در این درس در مورد توابع نمایی و لگاریتمی صحبت خواهیم کرد. آنها معمولاً با هم مطالعه می شوند، زیرا آنها متقابل معکوس هستند. ما در مورد استفاده از این توابع صحبت خواهیم کرد، در مورد اینکه چرا این توابع برای مطالعه انتخاب شده اند.

تابع نمایی برای توصیف تمام پدیده هایی که ما آنها را فرآیندهای بهمنی می نامیم استفاده می شود. به بیان واضح تر، اینها فرآیندهایی هستند که در آن تغییر بزرگی متناسب با مقدار قدر موجود است (هرچه بیشتر، بیشتر تغییر کند؛ کمتر، کمتر تغییر می کند).

نمونه ای از چنین فرآیندی تولید مثل باکتری ها است. بیایید چنین وظیفه ای را در نظر بگیریم. یک باکتری در شیشه وجود دارد. هر ثانیه به دو باکتری تقسیم می شود، باکتری های جدید نیز در هر ثانیه به دو تقسیم می شوند و غیره. در عرض یک دقیقه، کل لیوان پر از باکتری شد. یک ثانیه قبل چند باکتری در لیوان وجود داشت؟

من می خواهم بگویم که یک لیوان کامل یک جایی پر شده است، اما پاسخ صحیح این است: نصف لیوان. اگر نصف لیوان پر شود، در یک ثانیه هر باکتری به قسمت هایی تقسیم می شود و تمام لیوان را پر می کند. همانطور که می بینید، نیمه اول لیوان در چند ثانیه و نیمه دوم تنها در یک ثانیه پر شد.

یخچالهای در حال ذوب

مطمئنا همه در مورد مشکل آب شدن یخ در این سیاره شنیده اند. چرا چنین فرآیندهای یخبندان و برعکس، گرم شدن رخ می دهد؟ آنها قبلا بودند، اگرچه اکنون می گویند که فعالیت های انسانی تأثیر کلیدی بر سرعت آنها دارد. فرضیه های مختلفی وجود دارد، اما این چندان مهم نیست.

مهمتر از آن، کاهش مقدار یخ، میزان جذب انرژی خورشیدی را افزایش می دهد. یعنی هر چه یخ کمتر شود سریعتر آب می شود. این فرآیند به صورت تصاعدی یا به عبارت دیگر خود فراخوانی، خود تغذیه است.

چنین فرآیندی شرح داده شده است تابع نمایی (یا نمایی): (عکس. 1). - پایه،،، و - توان، تغییر مقدار.

برنج. 1. نمودار یک تابع

مثال دیگری از تابع نمایی که برای بسیاری آشناست بهره مرکب. اگر پول را با درصد ثابت در بانک قرار دهیم، در حالی که پول را برداشت نکنیم و از کل مبلغ موجود سود دریافت شود، مبلغی که طی دوره ها دریافت خواهیم کرد: ، سپرده اولیه کجاست، نرخ سود است، تعداد دوره های (سال، ماه و ...) سپری شده است. در ابتدا مقدار به آرامی رشد می کند، اما سپس رشد سرعت می یابد.

یک مثال خوب دیگر. اگر به توانی برسیم، تقریباً می‌گیریم، اما در یک قدرت، عملاً اینطور است. اگر این مثال را به صورت سود ارائه کنیم، در حالت اول به ازای هر روز شارژ می شود، آنگاه مبلغ به میزان یک سال افزایش می یابد. و در مورد دوم، یک درصد در روز برداشت می شود، سپس در یک سال تقریبا چیزی باقی نمی ماند.

در عین حال، یکی از ویژگی های مشخصه تابع نمایی این است که در چنین طرحی، مجموع نمی تواند کاهش یابد. مثال مشابهی از فیزیک هسته ای، نیمه عمر است. عناصر رادیواکتیو نیمه عمر دارند، به عنوان مثال، با گذشت سالها جرم یک ماده به نصف کاهش می یابد (شکل 2).

برنج. 2. جدول نیمه عمر برخی از عناصر

یعنی اگر یک کیلوگرم ماده داشتیم، در سالهای اول یک گرم ماده (بسیار زیاد) از بین می رود و در سالهای بعد - قبلاً یک گرم و غیره. و پس از آن دوره ای وجود خواهد داشت که در آن حدود یک گرم از یک ماده در طول سال ها می رود. این نمونه ای از یک توان کاهشی است.

اگر مجموعه همه توابع را در نظر بگیریم و از بین آنها آنهایی را که دارای ویژگی زیر هستند انتخاب کنیم، آنگاه برای توابع نمایی برآورده می شود: .