55. Уравнение с двумя неизвестными . Рассмотрим теперь уравнение
Оно является записью задачи: найти числовые значения для x и y, чтобы двучлен 5x + 3y оказался равным числу 18.
Мы знаем, что если бы в этом двучлене было бы лишь одно неизвестное число, то и тогда мы сумели бы решить соответствующее уравнение. Поэтому возникает соображение, что здесь одно из неизвестных является как бы лишним: если взамен неизвестного y, например, взять какое угодно число, то мы получим уравнение с одним неизвестным.
А если так, то данное уравнение должно иметь сколько угодно решений, и выясняется способ их получения: станем давать одному из неизвестных, например, y, произвольные значения и всякий раз из получаемого уравнения с 1 неизвестным станем определять другое неизвестное x. Чтобы придать этой работе больше порядка, будем результаты ее записывать в таблице.
Дадим y значение 0, т. е. примем, что y = 0 (записано в первой строчке таблицы). Тогда наше уравнение обратится в
(в таблице записываем это число во втором столбце, озаглавленном буквою x).
Итак, мы получили одно решение нашего уравнения: y = 0 и x = 3(3/5) (если эти значения подставить в наш двучлен вместо x и y, то требование, чтобы двучлен равнялся числу 18, оправдается:
3 * 3(3/5) + 3 * 0 = 18).
Дадим y значение 1, т. е. примем, что y = 1 (вторая строчка таблицы); тогда получим
откуда 5x = 18 – 3 или 5x = 15 и x = 3 (записано во 2-ой строчке). Итак, найдено второе решение уравнения y = 1 и x = 3.
Дадим y значение 7, т. е. примем, что y = 7; тогда получим уравнение 5x + 21 = 18, откуда 5x = –3 и x = –3/5 (см. 3-ю строчку таблицы).
Примем еще y = –2½; тогда 5x + 3(–2½) = 18 или 5x – 7½ = 18, откуда 5x = 25½ и x = 5(1/10) = 5,1 (см. 4-ю строчку таблицы). Эту работу можно продолжить сколь угодно далеко. Итак, одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений; для их получения надо одному неизвестному давать произвольные значения и из получаемых уравнений определять всякий раз другое неизвестное .
Рассматривая предыдущую таблицу и вспоминая п. 49, мы установим: у нас y был независимым переменным, x - зависимым, или x является функцией y – a.
Мы можем несколько ускорить работу нахождения решений данного уравнения. Сочтем y за известное число (все равно, ведь, y мы всякий раз заменяли известным числом); тогда на уравнение 5x + 3y = 18 мы можем смотреть, как на уравнение с одним неизвестным x и решим это уравнение:
5x = 18 – 3y; x = (18 – 3y) / 5
Мы можем этот результат выразить словами так: мы из данного уравнения определили y через x .
Теперь по формуле (18 – 3y) / 5 мы можем легко найти сколько угодно решений, делая вычисления в уме. Примем, например, y = 2. Тогда надо (–3) умножить на (+2), получим –6; сложить (+18) и (–6) - получим +12 и разделить на 5 - получим x = +2(2/5). Еще пусть y = 10; тогда (–3) · (+10) = –30; (+18) + (–30) = –12; (–12) : (+5) = –2(2/5), т. е. x = –2(2/5) и т. д.
Возьмем еще уравнение:
Примем за независимое переменное x, а за зависимое y и определим y через x. Это можно сделать двумя приемами:
Быть может второй прием удобнее 1-го, так как его выполнение легче поддается воображению, если желательно выполнить определение y-а через x в уме.
Теперь мы можем найти сколько угодно решений нашего уравнения: 1) x = 0; y = –5(2/3); 2) x = 1; y = –4; 3) x = –1; y = –7(1/3) и т. д.
Следует приучиться быстро (в уме) определять одно из неизвестных данного уравнения с двумя неизвестными через другое. Примеры:
Уравнения и системы уравнений первой степени
Два числа или какие-нибудь выражения, соединенные знаком « = », образуют равенство . Если данные числа или выражения при любых значениях букв равны, то такое равенство называют тождеством .
Например, когда утверждают, что при любом а действительном:
а + 1 = 1 + а , здесь равенство является тождеством.
Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами. Эти буквы называют неизвестными . Неизвестных в уравнении может быть несколько.
Например, в уравнении 2х + у = 7х – 3 два неизвестных: х и у .
Выражение, стоящее в уравнении слева (2х + у ) называют левой частью уравнения, а выражение, стоящее в уравнении справа (7х – 3), называют правой его частью.
Значение неизвестного, при котором уравнение становится тождеством, называется решением или корнем уравнения.
Например, если в уравнение 3х + 7=13 вместо неизвестного х подставить число 2, получим тождество . Следовательно, значение х = 2 удовлетворяет данному уравнению и число 2 есть решение или корень данного уравнения.
Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными ), если все решения первого уравнения являются решениями второго и наоборот, все решения второго уравнения являются решениями первого. К равносильным уравнениям относятся также уравнения, не имеющие решений.
