satz 1 In Betracht ziehen irreduzibel Bruchteil , wo . Wenn die Zahl die Wurzel der Gleichung ist, dann ist der freie Term teilbar durch und der führende Koeffizient ist teilbar durch.

Insbesondere, wenn der führende Koeffizient ist, dann ist diese rationale Wurzel ganzzahlig:

Und wir beginnen, das Theorem gerade von diesem schmackhaften Detail aus zu nutzen:

Gehen wir zurück zur Gleichung. Da sein führender Koeffizient ist, können die hypothetischen rationalen Wurzeln ausschließlich ganzzahlig sein, und der freie Term muss zwangsläufig ohne Rest durch diese Wurzeln geteilt werden. Und die "Drei" kann nur in 1, -1, 3 und -3 geteilt werden. Das heißt, wir haben nur 4 "Kandidaten für die Wurzeln". Und gem Satz 1, andere rationale Zahlen können GRUNDSÄTZLICH keine Wurzeln dieser Gleichung sein.

Es kommen noch etwas mehr „Bewerber“ in die Gleichung: Der freie Begriff teilt sich auf in 1, -1, 2, -2, 4 und -4.

Bitte beachten Sie, dass die Zahlen 1, -1 "Stammgäste" der Liste möglicher Wurzeln sind (eine offensichtliche Folge des Satzes) und die beste Wahl für die erste Inspektion.

Kommen wir zu aussagekräftigeren Beispielen:

Aufgabe 3

Lösung: da der führende Koeffizient , dann können die hypothetischen rationalen Wurzeln nur ganze Zahlen sein, während sie notwendigerweise Teiler des freien Terms sein müssen. „Minus vierzig“ wird in folgende Zahlenpaare unterteilt:
- insgesamt 16 "Kandidaten".

Und hier taucht sofort ein verlockender Gedanke auf: Ist es möglich, alle negativen oder alle positiven Wurzeln auszusortieren? In einigen Fällen können Sie! Ich werde zwei Zeichen formulieren:

1) Wenn Alle Wenn die Koeffizienten eines Polynoms nicht negativ sind, kann es keine positiven Wurzeln haben. Leider ist dies nicht unser Fall (Nun, wenn wir eine Gleichung erhalten hätten - dann ja, wenn ein beliebiger Wert des Polynoms eingesetzt wird, ist er streng positiv, was bedeutet, dass alle positiven Zahlen (und auch irrational) können keine Wurzeln der Gleichung sein.

2) Wenn die Koeffizienten für ungerade Potenzen nicht negativ sind, und für alle geraden Potenzen (einschließlich kostenloses Mitglied) negativ sind, dann kann das Polynom keine negativen Wurzeln haben. Das ist unser Fall! Wenn Sie genau hinsehen, können Sie sehen, dass die linke Seite streng negativ ist, wenn ein negatives „x“ in die Gleichung eingesetzt wird, was bedeutet, dass die negativen Wurzeln verschwinden

Somit bleiben 8 Zahlen für die Recherche übrig:

Laden Sie sie konsequent nach dem Horner-Schema auf. Ich hoffe, Sie haben das Kopfrechnen schon gemeistert:

Das Glück wartete auf uns, als wir die "deuce" testeten. Somit ist die Wurzel der betrachteten Gleichung und

Es bleibt die Gleichung zu untersuchen . Es ist einfach, dies durch die Diskriminante zu tun, aber ich werde einen Exponentialtest auf die gleiche Weise durchführen. Beachten Sie zunächst, dass der freie Begriff gleich 20 ist, was bedeutet, dass gemäß Satz 1 die Zahlen 8 und 40 fallen aus der Liste der möglichen Wurzeln, und die Werte bleiben für die Forschung (einer wurde nach dem Horner-Schema eliminiert).

