Если I = f0g, то F = R.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Если I = f0g, то F = R.

Если размерность подпространства I равна 1, то F = C.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Если I = f0g, то F = R.

Если размерность подпространства I равна 1, то F = C. Пусть размерностьподпространства I больше 1.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

пространства I . Положим i = p1 u. Тогда

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =
i2 =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u 2 (u2 ) =

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u 2 (u2 ) = 1:

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i = p1 u. Тогда i2 = 1:

По в сумму i v = + x, где 2 R, x 2 I.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =										u. Тогда i2 = 1:
			лемме о разложении элементов из F
			i v = + x, где				2 R, x 2 I . Согласно
					(i + v) 2 I , в		частности, (i + v)2 < 0.
			(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =										u. Тогда i2 = 1:
			лемме о разложении элементов из F
			i v = + x, где				2 R, x 2 I . Согласно
					(i + v) 2 I , в		частности, (i + v)2 < 0.
			(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

лемме о разложении элементов из F

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

Согласно

(i + v) 2 I ,

в частности, (i + v)2 < 0.

(i + v)2

(i + v)!

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

лемме о разложении элементов из F

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

Согласно

(i + v) 2 I ,

в частности, (i + v)2 < 0.

(i + v)2

(i + v)!

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =								u. Тогда i2 = 1:
					о разложении				элементов из
				i v = + x, где					2 R, x 2 I .
					(i + v). Имеем j2 = 1,
		(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов из

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении элементов

i v = + x, где

x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов

i v = + x, где

x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

(i + v)2

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов

i v = + x, где

x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

(i + v)2

x 2 I :

(i + v)2

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =								u. Тогда i2 = 1:
					о разложении				элементов из
				i v = + x, где					2 R, x 2 I .

(i + v)2

Значит, ,

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =								u. Тогда i2 = 1:
					о разложении				элементов из
				i v = + x, где					2 R, x 2 I .
					(i + v). Имеем j2 = 1, i j 2I :
		(i + v)2

I + j + i j ; ; ; 2 R

тело кватернионов.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =								u. Тогда i2 = 1:
					о разложении				элементов из
				i v = + x, где					2 R, x 2 I .
					(i + v). Имеем j2 = 1, i j 2I :
		(i + v)2
Значит, по лемме о вложении тела кватернионов вF ,

I + j + i j ; ; ; 2 R

тело кватернионов.

Таким образом, если линейное пространство I имеет размерность 3, то F это тело кватернионов.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

подпространства I больше 3.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I

Возьмем линейно независимую

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

							x; y; z 2 I :

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

							x; y; z 2 I :

В силу леммы о подпространстве I t = m + i + j + k 2I . Излинейной независимости системы векторов fi; j; k; mg сле-

дует, что t 6= 0.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

							x; y; z 2 I :

лемме о подпространстве I

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

							x; y; z 2 I :

Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I

i t = i m + k j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

							x; y; z 2 I :

Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I

i t = i m + k j = x + k j

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

							x; y; z 2 I :

Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I

i t = i m + k j = x + k j 2 I:

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

Аналогично можно доказать, что j t 2 I, k t 2 I.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

											x; y; z 2 I :
Доказано, что			0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпро-
странстве I			i t 2 I, j t 2 I,
Положим n =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

N i j = i n j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

N k = n i j = i n j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:

Следовательно, 2k n = 0, противоречие.

VII. Теорема Фробениуса

Теорема 2. Пусть F тело , причем R F ,

9i1 ; i2 ; : : : ; in		9 0 ;1 ;2 ; : : : ;n 2 R
z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n in :

Тогда F это либо R, либо C, либо тело кватернионов .

Теорема доказана.

внимание!

e-mail: [email protected]; [email protected]

сайты: http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru

Теорема. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением является нормированной линейной алгеброй.

Пусть - альтернативная линейная алгнбра с делением над полем действительных чисел R. Введем в A операцию сопряжения следующим образом: если элемент а A пропорционален 1, то a = а; если же а не пропорционален 1. то он содержится в комплексной подалгебре. В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент a, который и примем за элемент, сопряженный к а в алгебре.

Из определения a непосредственно следует, что = а, а также =ka, где k R.

