سخنرانی 6. کاربرد مشتقات در مطالعه توابع

اگر تابع f(ایکس) دارای یک مشتق در هر نقطه از بخش [ آ, ب]، سپس رفتار آن را می توان با استفاده از مشتق مطالعه کرد f"(ایکس).

بیایید به قضایای اساسی حساب دیفرانسیل که زیربنای کاربردهای مشتق هستند نگاه کنیم.

قضیه فرما

قضیه(مزرعه) ( در مورد برابری مشتق به صفر ). اگر تابع f(ایکس), قابل تفکیک در بازه (آ, ب) و در نقطه c به بزرگترین یا کوچکترین مقدار خود می رسد є ( آ, ب), پس مشتق تابع در این نقطه صفر است، یعنی f"(با) = 0.

اثبات. اجازه دهید تابع f(ایکس) در بازه ( آ, ب) و در نقطه ایکس = بابیشترین ارزش را می گیرد مدر با є ( آ, ب) (شکل 1)، یعنی.

f(با) ≥ f(ایکس) یا f(ایکس) – f(ج) ≤ 0 یا f(s +Δ ایکس) – f(با) ≤ 0.

مشتق f"(ایکس) در نقطه ایکس = با: .

اگر ایکس> ج, Δ ایکس> 0 (یعنی Δ ایکس← 0 در سمت راست نقطه با) آن و بنابراین f"(با) ≤ 0.

اگر ایکس< с , Δ ایکس< 0 (т.е. Δایکس← 0 در سمت چپ نقطه با) آن ، که از آن نتیجه می شود که f"(با) ≥ 0.

با شرط f(ایکس) در نقطه قابل تمایز است بابنابراین، حد آن در ایکس→ بابه انتخاب جهت رویکرد استدلال بستگی ندارد ایکسبه نقطه با، یعنی .

ما سیستمی را بدست می آوریم که از آن پیروی می کند f"(با) = 0.

در صورت f(با) = تی(آنها f(ایکس) در نقطه می گیرد باکوچکترین مقدار)، اثبات مشابه است. قضیه ثابت می شود.

معنای هندسی قضیه فرما: در نقطه بزرگترین یا کوچکترین مقدار بدست آمده در بازه، مماس بر نمودار تابع با محور x موازی است.

فایل FERMA-KDVar © N. M. Koziy، 2008

گواهینامه اوکراین به شماره 27312

اثبات مختصر آخرین قضیه فرمت

آخرین قضیه فرما به صورت زیر فرموله شده است: معادله دیوفانتین (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

آ n + ب n = سی n * /1/

جایی که n- عدد صحیح مثبت بزرگتر از دو هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد آ , ب ، با .

اثبات

از فرمول آخرین قضیه فرما چنین می شود: اگر nیک عدد صحیح مثبت بزرگتر از دو است، پس به شرطی که دو عدد از سه عدد باشد آ , که دریا با- اعداد صحیح مثبت، یکی از این اعداد عدد صحیح مثبت نیست.

ما برهان را بر اساس قضیه اساسی حساب می‌سازیم که به آن «قضیه عامل‌سازی منحصربه‌فرد» یا «قضیه یکتایی عامل‌سازی اعداد صحیح مرکب» می‌گویند. نماهای فرد و زوج ممکن است n . بیایید هر دو مورد را در نظر بگیریم.

1. مورد اول: توان n - عدد فرد.

در این حالت، عبارت /1/ طبق فرمول های شناخته شده به صورت زیر تبدیل می شود:

آ n + که در n = با n /2/

ما معتقدیم که آو ب- اعداد صحیح مثبت

شماره آ , که درو باباید متقابلا اعداد اول باشند.

از معادله /2/ نتیجه می شود که برای مقادیر داده شده اعداد آو بعامل ( آ + ب ) n , با.

بیایید این عدد را فرض کنیم با -عدد صحیح مثبت. با در نظر گرفتن شرایط پذیرفته شده و قضیه اساسی حساب، شرط باید رعایت شود. :

با n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/

عامل کجاست Dn D

از معادله /3/ چنین می شود:

از معادله /3/ نیز به دست می آید که عدد [ Cn = A n + Bn ] مشروط بر اینکه شماره با ( آ + ب ) n. با این حال، مشخص است که:

A n + Bn < ( آ + ب ) n /5/

از این رو:

- عدد کسری کوچکتر از یک /6/

یک عدد کسری

n

برای نماهای فرد n >2 عدد:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

از تحلیل معادله /2/ چنین بر می آید که برای یک توان فرد nعدد:

با n = آ n + که در n = (A+B)

از دو عامل جبری خاص و برای هر مقدار توان تشکیل شده است nعامل جبری بدون تغییر باقی می ماند ( آ + ب ).

بنابراین، آخرین قضیه فرما هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت برای نماهای فرد ندارد. n >2.

2. مورد دوم: توان n - عدد زوج .

اگر معادله /1/ را به صورت زیر بازنویسی کنیم، ماهیت آخرین قضیه فرما تغییر نمی کند:

A n = Cn - Bn /7/

در این حالت معادله /7/ به صورت زیر تبدیل می شود:

A n = C n - B n = ( با +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/

ما این را قبول داریم باو که در- تمام اعداد.

از معادله /8/ نتیجه می شود که برای مقادیر داده شده اعداد بو سیعامل (C+ ب ) برای هر مقدار توان یک مقدار دارد n , بنابراین مقسوم علیه عدد است آ .

بیایید این عدد را فرض کنیم آ- یک عدد صحیح با در نظر گرفتن شرایط پذیرفته شده و قضیه اساسی حساب، شرط باید رعایت شود. :

آ n = سی n - Bn =(C+ ب ) n ∙ Dn , / 9/

عامل کجاست Dnباید یک عدد صحیح و بنابراین عدد باشد Dهمچنین باید یک عدد صحیح باشد.

از معادله /9/ چنین می شود:

/10/

از معادله /9/ نیز به دست می آید که عدد [ آ n = با n - Bn ] مشروط بر اینکه شماره آ- یک عدد صحیح، باید بر یک عدد بخش پذیر باشد (C+ ب ) n. با این حال، مشخص است که:

با n - Bn < (С+ ب ) n /11/

از این رو:

- عدد کسری کوچکتر از یک /12/

یک عدد کسری

نتیجه این است که برای یک مقدار فرد از توان nمعادله /1/ آخرین قضیه فرما هیچ جوابی در اعداد صحیح مثبت ندارد.

برای شارحان حتی n >2 عدد:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

بنابراین، آخرین قضیه فرما هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت و برای نماهای زوج ندارد n >2.

نتیجه کلی از مطالب بالا به دست می آید: معادله /1/ آخرین قضیه فرما هیچ جوابی در اعداد صحیح مثبت ندارد. الف، بو بامشروط بر اینکه توان n>2 باشد.

دلیل اضافی

در موردی که توان n – عدد زوج، عبارت جبری ( Cn - Bn ) به عوامل جبری تجزیه می شود:

C 2 – B 2 =(C-B) ∙ (C+B); /13/

C 4 - B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2)؛/14/

C 6 – B 6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/

ج 8 - ب 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

بیایید به صورت اعداد مثال بزنیم.

مثال 1: B=11; C=35.

سی 2 – ب 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

سی 4 – ب 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

سی 6 – ب 6 = (2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) =2 ∙ 3 ​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

سی 8 – ب 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

مثال 2: B=16; C=25.

سی 2 – ب 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

سی 4 – ب 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;

سی 6 – ب 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

سی 8 – ب 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

از تجزیه و تحلیل معادلات /13/، /14/، /15/ و /16/ و مثال های عددی مربوطه به دست می آید:

برای یک توان معین n , اگر عدد زوج باشد، عدد آ n = سی n - Bnبه تعداد مشخصی از عوامل جبری کاملاً تعریف شده تجزیه می شود.

برای هر توانمندی n , اگر عدد زوج باشد، در عبارت جبری ( Cn - Bn ) همیشه چند برابر وجود دارد ( سی - ب ) و ( سی + ب ) ;

هر عامل جبری مربوط به یک عامل عددی کاملاً مشخص است.

برای اعداد داده شده که درو باعوامل عددی می توانند اعداد اول یا ضرایب عددی مرکب باشند.

هر ضریب عددی مرکب حاصل ضرب اعداد اول است که به طور جزئی یا کامل از سایر عوامل عددی مرکب غایب هستند.

اندازه اعداد اول در ترکیب عوامل عددی مرکب با افزایش این عوامل افزایش می یابد.

بزرگترین ضریب عددی مرکب مربوط به بزرگترین ضریب جبری شامل بزرگترین عدد اول به توانی کمتر از توان است. n(اغلب در درجه اول).

نتیجه گیری: شواهد اضافی این نتیجه را تایید می کند که آخرین قضیه فرما هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد.

مهندس مکانیک

با قضاوت بر اساس محبوبیت پرس و جو "قضیه فرمات - اثبات کوتاه"این مسئله ریاضی واقعاً برای بسیاری از مردم جالب است. این قضیه برای اولین بار توسط پیر دو فرما در سال 1637 در لبه نسخه ای از حساب بیان شد، جایی که او ادعا کرد که راه حلی دارد که آنقدر بزرگ است که در لبه قرار نمی گیرد.

اولین اثبات موفق در سال 1995 منتشر شد، اثبات کامل قضیه فرما توسط اندرو وایلز. این به عنوان "پیشرفت خیره کننده" توصیف شد و باعث شد وایلز در سال 2016 جایزه آبل را دریافت کند. در حالی که به طور نسبتاً مختصری توضیح داده شد، اثبات قضیه فرما نیز بسیاری از قضیه مدولاریته را ثابت کرد و رویکردهای جدیدی را برای مشکلات متعدد دیگر و روش‌های موثر برای افزایش مدولاریت باز کرد. این دستاوردها ریاضیات را 100 سال پیش برد. اثبات قضیه کوچک فرما امروز چیزی غیرعادی نیست.

مشکل حل نشده توسعه نظریه اعداد جبری را در قرن نوزدهم و جستجو برای اثبات قضیه مدولاریته در قرن بیستم را تحریک کرد. این یکی از برجسته ترین قضایای تاریخ ریاضیات است و قبل از اثبات کامل آخرین قضیه فرما از طریق تقسیم، در کتاب رکوردهای گینس به عنوان "سخت ترین مسئله ریاضی" قرار داشت که یکی از ویژگی های آن است. که بیشترین تعداد اثبات ناموفق را دارد.

مرجع تاریخی

معادله فیثاغورث x 2 + y 2 = z 2 دارای بی نهایت جواب عدد صحیح مثبت برای x، y و z است. این راه حل ها به عنوان سه گانه فیثاغورثی شناخته می شوند. در حوالی سال 1637، فرما در حاشیه کتابی نوشت که معادله عمومی تر a n + b n = c n هیچ راه حلی در اعداد طبیعی ندارد اگر n یک عدد صحیح بزرگتر از 2 باشد. اگرچه خود فرما ادعا می کرد که برای مسئله خود راه حلی دارد، اما او چنین کرد. هیچ جزئیاتی در مورد مدرک او باقی نماند. اثبات ابتدایی قضیه فرما که توسط خالق آن بیان شده است، اختراع لاف زننده او بود. کتاب این ریاضیدان بزرگ فرانسوی 30 سال پس از مرگ او کشف شد. این معادله که آخرین قضیه فرما نام داشت، برای سه قرن و نیم در ریاضیات حل نشده باقی ماند.

این قضیه در نهایت به یکی از قابل توجه ترین مسائل حل نشده در ریاضیات تبدیل شد. تلاش برای اثبات این جرقه تحولات قابل توجهی در نظریه اعداد شد و با گذشت زمان، آخرین قضیه فرما به عنوان یک مسئله حل نشده در ریاضیات شناخته شد.

تاریخچه مختصر شواهد

همانطور که خود فرما ثابت کرد اگر n = 4 باشد، کافی است قضیه n را که اعداد اول هستند ثابت کنیم. در طول دو قرن بعدی (1637-1839) این حدس فقط برای اعداد اول 3، 5 و 7 ثابت شد، اگرچه سوفی ژرمن رویکردی را به روز کرد و ثابت کرد که برای کل کلاس اعداد اول اعمال می شود. در اواسط قرن نوزدهم، ارنست کومر این موضوع را گسترش داد و قضیه را برای همه اعداد اول منظم ثابت کرد و باعث شد که اعداد اول نامنظم به صورت جداگانه تجزیه و تحلیل شوند. با تکیه بر کار کومر و با استفاده از تحقیقات کامپیوتری پیچیده، ریاضی‌دانان دیگر توانستند حل قضیه را بسط دهند، با هدف پوشش دادن تمام توان‌های اصلی تا چهار میلیون، اما اثبات برای همه شارح‌ها هنوز در دسترس نبود (به این معنی که ریاضیدانان به طور کلی راه‌حل را در نظر می‌گرفتند. به قضیه غیرممکن، بسیار دشوار، یا دست نیافتنی با دانش فعلی).

کاری از شیمورا و تانیاما

در سال 1955، گورو شیمورا و یوتاکا تانیاما، ریاضیدانان ژاپنی مشکوک شدند که بین منحنی های بیضوی و فرم های مدولار، دو حوزه کاملاً متفاوت از ریاضیات، ارتباط وجود دارد. در آن زمان به عنوان حدس تانیاما-شیمورا-ویل و (در نهایت) به عنوان قضیه مدولاریته شناخته می شد، بدون هیچ ارتباط ظاهری با آخرین قضیه فرما، به تنهایی باقی ماند. به طور گسترده ای به عنوان یک قضیه ریاضی مهم به خودی خود در نظر گرفته شد، اما (مانند قضیه فرما) غیرممکن برای اثبات آن در نظر گرفته شد. در همان زمان، اثبات قضیه بزرگ فرما (با روش تقسیم و استفاده از فرمول های پیچیده ریاضی) تنها نیم قرن بعد انجام شد.

در سال 1984، گرهارد فری متوجه ارتباط آشکاری بین این دو مشکل نامرتبط و حل نشده قبلی شد. اثبات کاملی که این دو قضیه ارتباط نزدیکی با هم دارند در سال 1986 توسط کن ریبت منتشر شد، که بر پایه اثبات جزئی توسط ژان پیر سرس، که همه جز یک بخش را ثابت کرد، معروف به "حدس اپسیلون" بود، منتشر شد. به بیان ساده، این آثار فری، سرس و ریبه نشان دادند که اگر قضیه مدولاریت حداقل برای یک کلاس نیمه‌پایدار از منحنی‌های بیضوی اثبات شود، آن‌گاه اثبات آخرین قضیه فرما نیز دیر یا زود کشف می‌شود. هر راه حلی که بتواند با آخرین قضیه فرما در تضاد باشد، می تواند برای تناقض با قضیه مدولاریت نیز استفاده شود. بنابراین، اگر قضیه مدولاریت درست باشد، طبق تعریف نمی‌توان راه‌حلی وجود داشت که با آخرین قضیه فرما در تضاد باشد، به این معنی که باید به زودی ثابت می‌شد.

اگرچه هر دو قضیه مسائل دشواری در ریاضیات بودند و حل نشدنی در نظر گرفته می‌شدند، کار دو ژاپنی اولین پیشنهادی بود که چگونه می‌توان آخرین قضیه فرما را برای همه اعداد، نه فقط برای برخی، بسط و اثبات کرد. نکته مهم برای محققینی که موضوع تحقیق را انتخاب کردند این واقعیت بود که برخلاف آخرین قضیه فرما، قضیه مدولاریته یک حوزه تحقیقاتی فعال اصلی بود که برای آن اثبات ایجاد شده بود، و نه فقط یک چیز عجیب و غریب تاریخی، بنابراین زمان صرف شده بود. کار بر روی آن می تواند از نقطه نظر حرفه ای توجیه شود. با این حال، اجماع عمومی این بود که حل حدس تانیاما-شیمورا عملی نیست.

آخرین قضیه فرما: اثبات وایلز

اندرو وایلز ریاضیدان انگلیسی که از دوران کودکی به آخرین قضیه فرما علاقه مند بود و تجربه کار با منحنی های بیضوی و زمینه های مرتبط با آن را داشت، پس از اطلاع از اینکه ریبت صحت نظریه فری را اثبات کرده است، تصمیم گرفت تا حدس تانیاما-شیمورا را به عنوان راهی برای اثبات کند. آخرین قضیه فرما را اثبات کنید. در سال 1993، شش سال پس از اعلام هدفش، وایلز در حالی که مخفیانه روی مسئله حل قضیه کار می کرد، موفق شد حدسی مربوط به آن را اثبات کند که به نوبه خود به او کمک می کرد آخرین قضیه فرما را اثبات کند. سند وایلز از نظر اندازه و وسعت بسیار زیاد بود.

این نقص در بخشی از مقاله اصلی او در طی بررسی همتایان کشف شد و به یک سال دیگر همکاری با ریچارد تیلور برای حل مشترک قضیه نیاز داشت. در نتیجه، اثبات نهایی وایلز برای آخرین قضیه فرما دیری نپایید. در سال 1995، آن را در مقیاس بسیار کوچکتر از کار ریاضی قبلی وایلز منتشر شد، و به وضوح نشان داد که او در نتیجه گیری های قبلی خود در مورد امکان اثبات قضیه اشتباه نکرده است. دستاورد وایلز به طور گسترده در مطبوعات محبوب گزارش شد و در کتاب ها و برنامه های تلویزیونی رایج شد. بخش‌های باقی‌مانده از حدس تانیاما-شیمورا-ویل، که اکنون ثابت شده‌اند و به عنوان قضیه مدولاریته شناخته می‌شوند، متعاقباً توسط ریاضی‌دانان دیگری که بر اساس کار وایلز بین سال‌های 1996 و 2001 ساخته شده‌اند، اثبات شدند. وایلز برای موفقیت خود مورد تجلیل قرار گرفت و جوایز متعددی از جمله جایزه آبل 2016 دریافت کرد.

اثبات آخرین قضیه فرما توسط وایلز یک مورد خاص از یک راه حل برای قضیه مدولاریت برای منحنی های بیضوی است. با این حال، این معروف ترین مورد از چنین عملیات ریاضی در مقیاس بزرگ است. این ریاضیدان انگلیسی همراه با حل قضیه ریبت، به اثبات آخرین قضیه فرما نیز دست یافت. آخرین قضیه فرما و قضیه مدولاریته تقریباً به طور جهانی توسط ریاضیدانان مدرن غیرقابل اثبات تلقی می شدند، اما اندرو وایلز توانست به کل جهان علمی ثابت کند که حتی صاحب نظران نیز ممکن است اشتباه کنند.

وایلز برای اولین بار کشف خود را در چهارشنبه 23 ژوئن 1993 در یک سخنرانی در کمبریج با عنوان "فرم های مدولار، منحنی های بیضوی و بازنمایی های گالوا" اعلام کرد. با این حال، در سپتامبر 1993 مشخص شد که محاسبات وی دارای خطا بوده است. یک سال بعد، در 19 سپتامبر 1994، در آنچه که او آن را "مهم ترین لحظه زندگی کاری خود" می نامید، وایلز به طور تصادفی به مکاشفه ای برخورد کرد که به او اجازه داد راه حل مسئله را تا حدی تصحیح کند که بتواند مسائل ریاضی را برآورده کند. انجمن.

ویژگی های کار

اثبات قضیه فرما توسط اندرو وایلز از تکنیک‌های بسیاری از هندسه جبری و نظریه اعداد استفاده می‌کند و در این زمینه‌ها از ریاضیات دارای انشعابات زیادی است. او همچنین از ساختارهای استاندارد هندسه جبری مدرن، مانند مقوله طرح‌ها و نظریه ایواساوا، و نیز سایر روش‌های قرن بیستم که برای پیر فرما در دسترس نبود، استفاده می‌کند.

