معادلات درجه دوم.

معادله درجه دوم- معادله جبری شکل کلی

که در آن x یک متغیر آزاد است،

a، b، c، ضرایب هستند، و

اصطلاح سه جمله ای مربع نامیده می شود.

روش های حل معادلات درجه دوم.

1. روش : فاکتورگیری سمت چپ معادله.

بیایید معادله را حل کنیم x 2 + 10x - 24 = 0. بیایید سمت چپ را فاکتورسازی کنیم:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

بنابراین، معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

(x + 12) (x - 2) = 0

از آنجایی که محصول صفر است، حداقل یکی از عوامل آن صفر است. بنابراین، سمت چپ معادله صفر می شود x = 2و همچنین چه زمانی x = - 12. این به این معنی است که تعداد 2 و - 12 ریشه های معادله هستند x 2 + 10x - 24 = 0.

2. روش : روش انتخاب مربع کامل

بیایید معادله را حل کنیم x 2 + 6x - 7 = 0. یک مربع کامل در سمت چپ انتخاب کنید.

برای این کار عبارت x 2 + 6x را به شکل زیر می نویسیم:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

در عبارت به دست آمده، جمله اول مجذور عدد x و دومی حاصل ضرب دو برابر x در 3 است. بنابراین، برای بدست آوردن یک مربع کامل، باید 3 2 را اضافه کنید، زیرا

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

اجازه دهید اکنون سمت چپ معادله را تبدیل کنیم

x 2 + 6x - 7 = 0,

اضافه کردن به آن و تفریق 3 2. ما داریم:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

بنابراین، این معادله را می توان به صورت زیر نوشت:

(x + 3) 2 - 16 = 0، (x + 3) 2 = 16.

از این رو، x + 3 - 4 = 0، x 1 = 1، یا x + 3 = -4، x 2 = -7.

3. روش :حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول

بیایید هر دو طرف معادله را ضرب کنیم

تبر 2 + bx + c = 0، a ≠ 0

در 4a و به ترتیب داریم:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0،

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0،

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac،

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac،

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac،

مثال ها.

آ)بیایید معادله را حل کنیم: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4، b = 7، c = 3، D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1،

D > 0،دو ریشه متفاوت؛

بنابراین، در مورد تمایز مثبت، یعنی. در

b 2 - 4ac > 0، معادله تبر 2 + bx + c = 0دو ریشه متفاوت دارد

ب)بیایید معادله را حل کنیم: 4x 2 - 4x + 1 = 0،

a = 4، b = - 4، c = 1، D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 = 0،

D = 0،یک ریشه؛

بنابراین، اگر ممیز صفر باشد، یعنی. b 2 - 4ac = 0، سپس معادله

تبر 2 + bx + c = 0یک ریشه دارد

V)بیایید معادله را حل کنیم: 2x 2 + 3x + 4 = 0،

a = 2، b = 3، c = 4، D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13، D< 0.

این معادله ریشه ندارد.

بنابراین، اگر ممیز منفی باشد، یعنی. b 2 - 4ac< 0 ، معادله

تبر 2 + bx + c = 0ریشه ندارد

فرمول (1) ریشه های یک معادله درجه دوم تبر 2 + bx + c = 0به شما امکان می دهد ریشه ها را پیدا کنید هر معادله درجه دوم (در صورت وجود)، از جمله کاهش یافته و ناقص. فرمول (1) به صورت شفاهی به صورت زیر بیان می شود: ریشه های یک معادله درجه دوم برابر با کسری است که عدد آن برابر است با ضریب دوم که با علامت مخالف گرفته می شود، به اضافه منهای جذر مربع این ضریب بدون اینکه حاصل ضرب ضریب اول را با جمله آزاد چهار برابر کنیم. مخرج دو برابر ضریب اول است.

4. روش: حل معادلات با استفاده از قضیه ویتا.

همانطور که مشخص است، معادله درجه دوم کاهش یافته شکل دارد

x 2 + px + c = 0.(1)

ریشه های آن قضیه ویتا را برآورده می کند، که، چه زمانی a = 1به نظر می رسد

x 1 x 2 = q،

x 1 + x 2 = - p

از این نتیجه می‌توان به نتایج زیر رسید (از ضرایب p و q می‌توان نشانه‌های ریشه‌ها را پیش‌بینی کرد).

الف) اگر نیمه عضو qمعادله (1) مثبت است ( q > 0) سپس معادله دارای دو ریشه علامت مساوی است و این به ضریب دوم بستگی دارد پ. اگر آر< 0 ، هر دو ریشه اگر منفی هستند آر< 0 ، پس هر دو ریشه مثبت هستند.

