Рис.3.4.Унимодальные функции: а) гладкая, б) непрерывная, в) разрывная, г) дискретная, д) произвольная.

возможно вырождение в точку одного или двух из отрезков , , (рис 3.5).

Рис.3.5. Варианты расположения и вырождения в точку отрезков монотонности и постоянства унимодальной функции.

множество функций, унимодальных на отрезке будем обозначать Q. Унимодальность функций является исключительно важным свойством, которое широко используется в оптимизационных исследованиях.

3.2.3 Выпуклые, псевдовыпуклые и квазивыпуклые функции .

Выпуклые функции и их обобщения (псевдовыпуклые и квазивыпуклые функции) играют важную роль в теории оптимизации. С помощью этих функций будут сформулированы достаточные условия оптимальности.

Числовую функцию f, определенную на выпуклом множестве X, XÌE n , называют выпуклой, если для любых двух точек x 1 ,x 2 ÎX и произвольного числа lÎ выполняется неравенство

f(lx 1 +(1-l)x 2) £ lf(x 1)+(1-l)f(x 2). (3.1)

Неравенство противоположного смысла определяет вогнутую функцию, причем часто используются термины «выпуклая вниз (1)» «выпуклая вверх (2)» (рис3.6).

Рис.3.6. 1) Выпуклая (выпуклая вниз) функция, 2) Вогнутая (вогнутая вверх)функция.

Геометрически выпуклость функции f означает, что любая точка произвольной хорды графика f располагается не ниже соответствующей точки самого графика (лежит ниже хорды, соединяющей две точки ее графика),(рис 3.6., кривая 1).

Простейшими примерами выпуклых функций одной переменной служат парабола y=x 2 и экспонента y=e x . Функции y=-x 2 и y=-e x являются вогнутыми.

Если при всех x 1, x 2 ÎX x 1 ¹x 2 и lÎ неравенство (3.1) выполняется как строгое (<), то f называется строго выпуклой на X (рис 3.7,а). Функция называется (строго) выгнутой , если - f (строго) выпукла (рис. 3.7, б).

Рис.3.7. Строго выпуклая (а) и строго вогнутая функции, их производные (пунктир) и функция, имеющая линейный участок

Функция f(x) , определенная на выпуклом множестве Х , называется сильно выпуклой с константой l > 0, если

Дадим геометрическую интерпретацию определения (3.2), рассмотрев функцию

y= f(x) одного переменного. Зафиксировав x 1 и x 2 из области определения функции и обозначив , будем изменять l от 0 до 1. Ясно, что тогда значение x(l) , будет изменяться от x 1 до х 2 , а точка (х , f(x) ) пройдет по графику функции y=f(x) от точки B= (x 2 , f(x 2) ) до точки А = (х 1 , f(x 1)) (рис.3.8).

Рис.3.8. График сильно выпуклой функции.

Уравнения

в плоскости xOy описывают прямую L (секущую), соединяющую точки А и В , а уравнения

задают параболу Р вида , которая проходит через точки А и В . Неравенство (3.2) в этом случае означает, что график функции y = f(x) на плоскости хОу расположен ниже не только секущей, соединяющей точки А и В , но и параболы Р, прогиб которой определяется параметром l и его можно выбрать сколь угодно малым. Другими словами, в области, ограниченной секущей и графиком функции, можно построить параболу, соединяющую точки А и В .

· Теорема3.1 Непрерывно дифференцируемая на выпуклом множестве X функция f выпукла на этом множестве тогда и только тогда, когда для любых x 1 ,x 2 Î X верно неравенство

f(x 2) ³ f(x 1) + <Ñf(x 1 ,x 2 -x 1)>, (3.3)

получаемое из разложения функции f(x) в ряд Тейлора в точке x 1 путем исключения членов второго и более высокого порядка разложения

F(x 1 +h) = f(x 1) + hf ¢(x 1) + h 2 /2*f¢¢(x 1) +..., (3.3)

где h достаточно малое число, |h|

Ñf(x 1) = (¶f/¶x 1 , ¶f/¶x 2 ,.., ¶f/¶x n) т,

т.е. представляет собой вектор частичных производных первого порядка, вычисленных в точке x 1 и называется градиентом функции f в точке x 1 .

· Теорема 3.2 Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на выпуклом множестве X, содержащем хотя бы одну внутреннюю точку, и Ñ 2 f(x)- ее гессиан. Тогда для выпуклости f на множестве X необходимо и достаточно, чтобы матрица Ñ 2 f(x) была неотрицательно определена при всех xÎX, т.е. чтобы неравенство

<Ñ 2 f(x)h, h>³0 (3.4)

выполнялось для всех точек xÎX, hÎE n . Здесь числовая матрица Ñ 2 f(x) называется гессианом (или матрицей Гессе). Если функция f имеет непрерывные частные производные второго порядка (дважды непрерывно дифференцируема) в точке x 1 , то она дважды дифференцируема в x 1 и обладает матрицей Гессе вида

причем эта матрица симметрична, т.е.

Аналогичные утверждения имеют место и для вогнутых функций. При этом в формулах (3.2) и (3.4) знак неравенства ³ следует заменить на £.

Проверка функции на выпуклость .

Функция f выпуклая, если ее матрица Гессе положительно определена (>0) или положительна полуопределена для всех значений x 1 ,x 2 ,..,x n.

Проверка функции на выгнутость.

Функция f выгнутая, если ее матрица Гессе отрицательно полуопределена (£0) для всех значений x 1 ,x 2 ,..,x n .

Строго выпуклая или вогнутая функция имеет единственный экстремум, являющийся соответственно глобальным минимумом или максимумом. Функция, имеющая линейный участок (рис 3.7, в), имеет бесконечное число экстремумов, равных по величине.

Для суждения об одноэкстремальности при наличии ограничений можно воспользоваться понятием выпуклости допустимого множества. Множество является выпуклым, если любой отрезок прямой, соединяющей две точки границ множества, целиком лежит внутри множества.

О выпуклости или вогнутости целевой функции можно судить также по характеру изменения ее частных производных ¶f/¶x. В случае строго выпуклой функции эта производная по мере увеличения аргумента возрастает (рис 3.7 а), а для строго выпуклой падает (рис 3.7 б). При наличии линейного участка целевой функции указанная производная на этом участке постоянна.

Выпуклое множество вида

X={xÎE n } | Ax£b}={xÎE n | £b i , i=1,..,m}

где A- некоторая матрица размера m*n со строками a 1 ,..,a m , b=(b 1 ,..,b m) Î E n (m=1,2,..). Принято называть полиэдральными или просто полиэдрами. Таким образом, полиэдр - это множество решений некоторой системы конечного числа линейных неравенств, или, что то же самое, пересечение конечного числа полупространств (рис 3.9).

Рис.3.9. Полиэдральное множество (полиэдр).

Например, многоугольник на рис. 2.1, а - выпуклый, а мно­гоугольник на рис. 2.1, б не является выпуклым (он расположен по обе стороны от прямой ВС).

Общим определяющим свойством, которое отличает выпук­лый многоугольник от невыпуклого, является то, что если взять любые две его точки и соединить их отрезком, то весь отрезок будет принадлежать этому многоугольнику. Это свойство может быть принято за определение выпуклого множества точек.

Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с лю­быми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки.

Согласно этому определению многоугольник на рис. 2.1, а яв­ляется выпуклым множеством, а многоугольник на рис. 2.1, б таковым не является, ибо отрезок МЫ между двумя его точками М и./V не полностью принадлежит этому многоугольнику.

Пусть М и N - любые две точки пересечения двух мно­жеств А и В (рис. 2.3). Так как точки М и N принадлежат пересе­чению множеств, т.е. одновременно и выпуклому множеству А, и выпуклому множеству В, то согласно определению выпуклого множества все точки отрезка МИ будут принадлежать как множе­ству А, так и множеству В, т.е. пересече­нию этих множеств. А это и означает, что пересечение данных множеств есть выпуклое множество. ■

Среди точек выпуклого множества можно выделить внутренние, граничные и угловые точки.

Точка множества называется внут­ренней, если в некоторой ее окрестности содержатся точки только данного мно­жества.

Рис- 2-3 Точка множества называется граничной,

если в любой ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, не принадлежащие ему.

Особый интерес в задачах линейного программирования пред­ставляют угловые точки.

Точка множества называется угловой (или крайней), если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком принадлежаще­го данному множеству.

На рис. 2.4 приведены примеры различных точек многоуголь­ника: внутренней (точки М), граничной (точка И) и угловых (точки А, В, С, Д Е). Точка А - угловая, так как для любого от­резка, целиком принадлежащего многоугольнику, например, от­резка АР, она не является внутренней; точка А - внутренняя для отрезка КЬ, но этот отрезок не принадлежит целиком много­угольнику.

Для выпуклого множества угловые точки всегда совпадают с вершинами многоугольника (многогранника), в то же время для невыпуклого множества это не обязательно. Так, на рис. 2.5 точка А является вершиной невыпуклого многоугольника, но не угловой (она является внутренней для отрезка КЬ, целиком принадлежа­щего этому многоугольнику).

