حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هر گونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم به شما استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

معادله غیرمنطقی هر معادله ای است که تابعی در زیر علامت ریشه داشته باشد. مثلا:

چنین معادلاتی همیشه در 3 مرحله حل می شوند:

1. ریشه را جدا کنید. به عبارت دیگر، اگر علاوه بر ریشه، اعداد یا توابع دیگری در سمت چپ علامت مساوی وجود داشته باشد، همه اینها باید با تغییر علامت به سمت راست منتقل شوند. در همان زمان، فقط رادیکال باید در سمت چپ باقی بماند - بدون هیچ ضرایبی.
2. 2. دو طرف معادله را مربع می کنیم. در عین حال، به یاد داشته باشید که دامنه ریشه همه اعداد غیر منفی هستند. از این رو تابع سمت راست است معادله غیر منطقیهمچنین باید غیر منفی باشد: g (x) ≥ 0.
3. مرحله سوم به طور منطقی از مرحله دوم پیروی می کند: باید یک بررسی انجام دهید. واقعیت این است که در مرحله دوم می‌توانیم ریشه‌های اضافی داشته باشیم. و برای قطع آنها، لازم است اعداد نامزد به دست آمده را جایگزین معادله اصلی کنید و بررسی کنید: آیا واقعاً برابری عددی صحیح به دست آمده است؟

حل یک معادله غیر منطقی

بیایید به معادله غیرمنطقی خود که در همان ابتدای درس داده شد بپردازیم. در اینجا ریشه از قبل منزوی است: در سمت چپ علامت مساوی چیزی جز ریشه وجود ندارد. بیایید هر دو طرف را مربع کنیم:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

معادله درجه دوم حاصل را از طریق ممیز حل می کنیم:

D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 1 (-12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

تنها جایگزینی این اعداد در معادله اصلی باقی مانده است، یعنی. انجام یک بررسی اما حتی در اینجا می توانید برای ساده کردن تصمیم نهایی کار درست را انجام دهید.

چگونه راه حل را ساده کنیم

بیایید فکر کنیم: چرا حتی در پایان حل یک معادله غیرمنطقی بررسی می کنیم؟ ما می خواهیم مطمئن شویم که هنگام جایگزینی ریشه های خود، یک عدد غیر منفی در سمت راست علامت مساوی وجود دارد. از این گذشته ، ما قبلاً با اطمینان می دانیم که این یک عدد غیر منفی در سمت چپ است ، زیرا جذر حسابی (که به همین دلیل معادله ما غیر منطقی نامیده می شود) طبق تعریف نمی تواند کمتر از صفر باشد.

بنابراین، تنها چیزی که باید بررسی کنیم این است که تابع g ( x ) = 5 − x، که در سمت راست علامت مساوی است، غیر منفی است:

g(x) ≥ 0

ریشه های خود را در این تابع جایگزین می کنیم و دریافت می کنیم:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (-2) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 > 0

از مقادیر به دست آمده، نتیجه می شود که ریشه x 1 = 6 برای ما مناسب نیست، زیرا هنگام جایگزینی در سمت راست معادله اصلی، یک عدد منفی دریافت می کنیم. اما ریشه x 2 \u003d -2 برای ما کاملاً مناسب است، زیرا:

1. این ریشه راه حل معادله درجه دوم است که با بالا بردن هر دو طرف به دست می آید معادله غیر منطقیبه یک مربع
2. سمت راست معادله غیرمنطقی اولیه، هنگامی که ریشه x 2 = -2 جایگزین شود، به یک عدد مثبت تبدیل می شود، یعنی. محدوده ریشه حسابی نقض نمی شود.

این همه الگوریتم است! همانطور که می بینید، حل معادلات با رادیکال ها چندان دشوار نیست. نکته اصلی این است که فراموش نکنید ریشه های دریافت شده را بررسی کنید، در غیر این صورت احتمال دریافت پاسخ های اضافی بسیار زیاد است.

حل معادلات غیر منطقی

در این مقاله در مورد راه های حل صحبت خواهیم کرد ساده ترین معادلات غیر منطقی

معادله غیر منطقیمعادله ای نامیده می شود که شامل مجهول زیر علامت ریشه است.

بیایید به دو نوع نگاه کنیم معادلات غیر منطقی، که در نگاه اول بسیار شبیه به هم هستند اما در واقع تفاوت زیادی با یکدیگر دارند.