Например, уравнения 2х – 5 = 11 и 7х + 6 = 62 равносильны, так как они имеют один и тот же корень х = 8; уравнения х + 2 = х + 5 и 2х + 7 = 2х равносильны, потому что оба не имеют решений.
Свойства равносильных уравнений
К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.
Пример. Уравнение 2х – 1 = 7 имеет корень х = 4. Прибавив к обеим частям по 5, получим уравнение 2х – 1 + 5 = 7 + 5 или 2х + 4 = 12, которое имеет тот же корень х = 4.
2. Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить.
Пример. Уравнение 9х + 5х = 18 + 5х имеет один корень х = 2. Опустив в обеих частях 5х , получим уравнение 9х = 18, которое имеет тот же корень х = 2.
3. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
Пример. Уравнение 7х - 11 = 3 имеет один корень х = 2. Если перенести 11 в правую часть с противоположным знаком, получим уравнение 7х = 3 + 11, которое имеет то же решение х = 2.
4. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение (число), имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного, полученное уравнение будет равносильно данному.
Пример. Уравнение 2х - 15 = 10 – 3х имеет корень х = 5. Умножив обе части на 3, получим уравнение 3(2х – 15) = 3(10 – 3х ) или 6х – 45 =30 – 9х , которое имеет тот же корень х = 5.
5. Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно умножению обеих частей на (-1)).
Пример. Уравнение – 3х + 7 = – 8 после умножения обеих частей на (-1) примет вид 3х - 7 = 8. Первое и второе уравнения имеют единственный корень х = 5.
6. Обе части уравнения можно разделить на одно и тоже число, отличное от нуля (то есть, не равное нулю).
Пример. Уравнение
имеет два корня:
и
.
Разделив все его члены на 3, получим
уравнение
,
равносильное данному, так как оно имеет
те же два корня:
и
.
7. Уравнение, в котором коэффициенты всех или нескольких членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами, для этого обе части уравнения надо умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробных коэффициентов.
Пример. Уравнение
после умножения обеих частей на 14 примет
вид:
Легко убедиться в том, что первое и последнее уравнения имеют корень х = 10.
Уравнения первой степени
Уравнение с одним неизвестным,
которое после раскрытия скобок и
приведения подобных членов принимает
вид
,
где
произвольные
числа, х
–
неизвестное, называется уравнением
первой степени с одним неизвестным
(или линейным
уравнением с одним неизвестным).
Пример. 2х + 3 = 7 – 0,5х ; 0,3х = 0.
Уравнение первой степени с одним
неизвестным всегда имеет одно решение;
линейное уравнение может не иметь
решений (
)
или иметь их бесконечное множество (
).
Пример. Решить уравнение .
Решение. Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.
После сокращения получим: . Раскроем скобки, чтобы отделить члены, содержащие неизвестное и свободные члены:
Сгруппируем в одной части (левой) члены, содержащие неизвестное, а в другой части (правой) - свободные члены:
Приведем подобные члены:
.
Разделив обе части на (-22), получим х
= 7.
Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
Уравнение вида
,
где
называется уравнением
первой степени с двумя неизвестными х
и у
.
Если находят общие решения двух и более
уравнений то говорят, что эти уравнения
образуют систему, их записывают обычно
одно под другим и объединяют фигурной
скобкой, например
.
Каждая пара значений неизвестных, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям системы, называется решением системы . Решить систему – это значит найти все решения этой системы или показать, что она их не имеет. Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными ), если все решения одной из них являются решениями другой и наоборот, все решения другой являются решениями первой.
Например, решением системы
является пара чисел х
= 4 и у
=
3. Эти числа являются также единственным
решением системы
.
Следовательно, эти системы уравнений
равносильны.
Способы решения систем уравнений
1. Способ алгебраического сложения. Если коэффициенты при каком-нибудь неизвестном в обоих уравнениях равны по абсолютной величине, то складывая оба уравнения (или вычитая одно из другого), можно получить уравнение с одним неизвестным. Решая это уравнение, определяют одно неизвестное, а подставляя его в одно из уравнений системы, находят второе неизвестное.
Примеры: Решить системы уравнений: 1) .
Здесь коэффициенты при у
по абсолютной величине равны между
собой, но противоположны по знаку. Для
получения уравнения с одним неизвестным
уравнения системы почленно складываем:
Полученное значение х
= 4 подставляем в какое-нибудь уравнение
системы, например в первое, и находим
значение у
:
.
Ответ: х = 4; у = 3.
2)
.
Уравняем коэффициенты при х . Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на (– 2) и сложим полученные уравнения.
Ответ:
.
2. Способ подстановки. Из любого уравнения системы одну из неизестных выражаем через остальные, а затем подставляем значение этой неизвестной в остальные уравнения. Рассмотрим этот способ на конкретных примерах:
1) Решим систему уравнений
.
Выразим из первого уравнения одно из
неизвестных, например х
:
и подставим полученное значение х
во второе уравнение системы, получим
уравнение с одним неизвестным у
:
Подставим у
= 1 в выражение для х
,
получим
.
Ответ:
.
2)
.
В этом случае удобно выразить у
из второго уравнения:
Полученное значение у подставляем в первое уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным х :
Подставим значение х = 5 в выражение для у , получим .
Ответ:
.
3) Решим систему уравнений
.
Из первого уравнения находим
.
Подставив это значение во второе
уравнение, получим уравнение с одним
неизвестным у
:
Подставим у
= 5 в выражение для х
,
получим
Ответ:
.
3. Способ замены. К cистемам двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно приводить некоторые нелинейные системы. Это можно осуществлять способом замены.
Пример. Решить систему.
.
Перепишем систему в виде:
.
Заменим неизвестные, положив
,
получим линейную систему
.
Из первого уравнения выразим неизвестное
.
Подставим значение
во второе уравнение, получим уравнение
с одним неизвестным:
.
Подставив значение v
в выражение для t
,
получим:
.
Из соотношений
находим
.
Исследование системы уравнений
Исследуем сколько решений может
иметь система уравнений
,
где
- коэффициенты при неизвестных,
- свободные члены.
А) Если
,
то система имеет единственное
решение.
Б) Если
,
то система не имеет
решений.
Программа единого элективного курса по математике для 9-11 классов
Программа9,10,11 классов. Первая часть курса (17 ... . Повторить с учащимися свойства степени ; действия вещественными числами. с/р... Иррациональные уравнения и системы уравнений . Повторить с учащимися способы решения иррациональных уравнений и систем уравнений . с/р...
Ответы на экзаменационные вопросы интернет-курсов интуит (intuit): Автоматизированное проектирование промышленных изделий
Экзаменационные вопросы... система уравнений Дана система уравнений Дана система уравнений Дана система уравнений Дана система уравнений регрессии. В результате её решения находят: Дана система уравнений ... целью образования первой части. Далее... ограничением на степени вершин? Когда...
Когда мы обдумываем решение той или иной задачи, необходимо обращать внимание на то, какие в ней используются величины. Целые или дробные? Положительные или отрицательные? Ведь незначительная деталь помогает не только устранить ошибку в решении той или иной задачи, но и найти само решение. Разберем это на примере.
Пусть у Миши (заранее извиняюсь, если посетитель сайта Михаил) есть пятирублёвые и,допустим, восьмирублевые монеты. Всего их на сумму тридцать девять рублей. Сколько монет по пять рублей и сколько по восемь у Миши.
Кажется, что тут не хватает данных, если, например, через x обозначить кол-во 5-рублёвых монет, а за y - 8-рублёвых монет, то условие самой задачи позволяет написать одно единственное уравнение:
Эти и другие уравнения и их системы, в которых число неизвестных превышает число уравнений, называют неопределёнными.
Из условия видно, что кол-во монет не может измеряться нецелыми или отрицательными числами. Значит, если x - целое неотрицательное число, то и:
должно быть неотрицательным и целым. А значит, нужно, чтобы выражение 39 - 5x без остатка делилось на 8. С помощью подбора можно убедится, что это возможно при x = 3. Отсюда, y = 3.
Перебор вариантов не удобен, когда мы работаем с большими числами. Гораздо лучше воспользоваться методом рассевания или методом спуска, который придумали древнеиндийские математики. О методе спуска будет сказано чуть ниже.
(материал взят из энциклопедии Аванта+ "Математика")Продолжим рассмотрение неопределённого уравнения вида:
где a, b, c - известные целые коэффициенты.
Разберём это всё на знакомом примере:
Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое неизвестное:
Теперь выделим целую часть:
Всё число будет целым, если целым окажется значение (4 - 3у)/5. Это возможно лишь тогда когда число (4 - 3у) без остатка делится на 5. Вводя дополнительную целочисленную переменную z, последнее условие запишем в виде
Мы пришли к уравнению такого же типа, как и исходное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его теперь нужно относительно переменных y и z.
Продолжаем действовать всё по тому же принципу:
Для того чтобы у оказалось целым, необходимо, чтобы число 1 - 2z без остатка делилось на 3: 1 - 2z = 3u (вновь введена дополнительная переменная u, принимающая только целые значения). Отсюда по уже отработанной схеме получаем:
Продолжим... Число z будет целым, если число 1 - u без остатка делится на 2: 1 - u = 2v, где v - произвольное целое. Отсюда u =1 - 2v. Дробей больше нет, спуск закончен.
Осталось теперь благополучно «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом у и, наконец, х:
Формулы х = 3 + 8v, y = 3 - 5v представляют общее решение исходного уравнения в целых числах. А если нас интересуют только неотрицательные целые числа, то среди всех целых решений нужно выбрать такие, для которых
Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.
Число c является n -ной степенью числа a когда:
Операции со степенями.
1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:
a m ·a n = a m + n .
2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:
(a/b) n = a n /b n .
5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:
(a m) n = a m n .
Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.
Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .
Операции с корнями.
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:
3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:
5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:
Формулу a m :a n =a m - n можно использовать не только при m > n , но и при m < n .
Например . a 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .
Чтобы формула a m :a n =a m - n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.
Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .