Научно-практическая конференция

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 23»

города Вологды

секция: естественно - научная

проектно-исследовательская работа

ВИДЫ СИММЕТРИИ

Выполнила работу ученица 8 «а» класса

Кренёва Маргарита

Руководитель: учитель математики высшей

2014 год

Структура проекта:

1. Введение.

2. Цели и задачи проекта.

3. Виды симметрии:

3.1. Центральная симметрия;

3.2. Осевая симметрия;

3.3. Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости);

3.4. Поворотная симметрия;

3.5. Переносная симметрия.

4. Выводы.

Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

Г. Вейль

Введение.

Тема моей работы была выбрана после изучения раздела «Осевая и центральная симметрия» в курсе «Геометрия 8 класса». Меня очень заинтересовала эта тема. Я захотела узнать: какие виды симметрии существуют, чем они отличаются друг от друга, каковы принципы построения симметричных фигур в каждом из видов.

Цель работы : Знакомство с различными видами симметрии.

Задачи:

Изучить литературу по данному вопросу.

Обобщить и систематизировать изученный материал.

Подготовить презентацию.

В древности слово «СИММЕТРИЯ» употреблялось в значении «гармония», «красота». В переводе с греческого это слово означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей чего-либо по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости.

Существуют две группы симметрий.

К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.

Я остановлюсь на изучении геометрической симметрии .

В свою очередь, геометрической симметрии существует тоже несколько видов: центральная, осевая, зеркальная (симметрия относительно плоскости) радиальная (или поворотная), переносная и другие. Я рассмотрю сегодня 5 видов симметрии.

Центральная симметрия

Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если они лежат на прямой, проходящей через т О и находятся по разные стороны от неё на одинаковом расстоянии. Точка О называется центром симметрии.

Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры, говорят, что фигура обладает центральной симметрией.

Примерами фигур, обладающими центральной симметрией является окружность и параллелограмм.

Фигуры, изображённые на слайде симметричны, относительно некоторой точки

2. Осевая симметрия

Две точки X и Y называются симметричными относительно прямой t , если эта прямая проходит чрез середину отрезка ХУ и перпендикулярна к нему. Также следует сказать, что каждая точка прямой t считается симметричной сама себе.

Прямая t – ось симметрии.

Фигура называется симметричной относительно прямой t , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой t также принадлежит этой фигуре.

Прямая t называется осью симметрии фигуры, говорят, что фигура обладает осевой симметрией.

Осевой симметрией обладают неразвёрнутый угол, равнобедренный и равносторонний треугольники, прямоугольник и ромб, буквы (смотри презентацию).

Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости)

Две точки Р 1 и Р называются симметричными относительно плоскости а если они лежат на прямой, перпендикулярной плоскости а, и находятся от неё на одинаковом расстоянии

Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку. Она связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура зеркально симметрична другой.

На плоскости фигурой с бесчисленным множеством осей симметрии был круг. В пространстве бесчисленное множество плоскостей симметрии имеет шар.

Но если круг является единственным в своем роде, то в трехмерном мире имеется целый ряд тел, обладающих бесконечным множеством плоскостей симметрии: прямой цилиндр с кругом в основании, конус с круговым основанием, шар.

Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична.

4. П оворотная симметрия (или радиальная симметрия)

Поворотная симметрия - это симметрия, сохраняющаяся форму предмета при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/ n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … Указанную ось называют поворотной осью n -го порядка.

При п=2 все точки фигуры поворачиваются на угол 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 )вокруг оси, при этом форма фигуры сохраняется, т.е. каждая точка фигуры переходит в точку той же фигуры(фигура преобразуется сама в себя). Ось называют осью второго порядка.

На рисунке 2 показана ось третьего порядка, на рисунке 3 – 4 порядка, на рисунке 4 - 5-го порядка.

Предмет может иметь более одной поворотной оси: рис.1 – 3оси поворота, рис.2 -4 оси, рис 3 – 5 осей, рис. 4 – только 1 ось

Всем известные буквы «И» и «Ф» обладают поворотной симметрией Если повернуть букву «И» на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180°, 180°= 360°: 2, n =2 , значит она обладает симметрией второго порядка.

Заметим, что поворотной симметрией второго порядка обладает также буква «Ф».

Кроме того буква и имеет центр симметрии, а буква Ф ось симметрии

Вернемся к примерам из жизни: стакан, конусообразный фунтик с мороженым, кусочек проволоки, труба.

Если мы повнимательней присмотримся к этим телам, то заметим, что все они, так или иначе состоят из круга, через бесконечное множество осей симметрии которого проходит бесчисленное множество плоскостей симметрии. Большинство таких тел (их называют телами вращения) имеют, конечно, и центр симметрии (центр круга), через который проходит по меньшей мере одна поворотная, ось симметрии.

Отчетливо видна, например, ось у конуса фунтика с мороженым. Она проходит от середины круга (торчит из мороженого!) до острого конца конуса-фунтика. Совокупность элементов симметрии какого-либо тела мы воспринимаем как своего рода меру симметрии. Шар, без сомнения, в отношении симметрии является непревзойденным воплощением совершенства, идеалом. Древние греки воспринимали его как наиболее совершенное тело, а круг, естественно, как наиболее совершенную плоскую фигуру.

Для описания симметрии конкретного объекта надо указать все поворотные оси и их порядок, а также все плоскости симметрии.

Рассмотрим, например, геометрическое тело, составленное из двух одинаковых правильных четырехугольных пирамид.

Оно имеет одну поворотную ось 4-го порядка (ось АВ), четыре поворотные оси 2-го порядка (оси СЕ, DF , MP , NQ ), пять плоскостей симметрии (плоскости CDEF , AFBD , ACBE , AMBP , ANBQ ).

5 . Переносная симметрия

Ещё одним видом симметрии является переносная с имметрия.

О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние «а» либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, а расстояние «а» - элементарным переносом, периодом или шагом симметрии.

а

Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называется бордюром. На практике бордюры встречаются в различных видах (настенная роспись, чугунное литье, гипсовые барельефы или керамика). Бордюры применяют маляры и художники при оформлении комнаты. Для выполнения этих орнаментов изготавливают трафарет. Передвигаем трафарет, переворачивая или не переворачивая его, обводим контур, повторяя рисунок, и получается орнамент (наглядная демонстрация).

Бордюр легко построить с помощью трафарета (исходного элемента), сдвигая или переворачивая его и повторяя рисунок. На рисунке изображены трафареты пяти видов: а ) несимметричный; б, в ) имеющие одну ось симметрии: горизонтальную или вертикальную; г ) центрально-симметричный; д ) имеющий две оси симметрии: вертикальную и горизонтальную.

Для построения бордюров используют следующие преобразования:

а ) параллельный перенос; б ) симметрию относительно вертикальной оси; в ) центральную симметрию; г ) симметрию относительно горизонтальной оси.

Аналогично можно построить розетки. Для этого круг делят на n равных секторов, в одном из них выполняют образец рисунка и затем последовательно повторяют последний в остальных частях круга, поворачивая рисунок каждый раз на угол 360°/ n .

Наглядным примером применения осевой и переносной симметрии может служить забор, изображённый на фотографии.

Вывод: Таким образом, существуют различные виды симметрии, симметричные точки в каждом из этих видов симметрии строятся по определённым законам. В жизни мы повсюду встречаемся тем или иным видом симметрии, а часто у предметов, которые нас окружают, можно отметить сразу несколько видов симметрии. Это создаёт порядок, красоту и совершенство в окружающем нас мире.

ЛИТЕРАТУРА:

Справочник по элементарной математике. М.Я. Выгодский. – Издательство « Наука». – Москва 1971г. – 416стр.

Современный словарь иностранных слов. - М.: Русский язык, 1993г .

История математики в школе IX - X классы. Г.И. Глейзер. – Издательство «Просвещение». – Москва 1983г. – 351стр.

Наглядная геометрия 5 – 6 классы. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – Издательство «Дрофа», Москва 2005г. – 189стр.

Энциклопедия для детей. Биология. С. Исмаилова. – Издательство «Аванта+». – Москва 1997г. – 704стр.

Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии - М.: Мысль arxitekt / arhkomp 2. htm , , ru.wikipedia.org/wiki/

Итак, что касается геометрии: выделяют три основных вида симметрии.

Во-первых, центральная симметрия (или симметрия относительно точки) – это преобразование плоскости (или пространства), при котором единственная точка (точка О – центр симметрии) остаётся на месте, остальные же точки меняют своё положение: вместо точки А получаем точку А1 такую, что точка О середина отрезка АА1. Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф относительно точки О, нужно через каждую точку фигуры Ф провести луч, проходящий через точку О (центр симметрии), и на этом луче отложить точку, симметричную выбранной относительно точки О. Множество построенных таким образом точек даст фигуру Ф1.

Большой интерес вызывают фигуры, имеющие центр симметрии: при симметрии относительно точки О любая точка фигурф Ф преобразуется опять же в некоторую точку фигуры Ф. Таких фигур в геометрии встречается много. Например: отрезок (середина отрезка – центр симметрии), прямая (любая её точка – центр её симметрии), окружность (центр окружности – центр симметрии), прямоугольник (точка пересечения его диагоналей – центр симметрии). Много центральносимметричных объектов в живой и неживой природе (сообщение учащихся). Часто люди сами создают объекты, имеющие центр симмет рии (примеры из рукоделия, примеры из машиностроения, примеры из архитектуры и много других примеров).

Во-вторых, осевая симметрия (или симметрия относительно прямой) – это преобразование плоскости (или пространства), при котором только точки прямой р остаются на месте (эта прямая является осью симметрии), остальные же точки меняют своё положение: вместо точки В получаем такую точку В1, что прямая р является серединным перпендикуляром к отрезку ВВ1. Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф, относительно прямой р, нужно для каждой точки фигуры Ф построить точку, симметричную ей относительно прямой р. Множество всех этих построенных точек и дают искомую фигуру Ф1. Много существует геометрических фигур, имеющих ось симметрии.

У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у круга – любая прямая, проходящая через его центр. Если присмотреться к буквам алфавита, то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе (доклады учащихся). В своей деятельности человек создаёт много объектов (например, орнаменты), имеющих несколько осей симметрии.

______________________________________________________________________________________________________

В-третьих, плоскостная (зеркальная) симметрия (или симметрия относительно плоскости) – это преобразование пространства, при котором только точки одной плоскости сохраняют своё местоположение (α-плоскость симметрии), остальные точки пространства меняют своё положение: вместо точки С получается такая точка С1, что плоскость α проходит через середину отрезка СС1, перпендикулярно к нему.

Чтобы построить фигуру Ф1,симметричную фигуре Ф относительно плоскости α, нужно для каждой точки фигуры Ф выстроить симметричные относительно α точки, они в своём множестве и образуют фигуру Ф1.

Чаще всего в окружающем нас мире вещей и объектов нам встречаются объёмные тела. И некоторые из этих тел имеют плоскости симметрии, иногда даже несколько. И сам человек в своей деятельности (строительство, рукоделие, моделирование, ...) создаёт объекты имеющие плоскости симметрии.

Стоит отметить, что наряду с тремя перечисленными видами симметрии, выделяют (в архитектуре) переносную и поворотную , которые в геометрии являются композициями нескольких движений.

Понятие симметрии встречается как во многих областях человеческой жизни, культуры и искусства, так и в сфере научных знаний. Но что такое симметрия? В переводе с древнегреческого языка это – соразмерность, неизменность, соответствие. Говоря о симметрии, мы часто имеем в виду пропорциональность, упорядоченность, гармоничную красоту в расположении элементов некоей группы или составляющих какого-то предмета.

В физике симметрии в уравнениях, описывающих поведение системы, помогают упростить решение с помощью нахождения сохраняющихся величин.

В химии симметрия в расположении молекул объясняет ряд свойств кристаллографии, спектроскопии или квантовой химии.

В биологии симметрией называются закономерно расположенные относительно центра или оси симметрии формы живого организма или одинаковые части тела. Симметрия в природе не бывает абсолютной, в ней обязательно содержится некоторая асимметрия, т.е. подобные части могут не совпадать со стопроцентной точностью.

Симметрию часто можно встретить в символах мировых религий и в повторяющихся моделях социальных взаимодействий.

Что такое симметрия в математике

В математике симметрию и ее свойства описывает теория групп. Симметрией в геометрии является способность фигур к отображению, при сохранении свойств и формы.

В широком смысле фигура F обладает симметрией, если существует линейное преобразование, которое переводит эту фигуру в саму себя.

В более узком смысле симметрией в математике называется зеркальное отражение относительно прямой с на плоскости или относительно плоскости с в пространстве.

Что такое ось симметрии

Преобразование пространства относительно плоскости с или прямой с считается симметричным, если при этом каждая точка В переходит в точку В" так, чтобы отрезок В В" оказался перпендикулярен этой плоскости или прямой и делился бы ею пополам. В этом случае плоскость с называется плоскостью симметрии, прямая с – осью симметрии. Геометрические фигуры, например правильные многоугольники, могут иметь по несколько осей симметрии, а окружность и шар обладают бесконечным числом таких осей.

К простейшим типам пространственной симметрии относятся:

• зеркальная (порожденная отражениями);
• осевая;
• центральная;
• симметрия переноса.

Что такое осевая симметрия

Симметрия относительно оси или линии пересечения плоскостей называется осевой. Она предполагает, что если через каждую точку оси симметрии провести перпендикуляр, то на нем всегда можно найти 2 симметричные точки, расположенные на одинаковом расстоянии от оси. В правильных многоугольниках осями симметрии могут являться их диагонали или средние линии. В окружности оси симметрии - ее диагонали.

Что такое центральная симметрия

Симметрия относительно точки называется центральной. В этом случае на равном расстоянии от точки по обе ее стороны находятся другие точки, геометрические фигуры, прямые или кривые линии. При соединении симметричных точек прямой, проходящей через точку симметрии, они будут расположены на концах этой прямой, а серединой ее явится как раз точка симметрии. А если вращать эту прямую, закрепив точку симметрии, то симметричные точки опишут кривые так, что каждая точка одной кривой линии будет симметрична такой же точке другой кривой линии.

от греч. symmetria - соразмерность) - равномерное, сходное расположение элементов формы какого-нибудь искусственного предмета; в широком смысле слова - инвариантность (неизменность) структуры, формы материального объекта (системы объектов) относительно его преобразования, в силу чего симметрия связана с сохранением тех или иных величин, характеризующих данный объект (систему), например, энергии, импульса и т. д. (теорема Нетер в теоретической физике). (См. также Сингонии, Кристаллы, Кристаллография).

Отличное определение

Неполное определение ↓

Симметрия (symmetria)

Упорядочение целого есть, по Платону, превращение целого в гармонию, а определенное строение гармонии есть симметрия, пропорция, ритм.

а) Платон не дал достаточно ясного и развитого определения симметрии, хотя это понятие весьма важно для эстетики. Его высказывания о симметрии (Phileb, 23с - 27d)., к сожалению, чересчур общи. Они сводятся примерно к следующему: представим себе какой-нибудь пустой фон, на котором ничего не нарисовано. Нарисуем на этом фоне фигуру - круг, квадрат, треугольник, прямоугольник и т. д. Такая фигура обозначается при помощи прямой или кривой линии. Допустим далее, что мы не рассматриваем взятый нами фон и нарисованную фигуру отдельно друг от друга, а как нечто целое. Такое представление правильно, потому что фигура так или иначе заняла и подчинила себе определенную часть фона. Что же это за фигура, какой она имеет конкретный вид? Ее вид может быть красивый или некрасивый, соразмерный или несоразмерный, симметричный и несимметричный. Придали ли мы фигуре тот именно вид, который хотели, или это нам не удалось? Наше эстетическое чувство подскажет, хороша ли эта фигура или нехороша, стройна она или не стройна, прекрасна или уродлива, и т. д. Вот это простейшее и общечеловеческое рассуждение как раз и надо иметь в виду, чтобы понять содержание трудного платоновского диалога «Филеб».

Вместо того, чтобы говорить о фоне, Платон вводит понятие беспредельного. Конечно, не сразу станут понятными слова Платона о том, что беспредельное «может» быть и как угодно велико и как угодно мало, что оно пусто и ничего в себе не содержит. Итак, наш фон есть платоновское беспредельное. Далее, на нашем фоне мы чертим некую фигуру, т. е. ограничиваем некоторую часть фона. Эту фигуру Платон называет не очень понятным термином - «предел». Предел - это в данном случае просто ограниченность известной части фона. Но наш чертеж, ограничивший часть фона от прочего фона, создал именно определенную фигуру. Эту фигуру Платон именует не совсем понятным термином - «смешение» беспредельного и предела. Это не есть какое бы то ни было смешение каких бы то ни было разных предметов. Этот термин можно сравнить с тем, как воспринимается чертеж фигуры, когда эта фигура, выделяясь на каком-либо фоне, действительно «смешивается» с этим фоном, но ясно, что это понятие «смешение» специфично. Еще труднее и непонятнее термин Платона, употребляемый им для обозначения того, какая же именно фигура у нас получилась, т. е. какую именно идею мы хотели воплотить в чертеже, идею ли, например, треугольника или идею круга, или вообще какую-нибудь определенную идею. Платон назвал это «причиной смешения». Слово «причина» здесь либо неудачное, либо мы просто не сумели перевести соответствующий греческий термин. Ясно, однако, что фигура эта совершенно определенна. Это не фигура вообще, а треугольник, прямоугольник, круг и т. д. Та ли это фигура, которую мы хотели начертить? Здесь появляется новая ступень в понимании чертежа, которую Платон называет сразу тремя терминами: «симметрией», «истиной» и «красотой». Конечно, полученная нами фигура.либо симметрична, либо несимметрична, либо она соответствует нашей идее и потому истинна, либо мы в чем-нибудь ошиблись при чертеже, и тогда она не истинна, и она либо красива, либо некрасива. Это тоже ясно. Но слишком общий характер этих терминов и отсутствие всяких рассуждении об их взаимозависимости делают их не вполне ясными, почему в комментариях античных авторов на «Филеба» Платона по этому поводу было немало споров. Следовательно, симметрия по «Филебу» Платона, предполагает, по крайней мере, четыре разных понятия - беспредельного, предела, смешения того и другого и причины этого смешения. И, кроме того, даже и в этом случае понятие симметрии еще не очень ясно отмежевано от понятия истины и красоты. Если иметь в виду любовь Платона к архитектонике понятий и к их схематизму, разделение красота, истина и симметрия есть не что иное, как повторение первоначальной диалектики беспредельного, предела и смешения на высшей ступени. Наиболее интересно и ближе всего подходит к нашему пониманию эстетики рассуждение об удовольствии, или наслаждении, и разумности. Удовольствие, или наслаждение, -это что-то беспредельное, так как оно, взятое само по себе, ненасытно, вечно стремится как бы слепо и не имеет никакого предела. Разумность, ум, или интеллект, наоборот, всегда основывается на известной системе, на тех или иных точных разграничениях, на воздержании от наслаждений и потому является твердым и определенным принципом, «пределом». Если под красотой Платон понимает синтез наслаждения и разумности, т. е. как бы внутреннюю сторону соразмерности симметрии, то он очевидно, предвидит весьма распространенные впоследствии европейские учения о соединении удовольствия и ума в красоте. Истинное понятие красоты всегда включает не только удовольствие, но и разумную идейность. Учение Платона о симметрии оказывается не так уж наивным и общим; оно в некоторой степени отражает и реальную эстетическую действительность и реальное ее восприятие.

б) Мы исходили из того, что эстетическая и всякая иная терминология вырабатывалась у Платона постепенно, иной раз с большими усилиями и часто принимала неясные и запутанные формы. Однако изучать эстетику Платона нельзя на основании только некоторых материалов «Филеба». Необходимо обратить внимание на употребление термина «симметрия» и в других диалогах.

Например, интересно следующее в «Законах» (Legg., II 668 а): «Ведь равное является равным и симметричное (symmetron) симметричным не потому, что так нравится или так по вкусу кому-либо, но мерилом здесь является, по преимуществу, истина, а не другое». В данном случае «симметрия» уже предполагает «истину», так что, по крайней мере, в этом пункте мы были правы в пашей догадке относительно места «симметрии» в «Филебе». К «Филебу» примыкает и суждение в «Законах» (Legg., VI 773 а): «Равное и соразмерное в отношении добродетели бесконечно выше чрезмерного (acratoy)». Эти примеры показывают также, что Платон недаром поместил свою «симметрию» в такой общей области, как область творческого смешения предела и беспредельного. Указанные два текста весьма слабо подчеркивают структурную сторону симметрии, так что «соразмерность» здесь можно понимать в самом широком смысле. Как «истина» и «красота» есть какое-то соответствие (т. е. взаимосоответствие предела и беспредельного), таким же соответствием является и симметрия.

О структурности симметрии читаем: «Храм самого Посейдона имел одну стадию в длину три плефра в ширину и пропорционально (symmetron) тому на вид высоту» (Critias, 116 d). Что тут значит симметрия, нам неясно. Но ясно, что имеется в виду какое-то структурное соответствие. С такого же рода принципом структурности можно столкнуться в «Софисте», где говорится об искажении предметов, образующихся вследствие перспективы:

«Если они [художники] создают истинную симметрию прекрасных предметов, то ты знаешь, что более высокое кажется меньше нижнего, а более низкое - больше, ввиду того, что первые бывают видимы нами издали, а последние вблизи... Так же не расстаются ли при таких обстоятельствах художники с истиной, когда образам, отделываемым ими, они придают не действительно прекрасные «размеры» (tas oysas simmetrias), но кажущиеся таковыми» (Soph., 235 е - 236 а). Здесь «симметрия» только намекает на структурность, на деле же она означает (как это и переведено) именно «размеры» или (если перевести также приставку этого слова) «совокупность размеров».

Приведем текст, где имеется в виду составленность из единиц длины, но без всякого структурного взаимоотношения этих длин: «Будучи равным, оно будет тех же мер [т. е. «из того же количества единиц меры»], с тем, чем оно будет равно... Если же оно больше или меньше, по сравнению с тем, чему оно соразмерно (xymmetron), то в отношении к меньшему оно будет иметь больше мер [больше размером], а в отношении к большему оно будет иметь меньше мер [меньше размером]... С чем же оно несоизмеримо (me symmetron), в отношении к тому оно будет один раз иметь меньшие меры, другой раз большие» (Parm., 140 b). Под «симметрией», очевидно, здесь понимается просто математическая соизмеримость, т. е. возможность нахождения единой меры измерения.

в) Для характеристики термина «симметрия» имеет важное значение текст из диалога Платона «Теэтет» (147d-148 а). Текст этот представляет значительные трудности с чисто филологической стороны. Идея его сводится к тому, что Платон выдвигает на первый план при изучении симметрии прямоугольники, где стороны измеряются определенным рациональным числом, а диагонали иррациональным. Взаимоотношение стороны и диагонали каждого такого прямоугольника создает особого рода симметрию, на основе которой, как это исследовано современными теоретиками архитектуры, античные мастера возводили храмовые постройки периода классики.

Рассуждение о симметрии из «Теэтета» не осталось без отклика также и в современной искусствоведческой литературе. А именно, Д. Хэмбидж в своем учении о динамической симметрии в архитектуре3 ссылается как раз на это место платоновского «Теэтета», хотя и не подвергает его специальному анализу. Он обосновывается на большом искусствоведческом и естественнонаучном материале и, между прочим, на анализе всех основных архитектурных элементов Парфенона (а также и других греческих храмов)4. Если иметь в виду терминологию «Теэтета», то наименование рассматриваемой у этого автора симметрии как «динамической» нужно считать весьма удачным.

Рассуждение о симметрии в «Теэтете» в своем существе не выходит за пределы «Филеба», но только конкретизирует его. Объединение «предела» и «беспредельного» в художественном образе достигается в «Теэтете» при помощи геометрического построения. Геометрия в диалоге «Теэтета» служит здесь тем телесным и практическим началом, при помощи которого Платон делает свои отвлеченные построения. С помощью геометрии Платон пытается перевести на научный язык практику античного изобразительного искусства (в данном случае архитектуры).

В понятии симметрии у Платона имеется довольно существенное расхождение с обычным пониманием в западно-европейской эстетике. Расхождение это больше всего заметно благодаря чересчур большому объему этого понятия у Платона. Теперь представляют симметрию.главным образом как наличие взаимно эквивалентных частей, расположенных вокруг некоего центра или оси. Платоновское же понятие симметрии сводилось к наличию взаимно эквивалентных частей при очень расширенном понимании «центра» или «оси». Тут мыслятся не только числовые и геометрические отношения, но и отношения любых сфер бытия и жизни вообще.

Больше всего, конечно, «симметрия» мыслится (как и все прочие эстетические формы) у Платона в отношении души и космоса. Как увидим, она свойственна уже и всем элементарным фигурам, из которых строится у Платона космос (Tim., 69 b), но особенно она фиксируется на живом теле и душе и во взаимоотношениях души и тела (Tim., 87 с). Можно сказать, симметрия обладает здесь столь же широким значением, что и в досократовской эстетике, но только в ней подчеркнут творческий момент, совершенно растворенный в космологическом и физическом представлении о мире у досократиков.

Отличное определение

Неполное определение ↓

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до нашей эры. Слово “симметрия ” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей ”.

Его широко используют все без исключения направления современной науки. Немецкий математик Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство ”. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века.

1.1. Осевая симметрия

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (Рисунок 2.1). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре (Рисунок 2.2).

Прямая а называется осью симметрии фигуры.


Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Осевой симметрией обладают такие геометрические фигуры как угол, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб (Рисунок 2.3).

Фигура может иметь не одну ось симметрии. У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у равностороннего треугольника – три, у круга – любая прямая, проходящая через его центр.

Если присмотреться к буквам алфавита (Рисунок 2.4)., то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

В своей деятельности человек создаёт много объектов (в том числе и орнаменты), имеющих несколько осей симметрии.

1.2 Центральная симметрия

Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе (Рисунок 2.5).

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре .

Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм (Рисунок 2.6).

Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей.

Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии у прямой их бесконечно много - любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

1.3. Поворотная симметрия

Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка.

Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И » и «Ф ». Что касается буквы «И », то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И » на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой.

Иными словами, буква «И » симметрична относительно поворота на 180°. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф ».

На рисунке 2.7. даны примеры простых объектов с поворотными осями разного порядка – от 2-го до 5-го.