Как измерить отрезок линейкой. Прямая и отрезок, измерение и сравнение отрезков

На данном уроке рассмотрим важнейшее практическое действие в геометрии - измерение отрезков. Сначала вспомним определения отрезка и равных геометрических фигур. Введем понятия длины отрезка, измерения отрезка и единицы измерения. Расскажем об основных единицах измерения и измерительных инструментах. В конце урока решим несколько примеров на сравнение и измерение отрезков.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки и ,

Из материала предыдущего урока вспомним, что называется отрезком. Это геометрическая фигура, которая являет собой часть прямой, заключенной между двумя точками. Также мы уяснили, как сравниваются отрезки, - наложением. Однако данный способ сравнения неудобный в случае, когда отрезки очень длинные. Кроме того, нам необходимо знать, на сколько отличаются те или иные отрезки.

Рассмотрим рисунок 1.

Рис. 1. Отрезок MN

Отрезок MN = 2 см. Данная запись говорит о том, что существует эталонный отрезок 1 сантиметр, который помещается в отрезке MN 2 раза. К отрезку приставляется положительное число, которое характеризует длину отрезка. Единицами измерения отрезков являются метры, километры, сантиметры, дециметры и миллиметры. Рассмотрим взаимоотношение между этими единицами. 1 км = 1000 м. 1м = 10 дм = 100 см = 1000 мм.

Рис. 2. Сумма длин отрезков

В случае, когда мы знаем длины отрезков, которые являются частью данного отрезка, то мы можем сложить эти длины и получить общую длину целого отрезка.

Рассмотрим некоторые задачи.

На прямой АВ отметьте точку С, которая лежит в двух сантиметрах от точки А.

Выполним разъяснительный рисунок.

Рис. 3. Рисунок к примеру 1

На рисунке отмечены точки, которые лежат на расстоянии 2 сантиметра от точки А, - . Вполне логично, что таких точек 2, потому что мы должны учесть 2 сантиметра вправо и 2 сантиметра влево.

Точка В делит отрезок АС на 2 части, длины которых равны 7,8 см, 25 мм. Найдите длину отрезка АС.

На рисунке 4 отмечены данные точки:

Рис. 4. Рисунок к примеру 2

По правилу сложения отрезков АВ + ВС = АС. Однако сложность этой задачи состоит в единицах измерения, так как в условии они разные. Пусть 7,8 см = 78 мм.

В таком случае АВ + ВС = 78 мм + 25 мм = 103 мм = 10,3 см.

Ответ: АС = 103 мм 10,3 см.

На прямой лежат точки В, D, M. Расстояние между точками В и D равно 7 см, а расстояние между D и М равно 16 см. Укажите расстояние между точками В и М.

Рассмотрим 2 случая.

Рис. 5. Рисунок к примеру 3

В случае, если точка М лежит справа от точек В и D, расстояние ВМ легко можно найти по правилу сложения длин отрезков. ВМ = ВD + DМ = 7 + 16 = 23 (см).

В случае, когда точка М лежит левее точек В и D, то расстояние МВ вычисляется следующим образом: МВ = МD - ВD = 16 - 7 = 9 (см).

Ответ: 23 см или 9 см.

На отрезке АВ длиной 64 см отмечена середина С. На луче СА отмечена точка D, расстояние от которой до середины равно 15 см. Найдите длину отрезков DВ и DА.

Выполним рисунок к задаче.

Рис. 6. Рисунок к примеру 4

Поскольку С - середина отрезка АВ, то отрезок АС = СВ = 64: 2 = 32 (см). Немаловажно указать, что положение точки D единственно. Найдем указанные в условии отрезки: DВ = СВ + DС = 32 + 15 = 47 (см). DА = АС - DС = 32 - 15 = 17 (см).

Ответ: 47 см, 17 см.

Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АВ = 3 см, СВ = 4 см, АС = 5 см?

Вспомним, что в случае, когда три точки лежат на одной прямой, больший отрезок равен сумме двух других. К примеру:

Рис. 7. Рисунок к примеру 5

Если АС = АВ + ВС выполнено, то три точки А, В и С лежат на одной прямой. В нашем случае длина отрезка АС не равна сумме отрезков АВ и СВ, так как 3 + 4 = 7 5.

Поэтому эти три точки будут образовывать треугольник:

Рис. 8. Рисунок к примеру 5

Ответ: Точки А, В, С не лежат на одной прямой.

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. - М.: Просвещение.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. - М.: Просвещение.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.