Wir schreiben die Koeffizienten des Trinoms in die oberste Zeile der neuen Tabelle und wir fangen mit den gleichen "zwei" an zu prüfen. Warum? Und weil die Wurzeln Vielfache sein können, bitte: - Diese Gleichung hat 10 identische Wurzeln. Aber schweifen wir nicht ab:

Und hier war ich natürlich ein bisschen schlau, weil ich wusste, dass die Wurzeln rational sind. Wenn sie irrational oder komplex wären, hätte ich schließlich eine erfolglose Überprüfung aller verbleibenden Zahlen. Orientieren Sie sich daher in der Praxis an der Diskriminante.

Antworten: rationale Wurzeln: 2, 4, 5

Bei dem analysierten Problem hatten wir Glück, denn: a) negative Werte fielen sofort weg, und b) wir haben die Wurzel sehr schnell gefunden (und theoretisch könnten wir die gesamte Liste überprüfen).

Aber in Wirklichkeit ist die Situation viel schlimmer. Ich lade Sie ein, sich ein spannendes Spiel namens "The Last Hero" anzusehen:

Aufgabe 4

Finden Sie rationale Wurzeln einer Gleichung

Lösung: Von Satz 1 Zähler hypothetischer rationaler Wurzeln müssen die Bedingung erfüllen (lesen Sie "zwölf ist durch Ale teilbar"), und die Nenner der Bedingung . Auf dieser Grundlage erhalten wir zwei Listen:

"liste el":
und "liste sie auf": (zum Glück sind hier die Zahlen natürlich).

Lassen Sie uns nun eine Liste aller möglichen Wurzeln erstellen. Zuerst teilen wir die „Liste der Biere“ durch . Es ist ziemlich klar, dass die gleichen Zahlen herauskommen werden. Der Einfachheit halber stellen wir sie in eine Tabelle:

Viele Brüche wurden reduziert, was zu Werten führt, die bereits in der „Liste der Helden“ stehen. Wir fügen nur "Neulinge" hinzu:

In ähnlicher Weise teilen wir dieselbe "Liste der Biere" durch:

und endlich weiter

Somit ist das Teilnehmerteam unseres Spiels besetzt mit:


Leider erfüllt das Polynom dieses Problems nicht das "positive" oder "negative" Kriterium, und daher können wir die obere oder untere Zeile nicht verwerfen. Sie müssen mit allen Zahlen arbeiten.

Wie ist Ihre Stimmung? Komm schon, rümpf die Nase - es gibt noch einen Satz, der bildlich als "Killersatz" bezeichnet werden kann .... ... "Kandidaten", natürlich =)

Aber zuerst müssen Sie für mindestens einen durch Horners Diagramm scrollen das Ganze Zahlen. Traditionell nehmen wir einen. In die obere Zeile schreiben wir die Koeffizienten des Polynoms und alles ist wie gewohnt:

Da vier eindeutig nicht Null ist, ist der Wert nicht die Wurzel des betreffenden Polynoms. Aber sie wird uns sehr helfen.

Satz 2 Wenn für einige Im Algemeinen Wert des Polynoms ist ungleich Null: , dann seine rationalen Wurzeln (wenn sie sind) die Bedingung erfüllen

In unserem Fall müssen also alle möglichen Wurzeln die Bedingung erfüllen (nennen wir es Bedingung Nr. 1). Diese vier werden der „Killer“ vieler „Kandidaten“ sein. Zur Demonstration schaue ich mir ein paar Prüfungen an:

Lassen Sie uns den Kandidaten überprüfen. Dazu stellen wir es künstlich als Bruch dar, woraus klar ersichtlich ist, dass . Lassen Sie uns die Check-Differenz berechnen: . Vier wird durch "minus zwei" geteilt: was bedeutet, dass die mögliche Wurzel den Test bestanden hat.

Lassen Sie uns den Wert überprüfen. Hier ist der Testunterschied: . Natürlich, und damit bleibt auch das zweite „Testsubjekt“ auf der Liste.