Множество точек называется замкнутым, если включает все свои граничные точки. Множество точек называется ограничен­ным, если существует шар (круг) радиуса конечной длины с цен­тром в любой точке множества, который полностью содержит в себе данное множество; в противном случае множество называет­ся неограниченным.

Если фигура ограничена только прямыми или их отрезками, то число ее угловых точек конечно; в случае криволинейности границ фигура содержит бесконечно много угловых точек, что позволяет сделать следующее определение.

Выпуклое замкнутое множество точек пространства (плоскости), имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым много­гранником (многоугольником), если оно ограниченное, и выпуклой много­гранной (многоугольной) областью, если оно неограниченное.

До сих пор рассматривались выпуклые множества точек на плоскости и в пространстве. Аналитически такие точки изобра­жаются упорядоченной парой чисел (хь х2) или упорядоченной тройкой чисел (*1, *2, *з)- Понятие точки можно обобщить, под­разумевая под точкой (или вектором) упорядоченный набор п чисел Х= (хь XI, ..., хп), в котором числа хх, х2, ..., х„ называются координатами точки (вектора). Такое обобщение имеет смысл, так как если взять какой-либо экономический объект, то для его ха­рактеристики двух-трех чисел обычно бывает недостаточно и не­обходимо взять п чисел, где п > 3.

Множество всех точек Х= (хь х2,..., х„) образ^т п-мерное точеч­ное (векторное) пространство. При п > 3 точки и фигуры «-мерного пространства не имеют реального геометрического смысла и все ис­следования объектов этого пространства необходимо проводить в аналитической форме. Тем не менее оказывается целесообразным и в этом случае использовать геометрические понятия для облегчения представлений об объектах «-мерного пространства.

III. Выпуклые множества и функции 569

3. Все функции одной переменной с постоянной эластичность ю имеют вид (8) (воспользоваться равенством (4)).

4. Функции нескольких переменных с постоянными частными эластичностями - это степенные функции вида

y = Ax1 B 1 x2 B 2 ,...,xN B N .

III. Выпуклые множества и функции

При исследовании экономических явлений математическими методами весьма значительным оказывается такое свойство м ногих множеств и функций, как выпуклость. Характер поведения мн огих экономических объектов связан с тем. что определенные зав исимости, описывающие эти объекты, являются выпуклыми. С выпукл о- стью функций и множеств часто связано существование или е динственность решения экономических задач: на этом же свойст ве основаны многие вычислительные алгоритмы.

Справедливость многих утверждений, относящихся к выпукл ым множествам и функциям, совершенно ясна, они почти очевидн ы. В то же время их доказательство зачастую очень сложно. Поэтому здесь будут изложены некоторые основные факты, связанные с выпу клостью, без доказательств, в расчете на их интуитивную убедит ельность.

1. Выпуклые множества на плоскости

Любая геометрическая фигура на плоскости может рассматр иваться как множество точек, принадлежащих этой фигуре. Одни множества (например, круг, прямоугольник, полоса между параллел ьными прямыми) содержат и внутренние, и граничные точки; другие (например, отрезок, окружность) состоят только из граничных точе к.

Множество точек на плоскости называется выпуклым, если он о обладает следующим свойством: отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве (рис. 1).

Примерами выпуклых множеств являются: треугольник, отрезок, полуплоскость (часть плоскости, лежащая по одну сторону от какой-либо прямой), вся плоскость. Другие примеры выпуклых множеств приведены на рис. 2,а. На рис. 2,б приведены примеры невыпуклых множеств.

Множество, состоящее из одной-единственной точки, и пусто е множество, не содержащее ни одной точки, по принятому соглаше нию, также считаются выпуклыми. Во всяком случае, в этих множес твах невозможно провести отрезок, соединяющий какие-то точки э тих множеств и не принадлежащий этим множествам целиком, - в них

570 Математическое приложение

Рис. 1. Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклой фигуры, содержится в ней целиком.

Рис. 2. Выпуклые (а) и невыпуклые (б) множества на плоскости.

вообще невозможно выбрать две точки. Поэтому их включение в число выпуклых множеств не приведет к противоречию с опре делением, а для математических рассуждений этого достаточно.

Пересечение, т. е. общая часть двух выпуклых множеств, всегда выпукло: взяв любые две точки пересечения (а они - общие, т. е. принадлежат каждому из пересекающихся множеств) и соедин ив их отрезком, мы легко убеждаемся в том, что все точки отрезка я вляются общими для обоих множеств, так как каждое из них выпукло. Вы - пуклым будет и пересечение любого числа выпуклых множест в.