Измерение отрезков ().
Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе ().
Прямая линия, отрезок ().

1. № 7, 8. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.

2. Укажите, лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС = 2 см, ВС = 8 см, ВА = 4 см.

3. Укажите, чему равна длина отрезка МЕ, если отрезок АК = 2 см, а К, М, Р - середины отрезков.

4.* Периметр (сумма всех сторон) прямоугольника равен 36 см, а большая сторона равна 12 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Смакотина Лидия Александровна,

учитель математики

Геометрия 7 класс

Тема: «Отрезок. Измерение отрезков»

(с применением лабораторно-практических работ)

Цели: систематизировать знания учащихся об отрезке; развивать наглядные

геометрические представления, научить изображать, измерять на рисунке

отрезки; привитие интереса к предмету геометрия через практическую

деятельность; формирование логического мышления учащихся.

Оборудование: измерительная линейка, цветные карандаши, компьютер

для показа слайдов.

Ход урока:

I.1. Проверка письменного домашнего задания.

2. Работа по вопросам:

а) Сколько прямых можно провести через две точки?

б) Сколько общих точек могут иметь две прямые?

3. Работа по слайду № 1.

Сколько общих точек имеют прямые, изображенные на рисунках? Записать через знаки «принадлежит», «не принадлежит», «не пересекаются».

II. Изучение нового материала

Практическая работа № 1

Начертите отрезок. Измерьте длину отрезка линейкой. Результаты запишите. Сделайте вывод.

(Например: А В, АВ = 3 см, АВ 0)

Начертите отрезок АС = 6 см. Точка В принадлежит отрезку. Длина отрезка

А В С АВ = 4 см. Измерьте длину отрезка ВС. Запишите результат. Сделайте вывод:

АС = 6см, АВ = 4 см, ВС = 2 см, АС = АВ + ВС

Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Практическая работа № 2.

Проведите прямую а

Нанесите три точки, принадлежащие этой прямой

Трое учащихся выходят к доске. Они играют роль букв А, В и С. (На груди у них приколоты соответствующие буквы) Встают в том порядке, в каком написаны буквы на прямой а.

Объясните, где стоит буква А?

Где расположена эта буква на прямой а?

Можно ли сказать, что буквы В и С стоят по разные стороны от буквы А?

Кроме точки А, лежит ли еще какая-нибудь точка между двумя другими?

Сделать вывод: Мы получили важное свойство расположения точек на прямой. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Выделите часть прямой между точками В и С цветным карандашом

Как называется выделенная часть прямой? Как обозначается отрезок?

Лабораторная работа «Единицы измерения отрезков»

Начертите произвольный отрезок СД. Возьмите за единицу измерения 1 см и измерьте отрезок СД.

У кого длина отрезка получилась целым числом сантиметров?

Назовите единицу измерения меньше 1 см.

Измерьте длину отрезка СД в мм. Сравните полученные результаты измерения в см и мм. Сделайте вывод. (Равные отрезки имеют одинаковую длину)

Какие единицы измерения вы еще знаете для измерения отрезков в тетради, на школьной доске, на местности, мелких предметов?

Что мы будем называть серединой отрезка? Как найти середину отрезка?

III. Закрепление изученного материала.

Решить задачу (она записана на слайде № 2). При решении данной задачи показать правильную запись в тетради; показать, что задачи могут иметь несколько решений и учить учащихся рассматривать все возможные случаи.

Задача: Точки М, А и В расположены на одной прямой, причем отрезок АМ вдвое больше отрезка ВМ. Найти отрезок АМ, если АВ = 6 см.

По условию, АВ = 6 см. АМ = 2 МВ, АМ = АВ = 4 см.

Имеем: АМ + АВ + ВМ. По условию. АВ + 6 см, АМ = 2 МВ, АМ + 2 АВ = 12см.

А по условию АМ ВМ, А ВМ.

Ответ: задача имеет два решения. Длина отрезка АМ равна 4 см или 12 см.

IV. Подведение итогов урока.

Повторение теоретического материала по слайду № 3.

Свойства измерения отрезков

Тема урока: «Измерение отрезков»

Цели урока:

1) Обучающая: формирование знаний о длине отрезка, свойствах длин отрезка, инструментах измерения отрезков; формирование умений измерять данный отрезок и выразить его длину в миллиметрах, сантиметрах, метрах и т.д., а также находить длину отрезка, разделённого на две части точкой, длины которого известны.

2) Развивающая : развитие умений применять полученные теоретические знания на практике, развитие внимания, аналитических способностей.

3) Воспитывающая : воспитание интереса к изучению математики, ответственности, самостоятельности.

Литература: «Геометрия 7 – 9 класс» Л. С. Атанасян и др..

План урока:

Организационный момент.

Актуализация опорных знаний.

Получение знаний.

Закрепление нового материала.

Рефлексия.

Домашнее задание.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся. Ставятся цели и определяются задачи урока.

Объявляется тема урока. Учащиеся записывают тему урока и дату в рабочих тетрадях.

2. Актуализация опорных знаний.

На прошлом уроке мы говорили о сравнении двух отрезков способом наложения их друг на друга.

– Скажите, в каком случае два отрезка называют равными? (если их можно совместить наложением)

Сегодня на уроке мы снова поговорим об измерении отрезков, а точнее научимся измерять отрезки и выражать их длину в миллиметрах, сантиметрах, метрах.

Для начала, давайте, ответим на несколько вопросов.

– Что называют серединой отрезка?

– Что называют биссектрисой угла?

3. Получение знаний.

В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с измерением высот зданий, сооружений, а также с измерением расстояний, которые мы прошли или проехали. С точки зрения геометрии мы имеем в таких случаях дело с измерением отрезков.

Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения. Такой отрезок также называют масштабным отрезком.

Давайте определим длину некоторого отрезка АВ, приняв за единицу измерения сантиметр (рисунок 1). Видим, что в данном отрезке АВ сантиметр укладывается ровно четыре раза, а это означает, что его длина равна четыре сантиметра. Обычно говорят кратко: «Отрезок АВ равен четыре сантиметра». А записывают так: АВ = 4 см.

1 см

Рисунок 1.

Но может оказаться так, что отрезок, принятый за единицу измерения не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке.

1 см

Возьмём отрезок CD (рисунок 2). Сантиметр укладывается в отрезок пять раз, но при этом получается остаток. В таком случае единицу измерения необходимо разделить на равные части, обычно делят на десять равных частей, и определить, сколько таких частей укладывается в остатке. В нашем случае в остатке шесть раз укладывается десятая часть отрезка, поэтому длина отрезка CD равна пять целых шесть десятых сантиметра. Отметим, что одну десятую часть сантиметра называют миллиметром (мм).

Рисунок 2.

Однако может возникнуть ситуация, когда и миллиметр не будет укладываться в остатке целое число раз, и получится новый остаток. Тогда и миллиметр можно разделить на 10 частей и продолжить процесс измерения.

Единицей измерения отрезка может быть не только сантиметр, но и другой отрезок.

Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом.

Исходя из проделанного выше, можно сказать, что это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке.

1смм см

1см см

5 см

Возьмём два равных отрезка АВ и С D (рисунок 3). Единицы измерения в этих отрезках укладываются одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины.

5 см

Рисунок 3.

1см см

1см

4 см

3 см

Если же мы возьмём два неравных отрезка KL и MN (рисунок 4), то увидим, что в меньшем отрезке MN единица измерения укладывается меньшее число раз, чем в отрезке KL , т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

Рисунок 4.

Теперь рассмотрим отрезок АВ (рисунок 5). Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Измерим эти отрезки. Видим, что отрезок АС равен четыре сантиметра, отрезок СВ равен три целых пять десятых сантиметра и отрезок АВ равен семь целых пять десятых сантиметра. Получили:

АС + СВ = АВ.

Таким образом, сформулируем следующее.

Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

4 см

3,5 см

7,5 см

Рисунок 5.

Следует сказать, что если длина некоторого отрезка АВ в k раз больше отрезка CD , то записывают это следующим образом: АВ= kCD .

Отметим также, что длина отрезка называется расстоянием между концами этого отрезка.

Поговорим о единицах измерения. Для измерения отрезков и нахождения расстояний используются различные единицы измерения. Стандартной международной единицей измерения отрезков является метр – отрезок, который приблизительно равен земного меридиана. Эталон метра хранится в Международном бюро мер и весов во Франции.

В одном метре сто сантиметров (1 м =100 см), а один сантиметр содержит десять миллиметров (1 см = 10 мм).

При измерении небольших расстояний, например, расстояния между точками на листе бумаги или нахождении длины карандаша за единицу измерения принимают сантиметр или миллиметр . Высоту дерева можно измерить в метрах . А вот расстояние, которое мы пройдём на лыжах, можно измерить в километрах .

Можно также использовать и такие единицы измерения, как дециметр (1 дм = 10 см), морская миля , равная одной целой восьмистам пятидесяти двум тысячным километра (1 миля = 1,852 км). А вот для измерения очень больших расстояний в астрономии используется такая единица измерения, как световой год (это путь, который проходит свет в течение одного года).

Для измерения расстояний могут использоваться различные инструменты. Например, в техническом черчении используется масштабная миллиметровая линейка . Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой . А вот для измерения диаметра трубки можно воспользоваться штангенциркулем .

4. Закрепление нового материала.

Для закрепления материала учащимся предлагается выполнить следующие практические задания.

Задание 1. На прямой отмечены точки А, В и С. Отрезок АВ = 50 мм, а отрезок АС = 1,7 дм. Найдите длину отрезка ВС в сантиметрах. Рассмотрите различные варианты взаимного расположения точек.

Решение: Переведём значения длин отрезков в сантиметры.

АВ = 50 мм = 5 см; АС=1,7 дм =17 см.

Рисунок 6.

ВС = АС – АВ, ВС = 17 см – 5 см = 12 см.

Рисунок 7.

ВС = АВ + АС, ВС = 5 см + 17 см = 22 см.

Рисунок 8.

В данном случае задача не имеет решения, так как АС > АВ.

Ответ: 12 см или 22 см.

Задание 2. На прямой MN лежит точка L . Найдите длину отрезка MN , если ML = 7 см, а LN = 4 ML .

Решение: MN = ML + LN = ML + 4 ML = 5 ML ;

Рисунок 9.

MN = 5*7 =35 см.

Ответ: 35 см.

Задание 3. Точка О – середина отрезка KL , длина которого равна 8,4 см. От точки О на прямой KL отложены отрезки ОМ = 2 см и ON = 5 см. Найдите длины отрезков КМ и KN, если MN = 3 см.

Рисунок 10.

Решение: Так как О – середина отрезка KL , то KO = О L = 4,2 см.

KM = KO + OM = 4,2 + 2 =6,2 см.

KN = KL + LN .

Из последнего выражения видим, чтобы найти длину отрезка KN , нам необходимо найти длину отрезка LN .

Так как О L = 4,2 см и ON = 5 см, то LN = ON – О L = 5 – 4,2 = 0,8 см.

Тогда KN = 8,4 + 0,8 = 9,2 см.

Ответ: 6,2 см; 9,2 см.

5. Рефлексия.

Подводятся итоги урока, обсуждается, что учащиеся узнали. Учащиеся задают вопросы, возникшие при изучении нового материала и выполнении практических заданий. Затем ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы записанной на доске:

сегодня я узнал…

было интересно…

было трудно…

я выполнял задания…

я понял, что…

я научился…

у меня получилось …

Оценивается работа учащихся на уроке.

6. Домашнее задание: § 4, № 26, 34.

Прямая

Понятие прямой, также как и понятие точки является основными понятиями геометрии. Как известно основные понятия не определяется. Это не является и исключением для понятия прямой. Поэтому рассмотрим суть этого понятия через его построение.

Возьмем линейку и, не отрывая карандаша, проведем линию произвольной длины (рис. 1).

Полученную линию мы и будем называть прямой . Однако тут необходимо отметить, что это не вся прямая, а только её часть. Всю же прямую построить не имеется возможным, она является бесконечной на обоих своих концах.

Прямые будем обозначать маленькой латинской буквой, либо двумя её точками в круглых скобках (рис. 2).

Понятия прямой и точки связаны тремя аксиомами геометрии:

Аксиома 1: Для каждой произвольной прямой существует как минимум две точки, которые на ней лежат.

Аксиома 2: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.

Аксиома 3: Через $2$ произвольные точки всегда проходит прямая, причем эта прямая единственна.

Для двух прямых актуально их взаимное расположение. Возможны три случая:

Две прямые совпадают. В этом случае каждая точка одной будет также и точкой другой прямой.
Две прямые пересекаются. В этом случае только какая-то одна точка из одной прямой будет также принадлежать и другой прямой.
Две прямые параллельны. В этом случае у каждой из этих прямых свой набор различных друг от друга точек.

В этой статье мы не будем подробно останавливаться на этих понятиях.

Отрезок

Пусть нам дана произвольная прямая и две точки, принадлежащие ей. Тогда

Определение 1

Отрезком будет называться часть прямой, которая ограничена двумя ее произвольными различными точками.

