توزیع یکنواخت مقدار پیوسته X به طور مساوی توزیع شده استدر فاصله زمانی ( آ, باگر تمام مقادیر ممکن آن در این بازه باشد و چگالی توزیع احتمال ثابت باشد:

برای یک متغیر تصادفی ایکس، به طور یکنواخت در فاصله ( آ, ب) (شکل 4)، احتمال افتادن در هر بازه ای ( ایکس 1 , ایکس 2) دراز کشیدن در داخل فاصله ( آ, ب)، برابر است با:

(30)


برنج. 4. نمودار چگالی توزیع یکنواخت

خطاهای گرد کردن نمونه هایی از کمیت های توزیع شده یکنواخت هستند. بنابراین، اگر همه مقادیر جدولی یک تابع خاص به یک رقم گرد شوند، سپس یک مقدار جدولی را به طور تصادفی انتخاب می کنیم، در نظر می گیریم که خطای گرد کردن عدد انتخاب شده یک متغیر تصادفی است که به طور یکنواخت در بازه توزیع شده است.

توزیع نمایی متغیر تصادفی پیوسته ایکساین دارد توزیع نمایی

(31)

نمودار چگالی توزیع احتمال (31) در شکل نشان داده شده است. 5.

برنج. 5. نمودار چگالی توزیع نمایی

زمان تیعملکرد بدون خرابی یک سیستم کامپیوتری یک متغیر تصادفی است که دارای توزیع نمایی با پارامتر است λ که معنای فیزیکی آن میانگین تعداد خرابی در واحد زمان بدون احتساب زمان خرابی سیستم برای تعمیر است.

توزیع نرمال (گاوسی). مقدار تصادفی ایکساین دارد طبیعی توزیع (گاوسی).، اگر توزیع چگالی احتمالات آن توسط وابستگی تعیین شود:

(32)

جایی که متر = م(ایکس) , .

در توزیع نرمال نامیده می شود استاندارد.

نمودار چگالی توزیع نرمال (32) در شکل نشان داده شده است. 6.

برنج. 6. نمودار چگالی توزیع نرمال

توزیع نرمال رایج ترین توزیع در پدیده های تصادفی مختلف طبیعت است. بنابراین، خطا در اجرای دستورات توسط یک دستگاه خودکار، خطا در پرتاب یک فضاپیما به نقطه معینی از فضا، خطا در پارامترهای سیستم های کامپیوتری و غیره. در بیشتر موارد توزیع نرمال یا نزدیک به نرمال دارند. علاوه بر این، متغیرهای تصادفی که از مجموع تعداد زیادی از عبارت‌های تصادفی تشکیل می‌شوند، تقریباً طبق قانون عادی توزیع می‌شوند.

توزیع گاما مقدار تصادفی ایکساین دارد توزیع گاما، اگر توزیع چگالی احتمالات آن با فرمول بیان شود:

(33)

جایی که تابع گامای اویلر است.

فصل 6. متغیرهای تصادفی پیوسته.

§ 1. تابع چگالی و توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته.

مجموعه مقادیر یک متغیر تصادفی پیوسته غیرقابل شمارش است و معمولاً مقداری بازه محدود یا نامتناهی را نشان می دهد.

یک متغیر تصادفی x(w) داده شده در فضای احتمال (W, S, P) نامیده می شود مداوم(کاملاً پیوسته) W اگر یک تابع غیر منفی وجود داشته باشد به طوری که برای هر x، تابع توزیع Fx(x) را می توان به عنوان یک انتگرال نشان داد.

تابع نامیده می شود چگالی توزیع احتمال.

ویژگی های تابع چگالی توزیع از این تعریف به دست می آید:

1..gif" width="97" height="51">

3. در نقاط پیوستگی، چگالی توزیع برابر است با مشتق تابع توزیع: .

4. چگالی توزیع قانون توزیع یک متغیر تصادفی را تعیین می کند، زیرا احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در بازه را تعیین می کند:

5. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته مقدار مشخصی بگیرد صفر است: . بنابراین، برابری های زیر صادق است:

نمودار تابع چگالی توزیع نامیده می شود منحنی توزیع، و مساحت محدود شده توسط منحنی توزیع و محور x برابر با یک است. سپس، از نظر هندسی، مقدار تابع توزیع Fx(x) در نقطه x0 ناحیه ای است که توسط منحنی توزیع و محور x محدود شده و در سمت چپ نقطه x0 قرار دارد.

