Квадратные уравнения применяются при решении многих задач. Значительная часть задач, легко решаемых при помощи уравнений первой степени, может быть решена и чисто арифметически, хотя иногда гораздо более трудным, длинным и часто искусственным путём. Задачи же, приводящие к квадратным уравнениям, как правило, совсем не поддаются арифметическому решению. А к таким задачам приводят многочисленные и самые разнообразные вопросы физики, механики, гидромеханики, аэродинамики и многих других прикладных наук.
Основные этапы составления квадратных уравнений по условиям задачи те же, что и при решении задач, приводящих к уравнениям первой степени. Приведём примеры.
Задача. 1. Две машинистки перепечатали рукопись за 6 час. 40 мин. Во сколько времени могла бы перепечатать рукопись каждая машинистка, работая одна, если первая затратила бы на эту работу на 3 часа больше второй?
Решение. Пусть вторая машинистка затратит на перепечатку рукописи х часов. Значит, первая машинистка затратит на эту же работу часов.
Узнаем, какую часть всей работы выполняет за один час каждая машинистка и какую - обе вместе.
Первая машинистка выполняет за час часть
Вторая часть.
Обе машинистки выполняют часть.
Отсюда имеем:
По смыслу задачи положительное число
Умножим обе части уравнения на После упрощения получим квадратное уравнение:
Так как , то уравнение имеет два корня. По формуле (В) найдём:
Но так как должно быть то значение не является допустимым для данной задачи.
Ответ. Первая машинистка затратит на работу часов, вторая 12 часов.
Задача 2. Собственная скорость самолёта км в час. Расстояние в 1 км самолёт пролетел дважды: сначала по ветру, затем против ветра, причём на второй перелёт он затратил на часов больше. Вычислить скорость ветра.
Ход решения изобразим в виде схемы.
Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
- Не имеют корней;
- Имеют ровно один корень;
- Имеют два различных корня.
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .
Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
- Если D < 0, корней нет;
- Если D = 0, есть ровно один корень;
- Если D > 0, корней будет два.
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a
= 1, b
= −8, c
= 12;
D
= (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a
= 5; b
= 3; c
= 7;
D
= 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a
= 1; b
= −6; c
= 9;
D
= (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.
Корни квадратного уравнения
Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
Основная формула корней квадратного уравнения
Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
Первое уравнение:
x
2 − 2x
− 3 = 0 ⇒ a
= 1; b
= −2; c
= −3;
D
= (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
Второе уравнение:
15 − 2x
− x
2 = 0 ⇒ a
= −1; b
= −2; c
= 15;
D
= (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их
\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]
Наконец, третье уравнение:
x
2 + 12x
+ 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.
Неполные квадратные уравнения
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:
Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:
- Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
- Если же (−c /a ) < 0, корней нет.
Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.
Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Вынесение общего множителя за скобкуПроизведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
Задача. Решить квадратные уравнения:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III
§ 50 Квадратные уравнения
Уравнения вида
ax 2 + bx + c = 0, (1)
где х - неизвестная величина, а, b, с - данные числа (а =/= 0), называются квадратными.
Выделяя в левой части квадратного уравнения полный квадрат (см. формулу (1) § 49), получаем:
Очевидно, что уравнение (2) эквивалентно уравнению (1) (см. § 2). Уравнение (2) может иметь действительные корни только тогда, когда или b 2 - 4ас > 0 (поскольку 4а 2 > 0).
Ввиду той особой роли, которую играет выражение D = b 2 - 4ас при решении уравнения (1), этому выражению дано специальное название - дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 (или дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c ). Итак, если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней .
Если же D =b 2 - 4ас > 0, то из (2) получаем:
Если дискриминант квадратного уравнения неотрицателен, то это уравнение имеет действительные корни. Они записываются в виде дроби, в числителе которой стоит коэффициент уравнения при х , взятый с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из дискриминанта, а в знаменателе - удвоенный коэффициент при х 2 .
Если дискриминант квадратного уравнения положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня:
Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень:
х = - b / 2 a
(В этом случае иногда говорят, что уравнение имеет два равных корня: x 1 = x 2 = - b / 2 a )
Примеры.
1) Для уравнения 2х 2 - х - 3 = 0 дискриминант D = (- 1) 2 - 4 2 (- 3) = 25 > 0. Уравнение имеет два различных корня:
2) Для уравнения 3х 2 - 6х + 3 = 0 D = (- 6) 2 - 4 3 3 = 0. Это уравнение имеет один действительный корень
3) Для уравнения 5х 2 + 4х + 7 = 0 D = 4 2 - 4 5 7 = - 124 < 0. Это уравнение не имеет действительных корней.
4) Выяснить, при каких значениях а квадратное уравнение х 2 + ах + 1 = 0:
а) имеет один корень;
б) имеет два разных корня;
в) вообще не имеет корней,
Дискриминант данного квадратного уравнения равен
D = а 2 - 4.
Если | а | = 2, тo D = 0; в этом случае уравнение имеет один корень.
Если | а | > 2, то D > 0; в этом случае уравнение имеет два разных корня.
Наконец, если | а | < 2, то данное уравнение не имеет корней.
Упражнения
Решить уравнения (№ 364-369):
364. 6х 2 - х - 1 = 0. 367. - х 2 + 8х - 16 = 0.
365. 3х 2 - 5х + 1 = 0. 368. 2х 2 - 12х + 12 == 0.
366. х 2 - х + 1 = 0. 369. 2х - х 2 - 6 = 0.
370. Можно ли число 15 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы их произведение было равно 70?
371. При каких значениях а уравнение
х 2 - 2ах + а (1 + а ) = 0
а) имеет два различных корня;
б) имеет только один корень;
в) не имеет корней?
372. При каких значениях а уравнение
(1 - а ) х 2 - 4ах + 4 (1 - а ) = 0
а) не имеет корней;
б) имеет не более одного корня;
в) имеет не менее одного корня?
373. При каком значении а уравнение х 2 + ах + 1 = 0 имеет единственный корень? Чему он равен?
374. В каких пределах заключено число а , если известно, что уравнения
х 2 + х + а = 0 и х 2 + х - а = 0
375. Что вы можете сказать о величине а , если уравнения
4а (х 2 + х ) = а - 2,5 и х (х - 1) = 1,25 - а
имеют одинаковое число корней?
376. Поезд был задержан на станции на t мин. Чтобы наверстать потерянное время, машинист увеличил скорость на а км/ч и на следующем перегоне в b км ликвидировал опоздание. С какой скоростью поезд шел до задержки на станции?
377. Два подъемных крана, работая вместе, разгрузили баржу за t ч. За какое время может разгрузить баржу каждый кран в отдельности, если один из них тратит на это на а ч меньше другого?
378. Один из заводов выполняет некоторый заказ на 4 дня быстрее, чем другой. За какое время может выполнить заказ каждый завод, работая отдельно, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполнили заказ в 5 раз больший?
Решить уравнения (№ 379, 380).
(Обратите внимание на та, что в этих уравнениях неизвестное содержится в знаменателях дробей. Полученные корни необходимо будет проверить!)
381*. При каких значениях а уравнения
х 2 + ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0
имеют хотя бы один общий корень?
Фарафонова Наталия Игоревна
Тема: Неполные квадратные уравнения.
Цели урока: - Ввести понятие неполного квадратного уравнения;
Научить решать неполные квадратные уравнения.
Задачи урока: - Уметь определять вид квадратного уравнения;
Решать неполные квадратные уравнения.
Уебник: Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - М. : Просвещение, 2010.
Ход урока.
1. Напомнить учащимся о том, что прежде, чем решать любое квадратное уравнение, необходимо привести его к стандартному виду. Вспомнить определение полного квадратного уравнения: ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
В данных квадратных уравнениях назвать коэффициенты a, b, c:
а) 2x 2 - x + 3 = 0; б) x 2 + 4x - 1 = 0; в) x 2 - 4 = 0; г) 5x 2 + 3x = 0.