(1)

(2)

در معادله اول می بینیم که مجهول زیر علامت ریشه درجه سوم است. ما می‌توانیم یک ریشه فرد را از یک عدد منفی استخراج کنیم، بنابراین در این معادله هیچ محدودیتی برای عبارت زیر علامت ریشه یا عبارت سمت راست معادله وجود ندارد. می توانیم دو طرف معادله را به توان سوم برسانیم تا از ریشه خلاص شویم. یک معادله معادل بدست می آوریم:

هنگامی که سمت راست و چپ معادله را به توان فرد می آوریم، نمی توانیم از به دست آوردن ریشه های خارجی هراس داشته باشیم.

مثال 1. بیایید معادله را حل کنیم

بیایید هر دو طرف معادله را به توان سوم برسانیم. یک معادله معادل بدست می آوریم:

بیایید همه عبارت ها را در یک جهت حرکت دهیم و x را از پرانتز خارج کنیم:

هر عامل را با صفر برابر می کنیم، به دست می آوریم:

پاسخ: (0;1;2)

بیایید معادله دوم را با دقت بیشتری بررسی کنیم: . در سمت چپ معادله جذر قرار دارد که فقط مقادیر غیر منفی را می گیرد. بنابراین برای اینکه معادله جواب داشته باشد، سمت راست نیز باید غیر منفی باشد. بنابراین، شرط زیر در سمت راست معادله اعمال می شود:

Title="g(x)>=0"> - это !} شرط وجود ریشه.

برای حل یک معادله از این نوع، باید دو طرف معادله را مربع کنید:

(3)

مربع کردن می تواند ریشه های خارجی را معرفی کند، بنابراین ما به معادلات نیاز داریم:

Title="f(x)>=0"> (4)!}

با این حال، نابرابری (4) از شرط (3) به دست می آید: اگر مربع برخی از عبارت ها در سمت راست تساوی باشد، و مربع هر عبارتی فقط می تواند مقادیر غیر منفی بگیرد، سمت چپ نیز باید غیر باشد. -منفی. بنابراین، شرط (4) به طور خودکار از شرط (3) و ما پیروی می کند معادله معادل سیستم:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

مثال 2.بیایید معادله را حل کنیم:

.

بیایید به یک سیستم معادل برویم:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

اولین معادله سیستم را حل می کنیم و بررسی می کنیم که کدام ریشه ها نابرابری را برآورده می کنند.

نابرابری title="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

پاسخ: x=1

توجه!اگر در فرآیند حل دو طرف معادله را مربع کنیم، باید به یاد داشته باشیم که ریشه های خارجی ممکن است ظاهر شوند. بنابراین، یا باید به یک سیستم معادل بروید، یا در پایان راه حل، بررسی کنید: ریشه ها را پیدا کنید و آنها را در معادله اصلی جایگزین کنید.

مثال 3. بیایید معادله را حل کنیم:

برای حل این معادله باید دو طرف را نیز مربع کنیم. بیایید با ODZ و شرط وجود ریشه در این معادله خود را خسته نکنیم، بلکه به سادگی در انتهای راه حل بررسی خواهیم کرد.

بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم:

عبارت حاوی ریشه را به سمت چپ و سایر اصطلاحات را به سمت راست منتقل کنید:

بیایید دوباره دو طرف معادله را مربع کنیم:

به گفته ویتا ترمه:

بیا چک کنیم برای انجام این کار، ریشه های یافت شده را جایگزین معادله اصلی می کنیم. بدیهی است که برای , سمت راست معادله اصلی منفی است در حالی که سمت چپ مثبت است.

زمانی که برابری صحیح را بدست آوریم.

خلاصه درس

"روش حل معادلات غیر منطقی"

پایه یازدهم پروفایل فیزیکی و ریاضی.

منطقه شهرداری Zelenodolsky جمهوری تاتارستان

Valieva S.Z.

موضوع درس: روش های حل معادلات غیر منطقی

هدف از درس: 1. روش های مختلف حل معادلات غیر منطقی را مطالعه کنید.

1. 
   توانایی تعمیم، انتخاب صحیح روش ها برای حل معادلات غیر منطقی را توسعه دهید.
2. 
   استقلال را توسعه دهید، سواد گفتار را آموزش دهید

نوع درس:سمینار.
طرح درس:

1. 
   زمان سازماندهی
2. 
   یادگیری مطالب جدید
3. 
   لنگر انداختن
4. 
   مشق شب
5. 
   خلاصه درس

در طول کلاس ها
من. زمان سازماندهی:پیام موضوع درس، هدف درس.

