1.13. ГИДРОДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Понятие вязкости. Сила внутреннего трения. Ламинарное и турбулентное течение жидкости. Число Рейнольдса. О пределение вязкости методом Стокса, методом Пуазейля. Движение тел в жидкостях и газах. Методы подобия в физике.
Идеальная жидкость является физической моделью, позволяющей понять суть явления в некотором приближении. Всем реальным жидкостям присущи вязкость или внутреннее трение, что приводит к появлению у них принципиально новых свойств. В частности, возникшее в жидкости движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно замедляется. Следовательно, жидкость при своем движении в трубе испытывает сопротивление. Такого рода сопротивление называют вязким, подчеркивая тем самым отличие от сопротивления в твердых телах. Вязкость - это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения , направленные по касательной к поверхности слоев.
В твердых телах в случае попытки изменения их формы (например, при сдвиге одной части тела относительно другой) возникает сила упругой деформации сдвига, пропорциональная смещению атомов, находящихся в узлах кристаллической решетки соседних атомных слоев. В жидкости эта сила пропорциональна величине изменения скорости, наблюдающейся при переходе между соседними слоями взаимодействующих молекул. Рассмотрим следующий опыт. Расположим жидкость между двумя твердыми параллельными пластинами равной площади S, находящимися на расстоянии d. Попытаемся сдвинуть одну из пластин относительно другой. Опыт показывает, что для поддержания постоянной относительной скорости движения этих пластин к одной из них нужно приложить постоянную силу F , направленную вдоль поверхности пластины и пропорциональную площади пластины S.
|F | = η·| |·S/d, (13.1)
где η - постоянная для данной жидкости величина, называемая вязкостью.
Необходимость наличия такой силы обусловлена “прилипанием” приграничных молекул жидкости к пластинам, что в свою очередь вызывает движение молекул, находящихся в объеме жидкости, с разной скоростью. Величина силы F зависит от свойств жидкости и обусловлена взаимодействием между проскальзывающими относительно друг друга слоями жидкости. Это взаимодействие характеризует внутреннее трение .
Рис. 13.1. Взаимодействие молекул жидкости, расположенных в соседних слоях.
Рассмотрим взаимодействие слоев жидкости, движущихся параллельно друг другу и стенкам трубы, в которую заключена эта жидкость. На рис. 13.1 изображены соседние слои жидкости, расположенные на расстоянии Δz друг от друга. Площадь соприкасающихся слоев S существенно больше размеров молекул. Верхний и нижний слои выделенного объема движутся параллельно оси трубы и имеют разные скорости: 1 и 2 соответственно. Для сохранения постоянства этих скоростей к поверхностям выделенного объема необходимо приложить постоянные по величине силы F 1 и F 2 , которые должны уравновесить силы внутреннего трения F тр1 и F тр2 , действующие между соседними слоями выделенного объема жидкости.
В соответствии с третьим законом Ньютона силы внутреннего трения равны по величине и противоположны по направлению, поэтому верхний слой замедляет движение нижнего, а нижний - ускоряет движение верхнего (см. рис. 13.1). Величина силы внутреннего трения задается формулой Ньютона :
F тр
= η·|Δ
/Δz|·S,
или
(13.2)
где η - коэффициент вязкости;
|Δ/Δz| - модуль градиента скорости, показывающий, как быстро меняется величина вектора скорости в направлении, перпендикулярном течению жидкости. Градиент скорости ∆ v /∆x показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении x перпендикулярном направлению движения слоев.
S - площадь поверхности соприкасающихся слоев жидкости.
Коэффициент пропорциональности η , зависящий от природы жидкости и температуры, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью ). Физический смысл коэффициента вязкости вытекает из выражения (13.2):
коэффициент вязкости численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности соприкасающихся слоев, при единичном градиенте скорости.
В системе СИ вязкость измеряется в Па·с, а в СГС - в пуазах (Пз): 1 Па·с = 10 Пз. Коэффициент вязкости жидкости зависит от природы жидкости (в частности, ее плотности) и температуры, уменьшаясь с ростом последней по экспоненциальному закону. Для более объективного учета характера взаимодействия молекул в непрерывных средах с разной плотностью, например, в жидкостях и газах, вводят понятие кинематического коэффициента вязкости.