2. Дать определение неполного квадратного уравнения:
Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 называют неполным , если хотя бы один из коэффициентов, bили c, равен 0. Обратить внимание, что коэффициент а ≠ 0. Из уравнений представленных выше, выбрать неполные квадратные уравнения.
3. Виды неполных квадратных уравнений с примерами решений удобнее представить в виде таблице:
- Не решая, определите количество корней для каждого неполного квадратного уравнения:
а) 2x 2 - 3 = 0; б) 3x 2 + 4 = 0; в) 5x 2 - x = 0; г) 0,6x 2 = 0; д) -8x 2 - 4 = 0.
- Решить неполные квадратные уравнения (решение уравнений, с проверкой у доски, 2 варианта):
в) 2x 2 + 15 = 0
г) 3x 2 + 2x = 0
д) 2x 2 - 16 = 0
е) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)
ж) (x + 1) 2 - 4 = 0
в) 2x 2 + 7 = 0
г) x 2 + 9x = 0
д) 81x 2 - 64 = 0
е) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)
ж) (x - 2) 2 - 8 = 0.
6. Самостоятельная работа по вариантам:
1 вариант
а) 3x 2 - 12 = 0
б) 2x 2 + 6x = 0
д) 7x 2 - 14 = 0
2 вариант
б) 6x 2 + 24 = 0
в) 9y 2 - 4 = 0
г) -y 2 + 5 = 0
д) 1 - 4y 2 = 0
е) 8y 2 + y = 0
3 вариант
а) 6y - y 2 = 0
б) 0,1y 2 - 0,5y = 0
в) (x + 1)(x -2) = 0
г) x(x + 0,5) = 0
д) x 2 - 2x = 0
е) x 2 - 16 = 0
4 вариант
а) 9x 2 - 1 = 0
б) 3x - 2x 2 = 0
г) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6
д) 3x 2 + 7 = 12x+ 7
5 вариант
а) 2x 2 - 18 = 0
б) 3x 2 - 12x = 0
г) x 2 + 16 = 0
д) 6x 2 - 18 = 0
е) x 2 - 5x = 0
6 вариант
б) 4x 2 + 36 = 0
в) 25y 2 - 1 = 0
г) -y 2 + 2 = 0
д) 9 - 16y 2 = 0
е) 7y 2 + y = 0
7 вариант
а) 4y - y 2 = 0
б) 0,2y 2 - y = 0
в) (x + 2)(x - 1) = 0
г) (x - 0,3)x = 0
д) x 2 + 4x = 0
е) x 2 - 36 = 0
8 вариант
а) 16x 2 - 1 = 0
б) 4x - 5x 2 = 0
г) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x
д) 5x 2 - 6 = 15x - 6
Ответы к самостоятельной работе:
1 вариант: а)2, б)0;-3; в)0; г)корней нет; д);
2 вариант а)0; б)корней; в); г); д); е)0;- ;
3 вариант а)0;6; б)0;5; в)-1;2; г)0;-0,5; д)0;2; е)4
4 вариант а); б)0;1,5; в)0;3; г)3; д)0;4 е)5
5 вариант а)3; б)0;4; в)0; г)корней нет; д) е)0;5
6 вариант а)0; б)корней нет; в) г) д)е)0;-
7 вариант а)0;4; б)0;5; в)-2;1; г)0;0,03; д)0;-4; е)6
8 вариант а) б)0; в)0;7; г)4; д)0;3; е)
Итоги урока: Сформулировано понятие «неполное квадратное уравнение»; показаны способы решения разных видов неполных квадратных уравнений. В ходе выполнения различных заданий отработаны навыки решения неполных квадратных уравнений.
7. Домашнее задание: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.
Дополнительное задание:
При каких значениях a уравнение является неполным квадратным уравнением? Решите уравнение при полученных значениях a:
а) x 2 + 3ax + a - 1 = 0
б) (a - 2)x 2 + ax = 4 - a 2 = 0