Определение 2

Точки, которыми ограничен отрезок в рамках определения 1 называются концами этого отрезка.

Отрезки будем обозначать двумя её точками концов в квадратных скобках (рис. 3).

Сравнение отрезков

Рассмотрим два произвольных отрезка. Очевидно, что они могут быть либо равными, либо неравными. Чтобы разобраться в этом, нам нужна следующая аксиома геометрии.

Аксиома 4: Если оба конца двух различных отрезков совпадут при их наложении, то такие отрезки будут равными.

Итак, для сравнения выбранных нами отрезков (обозначим их отрезок 1 и отрезок 2) наложим конец отрезка 1 на конец отрезка 2, так, чтобы, отрезки оставались по одну сторону от этих концов. После такого наложения возможны два следующих случая:

Длина отрезка

Помимо сравнения одних отрезков с другими также часто необходимо измерение отрезков. Измерить отрезок означает найти его длину. Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» отрезок, который мы будем принимать за единицу (к примеру отрезок, длина которого равняется 1 сантиметру). После выбора такого отрезка мы проводим с ним сравнение отрезков, длину которого нужно найти. Рассмотрим пример.

Пример 1

Найти длину следующего отрезка

если следующий отрезок равняется 1

Для его измерения возьмем за эталон отрезок $$. Будем откладывать его на отрезок $$. Получим:

Ответ: $6$ см.

Понятие длины отрезка связаны со следующими аксиомами геометрии:

Аксиома 5: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, длина любого отрезка будет положительна.

Аксиома 6: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, мы можем для любого положительного числа найти отрезок, у которого длина равняется данному числу.

После определения длины отрезков у нас появляется второй способ для сравнения отрезков. Если при одном и том же выборе единицы длины отрезок $1$ и отрезок $2$ будут иметь одинаковую длину, то такие отрезки будут называться равными. Если же, без ограничения общности, отрезок 1 будет иметь длину по числовому значению меньше длины отрезка $2$, то отрезок $1$ будет меньше отрезка $2$.

Самым простым способом измерения длины отрезков является измерение, с помощью линейки.

Пример 2

Записать длины следующих отрезков:

Измерим их с помощью линейки:

$4$ см.
$10$ см.
$5$ см.
$8$ см.

Прямая

Возьмем линейку и, не отрывая карандаша, проведем линию произвольной длины (рис. 1).

Прямые будем обозначать маленькой латинской буквой, либо двумя её точками в круглых скобках (рис. 2).

Понятия прямой и точки связаны тремя аксиомами геометрии:

Аксиома 1: Для каждой произвольной прямой существует как минимум две точки, которые на ней лежат.

Аксиома 2: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.

Аксиома 3: Через $2$ произвольные точки всегда проходит прямая, причем эта прямая единственна.

Для двух прямых актуально их взаимное расположение. Возможны три случая:

Две прямые совпадают. В этом случае каждая точка одной будет также и точкой другой прямой.
Две прямые пересекаются. В этом случае только какая-то одна точка из одной прямой будет также принадлежать и другой прямой.
Две прямые параллельны. В этом случае у каждой из этих прямых свой набор различных друг от друга точек.

В этой статье мы не будем подробно останавливаться на этих понятиях.

Отрезок

Пусть нам дана произвольная прямая и две точки, принадлежащие ей. Тогда

Определение 1

Отрезком будет называться часть прямой, которая ограничена двумя ее произвольными различными точками.

Определение 2

Точки, которыми ограничен отрезок в рамках определения 1 называются концами этого отрезка.

Отрезки будем обозначать двумя её точками концов в квадратных скобках (рис. 3).

Сравнение отрезков

Длина отрезка

Пример 1

Найти длину следующего отрезка

если следующий отрезок равняется 1

Для его измерения возьмем за эталон отрезок $$. Будем откладывать его на отрезок $$. Получим:

Ответ: $6$ см.

Понятие длины отрезка связаны со следующими аксиомами геометрии:

Аксиома 5: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, длина любого отрезка будет положительна.

Самым простым способом измерения длины отрезков является измерение, с помощью линейки.

Пример 2

Записать длины следующих отрезков:

Измерим их с помощью линейки:

$4$ см.
$10$ см.
$5$ см.
$8$ см.

Портал для школьника. Самоподготовка

Отрезок

Сравнение отрезков

Длина отрезка

Отрезок

Сравнение отрезков

Длина отрезка

СХОЖИЕ СТАТЬИ