بسکرونی I.M. یکی

1 OAO Angstrem-M

هدف کار توسعه روش ها و الگوریتم هایی برای محاسبه سه گانه فیثاغورثی به شکل a2+b2=c2 است. فرآیند تجزیه و تحلیل مطابق با اصول یک رویکرد سیستماتیک انجام شد. در کنار مدل های ریاضی، از مدل های گرافیکی استفاده می شود که هر یک از اعضای سه گانه فیثاغورث را به صورت مربع های مرکب که هر کدام از مجموعه ای از مربع های واحد تشکیل شده است، نمایش می دهند. ثابت شده است که یک مجموعه نامتناهی از سه گانه فیثاغورثی حاوی تعداد نامتناهی زیر مجموعه است که با تفاوت بین مقادیر b–c متمایز می شوند. الگوریتمی برای تشکیل سه گانه فیثاغورثی با هر مقدار از پیش تعیین شده این تفاوت پیشنهاد شده است. نشان داده شده است که سه گانه فیثاغورثی برای هر مقدار 3≤a وجود دارد

سه قلوهای فیثاغورثی

تحلیل سیستم

مدل ریاضی

مدل گرافیکی

1. آنوسوف D.N. نگاهی به ریاضیات و چیزی از آن. - M.: MTSNMO، 2003. - 24 p.: ill.

2. Ayerland K., Rosen M. مقدمه کلاسیک بر نظریه اعداد مدرن. - م.: میر، 1366.

3. Beskrovny I.M. تجزیه و تحلیل سیستم و فناوری اطلاعات در سازمان ها: کتاب درسی. - M.: RUDN، 2012. - 392 p.

4. سایمون سینگ. آخرین قضیه فرما.

5. Ferma P. Studies in Number Theory and Diophantine Analysis. - M.: Nauka، 1992.

6. Yaptro. Ucoz، موجود در: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

سه گانه های فیثاغورثی گروهی از سه عدد صحیح هستند که رابطه فیثاغورثی x2 + y2 = z2 را برآورده می کنند. به طور کلی، این یک مورد خاص از معادلات دیوفانتین است، یعنی سیستم های معادلاتی که در آنها تعداد مجهولات بیشتر از تعداد معادلات است. آنها از زمان بابل، یعنی مدت ها قبل از فیثاغورس شناخته شده بودند. و پس از آن که فیثاغورث قضیه معروف خود را بر اساس آنها اثبات کرد، این نام را به دست آوردند. با این حال، همانطور که از تجزیه و تحلیل منابع متعددی که در آنها به موضوع سه گانه فیثاغورثی به نوعی پرداخته شده است، به دست می آید، سؤال از طبقات موجود این سه گانه و راه های احتمالی شکل گیری آنها هنوز به طور کامل افشا نشده است.

بنابراین در کتاب سایمون سینگ می گوید: - "شاگردان و پیروان فیثاغورث ... راز یافتن به اصطلاح فیثاغورثی سه ک را به جهان گفتند." با این حال، در ادامه این مطلب می خوانیم: - «فیثاغورثی ها رویای یافتن سه گانه فیثاغورثی، مربع های دیگری را در سر می پروراندند، که از آنها می توان یک سوم مربع بزرگ را اضافه کرد. ... با افزایش اعداد، سه گانه فیثاغورثی نادرتر و سخت تر و سخت تر می شوند. فیثاغورثی ها روشی را برای یافتن چنین سه قلوهایی ابداع کردند و با استفاده از آن ثابت کردند که سه قلوهای فیثاغورثی بی نهایت زیاد هستند.

کلماتی که باعث سردرگمی می شوند در نقل قول برجسته شده اند. چرا "فیثاغورثی ها رویای یافتن ..." را در سر می پرورانند اگر "روشی را برای یافتن چنین سه گانه ای اختراع کردند" و چرا برای اعداد بزرگ "پیدا کردن آنها روز به روز دشوارتر می شود ...".

در کار ریاضیدان معروف D.V. Anosov، به نظر می رسد پاسخ مورد نظر داده شده است. - «چنین سه گانه از اعداد طبیعی (یعنی عدد صحیح مثبت) x، y، z وجود دارد که

x2 + y2 = z2. (یک)

آیا می توان تمام جواب های معادله x2+y2=z2 را در اعداد طبیعی یافت؟ …آره. پاسخ این است که هر یک از این راه حل ها را می توان به عنوان نشان داد

x=l(m2-n2)، y=2lmn، z=l(m2+n2)، (2)،

که در آن l، m، n اعداد طبیعی هستند، و m>n، یا به شکلی مشابه که در آن x و y با هم عوض می شوند. می‌توانیم به طور خلاصه‌تر بگوییم که x، y، z از (2) با همه طبیعی‌های ممکن l و m > n همگی راه‌حل‌های ممکن برای (1) تا جایگشت x و y هستند. به عنوان مثال، سه گانه (3، 4، 5) با l=1، m=2، n=1 به دست می آید. ... ظاهراً بابلی ها این پاسخ را می دانستند، اما چگونگی رسیدن به آن معلوم نیست».

معمولاً ریاضیدانان به دلیل دقیق بودن در فرمول‌بندی‌هایشان شناخته می‌شوند. اما در این نقل قول چنین سختگیری رعایت نشده است. پس دقیقاً چه چیزی: پیدا کردن یا تصور کردن؟ بدیهی است که اینها چیزهای کاملاً متفاوتی هستند. در اینجا یک خط از سه گانه "تازه پخته" آمده است (به روشی که در زیر توضیح داده شده است):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

شکی نیست که هر یک از این سه گانه ها را می توان به شکل رابطه (2) نشان داد و سپس مقادیر l, m, n را محاسبه کرد. اما، این پس از یافتن تمام مقادیر سه گانه است. اما قبل از آن چطور؟

نمی توان رد کرد که پاسخ این پرسش ها از مدت ها قبل مشخص بوده است. اما به دلایلی هنوز پیدا نشده اند. بنابراین، هدف این کار، تجزیه و تحلیل سیستماتیک از مجموع نمونه های شناخته شده سه گانه فیثاغورثی، جستجوی روابط سیستم ساز در گروه های مختلف سه گانه و شناسایی ویژگی های سیستمی مشخصه این گروه ها، و سپس توسعه روش های ساده است. الگوریتم های کارآمد برای محاسبه سه گانه با پیکربندی از پیش تعیین شده منظور ما از پیکربندی، رابطه بین کمیت هایی است که ثلاث را تشکیل می دهند.

به عنوان یک جعبه ابزار، یک دستگاه ریاضی در سطحی استفاده خواهد شد که فراتر از چارچوب ریاضیات تدریس شده در دبیرستان و تجزیه و تحلیل سیستم بر اساس روش های ذکر شده در آن نباشد.

ساختمان نمونه

از نقطه نظر تجزیه و تحلیل سیستم، هر سه گانه فیثاغورثی سیستمی است که توسط اجسامی تشکیل شده است که سه عدد و ویژگی های آنها هستند. کلیت آنها، که در آن اشیاء در روابط معینی قرار می گیرند و سیستمی را با ویژگی های جدید تشکیل می دهند که ذاتی نه در اشیاء منفرد و نه در کلیت آنها نیست، جایی که اشیاء در روابط دیگر قرار می گیرند.

در معادله (1)، اشیاء سیستم اعداد طبیعی هستند که با روابط جبری ساده مرتبط هستند: در سمت چپ علامت مساوی مجموع دو عدد به توان 2 قرار دارد، در سمت راست عدد سوم است، همچنین افزایش یافته است. به توان 2. اعداد منفرد، در سمت چپ برابری، با افزایش به توان 2، هیچ محدودیتی در عملکرد جمع آنها اعمال نمی کنند - مجموع حاصل می تواند هر چیزی باشد. اما علامت مساوی که پس از عملیات جمع قرار می گیرد، محدودیت سیستمی را بر مقدار این مجموع اعمال می کند: مجموع باید به اندازه ای باشد که نتیجه عملیات استخراج جذر یک عدد طبیعی باشد. و این شرط برای هیچ عددی که در سمت چپ تساوی جایگزین شده است، برآورده نمی شود. بنابراین، علامت تساوی بین دو جمله معادله و سومی قرار داده شده است، سه جمله را به یک سیستم تبدیل می کند. یکی از ویژگی های جدید این سیستم، ایجاد محدودیت در مقادیر اعداد اصلی است.

بر اساس شکل نوشتار، سه گانه فیثاغورثی را می توان به عنوان مدل ریاضی یک سیستم هندسی متشکل از سه مربع که با روابط جمع و برابری به هم مرتبط شده اند، در نظر گرفت، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 1. شکل 1 یک مدل گرافیکی از سیستم مورد بررسی است و مدل کلامی آن عبارت است:

مساحت مربع با طول ضلع c را می توان بدون باقیمانده به دو مربع با طول ضلع a و b تقسیم کرد، به طوری که مجموع مساحت آنها برابر با مساحت مربع اصلی باشد، یعنی هر سه. کمیت های a، b و c با رابطه مرتبط هستند

مدل گرافیکی تجزیه یک مربع

در چارچوب قوانین تجزیه و تحلیل سیستم، مشخص است که اگر یک مدل ریاضی به اندازه کافی ویژگی های یک سیستم هندسی خاص را منعکس کند، آنگاه تجزیه و تحلیل ویژگی های این سیستم به ما اجازه می دهد تا ویژگی های مدل ریاضی آن را روشن کنیم. آنها را عمیق تر بشناسید، شفاف سازی کنید و در صورت لزوم بهبود ببخشید. این راهی است که ما دنبال خواهیم کرد.

اجازه دهید توضیح دهیم که طبق اصول تجزیه و تحلیل سیستم، عملیات جمع و تفریق فقط بر روی اشیاء ترکیبی، یعنی اشیایی که از مجموعه ای از اشیاء ابتدایی تشکیل شده اند، قابل انجام است. بنابراین، ما هر مربع را به عنوان یک شکل متشکل از مجموعه ای از مربع های ابتدایی یا واحد درک خواهیم کرد. سپس شرط به دست آوردن جواب در اعداد طبیعی معادل پذیرفتن شرط غیرقابل تقسیم بودن مربع واحد است.

مربع واحد مربعی است که طول هر ضلع آن برابر با یک باشد. یعنی وقتی مساحت مربع واحد عبارت زیر را مشخص می کند.