Важным свойством выпуклых множеств является их отделимость: если два выпуклых множества не имеют общих внутрен них точек, то плоскость можно разрезать по прямой таким образ ом, что одно из множеств будет целиком лежать в одной полупло скости, а другое - в другой (на линии разреза могут располагат ься точки обоих множеств). Отделяющая их прямая в одних случая х оказывается единственно возможной, в других - нет (рис. 3).

Граничная точка любого выпуклого множества сама может ра с- сматриваться как выпуклое множество, не имеющее с исходным множе-

Рис. 3. Отделяющие прямые. Рис. 4. Опорные прямые.

III. Выпуклые множества и функции 571

ством общих внутренних точек, следовательно, она может быть отделена от него некоторой прямой. Прямая, отделяющая от выпуклого множества его граничную точку, называется опорной прямой этого множества в данной точке. Опорные прямые в одних точках контура могу т быть единственными, в других - не единственными (рис. 4).

Введем на плоскости систему декартовых координат х, у. Теперь у нас появилась возможность рассматривать различные фиг уры как множества таких точек, координаты которых удовлетвор яют тем или иным уравнениям или неравенствам (если координат ы точки удовлетворяют какому-либо условию, будем для кратко сти говорить, что сама точка удовлетворяет этому условию).

Упражнение 1

Рассмотрите фигуры, точки которых удовлетворяют неравен ствам: а) y ³ x2 ; á)xy ³ 1; â)xy ³ 1, õ > 0; ã) |õ| + |ó|£ 2;

ä) (õ+1)2 + (ó – 2)2 £ 9. Какие из них выпуклы?

Линейному уравнению ах + by = с удовлетворяют точки прямой. Иными словами, прямая является решением этого уравнения. Решением линейного неравенства

Решением каждого из неравенств является полуплоскость. Р ешение системы - это множество точек, каждая из которых удовл етворяет всем неравенствам системы, т. е. решение системы неравенств - это пересечение всех решений отдельных неравенств, составляющих систему. Полуплоскость - выпуклое множество, а пересече- ние выпуклых множеств всегда выпукло. Таким образом, решение системы (2) - выпуклое множество. На рис. 5 показано решение системы неравенств

ïî - 2x - y ³ -7.

Рис. 5. Решение системы из трех линейных неравенств.

572 Математическое приложение

Заметим, что неравенство ах + by £ с может быть заменено равносильным ему неравенством –àõ – by³ –ñ, имеющим вид (1). Кроме того, уравнение ах + by = с равносильно такой паре неравенств:

{ ax + by ³ c; ax + by £ c.

Таким образом, решение системы линейных уравнений и неравенств - всегда выпуклое множество.

Упражнение 2

Будет ли решение системы

ai x + bi y > ci , i = l, 2, ..., N

выпуклым множеством? Чем оно отличается от решения систем ы (2)?

Упражнение 3

Придумайте системы неравенств, решениями которых будут: а) параллелограмм; б) внутренность угла; в) полоса между двумя параллельными прямыми; г) единственная точка; д) пустое множество.

2. Выпуклые функции одной переменной

Проще всего определить выпуклую функцию геометрически. Д ля этого полезно ввести понятие надграфика функции. Надграфиком функции называется множество точек, расположенных над графиком ф ункции и на самом графике. Более строго, надграфик функции f(х) - это множество таких точек, координата х которых лежит в области определения функции, а координата у удовлетворяет неравенству у ³ f(x).

Функция называется выпуклой вниз, если ее надграфик - выпуклое множество. Рис. 6 иллюстрирует это определение.

Рис. 6. Надграфик выпуклой функции.

Рис. 7. Точка хорды не может располагаться ниже графика.

III. Выпуклые множества и функции 573

Приведенное определение является вполне строгим и может быть однозначно переведено на аналитический язык.

Во-первых, функция f(х) должна иметь выпуклую область определения - отрезок, луч или всю прямую.

В противном случае надграфик распался бы на несколько отдельных областей, и отрезок, соединяющий точки из разных о бластей, проходил бы через «запретную зону».

Для выяснения того, какому условию должны отвечать значе- ния выпуклой вниз функции f(x) «выберем какие-либо две точки M1 è M2 на ее графике и проведем хорду M1 M2 (рис. 7). Она целиком должна лежать в надграфике, т. е. надграфику должна принадлежать любая точка М хорды.

Рассмотрим число l , показывающее, в какой пропорции точка M делит хорду:

l = M 2 M .

M2 M1

Эта величина лежит в пределах 0 £ l £ 1. Ясно, что в такой же пропорции абсцисса и ордината точки М делят отрезки è [ó1 , ó2 ]:

õ2 – õ3 =l ·(õ2 – x1 ); y2 – y3 =l ·(y2 – y1 );

õ3 =l ·x1 + (1 –l )õ2 ; y3 =l ·y1 + (1 –l )y2 .

Условие принадлежности точки ние неравенства y3 ³ f(õ3 ). А так неравенство можно представить в

М надграфику - это выполне- âèäå êàê y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(õ 2 ) - ýòî

Если неравенство (3) выполняется для любых значений x1 è õ2 , то любая хорда лежит в надграфике, тем более в надграфике л ежит любой отрезок, соединяющий точки, расположенные выше.

Таким образом, функция f(х), заданная на выпуклом множестве, выпукла вниз, если она обладает следующим свойством: для л ю- бых двух чисел x1 è õ2 из области определения функции и любого числаl из отрезка выполняется неравенство (3).

Неравенство (3) часто записывают в «симметричном» виде

574 Математическое приложение

Рис. 8. Функции: выпуклая вниз (а), выпуклая вверх (б), не имеющая постоянного знака выпуклости (в).

Аналогично можно определить и функции, выпуклые вверх: дл я этого нужно знаки неравенства (3) и (4) заменить на противоположные.

Функции, выпуклые вниз, часто называют просто «выпуклыми» . Выпуклые функции обладают свойством более общим, чем нера венство (4). Если x1 , õ2 ,..., xN - произвольные значения аргументаl 1 ,l 2 ,...,

l N - неотрицательные числа, сумма которых равна единице, то

III. Выпуклые множества и функции 575

Если производная f¢(x) дифференцируема (т. е. выпуклая функция f(х) дважды дифференцируема), то f¢¢(x) ³ 0. Для дважды дифференцируемых функций это неравенство оказывается р авносильным приведенному выше определению выпуклой функции; в курсах математического анализа выпуклость обычно опред еляют по знаку второй производной. Но в экономических приложени ях, где часто приходится иметь дело с функциями, графики кото рых имеют изломы, такое определение оказывается мало полезны м.

Если f(х) и g(x) - выпуклые функции и а ³ 0, то выпуклыми будут функции

á) f(x) + g(x);

â) max(f(õ), g(x)).

Выпуклость функций в а) и б) проверяется непосредственно с помощью неравенства (3) или (4). Функция в) при каждом х принимает значение, равное большему из значений f(х) и g(x) (и любому из них, если они равны). Надграфик функции max(f(x), g(x)) есть пересечение надграфиков функций f(х) и g(x) (проверьте!) - отсюда и выпуклость функции в).

Упражнение 4

Существуют ли функции, выпуклые вниз и выпуклые вверх одновременно?

Упражнение 5

Ê ак выглядит график функции f(х) = = mах (0, а + bх) при различных значе- ниях параметров а и b? Выпуклы ли эти функции?

Упражнение 6

Выпукла ли функция

Рис. 10. Графики функций f(х) (1), g(x)

N (2) è max(f(x), g(x)) (3). f(x) = å fi (x) ,

fi (x) = max (0, ai + bi x)?

Как выглядит ее график?

576 Математическое приложение

При каких значения а и b эта функция

Выпукла вниз?

Выпукла вверх?

- не имеет постоянного знака выпуклости?

IV. Пространство благ

Основные понятия

Многие теоретические вопросы обсуждаются в нашем учебни ке применительно к случаю двух продуктов. В качестве удобного средства, существенно упрощающего их анализ, использовались г рафические построения, в которых набор, включающий два продукта в коли- чествах x1 , è x2 изображался точкой на плоскости с декартовыми координатами (x1 , x2 ). Перевод теоретических понятий на геометри- ческий язык делал свойства обсуждаемых явлений весьма на глядными и при этом не приводил к потере строгости: все геометрические понятия (прямые, кривые, углы наклона и т. п.) имели точно определенные аналитические эквиваленты - уравнения, производные, с оотношения между параметрами и т. д. Поэтому такие построения широко используются и в учебниках по экономике, и в научных публикациях.

Однако эти геометрические рассуждения были строгими и то ч- ными лишь для случаев, когда перечень потребляемых благ в клю- чал всего два наименования. В действительности же число б лаг, которыми пользуются люди, значительно больше. Выводы, пол у- ченные геометрическим путем, можно считать обладающими д остаточной общностью, если их удастся распространить на слу чаи произвольного числа благ.