وظیفه 1.تابع چگالی یک متغیر تصادفی پیوسته به شکل زیر است:

ثابت C را تعیین کنید، تابع توزیع Fx(x) را بسازید و احتمال را محاسبه کنید.

راه حل.ثابت C از شرطی که داریم به دست می آید:

از آنجا C=3/8.

برای ساخت تابع توزیع Fx(x)، توجه داشته باشید که بازه، محدوده آرگومان x (محور عدد) را به سه قسمت تقسیم می‌کند: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264 "height="49">

زیرا چگالی x در نیم محور صفر است. در مورد دوم

در نهایت، در آخرین مورد، زمانی که x>2،

از آنجایی که چگالی در نیم محور ناپدید می شود. بنابراین، تابع توزیع به دست می آید

احتمال با فرمول محاسبه کنید بدین ترتیب،

§ 2. ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی پیوسته

ارزش مورد انتظاربرای متغیرهای تصادفی توزیع شده پیوسته با فرمول https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src="> تعیین می شود.

اگر انتگرال سمت راست کاملاً همگرا شود.

پراکندگی x را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد ، و همچنین، مانند حالت گسسته، طبق فرمول https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

تمام ویژگی های انتظار و واریانس ارائه شده در فصل 5 برای متغیرهای تصادفی گسسته برای متغیرهای تصادفی پیوسته نیز معتبر است.

وظیفه 2. برای متغیر تصادفی x از مسئله 1، انتظار و واریانس ریاضی را محاسبه کنید .

راه حل.

و این یعنی

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

برای نمودار چگالی توزیع یکنواخت، شکل 1 را ببینید. .

شکل 6.2. تابع توزیع و چگالی توزیع. قانون یکسان

تابع توزیع Fx(x) یک متغیر تصادفی توزیع شده یکنواخت است

Fx(x)=

انتظارات و پراکندگی ریاضی؛ .

توزیع نمایی (نمایی).یک متغیر تصادفی پیوسته x که مقادیر غیرمنفی می گیرد دارای توزیع نمایی با پارامتر l>0 است اگر چگالی توزیع احتمال متغیر تصادفی برابر باشد.

px(x)=

برنج. 6.3. تابع توزیع و چگالی توزیع قانون نمایی.

تابع توزیع توزیع نمایی شکل دارد

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> و اگر چگالی توزیع آن برابر باشد

.

مجموعه همه متغیرهای تصادفی توزیع شده بر اساس قانون عادی با پارامترها و پارامترها با نشان داده می شود.

تابع توزیع یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال است

.

برنج. 6.4. تابع توزیع و چگالی توزیع قانون نرمال

پارامترهای توزیع نرمال انتظار ریاضی هستند https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

در مورد خاصی که https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> توزیع نرمال نامیده می شود استاندارد، و کلاس چنین توزیع هایی تعیین شده است https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">،

در حالی که تابع توزیع

چنین انتگرالی را نمی توان به صورت تحلیلی محاسبه کرد (در "تربیعات" گرفته نمی شود)، و بنابراین جداول برای تابع جمع آوری می شود. تابع مربوط به تابع لاپلاس است که در فصل 4 معرفی شد

,

رابطه زیر . در مورد مقادیر دلخواه پارامترها https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> تابع توزیع متغیر تصادفی با استفاده از رابطه به تابع لاپلاس مرتبط است:

.

بنابراین، احتمال سقوط یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در یک بازه را می توان با فرمول محاسبه کرد.

.

یک متغیر تصادفی غیرمنفی x در صورتی که لگاریتم آن h=lnx از قانون نرمال پیروی کند، log-normally توزیع شده نامیده می شود. انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال log Mx= و Dx= است.

وظیفه 3.اجازه دهید یک مقدار تصادفی داده شود https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

راه حل.اینجا و https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

توزیع لاپلاستوسط تابع fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> تنظیم می شود و کشش gx=3 است.

شکل 6.5. تابع چگالی توزیع لاپلاس.

متغیر تصادفی x بر روی آن توزیع می شود قانون وایبول، اگر تابع چگالی توزیع برابر با https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> داشته باشد.