پارامتر کمی یک مربع مساحت آن است که با تعداد مربع های واحدی که می توان در یک منطقه معین قرار داد تعیین می شود. برای مربعی با مقدار دلخواه x، عبارت x2 مساحت مربع تشکیل شده توسط بخش هایی به طول x قطعه واحد را تعیین می کند. مربع های x2 واحد را می توان در مساحت این مربع قرار داد.

تعاریف فوق ممکن است پیش پا افتاده و بدیهی تلقی شوند، اما اینطور نیست. D.N. آنوسوف مفهوم مساحت را به گونه‌ای دیگر تعریف می‌کند: - «... مساحت یک شکل برابر است با مجموع مساحت اجزای آن. چرا مطمئن هستیم که اینطور است؟ ... شکلی را تصور می کنیم که از نوعی ماده همگن ساخته شده است، سپس مساحت آن متناسب با مقدار ماده موجود در آن - جرم آن است. همچنین می توان فهمید که وقتی جسمی را به چند قسمت تقسیم می کنیم، مجموع جرم آنها برابر با جرم جسم اصلی است. این قابل درک است، زیرا همه چیز از اتم ها و مولکول ها تشکیل شده است و از آنجایی که تعداد آنها تغییر نکرده است، جرم کل آنها نیز تغییر نکرده است. بنابراین، باید بدانید که حجم "ورق" که شکل یک شکل معین را دارد، متناسب با مساحت آن است. در یک کلام، ... که مساحت یک شکل برابر است با مجموع مساحت اجزای آن، در هندسه اثبات این امر ضروری است. ... در کتاب درسی کیسلف، وجود منطقه ای که دارای همان خاصیت است که اکنون در مورد آن بحث می کنیم، صادقانه به عنوان نوعی فرض فرض شد و گفته شد که این در واقع درست است، اما ما این را ثابت نمی کنیم. پس قضیه فیثاغورث، اگر با مساحت ها ثابت شود، به معنای منطقی محض، به طور کامل ثابت نمی شود.

به نظر ما تعاریف مربع واحد معرفی شده در بالا D.N نشان داده شده را حذف می کند. عدم قطعیت آنوسوف از این گذشته ، اگر مساحت یک مربع و یک مستطیل با مجموع مربع های واحدی که آنها را پر می کند تعیین شود ، وقتی مستطیل به قسمت های مجاور دلخواه تقسیم می شود ، مساحت مستطیل به طور طبیعی برابر است. مجموع تمام اجزای آن

علاوه بر این، تعاریف ارائه شده عدم قطعیت استفاده از مفاهیم «تقسیم» و «افزودن» را در رابطه با اشکال هندسی انتزاعی برطرف می کند. به راستی، تقسیم یک مستطیل یا هر شکل صاف دیگری به قطعات به چه معناست؟ اگر یک ورق کاغذ است، می توان آن را با قیچی برش داد. اگر زمین -- قرار دادن یک حصار. اتاق - یک پارتیشن قرار دهید. اگر مربع رسم شده باشد چه؟ یک خط تقسیم بکشید و اعلام کنید که مربع تقسیم شده است؟ اما، پس از همه، D.I. مندلیف: "... شما می توانید همه چیز را اعلام کنید، اما شما - پیش بروید، تظاهرات کنید!"

و با استفاده از تعاریف ارائه شده، "تقسیم یک شکل" به معنای تقسیم تعداد مربع های واحدی است که این شکل را به دو (یا بیشتر) قسمت می کند. تعداد مربع های واحد در هر یک از این قسمت ها مساحت آن را مشخص می کند. پیکربندی این قطعات را می توان دلخواه داد، اما مجموع مساحت آنها همیشه برابر با مساحت شکل اصلی خواهد بود. شاید ریاضیدانان این استدلال ها را نادرست بدانند، سپس آنها را به عنوان یک فرض در نظر بگیریم. اگر چنین مفروضاتی در کتاب درسی کیسلیف قابل قبول باشد، اگر از چنین تکنیکی استفاده نکنیم، گناه است.

اولین گام در تجزیه و تحلیل سیستم، شناسایی وضعیت مشکل است. در آغاز این مرحله، چند صد ثلاث فیثاغورثی که در منابع مختلف یافت شده بود، بررسی شد. در همان زمان، توجه به این واقعیت جلب شد که کل مجموعه سه گانه فیثاغورثی که در نشریات ذکر شده است را می توان به چندین گروه تقسیم کرد که از نظر پیکربندی متفاوت هستند. ما تفاوت طول اضلاع مربع های اصلی و تفریق شده، یعنی مقدار c-b را به عنوان نشانه ای از یک پیکربندی خاص در نظر خواهیم گرفت. به عنوان مثال، در نشریات، سه گانه هایی که شرط c-b=1 را برآورده می کنند، اغلب به عنوان نمونه نشان داده می شوند. ما فرض می کنیم که کل مجموعه چنین سه گانه های فیثاغورثی مجموعه ای را تشکیل می دهند که آن را "کلاس c-1" می نامیم و ویژگی های این کلاس را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

سه مربع نشان داده شده در شکل را در نظر بگیرید که c طول ضلع مربعی است که باید کاهش یابد، b طول ضلع مربعی است که باید کم شود و a طول ضلع مربع تشکیل شده است. از تفاوت آنها روی انجیر 1 مشاهده می شود که هنگام تفریق مساحت مربع تفریق شده از مساحت مربع کاهش یافته، دو باند مربع واحد در باقی مانده باقی می ماند:

برای تشکیل مربع از این باقیمانده، باید شرط برقرار باشد

این روابط به ما این امکان را می دهد که مقادیر تمام اعضای تریپل را با یک عدد مشخص c تعیین کنیم. کوچکترین عدد c که رابطه (6) را برآورده می کند، c = 5 است. بنابراین، طول هر سه ضلع مربع های ارضا کننده رابطه (1) تعیین شد. به یاد بیاورید که مقدار b ضلع مربع میانگین

زمانی انتخاب شد که تصمیم گرفتیم با کاهش ضلع مربع اصلی یک مربع وسط تشکیل دهیم. سپس از روابط (5)، (6). (7) رابطه زیر را بدست می آوریم:

که از آن نتیجه می شود که مقدار انتخاب شده c = 5 به طور منحصر به فرد مقادیر b = 4، a = 3 را تعیین می کند.

در نتیجه، روابطی به دست می آید که اجازه می دهد هر سه گانه فیثاغورثی از کلاس "c - 1" را در چنین شکلی نشان دهد، که در آن مقادیر هر سه عضو توسط یک پارامتر مشخص - مقدار c تعیین می شود:

اضافه می کنیم که عدد 5 در مثال بالا به عنوان حداقل تمام مقادیر ممکن c ظاهر می شود که معادله (6) راه حلی در اعداد طبیعی دارد. عدد بعدی که همان خاصیت را دارد 13، سپس 25، سپس 41، 61، 85 و ... است. همانطور که مشاهده می کنید در این سری از اعداد، فواصل بین اعداد مجاور به سرعت افزایش می یابد. پس مثلاً بعد از یک مقدار معتبر، مقدار معتبر بعدی، و بعد از آن، مقدار معتبر بعدی است، یعنی مقدار معتبر بیش از پنجاه میلیون از قبلی است!

اکنون مشخص است که این عبارت از کجا در کتاب آمده است: - "با افزایش اعداد، سه گانه های فیثاغورثی کمتر و کمتر رایج می شوند و یافتن آنها بیشتر و دشوارتر می شود ...". با این حال، این گفته درست نیست. فقط باید به سه گانه فیثاغورثی مربوط به جفت مقادیر همسایه c در بالا نگاه کرد، زیرا یک ویژگی فوراً توجه را جلب می کند - در هر دو جفت، که در آن مقادیر c با چنین فواصل زیادی از هم جدا می شوند، مقادیر یک اعداد فرد همسایه هستند. در واقع، برای جفت اول ما داریم

و برای جفت دوم

بنابراین این سه‌گانه‌ها نیستند که «کمتر و کمتر رایج» هستند، بلکه فواصل بین مقادیر همسایه c در حال افزایش است. خود سه گانه فیثاغورثی، همانطور که در زیر نشان داده خواهد شد، برای هر عدد طبیعی وجود دارد.

اکنون سه گانه کلاس بعدی - "کلاس c-2" را در نظر بگیرید. همانطور که در شکل دیده میشود. 1، وقتی از مربعی با ضلع c یک مربع با ضلع (c - 2) کم می کنیم، باقیمانده حاصل جمع دو باند واحد است. مقدار این مجموع با معادله تعیین می شود:

از رابطه (10) رابطه ای به دست می آوریم که هر یک از مجموعه نامتناهی سه گانه کلاس "c-2" را تعریف می کند:

شرط وجود جواب معادله (11) در اعداد طبیعی، هر مقدار c است که a یک عدد طبیعی باشد. حداقل مقدار c که یک راه حل برای آن وجود دارد c = 5 است. سپس سه گانه "شروع" برای این کلاس از سه گانه با مجموعه a = 4، b = 3، c = 5 تعیین می شود. یعنی دوباره، کلاسیک سه گانه 3، 4، 5 تشکیل می شود، فقط اکنون مساحت مربعی که باید تفریق شود کمتر از مساحت باقی مانده است.

و در آخر بیایید سه گانه های کلاس "s-8" را تحلیل کنیم. برای این دسته از سه گانه، با کم کردن مساحت مربع از مساحت c2 مربع اصلی، به دست می آوریم:

سپس از رابطه (12) به دست می آید:

حداقل مقدار c که جواب برای آن وجود دارد c = 13 است. ثلاث فیثاغورثی در این مقدار به شکل 12، 5، 13 خواهد بود. در این مورد، مجدداً، مساحت مربعی که باید تفریق شود، کمتر از مساحت باقی مانده و با تنظیم مجدد نام ها در مکان ها، سه گانه 5، 12، 13 را دریافت می کنیم که با پیکربندی آن به کلاس "c - 1" تعلق دارد. به نظر می رسد که تجزیه و تحلیل بیشتر سایر پیکربندی های احتمالی چیز جدیدی را آشکار نخواهد کرد.

استخراج نسبت های محاسبه شده

در بخش قبل، منطق تحلیل مطابق با الزامات تحلیل سیستم در چهار مرحله از پنج مرحله اصلی آن توسعه یافت: تجزیه و تحلیل وضعیت مشکل، شکل‌گیری اهداف، شکل‌گیری توابع و شکل‌گیری ساختار. اکنون زمان آن فرا رسیده است که به مرحله آخر، پنجم برویم - آزمون امکان سنجی، یعنی آزمون میزان دستیابی به اهداف. .

جدول 1 در زیر نشان داده شده است. 1، که مقادیر سه گانه فیثاغورث متعلق به کلاس "c - 1" را نشان می دهد. اکثر سه گانه ها در نشریات مختلف یافت می شوند، اما سه برابر برای مقادیر برابر با 999، 1001 در نشریات شناخته شده یافت نشده است.

میز 1

سه گانه فیثاغورثی کلاس "c-1"

می توان بررسی کرد که همه سه گانه ها رابطه (3) را برآورده می کنند. بدین ترتیب یکی از اهداف تعیین شده محقق شده است. روابط (9)، (11)، (13) به دست آمده در بخش قبل، تشکیل یک مجموعه بی نهایت از سه گانه را با تنظیم تنها پارامتر c، ضلع مربع کاهش یافته، ممکن می سازد. البته این گزینه سازنده تری نسبت به رابطه (2) است، که برای استفاده از آن باید سه عدد l، m، n را به دلخواه تنظیم کرد که هر مقداری دارند، سپس به دنبال راه حلی بگردید، فقط بدانیم که در پایان، مطمئناً یک سه گانه فیثاغورثی به دست خواهد آمد و کدام یک ناشناخته است. در مورد ما، پیکربندی تریپل در حال شکل گیری از قبل مشخص است و فقط یک پارامتر باید تنظیم شود. اما افسوس که هر مقدار این پارامتر راه حلی ندارد. و باید از قبل مقادیر مجاز آن را بدانید. بنابراین نتیجه خوب است، اما دور از ایده آل است. مطلوب است که چنین راه حلی به دست آید که بتوان سه گانه فیثاغورثی را برای هر عدد طبیعی دلخواه محاسبه کرد. برای این منظور، اجازه دهید به مرحله چهارم - تشکیل ساختار روابط ریاضی به دست آمده بازگردیم.

از آنجایی که انتخاب مقدار c به عنوان پارامتر اصلی برای تعیین اعضای باقیمانده تریپل ناخوشایند بود، باید گزینه دیگری را امتحان کرد. همانطور که از جدول مشخص است. 1، انتخاب پارامتر a به عنوان پایه ترجیح داده می شود، زیرا مقادیر این پارامتر در یک ردیف در یک سری از اعداد طبیعی فرد قرار دارند. پس از تبدیل های ساده، روابط (9) را به شکل سازنده تر می آوریم:

روابط (14) به ما این امکان را می دهد که یک سه گانه فیثاغورثی را برای هر مقدار فرد از پیش تعیین شده a پیدا کنیم. در عین حال، سادگی عبارت b به شما امکان می دهد محاسبات را حتی بدون ماشین حساب انجام دهید. در واقع، با انتخاب، به عنوان مثال، عدد 13، به دست می آوریم:

و برای عدد 99 به ترتیب به دست می آوریم:

روابط (15) اجازه می دهد تا مقادیر هر سه عبارت رشته فیثاغورث را برای هر n معین، از n=1 به دست آوریم.

اکنون سه گانه فیثاغورثی کلاس "c - 2" را در نظر بگیرید. روی میز. شکل 2 ده ثلاث را به عنوان مثال نشان می دهد. علاوه بر این، تنها سه جفت سه تایی در نشریات شناخته شده یافت شد - 8، 15، 23. 12، 35، 36; و 16، 63، 65. این برای تعیین الگوهای شکل گیری آنها کافی بود. هفت مورد باقی مانده از روابط مشتق شده قبلی (11) یافت شد. برای راحتی محاسبه، این نسبت ها به گونه ای تبدیل شدند که تمام پارامترها بر حسب a بیان می شوند. از (11) بدیهی است که همه سه گانه برای کلاس "c - 2" روابط زیر را برآورده می کنند:

جدول 2

سه گانه فیثاغورثی کلاس "c-2"

همانطور که از جدول مشخص است. 2، کل مجموعه بی نهایت سه گانه کلاس "c - 2" را می توان به دو زیر کلاس تقسیم کرد. برای سه گانه هایی که مقدار a بدون باقی مانده بر 4 بخش پذیر است، مقادیر b و c فرد هستند. چنین سه گانه هایی که برای آنها GCD = 1 است، اولیه نامیده می شوند. برای سه گانه هایی که مقادیر a در اعداد صحیح بر 4 بخش پذیر نیستند، هر سه عضو سه گانه a، b، c زوج هستند.

حالا بیایید به بررسی نتایج تجزیه و تحلیل سومین کلاس انتخابی - کلاس "c - 8" بپردازیم. روابط محاسبه شده برای این کلاس، به دست آمده از (13)، به شکل زیر است:

روابط (20)، (21) اساساً یکسان هستند. تفاوت فقط در انتخاب توالی اقدامات است. یا مطابق با (20) مقدار مورد نظر a انتخاب می شود (در این صورت لازم است این مقدار بر 4 تقسیم شود) سپس مقادیر b و c تعیین می شود. یا یک عدد دلخواه انتخاب می شود و سپس از روابط (21) هر سه عضو سه گانه فیثاغورثی تعیین می شوند. روی میز. شکل 3 تعدادی از سه گانه فیثاغورثی را نشان می دهد که به این ترتیب محاسبه شده اند. با این حال، محاسبه مقادیر سه گانه فیثاغورث حتی ساده تر است. اگر حداقل یک مقدار شناخته شده باشد، تمام مقادیر بعدی بسیار ساده با روابط زیر تعیین می شوند:

جدول 3

اعتبار رابطه (22) برای همه را می توان با سه گانه از جدول تأیید کرد. 2، و همچنین از منابع دیگر. به عنوان مثال، در جدول. 4 ثلاث مورب از جدول گسترده ای از سه گانه فیثاغورثی (10000 سه گانه) که بر اساس یک برنامه کامپیوتری با رابطه (2) و به صورت پررنگ - سه گانه محاسبه شده با رابطه (20) محاسبه شده است. این مقادیر در جدول مشخص شده نبودند.

جدول 4

سه گانه فیثاغورثی کلاس "s-8"

بر این اساس برای سه گانه فرم می توان از روابط زیر استفاده کرد:

و برای سه قلوهای فرم<>، نسبت داریم:

لازم به تاکید است که کلاس های فوق سه گانه "c - 1"، "c - 2"، "c - 8" بیش از 90 درصد از هزار تریپل اول جدول ارائه شده را تشکیل می دهند. این دلیلی می دهد که این کلاس ها را به عنوان پایه در نظر بگیریم. اجازه دهید اضافه کنیم که هنگام استخراج روابط (22)، (23)، (24)، هیچ ویژگی خاصی از اعداد مورد مطالعه در تئوری اعداد (اول، هم اول، و غیره) استفاده نشده است. نظم های آشکار در تشکیل سه گانه های فیثاغورثی فقط به دلیل ویژگی های سیستم اشکال هندسی توصیف شده توسط این سه گانه - مربع ها، متشکل از مجموعه ای از مربع های واحد است.

نتیجه

در حال حاضر، همانطور که اندرو وایلز در سال 1993 گفت، "فکر می کنم باید در آنجا توقف کنم." هدف تعیین شده به طور کامل محقق شده است. نشان داده شده است که تجزیه و تحلیل ویژگی های مدل های ریاضی که ساختار آنها با اشکال هندسی مرتبط است، بسیار ساده می شود اگر در فرآیند تجزیه و تحلیل، همراه با محاسبات صرفاً ریاضی، ویژگی های هندسی مدل های مورد مطالعه نیز وجود داشته باشد. در نظر گرفته شده است. به ویژه به این دلیل که محقق نتایج مورد نظر را بدون انجام تبدیل های ریاضی "می بیند" ساده سازی به دست می آید.

مثلاً برابری

بدون دگرگونی در سمت چپ آن آشکار می شود، فقط باید به انجیر نگاه کرد. 1 برای یک مدل گرافیکی از این برابری.

در نتیجه، بر اساس تجزیه و تحلیل انجام شده، نشان داده می شود که برای هر مربع با ضلع، مربع هایی با ضلع b و c به گونه ای یافت می شود که برای آنها تساوی برقرار است و روابطی به دست می آید که نتایجی با حداقل مقدار ارائه می دهد. محاسبات:

برای مقادیر فرد a،

و - برای مقادیر زوج.

پیوند کتابشناختی

بسکرونی I.M. تجزیه و تحلیل سیستم از خواص سه گانه فیثاغورث // فن آوری های مدرن مبتنی بر علم. - 1392. - شماره 11. - ص 135-142;
URL: http://site/ru/article/view?id=33537 (تاریخ دسترسی: 2020/03/20). مجلات منتشر شده توسط انتشارات "آکادمی تاریخ طبیعی" را مورد توجه شما قرار می دهیم.

Belotelov V.A. سه گانه فیثاغورثی و تعداد آنها // دایره المعارف نستروف ها

این مقاله پاسخی است به یک استاد - یک پینچر. ببین پروفسور در روستای ما چطور این کار را می کنند.

منطقه نیژنی نووگورود، زاولژیه.

دانش الگوریتم حل معادلات دیوفانتین (ADDE) و دانش پیشروی های چند جمله ای الزامی است.

IF یک عدد اول است.

MF یک عدد ترکیبی است.

عدد فرد N وجود داشته باشد. برای هر عدد فرد غیر از یک می توانید معادله بنویسید.

p 2 + N \u003d q 2،

که در آن р + q = N، q - р = 1.

به عنوان مثال، برای اعداد 21 و 23، معادلات، -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

اگر N اول باشد، این معادله منحصر به فرد است. اگر عدد N مرکب باشد، می توان معادلات مشابهی را برای تعداد جفت عوامل نشان دهنده این عدد از جمله 1 x N ایجاد کرد.

بیایید عدد N = 45 را در نظر بگیریم، -

1 × 45 = 45، 3 × 15 = 45، 5 × 9 = 45.

من خواب دیدم، اما آیا ممکن است، با چسبیدن به این تفاوت بین IF و MF، روشی برای شناسایی آنها پیدا کنم.

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم.

بیایید معادله پایین را تغییر دهیم، -

N \u003d در 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

اجازه دهید مقادیر N را با توجه به معیار در - a گروه بندی کنیم، یعنی. بیا یک جدول درست کنیم

اعداد N در یک ماتریس خلاصه شدند، -

برای این کار بود که باید با پیشرفت چندجمله ای ها و ماتریس های آنها سر و کار داشتم. معلوم شد که همه چیز بیهوده است - دفاع های PCh با قدرت حفظ می شوند. بیایید یک ستون در جدول 1 وارد کنیم، جایی که - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

یک بار دیگر. جدول 2 در نتیجه تلاش برای حل مشکل شناسایی IF و MF به دست آمده است. از جدول بر می آید که برای هر عدد N به تعداد معادلات به شکل a 2 + N \u003d در 2 وجود دارد که عدد N را می توان به چند جفت عامل تقسیم کرد، از جمله عامل 1 x N. علاوه بر این. به اعداد N \u003d ℓ 2، که در آن

ℓ - اف سی. برای N = ℓ 2، جایی که ℓ IF است، یک معادله منحصر به فرد p 2 + N = q 2 وجود دارد. اگر جدول عوامل کوچکتر را از جفت عوامل تشکیل دهنده N، از یک تا ∞ فهرست کند، در مورد چه اثبات دیگری می توانیم صحبت کنیم. ما جدول 2 را در یک صندوقچه قرار می دهیم و سینه را در یک کمد پنهان می کنیم.

برگردیم به موضوعی که در عنوان مقاله بیان شده است.

این مقاله پاسخی است به یک استاد - یک پینچر.

من درخواست کمک کردم - به یک سری شماره نیاز داشتم که نتوانستم آنها را در اینترنت پیدا کنم. من با سؤالاتی مانند "برای چه؟"، "اما روش را به من نشان دهید" برخورد کردم. به طور خاص، این سؤال وجود داشت که آیا مجموعه سه گانه فیثاغورثی بی نهایت است، "چگونه آن را ثابت کنیم؟". او به من کمک نکرد. ببین پروفسور در روستای ما چطور این کار را می کنند.

بیایید فرمول سه گانه فیثاغورثی را در نظر بگیریم، -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (یک)

بیایید از ARDU عبور کنیم.

سه موقعیت ممکن است:

I. x یک عدد فرد است،

y یک عدد زوج است

z یک عدد زوج است.

و یک شرط x > y > z وجود دارد.

II. x یک عدد فرد است

y یک عدد زوج است

z یک عدد فرد است.

x > z > y.

III.x - یک عدد زوج،

y یک عدد فرد است

z یک عدد فرد است.

x > y > z.

بیایید با من شروع کنیم.

بیایید متغیرهای جدید را معرفی کنیم

معادله (1) را جایگزین کنید.

اجازه دهید با متغیر کوچکتر 2γ لغو کنیم.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

اجازه دهید متغیر 2β - 2γ را با یک پارامتر کوچکتر با معرفی همزمان پارامتر جدید ƒ کاهش دهیم، -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

سپس، 2α - 2β = x - y - 1.

معادله (2) به شکل -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

بیایید آن را مربع کنیم -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU از طریق پارامترها رابطه بین عبارت های اصلی معادله را نشان می دهد، بنابراین ما معادله (3) را به دست آوردیم.

پرداختن به انتخاب راه حل ها سخت نیست. اما اولاً جایی برای رفتن وجود ندارد و ثانیاً چندین مورد از این راه حل ها مورد نیاز است و ما می توانیم تعداد بی نهایت راه حل را بازیابی کنیم.

برای ƒ = 1، k = 1، x – y = 1 داریم.

با ƒ = 12، k = 16، x - y = 9 داریم.

با ƒ = 4، k = 32، x - y = 25 داریم.

شما می توانید آن را برای مدت طولانی بردارید، اما در پایان این سری شکل خواهد گرفت -

x - y \u003d 1، 9، 25، 49، 81، ....

گزینه II را در نظر بگیرید.

اجازه دهید متغیرهای جدیدی را در رابطه (1) وارد کنیم.

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

ما با یک متغیر کوچکتر 2 β کاهش می دهیم، -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

اجازه دهید با متغیر کوچکتر 2α - 2β، - کاهش دهیم.

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (چهار)

2α - 2γ = x - z و معادله (4) را جایگزین کنید.

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

با ƒ = 3، k = 4، x - z = 2 داریم.

با ƒ = 8، k = 14، x - z = 8 داریم.

با ƒ = 3، k = 24، x - z = 18 داریم.

x - z \u003d 2، 8، 18، 32، 50، ....

بیایید یک ذوزنقه بکشیم -

بیایید یک فرمول بنویسیم.

که در آن n=1، 2،...∞.

مورد III شرح داده نخواهد شد - هیچ راه حلی وجود ندارد.

برای شرط دوم، مجموعه سه گانه به صورت زیر خواهد بود:

معادله (1) برای وضوح به صورت x 2 = z 2 + y 2 ارائه شده است.

برای شرط I، مجموعه سه گانه به صورت زیر خواهد بود:

در مجموع 9 ستون سه تایی رنگ آمیزی شده است که در هر کدام پنج سه تایی. و هر یک از ستون های ارائه شده را می توان تا ∞ نوشت.

به عنوان مثال، سه گانه آخرین ستون را در نظر بگیرید، جایی که x - y \u003d 81.

برای مقادیر x، یک ذوزنقه می نویسیم، -

بیایید فرمول را بنویسیم

برای مقادیر یک ذوزنقه می نویسیم، -

بیایید فرمول را بنویسیم

برای مقادیر z، یک ذوزنقه می نویسیم، -

بیایید فرمول را بنویسیم

جایی که n = 1 ÷ ∞.

همانطور که وعده داده شده بود، یک سری از سه قلوها با x - y = 81 به ∞ پرواز می کنند.

تلاشی برای موارد I و II برای ساخت ماتریس برای x، y، z انجام شد.

پنج ستون آخر x را از ردیف های بالا بنویسید و یک ذوزنقه بسازید.

کار نکرد و الگو باید درجه دوم باشد. برای ساختن همه چیز در روباز، معلوم شد که لازم است ستون های I و II را ترکیب کنیم.

در مورد II، کمیت های y، z دوباره مبادله می شوند.

ما به یک دلیل موفق به ادغام شدیم - کارت ها به خوبی در این کار قرار می گیرند - ما خوش شانس بودیم.

اکنون می توانید ماتریس هایی برای x، y، z بنویسید.

بیایید از پنج ستون آخر مقدار x از ردیف های بالا را برداریم و یک ذوزنقه بسازیم.

همه چیز خوب است، شما می توانید ماتریس بسازید، و اجازه دهید با یک ماتریس برای z شروع کنیم.

به سمت کمد می روم تا یک صندوقچه بگیرم.

مجموع: علاوه بر یک، هر عدد فرد از محور عددی با تعداد مساوی از جفت عوامل تشکیل دهنده این عدد N، از جمله عامل 1 x N، در تشکیل سه گانه فیثاغورثی شرکت می کند.

عدد N \u003d ℓ 2، که در آن ℓ - IF، یک سه گانه فیثاغورثی را تشکیل می دهد، اگر ℓ MF باشد، در فاکتورهای ℓхℓ سه گانه وجود ندارد.

بیایید ماتریس هایی برای x، y بسازیم.

بیایید با ماتریس x شروع کنیم. برای انجام این کار، شبکه مختصات را از مشکل شناسایی IF و MF روی آن می کشیم.

شماره گذاری ردیف های عمودی با عبارت عادی می شود

بیایید ستون اول را حذف کنیم، زیرا

ماتریس به شکل -

بیایید ردیف های عمودی را توصیف کنیم، -

اجازه دهید ضرایب "a" را توصیف کنیم، -

بیایید اعضای رایگان را توصیف کنیم، -

بیایید یک فرمول کلی برای "x" بسازیم، -

اگر کار مشابهی را برای "y" انجام دهیم، دریافت می کنیم -

می توانید از طرف دیگر به این نتیجه نزدیک شوید.

بیایید معادله را در نظر بگیریم،

و 2 + N = در 2 .

بیایید کمی آن را تغییر دهیم -

N \u003d در 2 - a 2.

بیایید آن را مربع کنیم -

N 2 \u003d در 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

به سمت چپ و راست معادله، قدر 4v 2 a 2 را اضافه کنید، -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d در 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

و در نهایت -

(در 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

سه گانه فیثاغورثی به شرح زیر تشکیل شده است:

مثالی با عدد N = 117 در نظر بگیرید.

1 x 117 = 117، 3 x 39 = 117، 9 x 13 = 117.

ستون های عمودی جدول 2 با مقادیر - a شماره گذاری شده اند، در حالی که ستون های عمودی جدول 3 با مقادیر x - y شماره گذاری شده اند.

x - y \u003d (c - a) 2،

x \u003d y + (c - a) 2.

بیایید سه معادله بسازیم.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2،

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2،

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845، y 1 = 6844، z 1 = 117.

x 2 = 765، y 2 = 756، z 2 = 117 (x 2 = 85، y 2 = 84، z 2 = 13).

x 3 = 125، y 3 = 44، z 3 = 117.

فاکتورهای 3 و 39 اعداد نسبتاً اول نیستند، بنابراین یک ثلاث با ضریب 9 به دست آمد.

اجازه دهید موارد فوق را به صورت نمادهای کلی به تصویر بکشیم، -

در این کار همه چیز از جمله مثالی برای محاسبه فیثاغورث با عدد سه برابر می شود

N = 117، به عامل کوچکتر در - a گره خورده است. تبعیض صریح در رابطه با عامل + a. بیایید این بی عدالتی را اصلاح کنیم - سه معادله با ضریب + a می سازیم.

اجازه دهید به مسئله شناسایی IF و MF برگردیم.

کارهای زیادی در این راستا انجام شده است و امروز این فکر به دست آمده است - نه معادله شناسایی وجود دارد و نه چیزی که عوامل را تعیین کند.

فرض کنید رابطه F = a, b (N) را پیدا کرده ایم.

یک فرمول وجود دارد

شما می توانید در فرمول F از in خلاص شوید و یک معادله همگن از درجه n نسبت به a، یعنی. F = a (N).

برای هر درجه n از این معادله، یک عدد N با m جفت عامل وجود دارد، برای m > n.

و در نتیجه، یک معادله همگن درجه n باید دارای m ریشه باشد.

بله، این نمی تواند باشد.

در این مقاله، اعداد N برای معادله x 2 = y 2 + z 2 در نظر گرفته شده است که در معادله در مکان z هستند. وقتی N به جای x است، این کار دیگری است.

با احترام، Belotelov V.A.

روش مناسب و بسیار دقیقی که نقشه برداران زمین برای کشیدن خطوط عمود بر روی زمین استفاده می کنند به شرح زیر است. بگذارید از طریق نقطه A عمود بر خط MN رسم شود (شکل 13). از A در جهت AM سه برابر فاصله a استراحت کنید. سپس سه گره روی بند ناف بسته می شود که فواصل بین آنها 4a و 5a است. گره های شدید را به نقاط A و B وصل کنید، طناب را روی گره میانی بکشید. بند ناف در مثلثی قرار می گیرد که در آن زاویه A قائمه است.

این روش باستانی که ظاهراً هزاران سال پیش توسط سازندگان اهرام مصر استفاده شده است، بر این واقعیت استوار است که طبق قضیه معروف فیثاغورث، هر مثلثی که اضلاع آن به صورت 3:4:5 به هم مرتبط است، است. راست زاویه، از آنجا که

3 2 + 4 2 = 5 2 .

علاوه بر اعداد 3، 4، 5، همانطور که مشخص است، مجموعه ای غیرقابل شمارش از اعداد صحیح مثبت a، b، c وجود دارد که رابطه را برآورده می کند.

A 2 + b 2 \u003d c 2.

آنها را اعداد فیثاغورثی می نامند. طبق قضیه فیثاغورث، چنین اعدادی می توانند به عنوان طول اضلاع یک مثلث قائم الزاویه عمل کنند. بنابراین، a و b را "پاها" و c را "هیپوتنوز" می نامند.

واضح است که اگر a، b، c سه برابری از اعداد فیثاغورثی باشد، pa، pb، pc که p یک ضریب صحیح است، اعداد فیثاغورثی هستند. برعکس، اگر اعداد فیثاغورثی یک عامل مشترک داشته باشند، با این ضریب مشترک می توانید همه آنها را کاهش دهید و دوباره سه برابر اعداد فیثاغورثی به دست می آورید. بنابراین، ابتدا فقط سه گانه از اعداد فیثاغورثی همزمان اول را مطالعه می کنیم (بقیه از آنها با ضرب در یک ضریب صحیح p بدست می آیند).

اجازه دهید نشان دهیم که در هر یک از این سه گانه a, b, c یکی از "پاها" باید زوج و دیگری فرد باشد. بیایید "برعکس" بحث کنیم. اگر هر دو "پای" a و b زوج باشند، آنگاه عدد a 2 + b 2 زوج خواهد بود و از این رو "هیپوتنوز" است. با این حال، این با این واقعیت که اعداد a، b، c دارای ضریب مشترک نیستند، تناقض دارد، زیرا سه عدد زوج دارای ضریب مشترک 2 هستند. بنابراین، حداقل یکی از "پاهای" a، b فرد است.

یک احتمال دیگر وجود دارد: هر دو "پا" فرد هستند و "هیپوتنوز" زوج است. به راحتی می توان ثابت کرد که این نمی تواند باشد. در واقع، اگر "پاها" فرم داشته باشند

2x + 1 و 2y + 1،

پس مجموع مربع های آنها برابر است

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

یعنی عددی است که وقتی بر 4 تقسیم می‌شود، باقیمانده 2 به دست می‌آید. در ضمن، مربع هر عدد زوج باید بدون باقیمانده بر 4 بخش پذیر باشد. پس مجموع مربع های دو عدد فرد نمی تواند مجذور یک عدد زوج باشد. به عبارت دیگر، سه عدد ما فیثاغورثی نیستند.

بنابراین، از "پایه های" a، b، یکی زوج و دیگری فرد است. بنابراین عدد a 2 + b 2 فرد است، به این معنی که "هیپوتنوز" c نیز فرد است.

برای قطعیت فرض کنید که فرد «پای» a و زوج b باشد. از برابری

a 2 + b 2 = c 2

ما به راحتی دریافت می کنیم:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).

ضرایب c + b و c - b در سمت راست، coprime هستند. در واقع، اگر این اعداد یک عامل اول مشترک غیر از یک داشته باشند، مجموع آن بر این عامل نیز قابل بخش است.

(c + b) + (c - b) = 2c،

و تفاوت

(c + b) - (c - b) = 2b،

و کار

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

یعنی اعداد 2c، 2b و a یک عامل مشترک دارند. از آنجایی که a فرد است، این ضریب با دو متفاوت است و بنابراین اعداد a، b، c دارای ضریب مشترک یکسانی هستند، اما نمی تواند باشد. تضاد به دست آمده نشان می دهد که اعداد c + b و c - b همزمان هستند.

اما اگر حاصل ضرب اعداد همزمان اول یک مربع دقیق باشد، هر یک از آنها یک مربع است، یعنی.

با حل این سیستم متوجه می شویم:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, و 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d دقیقه

بنابراین، اعداد فیثاغورثی در نظر گرفته شده دارای شکل هستند

A \u003d mn، b \u003d (m 2 - n 2) / 2، c \u003d (m 2 + n 2) / 2.

که در آن m و n تعدادی اعداد فرد همزمان اول هستند. خواننده به راحتی می تواند خلاف آن را تأیید کند: برای هر نوع فرد، فرمول های نوشته شده سه عدد فیثاغورثی a، b، c را ارائه می دهند.

در اینجا چند سه قلو از اعداد فیثاغورثی با انواع مختلف به دست آمده است:

برای m = 3، n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 برای m = 5، n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 برای m = 7، n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 برای m = 9، n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 در m = 11، n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 در m = 13، n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 در m = 5 ، n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 برای m = 7، n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 برای m = 11، n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 برای m = 13، n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 در m = 7، n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 در m = 9، n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 در m = 11، n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 در m = 13، n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 در m = 9، n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 در m = 11، n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(همه سه گانه دیگر اعداد فیثاغورثی یا دارای فاکتورهای مشترک هستند یا شامل اعداد بزرگتر از صد هستند.)

چرویاک ویتالی

دانلود:

پیش نمایش:

مسابقه پروژه های علمی دانش آموزان

در چارچوب کنفرانس علمی و عملی منطقه ای "اورکا"

آکادمی کوچک علوم دانشجویان کوبان

مطالعه اعداد فیثاغورثی

بخش ریاضیات

چرویاک ویتالی گنادیویچ، کلاس 9

MOBU SOSH №14

منطقه کورنوفسکی

هنر ژوراووسکایا

مشاور علمی:

مانکو گالینا واسیلیونا

معلم ریاضی

MOBU SOSH №14

کورنوفسک 2011

چرویاک ویتالی گنادیویچ

اعداد فیثاغورثی

حاشیه نویسی.

موضوع تحقیق:اعداد فیثاغورثی

اهداف پژوهش:

اهداف پژوهش:

• شناسایی و توسعه توانایی های ریاضی؛
• گسترش نمایش ریاضی در مورد موضوع؛
• شکل گیری علاقه پایدار به موضوع؛
• توسعه مهارت های ارتباطی و آموزشی عمومی کار مستقل، توانایی انجام بحث، استدلال و غیره؛
• شکل گیری و توسعه تفکر تحلیلی و منطقی؛

روش های پژوهش:

• استفاده از منابع اینترنتی؛
• دسترسی به ادبیات مرجع؛
• انجام آزمایش؛

نتیجه:

• این کار را می توان در یک درس هندسه به عنوان یک ماده اضافی، برای اجرای دروس انتخابی یا دروس انتخابی در ریاضیات، و همچنین در کارهای فوق برنامه در ریاضیات استفاده کرد.

چرویاک ویتالی گنادیویچ

قلمرو کراسنودار، روستای ژوراوسکایا، مدرسه متوسطه شماره 14 MOBU، کلاس 9

اعداد فیثاغورثی

استاد راهنما: مانکو گالینا واسیلیونا، معلم ریاضیات، دبیرستان شماره 14 MOBU

1. مقدمه………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. بخش اصلی

2.1 صفحه تاریخی……………………………………………………………

2.2 اثبات پاهای زوج و فرد……………………………………………. .........5-6

2.3 استخراج یک الگو برای یافتن

اعداد فیثاغورثی……………………………………………………………………………………

2.4 خواص اعداد فیثاغورثی ……………………………………………… 8

3. نتیجه گیری……………………………………………………………………

4. فهرست منابع و متون مورد استفاده…………………… 10

برنامه های کاربردی ................................................. ................................................ . ..... یازده

پیوست I………………………………………………………………………………………………………………………………

پیوست II……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

چرویاک ویتالی گنادیویچ

قلمرو کراسنودار، روستای ژوراوسکایا، مدرسه متوسطه شماره 14 MOBU، کلاس 9

اعداد فیثاغورثی

استاد راهنما: مانکو گالینا واسیلیونا، معلم ریاضیات، دبیرستان شماره 14 MOBU

مقدمه

من در مورد فیثاغورث و زندگی او در کلاس پنجم در یک درس ریاضی شنیدم و به عبارت "شلوار فیثاغورث از همه جهات برابر است" علاقه مند شدم. هنگام مطالعه قضیه فیثاغورث به اعداد فیثاغورث علاقه مند شدم قرار دادمهدف از مطالعه: درباره قضیه فیثاغورث و «اعداد فیثاغورث» بیشتر بدانید.

مرتبط بودن موضوع. ارزش قضیه فیثاغورث و سه گانه فیثاغورث توسط بسیاری از دانشمندان در سراسر جهان برای قرن ها ثابت شده است. مسئله ای که در کار من مورد بحث قرار خواهد گرفت بسیار ساده به نظر می رسد زیرا بر اساس یک گزاره ریاضی است که همه می دانند - قضیه فیثاغورث: در هر مثلث قائم الزاویه، مربع ساخته شده بر روی فرضیه برابر است با مجموع مربع های ساخته شده بر روی پاها اکنون سه برابر اعداد طبیعی x، y، z، که برای آن x 2 + y 2 = z 2 ، معمولاً نامیده می شودسه قلوهای فیثاغورثی. به نظر می رسد که سه گانه فیثاغورث قبلاً در بابل شناخته شده بودند. به تدریج ریاضیدانان یونانی نیز آنها را پیدا کردند.

هدف از این کار

1. کاوش اعداد فیثاغورثی؛
2. درک چگونگی به دست آوردن اعداد فیثاغورثی؛
3. دریابید که اعداد فیثاغورثی چه ویژگی هایی دارند.
4. با استفاده از اعداد فیثاغورثی خطوط عمود بر روی زمین را آزمایش کنید.

مطابق با هدف کار، تعدادی از موارد زیروظایف:

1. مطالعه عمیق تر تاریخ قضیه فیثاغورث.

2. تجزیه و تحلیل خواص جهانی سه گانه فیثاغورثی.

3. تحلیل کاربرد عملی سه گانه فیثاغورثی.

موضوع مطالعه: سه گانه فیثاغورثی.

موضوع مطالعه: ریاضی .

روش های پژوهش: - استفاده از منابع اینترنتی؛ - توسل به ادبیات مرجع. - انجام آزمایش؛

اهمیت نظری:نقشی که کشف سه گانه فیثاغورثی در علم ایفا کرد. کاربرد عملی کشف فیثاغورث در زندگی بشر.

ارزش کاربردیتحقیق شامل تجزیه و تحلیل منابع ادبی و نظام مند کردن حقایق است.

چرویاک ویتالی گنادیویچ

قلمرو کراسنودار، روستای ژوراوسکایا، مدرسه متوسطه شماره 14 MOBU، کلاس 9

اعداد فیثاغورثی

استاد راهنما: مانکو گالینا واسیلیونا، معلم ریاضیات، دبیرستان شماره 14 MOBU

از تاریخچه اعداد فیثاغورثی.

• چین باستان:

کتاب ریاضی چوپی:[ 2]

"اگر یک زاویه قائمه به اجزای تشکیل دهنده آن تجزیه شود، خطی که انتهای اضلاع آن را به هم متصل می کند 5 خواهد بود، زمانی که پایه 3 و ارتفاع آن 4 است."

• مصر باستان: [2]

کانتور (بزرگترین مورخ آلمانی ریاضیات) معتقد است که برابری 3² + 4² = 5² در حدود 2300 سال قبل از میلاد برای مصریان شناخته شده بود. ه.، در زمان شاهآمنهمت (بر اساس پاپیروس 6619 موزه برلین). به گفته کانتورهارپدوناپت ها، یا "کشنده طناب"، با استفاده از مثلث های قائم الزاویه با ضلع های 3، زوایای قائم ایجاد می کند. 4 و 5.

• بابل: [3]

شایستگی اولین ریاضیدانان یونانی، مانند تالس، فیثاغورث و فیثاغورثی ها، کشف ریاضیات نیست، بلکه نظام مندی و توجیه آن است. در دست آنها، دستور العمل های محاسباتی مبتنی بر ایده های مبهم به یک علم دقیق تبدیل شده است.

• تاریخچه قضیه فیثاغورث:

اگرچه این قضیه با نام فیثاغورث همراه است، اما مدت ها قبل از او شناخته شده بود.

در متون بابلی، او 1200 سال قبل از فیثاغورس رخ می دهد.

ظاهراً او اولین کسی بود که دلیل آن را یافت. در این رابطه این مدخل انجام شد: «... هنگامی که دریافت که در مثلث قائم الزاویه هیپوتنوس مطابق با پاها است، گاو نر ساخته شده از خمیر گندم را قربانی کرد».

چرویاک ویتالی گنادیویچ

قلمرو کراسنودار، روستای ژوراوسکایا، مدرسه متوسطه شماره 14 MOBU، کلاس 9

اعداد فیثاغورثی

استاد راهنما: مانکو گالینا واسیلیونا، معلم ریاضیات، دبیرستان شماره 14 MOBU

مطالعه اعداد فیثاغورثی

• طبق قضیه معروف فیثاغورث، هر مثلث، اضلاع به صورت 3:4:5 به هم مرتبط هستند، چون قائم الزاویه است.

3 2 + 4 2 = 5 2.

• علاوه بر اعداد 3،4 و 5، همانطور که مشخص است، مجموعه نامتناهی از اعداد صحیح مثبت a، b و c وجود دارد که رابطه را برآورده می کند.
• A 2 + در 2 = c 2.
• این اعداد نامیده می شونداعداد فیثاغورثی

سه گانه فیثاغورثی برای مدت بسیار طولانی شناخته شده است. در معماری سنگ قبرهای باستانی Forest Potam یک مثلث متساوی الساقین وجود دارد که از دو مستطیل با اضلاع 9، 12 و 15 ذراع تشکیل شده است. اهرام فرعون اسنفرو (قرن XXVII قبل از میلاد) با استفاده از مثلث هایی با ضلع های 20، 21 و 29 و همچنین 18، 24 و 30 ده ها ذراع مصری ساخته شده اند.[ 1 ]

مثلث قائم الزاویه با پایه های 3، 4 و هیپوتانوس 5، مثلث مصری نامیده می شود. مساحت این مثلث برابر با عدد کامل 6 است. محیط آن برابر با 12 است - عددی که نماد خوشبختی و سعادت در نظر گرفته می شد.

مصریان باستان با کمک یک طناب که توسط گره ها به 12 قسمت مساوی تقسیم می شد، یک مثلث قائم الزاویه و یک زاویه قائمه می ساختند. روشی راحت و بسیار دقیق که نقشه برداران زمین برای کشیدن خطوط عمود بر روی زمین استفاده می کنند. لازم است یک بند ناف و سه گیره بگیرید، بند ناف به صورت مثلثی مرتب شده است به طوری که یک ضلع آن از 3 قسمت، دومی از 4 سهم و آخری از پنج سهم تشکیل شده است. بند ناف در مثلثی قرار می گیرد که در آن یک زاویه قائمه وجود دارد.

این روش باستانی که ظاهراً هزاران سال پیش توسط سازندگان اهرام مصر استفاده شده است، بر این واقعیت استوار است که طبق قضیه فیثاغورث، هر مثلثی که اضلاع آن 3:4:5 به هم مرتبط است، یک مثلث قائم الزاویه است.

اقلیدس، فیثاغورث، دیوفانتوس و بسیاری دیگر مشغول یافتن سه گانه فیثاغورثی بودند.[ 1]

واضح است که اگر (x، y، z ) یک سه گانه فیثاغورثی است، سپس برای هر طبیعی k سه گانه (kx، ky، kz) همچنین یک سه گانه فیثاغورثی خواهد بود. به طور خاص، (6، 8، 10)، (9، 12، 15)، و غیره. سه گانه فیثاغورثی هستند.

با افزایش اعداد، سه گانه های فیثاغورثی نادرتر و سخت تر می شوند. فیثاغورثی ها روش یافتن را اختراع کردند

چنین سه گانه و با استفاده از آن ثابت کرد که بی نهایت سه گانه فیثاغورثی وجود دارد.

به ثلاثی که مقسوم علیه مشترک بزرگتر از 1 ندارند ثلاث ساده می گویند.

برخی از خواص سه گانه فیثاغورثی را در نظر بگیرید.[ 1]

طبق قضیه فیثاغورث، این اعداد می توانند به عنوان طول یک مثلث قائم الزاویه عمل کنند. بنابراین، a و b را "پاها" و c را "هیپوتنوز" می نامند.
واضح است که اگر a، b، c سه گانه از اعداد فیثاغورثی باشند، pa، p، pc که p یک ضریب صحیح است، اعداد فیثاغورثی هستند.
مخالفش هم درست است!
بنابراین، ابتدا فقط سه گانه اعداد فیثاغورثی همزمان اول را مطالعه می کنیم (بقیه از آنها با ضرب در یک ضریب صحیح p بدست می آیند).

اجازه دهید نشان دهیم که در هر یک از این سه گانه a، b، c، یکی از "پاها" باید زوج و دیگری فرد باشد. بیایید "برعکس" بحث کنیم. اگر هر دو "پای" a و b زوج باشند، عدد a زوج خواهد بود 2 + در 2 ، و از این رو هیپوتانوز. اما این با این واقعیت که اعداد a، b و c دارای ضریب مشترک نیستند، تناقض دارد، زیرا سه عدد زوج دارای ضریب مشترک 2 هستند. بنابراین، حداقل یکی از "پای" های a و b فرد است.

یک احتمال دیگر وجود دارد: هر دو "پا" فرد هستند و "هیپوتنوز" زوج است. به راحتی می توان ثابت کرد که این نمی تواند باشد، زیرا اگر "پاها" شکل 2 x + 1 و 2y + 1 داشته باشند، مجموع مربع های آنها برابر است با

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) +2، یعنی. عددی است که وقتی بر 4 تقسیم می شود، باقیمانده 2 به دست می آید. در همین حال، مربع هر عدد زوج باید بدون باقی مانده بر 4 بخش پذیر باشد.

پس مجموع مربع های دو عدد فرد نمی تواند مجذور یک عدد زوج باشد. به عبارت دیگر، سه عدد ما فیثاغورثی نیستند.

نتیجه:

بنابراین، از "پاها" a، به یکی زوج، و دیگری فرد. بنابراین عدد a 2 + در 2 عجیب و غریب، به این معنی که "هیپوتنوز" ج.

فیثاغورث فرمول هایی پیدا کرد که در نمادگرایی مدرن می توان آنها را اینگونه نوشت: a=2n+1، b=2n(n+1)، c=2 n 2 +2n+1 که n یک عدد صحیح است.

این اعداد سه گانه فیثاغورثی هستند.

چرویاک ویتالی گنادیویچ

قلمرو کراسنودار، روستای ژوراوسکایا، مدرسه متوسطه شماره 14 MOBU، کلاس 9

اعداد فیثاغورثی

استاد راهنما: مانکو گالینا واسیلیونا، معلم ریاضیات، دبیرستان شماره 14 MOBU

اشتقاق الگویی برای یافتن اعداد فیثاغورثی.

در اینجا سه ​​گانه فیثاغورثی وجود دارد:

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

به راحتی می توان فهمید که وقتی هر یک از اعداد سه گانه فیثاغورثی را در 2، 3، 4، 5 و غیره ضرب می کنیم، سه گانه های زیر را بدست می آوریم.

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30، 40، 50 و غیره

آنها همچنین اعداد فیثاغورثی هستند/

چرویاک ویتالی گنادیویچ

قلمرو کراسنودار، روستای ژوراوسکایا، مدرسه متوسطه شماره 14 MOBU، کلاس 9

اعداد فیثاغورثی

استاد راهنما: مانکو گالینا واسیلیونا، معلم ریاضیات، دبیرستان شماره 14 MOBU

خواص اعداد فیثاغورثی

• هنگام در نظر گرفتن اعداد فیثاغورثی، تعدادی ویژگی دیدم:
• 1) یکی از اعداد فیثاغورثی باید مضرب سه باشد.
• 2) یکی دیگر از آنها باید مضرب چهار باشد;
• 3) و سومین اعداد فیثاغورثی باید مضرب پنج باشد.

چرویاک ویتالی گنادیویچ

قلمرو کراسنودار، روستای ژوراوسکایا، مدرسه متوسطه شماره 14 MOBU، کلاس 9

اعداد فیثاغورثی

استاد راهنما: مانکو گالینا واسیلیونا، معلم ریاضیات، دبیرستان شماره 14 MOBU

نتیجه.

هندسه نیز مانند سایر علوم برخاسته از نیازهای عملی است. خود کلمه "هندسه" - یونانی، در ترجمه به معنای "بررسی" است.

مردم خیلی زود با نیاز به اندازه گیری زمین مواجه شدند. در حال حاضر برای 3-4 هزار سال قبل از میلاد. هر قطعه زمین حاصلخیز در دره های نیل، فرات و دجله، رودخانه های چین، برای زندگی مردم مهم بود. این امر مستلزم ذخیره معینی از دانش هندسی و حسابی بود.

به تدریج، مردم شروع به اندازه گیری و مطالعه خواص اشکال هندسی پیچیده تر کردند.

هم در مصر و هم در بابل معابد عظیمی ساخته شد که ساخت آنها فقط بر اساس محاسبات اولیه انجام می شد. قنات هم ساخته شد. همه اینها به نقشه ها و محاسبات نیاز داشت. در این زمان، موارد خاص قضیه فیثاغورث به خوبی شناخته شده بود، آنها قبلاً می دانستند که اگر مثلث هایی را با ضلع های x، y، z بگیریم، جایی که x، y، z چنین اعداد صحیحی هستند که x 2 + y 2 = z 2 ، سپس این مثلث ها قائم الزاویه خواهند بود.

همه این دانش به طور مستقیم در بسیاری از حوزه های زندگی بشر اعمال شد.

بنابراین تاکنون، کشف بزرگ دانشمند و فیلسوف دوران باستان فیثاغورث به طور مستقیم در زندگی ما کاربرد پیدا کرده است.

ساخت خانه ها، جاده ها، سفینه های فضایی، ماشین ها، ماشین آلات، خطوط لوله نفت، هواپیماها، تونل ها، متروها و خیلی چیزهای دیگر. سه قلوهای فیثاغورثی در طراحی بسیاری از چیزهایی که در زندگی روزمره ما را احاطه کرده اند، کاربرد مستقیم پیدا می کنند.

و ذهن دانشمندان همچنان به دنبال نسخه های جدیدی از اثبات قضیه فیثاغورث است.

• AT در نتیجه کارم موفق شدم:
• 1. درباره فیثاغورث، زندگی او، برادری فیثاغورث بیشتر بدانید.
• 2. با تاریخچه قضیه فیثاغورث آشنا شوید.
• 3. در مورد اعداد فیثاغورثی، ویژگی های آنها بیاموزید، نحوه یافتن آنها را بیاموزید و آنها را در عمل به کار ببرید.

چرویاک ویتالی گنادیویچ

قلمرو کراسنودار، روستای ژوراوسکایا، مدرسه متوسطه شماره 14 MOBU، کلاس 9

اعداد فیثاغورثی

استاد راهنما: مانکو گالینا واسیلیونا، معلم ریاضیات، دبیرستان شماره 14 MOBU

ادبیات.

1. جبر سرگرم کننده من و. پرلمن (p.117-120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. Anosov D.V. نگاهی به ریاضیات و چیزی از آن. - M.: MTsNMO، 2003.

5. دایره المعارف کودکان. - M .: انتشارات آکادمی علوم تربیتی RSFSR، 1959.

6. Stepanova L.L. فصول منتخب نظریه اعداد ابتدایی. - M.: پرومتئوس، 2001.

7. V. مثلث های فیثاغورثی Sierpinsky. - م.: اوچپدگیز، 1959. S.111

پیشرفت تحقیق صفحه تاریخی; قضیه فیثاغورس؛ ثابت کنید که یکی از "پاها" باید زوج و دیگری فرد باشد. اشتقاق الگویی برای یافتن اعداد فیثاغورثی. خواص اعداد فیثاغورثی را آشکار کنید.

مقدمه من درباره فیثاغورث و زندگی او در کلاس پنجم در یک درس ریاضی شنیدم و به این جمله علاقه مند شدم که "شلوار فیثاغورث از همه جهات برابر است." هنگام مطالعه قضیه فیثاغورث، به اعداد فیثاغورث علاقه مند شدم. من هدف مطالعه را تعیین کردم: کسب اطلاعات بیشتر در مورد قضیه فیثاغورث و "اعداد فیثاغورث".

حقیقت جاودانه خواهد بود، انسان ضعیف چقدر زود آن را خواهد فهمید! و اکنون قضیه فیثاغورث ورن، مانند دوران دور او

از تاریخچه اعداد فیثاغورثی. کتاب ریاضی چین باستان چوپی: "اگر یک زاویه قائمه به اجزای تشکیل دهنده آن تجزیه شود، خطی که انتهای اضلاع آن را به هم متصل می کند، زمانی که پایه 3 و ارتفاع آن 4 است، 5 خواهد بود."

اعداد فیثاغورثی در میان مصریان باستان کانتور (بزرگترین مورخ آلمانی ریاضیات) معتقد است که برابری 3 ² + 4 ² = 5² قبلاً در حدود 2300 قبل از میلاد برای مصریان شناخته شده بود. ه.، در زمان شاه آمنهات (طبق پاپیروس 6619 موزه برلین). به گفته کانتور، هارپدوناپت‌ها یا «طناب‌ها» با استفاده از مثلث‌های قائم الزاویه با ضلع‌های 3، زوایای قائمه می‌ساختند. 4 و 5.

قضیه فیثاغورث در بابل: شایستگی اولین ریاضیدانان یونانی مانند تالس، فیثاغورث و فیثاغورثی ها کشف ریاضیات نیست، بلکه نظام مندسازی و توجیه آن است. در دست آنها، دستور العمل های محاسباتی مبتنی بر ایده های مبهم به یک علم دقیق تبدیل شده است.

طبق قضیه معروف فیثاغورث، هر مثلث، اضلاع به صورت 3:4:5 مرتبط هستند، مستطیل شکل است، زیرا 3 2 + 4 2 \u003d 5 2. علاوه بر اعداد 3،4 و 5، وجود دارد. همانطور که می دانید یک مجموعه نامتناهی از اعداد صحیح مثبت a ، in و c که رابطه A 2 + در 2 \u003d c 2 را برآورده می کند. این اعداد را اعداد فیثاغورثی می نامند.

طبق قضیه فیثاغورث، این اعداد می توانند به عنوان طول یک مثلث قائم الزاویه عمل کنند. بنابراین، a و b را "پاها" و c را "هیپوتنوز" می نامند. واضح است که اگر a، b، c سه گانه از اعداد فیثاغورثی باشند، pa، p، pc که p یک ضریب صحیح است، اعداد فیثاغورثی هستند. مخالفش هم درست است! بنابراین، ابتدا فقط سه اعداد فیثاغورثی همزمان اول را مطالعه می کنیم (بقیه از آنها با ضرب در یک ضریب صحیح p بدست می آیند)

نتیجه! پس از اعداد a و b یکی زوج و دیگری فرد است یعنی عدد سوم نیز فرد است.

در اینجا سه ​​گانه فیثاغورثی وجود دارد: 3، 4، 5; 9+16=25. 5، 12، 13; 25+144=169. 7، 24، 25; 49+576=625. 8، 15، 17; 64+225=289. 9، 40، 41; 81+1600=1681. 12، 35، 37; 144+1225=1369. 20، 21، 29; 400+441=841

به راحتی می توان فهمید که وقتی هر یک از اعداد سه گانه فیثاغورثی را در 2، 3، 4، 5 و غیره ضرب می کنیم، سه گانه های زیر را بدست می آوریم. 6، 8، 10; 9،12،15. 12، 16، 20; 15، 20، 25; 10، 24، 26; 18، 24، 30; 16، 30، 34; 21، 28، 35; 15، 36، 39; 24، 32، 40; 14، 48، 50; 30، 40، 50 و غیره آنها همچنین اعداد فیثاغورثی هستند

خصوصیات اعداد فیثاغورثی هنگام بررسی اعداد فیثاغورثی، تعدادی ویژگی دیدم: 1) یکی از اعداد فیثاغورثی باید مضرب سه باشد. 2) یکی از آنها باید مضرب چهار باشد. 3) و دیگری از اعداد فیثاغورثی باید مضرب پنج باشد.

کاربرد عملی اعداد فیثاغورثی

نتیجه: در نتیجه کارم، موفق شدم 1. درباره فیثاغورث، زندگی او، برادری فیثاغورث بیشتر بیاموزم. 2. با تاریخچه قضیه فیثاغورث آشنا شوید. 3. در مورد اعداد فیثاغورثی، خواص آنها بیاموزید، یاد بگیرید چگونه آنها را پیدا کنید. با استفاده از اعداد فیثاغورثی به صورت تجربی-تجربی زاویه قائمه را کنار بگذارید.

سه گانه فیثاغورثی از اعداد

کار خلاقانه

دانش آموز 8 "آ"کلاس

MAOU "Gymnasium No. 1"

منطقه اوکتیابرسکی ساراتوف

پانفیلووا ولادیمیر

استاد راهنما - معلم ریاضی بالاترین رده

گریشینا ایرینا ولادیمیروا

محتوا

مقدمه…………………………………………………………………………………………3

بخش تئوری کار

پیدا کردن مثلث اصلی فیثاغورث

(فرمول های هندوهای باستان)……………………………………………………………………………

بخش عملی کار

انشای سه گانه فیثاغورثی به طرق مختلف………………………………………………………………………………………………………………………

ویژگی مهم مثلث های فیثاغورث………………………………………………………

نتیجه…………………………………………………………………………………………………………………………

ادبیات……………………………………………………………………………….10

مقدمه

در این سال تحصیلی، در درس ریاضیات، یکی از محبوب ترین قضایا در هندسه - قضیه فیثاغورث را مطالعه کردیم. قضیه فیثاغورث در هر مرحله در هندسه کاربرد دارد، در عمل و زندگی روزمره کاربرد وسیعی یافته است. اما، علاوه بر خود قضیه، قضیه معکوس قضیه فیثاغورث را نیز مطالعه کردیم. در رابطه با بررسی این قضیه با سه گانه اعداد فیثاغورثی آشنا شدیم. با مجموعه های 3 عدد طبیعیآ , ب وج ، که رابطه برای آن معتبر است: = + . چنین مجموعه هایی برای مثال شامل سه قلوهای زیر است:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

من فوراً سؤالاتی داشتم: چند ثلاث فیثاغورثی می توانید بیاورید؟ و چگونه آنها را تنظیم کنیم؟

در کتاب هندسه ما، پس از ارائه قضیه معکوس با قضیه فیثاغورث، نکته مهمی بیان شد: می توان ثابت کرد که پاهاآ وب و هیپوتانوزبا مثلث های قائم الزاویه که طول اضلاع آنها با اعداد طبیعی بیان می شود را می توان با فرمول های زیر پیدا کرد:

آ = 2 کیلومتر b = k( - )c = k( + , (1)

جایی کهک , متر , n هر عدد طبیعی هستند، ومتر > n .

طبیعتاً این سؤال مطرح می شود - چگونه این فرمول ها را اثبات کنیم؟ و آیا تنها با این فرمول ها می توان سه گانه فیثاغورثی را تشکیل داد؟

در کار خود سعی کرده ام به سوالاتی که در ذهنم ایجاد شده پاسخ دهم.

بخش تئوری کار

یافتن مثلث اصلی فیثاغورث (فرمول های هندوهای باستان)

اجازه دهید ابتدا فرمول (1) را اثبات کنیم:

اجازه دهید طول پاها را مشخص کنیمایکس ودر و طول هیپوتنوز از طریقz . با قضیه فیثاغورث، برابری داریم:+ = .(2)

این معادله را معادله فیثاغورث می نامند. مطالعه مثلث های فیثاغورثی به حل معادله (2) در اعداد طبیعی خلاصه می شود.

اگر هر ضلع از مثلث فیثاغورثی به تعداد یکسان افزایش یابد، آنگاه یک مثلث قائم الزاویه جدید مشابه مثلث داده شده با اضلاع با اعداد طبیعی به دست می آوریم، یعنی. دوباره مثلث فیثاغورثی

در میان تمام مثلث های مشابه، کوچکترین آنها وجود دارد، به راحتی می توان حدس زد که این مثلثی باشد که اضلاع آنایکس ودر در اعداد همزمان اول بیان می شود

(gcd (x، y )=1).

ما به چنین مثلث فیثاغورثی می گوییماصلی .

پیدا کردن مثلث های اصلی فیثاغورث.

اجازه دهید مثلث (ایکس , y , z ) مثلث اصلی فیثاغورث است. شمارهایکس ودر هم اول هستند و بنابراین هر دو نمی توانند زوج باشند. اجازه دهید ثابت کنیم که هر دو نمی توانند فرد باشند. برای این، ما توجه می کنیم کهمجذور یک عدد فرد با تقسیم بر 8 باقیمانده 1 را به دست می دهد. در واقع، هر عدد طبیعی فرد را می توان به صورت نمایش داد2 ک -1 ، جایی کهک متعلق استن .

از اینجا: = -4 ک +1 = 4 ک ( ک -1)+1.

شماره( ک -1) وک متوالی هستند، یکی از آنها باید زوج باشد. سپس بیانک ( ک -1) تقسیم بر2 , 4 ک ( ک -1) بر 8 بخش پذیر است که به این معنی است وقتی بر 8 تقسیم می شود، باقیمانده 1 می شود.

مجموع مربع های دو عدد فرد با تقسیم بر 8 باقیمانده 2 را به دست می دهد، بنابراین مجموع مربع های دو عدد فرد یک عدد زوج است اما مضربی از 4 نیست و بنابراین این عددنمی تواند مربع یک عدد طبیعی باشد.

بنابراین برابری (2) نمی تواند اگر باشدایکس ودر هر دو عجیب و غریب هستند

بنابراین، اگر مثلث فیثاغورث (x، y، z ) - اصلی، سپس در میان اعدادایکس ودر یکی باید زوج و دیگری فرد باشد. بگذارید عدد y زوج باشد. شمارهایکس وz عجیب و غریب (فردz از برابری (2) به دست می آید.

از معادله+ = ما آن را دریافت می کنیم= ( z + ایکس )( z - ایکس ) (3).

شمارهz + ایکس وz - ایکس زیرا مجموع و تفاضل دو عدد فرد زوج هستند و بنابراین (4):

z + ایکس = 2 آ , z - ایکس = 2 ب ، جایی کهآ وب تعلق داشتنن .

z + ایکس =2 آ , z - ایکس = 2 ب ,

z = a+b , ایکس = آ - ب (5)

از این برابری ها چنین برمی آید کهآ وب اعداد نسبتا اول هستند.

ما این را با استدلال بر خلاف آن ثابت می کنیم.

اجازه دهید GCD (آ , ب )= د ، جایی کهد >1 .

سپسد z وایکس ، و از این رو اعدادz + ایکس وz - ایکس . سپس بر اساس برابری (3) مقسوم علیه خواهد بود . در این موردد مقسوم علیه مشترک اعداد خواهد بوددر وایکس ، اما اعداددر وایکس باید coprime باشد

عدددر شناخته شده است حتی، بنابراینy = 2 ثانیه ، جایی کهبا - عدد طبیعی. برابری (3) بر اساس برابری (4) به شکل زیر است: =2a*2 ب ، یا =ab.

از حساب معلوم است کهاگر حاصل ضرب دو عدد همزمان اول مجذور یک عدد طبیعی باشد، هر یک از آن اعداد نیز مجذور یک عدد طبیعی است.

به معنای،a = وب = ، جایی کهمتر وn اعداد همزمان اول هستند، زیرا آنها مقسوم علیه اعداد همزمان اول هستندآ وب .

بر اساس برابری (5) داریم:

z = + , ایکس = - , = ab = * = ; c = دقیقه

سپسy = 2 دقیقه .

شمارهمتر وn ، زیرا coprime هستند، نمی توانند در همان زمان حتی باشند. اما آنها نمی توانند در همان زمان عجیب و غریب باشند، زیرا در این موردx = - یکنواخت خواهد بود که غیرممکن است. پس یکی از اعدادمتر یاn زوج است و دیگری فرد است. به طور مشخص،y = 2 دقیقه بر 4 بخش پذیر است. بنابراین، در هر مثلث فیثاغورثی اصلی، حداقل یکی از پایه ها بر 4 بخش پذیر است. نتیجه این است که هیچ مثلث فیثاغورثی وجود ندارد که همه اضلاع آن اعداد اول باشند.

نتایج به دست آمده را می توان به صورت قضیه زیر بیان کرد:

تمام مثلث های اصلی که در آنهادر یک عدد زوج است، از فرمول به دست می آیند

x = - , y =2 دقیقه , z = + ( متر > n ), جایی کهمتر وn - همه جفت های اعداد همزمان اول، که یکی از آنها زوج و دیگری فرد است (مهم نیست کدام یک). هر سه گانه پایه فیثاغورثی (x، y، z )، جایی کهدر - حتی، به طور منحصر به فرد از این طریق تعیین می شود.

شمارهمتر وn نمی تواند هر دو زوج یا هر دو فرد باشد، زیرا در این موارد

x = یکنواخت خواهد بود که غیرممکن است. پس یکی از اعدادمتر یاn زوج و دیگری فردy = 2 دقیقه قابل تقسیم بر 4).

بخش عملی کار

سرودن ثلاث فیثاغورثی به طرق مختلف

در فرمول های هندومتر وn - coprime، اما می تواند اعدادی با برابری دلخواه باشد و ساختن سه گانه فیثاغورثی با استفاده از آنها بسیار دشوار است. بنابراین، بیایید سعی کنیم رویکرد متفاوتی برای تدوین سه گانه فیثاغورث پیدا کنیم.

= - = ( z - y )( z + y ), جایی کهایکس - فرد،y - زوج،z - فرد

v = z - y , تو = z + y

= UV ، جایی کهتو - فرد،v - عجیب و غریب (coprime)

زیرا حاصل ضرب دو عدد هم اول فرد مجذور یک عدد طبیعی استتو = , v = , جایی کهک ول اعداد همزمان و فرد هستند.

z - y = z + y = ک 2 , از این جا با جمع برابری ها و تفریق از یکدیگر، به دست می آید:

2 z = + 2 y = - به این معنا که

z= y= x = cl

ک

ل

ایکس

y

z

37

9

1

9

40

41 (sصفرها)*(100…0 (sصفرها) +1)+1 =200…0 (s-1صفرها) 200…0 (s-1صفرها) 1

ویژگی مهم مثلث های فیثاغورثی

قضیه

در مثلث اصلی فیثاغورث، یکی از پایه ها لزوما بر 4، یکی از پایه ها لزوما بر 3 و مساحت مثلث فیثاغورث لزوما مضربی از 6 است.

اثبات

همانطور که می دانیم در هر مثلث فیثاغورث حداقل یکی از پایه ها بر 4 بخش پذیر است.

اجازه دهید ثابت کنیم که یکی از پاها نیز بر 3 بخش پذیر است.

برای اثبات این موضوع، فرض کنید که در مثلث فیثاغورث (ایکس , y , z ایکس یاy مضرب 3

اکنون ثابت می کنیم که مساحت مثلث فیثاغورث بر 6 بخش پذیر است.

هر مثلث فیثاغورثی دارای مساحتی است که به صورت مضرب طبیعی 6 بیان شده است. تعیین شده توسط نیم حاصل ضرب پاها، باید با مضرب 6 بیان شود.

نتیجه

سر کار

- فرمول های اثبات شده هندوهای باستان

- مطالعه ای در مورد تعداد سه گانه فیثاغورثی انجام داد (بی نهایت از آنها وجود دارد)

- روش هایی برای یافتن سه گانه فیثاغورثی نشان داده شده است

- بررسی برخی از خواص مثلث فیثاغورثی

برای من موضوع بسیار جالبی بود و یافتن پاسخ سوالاتم به یک فعالیت بسیار جالب تبدیل شد. در آینده قصد دارم ارتباط سه گانه فیثاغورث را با دنباله فیبوناچی و قضیه فرما در نظر بگیرم و بسیاری از خواص مثلث فیثاغورث را بیاموزم.

ادبیات

L.S. آتاناسیان "هندسه. 7-9 کلاس" M .: آموزش و پرورش، 2012.

V. Serpinsky "مثلث های فیثاغورث" M.: Uchpedgiz، 1959.

ساراتوف

2014