مثلا،

x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2و x 2 = 1،زیرا q = 2 > 0و p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7و x 2 = - 1،زیرا q = 7 > 0و p= 8 > 0.

ب) اگر عضو آزاد باشد qمعادله (1) منفی است ( q< 0 ) سپس معادله دارای دو ریشه با علامت متفاوت است و ریشه بزرگتر اگر مثبت خواهد بود پ< 0 ، یا منفی اگر p > 0 .

مثلا،

x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5و x 2 = 1،زیرا q= - 5< 0 و p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9و x 2 = - 1،زیرا q = - 9< 0 و p = - 8< 0.

مثال ها.

1) بیایید معادله را حل کنیم 345x 2 – 137x – 208 = 0.

راه حل.زیرا a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0)که

x 1 = 1، x 2 = c/a = -208/345.

پاسخ 1؛ -208/345.

2) معادله را حل کنید 132x 2 – 247x + 115 = 0.

راه حل.زیرا a + b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0)که

x 1 = 1، x 2 = c/a = 115/132.

پاسخ 1؛ 115/132.

ب. اگر ضریب دوم b = 2kیک عدد زوج است، سپس فرمول ریشه است

مثال.

بیایید معادله را حل کنیم 3x2 - 14x + 16 = 0.

راه حل. ما داریم: a = 3، b = - 14، c = 16، k = - 7;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1، D > 0،دو ریشه متفاوت؛

پاسخ: 2; 8/3

که در. معادله کاهش یافته

x 2 + px + q = 0

منطبق با یک معادله کلی است که در آن a = 1, b = pو c = q. بنابراین، برای معادله درجه دوم کاهش یافته، فرمول ریشه است

شکل می گیرد:

فرمول (3) به ویژه برای استفاده راحت است آر- عدد زوج.

مثال.بیایید معادله را حل کنیم x 2 – 14x – 15 = 0.

راه حل.ما داریم: x 1.2 = 7±

پاسخ: x 1 = 15; x 2 = -1.

5. روش: حل معادلات به صورت گرافیکی

مثال. معادله x2 - 2x - 3 = 0 را حل کنید.

بیایید تابع y = x2 - 2x - 3 را رسم کنیم

1) داریم: a = 1، b = -2، x0 = = 1، y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. این بدان معنی است که راس سهمی نقطه (1؛ -4) و محور سهمی خط مستقیم x = 1 است.

2) دو نقطه از محور x را در نظر بگیرید که با محور سهمی متقارن هستند، برای مثال نقاط x = -1 و x = 3.

ما f(-1) = f(3) = 0 داریم. بیایید نقاط (-1; 0) و (3; 0) را در صفحه مختصات بسازیم.

3) از طریق نقاط (-1؛ 0)، (1؛ -4)، (3؛ 0) یک سهمی رسم می کنیم (شکل 68).

ریشه های معادله x2 - 2x - 3 = 0 ابسیساهای نقاط تقاطع سهمی با محور x هستند. این بدان معنی است که ریشه های معادله عبارتند از: x1 = - 1، x2 - 3.

بیایید ویژگی های اساسی درجه ها را به یاد بیاوریم. بگذارید a > 0، b > 0، n، m هر عدد واقعی باشد. سپس
1) a n a m = a n + m

2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)

3) (a n) m = a nm

4) (ab) n = a n b n

5) \(\چپ(\frac(a)(b) \راست)^n = \frac(a^n)(b^n) \)

7) a n > 1، اگر a > 1، n > 0

8) a n 1، n
9) a n > a m اگر 0 باشد

در عمل، اغلب از توابع شکل y = a x استفاده می شود، جایی که a یک عدد مثبت داده شده است، x یک متغیر است. چنین توابعی نامیده می شوند نشان دهنده. این نام با این واقعیت توضیح داده می شود که آرگومان تابع نمایی توان است و پایه توان عدد داده شده است.

تعریف.یک تابع نمایی تابعی از شکل y = a x است که a یک عدد معین است، a > 0، \(a \neq 1\)

تابع نمایی دارای ویژگی های زیر است

1) دامنه تعریف تابع نمایی مجموعه همه اعداد حقیقی است.
این ویژگی از این واقعیت ناشی می شود که توان a x که در آن a > 0 برای تمام اعداد واقعی x تعریف شده است.

2) مجموعه مقادیر تابع نمایی مجموعه تمام اعداد مثبت است.
برای تأیید این موضوع، باید نشان دهید که معادله a x = b، که در آن a > 0، \(a \neq 1\)، هیچ ریشه ای ندارد اگر \(b \leq 0\)، و یک ریشه برای هر b > دارد. 0 .

3) تابع نمایی y = a x در مجموعه تمام اعداد حقیقی اگر a> 1 باشد افزایش می یابد و اگر 0 کاهش می یابد. این از خواص درجه (8) و (9) نتیجه می شود

بیایید نمودارهایی از توابع نمایی y = a x برای a > 0 و برای 0 بسازیم. با استفاده از ویژگی های در نظر گرفته شده، توجه می کنیم که نمودار تابع y = a x برای a > 0 از نقطه (0؛ 1) می گذرد و در بالا قرار دارد. محور گاو
اگر x 0.
اگر x > 0 و |x| افزایش می یابد، نمودار به سرعت افزایش می یابد.

نمودار تابع y = a x در 0 اگر x > 0 و افزایش یابد، نمودار به سرعت به محور Ox (بدون عبور از آن) نزدیک می شود. بنابراین، محور Ox مجانب افقی نمودار است.
اگر x

معادلات نمایی

بیایید چندین مثال از معادلات نمایی را در نظر بگیریم، i.e. معادلاتی که در آنها مجهول در توان گنجانده شده است. حل معادلات نمایی اغلب به حل معادله a x = a b می رسد که در آن a > 0، \(a \neq 1\)، x یک مجهول است. این معادله با استفاده از خاصیت توان حل می‌شود: توان‌های با پایه یکسان a > 0، \(a \neq 1\) برابر هستند اگر و فقط اگر توان‌های آنها برابر باشند.

حل معادله 2 3x 3 x = 576
از آنجایی که 2 3x = (2 3) x = 8 x، 576 = 24 2، معادله را می توان به صورت 8 x 3 x = 24 2، یا به صورت 24 x = 24 2 نوشت که از آن x = 2 است.
پاسخ x=2

معادله 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25 را حل کنید
با برداشتن ضریب مشترک 3 x - 2 از براکت ها در سمت چپ، 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25، 3 x - 2 25 = 25 بدست می آوریم،
از این رو 3 x - 2 = 1، x - 2 = 0، x = 2
پاسخ x=2

معادله 3 x = 7 x را حل کنید
از آنجایی که \(7^x \neq 0 \) ، معادله را می توان به شکل \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \) نوشت که از آن \(\left(\frac(3) )( 7) \راست) ^x = 1 \)، x = 0
پاسخ x = 0

معادله 9 x - 4 3 x - 45 = 0 را حل کنید
با جایگزینی 3 x = t، این معادله به معادله درجه دوم t 2 - 4t - 45 = 0 کاهش می یابد. 3 x = -5.
معادله 3 x = 9 دارای ریشه x = 2 است و معادله 3 x = -5 ریشه ندارد، زیرا تابع نمایی نمی تواند مقادیر منفی بگیرد.
پاسخ x=2

حل معادله 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
بیایید معادله را به شکل بنویسیم
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2، از آنجا
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\چپ(\frac(2)(5) \راست) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
پاسخ x=2

حل معادله 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
از آنجایی که 3 > 0، \(3 \neq 1\)، پس معادله اصلی معادل معادله |x-1| = |x+3|
با مربع کردن این معادله، نتیجه آن (x - 1) 2 = (x + 3) 2 را به دست می آوریم که از آن
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9، 8x = -8، x = -1
بررسی نشان می دهد که x = -1 ریشه معادله اصلی است.
پاسخ x = -1

کابل LSV 2-7 16x0.12 متعلق به نوع گریدهای نواری است که با موفقیت برای نصب درون و بین دستگاهی دستگاه های الکتریکی و رادیویی الکترونیکی که در شبکه های برق با جریان مستقیم 350 ولت یا با ولتاژ 250 ولت کار می کنند استفاده می شود. ولتاژ متناوب در فرکانس های تا 50 هرتز. نصب سخت افزار با مشارکت انواع مختلف اتصال دهنده های پلاگین، استفاده از اتصال دهنده های چین دار و تماسی انجام می شود که برای آن می توان عایق را با استفاده از لحیم کاری سوراخ کرد و همچنین چسب ها و لاک هایی که بر عایق تأثیر نمی گذارند. اگر هسته ها توسط یک جامپر از هم جدا شوند، عایق به خطر نمی افتد. این برند کاملاً در مقابل تأثیر لرزش سینوسی، نویز صوتی، شتاب خطی، تکان‌های مکانیکی تک و چندگانه مقاومت می‌کند.