Пусть а A не пропорционален 1. Рассмотрим кватернионную подалгебру (K, +, . R , .), содержащую а. В этой подалгебре для а A тоже имеется сопряженный элемент a. Покажем, что а совпадает с a.

Элементы а и a, как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям:

а+a = 2а* 1, где а R, (14)

а* a = d*1, где d R. (15)

Элементы а и a, как сопряженные в кватернионной алгебре, удовлетворяют условиям:

а+ a = 2а 1 * 1, где а 1 R, (14")

а * a = d 1 *1, где d 1 R. (15 /)

Вычтем из (14) и (15) соответственно (14 /) и (15"). Тогда:

a - a = 2(a - a1)*1.

а (a - a) = (d- d 1)* 1 2(a - a 1)a*1.= (d- d 1)* 1.

a(a - a), то a = *1,

т.е. а пропорционален 1, что противоречит предположению.

Отсюда следует, что элемент, сопряженный к а, один и тот же, независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры или же как элемент кватернионной подалгебры алгебры.

Точно так же |а| 2 = аa как в случае комплексной подалгебры,так и в случае кватернионной подалгебры алгебры, так, что модуль элемента а A не зависит от того, рассматриваем мы его как элемент комплексной или кватернионной подалгебры алгебры.

Тогда для любых a, b А справедливы равенства:

A+ и = a *. (16)

Если а и b принадлежат одной комплексной подалгебре алгебры, то равенства (16) есть свойства, сопряжения в этой подалгебре. Если же они принадлежат разным комплексным подалгебрам, то они будут верны как свойства сопряжения в кватернионной подалгебре алгебры.

Из = b и из второго равенства (16) вытекает, что = ba, откуда

a + ba = с* 1, где с R.

Определим в (A, +, . R , .) скалярное произведение (а, b) как

a + ba = 2(а, b) * 1.

Покажем, что (а, b) удовлетворяет всем свойствам скалярного произведения:

1) (а, а) > 0 при а? 0 и (0, 0) = 0.

В самом деле,

(а, а) * 1 = (аa + аa) = аa = |а|* 1,

а модуль комплексного числа, так же как модуль кватерниона, сторого положителен при а? 0 и равен 0 при а = 0.

2) (a, b) = (b. а), так как

a + ba = 2(a, b)* 1, ba + a = 2(b, a)* 1,

a + ba = ba + a, тогда (a, b) = (b, a).

3) (a, kb) = k(a, b) при k R.

Действительно,

(a, kb) = (a() + kba) = (a(k) + kba) = k(a + ba) = k(a, b).

4) (a, b 1 + b 2) = (a, b 1) + (a, b 2)

следует из определения скалярного произведения и первого равенства (16).

Из (а, а) = |а| 2 1 следует, что = |а|, т.е. норма элемента a А совпадает с модулем а как комплексного числа, так и кватерниона.

Так как любые два элемента а и b из алгебры принадлежат одной комплексной или одной кватернионной подалгебре, то

|ab| 2 = |a| 2 |b| 2 (ab, ab) = (a, a)(b, b).

Следовательно, все свойства скалярного произведения для (а, b) выполняются. Отсюда следует, что алгебра есть нормированная линейная алгебра.

Обобщенная теорема Фробениуса. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей изоморфна одной из четырех алгебр: полю действительных чисел, полю комплесных чисел, телу кватернионов или алгебре октав.

Так как по доказанному в предыдущей теореме альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей является нормированной линейной алгеброй, а последняя по теореме Гурвица изоморфна либо полю действительных чисел, либо полю комплексных чисел, либо телу кватернионов, либо алгебре октав, то отсюда следует утверждение теоремы.

:

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Пусть - тело , содержащее в качестве подтела тело R {\displaystyle \mathbb {R} } вещественных чисел, причём выполняются два условия:

  Другими словами, L {\displaystyle \mathbb {L} } является конечномерной алгеброй с делением над полем вещественных чисел.

  Теорема Фробениуса утверждает, что всякое такое тело L {\displaystyle \mathbb {L} } :

  Отметим, что теорема Фробениуса относится только к конечномерным расширениям R {\displaystyle \mathbb {R} } . Например, она не охватывает поле гипервещественных чисел нестандартного анализа , которое тоже является расширением R {\displaystyle \mathbb {R} } , но не конечномерным. Другой пример, алгебра рациональных функций .

  Следствия и замечания

  Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса .

  Алгебры с делением над полем комплексных чисел

  Алгебра размерности n над полем комплексных чисел является алгеброй размерности 2n над R {\displaystyle \mathbb {R} } . Тело кватернионов не является алгеброй над полем C {\displaystyle \mathbb {C} } , так как центром H {\displaystyle \mathbb {H} } является одномерное вещественное пространство. Поэтому единственной конечномерной алгеброй с делением над C {\displaystyle \mathbb {C} } является алгебра C {\displaystyle \mathbb {C} } .

  Гипотеза Фробениуса

  В теореме есть условие ассоциативности. Что будет, если отказаться от этого условия? Гипотеза Фробениуса утверждает, что и без условия ассоциативности при n, отличном от 1, 2, 4, 8, в вещественном линейном пространстве R n нельзя определить структуру алгебры с делением. Гипотеза Фробениуса доказана в 60-х гг. XX века.

  Если при n>1 в пространстве R n определено билинейное умножение без делителей нуля, то на сфере S n-1 существует n-1 линейно независимых векторных полей . Из результатов, полученных Адамсом о количестве векторных полей на сфере , следует, что это возможно только для сфер S 1 , S 3 , S 7 . Это доказывает гипотезу Фробениуса.

  См. также

  Литература

  • Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. - М. : Наука, 1990. - 320 с.
  • Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. 2-е изд . - М. : Наука, 1973. - 400 с.
  • Понтрягин Л. С. Обобщения чисел . - М. : Наука, 1986. - 120 с. - (Библиотечка «Квант» , выпуск 54).

  Счётные множества
  Вещественные числа и их расширения
  Инструменты расширения числовых систем
  Иерархия чисел	− 1 , 0 , 1 , … {\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots }

  Очевидно, что если, то для. Более того, мы покажем, что для достаточно больших p

  Лемма № 1. Если матрица неотрицательна и неприводима, то

  Доказательство:

  Если взять произвольный вектор и, то. И пусть вектор имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y. В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим, тогда и разбив матрицу А на блоки следующим образом

  

  мы будем иметь

  

  Учитывая, что, то, тогда получаем, что, что противоречит неприводимости матрицы

  Для следующего вектора повторим рассуждения и т.д. В итоге получим, что для некоторого ненулевого вектора y

  

  Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x), определенную для ненулевых векторов следующим образом: , (Ax) i - i-я координата вектора Ах

  Из определения следует, что и кроме того, r(x) -такое наименьшее значение, что

  Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на, поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество, такое

  

  Однако, r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов и обозначим. По лемме № 1 каждый вектор из N будет положительным, а поэтому

  Обозначим через наибольшее число, для которого, . - спектральный радиус матрицы А. Если Можно показать, что существует вектор y, что

  Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az=rz)

  Интерес к числу r объясняется следующим результатом

  Лемма № 2. Если матрица неотрицательна и неприводима, то число является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r

  Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц

  Теорема Фробениуса-Перона. Если матрица неотрицательна и неприводима, то:

  А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А;

  существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r.

  собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1.

  Теорема Перона (следствие). Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор

  Используя теорему Фробениуса-Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы.

  Следствия и замечания

  • Эта теорема тесно связана с теоремой Гурвица о нормированных вещественных алгебрах . Нормированные алгебры с делением - только $\backslash mathbb\; R,\; \backslash mathbb\; C,\; \backslash mathbb\; H$ и (неассоциативная) алгебра чисел Кэли .
  • При расширении системы комплексных чисел мы неизбежно теряем какие-либо арифметические свойства: коммутативность (кватернионы), ассоциативность (алгебра Кэли) и т. п.
  • Не существует аналога системы кватернионов с двумя (а не тремя) кватернионными единицами.
  • Поля $\backslash mathbb\; R$ и $\backslash mathbb\; C$ являются единственными конечномерными вещественными ассоциативными и коммутативными алгебрами без делителей нуля .
  • Тело кватернионов $\backslash mathbb\; H$ является единственной конечномерной вещественной ассоциативной, но некоммутативной алгеброй без делителей нуля .
  • Алгебра Кэли является единственной конечномерной вещественной альтернативной неассоциативной алгеброй без делителей нуля .

  Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса .

  Алгебры с делением над полем комплексных чисел

  Алгебра размерности n над полем $\backslash mathbb\; C$ комплексных чисел является алгеброй размерности 2n над $\backslash mathbb\; R$. Тело кватернионов $\backslash mathbb\; H$ не является алгеброй над полем $\backslash mathbb\; C$, так как центром $\backslash mathbb\; H$ является одномерное вещественное пространство. Поэтому единственной конечномерной алгеброй с делением над $\backslash mathbb\; C$ является алгебра $\backslash mathbb\; C$.

  Гипотеза Фробениуса

  В теореме есть условие ассоциативности. Что будет, если отказаться от этого условия? Гипотеза Фробениуса утверждает, что и без условия ассоциативности при n, отличном от 1, 2, 4, 8, в вещественном линейном пространстве R n нельзя определить структуру алгебры с делением. Гипотеза Фробениуса доказана в 60-х гг. XX века.

  Если при n>1 в пространстве R n определено билинейное умножение без делителей нуля, то на сфере S n-1 существует n-1 линейно независимых векторных полей . Из результатов, полученных Адамсом о количестве векторных полей на сфере , следует, что это возможно только для сфер S 1 , S 3 , S 7 . Это доказывает гипотезу Фробениуса.

  См. также

  Напишите отзыв о статье "Теорема Фробениуса"

  Литература

  • Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. - М .: Наука, 1990. - 320 с.
  • Курош А. Г. . - М .: Наука, 1973. - 400 с.
  • Понтрягин Л. С. . - М .: Наука, 1986. - 120 с. - (Библиотечка «Квант» , выпуск 54).

  Счётные множества

  ) Периоды Вычислимые Арифметические |заголовок2= Вещественные числа
  и их расширения |заголовок3= Инструменты расширения
  числовых систем |заголовок4= Иерархия чисел |список4=

  $-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ Целые числа $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ;\backslash ;0\{,\}12,\backslash frac\{2\}\{3\},\backslash ;\backslash ldots$ Рациональные числа $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0\{,\}12,\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt\{2\},\backslash ;\backslash ldots$ Вещественные числа

  $-1,\backslash ;\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ;0\{,\}12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^\{i\backslash pi/3\},\backslash ;\backslash ldots$

  Комплексные числа

  $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac\{1\}\{2\}k,\backslash ;\backslash dots$ Кватернионы $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}m,\backslash ;\backslash dots$ Октонионы $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash dots,\backslash ;e\_\{15\},\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac\{2\}\{5\}e\_7\; -\; \backslash frac\{1\}\{3\}e\_\{15\},\backslash ;\backslash dots$ Седенионы |заголовок5= Другие
  числовые системы

  |список5=Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординал) p-адические Супернатуральные числа Всё разбежалось. Дядюшка снял Наташу с лошади и за руку провел ее по шатким досчатым ступеням крыльца. В доме, не отштукатуренном, с бревенчатыми стенами, было не очень чисто, – не видно было, чтобы цель живших людей состояла в том, чтобы не было пятен, но не было заметно запущенности.
  В сенях пахло свежими яблоками, и висели волчьи и лисьи шкуры. Через переднюю дядюшка провел своих гостей в маленькую залу с складным столом и красными стульями, потом в гостиную с березовым круглым столом и диваном, потом в кабинет с оборванным диваном, истасканным ковром и с портретами Суворова, отца и матери хозяина и его самого в военном мундире. В кабинете слышался сильный запах табаку и собак. В кабинете дядюшка попросил гостей сесть и расположиться как дома, а сам вышел. Ругай с невычистившейся спиной вошел в кабинет и лег на диван, обчищая себя языком и зубами. Из кабинета шел коридор, в котором виднелись ширмы с прорванными занавесками. Из за ширм слышался женский смех и шопот. Наташа, Николай и Петя разделись и сели на диван. Петя облокотился на руку и тотчас же заснул; Наташа и Николай сидели молча. Лица их горели, они были очень голодны и очень веселы. Они поглядели друг на друга (после охоты, в комнате, Николай уже не считал нужным выказывать свое мужское превосходство перед своей сестрой); Наташа подмигнула брату и оба удерживались недолго и звонко расхохотались, не успев еще придумать предлога для своего смеха.
  Немного погодя, дядюшка вошел в казакине, синих панталонах и маленьких сапогах. И Наташа почувствовала, что этот самый костюм, в котором она с удивлением и насмешкой видала дядюшку в Отрадном – был настоящий костюм, который был ничем не хуже сюртуков и фраков. Дядюшка был тоже весел; он не только не обиделся смеху брата и сестры (ему в голову не могло притти, чтобы могли смеяться над его жизнию), а сам присоединился к их беспричинному смеху.
  – Вот так графиня молодая – чистое дело марш – другой такой не видывал! – сказал он, подавая одну трубку с длинным чубуком Ростову, а другой короткий, обрезанный чубук закладывая привычным жестом между трех пальцев.
  – День отъездила, хоть мужчине в пору и как ни в чем не бывало!
  Скоро после дядюшки отворила дверь, по звуку ног очевидно босая девка, и в дверь с большим уставленным подносом в руках вошла толстая, румяная, красивая женщина лет 40, с двойным подбородком, и полными, румяными губами. Она, с гостеприимной представительностью и привлекательностью в глазах и каждом движеньи, оглянула гостей и с ласковой улыбкой почтительно поклонилась им. Несмотря на толщину больше чем обыкновенную, заставлявшую ее выставлять вперед грудь и живот и назад держать голову, женщина эта (экономка дядюшки) ступала чрезвычайно легко. Она подошла к столу, поставила поднос и ловко своими белыми, пухлыми руками сняла и расставила по столу бутылки, закуски и угощенья. Окончив это она отошла и с улыбкой на лице стала у двери. – «Вот она и я! Теперь понимаешь дядюшку?» сказало Ростову ее появление. Как не понимать: не только Ростов, но и Наташа поняла дядюшку и значение нахмуренных бровей, и счастливой, самодовольной улыбки, которая чуть морщила его губы в то время, как входила Анисья Федоровна. На подносе были травник, наливки, грибки, лепешечки черной муки на юраге, сотовой мед, мед вареный и шипучий, яблоки, орехи сырые и каленые и орехи в меду. Потом принесено было Анисьей Федоровной и варенье на меду и на сахаре, и ветчина, и курица, только что зажаренная.
  Всё это было хозяйства, сбора и варенья Анисьи Федоровны. Всё это и пахло и отзывалось и имело вкус Анисьи Федоровны. Всё отзывалось сочностью, чистотой, белизной и приятной улыбкой.
  – Покушайте, барышня графинюшка, – приговаривала она, подавая Наташе то то, то другое. Наташа ела все, и ей показалось, что подобных лепешек на юраге, с таким букетом варений, на меду орехов и такой курицы никогда она нигде не видала и не едала. Анисья Федоровна вышла. Ростов с дядюшкой, запивая ужин вишневой наливкой, разговаривали о прошедшей и о будущей охоте, о Ругае и Илагинских собаках. Наташа с блестящими глазами прямо сидела на диване, слушая их. Несколько раз она пыталась разбудить Петю, чтобы дать ему поесть чего нибудь, но он говорил что то непонятное, очевидно не просыпаясь. Наташе так весело было на душе, так хорошо в этой новой для нее обстановке, что она только боялась, что слишком скоро за ней приедут дрожки. После наступившего случайно молчания, как это почти всегда бывает у людей в первый раз принимающих в своем доме своих знакомых, дядюшка сказал, отвечая на мысль, которая была у его гостей:
  – Так то вот и доживаю свой век… Умрешь, – чистое дело марш – ничего не останется. Что ж и грешить то!
  Лицо дядюшки было очень значительно и даже красиво, когда он говорил это. Ростов невольно вспомнил при этом всё, что он хорошего слыхал от отца и соседей о дядюшке. Дядюшка во всем околотке губернии имел репутацию благороднейшего и бескорыстнейшего чудака. Его призывали судить семейные дела, его делали душеприказчиком, ему поверяли тайны, его выбирали в судьи и другие должности, но от общественной службы он упорно отказывался, осень и весну проводя в полях на своем кауром мерине, зиму сидя дома, летом лежа в своем заросшем саду.