دو مقاله حاوی شواهد در مجموع 129 صفحه و در طول هفت سال نوشته شده است. جان کوتس این کشف را یکی از بزرگترین دستاوردهای نظریه اعداد توصیف کرد و جان کانوی آن را دستاورد اصلی ریاضی قرن بیستم خواند. وایلز برای اثبات آخرین قضیه فرما با اثبات قضیه مدولاریت برای حالت خاص منحنی‌های بیضوی نیمه‌پایدار، روش‌های قدرتمندی برای بالا بردن مدولاریته ایجاد کرد و رویکردهای جدیدی برای مسائل متعدد دیگر کشف کرد. برای حل آخرین قضیه فرما لقب شوالیه گرفت و جوایز دیگری دریافت کرد. هنگامی که اعلام شد وایلز برنده جایزه آبل شده است، آکادمی علوم نروژ دستاورد او را به عنوان "اثباتی شگفت انگیز و ابتدایی برای آخرین قضیه فرما" توصیف کرد.

چطور بود

یکی از افرادی که نسخه خطی اصلی وایلز را در مورد حل قضیه تحلیل کرد، نیک کاتز بود. در طول بررسی خود، او از بریتانیایی یک سری سؤالات روشنگر پرسید که وایلز را مجبور کرد اعتراف کند که کارش به وضوح حاوی یک شکاف است. در یکی از بخش‌های مهم اثبات که تخمینی برای ترتیب یک گروه خاص ارائه می‌کرد، خطایی وجود داشت: سیستم اویلر که برای گسترش روش کولی‌واژین و فلاش استفاده می‌شد، ناقص بود. با این حال، این اشتباه کار او را بی‌فایده نگذاشت - هر بخش از کار وایلز به خودی خود بسیار مهم و مبتکرانه بود، همانطور که بسیاری از پیشرفت‌ها و روش‌هایی که او در طول کار خود ایجاد کرد و تنها بر بخشی از آن تأثیر گذاشت. نسخه خطی با این حال، این اثر اصلی که در سال 1993 منتشر شد، در واقع اثباتی برای آخرین قضیه فرما ارائه نکرد.

وایلز تقریباً یک سال در تلاش برای کشف مجدد راه حل قضیه بود، ابتدا به تنهایی و سپس با همکاری شاگرد سابق خود ریچارد تیلور، اما به نظر می رسید همه چیز بیهوده بود. در پایان سال 1993، شایعاتی منتشر شد مبنی بر اینکه مدرک وایلز در آزمایش شکست خورده است، اما میزان جدی بودن این شکست مشخص نبود. ریاضیدانان شروع به اعمال فشار بر ویلز کردند تا جزئیات کارش را فاش کند، خواه تکمیل شده باشد یا نه، تا جامعه وسیع‌تری از ریاضیدانان بتوانند هر آنچه را که او به دست آورده بود، کشف و استفاده کنند. وایلز به جای تصحیح سریع اشتباه خود، فقط پیچیدگی های اضافی را در اثبات آخرین قضیه فرما کشف کرد و در نهایت متوجه شد که چقدر دشوار است.

وایلز بیان می کند که صبح روز 19 سپتامبر 1994 در آستانه تسلیم شدن و تسلیم شدن قرار داشت و تقریباً خود را به این واقعیت که شکست خورده است تسلیم کرد. او حاضر بود کارهای ناتمام خود را منتشر کند تا دیگران بتوانند بر اساس آن کار کنند و بفهمند کجا اشتباه کرده است. ریاضیدان انگلیسی تصمیم گرفت آخرین فرصت را به خود بدهد و این قضیه را برای آخرین بار تجزیه و تحلیل کرد تا دلایل اصلی کار نکردن رویکردش را بفهمد، وقتی ناگهان متوجه شد که رویکرد کولیواژین-فلاک تا زمانی که اثبات را در آن وارد نکند، کار نخواهد کرد. فرآیندی که نظریه ایواساوا را به کار انداخته است.

در 6 اکتبر، وایلز از سه همکار (از جمله فالتینز) خواست تا کار جدیدش را بررسی کنند و در 24 اکتبر 1994، دو نسخه خطی، "منحنی های بیضوی مدولار و آخرین قضیه فرما" و "ویژگی های نظری حلقه برخی از جبرهای هکی" را ارائه کرد. "، که وایلز دومی را با تیلور نوشت و استدلال کرد که شرایط خاصی برای توجیه مرحله اصلاح شده در مقاله اصلی وجود دارد.

این دو مقاله بررسی و در نهایت به عنوان یک نسخه کامل در شماره مه 1995 Annals of Mathematics منتشر شد. محاسبات جدید اندرو به طور گسترده مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت و در نهایت توسط جامعه علمی پذیرفته شد. این کارها قضیه مدولاریته را برای منحنی‌های بیضوی نیمه‌پایدار، گام نهایی برای اثبات آخرین قضیه فرما، 358 سال پس از ایجاد آن، ایجاد کردند.

تاریخچه مشکل بزرگ

حل این قضیه برای قرن های متمادی بزرگترین مشکل در ریاضیات در نظر گرفته شده است. در سال 1816 و دوباره در سال 1850، آکادمی علوم فرانسه جایزه ای برای اثبات کلی آخرین قضیه فرما ارائه کرد. در سال 1857، آکادمی 3000 فرانک و یک مدال طلا به کومر برای تحقیقاتش در مورد اعداد ایده آل اعطا کرد، اگرچه او برای این جایزه درخواست نکرد. جایزه دیگری در سال 1883 توسط آکادمی بروکسل به او پیشنهاد شد.

جایزه ولفسکهل

در سال 1908، پل ولفسکهل، صنعتگر و ریاضیدان آماتور آلمانی، 100000 مارک طلا (مبلغ زیادی برای آن زمان) به عنوان جایزه برای اثبات کامل آخرین قضیه فرما به آکادمی علوم گوتینگن وصیت کرد. در 27 ژوئن 1908، آکادمی نه قانون جوایز را منتشر کرد. از جمله، این قوانین مستلزم انتشار شواهد در یک مجله معتبر بود. قرار بود این جایزه تا دو سال پس از انتشار اعطا نشود. این مسابقه قرار بود در 13 سپتامبر 2007 منقضی شود - تقریباً یک قرن پس از شروع. در 27 ژوئن 1997، ویلز جایزه ولفشل و سپس 50000 دلار دیگر را دریافت کرد. در مارس 2016، او 600000 یورو از دولت نروژ به عنوان بخشی از جایزه آبل برای "اثبات خیره کننده آخرین قضیه فرما با استفاده از حدس مدولاریت برای منحنی های بیضوی نیمه مستحکم، که عصر جدیدی را در نظریه اعداد باز می کند" دریافت کرد. این یک پیروزی جهانی برای انگلیسی متواضع بود.

قبل از اثبات وایلز، قضیه فرما، همانطور که قبلاً ذکر شد، برای قرن ها مطلقاً غیرقابل حل تلقی می شد. هزاران مدرک نادرست در زمان‌های مختلف به کمیته Wolfskehl ارائه شد که به حدود 10 فوت (3 متر) مکاتبات می‌رسید. تنها در سال اول وجود جایزه (1907-1908)، 621 درخواست برای حل قضیه ارائه شد، اگرچه در دهه 1970 این تعداد به تقریباً 3-4 برنامه در ماه کاهش یافت. به گفته F. Schlichting، بازبین Wolfschel، بیشتر شواهد مبتنی بر روش های ابتدایی تدریس شده در مدارس بوده و اغلب توسط "افرادی با پیشینه فنی اما حرفه ای ناموفق" ارائه شده است. به گفته مورخ ریاضیات هاوارد ایوز، آخرین قضیه فرما نوعی رکورد را ثبت کرد - این قضیه با بیشترین اثبات نادرست است.

لورهای فرما نصیب ژاپنی ها شد

همانطور که قبلاً ذکر شد، در حدود سال 1955، گورو شیمورا و یوتاکا تانیاما، ریاضیدانان ژاپنی، ارتباط احتمالی بین دو شاخه ظاهراً کاملاً متفاوت ریاضی - منحنی های بیضوی و اشکال مدولار را کشف کردند. قضیه مدولاریت حاصل (که در آن زمان به عنوان حدس تانیاما-شیمورا شناخته می شد) از تحقیقات آنها بیان می کند که هر منحنی بیضوی مدولار است، به این معنی که می تواند با یک شکل مدولار منحصر به فرد مرتبط باشد.

این نظریه در ابتدا به عنوان بعید یا بسیار گمانه‌زنی رد شد، اما زمانی که نظریه‌پرداز اعداد آندره ویل شواهدی برای حمایت از یافته‌های ژاپنی یافت، جدی‌تر تلقی شد. در نتیجه، این حدس غالباً حدس تانیاما-شیمورا-ویل نامیده می شد. این بخشی از برنامه Langlands شد، که فهرستی از فرضیه های مهمی است که در آینده نیاز به اثبات دارند.

حتی پس از توجه جدی، این حدس توسط ریاضیدانان مدرن به عنوان اثبات بسیار دشوار یا شاید غیرممکن شناخته شد. اکنون این قضیه است که در انتظار اندرو وایلز است که می تواند با حل خود تمام جهان را شگفت زده کند.

قضیه فرما: اثبات پرلمن

علیرغم افسانه رایج، گریگوری پرلمن، ریاضیدان روسی، با همه نبوغ خود، هیچ ارتباطی با قضیه فرما ندارد. امری که اما به هیچ وجه چیزی از خدمات بی شمار او به جامعه علمی کم نمی کند.

بنابراین، آخرین قضیه فرما (که اغلب آن را آخرین قضیه فرما می نامند)، که در سال 1637 توسط ریاضیدان برجسته فرانسوی پیر فرما فرموله شد، ماهیت بسیار ساده ای دارد و برای هرکسی که تحصیلات متوسطه دارد قابل درک است. می گوید که فرمول a به توان n + b به توان n = c به توان n راه حل های طبیعی (یعنی نه کسری) برای n > 2 ندارد. همه چیز ساده و واضح به نظر می رسد، اما بهترین ریاضیدانان و آماتورهای معمولی بیش از سه قرن و نیم با جستجوی راه حل مبارزه کردند.

چرا او اینقدر معروف است؟ حالا ما متوجه می شویم ...



آیا بسیاری از قضایای اثبات شده، اثبات نشده و هنوز اثبات نشده وجود دارد؟ نکته اینجاست که آخرین قضیه فرما نشان دهنده بزرگترین تضاد بین سادگی فرمول و پیچیدگی اثبات است. آخرین قضیه فرما یک مسئله فوق‌العاده دشوار است، و با این حال، فرمول‌بندی آن برای هر کسی که کلاس پنجم دبیرستان دارد قابل درک است، اما حتی هر ریاضیدان حرفه‌ای نمی‌تواند اثبات آن را درک کند. نه در فیزیک، نه در شیمی، نه در زیست شناسی و نه در ریاضیات، هیچ مسئله ای وجود ندارد که بتوان آن را به این سادگی فرموله کرد، اما برای مدت طولانی حل نشده باقی ماند. 2. از چه چیزی تشکیل شده است؟

بیایید با شلوار فیثاغورثی شروع کنیم جمله بندی واقعاً ساده است - در نگاه اول. همانطور که از دوران کودکی می دانیم، "شلوار فیثاغورثی از همه طرف برابر است." مسئله بسیار ساده به نظر می رسد زیرا بر اساس یک گزاره ریاضی است که همه می دانند - قضیه فیثاغورث: در هر مثلث قائم الزاویه، مربع ساخته شده بر روی فرضیه برابر است با مجموع مربع های ساخته شده بر روی پاها.

در قرن پنجم قبل از میلاد. فیثاغورث برادری فیثاغورثی را تأسیس کرد. فیثاغورثی‌ها، در میان چیزهای دیگر، سه‌قلوهای صحیح را که برابری x2+y²=z2 را برآورده می‌کردند، مطالعه کردند. آنها ثابت کردند که بی نهایت سه گانه فیثاغورثی وجود دارد و فرمول های کلی برای یافتن آنها به دست آوردند. احتمالاً سعی کرده اند به دنبال درجه های C و بالاتر بگردند. فیثاغورثی ها که متقاعد شده بودند که این کار مؤثر نبود، تلاش های بیهوده خود را کنار گذاشتند. اعضای اخوان بیشتر فیلسوف و زیباشناس بودند تا ریاضیدان.


یعنی انتخاب مجموعه‌ای از اعداد که تساوی x²+y²=z² را کاملاً برآورده می‌کنند آسان است.

شروع از 3، 4، 5 - در واقع، یک دانش آموز جوان می داند که 9 + 16 = 25.

یا 5، 12، 13: 25 + 144 = 169. عالی است.

و غیره. اگر معادله مشابه x³+y³=z³ را در نظر بگیریم چه می شود؟ شاید چنین اعدادی هم وجود داشته باشد؟




و به همین ترتیب (شکل 1).

بنابراین، معلوم می شود که آنها نیستند. اینجاست که ترفند شروع می شود. سادگی ظاهری است، زیرا اثبات وجود چیزی، بلکه برعکس، عدم وجود آن دشوار است. وقتی نیاز به اثبات وجود راه حل دارید، می توانید و باید به سادگی این راه حل را ارائه دهید.

اثبات غیبت دشوارتر است: مثلاً یکی می گوید: فلان معادله راه حل ندارد. او را در یک گودال بریزیم؟ آسان: بام - و اینجاست، راه حل! (راه حل بدهید). و بس، حریف شکست خورده است. چگونه غیبت را ثابت کنیم؟

بگویید: "من چنین راه حل هایی پیدا نکرده ام"؟ یا شاید خوب به نظر نمی رسید؟ اگر آنها وجود داشته باشند، فقط بسیار بزرگ، بسیار بزرگ، به طوری که حتی یک کامپیوتر فوق قدرتمند هنوز قدرت کافی را نداشته باشد، چه؟ این چیزی است که سخت است.

این را می توان به صورت بصری به این صورت نشان داد: اگر دو مربع با اندازه های مناسب را بردارید و آنها را به مربع های واحد جدا کنید، از این دسته از مربع های واحد یک مربع سوم به دست می آید (شکل 2):


اما بیایید همین کار را با بعد سوم انجام دهیم (شکل 3) - کار نمی کند. مکعب های کافی وجود ندارد، یا مکعب های اضافی باقی مانده است:





اما ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم، پیر دو فرما، مشتاقانه معادله کلی x را مطالعه کرد. n +y n =z n . و در نهایت نتیجه گرفتم: برای n>2 هیچ راه حل عدد صحیحی وجود ندارد. اثبات فرما به طور جبران ناپذیری گم شده است. دست نوشته ها می سوزند! تنها چیزی که باقی می‌ماند اظهارات او در حساب دیوفانتوس است: «من یک مدرک واقعاً شگفت‌انگیز برای این گزاره پیدا کرده‌ام، اما حاشیه‌ها در اینجا بسیار محدود هستند که نمی‌توان آن را دربرداشت».

در واقع به یک قضیه بدون اثبات، فرضیه می گویند. اما فرما به این شهرت دارد که هرگز اشتباه نمی کند. حتی اگر مدرکی دال بر بیانیه ای باقی نگذاشته بود، متعاقباً تأیید شد. علاوه بر این، فرما تز خود را برای n=4 ثابت کرد. بنابراین، فرضیه ریاضیدان فرانسوی به عنوان آخرین قضیه فرما در تاریخ ثبت شد.

پس از فرما، ذهن های بزرگی مانند لئونارد اویلر در جستجوی یک دلیل کار کردند (در سال 1770 او راه حلی برای n = 3 پیشنهاد کرد).

آدرین لژاندر و یوهان دیریکله (این دانشمندان به طور مشترک برای n = 5 در سال 1825 اثبات کردند)، گابریل لام (که اثبات n = 7 را یافت) و بسیاری دیگر. در اواسط دهه 80 قرن گذشته، مشخص شد که دنیای علمی در راه حل نهایی آخرین قضیه فرما است، اما تنها در سال 1993 ریاضیدانان دیدند و باور کردند که حماسه سه قرنی جستجو برای اثبات آخرین قضیه فرما عملا تمام شده بود.

به راحتی نشان داده می شود که اثبات قضیه فرما فقط برای n ساده کافی است: 3، 5، 7، 11، 13، 17، ... برای n مرکب، اثبات معتبر باقی می ماند. اما بی نهایت اعداد اول وجود دارد...

در سال 1825، با استفاده از روش سوفی ژرمن، ریاضیدانان زن، دیریکله و لژاندر به طور مستقل قضیه n=5 را اثبات کردند. در سال 1839، گابریل لام فرانسوی با استفاده از همین روش، صحت قضیه را برای n=7 نشان داد. به تدریج این قضیه تقریباً برای همه n کمتر از صد ثابت شد.


سرانجام، ارنست کومر، ریاضیدان آلمانی، در مطالعه ای درخشان نشان داد که این قضیه به طور کلی با استفاده از روش های ریاضیات قرن نوزدهم قابل اثبات نیست. جایزه آکادمی علوم فرانسه، که در سال 1847 برای اثبات قضیه فرما تأسیس شد، بدون اعطا باقی ماند.

در سال 1907، پل ولفسکهل، صنعتگر ثروتمند آلمانی، به دلیل عشق نافرجام تصمیم گرفت جان خود را بگیرد. او مانند یک آلمانی واقعی، تاریخ و زمان خودکشی را تعیین کرد: دقیقاً نیمه شب. در روز آخر وصیت کرد و به دوستان و اقوام نامه نوشت. همه چیز قبل از نیمه شب تمام شد. باید گفت که پل به ریاضیات علاقه داشت. بدون اینکه کاری انجام دهد، به کتابخانه رفت و شروع به خواندن مقاله معروف کومر کرد. ناگهان به نظرش رسید که کومر در استدلال خود اشتباه کرده است. ولفسکل با مدادی در دست شروع به تحلیل این قسمت از مقاله کرد. نیمه شب گذشت، صبح فرا رسید. شکاف در اثبات پر شده است. و دلیل خودکشی اکنون کاملاً مضحک به نظر می رسید. پولس نامه های خداحافظی خود را پاره کرد و وصیت نامه خود را بازنویسی کرد.

او خیلی زود به مرگ طبیعی درگذشت. وارثان کاملاً شگفت زده شدند: 100000 مارک (بیش از 1000000 پوند استرلینگ فعلی) به حساب انجمن علمی سلطنتی گوتینگن واریز شد که در همان سال مسابقه ای را برای جایزه Wolfskehl اعلام کرد. 100000 نمره به فردی که قضیه فرما را اثبات کرد تعلق گرفت. برای رد این قضیه هیچ پنیگی تعلق نگرفت...

اکثر ریاضیدانان حرفه ای جستجو برای اثبات آخرین قضیه فرما را کاری ناامیدکننده می دانستند و قاطعانه از اتلاف وقت برای چنین تمرین بی فایده ای خودداری می کردند. اما آماتورها یک انفجار داشتند. چند هفته پس از اعلام این خبر، بهمنی از "شواهد" به دانشگاه گوتینگن رسید. پروفسور E.M. Landau که مسئولیتش تجزیه و تحلیل شواهد ارسال شده بود، کارتهایی را بین دانشجویانش توزیع کرد:


عزیز . . . . . . .

از اینکه نسخه خطی را همراه با اثبات آخرین قضیه فرما برای من ارسال کردید متشکرم. اولین خطا در صفحه ... در ردیف... . به همین دلیل، کل اثبات اعتبار خود را از دست می دهد.
پروفسور E. M. Landau











در سال 1963 پل کوهن با تکیه بر یافته های گودل حل نشدنی یکی از بیست و سه مسئله هیلبرت - فرضیه پیوستگی - را ثابت کرد. چه می شود اگر آخرین قضیه فرما نیز غیر قابل تصمیم گیری باشد؟! اما متعصبان واقعی قضیه بزرگ اصلاً ناامید نشدند. ظهور کامپیوترها ناگهان روش جدیدی برای اثبات به ریاضیدانان داد. پس از جنگ جهانی دوم، تیم هایی از برنامه نویسان و ریاضیدانان آخرین قضیه فرما را برای تمام مقادیر n تا 500، سپس تا 1000 و بعداً تا 10000 اثبات کردند.

در دهه 1980، ساموئل واگستاف حد مجاز را به 25000 رساند و در دهه 1990، ریاضیدانان اعلام کردند که آخرین قضیه فرما برای تمام مقادیر n تا 4 میلیون صادق است. اما اگر حتی یک تریلیون تریلیون را از بی نهایت کم کنید، کوچکتر نمی شود. ریاضیدانان با آمار قانع نمی شوند. برای اثبات قضیه بزرگ به معنای اثبات آن برای همه n رفتن به بی نهایت بود.




در سال 1954، دو دوست جوان ریاضیدان ژاپنی شروع به تحقیق در مورد فرم های مدولار کردند. این فرم‌ها مجموعه‌ای از اعداد را تولید می‌کنند که هر کدام سری خاص خود را دارند. به طور تصادفی، تانیاما این سریال ها را با سریال های تولید شده توسط معادلات بیضی مقایسه کرد. مطابقت داشتند! اما اشکال مدولار اجسام هندسی هستند و معادلات بیضوی جبری هستند. هیچ ارتباطی بین چنین اشیاء متفاوتی پیدا نشده است.

با این حال، پس از آزمایش دقیق، دوستان یک فرضیه را مطرح کردند: هر معادله بیضوی یک دوقلو دارد - یک شکل مدولار، و بالعکس. این فرضیه بود که پایه و اساس یک جهت کامل در ریاضیات شد، اما تا زمانی که فرضیه تانیاما-شیمورا ثابت نشد، کل ساختمان هر لحظه ممکن بود فرو بریزد.

در سال 1984، گرهارد فری نشان داد که راه حل معادله فرما، در صورت وجود، می تواند در برخی از معادله های بیضوی گنجانده شود. دو سال بعد، پروفسور کن ریبت ثابت کرد که این معادله فرضی نمی تواند مشابهی در دنیای مدولار داشته باشد. از این به بعد، آخرین قضیه فرما با حدس تانیاما-شیمورا پیوند ناگسستنی داشت. پس از اثبات مدولار بودن هر منحنی بیضوی، نتیجه می گیریم که معادله بیضوی با جواب معادله فرما وجود ندارد و آخرین قضیه فرما بلافاصله اثبات می شود. اما تا سی سال امکان اثبات فرضیه تانیاما-شیمورا وجود نداشت و امید به موفقیت کمتر و کمتر می شد.

اندرو وایلز در سال 1963، زمانی که تنها ده سال داشت، شیفته ریاضیات بود. هنگامی که او در مورد قضیه بزرگ مطلع شد، متوجه شد که نمی تواند از آن دست بکشد. در دوران دانش آموزی، دانش آموز و فارغ التحصیل، خود را برای این کار آماده کرد.

وایلز پس از اطلاع از یافته های کن ریبت، با سرسختی در اثبات حدس تانیاما-شیمورا غوطه ور شد. او تصمیم گرفت در انزوا و مخفی کاری کامل کار کند. "من متوجه شدم که هر چیزی که با آخرین قضیه فرما ربطی داشته باشد، علاقه زیادی را برمی انگیزد... واضح است که تعداد زیادی از تماشاگران در دستیابی به هدف دخالت می کنند." هفت سال کار سخت نتیجه داد؛ وایلز سرانجام اثبات حدس تانیاما-شیمورا را تکمیل کرد.

در سال 1993، اندرو وایلز، ریاضیدان انگلیسی، اثبات آخرین قضیه فرما را به جهانیان ارائه کرد (وایلز مقاله هیجان انگیز خود را در کنفرانسی در مؤسسه سر آیزاک نیوتن در کمبریج خواند.)، کاری که بیش از هفت سال طول کشید.







در حالی که تبلیغات در مطبوعات ادامه داشت، کار جدی برای تأیید شواهد آغاز شد. قبل از اینکه شواهد دقیق و دقیق تلقی شوند، هر مدرکی باید به دقت بررسی شود. وایلز تابستان بی قراری را در انتظار بازخورد داوران گذراند، به این امید که بتواند تایید آنها را جلب کند. در پایان ماه اوت، کارشناسان این قضاوت را به اندازه کافی ثابت نکردند.

معلوم شد که این تصمیم حاوی یک خطای فاحش است، اگرچه به طور کلی صحیح است. وایلز تسلیم نشد و از متخصص مشهور نظریه اعداد ریچارد تیلور کمک گرفت و قبلاً در سال 1994 اثبات تصحیح شده و بسط قضیه را منتشر کردند. شگفت انگیزترین چیز این است که این کار 130 (!) صفحه در مجله ریاضی "Annals of Mathematics" را اشغال کرده است. اما داستان به همین جا ختم نشد - به نقطه نهایی فقط در سال بعد، 1995 رسید، زمانی که نسخه نهایی و "ایده آل"، از نظر ریاضی، نسخه اثبات منتشر شد.

«...نیم دقیقه بعد از شروع شام جشن به مناسبت تولدش، دستنوشته اثبات کامل را به نادیا تقدیم کردم» (اندرو ولز). آیا هنوز نگفته ام که ریاضیدانان آدم های عجیبی هستند؟






این بار هیچ شکی در شواهد وجود نداشت. دو مقاله تحت دقیق ترین تجزیه و تحلیل قرار گرفتند و در ماه مه 1995 در Annals of Mathematics منتشر شدند.

زمان زیادی از آن لحظه گذشته است، اما هنوز این عقیده در جامعه وجود دارد که آخرین قضیه فرما حل‌ناپذیر است. اما حتی کسانی که در مورد اثبات یافت شده می دانند به کار خود در این جهت ادامه می دهند - تعداد کمی از آنها راضی هستند که قضیه بزرگ به یک راه حل 130 صفحه ای نیاز دارد!

بنابراین، اکنون تلاش بسیاری از ریاضیدانان (عمدتاً آماتور، نه دانشمندان حرفه ای) در جستجوی یک اثبات ساده و مختصر است، اما این راه، به احتمال زیاد، به جایی نخواهد رسید...

برای اعداد صحیح n بزرگتر از 2، معادله x n + y n = z n هیچ جواب غیر صفر در اعداد طبیعی ندارد.

احتمالاً از دوران مدرسه خود به یاد دارید قضیه فیثاغورس: مجذور هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های ساق. همچنین ممکن است مثلث قائم الزاویه کلاسیک با ضلع هایی که طول آنها به نسبت 3: 4: 5 است را به خاطر بیاورید. برای آن، قضیه فیثاغورث به این صورت است:

این مثالی از حل معادله فیثاغورث تعمیم یافته در اعداد صحیح غیر صفر با n= 2. آخرین قضیه فرما (همچنین "آخرین قضیه فرمت" و "آخرین قضیه فرمت" نیز نامیده می شود) عبارتی است که برای مقادیر n> 2 معادله فرم x n + y n = z nهیچ جواب غیر صفر در اعداد طبیعی ندارند.

تاریخچه آخرین قضیه فرما بسیار جالب و آموزنده است و نه تنها برای ریاضیدانان. پیر دو فرما به توسعه زمینه های مختلف ریاضیات کمک کرد، اما بخش اصلی میراث علمی او تنها پس از مرگ منتشر شد. واقعیت این است که ریاضیات برای فرما چیزی شبیه به یک سرگرمی بود و نه یک شغل حرفه ای. او با ریاضیدانان برجسته زمان خود مکاتبه داشت، اما برای انتشار آثار خود تلاشی نکرد. نوشته های علمی فرما عمدتاً به صورت مکاتبات خصوصی و یادداشت های تکه تکه شده است که اغلب در حاشیه کتاب های مختلف نوشته شده است. در حاشیه است (جلد دوم «حساب» یونان باستان دیوفانت. - توجه داشته باشید مترجم) بلافاصله پس از مرگ ریاضیدان، فرزندان صورت بندی قضیه معروف و پس نوشته را کشف کردند:

« من یک مدرک واقعا شگفت انگیز برای این موضوع پیدا کردم، اما این زمینه ها برای آن بسیار باریک هستند».

افسوس، ظاهراً فرما هرگز به خود زحمت نداد که "اثبات معجزه آسایی" را که پیدا کرده بود بنویسد و فرزندان بیش از سه قرن در جستجوی آن ناموفق بودند. از میان تمام میراث علمی پراکنده فرما، که حاوی اظهارات شگفت انگیز بسیاری است، این قضیه بزرگ بود که سرسختانه از حل شدن خودداری کرد.

هر کس تلاش کرده است آخرین قضیه فرما را اثبات کند، بیهوده است! یکی دیگر از ریاضیدانان بزرگ فرانسوی، رنه دکارت (1596-1650)، فرما را "فخرفروش" نامید، و ریاضیدان انگلیسی جان والیس (1616-1703) او را "فرانسوی لعنتی" نامید. با این حال، خود فرما هنوز اثباتی از قضیه خود را برای این مورد به جا گذاشته است n= 4. با اثبات برای n= 3 توسط ریاضیدان بزرگ سوئیسی-روسی قرن 18، لئونارد اویلر (1707-1707) حل شد، پس از آن، قادر به یافتن شواهدی برای n> 4، به شوخی پیشنهاد کرد که خانه فرما برای یافتن کلید شواهد گمشده جستجو شود. در قرن نوزدهم، روش‌های جدید در تئوری اعداد، این امکان را برای بسیاری از اعداد صحیح در 200، اما نه برای همه، فراهم کرد.

در سال 1908 جایزه ای به مبلغ 100000 مارک آلمان برای حل این مشکل تعیین شد. صندوق جایزه توسط صنعتگر آلمانی پل ولفسکهل به ارث رسیده بود که طبق افسانه ها قصد خودکشی داشت، اما آنقدر تحت تأثیر آخرین قضیه فرما قرار گرفت که نظر خود را در مورد مرگ تغییر داد. با ظهور ماشین آلات و سپس کامپیوترها، نوار ارزش افزوده شد nشروع به افزایش و بالاتر رفتن کرد - در آغاز جنگ جهانی دوم به 617 نفر، در سال 1954 به 4001 و در سال 1976 به 125000 نفر رسید. در پایان قرن بیستم، قوی‌ترین رایانه‌ها در آزمایشگاه‌های نظامی در لوس آلاموس (نیومکزیکو، ایالات متحده آمریکا) برای حل مشکل فرما در پس‌زمینه برنامه‌ریزی شدند (شبیه به حالت محافظ صفحه نمایش رایانه شخصی). بنابراین، می توان نشان داد که این قضیه برای مقادیر فوق العاده بزرگ صادق است x، y، zو n، اما این نمی تواند به عنوان یک اثبات دقیق عمل کند، زیرا هر یک از مقادیر زیر nیا سه گانه اعداد طبیعی می توانند این قضیه را به عنوان یک کل رد کنند.

سرانجام، در سال 1994، ریاضیدان انگلیسی اندرو جان وایلز (متولد 1953) که در پرینستون کار می کرد، اثباتی از آخرین قضیه فرما منتشر کرد که پس از برخی اصلاحات، جامع تلقی شد. این اثبات بیش از صد صفحه مجله طول کشید و مبتنی بر استفاده از دستگاه مدرن ریاضیات عالی بود که در دوره فرما توسعه نیافته بود. پس منظور فرما از گذاشتن پیامی در حاشیه کتاب مبنی بر اینکه مدرک را پیدا کرده است، چه بوده است؟ اکثر ریاضیدانانی که با آنها در مورد این موضوع صحبت کردم، خاطرنشان کردند که در طول قرن ها، بیش از حد کافی اثبات نادرست آخرین قضیه فرما وجود داشته است، و به احتمال زیاد، خود فرما نیز اثبات مشابهی پیدا کرده است، اما نتوانسته این خطا را تشخیص دهد. در آن با این حال، این امکان وجود دارد که هنوز شواهد کوتاه و ظریفی برای آخرین قضیه فرما وجود داشته باشد که هنوز کسی آن را پیدا نکرده است. فقط یک چیز را می توان با قاطعیت گفت: امروز ما به یقین می دانیم که این قضیه درست است. فکر می‌کنم اکثر ریاضی‌دانان بدون قید و شرط با اندرو وایلز موافق هستند، که در مورد اثبات خود اظهار داشت: «الان بالاخره ذهن من در آرامش است».