توضیح علامت گذاری LSV 2-7 16x0.12:

• L - نوار
• S - سریال
• ب - عایق پی وی سی

عناصر ساختاری کابل LSV 2-7 16x0.12

1. هادی داخلی مسی قلع‌دار مونو وایر
2. عایق پی وی سی پلیمری

پارامترهای فنی کابل LSV 2-7 16x0.12

گواهینامه ها و ضمانت نامه ها

I. تبر 2 = 0 – ناقص معادله درجه دوم (b=0، c=0 ). راه حل: x=0. پاسخ: 0.

حل معادلات

2x·(x+3)=6x-x 2 .

راه حل.بیایید پرانتزها را با ضرب باز کنیم 2 برابربرای هر ترم داخل پرانتز:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; عبارت ها را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:

3x 2 = 0، بنابراین x=0.

پاسخ: 0.

II. تبر 2 +bx=0 –ناقص معادله درجه دوم (c=0 ). راه حل: x (ax+b)=0 → x 1 =0 یا ax+b=0 → x 2 =-b/a. پاسخ: 0; -b/a.

5x 2 -26x=0.

راه حل.بیایید عامل مشترک را حذف کنیم ایکسخارج از پرانتز:

x(5x-26)=0; هر عامل می تواند برابر با صفر باشد:

x=0یا 5x-26=0← 5x=26، دو طرف تساوی را بر تقسیم کنید 5 و دریافت می کنیم: x=5.2.

پاسخ: 0; 5,2.

مثال 3. 64x+4x 2 =0.

راه حل.بیایید عامل مشترک را حذف کنیم 4 برابرخارج از پرانتز:

4x(16+x)=0. ما سه عامل داریم، 4≠0، بنابراین، یا x=0یا 16+x=0. از آخرین برابری x=-16 بدست می آوریم.

پاسخ: -16; 0.

مثال 4.(x-3) 2 +5x=9.

راه حل.با اعمال فرمول مربع اختلاف دو عبارت، پرانتزها را باز می کنیم:

x 2 -6x+9+5x=9; تبدیل به شکل: x 2 -6x+9+5x-9=0; اجازه دهید اصطلاحات مشابه را ارائه دهیم:

x 2 -x=0; ما آن را بیرون می آوریم ایکسخارج از پرانتز، دریافت می کنیم: x (x-1)=0. از اینجا یا x=0یا x-1=0→ x=1.

پاسخ: 0; 1.

III. تبر 2 + c=0 –ناقص معادله درجه دوم (b=0 ) راه حل: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

اگر (-c/a)<0 ، پس هیچ ریشه واقعی وجود ندارد. اگر (-с/а)> 0

مثال 5. x 2 -49=0.

راه حل.

x 2 =49، از اینجا x=±7. پاسخ:-7; 7.

مثال 6. 9x 2 -4=0.

راه حل.

غالباً باید مجموع مربع ها (x 1 2 + x 2 2) یا مجموع مکعب ها (x 1 3 +x 2 3) ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید، در موارد کمتر - مجموع مقادیر متقابل . از مجذورات ریشه ها یا مجموع ریشه های مربع حسابی ریشه های یک معادله درجه دوم:

قضیه Vieta می تواند در این مورد کمک کند:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 = q.

بیان کنیم از طریق پو q:

1) مجموع مجذورات ریشه های معادله x 2 +px+q=0;

2) مجموع مکعب های ریشه های معادله x 2 +px+q=0.

راه حل.

1) اصطلاح x 1 2 + x 2 2از دو طرف معادله بدست می آید x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; پرانتزها را باز کنید: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; مقدار مورد نیاز را بیان می کنیم: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. ما یک برابری مفید دریافت کردیم: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

2) اصطلاح x 1 3 + x 2 3اجازه دهید مجموع مکعب ها را با استفاده از فرمول نشان دهیم:

(x 1 3 + x 2 3) = (x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 + x 2 2) = - p· (p 2 -2q-q) = - p· (p 2 -3q).

یک معادله مفید دیگر: x 1 3 + x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

مثال ها.

3) x 2 -3x-4=0.بدون حل معادله، مقدار عبارت را محاسبه کنید x 1 2 + x 2 2.

راه حل.

x 1 + x 2 =-p=3،و کار x 1 ∙x 2 =q=در مثال 1) برابری:

x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.ما داریم -پ=x 1 + x 2 = 3 → p 2 = 3 2 = 9; q= x 1 x 2 = -4. سپس x 1 2 + x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

پاسخ: x 1 2 + x 2 2 = 17.

4) x 2 -2x-4=0.محاسبه کنید: x 1 3 + x 2 3 .

راه حل.

بر اساس قضیه ویتا، مجموع ریشه های این معادله درجه دوم کاهش یافته است x 1 + x 2 =-p=2،و کار x 1 ∙x 2 =q=-4. بیایید آنچه را که دریافت کردیم اعمال کنیم ( در مثال 2) برابری: x 1 3 + x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

پاسخ: x 1 3 + x 2 3 = 32.

سوال: اگر یک معادله درجه دوم تقلیل نشده به ما داده شود چه؟ پاسخ: همیشه می توان آن را با تقسیم جمله بر جمله بر ضریب اول "کاهش" داد.

5) 2x 2 -5x-7=0.بدون تصمیم گیری، محاسبه کنید: x 1 2 + x 2 2.

راه حل.یک معادله درجه دوم کامل به ما داده می شود. دو طرف تساوی را بر 2 (ضریب اول) تقسیم کنید و معادله درجه دوم زیر را بدست آورید: x 2 -2.5x-3.5=0.

بر اساس قضیه ویتا، مجموع ریشه ها برابر است با 2,5 ; حاصلضرب ریشه ها برابر است -3,5 .

ما آن را به همان روش مثال حل می کنیم 3) با استفاده از برابری: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

پاسخ: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0.پیدا کردن:

اجازه دهید این برابری را تغییر دهیم و با استفاده از قضیه ویتا، مجموع ریشه‌ها را جایگزین کنیم -پ، و محصول ریشه از طریق q، فرمول مفید دیگری بدست می آوریم. هنگام استخراج فرمول، از برابری 1 استفاده کردیم: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

در مثال ما x 1 + x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. ما این مقادیر را در فرمول به دست آمده جایگزین می کنیم:

7) x 2 -13x+36=0.پیدا کردن:

بیایید این مجموع را تبدیل کنیم و فرمولی به دست آوریم که با استفاده از آن بتوان مجموع ریشه های مربع حسابی را از ریشه های یک معادله درجه دوم پیدا کرد.

ما داریم x 1 + x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q = 36. این مقادیر را در فرمول به دست آمده جایگزین می کنیم:

مشاوره : همیشه امکان یافتن ریشه یک معادله درجه دوم را با استفاده از روش مناسب بررسی کنید، زیرا 4 بررسی شده فرمول های مفیدبه شما امکان می دهد تا به سرعت یک کار را انجام دهید، به خصوص در مواردی که متمایز کننده یک عدد "ناخوشایند" است. در همه موارد ساده ریشه ها را پیدا کنید و آنها را عمل کنید. به عنوان مثال، در آخرین مثال، ریشه ها را با استفاده از قضیه Vieta انتخاب می کنیم: مجموع ریشه ها باید برابر باشد. 13 ، و محصول ریشه 36 . این اعداد چیست؟ قطعا، 4 و 9.حالا مجموع جذر این اعداد را محاسبه کنید: 2+3=5. خودشه!

I. قضیه ویتابرای معادله درجه دوم کاهش یافته.

مجموع ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته x 2 +px+q=0برابر ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 = q.

ریشه های معادله درجه دوم داده شده را با استفاده از قضیه ویتا بیابید.

مثال 1) x 2 -x-30=0.این معادله درجه دوم کاهش یافته است ( x 2 +px+q=0)، ضریب دوم p=-1و عضو رایگان q=-30.ابتدا مطمئن شویم که این معادله دارای ریشه است و ریشه ها (در صورت وجود) به صورت اعداد صحیح بیان می شوند. برای این کار کافی است که ممیز یک مربع کامل از یک عدد صحیح باشد.

پیدا کردن ممیز D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

حال، طبق قضیه ویتا، مجموع ریشه ها باید برابر با ضریب دوم باشد که با علامت مخالف گرفته می شود، یعنی. ( -پ، و حاصلضرب برابر با عبارت آزاد است، یعنی. ( q). سپس:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙x 2 = -30.باید دو عدد را طوری انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر باشد -30 ، و مقدار آن است واحد. اینها اعداد هستند -5 و 6 . پاسخ: -5; 6.

مثال 2) x 2 +6x+8=0.معادله درجه دوم کاهش یافته را با ضریب دوم داریم p=6و عضو رایگان q=8. بیایید مطمئن شویم که ریشه های عدد صحیح وجود دارد. بیایید متمایز کننده را پیدا کنیم د 1 د 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . متمایز D 1 مربع کامل عدد است 1 یعنی ریشه های این معادله اعداد صحیح هستند. اجازه دهید ریشه ها را با استفاده از قضیه Vieta انتخاب کنیم: مجموع ریشه ها برابر است با –р=-6، و حاصل ضرب ریشه ها برابر است با q=8. اینها اعداد هستند -4 و -2 .

در واقع: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. پاسخ: -4; -2.

مثال 3) x 2 +2x-4=0. در این معادله درجه دوم کاهش یافته، ضریب دوم p=2و عضو رایگان q=-4. بیایید متمایز کننده را پیدا کنیم د 1، زیرا ضریب دوم یک عدد زوج است. د 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. متمایز، مربع کامل عدد نیست، بنابراین ما این کار را می کنیم نتیجه: ریشه های این معادله اعداد صحیح نیستند و با استفاده از قضیه ویتا نمی توان آنها را یافت.یعنی این معادله را طبق معمول با استفاده از فرمول ها (در این مورد با استفاده از فرمول ها) حل می کنیم. ما گرفتیم:

مثال 4).معادله درجه دوم را با استفاده از ریشه های آن بنویسید x 1 =-7، x 2 =4.

راه حل.معادله مورد نیاز به شکل زیر نوشته می شود: x 2 +px+q=0و بر اساس قضیه ویتا –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . سپس معادله به شکل زیر در می آید: x 2 +3x-28=0.

مثال 5).یک معادله درجه دوم را با استفاده از ریشه های آن بنویسید اگر:

II. قضیه ویتابرای یک معادله درجه دوم کامل ax 2 +bx+c=0.

مجموع ریشه ها منهای است ب، تقسیم بر آ، حاصلضرب ریشه ها برابر است با با، تقسیم بر آ:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

مثال 6).مجموع ریشه های یک معادله درجه دوم را بیابید 2x 2 -7x-11=0.

راه حل.

ما مطمئن می شویم که این معادله ریشه داشته باشد. برای این کار کافی است یک عبارت برای ممیز ایجاد کنید و بدون محاسبه آن فقط مطمئن شوید که ممیز بزرگتر از صفر است. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . حالا بیایید استفاده کنیم قضیه ویتابرای معادلات درجه دوم کامل

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

مثال 7). حاصل ضرب ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید 3x 2 +8x-21=0.

راه حل.

بیایید متمایز کننده را پیدا کنیم د 1از ضریب دوم ( 8 ) یک عدد زوج است. د 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . معادله درجه دوم دارد 2 ریشه، طبق قضیه ویتا، حاصل ضرب ریشه ها است x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0- معادله درجه دوم عمومی

ممیز D=b 2 - 4ac.

اگر D> 0، پس ما دو ریشه واقعی داریم:

اگر D=0، سپس یک ریشه داریم (یا دو ریشه مساوی) x=-b/(2a).

اگر D<0, то действительных корней нет.

مثال 1) 2x 2 +5x-3=0.

راه حل. آ=2; ب=5; ج=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 ریشه واقعی

4x 2 +21x+5=0.

راه حل. آ=4; ب=21; ج=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 ریشه واقعی

II. ax 2 +bx+c=0 – معادله درجه دوم فرم خاص با دوم حتی

ضریب ب

مثال 3) 3x 2 -10x+3=0.

راه حل. آ=3; ب=-10 (عدد زوج)؛ ج=3.

مثال 4) 5x 2 -14x-3=0.

راه حل. آ=5; ب= -14 (عدد زوج)؛ ج=-3.

مثال 5) 71x 2 +144x+4=0.

راه حل. آ=71; ب= 144 (عدد زوج)؛ ج=4.

مثال 6) 9x 2 -30x+25=0.

راه حل. آ=9; ب=-30 (عدد زوج)؛ ج=25.

III. ax 2 +bx+c=0 – معادله درجه دوم نوع خصوصی ارائه شده است: a-b+c=0.

ریشه اول همیشه برابر با منهای یک و ریشه دوم همیشه برابر منهای است با، تقسیم بر آ:

x 1 =-1، x 2 =-c/a.

مثال 7) 2x 2 +9x+7=0.

راه حل. آ=2; ب=9; ج=7. بیایید برابری را بررسی کنیم: a-b+c=0.ما گرفتیم: 2-9+7=0 .

سپس x 1 =-1، x 2 =-c/a=-7/2=-3.5.پاسخ: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – معادله درجه دوم یک فرم خاص موضوع : a+b+c=0.

ریشه اول همیشه برابر یک است و ریشه دوم برابر است با، تقسیم بر آ:

x 1 = 1، x 2 = c/a.

مثال 8) 2x 2 -9x+7=0.

راه حل. آ=2; ب=-9; ج=7. بیایید برابری را بررسی کنیم: a+b+c=0.ما گرفتیم: 2-9+7=0 .

سپس x 1 = 1، x 2 = c/a = 7/2 = 3.5.پاسخ: 1; 3,5.

صفحه 1 از 1 1

این شامل این واقعیت است که بتن تقویت شده با قاب های فولادی قوی، یک مصالح ساختمانی با مقاومت بالا است و تحت تأثیرات محیطی متعددی قرار نمی گیرد، به همین دلیل طراحی پایه یک تکیه گاه خط هوایی قادر به حمایت از فولاد و تقویت شده است. پشتیبانی از خطوط برق بتنی بدون خطر واژگونی آنها برای چندین دهه. دوام، مقاومت در برابر بارها و استحکام از مزایای اصلی استفاده از فونداسیون های بتن مسلح FP2.7x2.7-A برای تکیه گاه های فلزی خطوط هوایی تک مدار 220 کیلوولت، خطوط هوایی تک مداره 330 کیلوولت در ساخت و ساز انرژی است.

پایه های بتن مسلح FP2.7x2.7-A برای تکیه گاه های فلزی خطوط هوایی تک مدار 220 کیلوولت، خطوط هوایی تک مدار 330 کیلوولت از بتن سنگین با کلاس مقاومت فشاری حداقل B30، درجه - از M300 ساخته شده است. درجه بتن برای مقاومت در برابر سرما کمتر از F150 نیست، برای مقاومت در برابر آب - W4 - W6. سیمان و مواد خنثی مورد استفاده برای ساخت بتن باید الزامات SNiP I-B.3-62 و TP4-68 را برآورده کند. بزرگترین اندازه دانه در سازه بتنی نباید از 20-40 میلی متر تجاوز کند. کنترل مقاومت بتن پایه های پشتیبانی مطابق با GOST 10180-67 "بتن سنگین. روش های تعیین مقاومت" و GOST 10181-62 "بتن سنگین. روش‌هایی برای تعیین تحرک و صلبیت مخلوط بتن.

به عنوان تقویت کننده، پایه های FP2.7x2.7-A برای تکیه گاه های فلزی خطوط هوایی تک مدار 220 کیلوولت، خطوط هوایی تک مدار 330 کیلوولت استفاده می شود: میله های فولادی تقویت کننده نورد گرم کلاس A-I، میله های فولادی تقویت کننده نورد گرم پروفیل دوره ای کلاس A-III، میلگردهای فولادی تقویت کننده پروفیل دوره ای کلاس A-IV و سیم تقویت کننده معمولی کلاس B1. برای نصب حلقه ها، فقط از تقویت کننده میله نورد گرم کلاس A-I ساخته شده از فولاد نرم کربن استفاده می شود.

پایه های پشتیبان های خطوط انتقال نیرو برای ساخت انرژی با یک وظیفه مسئولانه روبرو هستند - حفظ پایداری و استحکام پشتیبان های خطوط انتقال نیرو برای سال های متمادی در شرایط مختلف آب و هوایی، در هر زمان از سال و در هر آب و هوایی. بنابراین، مطالبات بسیار بالایی بر پایه های حمایتی گذاشته می شود. قبل از ارسال به مشتری، پایه های FP2.7x2.7-A برای تکیه گاه های فلزی خطوط هوایی تک مدار 220 کیلوولت، خطوط هوایی تک مداره 330 کیلوولت با توجه به پارامترهای مختلف، به عنوان مثال، درجه پایداری آزمایش می شود. ، استحکام، دوام و مقاومت در برابر سایش، مقاومت در برابر دماهای منفی و تأثیرات جوی. قبل از جوشکاری، قطعات اتصال باید عاری از زنگ زدگی باشند. پی های بتن مسلح با ضخامت لایه محافظ بتنی کمتر از 30 میلی متر و همچنین پی های نصب شده در خاک های تهاجمی باید با عایق رطوبتی محافظت شوند.

در حین بهره برداری، فونداسیون های FP2.7x2.7-A برای تکیه گاه های فلزی خطوط هوایی تک مدار 220 کیلوولت، خطوط هوایی تک مداره 330 کیلوولت به ویژه در سال های اول بهره برداری از خط هوایی تحت نظارت دقیق قرار دارند. یکی از جدی ترین نقص ها در ساخت فونداسیون ها که در شرایط عملیاتی از بین می رود، نقض استانداردهای تکنولوژیکی در حین ساخت آنها است: استفاده از شن با کیفیت پایین یا ضعیف شسته شده، نقض نسبت ها هنگام تهیه مخلوط بتن و غیره. . یک عیب به همان اندازه جدی، بتن ریزی لایه ای پی است، زمانی که عناصر تکی یک پی در زمان های مختلف بدون آماده سازی سطح قبلی بتن ریزی می شوند. در این حالت، بتن یک عنصر فونداسیون با عنصر دیگر گیر نمی کند و ممکن است تحت بارهای خارجی که به طور قابل توجهی کمتر از بارهای محاسبه شده است، تخریب پی اتفاق بیفتد.

هنگام ساخت پایه های بتن مسلح برای تکیه گاه ها، استانداردها نیز گاهی نقض می شوند: از بتن با کیفیت پایین استفاده می شود، آرماتور در اندازه های اشتباهی که در پروژه پیش بینی شده است، گذاشته می شود. در حین ساخت خطوط برق بر روی پایه های بتنی مسلح پیش ساخته یا شمع، ممکن است نقص های جدی رخ دهد که توسط ساخت و ساز انرژی مجاز نیست. این گونه عیوب عبارتند از: نصب فونداسیون های بتن مسلح شکسته، نفوذ ناکافی آنها به زمین (به ویژه در هنگام نصب تکیه گاه ها در دامنه تپه ها و دره ها)، تراکم نامناسب در هنگام پرکردن، نصب فونداسیون های پیش ساخته با اندازه های کوچکتر و غیره. عیوب نصب شامل موارد نادرست است. نصب پایه های بتن آرمه، که در آن پایه های پیش ساخته منفرد که به عنوان پایه تکیه گاه فلزی در نظر گرفته شده اند دارای ارتفاعات عمودی یا جابجایی پایه های جداگانه در پلان هستند. در صورت تخلیه نامناسب، پایه های FP2.7x2.7-A برای تکیه گاه های فلزی خطوط هوایی تک مدار 220 کیلوولت، خطوط هوایی تک مداره 330 کیلوولت ممکن است آسیب ببینند، ممکن است براده های بتن و آرماتورها در معرض دید قرار گیرند. در مراحل پذیرش باید توجه ویژه ای به انطباق انکر بولت ها و مهره های آنها با ابعاد طراحی شود.

در شرایط عملیاتی، پایه های بتن مسلح FP2.7x2.7-A برای تکیه گاه های فلزی خطوط هوایی تک مدار 220 کیلوولت، خطوط هوایی تک مدار 330 کیلوولت هم از تأثیرات محیطی و هم از بارهای خارجی بزرگ آسیب دیده اند. آرماتور فونداسیون با ساختار بتنی متخلخل در اثر اثرات تهاجمی آب های زیرزمینی آسیب می بیند. ترک هایی که در سطح پی ایجاد می شوند، در صورت قرار گرفتن در معرض بارهای متناوب عملیاتی و همچنین باد، رطوبت و دمای پایین، گسترش می یابند که در نهایت منجر به تخریب بتن و قرار گرفتن در معرض آرماتور می شود. در مناطقی که نزدیک کارخانه های شیمیایی قرار دارند، پیچ های لنگر و قسمت بالایی زیرپایی های فلزی به سرعت خراب می شوند.

شکستگی شالوده تکیه گاه ها نیز می تواند در نتیجه عدم همراستایی آن با قفسه ها اتفاق بیفتد که باعث ایجاد گشتاورهای خمشی بزرگ می شود. هنگامی که پایه فونداسیون توسط آب های زیرزمینی شسته می شود و از موقعیت عمودی خود منحرف می شود، خرابی مشابهی ممکن است رخ دهد.

در طی فرآیند پذیرش، فونداسیون های FP2.7x2.7-A برای تکیه گاه های فلزی خطوط هوایی تک مدار 220 کیلوولت، خطوط هوایی تک مداره 330 کیلوولت از نظر مطابقت با طرح، عمق لایه گذاری، کیفیت بتن، کیفیت جوش بررسی می شود. آرماتورهای کاری و انکر بولت ها، وجود و کیفیت حفاظت در برابر اثر آب های تهاجمی. علائم عمودی پایه ها اندازه گیری شده و محل قرارگیری انکر بولت ها مطابق شابلون بررسی می شود. در صورت مشاهده هرگونه عدم انطباق با استانداردها، تمامی عیوب قبل از پرکردن چاله ها برطرف می شود. فونداسیون هایی که در قسمت فوقانی دارای بتن تراشه شده و آرماتور آشکار شده اند تعمیر می شوند. برای انجام این کار، یک قاب بتنی به ضخامت 10-20 سانتی متر نصب شده است که 20-30 سانتی متر زیر سطح زمین دفن شده است، باید در نظر داشت که ساخت و ساز انرژی اجازه نمی دهد یک قاب ساخته شده از بتن سرباره وجود داشته باشد، زیرا سرباره حاوی مخلوطی از سرباره است. گوگرد که باعث خوردگی شدید آرماتورها و پیچ و مهره ها می شود در صورت آسیب بیشتر به پی (از جمله یکپارچه)، قسمت آسیب دیده با آرماتور جوش داده شده به آرماتور فونداسیون اصلی پوشانده می شود و پس از نصب قالب، بتن ریزی می شود.