Кинематический коэффициент вязкости равен отношению коэффициента η к плотности среды.
Для объяснения температурной зависимости коэффициента вязкости жидкостей необходимо учесть характер теплового движения составляющих их молекул. Оно, в основном, сводится к механическим колебаниям молекул около положений равновесия, которые в отличие от таковых в твердом теле изменяются с течением времени за счет переходов молекул в соседние положения с локальным минимумом потенциальной энергии. Для того, чтобы молекула жидкости перескочила из одного временного положения равновесия в другое, она должна нарушить связи со своими соседями, то есть преодолеть потенциальный барьер высотой W. Величина W называется энергией активации. Величина, обратная вероятности разрыва связи, определяется отношением энергии активации к тепловой энергии, равной произведению постоянной Больцмана k и абсолютной температуры T. С другой стороны, молекулы жидкости большую часть времени находятся около положения равновесия, и движущаяся масса жидкости увлекает соседние слои в основном за счет сил межмолекулярного взаимодействия, которые убывают с ростом температуры, и, следовательно, вязкость также убывает с ростом температуры.
Я. И. Френкель, исходя из характера теплового движения молекул в жидкостях, показал, что температурная зависимость вязкости жидкости имеет активационный характер и описывается выражением:
η = C·e W /(k · T) , (13.3)
где W - энергия активации;
Т - абсолютная температура;
C - постоянная величина;
k - постоянная Больцмана, k = 1.38·10 -23 Дж/К;
е - основание натурального логарифма.
Применяя формулу Ньютона (13.2) для решения задач, связанных с течением жидкости, можно получить определенные количественные закономерности, которые используются для экспериментального определения коэффициента вязкости. Наиболее точными и распространенными методами определения вязкости являются:
Рис. 13.2. Скорость движения слоев жидкости в горизонтальной трубе при ламинарном течении.
Течение реальных жидкостей и газов. Течение вязкой жидкости по трубам в зависимости от ряда условий может быть ламинарным (или слоистым) и турбулентным (или вихревым).
В случае ламинарного течения все молекулы жидкости движутся параллельно оси трубы и, находясь на одинаковом расстоянии от осевого центра трубы, имеют равные скорости (см. рис. 13.2). Течение называется ламинарным (слоистым) , если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними.
Течение называется турбулентным (вихревым) , если частицы жидкости переходят из слоя в слой (имеют составляющие скоростей, перпендикулярные течению). Для турбулентного движения характерно наличие нормальной (перпендикулярной направлению течения жидкости) составляющей скорости движения молекул и резкий спад скорости течения при приближении к границам. Траектория движения молекул представляет собой сложную кривую линию.
Характер
течения можно установить, пользуясь
безразмерной величиной - числом
Рейнольдса:
(13.4)
γ = η / ρ - кинематическая вязкость ; ρ - плотность жидкости; v - средняя по сечению трубы скорость жидкости; d - характерный линейный размер, например диаметр трубы. При Re ≤ 1000 наблюдается ламинарное течение, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области 1000 ≤ Re ≤ 2000 , а при Re=2300 (для гладких труб) течение - турбулентное.
Лобовое давление и подъемная сила. Рассмотрим движение твердого тела относительно жидкости, находящейся в состоянии покоя в некоторой ИСО. Исходя из принципа относительности эта задача эквивалентна обтеканию неподвижного тела стационарным потоком жидкости.
Силу, действующую на неподвижное тело в направлении потока, называют лобовым сопротивлением, а силу, действующую на него в перпендикулярном направлении, - подъемной силой.
Cтационарное обтекание твердого тела потоком идеальной жидкости не вызывает появления подъемной силы и лобового сопротивления. Покажем это на примере симметричного, покоящегося относительно наблюдателя, тела. В данном случае линии тока относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно направлению потока жидкости, симметричны. Следовательно, для симметричных элементарных пространственных областей значения величины скоростей в трубке тока равны по величине. Тогда, исходя из уравнения Бернулли, давления в этих областях попарно равны и лобовое сопротивление отсутствует.
В виду симметрии задачи (но уже по отношению к оси, параллельной потоку) равна нулю и подъемная сила.
Рис. 13.3. Подъемная сила, действующая на вращающееся тело, помещенное в поток газа.
Эффект Магнуса. Иначе дело обстоит для вязкой жидкости или газа. Пусть тело, вращающееся относительно своего центра масс, погружено в газовый поток (см. рис. 13.3). Прилегающие к телу слои молекул участвуют в двух движениях: вращательном, обусловленном наличием вязкого трения между телом и газом, и поступательном, связанным с движением газа вдоль оси трубы. Исходя из векторного закона преобразования скоростей получается картина линий тока, изображенная на рис. 13.3, т. е. скорости потока молекул газа над твердым телом выше, чем под ним. Следовательно, в соответствии с уравнением Бернулли давление над телом будет ниже, чем под ним, и появляется подъемная сила.
Возникновение подъемной силы в результате циркуляции воздуха вокруг твердого тела называется эффектом Магнуса.
Рис. 13.4. Движение молекул воздуха около крыла самолета.
Наиболее характерным примером является наличие подъемной силы у крыла самолета при его движении относительно воздуха. Из-за характерной формы крыла вблизи его острой задней кромки в близлежащих слоях воздуха возникают вихревые воздушные потоки, причем направление вращения молекул происходит против часовой стрелки (см. рис. 13.4). Эти вихревые потоки постепенно нарастают и отрываются от крыла, но за счет наличия вязкого трения они заставляют вращаться по часовой стрелке вокруг поверхности крыла прилегающие к ней молекулы воздуха. Наличие циркуляции, обусловленной вязким трением, и приводит к возникновению подъемной силы.
Закон подобия.
Геометрическое, кинематическое, динамическое подобие.
Этап изучения зависимости интересующей величины от системы выбранных определяющих факторов может выполняться двумя путями: аналитическим и экспериментальным. Первый путь применим лишь для ограниченного числа задач и при том обычно лишь для упрощенных моделей явлений.
Другой путь, экспериментальный, в принципе может учесть многие факторы, но он требует научно обоснованной постановки опытов, планирования эксперимента, ограничения его объема необходимым минимумом и систематизации результатов опытов. При этом должно быть обосновано моделирование явлений.
Эти задачи позволяет решать так называемая теория подобия, т. е. подобия потоков несжимаемой жидкости.
Гидродинамическое подобие складывается из трех составляющих: геометрического подобия, кинематического и динамического.
Геометрическое подобие как известно из геометрии, представляет собой пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов. Под геометрическим подобием понимают подобие тех поверхностей, которые ограничивают потоки, т. е. подобие русел (или каналов).
Отношение двух сходственных размеров подобных русел назовем линейным масштабом и обозначим эту величину через .Эта величина одинакова для подобных русел I и II.
Кинематическое подобие означает пропорциональность местных скоростей в сходственных точках и равенство углов, характеризующих направление этих скоростей:
Где – масштаб скоростей, одинаковый при кинематическом подобии.
Так как (где T – время,– масштаб времени).
Из кинематического подобия вытекает геометрическое подобие линий тока. Очевидно, что для кинематического подобия требуется геометрическое подобие русел.
Динамическое подобие – это пропорциональность сил, действующих на сходственные объемы в кинематических подобных потоках и равенство углов, характеризующих направление этих сил.
В потоках жидкостей обычно действуют разные силы: силы давления, вязкости (трения), тяжести и др. Соблюдение их пропорциональности означает полное гидродинамическое подобие. Осуществление на практике полного гидродинамического подобия оказывается весьма затруднительным, поэтому обычно имеют дело с частичным (неполным) подобием, при котором соблюдается пропорциональность лишь основных, главных сил.
1.13. ГИДРОДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Понятие вязкости. Сила внутреннего трения. Ламинарное и турбулентное течение жидкости. Число Рейнольдса. О пределение вязкости методом Стокса, методом Пуазейля. Движение тел в жидкостях и газах. Методы подобия в физике.
Идеальная жидкость является физической моделью, позволяющей понять суть явления в некотором приближении. Всем реальным жидкостям присущи вязкость или внутреннее трение, что приводит к появлению у них принципиально новых свойств. В частности, возникшее в жидкости движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно замедляется. Следовательно, жидкость при своем движении в трубе испытывает сопротивление. Такого рода сопротивление называют вязким, подчеркивая тем самым отличие от сопротивления в твердых телах. Вязкость - это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения , направленные по касательной к поверхности слоев.
В твердых телах в случае попытки изменения их формы (например, при сдвиге одной части тела относительно другой) возникает сила упругой деформации сдвига, пропорциональная смещению атомов, находящихся в узлах кристаллической решетки соседних атомных слоев. В жидкости эта сила пропорциональна величине изменения скорости, наблюдающейся при переходе между соседними слоями взаимодействующих молекул. Рассмотрим следующий опыт. Расположим жидкость между двумя твердыми параллельными пластинами равной площади S, находящимися на расстоянии d. Попытаемся сдвинуть одну из пластин относительно другой. Опыт показывает, что для поддержания постоянной относительной скорости движения этих пластин к одной из них нужно приложить постоянную силу F , направленную вдоль поверхности пластины и пропорциональную площади пластины S.
|F | = η·| |·S/d, (13.1)
где η - постоянная для данной жидкости величина, называемая вязкостью.
Необходимость наличия такой силы обусловлена “прилипанием” приграничных молекул жидкости к пластинам, что в свою очередь вызывает движение молекул, находящихся в объеме жидкости, с разной скоростью. Величина силы F зависит от свойств жидкости и обусловлена взаимодействием между проскальзывающими относительно друг друга слоями жидкости. Это взаимодействие характеризует внутреннее трение .
Рис. 13.1. Взаимодействие молекул жидкости, расположенных в соседних слоях.
Рассмотрим взаимодействие слоев жидкости, движущихся параллельно друг другу и стенкам трубы, в которую заключена эта жидкость. На рис. 13.1 изображены соседние слои жидкости, расположенные на расстоянии Δz друг от друга. Площадь соприкасающихся слоев S существенно больше размеров молекул. Верхний и нижний слои выделенного объема движутся параллельно оси трубы и имеют разные скорости: 1 и 2 соответственно. Для сохранения постоянства этих скоростей к поверхностям выделенного объема необходимо приложить постоянные по величине силы F 1 и F 2 , которые должны уравновесить силы внутреннего трения F тр1 и F тр2 , действующие между соседними слоями выделенного объема жидкости.
В соответствии с третьим законом Ньютона силы внутреннего трения равны по величине и противоположны по направлению, поэтому верхний слой замедляет движение нижнего, а нижний - ускоряет движение верхнего (см. рис. 13.1). Величина силы внутреннего трения задается формулой Ньютона :
F тр
= η·|Δ
/Δz|·S,
или
(13.2)
где η - коэффициент вязкости;
|Δ/Δz| - модуль градиента скорости, показывающий, как быстро меняется величина вектора скорости в направлении, перпендикулярном течению жидкости. Градиент скорости ∆ v /∆x показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении x перпендикулярном направлению движения слоев.
S - площадь поверхности соприкасающихся слоев жидкости.
Коэффициент пропорциональности η , зависящий от природы жидкости и температуры, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью ). Физический смысл коэффициента вязкости вытекает из выражения (13.2):
коэффициент вязкости численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности соприкасающихся слоев, при единичном градиенте скорости.
В системе СИ вязкость измеряется в Па·с, а в СГС - в пуазах (Пз): 1 Па·с = 10 Пз. Коэффициент вязкости жидкости зависит от природы жидкости (в частности, ее плотности) и температуры, уменьшаясь с ростом последней по экспоненциальному закону. Для более объективного учета характера взаимодействия молекул в непрерывных средах с разной плотностью, например, в жидкостях и газах, вводят понятие кинематического коэффициента вязкости.
Кинематический коэффициент вязкости равен отношению коэффициента η к плотности среды.
Для объяснения температурной зависимости коэффициента вязкости жидкостей необходимо учесть характер теплового движения составляющих их молекул. Оно, в основном, сводится к механическим колебаниям молекул около положений равновесия, которые в отличие от таковых в твердом теле изменяются с течением времени за счет переходов молекул в соседние положения с локальным минимумом потенциальной энергии. Для того, чтобы молекула жидкости перескочила из одного временного положения равновесия в другое, она должна нарушить связи со своими соседями, то есть преодолеть потенциальный барьер высотой W. Величина W называется энергией активации. Величина, обратная вероятности разрыва связи, определяется отношением энергии активации к тепловой энергии, равной произведению постоянной Больцмана k и абсолютной температуры T. С другой стороны, молекулы жидкости большую часть времени находятся около положения равновесия, и движущаяся масса жидкости увлекает соседние слои в основном за счет сил межмолекулярного взаимодействия, которые убывают с ростом температуры, и, следовательно, вязкость также убывает с ростом температуры.
Я. И. Френкель, исходя из характера теплового движения молекул в жидкостях, показал, что температурная зависимость вязкости жидкости имеет активационный характер и описывается выражением:
η = C·e W /(k · T) , (13.3)
где W - энергия активации;
Т - абсолютная температура;
C - постоянная величина;
k - постоянная Больцмана, k = 1.38·10 -23 Дж/К;
е - основание натурального логарифма.
Применяя формулу Ньютона (13.2) для решения задач, связанных с течением жидкости, можно получить определенные количественные закономерности, которые используются для экспериментального определения коэффициента вязкости. Наиболее точными и распространенными методами определения вязкости являются:
Рис. 13.2. Скорость движения слоев жидкости в горизонтальной трубе при ламинарном течении.
Течение реальных жидкостей и газов. Течение вязкой жидкости по трубам в зависимости от ряда условий может быть ламинарным (или слоистым) и турбулентным (или вихревым).
В случае ламинарного течения все молекулы жидкости движутся параллельно оси трубы и, находясь на одинаковом расстоянии от осевого центра трубы, имеют равные скорости (см. рис. 13.2). Течение называется ламинарным (слоистым) , если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними.
Течение называется турбулентным (вихревым) , если частицы жидкости переходят из слоя в слой (имеют составляющие скоростей, перпендикулярные течению). Для турбулентного движения характерно наличие нормальной (перпендикулярной направлению течения жидкости) составляющей скорости движения молекул и резкий спад скорости течения при приближении к границам. Траектория движения молекул представляет собой сложную кривую линию.
Характер
течения можно установить, пользуясь
безразмерной величиной - числом
Рейнольдса:
(13.4)
γ = η / ρ - кинематическая вязкость ; ρ - плотность жидкости; v - средняя по сечению трубы скорость жидкости; d - характерный линейный размер, например диаметр трубы. При Re ≤ 1000 наблюдается ламинарное течение, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области 1000 ≤ Re ≤ 2000 , а при Re=2300 (для гладких труб) течение - турбулентное.
Лобовое давление и подъемная сила. Рассмотрим движение твердого тела относительно жидкости, находящейся в состоянии покоя в некоторой ИСО. Исходя из принципа относительности эта задача эквивалентна обтеканию неподвижного тела стационарным потоком жидкости.
Силу, действующую на неподвижное тело в направлении потока, называют лобовым сопротивлением, а силу, действующую на него в перпендикулярном направлении, - подъемной силой.
Cтационарное обтекание твердого тела потоком идеальной жидкости не вызывает появления подъемной силы и лобового сопротивления. Покажем это на примере симметричного, покоящегося относительно наблюдателя, тела. В данном случае линии тока относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно направлению потока жидкости, симметричны. Следовательно, для симметричных элементарных пространственных областей значения величины скоростей в трубке тока равны по величине. Тогда, исходя из уравнения Бернулли, давления в этих областях попарно равны и лобовое сопротивление отсутствует.
В виду симметрии задачи (но уже по отношению к оси, параллельной потоку) равна нулю и подъемная сила.
Рис. 13.3. Подъемная сила, действующая на вращающееся тело, помещенное в поток газа.
Эффект Магнуса. Иначе дело обстоит для вязкой жидкости или газа. Пусть тело, вращающееся относительно своего центра масс, погружено в газовый поток (см. рис. 13.3). Прилегающие к телу слои молекул участвуют в двух движениях: вращательном, обусловленном наличием вязкого трения между телом и газом, и поступательном, связанным с движением газа вдоль оси трубы. Исходя из векторного закона преобразования скоростей получается картина линий тока, изображенная на рис. 13.3, т. е. скорости потока молекул газа над твердым телом выше, чем под ним. Следовательно, в соответствии с уравнением Бернулли давление над телом будет ниже, чем под ним, и появляется подъемная сила.
Возникновение подъемной силы в результате циркуляции воздуха вокруг твердого тела называется эффектом Магнуса.
Рис. 13.4. Движение молекул воздуха около крыла самолета.
Наиболее характерным примером является наличие подъемной силы у крыла самолета при его движении относительно воздуха. Из-за характерной формы крыла вблизи его острой задней кромки в близлежащих слоях воздуха возникают вихревые воздушные потоки, причем направление вращения молекул происходит против часовой стрелки (см. рис. 13.4). Эти вихревые потоки постепенно нарастают и отрываются от крыла, но за счет наличия вязкого трения они заставляют вращаться по часовой стрелке вокруг поверхности крыла прилегающие к ней молекулы воздуха. Наличие циркуляции, обусловленной вязким трением, и приводит к возникновению подъемной силы.
Закон подобия.
Геометрическое, кинематическое, динамическое подобие.
Этап изучения зависимости интересующей величины от системы выбранных определяющих факторов может выполняться двумя путями: аналитическим и экспериментальным. Первый путь применим лишь для ограниченного числа задач и при том обычно лишь для упрощенных моделей явлений.
Другой путь, экспериментальный, в принципе может учесть многие факторы, но он требует научно обоснованной постановки опытов, планирования эксперимента, ограничения его объема необходимым минимумом и систематизации результатов опытов. При этом должно быть обосновано моделирование явлений.
Эти задачи позволяет решать так называемая теория подобия, т. е. подобия потоков несжимаемой жидкости.
Гидродинамическое подобие складывается из трех составляющих: геометрического подобия, кинематического и динамического.
Геометрическое подобие как известно из геометрии, представляет собой пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов. Под геометрическим подобием понимают подобие тех поверхностей, которые ограничивают потоки, т. е. подобие русел (или каналов).
Отношение двух сходственных размеров подобных русел назовем линейным масштабом и обозначим эту величину через .Эта величина одинакова для подобных русел I и II.
Кинематическое подобие означает пропорциональность местных скоростей в сходственных точках и равенство углов, характеризующих направление этих скоростей:
Где – масштаб скоростей, одинаковый при кинематическом подобии.
Так как (где T – время,– масштаб времени).
Из кинематического подобия вытекает геометрическое подобие линий тока. Очевидно, что для кинематического подобия требуется геометрическое подобие русел.
Динамическое подобие – это пропорциональность сил, действующих на сходственные объемы в кинематических подобных потоках и равенство углов, характеризующих направление этих сил.
В потоках жидкостей обычно действуют разные силы: силы давления, вязкости (трения), тяжести и др. Соблюдение их пропорциональности означает полное гидродинамическое подобие. Осуществление на практике полного гидродинамического подобия оказывается весьма затруднительным, поэтому обычно имеют дело с частичным (неполным) подобием, при котором соблюдается пропорциональность лишь основных, главных сил.
Идеальная жидкость, т. е. жидкость без трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуща вязкость или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается.
Для выяснения закономерностей, которым подчиняются силы внутреннего трения, рассмотрим следующий опыт. В жидкость погружены две параллельные друг другу пластины (рис. 153), линейные размеры которых значительно превосходят расстояние между ними d. Нижняя пластина удерживается на месте, верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой скоростью . Опыт дает, что для перемещения верхней пластины с постоянной скоростью необходимо действовать на нее с вполне определенной постоянной по величине силой f. Раз пластина не получает ускорения, значит, действие этой силы уравновешивается равной ей по величине противоположно направленной силой, которая, очевидно, есть сила трения, действующая
на пластину при ее движении в жидкости. Обозначим ее f тр .
Варьируя скорость пластины площадь пластин S и расстояние между ними d, можно получить, что
|
(58.1 ) |
где - коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния (например, температуры) жидкости и называемый коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости, или просто вязкостью жидкости (газа).
Нижняя пластина при движении верхней также оказывается подверженной действию силы , равной по величине . Для того чтобы нижняя пластина оставалась неподвижной, силу необходимо уравновесить с помощью силы .
Таким образом, при движении двух погруженных в жидкость пластин друг относительно друга между ними возникает взаимодействие, характеризуемое силой (58.1). Воздействие пластин друг на друга осуществляется, очевидно, через жидкость, заключенную между пластинами, передаваясь от одного слоя жидкости к другому. Если в любом месте зазора провести мысленно плоскость, параллельную пластинам (см. пунктирную линию на рис. 153), то можно утверждать. Что часть жидкости, лежащая над этой плоскостью, действует на часть жидкости, лежащую под плоскостью, с силой , а часть жидкости, лежащая под плоскостью, в свою очередь действует на часть жидкости, лежащую над плоскостью, с силой , причем величина и определяется формулой (58.1). Таким образом, формула (58.1) определяет не только силу трения, действующую на пластины, но и силу трения между соприкасающимися частями жидкости.
Если исследовать скорость частиц жидкости в разных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении z перпендикулярном к пластинам (рис. 153), по линейному закону
Использовав равенство (58.3), формуле (58.1) для силы внутреннего трения можно придать вид
|
(58.4 ) |
Величина показывает, как быстро изменяется скорость в направлении оси z, и называется градиентом скорости (точнее, это-модуль градиента скорости; сам градиент - вектор).
Формула (58.4) была нами получена для случая, когда скорость изменяется по линейному закону (в этом случае градиент скорости является постоянным). Оказывается, что эта формула остается справедливой и для любого другого закона изменения скорости при переходе от слоя к слою. В этом случае для определения силы трения между двумя граничащими друг с другом слоями нужно брать значение градиента в том месте, где проходит воображаемая поверхность раздела слоев. Так, например, при движении жидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенок трубы, максимальна на оси трубы и, как можно показать, при не слишком больших скоростях течения изменяется вдоль любого радиуса по закону
|
|
(58.5 ) |
где R - радиус трубы, - скорость па оси трубы, - скорость на расстоянии z от оси трубы (рис. 154). Проведем в жидкости мысленно цилиндрическую поверхность радиуса r Части жидкости, лежащие по разные стороны от этой поверхности, действуют друг на друга с силой, величина которой в расчете на единицу поверхности равна
т, е. возрастает пропорционально расстоянию поверхности раздела от оси трубы (знак «-», получающийся при дифференцировании (58.5) по r, мы опустили, поскольку формула (58.4) дает лишь модуль силы внутреннего трения).
Все сказанное в этом параграфе относится не только к жидкостям, но и к газам.
Единицей вязкости в СИ является такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/сек на 1 м, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 н на 1 м 2 поверхности касания слоев. Эта единица обозначается н*сек/м 2 .
В СГС -системе единицей вязкости служит пуаз (пз), равный такой вязкости, при которой градиент скорости в 1 см/cек на 1 см приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 дин на 1 см2 поверхности касания слоев. Единица, равная пуаза, называется микропуазом (мкпз).
Между пуазом и единицей вязкости в СИ имеется соотношение
Коэффициент вязкости зависит от температуры, причем характер этой зависимости существенно различен для жидкостей и газов. У жидкостей коэффициент вязкости сильно уменьшается с повышением температуры. У газов, напротив, коэффициент вязкости с температурой растет. Отличие в характере поведения при изменениях температуры указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах.
Явление внутреннего трения с макроскопической точки зрения связано с возникновением сил трения между слоями газа или жидкости, перемещающимися параллельно друг другу с различными по величине скоростями. Со стороны слоя, движущегося быстрее, на более медленно движущийся слой действует ускоряющая сила. Наоборот, медленно перемещающийся слой тормозит более быстро движущиеся слои газа. Силы трения, которые при этом возникают, направлены по касательной к поверхности соприкосновения слоев.
Рассмотрим известный опыт Ньютона. Пусть имеются две параллельные пластинки (рис. 1), между которыми находится газ (жидкость).
Постоянная a определяется из условия, что при x = h u = u 0 , т. е. u 0 = ah. Откуда a = u 0 /h. Тогда выражение (3.3.1) примет вид
где – постоянный коэффициент пропорциональности, который называют коэффициентом вязкого трения. Учитывая, что сила вязкого трения , равенство (3.3.3) перепишем в виде
Это закон внутреннего вязкого трения Ньютона, который установил его экспериментально. Закон утверждает: при стационарном (ламинарном) движении слоев жидкости или газа с различными скоростями между ними возникают касательные силы, пропорциональные градиенту скорости слоев и площади их соприкосновения. Физический смысл коэффициента вязкости заключается в том, что он численно равен силе, действующей на единицу площади поверхности, параллельной скорости течения газа или жидкости, при градиенте скорости .
Согласно второму закону Ньютона, , где K – импульс элементарной массы слоя газа. Поэтому (3.3.5) можно представить в виде бесконечно малых:
Тогда закон Ньютона (3.3.6) утверждает: импульс, переносимый за время dt через площадку dS, перпендикулярной оси X, пропорционален времени dt, величине площадки dS и градиенту скорости . Знак “минус” означает, что импульс переносится в направлении уменьшения скорости слоя.
С молекулярно-кинетической точки зрения причиной внутреннего трения является наложение упорядоченного движения слоев газа с различными гидродинамическими скоростями u и хаотического теплового движения молекул. В результате теплового движения, молекулы из более быстрого слоя переносят с собой больший упорядоченный импульс и, сталкиваясь, передают его молекулам более медленно движущегося слоя, вследствие чего он увеличивает скорость. Наоборот, при переходе молекул из медленно движущегося слоя в более быстрый слой, они приносят в него меньший упорядоченный импульс, что приводит к уменьшению упорядоченной скорости этого слоя. Увеличение или уменьшение гидродинамической скорости слоя газа, согласно второму закону динамики, свидетельствует о наличии силы внутреннего трения, действующей между слоями. Следовательно, за счет теплового хаотического движения скорости слоев будут выравниваться, если, конечно, внешними силами не поддерживать разности скоростей слоев.
Таким образом, с точки зрения молекулярно-кинетической теории в процесс внутреннего трения каждая молекула переносит упорядоченный импульс , вызывая тем самым изменение импульса слоя. Подставляя в общее уравнение переноса (4.4.7) и , получим: на его концах. Измерив в опыте все указанные величины, из формулы Пуазейля находят коэффициент вязкости .
Реальной жидкости присуща вязкость, которая проявляется в том, что любое движение жидкости и газа самопроизвольно прекращается при отсутствии причин, вызвавших его. Рассмотрим опыт, в котором слой жидкости расположен над неподвижной поверхностью, а сверху его перемещается со скоростью , плавающая на ней пластина с поверхностью S
(рис. 5.3). Опыт показывает, что для перемещения пластины с постоянной скоростью крайне важно действовать на нее с силой . Так как пластина не получает ускорения, значит, действие этой силы уравновешивается другой, равной ей по величине и противоположно направленной силой, которая является силой трения .
Ньютон показал, что сила трения
, (5.7)
где d - толщина слоя жидкости, h - коэффициент вязкости или коэффициент трения жидкости, знак минус учитывает различное направление векторов F тр и v o . В случае если исследовать скорость частиц жидкости в разных местах слоя, то оказывается, что она изменяется по линейному закону (рис. 5.3):
v(z) = = (v 0 /d)·z.
Дифференцируя это равенство, получим dv/dz = v 0 /d . С учетом этого
| |
F тр =- h(dv/dz)S , (5.8)
где h - коэффициент динамической вязкости . Величина dv/dz принято называть градиентом скорости. Она показывает, как быстро изменяется скорость в направлении оси z . При dv/dz = const градиент скорости численно равен изменению скорости v при изменении z на единицу. Положим численно в формуле (5.8) dv/dz = -1 и S = 1, получим h = F . Отсюда следует физический смысл h : коэффициент вязкости численно равен силе, которая действует на слой жидкости единичной площади при градиенте скорости, равном единице. Единица вязкости в СИ принято называть паскаль-секундой (обозначается Пас). В системе СГС единицей вязкости является 1 пуаз (П), причем 1 Пас = 10П.
, (6.8) где коэффициент пропорциональности h, зависящий от природы жидкости, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью). Единица вязкости – Паскаль-секунда (Па×с): 1 Па×с равен динамической вязкости среды, в которой при ламинарном течении в градиенте...