در درس قبل حل معادلات غیر منطقی حاوی ریشه های مربع را با مجذور کردن آنها در نظر گرفتیم. در این حالت، معادله پیامدی را به دست می آوریم که گاهی منجر به ظهور ریشه های خارجی می شود. و سپس یک بخش اجباری از حل معادله بررسی ریشه ها است. ما همچنین حل معادلات را با استفاده از تعریف جذر در نظر گرفتیم. در این صورت می توان چک را حذف کرد. با این حال، هنگام حل معادلات، همیشه لازم نیست که فوراً به استفاده از الگوریتم های "کور" برای حل معادله بروید. در وظایف آزمون یکپارچه دولتی، معادلات کمی وجود دارد که در حل آنها باید روش حلی را انتخاب کنید که به شما امکان می دهد معادلات را آسان تر و سریعتر حل کنید. بنابراین لازم است روش های دیگری را برای حل معادلات غیر منطقی بدانیم که امروز با آن ها آشنا می شویم. پیش از این، کلاس به 8 گروه خلاق تقسیم می شد و برای آشکار کردن ماهیت یک روش خاص، نمونه های خاصی به آنها داده می شد. ما به آنها یک کلمه می دهیم.

II. یادگیری مطالب جدید.

از هر گروه 1 دانش آموز نحوه حل معادلات غیرمنطقی را برای بچه ها توضیح می دهد. کل کلاس گوش می دهند و از داستان آنها یادداشت می کنند.

1 راه. معرفی یک متغیر جدید

معادله را حل کنید: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

، t ≥0

x 2 - 2x - 6 \u003d t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

x 2 - 2x - 6 \u003d 9;

پاسخ: -3; 5.

2 راه. تحقیق ODZ

معادله را حل کنید

ODZ:


x \u003d 2. با بررسی مطمئن می شویم که x \u003d 2 ریشه معادله است.

3 راه. ضرب دو طرف معادله در ضریب مزدوج.

+
(هر دو طرف را ضرب کنید -
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)

2=4، بنابراین x=1. با بررسی متقاعد می شویم که x \u003d 1 ریشه این معادله است.

4 راه. کاهش یک معادله به یک سیستم با معرفی یک متغیر.

معادله را حل کنید

بگذار = تو،
=v.

ما سیستم را دریافت می کنیم:

بیایید با روش جایگزینی حل کنیم. ما u = 2، v = 2 به دست می آوریم. بنابراین،

x=1 می گیریم.

پاسخ: x = 1.

5 راه. انتخاب یک مربع کامل

معادله را حل کنید

بیایید ماژول ها را باز کنیم. زیرا -1≤cos0.5x≤1، سپس -4≤cos0.5x-3≤-2، بنابراین . به همین ترتیب،

سپس معادله را بدست می آوریم

x = 4πn، nZ.

پاسخ: 4πn، nZ.

6 راه. روش ارزیابی

معادله را حل کنید

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0، طبق تعریف، سمت راست -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

ما گرفتیم
آن ها x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. با حل معادله با فاکتورگیری، x = 2، x = -2 بدست می آوریم.

روش 7: استفاده از خواص یکنواختی توابع.

معادله را حل کنید. توابع به شدت در حال افزایش هستند. مجموع توابع افزایشی در حال افزایش است و این معادله حداکثر یک ریشه دارد. با انتخاب x = 1 را پیدا می کنیم.

8 راه. استفاده از بردارها

معادله را حل کنید. ODZ: -1≤х≤3.

اجازه دهید بردار
. حاصل ضرب اسکالر بردارها سمت چپ است. بیایید حاصل ضرب طول آنها را پیدا کنیم. این سمت راست است. بدست آورد
، یعنی بردارهای a و b هم خطی هستند. از اینجا
. بیایید هر دو طرف را مربع کنیم. با حل معادله، x \u003d 1 و x \u003d را بدست می آوریم
.

1. 
   تحکیم.(به هر دانش آموز یک برگه داده می شود)

کار شفاهی جلو

ایده ای برای حل معادلات (1-10) پیدا کنید

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3. x 2 - 3x +
(تعویض)

4. (انتخاب یک مربع کامل)

5.
(تقلیل یک معادله به یک سیستم با معرفی یک متغیر.)

6.
(با ضرب در عبارت الحاقی)

7.
زیرا
. این معادله ریشه ندارد.

8. زیرا هر جمله غیر منفی است، آنها را با صفر برابر می کنیم و سیستم را حل می کنیم.

9. 3

10. ریشه معادله (یا حاصل ضرب ریشه ها، در صورت وجود چندین) معادله را بیابید.

کار مستقل مکتوب با تأیید بعدی

حل معادلات 11،13،17،19

حل معادلات:

12. (x + 6) 2 -

14.

روش ارزیابی

استفاده از خواص یکنواختی توابع.

استفاده از بردارها

1. 
   کدام یک از این روش ها برای حل انواع دیگر معادلات استفاده می شود؟
2. 
   کدام یک از این روش ها را بیشتر دوست داشتید و چرا؟

1. 
   تکلیف: معادلات باقی مانده را حل کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب:

1. 
   جبر و آغاز تحلیل ریاضی: کتاب درسی. برای 11 سلول آموزش عمومی موسسات / S.M. Nikolsky، M.K. Potapov، N.N. Reshetnikov، A.V. Shevkin. م: روشنگری، 2009

1. 
   مطالب آموزشی در مورد جبر و اصول تجزیه و تحلیل برای کلاس 11 / B.M. ایولف، اس.ام. ساهاکیان، س.آی. شوارتزبرد. - م.: روشنگری، 2003.
2. 
   موردکوویچ A.G. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل. 10 - 11 سلول: کتاب تکلیف برای آموزش عمومی. نهادها - M.: Mnemosyne، 2000.
3. 
   Ershova A.P.، Goloborodko V.V. کار مستقل و کنترلی روی جبر و اصول تجزیه و تحلیل برای کلاس های 10-11. - م.: ایلکسا، 2004
4. 
   KIM USE 2002 - 2010

6. شبیه ساز جبری. A.G. Merzlyak، V.B. Polonsky، M.S. یاکر. کتاب راهنما برای دانش آموزان و ورودی ها. مسکو: "ایلکسا" 2001.
7. معادلات و نابرابری ها. روش های حل غیر استاندارد راهنمای آموزشی - روشمند. 10-11 کلاس. S.N. Oleinik، M.K. پوتاپوف، پی.آی.پاسیچنکو. مسکو. "بیسترد". 2001

معادلاتی که در آنها یک متغیر در زیر علامت ریشه قرار می گیرد غیر منطقی نامیده می شود.

روش‌های حل معادلات غیرمنطقی، معمولاً مبتنی بر امکان جایگزینی (با کمک برخی تبدیل‌ها) یک معادله غیرمنطقی با یک معادله عقلانی است که یا معادل معادله غیرمنطقی اصلی است یا پیامد آن است. اغلب، هر دو طرف معادله به یک توان افزایش می‌یابند. در این صورت معادله ای حاصل می شود که نتیجه معادله اصلی است.

در حل معادلات غیرمنطقی باید موارد زیر را در نظر گرفت:

1) اگر شاخص ریشه یک عدد زوج باشد، عبارت رادیکال باید غیر منفی باشد. مقدار ریشه نیز غیر منفی است (تعریف ریشه با توان زوج).

2) اگر شاخص ریشه یک عدد فرد باشد، عبارت رادیکال می تواند هر عدد واقعی باشد. در این صورت علامت ریشه همان علامت بیان ریشه است.

مثال 1معادله را حل کنید

بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم.
x 2 - 3 \u003d 1;
3- را از سمت چپ معادله به سمت راست منتقل می کنیم و کاهش عبارت های مشابه را انجام می دهیم.
x 2 \u003d 4;
معادله درجه دوم ناقص حاصل دارای دو ریشه -2 و 2 است.

بیایید ریشه های به دست آمده را بررسی کنیم، برای این کار، مقادیر متغیر x را در معادله اصلی جایگزین می کنیم.
معاینه.
وقتی x 1 \u003d -2 - درست است:
وقتی x 2 \u003d -2- درست است.
بنابراین معادله غیرمنطقی اولیه دارای دو ریشه -2 و 2 است.

مثال 2معادله را حل کنید .

این معادله را می توان با همان روش مثال اول حل کرد، اما ما آن را متفاوت انجام خواهیم داد.

اجازه دهید ODZ این معادله را پیدا کنیم. از تعریف جذر، نتیجه می شود که در این معادله باید دو شرط به طور همزمان برآورده شود:

ODZ معادله داده شده: x.

پاسخ: بدون ریشه.

مثال 3معادله را حل کنید =+ 2.

یافتن ODZ در این معادله کار نسبتاً دشواری است. بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم:
x 3 + 4x - 1 - 8 = x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 = 1; x2=0.
پس از بررسی، مشخص می کنیم که x 2 \u003d 0 یک ریشه اضافی است.
پاسخ: x 1 \u003d 1.

مثال 4معادله x = را حل کنید.

در این مثال، ODZ به راحتی پیدا می شود. ODZ این معادله: x[-1;).

بیایید دو طرف این معادله را مربع کنیم، در نتیجه معادله x 2 \u003d x + 1 را به دست می آوریم. ریشه های این معادله:

بررسی ریشه های یافت شده دشوار است. اما، با وجود این واقعیت که هر دو ریشه متعلق به ODZ هستند، نمی توان ادعا کرد که هر دو ریشه ریشه های معادله اصلی هستند. این منجر به خطا می شود. در این حالت، معادله غیرمنطقی معادل ترکیب دو نامساوی و یک معادله است:

x+10 و x0 و x 2 \u003d x + 1، که از آن نتیجه می شود که ریشه منفی معادله غیرمنطقی خارجی است و باید کنار گذاشته شود.

مثال 5.معادله += 7 را حل کنید.

بیایید دو طرف معادله را مربع کرده و کاهش عبارت های مشابه را انجام دهیم، عبارت ها را از یک قسمت معادله به قسمت دیگر منتقل کنیم و هر دو قسمت را در 0.5 ضرب کنیم. در نتیجه معادله را بدست می آوریم
= 12، (*) که پیامد اصلی است. بیایید دوباره دو طرف معادله را مربع کنیم. معادله (x + 5) (20 - x) = 144 را بدست می آوریم که نتیجه معادله اصلی است. معادله به دست آمده به شکل x 2 - 15x + 44 = 0 کاهش می یابد.

این معادله (که همچنین نتیجه معادله اصلی است) دارای ریشه x 1 \u003d 4، x 2 \u003d 11 است. همانطور که آزمایش نشان می دهد هر دو ریشه معادله اصلی را برآورده می کنند.

هرزه. x 1 = 4، x 2 = 11.

اظهار نظر. هنگام مربع کردن معادلات، دانش آموزان اغلب در معادلاتی مانند (*) عبارات ریشه را ضرب می کنند، یعنی به جای معادله = 12، معادله را می نویسند. = 12. این منجر به خطا نمی شود، زیرا معادلات پیامدهای معادلات هستند. با این حال، باید در نظر داشت که در حالت کلی، چنین ضرب عبارات رادیکالی معادلات غیر معادل به دست می دهد.

در مثال‌هایی که در بالا بحث شد، ابتدا می‌توان یکی از رادیکال‌ها را به سمت راست معادله منتقل کرد. سپس یک رادیکال در سمت چپ معادله باقی می ماند و پس از دو طرف معادله، یک تابع گویا در سمت چپ معادله به دست می آید. این تکنیک (تنهایی رادیکال) اغلب در حل معادلات غیر منطقی استفاده می شود.

مثال 6. حل معادله-= 3.

با جداسازی رادیکال اول، معادله را به دست می آوریم
=+ 3 که معادل اصلی است.

دو طرف این معادله را به صورت دو طرفه به دست می آوریم

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6 که معادل معادله است

4x - 5 = 3(*). این معادله نتیجه معادله اصلی است. دو طرف معادله را دو طرفه می کنیم، به معادله می رسیم
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3) یا

7x2 - 13x - 2 = 0.

این معادله نتیجه معادله (*) (و از این رو معادله اصلی) است و ریشه دارد. ریشه اول x 1 = 2 معادله اصلی را برآورده می کند، و x 2 =- نمی کند.

پاسخ: x = 2.

توجه داشته باشید که اگر بلافاصله، بدون جداسازی یکی از رادیکال‌ها، هر دو بخش معادله اصلی را مربع می‌کردیم، باید تبدیل‌های دست و پا گیر انجام دهیم.

در حل معادلات غیر منطقی علاوه بر جداسازی رادیکال ها از روش های دیگری نیز استفاده می شود. مثالی از استفاده از روش جایگزینی مجهول (روش معرفی متغیر کمکی) را در نظر بگیرید.