توزیع Weibull از زمان عملکرد بدون خرابی بسیاری از دستگاه های فنی پیروی می کند. در وظایف این پروفایل، یک مشخصه مهم میزان شکست (میزان مرگ و میر) l(t) عناصر مورد مطالعه سن t است که با رابطه l(t)= تعیین می شود. اگر a=1 باشد، توزیع وایبول به یک توزیع نمایی تبدیل می شود و اگر a=2 به توزیع به اصطلاح تبدیل می شود. ریلی.

انتظارات ریاضی از توزیع Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">، جایی که Г(а) اویلر است. تابع. .

در مسائل مختلف آمار کاربردی، اغلب با توزیع های به اصطلاح «قطع» مواجه می شویم. به عنوان مثال، مقامات مالیاتی علاقه مند به توزیع درآمد آن دسته از افرادی هستند که درآمد سالانه آنها از آستانه مشخص c0 که توسط قوانین مالیاتی تعیین شده است، تجاوز می کند. این توزیع‌ها تقریباً مشابه توزیع پارتو هستند. توزیع پارتوتوسط توابع داده شده است

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> متغیر تصادفی x و تابع متمایز یکنواخت ..gif" width="200" height="51">

اینجا https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

وظیفه 4.متغیر تصادفی به طور یکنواخت در بازه توزیع می شود. چگالی یک متغیر تصادفی را پیدا کنید.

راه حل.از شرط مسئله بر می آید که

بعد، تابع تابعی یکنواخت و قابل تمایز روی بازه است و تابع معکوس دارد ، که مشتق آن برابر است، بنابراین،

§ 5. یک جفت متغیر تصادفی پیوسته

اجازه دهید دو متغیر تصادفی پیوسته x و h داده شوند. سپس جفت (x, h) یک نقطه "تصادفی" را در صفحه تعیین می کند. یک جفت (x,h) نامیده می شود بردار تصادفییا متغیر تصادفی دو بعدی

تابع توزیع مشترکمتغیرهای تصادفی x و h و تابع F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> نامیده می شود. تراکم مفصلتوزیع احتمال متغیرهای تصادفی x و h تابعی است به طوری که .

منظور از این تعریف از چگالی توزیع مشترک به شرح زیر است. احتمال اینکه یک "نقطه تصادفی" (x، h) به یک منطقه در یک صفحه سقوط کند به عنوان حجم یک شکل سه بعدی محاسبه می شود - یک استوانه "منحنی" محدود به سطح https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

ساده ترین مثال از توزیع مشترک دو متغیر تصادفی، دو بعدی است توزیع یکنواخت روی مجموعهآ. اجازه دهید یک مجموعه محدود M با مساحت داده شود. به عنوان توزیع جفت (x, h) با چگالی مشترک زیر تعریف می شود:

وظیفه 5.بگذارید یک بردار تصادفی دو بعدی (x,h) به طور یکنواخت در داخل مثلث توزیع شود. احتمال نامساوی x>h را محاسبه کنید.

راه حل.مساحت مثلث نشان داده شده برابر است با (شکل شماره؟ را ببینید). بر اساس تعریف توزیع یکنواخت دو بعدی، چگالی مشترک متغیرهای تصادفی x,h برابر است با

رویداد با مجموعه مطابقت دارد در هواپیما، یعنی نیمه هواپیما. سپس احتمال

در نیم صفحه B، چگالی اتصال در خارج از مجموعه برابر با صفر است https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. بنابراین ، نیم صفحه B به دو مجموعه تقسیم می شود و https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> و انتگرال دوم است. صفر است، زیرا چگالی اتصال در آنجا صفر است. از همین رو

اگر چگالی توزیع مشترک برای جفت (x, h) داده شود، چگالی و اجزای x و h نامیده می شوند. تراکم های خصوصیو با فرمول های زیر محاسبه می شوند:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

برای متغیرهای تصادفی توزیع شده پیوسته با چگالی px(x)، ph(y)، استقلال به این معنی است که

وظیفه 6.در شرایط مسئله قبلی مشخص کنید که آیا اجزای بردار تصادفی x و h مستقل هستند؟

راه حل. اجازه دهید چگالی جزئی و . ما داریم:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

بدیهی است که در مورد ما https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> چگالی مشترک x و h و j(x، y) تابعی از دو آرگومان است

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

وظیفه 7.در شرایط مسئله قبلی محاسبه کنید.

راه حل.با توجه به فرمول فوق داریم:

.

نشان دادن مثلث به صورت

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. چگالی مجموع دو متغیر تصادفی پیوسته

بگذارید x و h متغیرهای تصادفی مستقل با چگالی باشند https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. چگالی متغیر تصادفی x + h از فرمول محاسبه می شود پیچیدگی ها

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. چگالی جمع را محاسبه کنید.

راه حل.از آنجایی که x و h بر اساس قانون نمایی با پارامتر توزیع می شوند، چگالی آنها برابر است با

از این رو،

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

اگر x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">منفی است و بنابراین . بنابراین، اگر https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

به این ترتیب، به پاسخ رسیدیم:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> معمولاً با پارامترهای 0 و 1 توزیع می شود. متغیرهای تصادفی x1 و x2 مستقل و نرمال هستند. توزیع هایی با پارامترهای a1 و a2 به ترتیب ثابت کنید x1 + x2 دارای توزیع نرمال است متغیرهای تصادفی x1، x2، ... xn توزیع شده و مستقل هستند و تابع چگالی توزیع یکسانی دارند.

.

تابع توزیع و چگالی توزیع کمیت ها را پیدا کنید:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; ب) h(2) = max(x1,x2, ... xn)

متغیرهای تصادفی x1, x2, ... xn مستقل هستند و به طور یکنواخت در بازه [а, b] توزیع می شوند. توابع توزیع و توابع چگالی توزیع کمیت ها را بیابید

x(1) = min(x1,x2, ... xn) و x(2)= max(x1, x2, ...xn).

ثابت کنید که M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

متغیر تصادفی بر اساس قانون کوشی توزیع می شود: الف) ضریب a; ب) تابع توزیع؛ ج) احتمال برخورد به بازه (-1، 1). نشان دهید که انتظار x وجود ندارد. متغیر تصادفی با پارامتر l (l>0) از قانون لاپلاس تبعیت می کند: ضریب a را پیدا کنید. ساخت نمودارهای چگالی توزیع و تابع توزیع. Mx و Dx را پیدا کنید. یافتن احتمالات رویدادها (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

فرمولی برای چگالی توزیع بنویسید، Mx و Dx را پیدا کنید.

وظایف محاسباتی

یک نقطه تصادفی A دارای توزیع یکنواخت در دایره ای به شعاع R است. انتظار ریاضی و واریانس فاصله r نقطه تا مرکز دایره را پیدا کنید. نشان دهید که مقدار r2 به طور یکنواخت بر روی قطعه توزیع شده است.

چگالی توزیع یک متغیر تصادفی به شکل زیر است:

ثابت C، تابع توزیع F(x) و احتمال را محاسبه کنید چگالی توزیع یک متغیر تصادفی به شکل زیر است:

ثابت C، تابع توزیع F(x) و احتمال را محاسبه کنید چگالی توزیع یک متغیر تصادفی به شکل زیر است:
ثابت C، تابع توزیع F(x)، واریانس و احتمال را محاسبه کنید. متغیر تصادفی تابع توزیع دارد

چگالی یک متغیر تصادفی، انتظارات ریاضی، واریانس و احتمال را محاسبه کنید بررسی کنید که تابع =
می تواند تابع توزیع یک متغیر تصادفی باشد. مشخصه های عددی این کمیت را پیدا کنید: Mx و Dx. متغیر تصادفی به طور یکنواخت در بخش توزیع شده است. چگالی توزیع را بنویسید. تابع توزیع را پیدا کنید. احتمال ضربه زدن به یک متغیر تصادفی را در بخش و بر روی قطعه پیدا کنید. چگالی توزیع x است

.

ثابت c، چگالی توزیع h = و احتمال را بیابید

P (0.25

زمان کار کامپیوتر بر اساس یک قانون نمایی با پارامتر l = 0.05 (شکست در ساعت) توزیع می شود، یعنی تابع چگالی دارد.

p(x) = .

حل یک مشکل خاص نیاز به کارکرد بدون مشکل دستگاه به مدت 15 دقیقه دارد. اگر در حین حل مشکل خرابی رخ دهد، خطا فقط در پایان راه حل شناسایی می شود و دوباره مشکل حل می شود. پیدا کنید: الف) احتمال اینکه هیچ شکستی در حین حل مسئله رخ ندهد. ب) میانگین زمانی که مشکل حل خواهد شد.

میله ای به طول 24 سانتی متر به دو قسمت تقسیم می شود. فرض می کنیم که نقطه شکست به طور یکنواخت در تمام طول میله توزیع شده است. طول متوسط ​​بیشتر میله چقدر است؟ یک قطعه به طول 12 سانتی متر به طور تصادفی به دو قسمت تقسیم می شود. نقطه برش به طور مساوی در طول کل بخش توزیع می شود. طول متوسط ​​بخش کوچکی از بخش چقدر است؟ متغیر تصادفی به طور یکنواخت در بازه توزیع می شود. چگالی توزیع یک متغیر تصادفی را بیابید a) h1 = 2x + 1; ب) h2 = -ln(1-x); ج) h3 = .

نشان دهید که اگر x تابع توزیع پیوسته دارد

F(x) = P(x

تابع چگالی و تابع توزیع مجموع دو کمیت مستقل x و h را با قوانین توزیع یکنواخت بر روی فواصل و به ترتیب بیابید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به ترتیب در فواصل و به طور یکنواخت توزیع می شوند. چگالی مجموع x+h را محاسبه کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به ترتیب در فواصل و به طور یکنواخت توزیع می شوند. چگالی مجموع x+h را محاسبه کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به ترتیب در فواصل و به طور یکنواخت توزیع می شوند. چگالی مجموع x+h را محاسبه کنید. متغیرهای تصادفی مستقل هستند و دارای توزیع نمایی با چگالی هستند . چگالی توزیع مجموع آنها را بیابید. توزیع مجموع متغیرهای تصادفی مستقل x و h را بیابید، که در آن x توزیع یکنواخت در بازه، و h دارای توزیع نمایی با پارامتر l است. R را پیدا کنید اگر x دارای: الف) توزیع نرمال با پارامترهای a و s2 باشد. ب) توزیع نمایی با پارامتر l. ج) توزیع یکنواخت در بازه [-1;1]. توزیع مشترک x،h مجذور یکنواخت است
K = (x, y): |x| +|y| £ 2). احتمال را پیدا کنید . آیا x و h مستقل هستند؟ یک جفت متغیر تصادفی x و h به طور یکنواخت در داخل مثلث K= توزیع شده است. چگالی x و h را محاسبه کنید. آیا این متغیرهای تصادفی مستقل هستند؟ احتمال را پیدا کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به طور یکنواخت در فواصل و [-1،1] توزیع می شوند. احتمال را پیدا کنید. یک متغیر تصادفی دو بعدی (x, h) به طور یکنواخت در یک مربع با رئوس (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) توزیع شده است. مقدار تابع توزیع مشترک را در نقطه (1، -1) بیابید. بردار تصادفی (x,h) به طور یکنواخت در داخل دایره ای به شعاع 3 در مرکز مبدا توزیع شده است. یک عبارت برای چگالی توزیع مشترک بنویسید. تعیین کنید که آیا این متغیرهای تصادفی وابسته هستند یا خیر. احتمال را محاسبه کنید. یک جفت متغیر تصادفی x و h به طور یکنواخت در داخل یک ذوزنقه با رئوس در نقاط (6.0-)، (3.4-)، (3.4)، (6.0) توزیع شده است. چگالی توزیع مشترک برای این جفت متغیر تصادفی و چگالی اجزا را بیابید. آیا x و h وابسته هستند؟ یک جفت تصادفی (x,h) به طور مساوی در داخل نیم دایره توزیع شده است. چگالی x و h را بیابید، وابستگی آنها را بررسی کنید. چگالی مشترک دو متغیر تصادفی x و h است .
چگالی های x,h را پیدا کنید. سوال وابستگی x و h را بررسی کنید. یک جفت تصادفی (x,h) به طور یکنواخت در مجموعه توزیع شده است. چگالی x و h را بیابید، وابستگی آنها را بررسی کنید. M(xh) را پیدا کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و بر اساس قانون نمایی با پارامتر Find توزیع می شوند.

اجازه دهید یک متغیر تصادفی پیوسته X توسط تابع توزیع داده شود f(x). فرض کنید تمام مقادیر ممکن متغیر تصادفی متعلق به بازه [ الف، ب].

تعریف.انتظارات ریاضیمتغیر تصادفی پیوسته X که مقادیر ممکن آن متعلق به بخش است، انتگرال معین نامیده می شود.

اگر مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی در کل محور عدد در نظر گرفته شود، انتظار ریاضی با فرمول بدست می‌آید:

البته در این مورد فرض بر این است که انتگرال نامناسب همگرا می شود.

تعریف.پراکندگیمتغیر تصادفی پیوسته انتظار ریاضی مربع انحراف آن نامیده می شود.

بر اساس قیاس با واریانس یک متغیر تصادفی گسسته، از فرمول زیر برای محاسبه عملی واریانس استفاده می‌شود:

تعریف.انحراف معیارجذر واریانس نامیده می شود.

تعریف.روش M 0 یک متغیر تصادفی گسسته محتمل ترین مقدار آن نامیده می شود. برای یک متغیر تصادفی پیوسته، حالت مقدار متغیر تصادفی است که در آن چگالی توزیع دارای حداکثر است.

اگر چندضلعی توزیع برای یک متغیر تصادفی گسسته یا منحنی توزیع برای یک متغیر تصادفی پیوسته دو یا چند ماکزیمم داشته باشد، چنین توزیعی نامیده می شود. دوحالتهیا چند وجهی. اگر توزیعی دارای حداقل باشد اما حداکثر نداشته باشد، آنگاه فراخوانی می شود ضد وجهی.

تعریف.میانه M D یک متغیر تصادفی X مقدار آن است که نسبت به آن به همان اندازه احتمال دارد که مقدار بزرگتر یا کوچکتر متغیر تصادفی را بدست آورد.

از نظر هندسی، میانه آبسیسا نقطه ای است که در آن ناحیه محدود شده توسط منحنی توزیع به نصف تقسیم می شود. توجه داشته باشید که اگر توزیع یک وجهی باشد، پس مد و میانه با انتظارات ریاضی مطابقت دارند.

تعریف.لحظه شروعسفارش کمتغیر تصادفی X را انتظار ریاضی X می نامند ک.

لحظه اولیه مرتبه اول برابر با انتظار ریاضی است.

تعریف.لحظه مرکزیسفارش کمتغیر تصادفی X انتظار ریاضی از مقدار نامیده می شود

برای یک متغیر تصادفی گسسته: .

برای یک متغیر تصادفی پیوسته: .

ممان مرکزی مرتبه اول همیشه صفر است و ممان مرکزی مرتبه دوم برابر با پراکندگی است. لحظه مرکزی مرتبه سوم عدم تقارن توزیع را مشخص می کند.

تعریف. نسبت ممان مرکزی مرتبه سوم به انحراف معیار در درجه سوم نامیده می شود ضریب عدم تقارن.

تعریف. برای مشخص کردن وضوح و صافی توزیع، کمیتی نامیده می شود کشیدگی.

علاوه بر کمیت های در نظر گرفته شده، به اصطلاح ممان مطلق نیز استفاده می شود:

لحظه شروع مطلق: . لحظه مرکزی مطلق: . لحظه مرکزی مطلق مرتبه اول نامیده می شود انحراف میانگین حسابی.

مثال.برای مثال در نظر گرفته شده در بالا، انتظار ریاضی و واریانس متغیر تصادفی X را تعیین کنید.

مثال.یک کوزه شامل 6 توپ سفید و 4 توپ سیاه است. پنج بار پشت سر هم یک توپ از آن جدا می شود و هر بار توپی که بیرون آورده می شود به عقب برمی گردد و توپ ها با هم مخلوط می شوند. با در نظر گرفتن تعداد توپ های سفید استخراج شده به عنوان یک متغیر تصادفی X، قانون توزیع این کمیت را ترسیم کنید، انتظارات ریاضی و واریانس آن را تعیین کنید.

زیرا توپ ها در هر آزمایش برگردانده شده و مخلوط می شوند، سپس آزمایش ها را می توان مستقل در نظر گرفت (نتیجه آزمایش قبلی بر احتمال وقوع یا عدم وقوع یک رویداد در آزمایش دیگر تأثیر نمی گذارد).

بنابراین، احتمال ظاهر شدن یک توپ سفید در هر آزمایش ثابت و برابر است

بنابراین، در نتیجه پنج آزمایش متوالی، توپ سفید ممکن است اصلا ظاهر نشود، یک بار، دو بار، سه، چهار یا پنج بار ظاهر شود. برای تهیه یک قانون توزیع، باید احتمالات هر یک از این رویدادها را بیابید.

1) توپ سفید اصلا ظاهر نشد:

2) توپ سفید یک بار ظاهر شد:

3) توپ سفید دو بار ظاهر می شود: .

متغیرهای تصادفی با ماهیت فیزیکی خود می توانند قطعی و تصادفی باشند.

گسسته یک متغیر تصادفی است که مقادیر فردی آن را می توان مجددا شماره گذاری کرد (تعداد محصولات، تعداد قطعات - معیوب و خوب و غیره).

متغیر تصادفی پیوسته نامیده می شود که مقادیر ممکن آن شکاف خاصی را پر می کند (انحراف اندازه قطعه تولید شده از مقدار اسمی، خطای اندازه گیری، انحراف شکل قطعه، ارتفاع ریز زبری و غیره).

یک متغیر تصادفی را نمی توان با هیچ مقدار مشخصی مشخص کرد. برای آن، لازم است مجموعه ای از مقادیر ممکن و ویژگی های احتمالی داده شده در این مجموعه را نشان دهیم.

در صورتی که یک رویداد تصادفی به صورت عدد بیان شود، می توانیم در مورد یک متغیر تصادفی صحبت کنیم. تصادفیآنها مقداری را می نامند که در نتیجه آزمایش، یک مقدار ممکن را می گیرد، از قبل ناشناخته و بسته به دلایل تصادفی که نمی توان از قبل در نظر گرفت.

از دست دادن مقداری از یک متغیر تصادفی ایکساین یک رویداد تصادفی است: X \u003d x i.از بین متغیرهای تصادفی، متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته متمایز می شوند.

متغیر تصادفی گسستهیک متغیر تصادفی نامیده می شود که در نتیجه آزمایش، مقادیر فردی با احتمالات خاص به خود می گیرد. تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته می تواند متناهی یا بی نهایت باشد. نمونه هایی از یک متغیر تصادفی گسسته: ثبت خوانش های سرعت سنج یا دمای اندازه گیری شده در نقاط خاصی از زمان.

متغیر تصادفی پیوستهیک متغیر تصادفی نامیده می شود که در نتیجه آزمایش، تمام مقادیر را از یک بازه عددی معین می گیرد. تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته بی نهایت است. مثالی از یک متغیر تصادفی پیوسته: اندازه گیری سرعت حرکت هر نوع انتقال یا دما در یک بازه زمانی خاص.

هر متغیر تصادفی قانون توزیع احتمال و تابع توزیع احتمال خاص خود را دارد. قبل از تعریف تابع توزیع، بیایید متغیرهایی را که آن را تعریف می کنند، در نظر بگیریم. بگذار برخی ایکسیک عدد واقعی است و یک متغیر تصادفی به دست می آید ایکس، که در آن x > X. برای تعیین احتمال متغیر تصادفی مورد نیاز است ایکسکمتر از این مقدار ثابت خواهد بود ایکس.

تابع توزیع یک متغیر تصادفی ایکستابع نامیده می شود F(x)، که احتمال این را تعیین می کند که متغیر تصادفی X در نتیجه آزمایش مقداری کمتر از مقدار x بگیرد، یعنی:

یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال مشخص می شود قانون توزیع آن . این قانون بین مقادیر احتمالی یک متغیر تصادفی و احتمال وقوع آنها مربوط به این مقادیر ارتباط برقرار می کند. دو شکل برای توصیف قانون توزیع یک متغیر تصادفی وجود دارد - دیفرانسیل و انتگرال . علاوه بر این، در اندازه‌شناسی، عمدتاً از شکل دیفرانسیل استفاده می‌شود - قانون توزیع چگالی احتمالی متغیر تصادفی

قانون توزیع تفاضلیمشخص شده است چگالی توزیع احتمال f(x) متغیر تصادفی ایکس. احتمال آرضربه زدن به یک متغیر تصادفی در بازه از x 1قبل از x 2با فرمول داده می شود:

از نظر گرافیکی، این احتمال، نسبت مساحت زیر منحنی f (x) در محدوده x 1 تا x 2 به کل مساحت محدود شده توسط کل منحنی توزیع است. به عنوان یک قاعده، سطح زیر کل منحنی توزیع احتمال به یک نرمال می شود.

در این مورد، توزیع مداوممتغیر تصادفی علاوه بر آنها، وجود دارد گسستهمتغیرهای تصادفی که تعدادی مقادیر خاص را می گیرند که می توان آنها را شماره گذاری کرد.

قانون توزیع انتگرالی یک متغیر تصادفییک تابع است F(x)،با فرمول تعریف شده است

احتمال اینکه یک متغیر تصادفی کمتر از x 1 باشد با مقدار تابع F(x) در x = x 1 داده می شود:

اگرچه قانون توزیع متغیرهای تصادفی مشخصه احتمالی کامل آنهاست، اما یافتن این قانون کار نسبتاً دشواری است و نیاز به اندازه گیری های متعددی دارد. بنابراین، در عمل، برای توصیف ویژگی های یک متغیر تصادفی، متنوع است ویژگی های عددی توزیع ها. این شامل لحظاتمتغیرهای تصادفی: اولیه و مرکزی، که برخی هستند مقادیر متوسط. علاوه بر این، اگر مقادیر شمارش شده از مبدأ به طور میانگین محاسبه شوند، لحظات فراخوانی می شوند اولیه، و اگر از مرکز توزیع، پس مرکزی.

تابع توزیع یک متغیر تصادفی X تابع F(x) است که برای هر x این احتمال را بیان می کند که متغیر تصادفی X مقدار را می گیرد., x کوچکتر

مثال 2.5. با توجه به یک سری توزیع از یک متغیر تصادفی

تابع توزیع آن را پیدا کرده و به صورت گرافیکی به تصویر بکشید. راه حل. طبق تعریف

F(jc) = 0 برای ایکسایکس

F(x) = 0.4 + 0.1 = 0.5 در 4 F(x) = 0.5 + 0.5 = 1 در ایکس > 5.

بنابراین (شکل 2.1 را ببینید):

ویژگی های تابع توزیع:

1. تابع توزیع یک متغیر تصادفی یک تابع غیر منفی است که بین صفر و یک محصور شده است:

2. تابع توزیع یک متغیر تصادفی یک تابع غیر کاهشی در کل محور اعداد است، یعنی. در ایکس 2 > x

3. در منهای بی نهایت، تابع توزیع برابر با صفر است، در بعلاوه بی نهایت، برابر با یک است، i.e.

4. احتمال ضربه زدن به یک متغیر تصادفی ایکسدر فاصله زمانیبرابر است با انتگرال قطعی چگالی احتمال آن در محدوده از آقبل از ب(نگاه کنید به شکل 2.2)، یعنی.

برنج. 2.2

3. تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته (نگاه کنید به شکل 2.3) را می توان بر حسب چگالی احتمال با استفاده از فرمول بیان کرد:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. انتگرال نامناسب در حدود نامتناهی چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته برابر با یک است:

خواص هندسی / و 4 چگالی احتمال به این معنی است که نمودار آن است منحنی توزیع - زیر محور x قرار ندارد, و مساحت کل شکل, منحنی توزیع محدود و محور x, برابر یک است.

برای یک متغیر تصادفی پیوسته ایکسارزش مورد انتظار M(X)و واریانس D(X)با فرمول های زیر تعیین می شوند:

(اگر انتگرال به طور مطلق همگرا شود)؛ یا

(اگر انتگرال های کاهش یافته همگرا شوند).

همراه با ویژگی های عددی ذکر شده در بالا، مفهوم چندک و درصد برای توصیف یک متغیر تصادفی استفاده می شود.

چندک سطح q(یا q-quantile) چنین مقداری استx qمتغیر تصادفی, که تابع توزیع آن مقدار را می گیرد, برابر qیعنی

• 100نقطه q%-ou چندک X~ q است.
• ? مثال 2.8.

طبق مثال 2.6 کمیت را پیدا کنید xqj و 30% نقطه متغیر تصادفی ایکس.

راه حل. طبق تعریف (2.16) F(xo t3) = 0.3، یعنی.

~Y~ = 0.3، که از آن چندک است x 0 3 = 0.6. 30% نقطه متغیر تصادفی ایکس، یا کمیت Х)_о،з = xoj» به طور مشابه از معادله ^ = 0.7 یافت می شود. از آنجا *، = 1.4. ?

از جمله ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی، وجود دارد اولیه v* و مرکزی R* لحظه های مرتبه k-ام، برای متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته با فرمول تعیین می شود: